Norm of Vector [PDF]

Citation preview

NORM OF VECTOR ( PANJANG DARI VECTOR ) Dalam teks ini kita akan menunjukkan panjang vektor v dengan symbol ||v||, yang dibaca sebagai norma v, panjang v, atau besarnya v (istilah "norma" secara umum sinonim matematika untuk panjang). Panjang sebuah vector v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan ‖v‖. Jelaslah dari teorema phytagoras bahwa norma vector v = ( v1,v2 ) di ruang-2. Dengan menggunakan gambar 3.2.1a, maka kita didapatkan



‖v‖= √ v 21 + v 22



(1)



Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vector ruang-3. Dengan menggunakan gambar 3.2.1b dan dua penerapan phytagoras, maka didapatkan



‖v‖2 = (OR)2 + (RP)2 = (OQ)2 + (QR)2 + (RP)2 = v12 + v22 + v32 dan karenanya v = √ v 21 +v 22+v 23 Berdasarkan pola Rumus (1) dan (2), kami membuat definisi berikut.



DEFINISI 1 Jika v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor dalam ruang-n, maka norma v (juga disebut panjang v atau besarnya v) dilambangkan dengan ‖v‖, dan ditentukan oleh rumus



‖v‖= √ v 21 + v 22+…+v 2n



(2)



Berdasarkan dari Rumus (2) bahwa norma dari vektor v = (−3, 2, 1) di ruang-3 adalah ‖v‖= √ (−3)2 +22 +12 = √ 14 Berdasarkan dari Rumus (3) bahwa norma vektor v = (2, −1, 3, −5) dalam ruang-4 adalah : ‖v‖= √ 22+(−1)2+ 32+(−5)2 = √ 59 Berikut fakta yang umum diketahui dari vector ruang-2 dan ruang-3 : • Jaraknya tidak negatif. • Vektor nol adalah satu-satunya vektor dengan panjang nol. • Mengalikan vektor dengan skalar akan mengalikan panjangnya dengan nilai absolutnya skalar. Penting hasil ini Cuma ada di vector ruang-2 dan ruang-3 tidak menjamin bahwa cara yang dipakai di ruang-n ketepatannya dalam ruang-n harus dibuktikan menggunakan aljabar properti n-tupel.



THEOREM 3.2.1 Jika v adalah vektor dalam ruang-n, dan jika k adalah skalar, maka: (a) ‖v‖≥ 0 (b) ‖v‖= 0 jika dan hanya jika v = 0 (c) ‖v‖= |k|‖v‖



Kami akan membuktikan bagian (c) Bukti (c) Jika v = (v1, v2, ..., vn), maka kv = (kv1, kv2, ..., kvn), jadi ‖kv‖ = √ (kv 1)2 +( kv 2)2 +…+(kv n )2 = √ (k 2)(v 21+ v 22 +…+ v 2n) = |k| √ v 21 + v12+ v 22+ …+ v2n = |k|‖v‖



UNIT VECTORS ( Vektors satuan ) Vektor norma 1 disebut vektor satuan. Vektor semacam itu berguna untuk menentukan sebuah arah saat panjang tidak relevan dengan masalah yang dihadapi. Anda dapat memperoleh vektor satuan dalam arah yang diinginkan dengan memilih sembarang vektor v tidak nol di arah itu dan mengalikan v dengan kebalikan dari panjangnya. 1 Misalnya, jika v adalah vektor dengan panjang 2 dalam ruang-n atau ruang-3,lalu v 2 adalah vektor satuan dalam arah yang sama dengan v. Lebih umum, jika v adalah bukan nol vektor dalam ruang-n, lalu u=



1 v ¿|v|∨¿ ¿



(4)



mendefinisikan vektor satuan yang searah dengan v. Kita dapat mengonfirmasi bahwa (4) adalah vektor satuan dengan menerapkan bagian (c) Teorema 3.2.1 dengan k = 1 /||v|| untuk memperoleh



||u|| = ||kv|| = |k | ||v|| = k ||v|| =



1 ||v|| = 1 ¿|v|∨¿ ¿



Proses mengalikan vektor bukan nol dengan kebalikan dari panjangnya untuk mendapatkan satuan vektor disebut normalisasi v.



CONTOH 2 Normalisasi Vektor Temukan vektor satuan u yang memiliki arah yang sama dengan v = (2, 2, −1).



Solusi Vektor memiliki panjang ||v|| = √ 22+ 22+(−1)2 = 3 Jadi, dari rumus (4) u=



1 2 2 1 (2,2,-1) = ( , ,− ¿ 3 3 3 3



Sebagai tanda centang, Anda mungkin ingin mengonfirmasi hal itu ||u|| = 1.Artinya nilainya tidak akan min.