Nilai Sentral [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



I.1 Latar Belakang Pada dasarnya statistik adalah suatu kerangka teori-teori dan metodemetode yang telah dikembangkan untuk melakukan pengumpulan, analisis, dan pelukisan



data



sampel



guna



memperoleh



kesimpulan-kesimpulan



yang



bermanfaat. Adapun satatistika mempelajari tentang cara-cara mengumpulkan, menggolongkan, menganalisis, dan mencari keterangan yang berhubungan dengan pengumpulan data yang penyelidikan dan kesimpulannya berdasarkan bukti-bukti yang berupa angka-angka. Secara umum kedudukan statistika memiliki beberapa manfaat, antara lain: `



Menyajikan data secara ringkas dan jelas, sehingga lebih mudah dimengerti oleh para pengguna, menunjukkan trend atau tendensi perkembangan suatu masalah, serta melakukan penarikan kesimpulan secara ilmiah.



I.2 Maksud dan Tujuan Ilmu statistika memiliki beberapa maksud dan tujuan yaitu: 1. Mengetahui cara penghitungan nilai sentral Data Dikelompokkan. 2. Memberikan suatu informasi dalam pengolahan data. 3. Membantu mempermudah penyajian data. 4. Memacu mahasiswa untuk dapat memahami pengumpulan, pengolahan serta penganalisaan data, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan.



BAB II TINJAUAN PUSTAKA



II.1 (Nilai sentral) Ukuran gejala pusat dapat disebut juga dengan nilai sentral atau nilai tendensi pusat. Nilai sentral adalah nilai dalam suatu rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Ada beberapa syarat agar suatu nilai dapat dikatakan sebagai nilai sentral, yaitu: 1.



Nilai sentral harus dapat mewakili rangkaian data.



2.



Perhitungannya harus didasarkan pada seluruh data.



3.



Perhitungannya harus mudah



4.



Dalam suatu rangkaian data hanya ada 1 nilai sentral.



II.2 Macam-Macam (Nilai sentral) Ukuran pemusatan data yang termasuk ke dalam analisis statistika deskriptif adalah rata-rata hitung (mean), median, modus, dan fraktil (kuartil, desil, persentil). Berikut ini adalah macam-macam ukuran gejala pusat data yang sudah di kelompokkan, yaitu: a. Rata-rata (Mean) Untuk keperluan ini, dalam perhitungan ukuran-ukuran statistik akan digunakan simbol-simbol. Nilai-nilai data kuantitatif



akan dinyatakan



dengan x1, x2, …, xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbol n juga digunakan untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyaknya objek atau data yang diteliti dalam sampel.



Rata-rata untuk



data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah



sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyaknya data, sedangkan untuk data berkelompok



rumus rata-ratanya adalah



jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai data dibagi jumlah frekuensi dimana menyatakan frekuensi untuk nilai yang bersesuaian. Contoh: Data tunggal Contoh menghitung rata- rata data tunggal : Diketahui data : 3, 4, 5, 2, 6, 7, 4, 6, 3, 5. hitung nilai rata – ratanya! Jawab : Mean = ∑Xi N = 3 + 4 + 5 + 2 + 6 + 7 + 4 + 6 + 3+ 5 9 = 45 9 = 5 Data berkelompok Mean = ∑(fi.mi) ∑fi Ket : f = Frekuensi data m = Nilai tengah



Contoh menghitung rata - rata data kelompok :



Nilai



f



m



1 -5



3



3



6 -10



7



8



11 – 15



4



13



16 – 20



3



18



21 – 25



7



23



26 – 30



9



28



31 – 35



6



33



36 – 40



7



38



41 – 45



8



43



46 - 50



6



48



60



Jawab : Mean = ∑(fi.mi) ∑fi = {(3.3)+(7.8)+(4.13)+(3.18)+(7.23)+(9.28)+(6.33)+(7.38)+(8.43)+(6.48)} 60 ={9+56+52+54+161+252+198+266+344+288} 60 = 1680 60 = 28



b. Nilai Tengah (Median) Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya. Kalau nilai median sama dengan Me, maka 50% dari data hargaharga yang paling tinggi sama dengan Me dan sedangkan 50% lagi harga-harga paling rendah sama dengan Me.



Jika banyak data ganjil maka median setelah data disusun menurut nilainya merupakan data paling tengah. Med = (N+1)/2 Ket : N = Jumlah data Contoh menghitung median data tunggal : Diketahui data :2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7. hitung median data tersebut! Med



= 10+1 / 2 = 5,5



Data ke-5,5 berada diantara angka 4 dan 5 maka …. Med



=4 + 5 2 = 4,5



Median Data Kelompok Med = Lm + ( N/2 - ∑f ) . C fm Ket : Lm



= tepi bawah kelas median



N



= Jumlah Frekuensi



∑f



= Frekuensi kumulatif diatas kelas median



fm



= Frekuensi kelas median



c



= interval kelas median



Contoh menghitung Median data kelompok : Nilai



fm



F



1 -5



3



3



6 -10



7



10



11 – 15



4



14



16 – 20



3



17



21 – 25



7



24



26 – 30



9



33



31 – 35



6



39



36 – 40



7



46



41 – 45



8



54



46 - 50



6



60



60



Kelas median Jawab : kelas median =1/2.n = ½ x 60 = 30 Berada pada kelas 26 - 30 Lm = 26 - 0,5 = 25,5 N



= 60



∑f = 24



C



=5



fm = 9



Med



= Lm + ( N/2 - ∑f ) . C fm = 25,5 + (60/2 – 24) . 5 9 = 25,5 + (30 – 24) . 5 9 = 25,5 + 0,67 . 5 = 25,5 +3,35 = 28,85



c. Modus Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau banyak terdapat digunakan ukuran modus atau disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif.Misalnya banyak kematian di Indonesia disebakan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalulintas karena kecerobohan pengemudi, maka tidak lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas. Modus untuk data kualitatif ditentukan dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak di antara data tersebut. Untuk data kualitatif yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi (data berkelompok). Contoh modus data tunggal Berapakah modus dari data berikut : 1,2,2,4 ,4 ,4,5 ,6 ,7,8 ,9 . Jawab Modus = 4 , karena angka 4 muncul paling banyak yaitu 3 kali Modus data kelompok Mod = Lmo +



d1



.c



d1 + d2 Ket : Lmo



= Tepi bawah kelas modus



d1



= Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus



d2



= Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus



c



= Interval kelas modus



Contoh menghitung Modus data kelompok : Nilai



fm



F



1 -5



3



3



6 -10



7



10



11 – 15



4



14



16 – 20



3



17



21 – 25



7



24



26 – 30



9



33



31 – 35



6



39



36 – 40



7



46



41 – 45



8



54



46 - 50



6



60



60



Kelas modus Jawab : Kelas modus 26 – 30 (karena memiliki frekuensi terbanyak = 9) Lmo = 26 – 0,5 = 25,5 d1



=9–7=2



d2



= 9–6=3



c



=5



Mod



= Lmo +



d1



.c



d1 + d2 = 25,5 +



2 2 + 3



= 25,5 + 0,4 . 5 = 25,5 + 2 = 27,5



. 5



Modus dibandingkan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya.Yang berarti sekumpulan data biasanya mempunyai lebih dari sebuah modus. II.3 Kekurangan dan Kelebihan Mean, Median, Modus. Dari tiga ukuran tendensi sentral yang telah dijelaskan masing-masing memiliki keuntungan dan kelebihan antara lain: 1. Mean  Kelebihan 1. Mean mempertimbangkan semua nilai. 2. Dapat menggambarkan mean populasi. 3. Variasinya sangat stabil. 4. Cocok untuk data homogen. 5. Digunakan bila dalam sekelompok data terdapat kenaikan data yang merata.  Kekurangan 1. Peka atau mudah terpengaruh dengan nilai ekstrim. 2. Kurang baik untuk



data heterogen.



2. Median  Kelebihan 1. Tidak peka atau tidak terpengaruh pada nilai ekstrim. 2. Cocok untuk data heterogen. 3. Median digunakan bila terdapat data yang ekstrim dalam sekelompok data  Kekurangan 1. Tidak mempertimbangkan semua nilai. 2. Kurang dapat menggambarkan mean populasi. 3. Modus  Kelebihan 1. Tidak peka atau tidak terpengaruh pada nilai ekstrim. 2. Cocok untuk data homogen maupun heterogen.  Kekurangan 1. Kurang menggambarkan mean populasi. 2. Modus bisa lebih dari satu, atau tidak ada satu pun.



3. Digunakan modus, bila peneliti ingin cepat memberikan penjelasan terhadap sekelompok data, dengan hanya mempunyai data yang popular pada kelompok tersebut namun teknik perhitungan ukuran ini kurang memiliki ketelitian. Jadi mean, modus dan median dihitung semuanya dan disajikan agar pembaca memberikan interpretasi sendiri dan membuat kesimpulan sendiri, mana yang dianggap paling mewakili kelompok yang dijelaskan. II.4 Kuartil (Kuartiles) Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil, yakni kuatil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat dengan K1, K2, dan K3. Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartilnya adalah: a. Susun data menurut urutan nilainya. b. Tentukan letak kuatil. c. Tentukan nilai kuatil. Letak kuartil ke i, diberi lambing Ki, ditentukan oleh rumus: dengani = 1, 2, 3. Contoh Kuartil data tunggal : Sampel dengan data 3,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,8,9. Q1



=1(13+1) 4 = 1.14 4 = 14 : 4 = 3,5



Data ke-3.5 berada antara angka 4 dan 5 sehingga



4+5 = 4.5 2 Q2



= 2(13+1) 4 = 2 (14) 4 =7



Data ke-7 adalah 6 Q3



= 3(13+1) 4 = 3(14) 4 = 10.5



Data ke-10.5 berada diantara angka 7 dan 7 jadi : 7+7 = 7 2 Kuartil Data Berkelompok Qi = Tb + p { ( i/4.n )-F } f i/4.n = letak Qi Tb = Tepi bawah interval kelas Qi ( Tb = batas bawah - 0,5) p



= Panjang kelas interval



n



= Banyak data



F



= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi



f



= Frekuensi pada kelas Qi



Contoh Kuartil Data berkelompok : Hitunglah kuartil Dari data pada tabel dibawah ini ! Tabel



Nilai



Praktikum



Komputer Mahasiswa Teknik Komputer Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Letak Q1 = ¼. n = ¼.160 = 40 Data ke-40 berada pada kelas 61-65 (Tb = 61 – 0,5 = 60,5)



Jadi :



Q1 = Tb + p { (1/4.n –F)} f = 60,5+ 5 { (1/4.160 – 24 )} 24 = 60,5 + 5 {0,67} = 60,5 + 3,35 = 63,85 Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Letak Q2 = 2/4 . n = 2/4 .160 = 80 Data ke-80 berada pada kelas 66-70 (Tb = 66 – 0,5 = 65,5)



Jadi :



Q2 = Tb + p { (2/4.n –F)} f = 65,5+ 5 { (2/4.160 – 48 )} 56 = 65,5 + 5 {0,57} = 65,5 + 2,85 = 68,35 Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Letak Q3 = 3/4 . n = 3/4.160 = 120 Data ke-120 berada pada kelas 71-75 (Tb = 71 – 0,5 = 70,5)



Jadi : Q3 = Tb + p { (3/4.n –F)} f = 70,5+ 5 { (3/4.160 – 104 )} 19 = 70,5 + 5 {0,84} = 70,5 + 4,2 = 74,7 II.5 Desil (Decil) Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil. Karenanya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil kedua, …, desil kesembilan, yang disingkat D1, D2, …, D9. Desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan: a.



Susun data menurut urutan nilainya.



b.



Tentukan letak desil.



c.



Tentukan nilai desil. Letak desil ke i, diberi lambing Di, ditentukan oleh rumus:



Contoh Desil data tunggal: Tentukan D1, D3 dan D7 dari data : 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 (n=14)! Jawab : Di = i ( n + 1 ) 10



D1 = 1(14+1) 10 = 15 10 = 1,5 Data ke 1,5 berada diantara angka 3 dan 4 jadi : 3+4 = 3,5 2 D3 = 3(14+1) 10 = 45 10 = 4,5 Data ke 4,5 berada diantara angka 5 dan 5 jadi : 5+5 = 5 2



D7 = 7(14+1) 10 = 105 10 = 10,5



Untuk data berkelompok yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, desil ke i Di (i = 1, 2, …, 9) dihitung dengan rumus: dengan i = 1, 2, …, 9. b = batas bawah kelas Di , ialah kelas interval dimana Di akan terletak. p = panjang kelas Di. F = jumlah frekuenasi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di. f = frekuensi kelas Di.Contoh Desil pada data berkelompok : Hitunglah D5 dan D9 dari data pada tabel berikut ini : Tabel



Nilai



Praktikum



Komputer



Mahasiswa Teknik Komputer Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Jawab : Di = Tb + p { ( i/10.n )-F } f



Letak D5 = 5/10 . n = 5/10.160 = 80 Data ke-80 berada pada kelas 66-70 (Tb = 66 – 0,5 = 65,5) Jadi : D5 = Tb + p { (5/10.n –F)} f = 65,5+ 5 { (5/10.160 – 48 )} 56 = 65,5 + 5 {0,57} = 65,5 + 2,85 = 68,35 Tabel



Nilai



Praktikum



Komputer



Mahasiswa BSI Jakarta Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160 Letak D9 = 9/10 . n = 9/10.160 = 144



Data ke-144 berada pada kelas 81-85 (Tb = 81 – 0,5 = 80,5) Jadi : D9 = Tb + p { (9/10.n –F)} f = 80,5+ 5 { (9/10.160 – 139 )} 10 = 80,5 + 5 {0,5} = 80,5 + 2,5 = 83



II.6 Persentil (Percentiles) Sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama, akan menghasilkan 99 pembagi berturut-turut yang dinamakan persentil pertama, persentil kedua, …, persentil ke-99. Simbol yang digunakan berturut-turut P1, P2, …, P99. Persentil ini dapat ditentukan dengan jalan: a.



Susun data menurut urutan nilainya.



b.



Tentukan letak desil.



c.



Tentukan nilai desil. Letak desil ke i, diberi lambing Pi, ditentukan oleh rumus: dengani = 1, 2, …, 99. Untuk data berkelompok yang telah disusun dalam tabel distribusi



frekuensi, persentil ke i Pi (i = 1, 2, …, 99) dihitung dengan rumus: dengan i = 1, 2, …, 99. b = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi akan terletak. p = panjang kelas Pi. F = jumlah frekuenasi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi. f = frekuensi kelas Pi.



Berdasarkan rumus persentil untuk data berkelompok di atas dapat menurunkan rumus data berkelompok kuartil dengan i = 25, 50, 75 dan berkelompok desil dengan i = 10, 20, …, 90. Contoh Persentil Data Tunggal : Diketahui data sebagai berikut : 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9(n=14). hitung P90! Jawab : Pi = i ( n + 1 ) 100



P90 = 90 (14+1) 100 = 1350 100 = 13,5 Data ke 13,5 berada diantara angka 8dan 9 jadi : 8+9 = 8,5 2



Persentil Data Kelompok Contoh Persentil Pada Data Berkelompok : Hitung P10 dan P90 dari data di bawah ini ! Tabel



Nilai



Praktikum



Komputer Mahasiswa Teknik Komputer Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Jawab : Pi = Tb + p { ( i/100.n )-F } f Letak P10 = 10/100 . n = 10/100.160 = 16



Data ke-16 berada pada kelas 56-60



(Tb = 56 – 0,5 = 55,5) Jadi : P10 = Tb + p { (10/100.n –F)} f = 55,5+ 5 { (10/100.160 – 4 )} 20 = 55,5 + 5 {0,6} = 55,5 + 3 = 58,5



Tabel



Nilai



Komputer



Praktikum



Mahasiswa



Teknik



Komputer Nilai



f



F



51 – 55



4



4



56 – 60



20



24



61 – 65



24



48



66 – 70



56



104



71 – 75



19



123



76 – 80



16



139



81 – 85



10



149



86 – 90



7



156



91 – 95



3



159



96 – 100



1



160



160



Letak P90 = 90/100 . n = 90/100.160 = 144



Data ke-144 berada pada kelas 81-85 (Tb = 81 – 0,5 = 80,5) Jadi : P10 = Tb + p { (90/100.n –F)} f =80,5+ 5 { (90/100.160 – 139 )} 10 = 80,5 + 5 {0,5} = 80,5 +2,5= 83



Catatan: Kelemahan menggunakan rumus persentil, desil, dan kuartil untuk data berkelompok dalam kelas interval menyebabkan hilangnya sejumlah informasi, antara lain terjadi perbedaan harga-harga statistik yang dihitung dari data asli dan dari data yang telah dikelompokkan menggunakan wakil berupa tanda kelas. Oleh karena itu perhitungan statistik apalagi ukuran sampel atau banyaknya data hanya sedikit, lebih baik dilakukan dengan menggunakan data asli



BAB III PENUTUP III.1 Kesimpulan 



Mean (rata-rata) adalah jumlah keseluruhan angka dibagi dengan banyaknya angka.







Median adalah suatu nulai yang membagi distribusi data kedalam dua bagian yang sama besar, atau suatu nilai yang membagi 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat diatas sama dengan frekuensi yang terdapat dibawahnya. Bila nilai-nilai tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Median dari sejumlah skor tergantung pada frekuensinya bukan pada variasi nilai-nilainya.







Modus atau mode adalah nilai dari sekelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi dan nilai yang paling banyak terjadi (muncul) dalam suatu kelompok nilai. Modus digunakan apabila ingin memperoleh rata-rata dalam waktu singkat dan meniadakan faktor ketelitian. Modus tidak dapat digunakan sebagai gambaran mengenai data.







Kuartil adalah ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi empat bagian yang sama.







Desil adalah ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 10 bagian yang sama.







Persentil adalah ukuran yang membagi sekelompok nilai menjadi 100 bagian yang sama.



III.2 Saran Sebaiknya nilai sentral harus mempertimbangkan semua gugus data, tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim,harus stabil dari sampel ke sampel serta harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.



DAFTAR PUSTAKA



Hartono.2004. Statistik untuk Penelitian. Pustaka Pelajar Offset Pekanbaru.



Sudjana. 1991. In Statistika. Tarsito. Bandung.



Supranto,J.2008. Statistik Teori dan Aplikasi. Erlangga. Jakarta.