Modul Ringkas KSN-K ASTRONOMI [PDF]

Citation preview

MODUL RINGKAS



ASTRONOMI Disusun Oleh:



M Ikhsan Arif



Olympia Gold TV Astronomi Daftarkan dirimu menjadi member Olympia Gold TV Astronomi dan dapatkan fasilitas berupa akses untuk menonton rekaman video Pembinaan KSN-K Astronomi SMA sebanyak 77 video dengan durasi total 58 jam! Rekaman tersebut berisi penjelasan materi dan pembahasan soal-soal sesuai silabus KSN-K Astronomi SMA. Sangat cocok untuk kamu yang sedang mempersiapkan diri mengikuti KSN maupun lomba/kompetisi/olimpiade lainnya! Juga cocok untuk Bapak/Ibu guru yang ingin membina siswasiswinya mengikuti ajang KSN Astronomi. Kenapa harus Olympia Gold TV Astronomi? Kami menyadari bahwa tidak semua siswa bisa belajar secara otodidak. Selain itu, dengan memiliki akses rekaman ini, kamu bisa menonton ulang video pembelajaran jika kamu merasa kurang paham pada penjelasan pertama. Apa saja cakupan materi yang dibahas dalam Olympia Gold TV Astronomi?



Berikut adalah judul lengkap semua video di Olympia Gold TV Astronomi yang telah disusun secara berurutan dan diberikan nomor serta judul video untuk memudahkan penonton. Mantap! [1] Pengenalan Astronomi (Bag. 1) [2] Pengenalan Astronomi (Bag. 2) [3] Pengenalan Astronomi (Bag. 3) [4] Pengenalan Astronomi (Bag. 4) [5] Pengenalan Astronomi (Bag. 5) [6] Pengenalan Astronomi (Bag. 6) [7] Matematika untuk Astronomi (Bag. 1) [8] Matematika untuk Astronomi (Bag. 2) [9] Matematika untuk Astronomi (Bag. 3) [10] Matematika untuk Astronomi (Bag. 4) [11] Matematika untuk Astronomi (Bag. 5) [12] Astronomi Bola (Bag. 1) [13] Astronomi Bola (Bag. 2)



[14] Astronomi Bola (Bag. 3) [15] Astronomi Bola (Bag. 4) [16] Instrumentasi dan Observasi (Bag. 1) [17] Instrumentasi dan Observasi (Bag. 2) [18] Instrumentasi dan Observasi (Bag. 3) [19] Instrumentasi dan Observasi (Bag. 4) [20] Konsep Fotometrik dan Magnitudo (Bag. 1) [21] Konsep Fotometrik dan Magnitudo (Bag. 2) [22] Konsep Fotometrik dan Magnitudo (Bag. 3) [23] Konsep Fotometrik dan Magnitudo (Bag. 4) [24] Konsep Fotometrik dan Magnitudo (Bag. 5) [25] Mekanisme Radiasi (Bag. 1) [26] Mekanisme Radiasi (Bag. 2) [27] Mekanisme Radiasi (Bag. 3) [28] Mekanisme Radiasi (Bag. 4) [29] Mekanisme Radiasi (Bag. 5) [30] Mekanisme Radiasi (Bag. 6) [31] Mekanika Benda Langit (Bag. 1) [32] Mekanika Benda Langit (Bag. 2) [33] Mekanika Benda Langit (Bag. 3) [34] Mekanika Benda Langit (Bag. 4) [35] Mekanika Benda Langit (Bag. 5) [36] Spektrum Bintang (Bag. 1) [37] Spektrum Bintang (Bag. 2) [38] Spektrum Bintang (Bag. 3) [39] Spektrum Bintang (Bag. 4) [40] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 1) [41] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 2) [42] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 3) [43] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 4) [44] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 5) [45] Bintang Ganda dan Massa Bintang (Bag. 6) [46] Struktur Bintang (Bag. 1) [47] Struktur Bintang (Bag. 2) [48] Struktur Bintang (Bag. 3) [49] Struktur Bintang (Bag. 4) [50] Struktur Bintang (Bag. 5) [51] Struktur Bintang (Bag. 6) [52] Evolusi Bintang (Bag. 1) [53] Evolusi Bintang (Bag. 2) [54] Evolusi Bintang (Bag. 3) [55] Evolusi Bintang (Bag. 4) [56] Evolusi Bintang (Bag. 5) [57] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 1) [58] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 2) [59] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 3) [60] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 4) [61] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 5) [62] Matahari dan Bintang Variabel (Bag. 6)



[63] Medium Antar Bintang (Bag. 1) [64] Medium Antar Bintang (Bag. 2) [65] Medium Antar Bintang (Bag. 3) [66] Medium Antar Bintang (Bag. 4) [67] Medium Antar Bintang (Bag. 5) [68] Medium Antar Bintang (Bag. 6) [69] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 1) [70] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 2) [71] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 3) [72] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 4) [73] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 5) [74] Galaksi dan Gugus Galaksi (Bag. 6) [75] Pembahasan Simulasi KSN-K (Bag. 1) [76] Pembahasan Simulasi KSN-K (Bag. 2) [77] Pembahasan Simulasi KSN-K (Bag. 3) Cuplikan salah satu rekaman dapat dilihat pada: https://www.instagram.com/p/CMjPH7jhbfN/ Rekaman lengkap diposting pada akun instagram terkunci @olympiagold_astronomi. Untuk mendapatkan akses, kamu hanya perlu membayar biaya membership 299K. Cukup sekali bayar, akses seumur hidup. Hanya member yang akan diberikan akses untuk menonton video. Jadi jika kamu bukan member, meskipun kamu follow akun IG @olympiagold_astronomi, TIDAK AKAN dikonfirmasi oleh admin.



Hubungi WA (chat only) 085314573245 untuk pendaftaran membership.



DAFTAR ISI 1. Pengenalan Astronomi



1



2. Matematika untuk Astronomi



15



3. Astronomi Bola



49



4. Instrumentasi dan Observasi



67



5. Konsep Fotometri dan Magnitudo



71



6. Mekanisme Radiasi



84



7. Spektrum Bintang



95



8. Bintang Ganda dan Massa Bintang



105



9. Galaksi dan Gugus Galaksi



109



Pengenalan Astronomi Peran Astronomi •



Pertanian



•



Ritual Agama



•



Ramalan



•



Navigasi



•



Sains Fundamental



Astronomi di Era Copernicus, Tycho, Kepler, dan Galileo



Model Heliosentris Copernicus Pada abad 16 Nicolaus Copernicus memperkenalkan model system tata surya baru yaitu model heliosentrik dimana sebelumnya dipercaya system tata surya geosentrik.



1



Salah satu prediksi dari model heliosentrik Copernicus adalah gerak retrograde. Gerak ini menurut Copernicus terjadi karena planet yang berada lebih jauh dari matahari bergerak lebih lambat mengelilingi matahari.



Copernicus menurunkan hubungan antara periode sinodik dan sidereal dari suatu planet dalam model heliosentrik. Waktu yang dibutuhkan planet untuk kembali ke posisi yang sama di langit relatif terhadap matahari jika dilihat dari bumi disebut waktu sinodik. Waktu yang dibutuhkan planet untuk melakukan satu revolusi mengelilingi matahari relatif terhadap bintang.



2



Periode sideral Bumi adalah E. Berdasarkan gambar di atas diperoleh



atau



Untuk planet superior. Hasil perhitungan berdasarkan model heliosentrik untuk planet inferior dan superior yaitu



Sebagai contoh planet Venus, periode sinodik yang teramati adalah 583.92 hari, maka periode revolusi Venus terhadap matahari adalah



Pengamatan teleskopik yang dilaporkan oleh Galileo Galilei tahun 1610 secara kuat mendukung model heliosentrik system tata surya. 3



Metode Kepler Menggunakan model Copernicus, Tycho Brahe mengumpulkan data pengamatan Mars selama 20 tahun. Johannes Kepler menemukan bahwa orbit planet mestilah ellips.



Orbit Planet Ketiga hokum empiris Kepler Hukum pertama Kepler: orbit setiap planet ellips dengan matahari ada di salah satu fokusnya.



4



Hukum kedua Kepler: vector radius ke suatu planet menyapu luas area yang sama dalam waktu yang sama.



Hukum ketiga dapat ditulis



Dimana P adalah periode sidereal dan a adalah panjang sumbu semimayor. Konstanta k sama untuk semua benda yang mengelilingi matahari.



Geometri dari ellips Kurva ellips dalam bidang xy ditunjukkan oleh gambar berikut



Secara matematika ellips didefenisika dengan



a : sumbu semimayor



5



e: eksentrisitas b: sumbu semiminor Dengan menggukana teorema Phytagoras diperoleh



Titik A dan A’ masing-masing adalah perihelion dan aphelion. Kita ingin mengetahui jarak salah satu fokus ke titik pada ellips sebagai fungsi dari posisi dari titik tersebut. Gunakan system koordinat polar (𝑟, 𝜃) dengan pusat di F dan garis FA berkaitan dengan 𝜃 = 0 . Sekarang 𝑟 merupakan jarak FP. Menggunakan



Dan aturan cosinus diperoleh



Dengan mensubtitusi 𝑟 ′ = 2𝑎 − 𝑟 diperoleh



Persamaan ini untuk ellips di koordinat polar untuk 0 ≤ 𝑒 < 1. Ellips adalah salah satu contoh dari kumpulan kurva yang disebut irisan kerucut.



6



Ketika 𝑒 = 1 salah satu fokus ada di tak hingga, kita punya parabola yang dirumuskan oleh



Dimana p adalah jarak terdekat ke fokus yang tersisa. Ketika 𝑒 > 1, kita punya hiperbola



Objek Penelitian Astronomi Astronom meneliti isi dari alam semesta dari level partikel elementer dan molekul hingga supercluster galaksi. ▪



Sistem Tata Surya: Matahari, planet-planet dan satelitnya, asteroid



▪



Bintang : Deret utama, raksasa, super-raksasa, katai putih, system ganda, variabel, neutron, lubang hitam, gugus bintang



▪



Galaksi



: gugus galaksi, quasar



▪



Kosmologi



: Alam Semesta



▪



Astronomi bisa dibagi menjadi beberapa cabang berbeda bergantung kepada panjang gelombang yang digunakan yaitu radio, inframerah, optik, ultraviolet,



7



sinar-X. Pengamatan tabrakan dua lubang hitam dideteksi melalui gelombang gravitasi pertamakali diumumkan pada tahun 2015 yang lalu.



Berikut ini adalah gambar gugus bola M13 (foto dari observatorium Palomar)



8



Skala Alam Semesta Kerapatan/ densitas terbesar di bumi yang terbentuk secara natural 22.500 𝑘𝑔/𝑚3 Kerapatan bintang neutron orde 1018 𝑘𝑔/𝑚3 Kerapatan Ruang vakum yang bisa dibuat dibumi 10−9 𝑘𝑔/𝑚3 Kerapatan ruang antar bintang kurang dari 10−21 𝑘𝑔/𝑚3 Akselerator partikel modern memiliki energy 1012 eV Energi sinar kosmik orde 1020 eV



9



Soal latihan: 1.



Solusi: peridoe sinodis Ceres S, 𝑆 = 1,278 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 Untuk obejek superior 1 1 1 = − 𝑆 𝐸 𝑃 E adalah periode sideris Bumi, P adalah periode Sideris Ceres. 1 1 1 = − 1,278 1 𝑃 Maka 𝑃 = 4,6 tahun. Sumbu semi mayor nya menggunakan hukum kepler 3



3 𝑎 = √𝑃2 = √4,62 = 2,766 𝑆𝐴



Perihelion 𝑃𝑒 = 𝑎(1 − 𝑒) = 2,766(1 − 0,077) = Aphelion 𝐴𝑝 = 𝑎(1 + 𝑒) = 2,766(1 − 0,077) =



10



2.



solusi Ide nya menggunakan hukum kepler ke tiga. Dari hukum kepler kita bisa tentukan periode revolusi dari jarak rata2 dari matahari atau sumbu semi mayor. Jika diketahui periode planet imajiner tersebut kita bisa tentukan periode sinodisnya jika dilihat dari bumi. 𝑃 = √𝑎3 = √1203 = 1314,53 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 maka 1 1 1 = − 𝑆 1 1314,53 Periode sinodisnya adalah S=365,52 hari. 3.



Solusi Periode sinodis objek minor 516 hari dilihat dari Bumi. Periode Sideris planet lain ini adalah 92,4 hari Pertanyaan: Hitung periode sinodis objek minor jika dilihat dari planet lain. Ada dua kemungkinan objek minor ini. Dia bisa merupakan objek inferior atau bisa merupakan obke superior. Untuk kasus objek minor ini merupakan objek inferior relatif terhadap bumi 1 1 1 =− + 516 365 𝑃 11



𝑃 = 214 ℎ𝑎𝑟𝑖 Menurut pengamat di planet periode sinodis objek minor adalah ( menurut pengamat di planet objek ini superior) 1 1 1 = − 𝑆′ 92,4 214 Jadi periode sinodis objek minor S’ dilihat dari planet 𝑆 ′ = 162,6 ℎ𝑎𝑟𝑖 Coba kasus kedua, objek minor ini superior relatif terhadap bumi 1 1 1 = − 516 365 𝑃 𝑃 = 1247 ℎ𝑎𝑟𝑖 Periode sinodis objek minor S’’ dilihat dari planet 1 1 1 = − 𝑆′′ 92,4 1247 𝑆 ′′ = 100 ℎ𝑎𝑟𝑖



12



4.



Solusi: Berarti jika pengamatan di mars maka posisi planet venus inferior 1 1 1 = − 𝑆 𝑉 𝑀 Dengan V adalah periode Sideris venus dan M adalah periode Sideris Mars 1 1 1 = − 𝑆 225 687 𝑆 = 334 ℎ𝑎𝑟𝑖 5. Sebuah planet khayal memiliki perihelium 2 AU dan aphelium 2.3 AU. Hitung eksentrisitas orbitnya! Solusi: 𝑃𝑒 = 𝑎(1 − 𝑒) 𝐴𝑝 = 𝑎(1 + 𝑒) 𝑃𝑒 1 − 𝑒 2 = = 𝐴𝑝 1 + 𝑒 2.3 1−𝑒 = 𝑒=



2 (1 + 𝑒) 2.3



1 − 0.869 = 0.07 1 + 0.869



6. Solusi: a=19,2 AU. 𝑃 = √𝑎3 = ⋯



13



7.



A. Benar, lintasan ellips B. Salah. C. Salah, periode juga bergantung jarak benda D. Betul.



Solusi: 𝑃𝑒 = 𝑎(1 − 𝑒). Kepler ketiga 3



𝑎 = √𝑃2 = 17,94 𝑆𝐴 8,9 × 1010 𝑃𝑒 1,5 × 10611 𝑒 =1− = 1− = 0,967 𝑎 17,94



14



Matematika untuk Astronomi Analisis Vektor Vektor direpresentasikan oleh suatu panah yang panjangnya sama dengan besarnya dan menunjuk suatu arah tertentu.



Garis antara titik P dan Q, termasuk titik P dan Q sebagai titik ujung disebut ruas garis. Ruas garis disebut memiliki arah jika titik ujungnya memiliki urutan tertentu. Ruas garis berarah adalah suatu kuantitas dengan besar (jarak antara dan Q) dan arah. Ruas garis berarah PQ dan RS disebut ekivalen jika PQ dan RS memiliki panjang yang sama dan ekivalen. Vektor didefenisikan sebagai kumpulan ruas garis berarah yang ekivalen. Simbol vektor: B, A, C



Penjumlahan dan pengurangan Penjumlahan vektor besifat komutatif



15



Penjumlahan vektor besifat asosiatif



Jika B adalah vektor, -B adalah vektor dengan besar yang sama dengan B namun berlawanan arah.



Soal latihan: 1. Berdasarkan gambar dibawah



16



tulis C dalam bentuk kombinasi E, D, F! tulis G dalam bentuk kombinasi C, D, E, K!



Perkalian vektor oleh angka Symbol |𝑨| melambangkan besar vektor A. |𝑨| = 0 jika dan hanya jika 𝑨 = 0 . |𝑨| = |−𝑨|. |𝑨 − 𝑩| = |𝑩 − 𝑨|. Dan



Jika s adalah angka dan 𝑨 adalah vektor maka 𝑠𝑨 disebut perkalian scalar dari 𝑨



Berikut ini adalah properti fundamental vektor



Vektor dengan besar satu disebut vektor satuan. Untuk mendapatkan vektor satuan dalam arah 𝑨, bagi 𝑨 dengan |𝑨|



17



Soal latihan: 2. Jika |𝑨| = 3 berapa |𝟒𝑨|? berapa|−2𝑨|? apa yang bisa kamu katakana tentang |𝑠𝑨| jika −2 ≤ 𝑠 ≤ 1?



Koordinat kartesian



Setiap vektor dibidang dapat ditulis secara unik dalam bentuk



Besar A



Soal latihan: 3. Berapa besar 3𝑖 − 4𝑗? 4. Tentukan |6𝑖 + 8𝑗|, |𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗|!



18



Vektor ruang



Soal latihan:



5. 6. Misal 𝜃 melambangkan sudut antara dua vektor A dan B. Tunjukkan bahwa



Solusi: dengan menggunakan bagian komponen diperoleh



Atau bisa ditulis



19



Sekarang untuk rumus geomerik perhatikan gambar di bawah



Dengan menggunakan Phytagoras



Bandingkan kedua ekspresi |𝑨 − 𝑩|2 diperoleh



Tunjukkan bahwa vektor 𝑨 = 𝟐𝒊 − 𝒋 + 𝟓𝒌 dan 𝑩 = 𝒊 + 𝟕𝒋 + 𝒌 saling tegak lurus Solusi:



Sehingga 𝜃 = 90𝑂



Perkalian skalar Perkalia scalar dua vektor adalah angka



𝜃 adalah sudut antara kedua vektor.



20



Dari gambar di atas kita bisa nyatakan bahwa |𝑩|𝑐𝑜𝑠𝜃 merupakan komponen B yang pararel terhadap A. Diperoleh bahwa



Soal latihan: 7. Hitung perkalian scalar 4𝑖 − 5𝑗 − 𝑘 dan 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘!



Solusi:



Perkalian vektor Perkalian vektor/silang antara vektor A dan B didefenisikan oleh



Aturan kali vektor



21



Dalam komponen-komponenennya perkalian vektor adalah



Dimana dari defenisi



dan seterusnya, diperoleh



Atau dalam lebih mudah diingat dalam bentuk determinan



Contoh: tentukan perkalian vektor 𝑨 × 𝑩 jika



Solusi:



Contoh: tentukan dua vektor satuan yang tegak lurus terhadap



Dan



22



Solusi:



Panjang vektor ini adalah 9√2. Vektor satuan



Untuk 𝑩 × 𝑨, vektor satuannya adalah negative dari 𝑨 × 𝑩. Contoh: hitung luas pararellogram yang ditbentuk oleh



Dan



Solusi:



Kalkulus



Model dan fungsi Ada 4 cara untuk merepresentasikan suatu fungsi •



Verbal



•



Numerik



•



Visual



•



Aljabar



23



Grafik dari suatu fungsi adalah kurva pada bidang xy. Pertanyaan: kurva seperti apa pada bidang xy yang merupakan fungsi. Jawabannya uji garis vertikal: suatu kurva di bidang xy adalah grafik dari suatu fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari sekali.



Model Matematika Model matematika adalah deskripsi matematis ( seringkali berupa fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata seperti populasi, permintaan barang, kecepatan benda jatuh,atau ekspekstasi hidup seseorang ketika lahir. Ada beberapa tipe fungsi yang dapat digunakan untuk memodelkan fenomena di dunia nyata.



Model linear Model ini jika



Contoh: Saat udara kering bergerak ke atas, ia mengembang dan mendingin. Jika suhu permukaan tanah 20O C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10O C, nyatakan suhu T (dalam ° C) sebagai a fungsi ketinggian h (dalam kilometer), dengan asumsi bahwa model linier sesuai. Gambarkan grafik fungsinya. Apa yang diwakili oleh gradien? Berapakah suhu di ketinggian 2,5 km. Solusi: Karena kita mengasumsikan bahwa T adalah fungsi linier dari h, kita dapat menuliskannya



Lalu



24



Dan



Sehingga



Gradien mewakili laju perubahan suhu terhadap ketinggian. Pada ketinggian 2.5 km



Polynomial Fungsi P polynomial jika



n adalah bilangan bulat positif dan 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 adalah kosntanta.



25



Fungsi rasional Fungsi rasional f terdiri dari rasio dua polynomial



Contoh:



Fungsi aljabar



Fungsi trigonometri



26



Fungsi eksponen



Fungsi logaritmik



Fungsi invers dan logaritma DEFINISI: Suatu fungsi disebut fungsi satu-ke-satu jika nilainya tidak pernah sama dua kali; itu adalah



DEFINISI Misal f menjadi fungsi satu-ke-satu dengan domain A dan jangkauan B. Kemudian fungsi inversnya f-1 memiliki domain dan jangkauan dan ditentukan oleh



Untuk setiap y di B. Contoh: cari invers fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2. Solusi: 𝑦 = 𝑥3 + 2



27



𝑥3 = 𝑦 − 2 𝑥 = 3√𝑦 − 2 Ganti x dengan y 3



𝑦 = √𝑥 − 2 Jadi fungsi invers nya 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 3 + 2.



Fungsi logaritmik



Aturan logaritma



x dan y bilangan positif, r bilangan riil.



Logaritma natural



Untuk setiap bilangan positif a (𝑎 ≠ 1) kita punya 28



Limit dan turunan Limit dari suatu fungsi Defenisi: kita tulis



Dibaca “ limit dari f(x), ketika x mendekati a, sama dengan L”. Contoh: tebak nilai dari



Solusi:



Defenisi: kita tulis



Dibaca limit kiri dari f(x) ketika x mendekati a dari kiri sama dengan L. limit kanan dari f(x) ditulis



29



Menghitung limit menggunakan aturan limit



Contoh:hitung 30



Solusi:



Kontinuitas Defenisi: suatu fungsi f kontinu di a jika . Artinya secara implisit difeinisi di atas mengharuskan 1. F(a) terdefenisi 2.



ada



3.



Contoh: manakah dari fungsi berikut yang tidak kontinu?



31



Solusi:



(a) f(2) tidak terdefenisi (b) (c) (d)



tidak ada tidak kontinu di x=2 tidak ada



Turunan dan laju perubahan Garis singgung



32



Defenisi: garis singgung kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)) adalah garis yang melewati P dengan kemiringan



Contoh: tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦 = 𝑥 2 di titik P(1,1) Solusi:



33



3



Contoh: tentukan persamaan gari singgu hiperbola 𝑦 = 𝑥 di titik P(3,1) Solusi:



Kecepatan



34



Contoh: misal bola dijatuhkan dari tower, 450 m. berapa kecepatan bola setelah 5 detik. Seberapa cepat bola melaju ketika menumbuk tanah? Solusi: persamaan gerak 𝑠(𝑡) = 4.9𝑡 2 kita punya



Kecepatan setelah lima detik 49 m/s.



Turunan Defenisi turunan dari fungsi f di titik a ditulis f’(a) adalah



Contoh: hitung turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 9 di titik a. Solusi:



35



Notasi lain



Aturan turunan



Perhatikan



Kita tulis



36



Contoh:



37



Aturan rantai Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥)



Contoh: hitung F’(x) jika 𝐹(𝑥) = √𝑥 2 + 1 Solusi: misal



dan



maka



Gabungan aturan rantai dan pangkat



38



Turunan fungsi logaritmik



Contoh: hitung Solusi:



Integral Luas



Contoh: gunakan persegi panjang untuk memperkirakan luas dibawah parabola 𝑦 = 𝑥 2 dari 0 sampai 1. Solusi:



39



Generalisasi ide di atas



40



Defenisi: Luas A dari daerah S dibawah grafik kurva kontinu f adalah limit dari penjumlahan persegi panjang dibawah kurva



Integral tentu Defenisi integral tentu: jika f adalah fungsi pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, kita bagi interval tersebut menjadi n subinterval dengan lebar Δ𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛. Misal 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 adalah titik ujung dari subinterval dan misal 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ adalah titik sampel dalam subinterval. Maka integral tentu fungsi f dari a ke b adalah



Dimana



disebut penjumlahan Riemann.



Teorema: jika f dapat diintegralkan di [a,b] maka



41



Dimana



Contoh: Hitung penjumlahan Riemann dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 dengan mengambil titik sampelnya di ujung dan 𝑎 = 0 𝑏 = 3 𝑛 = 6. Hitung Solusi:



Untuk integral



42



.



3



Contoh: tulis integral ∫1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 sebagai limit dari penjumlahan Solusi: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑎 = 1, b=3, dan



Jadi 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1 + 2/𝑛, 𝑥2 = 1 + 4/𝑛, 𝑥3 = 1 + 6/𝑛, dan 43



𝑥𝑖 = 1 +



2𝑖 𝑛



Property integral



Teorema Fundamental kalkulus TFK menghubungankan integral dengan diferensial. Deferensial muncul dari masalah gradient kurva, integral diperoleh dari masalah luas. Integral dan turunan adalah proses invers. TFK I: jika f kontinu di [a,b], maka fungsi g didefenisikan oleh 44



Kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b), dan g’(x)=f(x). Bukti: Jika x dan x+h ada pada (a,b)



Untuk h tidak sama dengan nol



Asumsi ℎ > 0. Terdapa bilangan 𝑢 dan v dalam [x,x+h] sedemikian sehingga f(u)=m Dan f(v)=M, m dan M adalah nilai minimum dan maksimum f pada [x,x+h]



45



Sekarang



Kesimpulan



TFK II: jika f kontinu di [a,b]



Dimana F adalah anti turunan dari f dimana F’=f. 𝑥



Bukti: misal 𝑔(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. Kita tau g’(x)=f(x) artinya g adalah anti turunan dari f. Jika F adalah antiturunan lain dari f pada [a,b], maka kita tau bahwa F dan g dipisahkan oleh suatu konstanta



Untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Gunakan persamaan di atas diperoleh



46



3



Contoh: hitung integral ∫1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Solusi:



Contoh: hitung luas di bawah parabola 𝑦 = 𝑥 2 dari 0 sampai 1. 1 𝑥



Solusi: antiturunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 adalah 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 .



Integral tak tentu



Contohnya



Karena



Daftar integral tak tentu



47



3



Contoh: hitung ∫0 (𝑥 3 − 6𝑥)𝑑𝑥 Solusi:



48



Astronomi Bola Trigonometri Bola



Kita akan turunkan hubungan sidut dan sisi pada segitiga bola. Dengan cara transformasi koordinat.



Koordinat titik P fungsi dari sudut



49



(1) Hubungan koordinat yang ada tanda aksen dengan yang tidak adalah



(2) Subtitusi (1) ke (2)



(3) Berikutnya perhatikan bahwa



Sudut 𝜓, 𝜃, 𝜓 ′ , 𝜃 ′ , 𝜒 dapat dinyatakan dalam bentuk



(4)



50



Subitusi (4) ke (3)



Atau



(5) Koordinat di Bumi



Gambar berikut adalah ilustrasi bola langit



51



1. S, B, U, T adalah arah mata angin menurut pengamat. Untuk menggambar bola langit, biasanya ada ketentuan tentang letak titik Utara dan Selatan, namun di buku ini digunakan titik Selatan di kiri. 2.



Z adalah titik Zenit, yaitu titik yang berada tepat di atas kepala pengamat, sebaliknya titik N (Nadir) adalah titik yang berada tepat di bawah kaki pengamat.



3. Lingkaran besar SBUT adalah horizon pengamat. 4. Lingkaran besar SZUN adalah meridian pengamat (meridian langit)



52



Berikut ini adalah ilustrasi pengamat pada lintang 𝜙



53



Sistem koordinat Horizon



Azimuth A: jarak sudut ke objek benda langit Elevasi a: ketinggian objek langit dari horizon pengamat.



54



Sistem koordinat ekuatorial



Deklinasi 𝛿: separasi sidut bintang dari bidang ekuator langit Vernal equinoks 𝛾 (Aries): titik acuan untuk menghitung asensiorekta Asensiorekta 𝛼: separasi sudut dari vernal equinoks dihitung berlawanan arah jarum jam dari 𝛾 Sudut jam h: jarak sudut dihitung dari meridian searah jarum jam. Waktu Sideris/bintang Θ: jam bintangnya vernal equinox. Pertanyaan: bagaimana mengetahui posisi 𝛾 pada suatu waktu tertentu? Jawaban: Kita punya hubungan waktu matahari dengan waktu Sideris/bintang •



Waktu Matahari Menengah (WMM)= h Matahari +12 j.



•



Jam 0 waktu Matahari, letak Matahari menengah berada di titik kulminasi bawah.



•



Satu hari Matahari =24 j



•



Waktu bintang/Sideris= sudut jam Aries



•



Jam 0 waktu bintang, letak titik Aries berada di titik kulminasi atas



•



Satu hari bintang = 23 j 56 m 4 d



55



Letak-letak istemewa titik Aries terhadap Matahari: 1. Tanggal 21 Maret, Matahari berhimpit dengan Aries



Jam 0 WMM= jam 12 waktu bintang 2. 22 juni, matahari berkulminasi bawah, titik Aries berimpit dengan titik Timur



Jam 0 WMM= jam 18 waktu bintang 3. 23 September. Matahari berkulminasi bawah. Aries kulminasi atas



Jam 0 WMM= jam 0 waktu bintang 4. 22 Desember. Matahari kulminasi bawah. Titik aries berimpit dengan titik barat Jam 0 WMM= jam 6 waktu bintang



Penentuan waktu bintang 1. Tentukan selisih hari terhadap salah satu dari tanggal patokan tersebut: 21 Maret, 22 Juni, 23 September, 22 Desember 2. Tentuka perbedaan waktu untuk titik aries dengan matahari selama selisih waktu no 1 di atas dengan mengalikan setiap beda sebesar 4 menit. 3. Tentukan jam 0 WMM setempat yang bersesuaian dengan waktu Sideris pada tanggal yang bersangkutan dengan menambahkan (jika melewati salah satu tanggal patokan di atas) atau mengurangkan (jika mendahului) dengans selisih waktu no 2 di atas dengan yang paling dekat dengan tanggal patokan terdekat yang dipakai. Patokan tanggal hubungan waktu Sideris dengan WMM (mean Sun):



21 Maret



Jam 0 WMM=jam 12 waktu sideris



22 Juni



Jam 0 WMM=jam 18 waktu sideris



23 September



jam 0 WMM=jam 0 waktu sideris



22 Desember



jam 0 WMM= jam 6 waktu Sideris



4. Tentukan waktu Sideris jam yang diinginkan dengan menambahkan WMM pada jam yang telah ditentukan.



Contoh: tentukan jam bintang jam 12 WIB tanggal 14 Maret 2021? Solusi: selisih tanggal 14 Maret dengan 21 Maret 56



= 7 hari



Beda aries dengan matahari= 7 × 4 = 28 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 Jam 0 WIB tanggal 14 maret =jam 12- 28 menit=jam 11.32 waktu bintang Jam 12 WIB tanggal 14 Maret=11.32+12 WIB=23.32 waktu bintang.



Akan diturunkan transformasi antara sistem koordinat horizontal dengan ekuatorial. Perhatikan gambar berikut



(6) Subtitusi (6) ke (3) diperoleh



(7) Invers transformasi diperoleh dengan mensubtitusi



(8) Ke (3), diperoleh



57



(9) Dari persamaan (9) kita bisa tentukan jam bintang ketika ketinggiannya a:



(10) Persamaan ini dapat digunakan untuk menghitung waktu terbit dan terbenam objek (11) Ada bintang yang tidak pernah terbit dan terbenam disebut bintang sirkumpolar. Perhatikan gambar dibawah



Dari gambar diperoleh (12)



𝛿 + 𝜙 = 90∘ 58



Jadi deklinasi agar objek tidak pernah terbenam 𝛿 > 90∘ − 𝜙 untuk pengamat di lintang utara dan 𝛿 < −90∘ − 𝜙 untuk lintang selatan. Contoh: Pada tanggal 22 Desember 2021 seseorang ingin mengamati bintang Rigel. Diketahuiu koordinat Rigel (𝛼, 𝛿) = (5ℎ15𝑚3𝑠, −8∘ 11′ 23′′ ) . Jika ia ingin mengamati pada lintang 5∘ LS, tentukanlah sudut jam Rigel pada pukul 21.30 waktu setempat dan apakah Rigel tampak atau tidak dan tinggi bintangnya. Solusi:



Sistem koordinat ekliptika Pada tata koordinat ekliptika, lingkaran ekliptika turut diperhitungkan dan merupakan lintang 0°. Jam bintang lokal 18 j koordinat ekliptika adalah



59



Ordinat-ordinat dalam tata koordinat ekliptika adalah: 1. Bujur suatu bintang dinyatakan dengan bujur astronomis () , diukur dari titik Aries berlawanan arah peredaran semu harian (negatif, lihat gambar) sampai pada proyeksi bintang pada ekliptika, besarnya dari 0° sampai 360°. 2. Lintang suatu bintang dinyatakan dengan lintang astronomis (𝛽). Berikut ini adalah contoh bintang posisi (300∘ , 45∘). Diamati dari 𝜙 = 30∘ LS pada waktu bintang lokal 18 𝑗.



60



Koordinat-koordinat yang kita atas ternyata mengalami gangguan/pertubasi sehingga koordinat objek di system koordinat ekuatorial mesti dikoreksi. Beberapa penyebabnya: •



Presesi: Peristiwa perubahan kedudukan sumbu suatu planet



61



•



Nutasi: Peristiwa perubahan kedudukan sumbu Bumi akibat gravitasi Bulan, periode nutasi sekitar 18.6 tahun.



•



Regresi (presesi orbit): Peristiwa perubahan arah bidang orbit, yaitu berputarnya kedudukan titik perihelium.



•



Refraksi: cahaya yang bergerak dengan kecepatan cahaya akan mengubah bayangan benda yang melewati suatu medium.



Atau



Ketika sudut refraksi kecil 𝑅 = 𝑧 − 𝜁 (radian) kita punya



62



Sehingga



•



Aberasi cahaya bintang: Cahaya bintang yang sampai pada pengamat dapat dianggap terbelokkan, akibat gerak Bumi mengelilingi Matahari. Kecepatan Bumi mengelilingi Matahari diberikan oleh



Suatu bintang dengan altitude sebenarnya  akan teramati jika teleskop diarahkan pada altitude  ' dengan hubungan.



63



Mengingat  −'=  sangat kecil ( v / c 1/10000) sehingga  dalam detik busur dapat dituliskan menjadi



Atau



Nilai  disebut konstanta aberasi, dengan mensubstitusikan nilai v / c = 29,78/ 299800 didapatkan nilai  = 20",496 .



Paralaks bintang Dalam perhitungan jarak bintang dekat, sering digunakan metode paralaks, yaitu pengamatan pergeseran posisi bintang terhadap bintang latar bila dilakukan dengan membandingkan posisi bintang pada bulan Januari dan Juli



satu parsec adalah jarak bintang yang memliki paralaks satu detik busur. 1 parsec adalah



64



Untuk penghitungan jarak bintang dengan berbagai sudut paralaks dapat dicari dengan



𝑝



1



Karena 𝑝 ≪ 3600 maka berlaku tan 3600 ≈ 𝑝 × tan 3600



Jadi,1" bintang berjarak 1 parsek atau 206 265 AU atau 3,26 tahun cahaya.



Kalender Satu hari bintang



= 23 j 56 m 4 d



Satu hari matahari



=24j 0m 0d



Satu tahun bintang



=365 hari 6 jam 9menit 10 detik



Satu tahun matahari(tahun tropic)



=365 hari 5 jam 48 menit 46 detik



Kalender surya Kalender Julian 1 tahun = 365.25 hari. Namun, karena siklus tahun tropik tidak tepat 365,25 hari melainkan 365 hari 5 jam 48 menit 46 detik, maka terdapat ketidak cocokan sebesar



65



Jadi selisih dalam 100 tahun adalah 1.100 menit 1.400 detik atau 18 jam 43 menit dan dalam 128 tahun selisih itu menjadi 23,96 jam atau mendekati 1 hari. Akibat kesalahan satu hari itu, penanggalan menjadi tidak sesuai lagi dangan tanggal takwim. Usaha perbaikan yang pernah dilakukan ialah sebagai berikut: 1. Pada tahun 625 M Concili di Nicea mengadakan perbaikan 3 hari, angka itu diperoleh berdasarkan perhitungan dari 46 SM sampai 325 M lamanya 371 tahun, yaitu dari 371/128 = 2,8 atau hampir 3 hari. 2.



Pada tahun 1582 M dilakukan perbaikan lagi oleh Paus Gregorius XIII sebanyak 10 hari. Pada tanggal 4 Oktober 1582 diumumkan, bahwa besok bukan tanggal 5, melainkan tanggal 15 Oktober. Sepuluh hari itu berasal dari (1582 – 325)/128 = 9,8 hari.



Berlaku kalender Gregorian.



Kalender Bulan Satu bulan pada kalender Bulan sama dengan satu bulan sinodis, lamanya 29,5 hari, tepatnya 29 hari 12 jam 44 menit 3 detik. Satu tahun Kamariyah lamanya 12  29,5 hari = 354 hari. Banyaknya hari dalam satu tahubn pada Tarikh Kamariyah berganti-ganti 29 hari dan 30 hari. Pada Tarikh Kamariyah dilakukan pembulatan panjang tahun biasa, yaitu tidak memperhitungkan waktu di bawah satu jam. Akibatnya dalam sebulan terbuang 44 menit 3 detik dari satu bulan Kamariyah. Jadi dalam setahun akan terbuang 8 jam 48 menit 36 detik atau dalam 30 tahun Kamariyah terbuang waktu 10 hari 22 jam 38 menit atau hampir 11 hari. Untuk mencocokkan tarikh Kamariyah maka dilakukan penambahan 11 hari selama 30 tahun, sehingga dalam tiga puluh tahun terdapat 11 tahun kabisat yang panjangnya 355 hari. Urutan kesebelas tahun itu ditetapkan sebagai berikut. Pada tahun ke 31 kembali lagi ke 1 dan seterusnya.



66



Instrumentasi dan Observasi Telesokop Optis



Rasio aperture F untuk diameter aperture d dan panjang fokus f: 𝐹 = 𝑑/𝑓 Rasio aperture merupakan karakteristik kekuatan pengumpulan cahaya dari teleskop. Lensa atau cermin disebut objektif. Lensa di fokus disebut eyepiece. Ada 2 tipe teleskop: •



Teleskop refraktor



•



Teleskop reflector



Light Gathering Power (LGP) teleskop berdiameter 𝐷: 67



𝐿𝐺𝑃~𝐷 2 Contoh mata manusia 0.5 cm dan teleskop dengan objektif 50 cm 50 2 𝐿𝐺𝑃 = ( ) = 10,000 0.5 Properti teleskop lainnya adalah Daya pisah RP (resolving power) 𝑅𝑃 =



1 𝜃𝑚𝑖𝑛



Dimana Rayleigh merumuskan 𝜃𝑚𝑖𝑛 𝜃𝑚𝑖𝑛 = 1.22𝜆/𝑑 𝜃𝑚𝑖𝑛 adalah sudut pisah minimum dalam radian. Skala bayangan yang terbentuk bidang fokus dari refraktor dapat dilihat pada gambar dibawah



Tinggi bayangan s untuk sudut 𝑢 sangat kecil : 𝑠 = 𝑓 𝑡𝑎𝑛 𝑢 ≈ 𝑓𝑢 Jika teleskop dengan panjang fokus 343 cm satu menit busur setara dengan 𝑠 = 343 𝑐𝑚 × 1′ = 1 𝑚𝑚 Perbesaran/magnifikasi M



68



𝑀 = 𝑢′ /𝑢 ≈ 𝑓/𝑓′



Kekurangan refraktor: aberasi kromatik. Solusi: lensa akromatik.



Kekurangan reflector: coma. Solusi: kamera Schimdt



Ada dua jenis Mounting teleskop. Ekuatorial dan Azimut.



69



Detektor •



Piringan Fotografi



•



Phototubes



•



Charge-couple devices.



70



Konsep Fotometri dan Magnitudo Intensitas, Kerapatan Fluks, dan Luminositas



Elemen Energi (1) 𝑣 adalah frekuensi. 𝐼𝑣 = 𝐼𝑣 (𝑣) adalah intensitas spesifik, [𝐼𝑣 ] = 𝑊𝑚−2 𝐻𝑧 −1 𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛−1. Total intensitas



Densitas fluks 𝐹𝑣 pada frekuensi 𝑣 dapat ditulis dalam intensitas sebagai



𝐹𝑣 =



1 1 ∫𝑑𝐸𝑣 = ∫𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝐴𝑑𝑣𝑑𝑡𝑑𝜔 = ∫𝐼𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜔 𝑑𝐴𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝐴𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑆 𝑣 𝑆 71



Total kerapatan fluks



Radiasi isotropic. 𝐼 konstan



𝜋



2𝜋



𝜋



𝜋



𝐹 = 𝐼 ∫𝜃=0 ∫𝜙=0 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙 = 𝐼 ∫𝜃=0 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 (2𝜋 − 0) = 2𝜋𝐼 ∫𝜃=0 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 Caranya misalkan = 𝑐𝑜𝑠𝜃 .



𝑑𝑢 𝑑𝑥



=



𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑𝑥



=



𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑥



= −𝑠𝑖𝑛𝜃



𝑑𝜃 𝑑𝑥



atau 𝑑𝑢 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃



Subitusi (**) ke (*) −1



𝐹 = −2𝜋𝐼 ∫



𝑢 𝑑𝑢 = −2𝜋𝐼 (



𝑢=1



72



(−1)2 (1)2 − )=0 2 2



(*) (**)



𝐹1 = 2𝜋𝐼 ∫



𝜋 2



0



𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = −2𝜋𝐼 ∫



𝜃=0



𝑢 𝑑𝑢 = −2𝜋𝐼 (



𝑢=1



(0)2 (1)2 − ) = 𝜋𝐼 2 2



Fluks: daya yang melewati permukaan, satuannya Watt. Fluks yang dipancarkan bintang pada sudut ruang 𝜔 adalah 𝐿 = 𝜔𝑟 2 𝐹, 𝐹 adalah kerapatan Fluks. Luminositas 𝐿: total fluks yang melewati permukaan tertutup [𝐿] = 𝑊.



Magnitudo Semu Klasifikasi Hipparchos: magnitudo bintang 1 2 3 4 5 6 Respon mata bersifat logaritmik



73



Klasifikasi Pogson: Bintang magnitudo 1 lebih terang 100 dari magnitudo 6. Rasio kecerlangan bintang magnitudo n dan n+1 adalah 5



√100 = 2.512



Magnitudo dinyatakan dalam kerapatan fluks 𝐹.



𝐹0 adalah kerapatan fluks dari suatu bintang magnitude 0. Persamaan ini sesuai dengan defenisi magnitudo Pogson



Selisih magnitudo 𝑚1 dan 𝑚2 adalah



Sistem Magnitudo •



Magnitudo visual 𝑚𝑣



•



Magnitudo fotografi 𝑚𝑝𝑔



•



Magnitudo bolometric 𝑚𝑏𝑜𝑙 Hubungan magnitude bolometric dan visual yaitu bolometric correction BC:



Bisa juga menggunakan filter U,B, atau V. Indeks warna C.I didefenisikan



74



Manitudo Absolute Magnitude M bintang pada jarak 10 pc



Misalkan kerapatan fluks pada jarak r adalah 𝐹(𝑟). Kerapatan fluks pada jarak 10 pc adalah 𝐹(10). 𝐹(𝑟) 1/𝑟 2 10 𝑝𝑐 2 = =( ) 𝐹(10) 1/102 𝑝𝑐 2 𝑟 𝑚 − 𝑀 : Modulus jarak. 𝑚 − 𝑀 = −2.5 log



𝐹(𝑟) 10 𝑝𝑐 2 = −2.5 log ( ) 𝐹(10) 𝑟



Atau 𝑚 − 𝑀 = 5 log Magnitude absolut bolometric



𝑀𝑏𝑜𝑙,⊙ : magnitude bolometric matahari



75



𝑟 10 𝑝𝑐



Ekstingsi dan tebal optis Penyerapan dan hamburan radiasi elektromagnetik oleh debu dan gas antara objek astronomi dan pengamat disebut ekstingsi. Ekstingsi bergantung jarak.



𝛼: opasitas/ seberapa transparan Defensikan tebal optis 𝜏



𝑑𝐿 = −



𝑑𝜏 𝐿 𝑑𝑟 = −𝐿 𝑑𝜏 𝑑𝑟



𝐿



𝜏 𝑑𝐿 = − ∫ 𝑑𝜏 𝐿0 𝐿 0



∫



ln(𝐿) − ln(𝐿0 ) = −𝜏 ln(𝐿) = ln(𝐿0 ) − 𝜏 𝐿 = 𝐿0 𝑒 −𝜏



76



Diperoleh



Misal 𝐹0 kerapatan fluks di permukaan bintang dan 𝐹(𝑟) jarak r



Subtitusi F(r) ke persamaan modulus jarak 𝑚 − 𝑀 = −2.5 log



𝑚 − 𝑀 = −5 log (



𝐹(𝑟) 10 𝑝𝑐 −𝜏 2 = −2.5 log ( 𝑒 ) 𝐹(10) 𝑟



10 10 ) − 5 log 𝑒 −𝜏 = 5 log + 5𝜏 log 𝑒 𝑟 𝑟



𝑚 − 𝑀 = −5 log (



10 10 ) − 5 log 𝑒 −𝜏 = 5 log + 𝐴 𝑟 𝑟



Untuk magnitude absolute diperoleh



. A adalah ekstingsi. 𝐴 = 5𝜏 log 𝑒 Jika opasitas konstan, maka



Sehingga



77



a satuannya mag/pc( koefiesien ekstingsi).



Ekses warna Ekses warna adalah



B adalah magnitude semu pada panjang gelombang biru. V adalah magnitude semu pada panjang gelombang visual. 𝑀𝑩 : magnitude mutlak filter biru 𝑀𝑽 : mutlak visual Atau



(𝐵 − 𝑉)0 = 𝑀𝐵 − 𝑀𝑣 adalah warna intrinsic. 𝐸𝐵−𝑉 adalah ekses warna. Secara umum



𝐴𝑉 =3 𝐸𝐵−𝑉



78



Ekstingsi akibat atmosfer Cahaya menempuh jarak



𝑋 adalah massa udara, z jarak zenith. H=1.



k adalah koefisien ekstingsi. Soal: 1. Misal ada bintang ganda. Magnitude semu masing-masing bintang adalah 1 dan 2. Tentukan magnitude totalnya! Solusi: misalkan magnitude bintang 1 𝑚1 = 1 magnitudo bintang dua 𝑚2 = 2.



𝑚1 − 𝑚2 = −2.5 log 1 𝐹1 = 102.5 𝐹2



79



𝐹1 = −1 𝐹2



Misal magnitude total bintang 𝑚𝑡 dan densitas fluks total 𝐹𝑡 = 𝐹1 + 𝐹2 . 𝐹1 ∶ densitas fluks bintang 1 dan 𝐹2 :densitas fluks bintang 2 𝑚𝑡 − 𝑚1 = −2.5 log



(𝐹1 + 𝐹2 ) 𝐹2 = −2.5 log ( 1 + ) 𝐹1 𝐹1 1



𝑚𝑡 − 1 = −2.5 log ( 1 + 10−2.5 ) 𝑚𝑡 = 0.636 2. Jarak suatu bintang 1 pc dan magnitude semunya 6. Berapa magnitude mutlaknya? Solusi: r=1 pc m= 6 𝑚 − 𝑀 = −2.5 log (



10 2 ) = −5 1



𝑀 = 𝑚 + 5 = 11



3. Didekat bidang galaksi, ekstingsi konstan sebesar 2 mag/kpc. Hitung jarak ke bintang jika magnitude semu 8 dan mutlak -2. Solusi:



𝑚 − 𝑀 = 5 log (



𝑟



10



5𝑙𝑜𝑔𝑟 + 5 log



) + 𝑎𝑟 = 8 + 2 = 10



1 + 𝑎𝑟 = 10 10



5 log 𝑟 + 0.002𝑟 = 15 𝑟 = 600 𝑝𝑐 4. Berapa tebal optis lapisan asap jika matahari terlihat seterang bulan di malam hari tanpa awan? Solusi: magnitude bulan purnama −12.74. magnitude matahari −26.74. A = −12.74 + 26.74 = 14 Jadi 𝐴 = 5𝜏 log 𝑒 𝜏=



𝐴 14 = = 12.89 5 log 𝑒 1.086



5. Total magnitude tiga bintang adalah 0. Dua bintang punya magnitude 1 dan 2. Berapa magnitude bintang ke ketiga.



80



Solusi: 𝑚2 = 2 𝑚1 = 1 𝑚2 − 𝑚1 = −2.5 log



𝐹2 =2−1=1 𝐹1



𝐹2 = 10−1/2.5 𝐹1



𝑚3 − 𝑚1 = −2.5 log



𝐹3 𝐹1



Magnitude total dan 𝑚1 0 − 1 = −2.5 log



𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 𝐹2 𝐹3 = −2.5 log (1 + + ) 𝐹1 𝐹1 𝐹1



−1 = −2.5 log (1 +



𝐹2 𝐹3 + ) 𝐹1 𝐹1



1 𝐹3 = 102.5 − 1 − 10−2.5 𝐹1



𝑚3 = 𝑚1 − 2.5 log



𝐹3 = 1 − 0.117 = 0.883 𝐹1



6. Magnitude absolut dari bintang di galaksi Andromeda ( jarak 690 kpc) adalah 5. Meledak sebagai supernova sehingga menjadi 109 kali lebih terang. Berapa magnitude semunya?



Solusi:



𝑀=5 𝑟 = 690000 𝑝𝑐



690000 ) = 29.2 𝑚 = 𝑀 + 5 log ( 10 𝐹 ′ = 109 𝐹 109 𝐹 𝑚 = 𝑚 − 2.5 log = 29.2 − 22.5 = 6.7 𝐹 ′



81



7. Magnitude V dari bintang adalah 15.1. B-V=1.6 dan magnitude absolut 𝑀𝑉 = 1.3. ekstingsi dalam arah bintang pada panjang gelombang visual adalah 𝑎𝑉 = 1 𝑚𝑎𝑔/𝑘𝑝𝑐. Berapa warna intrinsic dari bintang?



Solusi:



𝑉 = 15.1 𝐵 − 𝑉 = 1.6 𝑀𝑉 = 1.3 𝑎𝑣 = 1 𝑚𝑎𝑔/𝑘𝑝𝑐



𝑉 − 𝑀𝑉 = 5 log (



𝑟 ) + 𝑎𝑣 𝑟 = 15.1 − 1.3 = 13.8 10



5 log 𝑟 + 0.001𝑟 = 18.8 𝑟 = 2.1 𝑘𝑝𝑐 (𝐵 − 𝑉)0 = 𝑀𝐵 − 𝑀𝑣 warna intrinsic 𝐴𝑉 𝑎𝑉 𝑟 = =3 𝐸𝐵−𝑉 𝐸𝐵−𝑉 𝐸𝐵−𝑉 =



𝑎𝑉 𝑟 2100 = 0.001 × = 0.7 3 3



82



1.6 = (𝐵 − 𝑉)0 + 0.7 Jadi warna (𝐵 − 𝑉)0 = 1.6 − 0.7 = 0.9



83



Mekanisme Radiasi Radiasi Elektromagnetik



Cahaya sebagai gelombang elektromagnetik Ada dua jenis gelombang •



Gelombang transversal



•



Gelombang longitudinal



2𝜋



(1)



ℎ = ℎ0 sin (



2𝜋𝑥 ) 𝜆



(2)



𝜆𝑓 = 𝑣



(3)



ℎ = ℎ0 sin [( 𝜆 ) (𝑥 − 𝑣𝑡)]



Saat 𝑡 = 0



𝜆: panjang gelombang ℎ0 : amplitudo 𝑓: frekuensi 𝑣: kecepatan Untuk cahaya



84



(4)



𝜆𝑓 = 𝑐 = 299,792 𝑘𝑚/𝑠



Ruang di sekitar muatan listrik dikarakterisasi oleh vektor medan listrik 𝑬. Jika gelombang elektromagnetik melewati suatu muatan uji, muatan itu akan berosilasi. 2𝜋



(5)



𝑬 = 𝑬0 sin [( 𝜆 ) (𝑥 − 𝑐𝑡)]



Persamaan Maxwell mengenai gelombang elektromagnetik mengatakan bahwa medan listrik yang berubah terhadap waktu akan mengasilkan medan magnet yang juga berubah terhadap waktu dan tegak lurus medan listrik.



Fenomena gelombang: •



(A) Difraksi



•



(B) Interferensi



85



Difraksi dapat dijelaskan menggunakan prinsip Huygens. Prinsip Huygens menyatakan setiap muka gelombang dapat dianggap memproduksi wavelet atau gelombang-gelombang baru dengan panjang gelombang yang sama dengan panjang gelombang sebelumnya. Wavelet bisa diumpamakan gelombang yang ditimbulkan oleh batu yang dijatuhkan ke dalam air.



Untuk interferensi celah ganda. Intensitas cahaya 𝐼 (6)



𝐼 ∝ |𝑬|2 Dari persamaan (5)



(7)



𝐸 = 𝐸0 [sin 𝑎 + sin(𝑎 + 𝑏)] Sehingga intensitasnya



(8)



𝐼 ∝ 𝐸02 [sin2 𝑎 + sin2 (𝑎 + 𝑏) + 2 sin 𝑎 sin(𝑎 + 𝑏)]



Efek Doppler 1



sumber E dengan panjgan gelombang 𝜆0 dan frekuensi 𝑓0. Waktu 𝑡 = 𝑓 , satu panjang 0



gelombang 𝜆0 muncul dari sumber



86



Panjang gelombang yang dilihat oleh pengamat O 𝜆 = (𝑐 + 𝑣)𝑡 =



𝑣 𝑐



𝑐[1+ ]



(9)



= 𝜆0 [1 + 𝑣/𝑐]



𝑓0



Frekuensi yang diterima pengamat ) 𝑐



(10)



𝑓 = 𝜆 = 𝑓0 /[1 + 𝑣/𝑐] Dari persamaan (9) Δ𝜆 𝜆0



=



𝜆−𝜆0 𝜆0



𝑣



(11)



=𝑐



Ketika v mendekati c kita gunakan teori relativitas khusus sehingga 𝑣 𝑐



𝑣 𝑐



1/2



(12)



𝜆 = 𝜆0 [(1 + ) (1 − )]



Cahaya sebagai partikel: Foton Efek fotolistrik, hamburan Compton, radiasi benda hitam. Energi foton: (13)



𝐸 = ℎ𝑓 ℎ = 6,6 × 10−34 𝐽𝑠



Atom Bohr Orbit elektron terkuantisasi. Kesetimbangan: (14) Postulat Bohr (15) sehinga



(16)



87



Energy total atom



(17) atau (18) Radiasi terkuantisasi emisi (19)



𝐸(𝑛𝑎 ) = 𝐸(𝑛𝑏 ) + ℎ𝑓 Absorpsi



(20)



𝐸(𝑛𝑏 ) + ℎ𝑓 = 𝐸(𝑛𝑎 ) Frekuensi foton yang bekerja 𝑓𝑎𝑏 =



[𝐸(𝑛𝑎 )−𝐸(𝑛𝑏 )] ℎ



2𝜋2 𝑚𝑒 4 𝑘 2 1 1 ) 𝑍 2 [(𝑛 ) − (𝑛 )] ℎ3 𝑏 𝑎



(21)



=(



Model Bohr dari atom Hidrogen (22) Dimana 𝑅 ′ = 2.18 × 10−18 𝐽



88



Dari persamaan (21) diperoleh selisih panjang gelombangnya



Dimana 𝑅 = 𝑅 ′ /𝑐ℎ.



Diagram level energy hydrogen model Bohr



89



Perbedaan energi dua tingkat m dan n



Proses absorbsi radiasi



90



Radiasi Benda hitam Benda hitam adalah objek yang menyerap seluruh radiasi elektromagnetik yang jatuh kepadanya. Tidak ada radiasi yang dapat keluar atau dipantulkannya.



Berdasarkan hukum Planck intensitas beda hitam pada frekuensi 𝑣 dan temperature T adalah



dimana



91



Intensitas Total



atau



Densitas Fluks untuk radiasi isotropik



atau



Ini adalah hokum Stefan-Boltzmann, 𝜎 adalah konstanta Stefan-Boltzmann



Jika radius dari bintang R maka



Asumsi bintang adalah benda hitam



92



Berikut ini adalah distribusi intensitas benda hitam



Dari gambar diperoleh hukum pergeseran Wien



dimana



Soal latihan: 1.



2.



3.



93



4. Ruang angkasa dipenuhi dengan radiasi latarbelakang, sisa-sisa usia awal alam semesta. Saat ini distribusi radiasi ini mirip dengan radiasi benda hitam pada suhu 2,7 K. Berapa λmax yang berhubungan dengan radiasi ini? Berapa intensitas totalnya? Bandingkan intensitas radiasi latar belakang dengan intensitas Matahari di panjang gelombang visual. 5. The temperature of a red giant is T = 2500 K and radius 100 times the solar radius. a) Find the total luminosity of the star, and the luminosity in the visual band 400 nm ≤ λ ≤ 700 nm. b) Compare the star with a 100 W lamp that radiates 5% of its energy in the visual band. What is the distance of the lamp if it looks as bright as the star? 6. The effective temperature of Sirius is 10,000 K, apparent visual magnitude −1.5, distance 2.67 kpc and bolometric correction 0.5. What is the radius of Sirius? 7. The observed flux density of the Sun at λ = 300 nm is 0.59 W m−2 nm−1. Find the brightness temperature of the Sun at this wavelength. 8. At what wavelengths will the following spectral lines be observed: (i)



a line emitted at 500 nm by a star moving toward us at 100 km/s



(ii)



the Ca II line (undisplaced wavelength of 397.0 nm) emitted by a galaxy receding at 60,000 km/s



9. A cloud of neutral hydrogen (H I) emits the 21-cm radio line (at rest frequency 1420.4 MHz) while moving away at 200 km/s. At what frequency will we observe this line? 10. What is the energy of one photon of wavelength A = 300 nm? Express your answer both in joules and in electron volts 11. An atom in the second excited state (n = 3) of hydrogen is just barely ionized when a photon strikes the atom. What is the wavelength of the photon if all its energy is transferred to the atom? 12. The emission line of He II at 468.6 nm corresponds to what electronic transition? 13.



𝐿 = 4𝜋(4𝑅𝑠𝑢𝑛 )2𝜎𝑇 4 = 4𝜋(4 × 7 × 108 )2 (5,6 × 10−8 )(2500)4 =



𝑚𝑏𝑜𝑙 = 𝑚𝑣 − 𝐵𝐶



94



Spektrum Bintang Spektrum Dispersi:



95



Rasiasi Elektromagnetik:



Hukum Kirchoff: 1. Apabila suatu benda, cair atau gas, bertekanan tinggi dipijarkan, benda tersebut akan memancarkan energi dengan spektrum pada semua panjang gelombang. Spektrum ini disebut Spektrum Kontinu. 2. Gas bertekanan rendah jika dipijarkan akan memancarkan energi hanya pada warna atau panjang gelombang tertentu saja. Spektrum yang diperoleh berupa garis-garis terang yang disebut garis emisi. Letak setiap garis tersebut (panjang gelombangnya) merupakan ciri khas gas yang memancarkannya, Unsur yang berbeda memancarkan garis yang berlainan juga. Spektrum ini disebut Spektrum Emisi. 3. Bila seberkas cahaya putih dengan spektrum kontinu dilewatkan melalui gas yang dingin dan bertekanan rendah, gas tersebut akan menyerap cahaya tadi pada warna atau panjang gelombang tertentu. Akibatnya, akan diperoleh spektrum kontinu yang berasal dari cahaya putih yang dilewatkan itu diselingi garis-garis gelap yang disebut garis serapan atau garis adsorbsi. Spektrum ini disebut Spektrum Adsorbsi. Letak garis ini sama dengan letak garis emisi yang dipancarkan gas dingin itu andaikan gas tadi dipijarkan.



96



Transisi elektron:



97



Panjang gelombang yang bersesuaian dengan transisi elektron:



Bilangan kuantum: •



Bilangan kuantum utama 𝑛



•



Bilangan kuantum momentum sudut 𝑙



•



Bilangan kuantum magnetik 𝑚



•



Bilangan kuantum spin 𝑠



98



Konfigurasi bilangan kuantum untuk 𝑛 = 3:



Aturan transisi elektron: Selection Rule •



Bilangan kuantum 𝑙 harus berubah sebesar 1 atau -1



•



Bilangan kuantum spin 𝑠 tidak berubah.



Susunan transisi Hidrogen:



99



Klasifikasi Bintang: •



Klasifikasi Harvard



: O, B, A, F, G, K, M



•



Klasifikasi Yerkes



: Ia, Ib, II, III, IV, V



Profil Garis:



100



Pelebaran Garis Spektrum:



1. Pelebaran Alami: Ketidakpastian Heisenberg 2. Pelebaran Doppler:



101



3. Pelebaran tumbukan:



4. Efek Zeeman: efek Zeeman pada atom hydrogen



102



5. Rotasi Bintang: efek Doppler 6. Pengembangan selubung bintang 7. Turbulensi atmosfer bintang



Bintang berspektrum khusus 1. Bintang Wolf-Rayet 2. Bintang Be atau bintang selubung(shell) 3. Bintang P Cygni



Diagram Hertzsprung-Russell



Hubungan massa Luminositas



103



104



Bintang Ganda dan Massa Bintang Bintang ganda Visual Bintang Ganda yang komponennya cukup jauh untuk dilihat/dipisahkan dengan teleskop optik.



Defenisi pusat massa:



Sumbu semimayor dari orbit relatif adalah



Bintang Ganda Astrometri Hanya bintang yang paling terang yang bisa diamati gerakkannya di sektar pusat massa. Contohnya bintang Sirius.



Bintang ganda Spektroskopi Bintang ganda yang diketahui dari pergeseran spektrumnya. Kecepatan teramati dari bintang ganda ini 𝑣 dalam kecepatan sebenarnya 𝑣0



Dimana 𝑖 adalah inklinasi orbit. Tinjau bintang ganda orbit lingkaran dimana



105



Kecepatan orbit yang sebenarnya. 𝑣0,1 =



2𝜋𝑎1 𝑃



P adalah periode orbit. Kecepatan obit yang diamati adalah



Diperoleh



Gunakan hukum Kepler kita peroleh persamaan fungsi massa;



Bintang ganda Fotometri Bintang ganda ini dilihat dari perubahan kecerlangannya secara periodic diakibatkan gerak komponennya. Biasanya bintang ganda ini berupa bintang ganda gerhana. Contohnya bintang ganda Algol



106



Contoh: 1. Jarak ke suatu system bintang ganda adalah 10 pc. Separasi terbesar bintang ganda 7’’ dan terkecil 1’’. Periode orbit 100 tahun. Kita akan tentukan massa masing masing komponen bintang ganda. Asumsi bidang orbit normal terhadap arah pandang artinya inklinasi bidang orbit 90 derajat.



Dari separasi sudut sumbu semi mayornya adalah 𝑎 = 4′′ × 10 𝑝𝑐 = 40 𝐴𝑈 Berdasarkan hukum Kepler ketiga



Misalkan sumbu semimayor dari satu komponen 𝑎1 = 3′′ dan komponen yang lainnya 𝑎2 = 1′′. Massa masing-masing komponen bisa ditentukan 𝑚1 =



𝑎2 𝑚2 𝑚2 = 𝑎1 3



𝑚1 + 𝑚2 = 6,4 𝑚1 = 1,6 𝑚2 = 4,8 2. Misalkan garis pandang terletak di orbital bidang biner tipe Algol, di mana kedua komponen tersebut memiliki radius yang sama. Kurva cahaya pada dasarnya adalah sebagai ditunjukkan pada gambar. Minimum primer terjadi saat komponen yang lebih cerah gerhana. Kita akan hitung perubahan magnitudo terbesar(primer)



Jika temperature efektif bintang adalah 𝑇𝐴 dan 𝑇𝐵 dan radius 𝑅𝐴 dan 𝑅𝐵 Luminositas nya adalah



107



Total daya



Perubahan magnitudo bintang A terhadap magnitude total



Misalkan temperatur efektif 𝑇𝐴 = 5000 𝐾 dan 𝑇𝐵 = 12000 𝐾. Maka



108



Galaksi dan gugus galaksi



Galaksi Bimasakti Property galaksi Bimasakti



Pupulasi bintang di Galaksi Bimasakti: •



Pupulasi I: 𝑍 ≥ 0.01 ada di gugus terbuka. Bintang muda



•



Populasi II: sedikit unsur yang lebih berat dari He (𝑍 ≤ 0,001), ada di gugus bola. Bintang tua



109



Asumsikan gerakan Matahari mengelilingi pusat galaksi bermassa 𝑀𝐺 berupa orbit lingkarang. Karena perceptan sentripetal menjaga orbit lingkaran ini yang diakibatkan oleh gravitasi antara 𝑀𝐺 dan matahari 𝑀⊙



Kecepatan gerak orbit Matahari 𝑣⊙ = 220 𝑘𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 . Jarak matahari dari pusat galaksi 8,5kpc. Diperoleh massa galaksi di dalam orbit matahari: 𝑀𝐺 = 1011 𝑀⊙



Rotasi Galaksi Komponen kecepatan bintang •



Kecepatan radial 𝑣𝑟 :



•



Gerak diri/proper 𝜇: kecepatan bintang di bidang langit, biasanya dinyatakan dalam ‘’/tahun



•



Kecepatan tangensial 𝑣𝑡 :



Jarak d dalam parsec dan paralakas 𝜋′′ dalam detik busur. •



Kecepatan ruang



110



Local standar rest Acuan gerak bintang dalam galaksi relative terhadap matahari.



Geometri rotasi Galaksi:



Bintang di sekitar matahari dengan orbit lingkaran akan akan terlihat diam terhadap LSR. Gerak Keplerian : 111



𝑣 ∝ 𝑅 −1/2 Gerak rotasi benda-tegar: 𝑣∝𝑅 Kecepatan radial bintang terhadap LSR:



Dimana



Sehingga



Kecepatan tangensial:



Dimana



Sehingga



Defenisikan



Kita peroleh keceptan radial untuk 𝑅0 − 𝑅 ≈ 𝑑 cos 𝑙 112



Kecepatan tangensial untuk 𝑅0 − 𝑅 ≈ 𝑑 cos 𝑙



Dimana kosntanta Oort B diberikan oleh . Diperoleh kecepatan radial fungsi dari bujur galaksi



113



Kurva rotasi Galaksi Bimasakti



Indikasi ada massa tambahan atau disebut materi gelap



Galaksi selain Bimasakti



114



Hukum Hubble



‘’umur ‘’ alam semesta:



Galaksi aktif dan qusars •



Active Galactic Nuclei (AGN)



•



Galaksi Radio: quasars



115