![otomatik kontrol sistemleri [7th ed.]
9758431649 [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/otomatik-kontrol-sistemleri-7thnbsped-9758431649.jpg)
124 59 60 MB
Turkish Pages 960 Year 2016
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla...
ontrol Sistemleri YE Di NCi BASKI
Benjamin C~ Kuo
A Emekli Profesor Elektrik ve Bifgisayar Muhendisligi Boliurti) Illinois Universitesi, Urbana-Champaign
Ttlrkcelestiren ve Uyarlayan: Prof. Dr. Atilla BiR lstsnbu! Teknik Universites! Elektrik - Elektronik Fako/tesi
Literatiir Yayinlaru 35
OTOMATiK KONTROL SiSTEMLERi Birlnci Basnn : Kasim 1999, Istanbul Ikincl Basnn : ~ubat 2002, Istanbul U~iincii Basnn : Eyltil 2005, Istanbul Uyarlayan ve Tiirk1rele~tiren : Prof. Dr. Atilla BiR iTO - Elektrik Elektronik Fakultesi Kontrol ve Kumanda Sisternleri Anabilim Dall
80626 Maslak - iSTANB UL E-posta: [email protected]. Dizayn : Literatur Yaymcihk Dizgi : Literatur Yaymcihk l}ekillerin bilgisayarda taranmasi : Literatur Y aymcihk Kapak : Literatur Yaymcihk Baskt : Cevik Matbaacihk Cilt : Savas Ciltevi
KARTON KAPAKISBN: 975-7860-94-8 CiLTLi KAPAK ISBN: 975-8431-17-X EKONOMiK BASK.IISBN: 975-8431-64-1 •
,,
© Copyright 1995 by Prentice-Hall, Inc. A Simon & Schuster Company Englewood Cliffs, New Jersey 07632 All rights reserved. No part of this book may be reproduced, . in any form cir by any means, without permission in writing from the publisher.
© Copyright 1999, Literatur: Yaymcihk Bu kit~bm yaym haklan Literatur Yayincthk Daginm Pazarlama San. ve Tic. Ltd. ~ti.'ne aittir. Kitabm tamami veya bir bolumu hicbir bicirnde 9ogaltdamaz, dagiulamaz, yeniden elde edilmek uzere saklanamaz. .> .:»
LiTERAT0R: YAYINCILIK, DAGITIM, PAZARLAMA, SANAYi VE TiCARET LTD. srl. iSTiKLAL CADDESl, ME$ELiK SOKAK, DONYA HAN, NO: 18-20 KAT:5 TR-34433 BEYOGLU, 1STANBUL, TORKiYE . T 0(212) 292 4120 F 0(212) 245 5987 E [email protected]
www.literatur.com.tr
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla...
r. .
I
"-./ '{ :.
Onsijz
·-• r· ~- C'C
.c·c t\ \ (>) I
.
(Beni Oku)
XVII
Uyarlayan ve Turkcelestirenin Notu Kontrol Sistemleri icin Bilgisayar Yazthmlarma Giri~
1
1 1-1
xx xxi
·ciri~
1
· 1.1-1 1-1-2 1-1-3 1-1-4
Bir Kontrol Sisteminin Temel Ogeleri Kontrol Sistem Uygulamalanna ili§kin Ornekler A9* Cevrimli Kontrol Sistemleri (Geribeslemesiz Sistemler) r Ka~a'li Cevrimli Kontrol Sistemleri (Geribeslemeli Sistemler)
, ..
1-2
Geribesleme
1-3
Geribeslemeli Kontrol Sistem Tiirleri
1-2-1 1-2-2 1-2-3 1-2-4
1-3-1 1-3-2
Nedir ve Etkileri Nelerdir? Geribeslemenin Toplam Kazanc Uzerine Etkisi .. r Geribeslemenin Kararhhk Uzerine Etkisi : Geribe2l~menin Duyarhk Uzerine Etkisi _,Oeri~~lemenin Dt§ Bozucular ya da Gurtiltuler Uzerine etkisi
Dogtll~alKar§1bg1 Dogrusal Olmayan Kontrol Sistemleri Zarnanla Degismeyen Kar§thg1 Zamanla Degisen Sistemler
2 3 9 9
11 12 12 13 14
15 15 16
1-4
Ozet
19
2
Matemataksel Temeller
21 21
2-2
Karrnasik Degi~ken Kavrarm 2-2-1 Karmasik Degisken . 2-2-2 Bir Karmasik Degiskenin Fonksiyonu 2-2-3 Analitik Fonksiyon 2-2-4 ~ Bir Fonksiyonun Tekil Noktalan ve Kutuplan 2-2-5 Bir Fonksiyonun Sifirlan
22 22 22 23 24 25 iii
2-3
Diferansivel Denklernler 2-3-1 2-3-2 2-3-3
2-4
Adi Dogrusal Diferansiyel Denklemler Dogrusal Olmayan Diferansiyel Denklemler · Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler: Durum Denklemleri
Laplace D.onu§i.imiti 2-4-1 2-4-2 2-4-3
2-5 ·
Kismi Kesirlere Ayirma ile Ters Laplace Do111u§umil 2-5-1 Kismi Kesirlere Ayirma · 2-5-2 Bilgisayar i~e Kismi Kesirlere Ayirma Yonterni
26
28 29 30 31
35 36
40
Dogrusal Adi Diferansiyel Denklemlerin ye gore bir kuvvet serisine acilabilir. Neticede
70
Bi:ilum 2
Matematil-----l·---0 Yi
a+~+c
_
Y,
i~aret ak1~ dlyagrarnlarrnm tek dalla ifadesi.
100
Boliim 3 Transfer Fonkslyonlan, Blok Diyagramlan,
i,aret Aki~ Diyagramlan
3~ 7-1 Geribeslemeli Kontrol Sistemlerinde iAD ~ekil 3-4'te verilen tek giris ve > Q = tr2ocf (A, C) Q=
0.3333 -0.1667 0.3333 -0.3333
0.1667 0.6667
0.1667
0.1667 0.1667
272
Boliim s
Durum Degi~kenleri Analizi
5-8-4 Kosegen (Diyagonal) Kanonik Biehn (DKB) Dinamik sistem denklemleri (5-137) ve (5-138) ile verildiginde, A'nm ozdegerleri farkh oldugu stirece, tekil olmayan bir
I x(t) = rxct)
(5-174)
donii§timii vardir ve bu donusum, ifadeleri · (5-175) olmak.uzere, (5-141) ve (5-142) dinamik denklemlerine donusturur. A matrisinin farkh n ozdegeri A1, )..2, ••• , ;\.. olmak uzere, A matrisi
A=
A1
0
0
A2
0 0
0 0
0
A.3
0
0
0
0
.i!. •.
0 (5-176) .
(n X n)
§eklinde lco§egendir. (5-175) denklemlerinden elde edilen B, C ve D matrisleri belirli bir yapida degildir, . . Kosegen (diyagonal) kanonik bicimin (DKB) bir ustunlugu donii§tfui.ilmii§ durum denklemlerinin birbirleriyle baglastmstz olmasi ve her birinin kendi basina 0
n = 3 tek icin F(-1) negatif olrnasi gerektiginden (6-60) denkleminin en az bir kutbu birim daire dismdadir. Aynca a0 mutlak degeri ile ilgili kosul da saglanmamaktadrr. A
Ikinci Mertebeden Sistemler Sistem ikinci mertebeden ise (6-58) kosullan gerek ve yeterli olur. Buna gore ikinci mertebeden
(6-61) sisteminde karakteristik denklemin birirn daire dismda bir koku bulunmamasi icin gerek ve yeterli kosul: ,
Ornek 6-13 tiilMiiffilAA·M1i&&ii41
F(z)
= zi
+ z + 0.25
=0
(6-63)
denklemini ele alahm. (6-62) kosullan uygularursa F(l) = 2.25 > 0 F(-1):;;;: 0.25 > 0 la 01 = 0,25 < a 2 = 1
(n = 2 , 9ift icin)
elde edilir. Buna gore (6-62) kosullanrnn tumu saglanmaktadir. (6-63) denkleminin iki koku birim dairenin icindedir ve sistem kararhdir . .A .
Bu bolumde dogrusal, zamanla degismeyen, surekli ve aynk verili sistemlere iliskin SGS(s) arasmdaki transfer fonksiyonu, K ve a pozitif gercek katsayilar olmak uzere, . E>(s) Gp(s) = A(s)
=
s2
K -
a
olarak ifade edilir. Sistemin blok diyagrami ~ekil 6P-11 'de verilmistir. (a) Sekil 6P-l l 'de sadece konum algilarna cevrimi devrede, ancak K, O'dir, K, K, ve a'y1 fuze bodaslama salmacak §ekilde belirleyiniz (kararhlik smm), Fuzenin takla atma kosulunu bulunuz (kararsiz).
=
(b) Her iki cevrimin devrede oldugunu varsayiruz. K, K,, K, ve a arasmdaki iliskiyi bodaslama sahrurru icin belirleyiniz. Fuzeriin . takla atma kosulunu bulunuz.
Referans
konum
e,
. ~eki! 6P-11
(l
378
Boliim 6
A RouthHurwitz kriterinin gorell
kararhhga uygulams:
Dogrusal
Kontrol
Sistemlerinin
Kararhlrg1
6-12. Geleneksel Routh-Hurwitz kriteri, F(s) polinomukoklerininin konumunu, sadece solve sag yan s-duzlemine gore degerlendirir. p karrnasik bir degisken ve pozitif gercek a sayisi icin, s = ftp, a) seklinde bir dogrusal donusurn olusturarak, Routh-Hurwitz kriterini F(s) koklerinin s = - (X dogrusunun solunda bulunmasina gore degerlendiriniz. A§ag1daki karakteristik denklemlerde s-duzleminde kac kokun s = -1 dogrusunun saguida bulundugunu belirleyiniz: .
.
(a) (c)
A Seviye kontrol sistemi kararlrlrgr
+ 5s + 3 = 0, F(s) = s' + 4s2 + 3s + 10 = 0, F(s)
=s
2
.
(b)
F(s)=s3+3s2+3s+I=0,
(d)
F(s)
= 4s
2
+ 4s + 4 = 0.
6-13. Sekil 6P-13'te Problem 5-40'da verilmis olan seviye kontrol sisteminin kapah cevrimli hali gorulmektedir, Sistem parametre ve denklemlerinin ti.imi.i Problem 5-40'ta verilmistir. Hata algrlayicisi K,
= 3.28 [V/mJ , e(t) = K,[r(t) - h(t)]
seklinde modellenmistir: (a)
Transfer fonksiyonlan arasindaki fonksiyonel iliskileri vererek tum sisternin blok diyagrammi ciziniz,
(b)
Kontrolorun Gh) transfer fonksiyonunu birim aliruz. Sistemin G(s) = H(s)/E(s) acik cevrim transfer fonksiyonunu ve M(s) ·= H(s)/R(s) kapah cevrim transfer fonksiyonunu bulunuz. Kapah cevrimli sistemin karakteristik denklernini bulunuz. Giris sayisi N haric tum sistem parametrelerinin belirli olduguna dikkatinizi cekeriz,
(c)
Karakteristik denkleme Routh-Hurwitz kriterini uygulayuuz. ve sistemin asernptotik kararh olmasi icin maksimum giris sayisiru (pozitif tamsayi) hesaplaymiz, Gc(s) = 1 aliruz. -
Problemler
379
S.u deposu
~ekil 6P·13
A Seviye kontrol sisterninirj kararl1f1g1
6·14. Sekil 6P-14'de Problem 6-l3'teki seviye kontrol sisternine ait blok diyagrarm gorulmektedir. Sistem pararnetreleri §U §ekilde. verilmistir: Ka 50, K, = 50, Kb= 0.0706, J 0.006, R. = 10, K; = 10 ve n = 1/100. A, N ve K degerleri a§ag1da tarnmlanacaktir,
=
=
0
(a)
N giris sayisi ve A depo alam degi§ken parametreler ve K = 40 olsun, N ve A 'y1 kapali cevrimli sistem asemptotik kararh olacak §ekilde belirleyiniz. Sistemin kararh oldugu bolgeyi (N, A)-diizleminde isaretleyiniz. N'nin en buyuk degeri (tarnsayi) nedir?
(b)
Suyun giris ve cikisuu kontrol eden disli oraru n ve K arasindaki iliskiyi belirlernek yarar saglar. (N, K )-dUzleminde K = lOO'e kadar kararhhk bolgesini belirleyiniz. A = 50 ahmz.
0
0
0
(c)
0
N = 10 ve A = 50 almiz. K, ve K d~gi§ken parametrelerdir, (K1, K.)dtlzleminde kararh bolgeyi bulunuz. 0
380
Bdliim 6
Dogrusal Kontrol Sistemlerinin
;Kararhhg1 h(t)
~ekil 6P-14 ·
.A Uzay gemisini yonlendiren kontrol sistemlnin kararltltg1
6-15. Bir uzay aracmm yonlendirme kontrol sistemine iliskin oz yuk saf M kutlesi olarak rnodellenmistir. Oz. yuk manyetik askiya almmis ve kontrolda surtunmenin etkili olrnamasi saglannusnr. Oz yiikiin y-yonundeki konumu tabana yerlestirilmis olan manyetik eyleyiciler .yardimiyla kontrol edilir. Manyetik eyleyicinin ilrettigi toplarn kuvvet /(t)'dir. Diger boyutlardaki hareketlerin kontrolu bundan bagimsizdrr ve burada goz onunde bulundurulmanustir. Oz ytikte gerceklenmesi gereken deneyler nedeniyle ktitleye elektrik gucu bir kabloyla iletilmektedir. Kablo baglantrsi K, yay sabitli dogrusal bir yayla modellenmistir. y-eksenindeki hareket kontrolunun dinamik sistem modeli ~e~l 6P-15'te verilmistir. y-yonundeki kuvvet denklemi, K, == 0.5 [N-m/m] ve M == 500 [kg] olmak uzere, f(t) == K,y(t) + M
d2y(t) dt 2
seklindedir. Manyetik eyleyici durum geribeslemesi ile kontrol edilir: dy(t) f(t) == -Kry(t) - K0 . dt (a) (b) (c)
Sistemin islevsel blok diyagramnu ciziniz. Kapah cevrimli sisternin karakteristik denklemini bulunuz. Sistemin asemptotik kararh oldugu bolgeyi (K0, K")-diizleminde belirleyin~z.
~ekil 6P-15
I · A Stok kontrol sisterninin kararl 1l 1g1
Problemler
381
6-16. Bir stok kontrol sistemi, X1(t) stok seviyesi, xz(t) mahn sans oram, u(t) malm iiretim oraru ve K bir gercek sabiti ifade etmek uzere; dx,(t)
= -xz(t)
dxz(t)
= -Ku(t)
~
dt
+ u(t)
diferansiyel denklernleriyle modellenmistir.Referans stok seviyesi r(t), sistem s:tlo§t y(t) = x,(t) ve, u(t) = r(t) - y(t) olarak verilmis olsun. K simrlanru kapah cevrimli sistem asemptotik kararh olacak sekilde belirleyiniz.
A Aynk verill sistem kararhlrg:
6-17. A§ag1daki aynk verili kontrol sistemlerinin karakteristik denklemlerine w-donii§timiipii uygulayimz ve Routh-Hurwitz kriteri · ile kararhhk durumunu (asemptotik kararlihk, kararhhk smm ya da kararsizhk) belirleyiniz: (a)
z2 + 1.5z - 1
(c)
Z3
-
=0
1.2i2 - 2z + 3 = 0
(b) (d)
z1+z2+3z+0.2=0 z3-z2-2z+0.5=0
Bir kok bulma programindan yararlanarak denklem koklerini bilgisayarda belirleyerek sonuclan dogrulayuuz,
A sayisa! kontrol sistemi
kararhlig:
6-18. Bir sayisal kontrol sistemi, r(k) girls ve x(k) durumdegiskeni olmak uzere, x(k
+ 1) = (0.368 - 0.632K)x(k) + Kr(k)
fark durum denklerniyle ifade edilmistir. Sistemin asemptotik kararh oldugu K : degerlerini belirleyiniz.
A Sayisal ·
kontrol sistemi kararlrhg:
6-19. Bir dogrusal sayisal kontrol sisteminin karakteristik denklemi z'
+ z2 + 1.5Kz - (K + 0.5) = 0
§eklindedir. Sistemin asemptotik kararh oldugu K degerlerini belirleyiniz.
382
Bolum 6
A Aynk verili kontrol sistem kararhl 1g1
Dogrusal Kontrol sfstemlerinin Kararlr1Jg1
6-20. Sekil 6P-20'de bir aynk verili kontrol sisterninin blok diyagrarni gorulmektedir: (a) (b) (c)
T = 0.1 saniye icin sistemin kararli oldugu K degerlerini bulunuz. (a) sikkrm 0.5 saniye omekleme periyodu icin tekrariaymiz. (a) sikkim 1.0 saniye ornekleme periyodu icin tekrarlayuuz.
y(t)
~ekil 6P-20
Have Bilgisayar Problemleri 6-21. A§ag1daki dcgrusal surekli sisternlere iliskin karakteristik denklem koklerini bir bilgisayar kok bulma programmdan yararlanarak bulunuz ve sisternlerin kararhlik durumunu belirleyiniz:
s' + 12s3 + s2 + 2s + 10 = 0,
(a)
s' + 10s2 + lOs + 130.= 0,
(b)
(c)
s'+l2s'+10s2+10s+.J0=0,
(d) -s4-t-l2s3+s2+lOs+l=O,
(e)
s" + 6s5 + 125s'• + I00s3 + 100s2 + 20s + 10 s' + 12ss• + 100s3 + 100s2 + 20s + 10 = 0.
(f)
= 0,
6-22. A§ag1daki dogrusal aynk verili sisternlere iliskin karakteristik denklem koklerini bir bilgisayar kok bulma progranundan yararlanarak bulunuz ve sistemlerin kararhlik durumunu belirleyiniz: (a) (b) (c) (d)
z3 + 2z2 + 1.2z +.0.5 = 0, z3 +·z2 + z - 0.5 = 0, 0.5z3 + z2·+ l.Sz + 0.5 = 0,z ' + 0.5z3 + 0.25z2 + O.lz - 0.25
= 0.
Dogru~Yanh~ Tekrarlama Sorularmm Yanrtlan 3. (Y)
4. (D)
5. (Y)
6. (D)
7. (Y)
s: (D)
9. (Y)
10. (D)
Zaman Tamm BOlgesi
nalizi
I ANAHlAR KEliMEU:R VE KONULAR A Test i saretleri . A Kararh Hal Hatasr A Hata Katsayrlan
A Gecici Yamt A Sonum Oram A Dogal Frekans A Kritik Sonum
Birim Basamak Yanrn Transfer Fonksiyonuna ilave Edilen S1f1r ve Kutuplarm Etkisi A. Yuksek Mertebeden Sistemlerin Dii§iik Mertebeden Sistemler Cinsinden Yaklasrk ifadesi
A A.
7-1 Su rekli Sistemlerin Zaman Yanrtu G iri~ Kontrol sistemlerinde zaman genellikle bagimsiz bir degisken gorevini ustlenir ve bu. nedenle durum ve \'Ikl§ buyukluklerinin zamana gore degi§imi ya da zaman yarntlart genel ilgi alamm olusturur, Analiz problemlerinde sistemlere referans giri§ i§aretleri 'uygulamr ve bu isaretlere verilen yamtlar incelenerek sistemlerin
384
..
Bolilm 7 Kontrol Sistemlerinin Zaman Tamm Bolgesi Analizi
davramsi degerlendirilmeye cahsihr. Bir kontrol sisterninde eger yikl§ i§areti giris isaretini belirli kosullar altmda takip etmesi isteniyor ise, giris ye ylkl§ isaretleri zaman fonksiyonu olarak karsilasnnlir. Bu nedenle kontrol sistemlerinde sistem davrarusmm son degerlendirmeai genellikle hep zaman yamn uzerinde yapilir. . Bir kontrol sisterninin zaman yamti genellikle iki kisimdan olusur: ge~ici hal yanin ve siirekli hal yamtr. Eger y(t) bir siirekli sistem yanmru ifade ediyorsa, y,(t) gecici yamti ve y,,(t) surekli yamti ifade etmek uzere, genelde jy(t) = y,(t) + y,.(t)
A GeO
R
1 + G(s)
1
+
R lim G(s)
(7-21)
s-,0
· olarak hesaplamr. Kolaylik olmasi acismdan konum hata katsayiss
hata katsavrsi sadece basamak giri~li slstemleo i~in
tammlanrrusnr.
KP= lim G(s) s-)()
(7-22)
seklinde tammlarursa, (7 -21) iliskisi (7-23) olarak ifade edilebilir, K/nin sonlu ve sifirdan farkh olmasi halinde, basamak girise iliskin orneksel bir e,,, Sekil 7-8'de gortllmektedir. (7-23) iliskisinden goruldugu gibi, girise basamak fonksiyonu uygulandigmda e,,'nin sifu olmasi icin, K/nin sonsuz olmasi gerekir. Eger G(s) ifadesi (7 - 18) iliskisiyle verilmis ise, K/nin sonsuz olmasi icin.j en az bireesit olmali, diger bir deyisle G(s)'nin s;;;; O'de en az bir kutbu bulunmahdir. Buna gore basamak fonksiyon girise karsi kararh hal hatalan 9u sekilde ozetlenebilir:
394
Boliim 7
Kontrol
Sistemlerlnin
Zaman Tamm Bolgesi Analiz] Referans giri~ r(t) ., Ru,(1)
r(I) y(t)
R t--I
I
0
, -----
.................
.
i
jfJ.!
I
s-diizlemi
~ ol
(T
{=i
I)
s-duzlerni
x
415
j
y,n
}11>.
ikinci Mertebeden Brr Ornek Sistemin Gecici Ha[ Yanm
.
t
j,,,
l
j
0!)(l + Tps) ·
m.=
(7-146)
s
seklinde verilmis olsun. Sekil 7-32'de, 1, = 0.5, T,,= 0, 0.5, 1, 2 ve 4 icin, birim basamak yamtlan gorulmektedir. s = - l!fP kutbu s- duzlemi koordinat merkezine dogru yaklastikca yukselme zamam artar ve asim azahr, Buna gore . astm yoniinden degerlendirilirse, kapalt fevrim transfer fonksiyonuna ilave edilen kutup, ileri yol transfer fonksiyonuna ilave edilen kutba gore ters etki eder.
Krsrm 7-7 Transfer Fonksiyonlarma Eklenen Kutup.ve S1f1rlarm Etkisi
441
1.so~·---------------------------
.!..
~man (saniye] ~ekil 7-32 Kapali cevrim transfer fonksiyonu (7-146) denklemiyle verilen sistemin, w0.:= 1, ( = 0.5, T!' = 0, 0.5, 1, 2 ve 4 icin, birirn basamak varutlan.
7-7-3 Kapah Cevrim Transfer Fonksiyonuna S1f1r llavesl ~ekil 7-33 'te kapah cevrim transfer fonksiyonu M(s) = Y(s) = w !(1 + T,s) R(s) {s 2 + 2(cons + w !)
(7-147)
olarak verilen sistemde, w. = 1, ( = 0.5, ve T, = 0, l, 3, 6 ve l O.icin, birim basamak yanitlan gorulmektedir. Bu durumda
kapalt cevrim transfer f 'onksiyonuna bir stftr ilave edilmesi, basamak yanutnda yiikselme zamaninin azalmastna ve astmui artmastna neden. olur. Genel durumu incelemek amaciyla (7-147) iliskisini
- Y(s) _ M(s ) - -- -
m; R(s) . s2+2(co,s+m;
T,w;s + __ _..c;. s2+2(cv,.s+co;
_
{7-148)
§eklinde yazahm, Eger (7-148) ifadesinin sagindaki ilk terim, y1(t) birim basamak yanrti ile ifade edilirse, . . turn sistemin birim basamak . . yaruti
442
Boliim 7 Kontrol Sistemlerinin Z~man Tamm Bolgesi Analizi 6.00 .--~?
445.
, \
,
~\-:,~>;,
,
-----,_
.;,-
/
I
"Kararsrzhk bolgesi
KumeJ! bolgesi
.I
~ekil 7-37 . s-duzlerninde baskm olan ve olmayan kutuplara ili~kin bi:ilgeler.
I
uzerinde odaklandigr gorulur, Aynca tasanrnda baskm olmayan kutup-lar s duzleminde istenildigi kadar uzaga yerlestirilemez, aksi halde kagrt uzerinde belirlenen sistem parametreleri · gercek sistem elemanlan ile gerceklestirilemeyebilir,
7-8-1 Gorell Sonum Oram Ikinci mertebeden daha yuksek sistemlerde, ikinci mertebeden omek sistem icin tamrnh, t; sonum orani ve w" dogal frekansi kullamlamaz. Bununla birlikte, eger sistem bir cift karmasik eslenik baskm kutupla yaklasik ifade edilebilirse, gecici yamtm dinamigi t; ve m. 'ile ifade edilmeye devam edilir ve bu durumda sistem sonum oraruna goreli sonum oram adi verilir. Ornek olarak M(s)
=
Y(s) R(s)
=
20
s + .10)(s2 + 2s
+ 2)
(7-152)
kapali cevrim transfer fonksiyonu e alahm. s = -lO'daki kutup karmasik eslenik -1 ± jl kutbunun gercek kisrmmn 10 karma esittir. Buna gore sisternin goreli sonum oram 0.707 olarak kabul edilebilir,
7-8-2 Onemsiz Kllltuplarm
Sull'ekli Hai Yamtn Yo1nii111den Savsaklanmasi
Buraya kadar transfer fonksiyonunda baskm olmayan kutuplar gecici hal yarun yonunden savsaklanmisn. Ancak dinamikle birlikte surekli hal davramsmi da gozonunde bulundurrnak gerekir, Transfer fonksiyonu (7-152) ile verilen sisterni ele alahrn; gecici hal yamti yonunden - IO'daki kutup savsaklanabilir. Bunun icin (7-152) denklemini once
446
Boliim 7 Kontrol Sistemlerinin
Zaman Tamm Bolgesi Analizi
M(s)
=
20 lO(s/10 + l)(s2 + 2s + 2)
(7-153)
biciminde ifade etmek gerekir. Ikinci olarak karmasik kutuplann baskin oldugu goz onunde bulundurularak, s'in mutlak degeri lO'dan cok kii9uk oldugu durumlar icin, ls/101 = 10 olarak verilrnistir. r(t) = tu,(t) ve Tit) = 0 icin K ve K, katsaydannm e(t)'nin kararh ha! degerini nasrl etki1~u~.;;,ini belirleyiniz. Sistcmin kararh olmasi icin K ve K, ile ilgili suurlandirmalan belirleyiniz.
(a)
(b)
=
=
r(t) 0 ve TAt) u,(t) olarak verilmis olsun. K ve K,'nin y(t)'nin kararh · hal degerini nasil etkiledigini bulunuz,
(c)
(d)
=
K, 0.01 ve r(t) = 0 olsun .. T,i(t) bozucusu birim basamak seklinde uygulandiginda, y(t)'nin en kucuk kararh hal dcgerini K'ya gore · belirleyiniz ve bu K degerini veriniz. Siz sistemi gecici hal davramsi yonunden, bu K degerinde cahstmrmiyduuz? Aciklayiruz. Sistemin (c)'de bulunan
K degerinde cahstmlmak istendigini varsayahm.
K, degerini, karakteristik denklern karrnasrk kutuplanrnn gercek kisnu -2.5 olacak §ekilde,
belirleyiniz.
Karaktcristik
denklemin
her li9 kutbunu
bulunuz,
Y(s)
~ekil 7P-26
A Baski tekeri kontrol sistemi
baski tckerinin bir dogru akim motoru ile kontrol edildigi sistemde, ileri yo! transfer fonksiyonu
7-27. Problem 4-14'tc,
486
Bolum 7
Kontrol Slstemlerinin Zaman Tamm
Bolgesi Analizi
olarak elde edilmisti, burada L\(s) = S [LJ.,JLS4 + Jl(R.Im
+ B.,.L,,)s3 + (n2 KLLJL + KLLalm + K,Kbll + R,,B,,,JL)s2 + (n2R.Kllm + R.KLJm +BmKlL.)s +RaBmKL +K;KbKL]
seklindedir. Sistem parametreleri K; = 0.0636 [Nm/A], Kb= 0.0636 [V/(rad/s)], = 5(.Q], La= 1 [mH], K,= 1 [V/rad], n = 1/10,Jm = IL= 7.06 10~ [kg m'] ve Brr1 0 [Nms] olarak verilmistir. Kapah cevrimli sistemin karakteristik denklemi
R.
=
seklindedir.
A GOdOmlu fuze kontrol sistemi
= 70.6 [N.m/rad] icin G(s) ileri yol transfer fonksiyonunu
(a)
Kl
(b)
(aj'yi KE.= 7.06 [Nim/rad] icin tekrarlayimz,
(c)
(aj'yi KL= cc (ya da motor rnili kati) olmasi hali icin tekrarlayimz.
(d)
(a), (b) ve (c) siklannda elde edilen sonuclan karsilastmruz ve Kl degerlerinin G(s) kutuplan ve karakteristik denklem kokleri uzerindeki etkisini yorumlayiruz,
ve G(s) 'nin kutuplanm bulunuz. Kapali cevrimli sistemin kararh olmasi icin kritik K degerini bulunuz, Karakteristik denklem koklerini kararhhk smmndaki K degerleri icin belirleyiniz.
7·28. ~ekil 7P-28'de Problem 4-13'te ele ahnan giidiimlii fuze konum kontrol · sisteminin blok diyagrami gorulmektedir. Komut girisi r(t), bozucu girisi d(t)'dir. Bu problemin amaci Gh) kontrolorunun sistemin surekli hal davrarusi tizerinde etkisini incelemektedir: (a)
Gh);;;; 1, d(t) = 0 ve r(t)'nin birim basamak seklinde degismesi halinde sistemin kararh hal hatasim hesaplayiruz.
(b)
Gh) = (s + a)Js ahmz, r(t)'nin birim basamak fonksiyonu olmasr halinde .kararh hal hatasim hesaplayimz.
( c)
G h) (b) sikkmda verildigi gibi, a = 5, 50 ve 500 olmak uzere, sistemin birim basamak yarntrru O s t s 0,5 saniye icin elde ediniz. Ba§lang1c;. kosullanrn sifir alnuz. Her durum icin y(t) nin asmum belirleyiniz. Mevcut herhangi bir bilgisayar benzetisim programmdan yararlammz. Kontrolor a katsayrsimn gecici yaruti etkileme seklini yorumlayiruz,
f
L
It·< CR> Enter a value of K that gives stability [0.001] >< CR> Enter a vaule of K that gives Instability [lOOOJ >< CR> Ajw-axis crossing occurs at K"' 35.619
Possible Breakaway Points, and associatd IKI values are: (ilk de!;;er tek kopma notaesidn) Points -S.5257e + 000 ·-3.331le + 000 + l.2040e + OOli -3.33lle + 000- l.2040e + OOli -6.5604e -000 + 4.6768e - OOli -6.5604e - 000 - 4.6768e - OOli
IKI
l.1718e + 001 l .2830e + 002 l .2830e + 002 7 .5478e + 000 7.5478e + 000
Assciated system poles are -6.5803 + 0.7077i -6.5803 - 0.0707i -1.8393
-0.0000 + l.353li -0.0000 - l.353li
Bu programm, belirli bir K icin koklerin degerini bulma, fare ktirsorti ile kok egrisi uzerinde isaretlenen bir noktamn kok degerlerini ve K.'yr bulma vs .. gibi ozellikleri de vardir.
4 •.. 1 2
i
r+
+X · X
~HHH+++
/ -16
··14
·+· +-ft-+-
+
+ +
+
x +
+
I
!
i
-!
o
... (, Gercek
i1 -l!
I
.... 8
~ekil 8-22 CSAD'nin rlplot alt prograrnryla -300 0 s(s + S){s + 6)(s' + 2s + 2) kok egrisinin cizim].
••
-~~
·
< K < 3000 arasmda
C(s)H(s)
=
K(s
+ 3)/
K1s1m 8-5
Kok Egri 0 icin hep kararli olmasma ragmen, Sekil 8-24(b)'deki kok egrisi, K'mn kritik bir degeri asmasi halinde, kararsiz hale gelir, ~e~l 8-24(c)'de, c > b olmak uzere, s = -c'de G(s)H(s)'ye bir kutup daha ilave edilmis kok egrisi gorulmektedir, Sistem bu durumda dorduncu mertebedendir ve iki karmasik kutba iliskin kol saga dogru daha fazla otelenir. Karmasik kutuplara iliskin asimptot acisr simdi ± 45°'dir. ~ekil 8-24(d)'de goriildtigti gibi (8-89) transfer fonksiyonuna ilave edilen bir karmasik eslenik kutup c;:ifti kok egrisini benzersekilde etkiler. Buna gore, G(s)H(s)'e ilave edilen kutuplar kok egrisinde baskm kok kollannm sag yan s-duzlemine dogru otelenmesine neden olur. A. A
G(s)H(s)'e
ilave edilen
stfrriar kok egrlstnin sola dogru otelenmesine neden
olur.
G(s)H(s)'e siftr ilavesi G(s)H(s) fonksiyonuna ilave edilen sol yan s-diislemi stftrlan genellikle kok egrisinin sol yan s- diizlemine dogru tnelenmesine neden olur. A§ag1daki omekler G(s)H(s)'e ilave edilen sifrrlann kok egrilerini nasil etkiledigini .sergiler:
1 P), sifir (Z = P) ya da negatif (Z < P) olabilir. Her uc;: durum a§ag1da etrafh bir sekilde tarusilnusnr: ·
Koordinat merkezi ya da herhangi baska noktaya iliskin N sayisim belirlernek icin en kolay yontem; ti.(s)-diizlemindeki ilgili noktadan herhangi bir yone dogru yeterli uzunlukta bir dogru cizip, bu dogrunun ti.(s) yer egrisi ile kesi§tigi noktalan yonuyle belirlemektedir; yonuyle belirlenen salt kesisme sayisi N sayisim belirler. Sekil 9-18'de N'n_in belirlenmesine iliskin omekler verilmistir, Bu omeklerde F, yer egrisinin SYT yonde oldugu varsayilmisnr.
586
Solum 9
Frekans Tanun Biilgesi Analizi jlm11
jlm fl
· 11\SJ-dtiz(emi
t,(s)-dlizlerni
Re 11
Rel1
Jim fl
j(m/1
11(s)-dtiztemi
ll(s)-diizlemi
N=O
~ekil 9-18 L!.(-s}-duzfeminde N'nin belirl~rimesi
ife ilgili ornekler.
Kritik Nokta Kolayhk saglamak i~in N sayismm belirlendigi .6.(s)-di.izlemi koordinat rnerkezini kritik nokta olarak adlandirahm. Ilerde, Nyquist kriterinin uygulams sekline gore, karmasik duzlernin baska noktalan da kritik nokta olarak almacaktir. Burada argumanlar ilk.esinin. kesin bir kamn verilmeyecektir. Asagidaki ornek ilkenin temelini aciklamaya yardimci olacaktir. K pozitif gercek bir sayi olmak uzere, A(s)
(9-44) seklinde verilrnis olsun. ti.(s) 'nin sifir ve kuruplannm s-duzlerninde konumu ~ekil 9-19 (a)'da goriildiigti gibi oldugunu varsayahm. Bu durumda .6.(s) fonksiyonu ti.(s)
= 1.6.(s)ILA(s) ==
Kls+z1I
Is+ Pills seklinde ifade edilebilir.
t
P2I
[L(s + zi) - L(s + p,) - L(s + P2))
(9-45)
KISlm.9-5
Nyquist Kararhhk Kriteri: Temeller
587
Sekil 9-19 (a)'da, s-duzleminde Ll(s)'nin sifir ve kutuplanndan gecmeyen herhangi bir F, yolu ve bu yol uzerindeki herhangi bir s1 noktasi gorulmektedir, b.(s) fonksiyonu s = s I icin degerlendirilirse •(9-46) yazilabilir. (s, + z1) tcrimi grafiksel olarak :...z1 'den s1 'e cizilen bir vektorle gosterilebilir. Benzer sekilde (s1 + p1) ve (s1 + pi) vektorleri cizilebilir. Buna gore, Sekil 9-19(a)'da goii.ildligli gibi, Ll(s1) ifadesi b.(s)'nin sonlu kutup ve stfiriarmdan s1 noktasma cizilen vektorler cinsinden ifade edilebilir, ~imdi s, noktasi I', yer egrisi iizerinde, ongorulen · SYT yonde, tekrar baslangic konumuna gelecek sekildc bir tur hareket ettirilirse, f,'nin cevrelemedigi iki kutba iliskin vekror b.(s) fazma bir katkida bulunrnazken, f,'nin SYT yonde cevreledigi -z,, sifmna ait (s, + z1) vektoru b.(s) fazina, Sekil 9-19(b)'de gorilldligli gibi, pozitif yonde (SYT yonde) 21t radyan kadar katkida bulunur ve b.(s) yer egrisi koordinat merkezini, SYT yon de, 2n: radyan ya da bir tur cevreler. s-duzlerninde, sadece I', yer egrisi tarafmdan cevrelenen b.(s) kutup ve sifirlanrnn, (9-43) iliskisiyle verilen N degerine katkida bulundugu aciknr. ~(s) .kutuplan fazi negatif, sifirlan ise pozitif etkilendiginden, N'nin degeri Z ve .P'nin farkina baghdir. Sekil 9-19 (a)'daki ornekte Z = 1 ve P = 0 oldugunda . N=Z-P·= 1 4,..
Zve P sade-
ce .!l{s)'in
r$ .
tarafmdan cevrelenen srftr ve kutuplarm
bulunur, bu ise b.(s)-diizleminde 16 yer egrisinin koordinat merkezini s-duzlemindeki r, yer egrisiyle aym yonde bir kez cevreleyecegi anlarruna gelir. Ancak Z ve P'nin sadece 11(s)'nin F, yer egrisi tarafmdan cevrelenen sifir ve kutuplann sayisim ifade ettigini ve b.(s/nin toplam sifir ve kutup sayilanna karsi dusmedigini hatirlatahm.
savrsm: ifade eder.
(9-47)
jlmA
·
A(s)-dtizlemi
Re A
(a)
(b)
~ekil 9-19 (al s-duzleminde (9-45) ili~kisiyle verilen Ll(sl'nin kutup s1hr yerlesimi ve F, yer egrisi. (b) T, yer egrisinin (9-45) ili?kisi ile b.(sl-di.izlemine aktanlan noktalara kar~1 du?en F, yer egrisi.
588
Bolum 9
Frekans Tamm Bolgesi Analizt
Genelde, s-duzlemi yer egrisi belirli bir yonde bir tur dondugunde, .1.(s)-dlizlemi yer egrisinin toplam don ii§ a91s1 2n (Z - P) = 2nN [radyan]
(9-48)
olarak elde edilir. Bu ifade F, yer egrisinin s-duzleminde Ll(s) sifirlanru kutuplardan N fazla belirli bir yonde 9evrelemesi halinde, Ll(s)-diizleminde yer egrisinin koordinat merkezini ayru yonde N kez cevreleyecegi anlarmna gelir. Aksine, eger Ll(s) kutuplan sifirlardan N kadar fazla T, tarafindan belirli bir yonde cevrelenmis ise, (9-48) iliskisinde N negatif deger alacagindan, Ll(s)-diizlemi yer egrisi bu durumda koordinat merkezini I', yonunun aksi yonde 1:' kez cevreler. Argumanlar ilkesinde karsilasilabilecek tum durumlar Tablo 9-1 'de ozetlen-
mistir,
Tablo 9-1 Argiimanlar ilkesinde Kar§tla§dabilecek Tun:i Durumlarm
Ozetl
N>O N-ekseni ve · G(s)H(s)-dtizleminde gercek eksenin dismdaki noktalarm da karsihkh aktanlmasi yararh olurdu. bmegin s-duzlemindeki sabit sonum oraru dogrulanmn G(s)H(s)-diizlemine aktanlmasi kapali cevrimli sistemin goreli kararhligmda kullamlabilir. ~ekil 9-23 'te, s-duzleminde ~e§itli sabit sonum oranlanna iliskin G(s)H(s) yer egrileri gorulmektedir. Sekil 9-23'te (3) egrisinde oldugu gibi, G(s)H(s) yer egrisi (-1, jO) noktasmdan gecerken, (9-54) denklemi de saglanir ves-duzlerninde buna iliskin dogru karakteristik denklemin bir kokunden ge9er. Benzer sekilde ~ekil 9-24'te goriildiigi.igibi, G(s)H(s)-dtizleminde gercek eksenle degi§ik acilar yapacak §ekild7 K
L(iw)-dllzlemi
\
-----~-
--1.
, _ .. ·.-C,.,,,......;f-,-"J_"'_"_' . 0
; _·-·-····-··....._,,
-:;:i.
I
Seki! 9-25 ca = ile O arasmdaki L(s) = K/[s(s + 2)(s + 1 O]" a iliskin Nyquist yer egri si. OQ
c
598
Boliim 9
Prekans Tamm Bolgesi Analizi
juit7.0
s-dlizlemi
!
.\,,;,'" O.O!J K""" ,,:i00.00
t
;v ·'
K» 0 --~-..i----.(
..,
... 1..i.o
---10.()
- .. -- .. - -
-
-
,,
__ ,,,.,,
-
.
i
'I
.,,.. -7.0
\.
.,.
~ekil 9-26 L(s) = K'[s(s + 2)(s + 1 O)]'a ili§kin PKE.
Son bes adim L(jm) Nyquist.yer egrisinin cizim taslagim kolayhkla elde etmemizi saglar. Gortildi.igii gibi, K'mn 240'tan kucnk olmasi halinde, L(j(J)) yer egrisi gercek ekseni (-1, JO) kritik noktasuun saginda keser; nokta kapsanmadigindan sistem kararhdrr. K = 240 olmasi halinde L(jw)'nm Nyquist yer egrisi gercek ekseni=-l noktasmda keser ve sistem kararhlik smmnda bulunur. Bu durumda karakteristik denklemin s-duzleminde jco-ekseni uzerinde s ±J-{w gibi iki koku bulunur. Eger kazanc 240'm uzerine cikanhrsa kesisme gereek eksende -l'in solunda gerceklenir ve sistem kararsiz hale gelir. Negatif K degerleri icin L(j(JJ)-diizleminde (+ 1, JO) kritik nokta olarak secilir, ~_ekil 9-25'ten goruldugu gibi, bu durumda gercek eksen uzerindekl + 1 noktast tilm negatif K degerleri icin kapsamr ve sistem hep kararsizdir. Buna gore, Nyquist kriteri, sistemin O < K < 240 arahgmda kararli oldugu sonucunu verir, RouthHurwitz kararhhk kriterini uygulanmasi halinde aym sonuc elde edilir. Sekil 9-26'da (9-59) iliskisiyle verilen cevrim transfer fonksiyonuna ait kok egrisi gorulmektedir. Nyquist kriteri ile kok yer egrisi arasmdaki iliski kolayhkla izlenebilir. A
=
. Ornek 9-2 -
iiMW&M'liff!•
Ks3 + (2K + l)s2 + _(2K. + 5)s + 1
=0
karakteristik denklemini goz onunde bulundurahrn. (9~67) denk.lemi K'siz terimlere bolumirse -1 + KL'-'i(s) = l elde edilir. Buna gore oz olmayan
+ Ks(s2 + 2s+ 2) s2 + 5s + 1
=0
(9-68)
r,· '!
K1s1m 9-8 Nyquist Kriterinin Minimum Fazh Transfer Fonksiyonlarma Uygula~ma ili~lcin Ornelcler
L.,(s)
= s(sz
+ 2s + 2)
... 599
(9-69)
s' + 5s +· I
fonksiyonu elde edilir. Esdeger L.i2)2 + 25(!J2
w2)(1- co2)) .
(972) -
bulunur, L.i I
Re I.
$ekil 9-27 L(s)"" K(s3 + 2s' + 2s)/(s' + Ss + 1), K::: 1 i -4 ~ ... j •.0.211 () o: . -j
~ekil 9-29 l(s) = Ks(s' +ls'+ 2)/ (s' + Ss + 1 ), ic;in PKE.
..
K1s1m 9·9 Minimum ve Minimum Fazh Olrnavan Transfer Fonksiyonlan icin Ge,;er[i Genel Nyquist Kriter]
~r-9 1 ·
!. i
601
Minimum ve Minimum Fazh Olmayan Transfer Fonksiyonlan i~in Gecerli Genet Nyquist Kriteri
i !; i
K1S1m 9-8'de verilen ozgun Nyquist kriterini minimum fazh olmayan cevrim transfer
1:--
fonksiyonlanna uygulamak sikici olabilir. Minimum faah olmayan transfer fonksiyonlarmda, L(s) Nyquist yer egrisinin L(s)-diizleminde sadece s = i= ve s = jO arasmda cizilmesi ve (-1, jO) noktasmm kapsanmamasi, kapali cevrim kararlrhgi icin gerek ancak yeterli olmayan bir kosul olusturdugu gosterilebilir. L(s) cevrim transfer fonksiyonu minimum fazh olmayan bir sistemde, ozgtln Nyquist kriteri Sekil 9-20'de verilen tum Nyquist yoluna iliskin yer egrisinin cizilmesini gerekli kilar, L('s) transfer fonksiyonunun j(.(}-ekseni uzerinde kutup ve sifirlann bulunmasr halinde, Sekil 9-20 Nyquist yolunda goriildiigii gibi, j(.(}-ekseni uzerindeki bu noktalann etrafmda kucuk girintiler olusturulmahdir. Bununla L(s) yer egrisinin cizimi daha karmasik hale gelir. ACSP'nin freqrp, CSAD'nin plrplot ve Program CC'riin Nyquist gibi bilgisayar programlart sadece s-diizleminde pozitif J(.(}-eksenine kars; dusen yer egrilerinin 9iziminde kullanilabilir. Nyquist yer egrisinin kii9tik girintilere ve biiytik yan daireye kar§I dti§en kisimlar elle cizilmelidir. = O arasmdaki L(jw) Nyquist ver egrisi cizllerek ifade edilebilir.
A
Buna gore Nyquist kriteri Nyquist yolunun sadece s = Joo ile s = 0 arastndaki kismt cizilerek ifade edilebilir. Aynca kararsiz kapali cevrimli sistemlerde, ct>11, P"' ve P'nin bilinmesi halinde, (9-82) iliskileri ile karakteristik denklemin sag yan s-duzleminde bulunan koklerinin say1s1 belirlenebilir. · Kararh kapali cevrimli sistemlerde Z sifira e§it olmahdtr. ~u halde, Nyquist kriteri geregi, kapah cevrimli sistemin kararli olmasi icin,
11 a'11 a~:i degisimi, L(j(J)) Nyquist yer egrisi ve (-1,JO) noktasi yonunden, . (-1,jO) noktasinm kapsandigi anlamma gelir; bu nedenle L(j(J)) Nyquist yer egrisinin . (-1, JO) noktasiru kapsamamasiminim fazla olmayan kapah cevrim kararli sistemlerde bir gerek kosuldur, Ancak minimum fazh olmayan sistemlerde L(j(J)) Nyquist yer egrisinin (-1, jO) noktasuu kapsamamasi halinde, kapah cevrimli sistemin kararli · olmasi icin, 11 ail. degi§irni (9-83) kosulunu saglamahdir.:
9-9-1 Cevrim Transfer Fonksiyonu Minimum Fazh Sistemler Eger L(s) minimum fazh ise P = 0 'dir ve L(s) 'nin sifirdaki kutup sayisi P., olmak uzere (9-82) iliskisinden 11
= (Z-
O.SP "')180°
(9-85) ..
yazilabilir. Kapah 9evrimli sistemin kararlrhgi icin Z = 0 olmasi gerektiginden(9.:85). ifadesinden
jct>tl
=--P.,
x 90°
(9-86)
elde edilir, P., ile L(s)'nin koordinat merkezindekikutup sayisi anlasildigma gore (-1, JO) noktasi L(s) Nyquist yer egrisi tarafindan kapsanmadigi surece, 11 'in hep, (9-86) ifadesiyle belirlenecegi anlarnma gelir. 'Buna gore L(s)'nin minimum fazli olmasi halinde, kapali c;evrimli sistemin kararhhgi icin, Nyquist yer egrisinin (-1, JO) • nokrasmi kapsamamasi kosulu gerek ve yeterlidir. ·
F
! ~-!_,,.·
·K,stm 9-10 · Nyquist Kriterioin Minimum ve Minimum Fazh Olmayan Transfer Fonksiyonlarma Uygulan,~ma ili§kin Ornekler
605
9-9-2 240. . .
(b)
K < 240,
r·
I~· \:
K1S1m 9-10
Nyquist Kriterinin Minimum ve Minimum Fazh Olmayan Transfer Fonksiyonlarma Uygulam~ma ili§kin brnekler
------
Ornek 9-5
Cevrim transfer fonksiyonu L(s)
I.:
I
' '
t·
607
=
l(.(s - 1) s(s + 1)
(9-90)
olan sistemi ele alalim. (9-90) denklemindenP .,= 1 ve P = 0 oldugu gorulur, s = l 'deki sifir nedeniyleL(s) fonksiyonu minimum fazli degildir, Nyquist kapsama kriteri burada tam uygulanamaz. (9-84) iliskisi geregi kapah cevrimli sistemin kararli olmasi icin· 11
l
I
= -(0.5P.,
+ P)l80°
= -90°
(9-91)
kosulu saglanmahdrr. Buna gore (-1, jO) noktasindan L(jw) Nyquist egrisine eizilen fazor, (J)-frekans1 ile O arasmda degi§irken-90° siipi.irmelidir. . s-dtizleminde pozitif j(J)-eksenine iliskin Nyquist yer egrisini cizmek icin L(s)'nin (9-90) ifadesinde s yerine jt» uygulayahm: . 00
L(jm)"= KUw-1) jaJUw + I)
=
KUw-1) -w2 +,jw
(9-92)
· Ozellikle (J) = 00 icin L(joo)
= _!;... I = 0 L -90° J(J)
(9-93)
"'"*
. Ve (J) = 0 icin l(JO)
=
.;_I }OJ
.,.o
=
(9-94).
L900
00
bulunur. L(jro)'mn gercek ekseni kesme noktalanru bulmak icin (9-92) denkleminin pay ve paydasim (-w2 -jw) ile 9arparakrasyonel hale getirelim: . KUw- l)(-ro2 -jro) U)w) = . to' + w2
K[2w + j(l - ro2)]
= ----w(w + 1) 2
l(jw)'nm sanal kisrmm sifira esitlersek ca = ± 1 [rad/s] elde edilir.
co= 1 icin L(jl)
bulunur.
(9-96)
=K
(9-97)
608
Bi.Hum 9
Frekans Tamm Bolgesi Analizi
K > 0 icin Nyquist Yer Egrisi Yukandaki bilgilere dayanarak, pozitif jcv-eksenine iliskin L(jm) Nyquist yer egrisi, ~ekil 9-33'te K > 0 icm cizilmistir. Sekil 9-33'te, OJ frekans1 oo'dan O'a degisirken, (-1, jO) noktasmda Nyquist yer egrisine cizilen fazorun stiptirdi.igti 11 a91 degisrmi + 90.,dir. 11 pozitif olduguna gore sistem kararsizdir. Aynca, (-1,jO) noktast Nyquist yer egrisi tarafmdan kapsandigina gore, kapali cevrimli sistemle ilgili olarak aym sonuca ulasihr. (9-82) iliskisinden
u = (Z - 0.5P .,- P)l80° = (Z - 0.5)180° = 90°
(9-98)
ya da Z = 1 elde edilir; bu ise kapah cevrimli sisteme iliskin karakteristik denklemin sag yari s-duzleminde bir kokti bulundugu anlamma gelir. Sistemin
s2 + (1 + K)s- K = 0
(9-99)
karakteristik denklerninden, kararhlik icin
0 >.K>-1
(9-100) ·
olmasi gerektigi kolayhk.la gosterilebilir,
K < 0 icin Nyquist Yer Egrisi Sekil 9-34(a)'da, K kazancmin O ile -1 arasmda bulunmasr halindeki, L(jm) Nyquist yer egrisi gorulmektedir. Buyer egrisinin Sekil 9-33'teki L(j(J)) yer egrisinin koordinat merkezi etrafmda 180° cevrilerek elde edildigini i§aret edelim. co frekansi oo ile O arasmda degisirken Sekil 9~34 (a)'da 11 a91SI, (9-91) kararlihk kosuluyla uyumlu olarak, ·-90° bulunur ve kapah cevrimli sistem karahdir, L(j(J)) minimum fazh olmadigmdan Sekil 9-34 (a)'daki Nyquist yer egrisinin (-1, jO) noktasmi kapsamamasi, sisternin kararli olmasi icin yeterli sayilamiyacagini hatirlatahm.
L(iw)-dUzlemi
Seki! 9.33 Ornek 9-S'te L(s) = K(s - 1 )/[s(s + l )] sisternine iliskin Nyquist yer egrisi (K > 0).
ReL
K1S1m 9-10 Nyquist Kriterinin Minimum ve Minimum Fazh Olmayan Transfer Fonksiyonlarma Uygulan1~m·a ili~kin Ornekler
609
Sekil 9-34(b)'de Nyquist yer egrisi K < -1 icin cizilmistir. Bu .durumda (-1,jO) noktasi kapsarnr, ¢11 degeri icin gerekli olan -90°'den farkh olarak, ¢11:;:: 270° bulunur, (9~82) iliskisine uygulamrsa cI>u
= (Z - 0.5P., - P) 180° = (Z - 0.5) 180°= 270°
(9-101)
ya da Z = 2 elde edilir, bu karakteristik denklemi sag yan s-diizleminde iki kutbu bulundugu anlamma gelir. , Genelde K isaret degistirince Sekil 9-34'ten goriildiigti gibi Nyquist yer egrisini tekrar cizmek gerekmez. (9-40) denklemi pozitif K degerleri icin 1 + L(s) = 1 + KL1(s)
=0
(9-102)
seklinde yazilabilir. Negatif K degerleri icin (9-102)'den l -KL1(S)
=0
(9-103)
ya da K pozitif olmak uzere, (9-104) · elde edilir. (9-104) iliskisinden negatif K degerleri icin pozitif K degerlerine ait L(jro) yer egrisinin kullamlabilecegi, ancak kararhhk analizi icin (+ 1, jO) noktasmm kritik nokta ahnrnasi gerektigi goriil~r. Sekil 9-35'te (9-90) denkleminin K > 0 icin Nyquist yer egrisi gorulrnektedir. Negatif K degerleri icin (+ 1, jO) kritik nokta olarak ahnmahdir, Sekil 9-35'te. -1 < K < 0 icin, gerekli ve gozlenen a91 degeri cI>u ~ -90° oldugundan sistem kararhdir. jlml
·
jlmL L(iw)-dilzlemi
l(iw)-di.izlemi
K K > -8 icin kararhdtr. Nyquist kriterinin bu sisteme uygulamsi §U sekilde ozetlenebilir:
OK>
0 0 icin
kritik nokta, ct>,, .. kapah £evrim ~ii
$ekil 9-42 L(s) = f11 = -90'
oo>K>Oi11 = -90° kapall ~vrim kararstz
618
Bolilm 9
Frekans Tarum Billgesi Analizi
Sisteme Srftrdan Farkh Sonlu Kutuplarm Eklerunesi s = -l/T2
(9-115) denk.Iemiyle verilen L(s) fonksiyonuna
(T2 > 0) kutbu eklendiginde
K
(9-123)
L(s) = -'------
(1 + T,s)(l + T2s)
elde edilir. L(jm) Nyquist egrisi
OJ=
0 frekansmda sisteme eklenen kutuptan etkilemez: lim 111-10
w=
00
L(jm) = K
. (9-124)
icin L(jw) degeri (9-125)
olarak elde edilir.
Euna gore s = :...1/T/de (9-115) transfer fonksiyonuna eklenen kutup, Sekil ·9-46'da gortildilgii gibi Nyquist yer egrisini ca .= oo'da -90° kaydmr, Sekilde aynca, (9-115) transfer fonksiyonuna
sifir dismda iki kutup eklenmis (T1, T2, T3 > 0),
.
.
. K
L(s) r --------
.. (1
J.. Cevrim
transfer fonksiyonuna s1flr drsrnda kutup eklenmesi de kapah cevrirnll
sistemi kararsizhk yonunde
etkiler.
+ T s)(l 1
+ T2s)(l + T3s)
(9-126)
transfer fonksiyonuna iliskin Nyquist yer egrisi de cizilmistir. Bu durumda Nyquist yer egrisi, ca = eo icin, (9-123)'e gore, saat yonunde bir 90° daha 4.
- BODEPLOT OPTIONS Amplitude Phase Both Zoom in Set axes Grid Hold Label Option? >b
Freq range Time delay NewTF DisplayTF Margins Roots View Data Quit
(Genlik (amplitude) ve faz (phase) yizimlerini seciniz)
G(j(J))'mn genlik ve faz egrisi ekranda ~eldJ.9~73'te oldugu gibi cizilh. Genlik ve faz egrileri "Amplitude" ve ·"Phase" secilerek ayn ayn cizdirilebilir. "Margins" secimi ile davrams verileri hesaplanip goruntulenir: Gain margin, dB Ph,ase crossover.irad/sec Phase margin, degrees Gain crossover, rad/sec Peak resonance, dB Peak resonance, IMrl 3 dB-bandwidth; rad/sec
3.581 1098 7.779 888.9 17.4 7.412 1.383
Programda G(s)'ye olii zaman ilave etme olanagi saglanmisur.
K1s1m 9-21 Bilgisayar ---··-··· ---·· .,-250 -300
-·
I ,. I
!. i i i
::2. -ISO
&
!
·-
-·-·········1·
1-j I
...JJ I' i
;
I
~
! ! i
-r--e--'
i
---·· --·
I
ii
I
··r~_i_ .
;!
jl
i ! ...... .J !
r
--c-P--l-~- --·---1-~i ---L-~--JJIi__~; ! l ! l i [ ! i . ii I , i ! • ll i i fl I I Ii I...
1
,·
J
! , "i. ! ! i i I
!
I
f •
i
; j
j
I f
,
J
I
i
!
l
:
t i
I .
I
_L._ ,_ · · · ! · ,
···r
i
. ! '--~..l-~L-....J.....~1-·JLj~jj~l~~--'~-'----''-'j-L;'~l~l'-1....L~--J''----Ll~L-iL....J.....1-LWj'!~~Li!~~i'~Lj'_,_...L..J__,_Lii!
10°
10'
10'
10'
i
I
r-i-i,
IO'
w [rad/s) ~ekil 9-73 Transfer fonksiyonu (9-174) ile verilen sistemin K = 181 icln CSAD'm bplot alt program1 ile Bode ·
. diyagram, ~izimi.
··
P.lrplot CSAD'm plrplot alt programi G(jw)'mn frekans yanrtmi hesaplar ve verileri k:utupsal koordinatlarda cizer. Program yukandaki aym kriter degerlerini ("Margins") verir. Denklerni (9-174) ile verilen transfer fonksiyonunun K == 181 icin Nyquist yer egrisi, egrinin en onemli kismi secilerek ("Zooming") Sekil 9-74'te cizilmistir,
654
Biiliim 9
Frekans Tarum Biilgesi Analiz!
0.8
0.6 0.4
0.2 0
-···-··-··-···---·---··-·--·····-····--··----·--·--·-
-0.2 -0.4 -0.6
-2
-r.s
-1
--0.5
0
Gercek [Re GJ
~ekil 9-74 Denklemi (9-174) ile verilen transfer fonksiyonunun K = l?1 i= 0.(){)05
'
-57.49 - j906.6 -j!OUO
. -j2000
-j300U
~ekil 10-12 s' + 3 408.3s' + (1 204 000 + 2.718 x 1o•K0)s + 2.718 x 'io- == o karakteristik denklemine iliskin kok cevreleri.
709
710
Bolurn 10
Kontrol Sistemlerinin Tasanrrn
Table 10-3 Ofnek 10-2'deki PD Kontrolorlu Oc;iincti Mertebeden Tamm Bolgesl Kriter Degerleri
Sistemin Zaman
0
78.88
0.001 25
0.049 5
- 3 293.3,
- 57.49
±
j 906.6
0.000 5
41.31
0.001 20
0.010 6
- 2 843.07,
- 282.62
±
j936.02
0.001 27
17.97
0.001 00
0.003 98
-1 523.11,
- 942.60 ±
j946.58
0.001 57
14.05
0.000 91
0.003 37
- 805.33,
- 1 301.48 ± j 1 296.59
0.005 00
17.97
0.000 42
0.001 30
- 191.71,
- 1 608.29 ± j 3 404.52
0.010 00
. 31.14
0.000 26
0.000 93
- 96.85,
-1 655.72 ±
j5 032
0.050 00
61.80
0.000 10
0.00144
- 19.83,
-1 694.30
±
j 11 583
'·~™'~ Tablo 10-3'te KD parametresine bagh olarak en buyuk asim, yiikselme zamaru, yerlesme zamani ve karakteristik denklem koklerinin aldig: degerler verilmistir. PD kontrolorunun il9ilncti mertebeden sisteme etkisi yonunden asagidaki sonuclara vanlir: '
.
'
Sekil 10-13'te Pfr-kontrolorln sistemin cesitli KD degerleri i9in birim basamak yamtlan gorulmektedir. Neticede PD-kontrolu sistemin sonumunu duzeltse de en buyuk asim kosulunu karsilayacak bir 9oziim tiretemez.
K1s1m 10-2
PD Kontroloruyle Tasarnn
711
2.0 r-----:-. -----,-.-;-,-:-.--.,....,-,-----,---------,---------. •1
•
Kv"'O[
,
i
··· -·I·'·
i
•
!
.
!
·~.
0.0~
0.01
. 0.()4
0.03
Zaman (saniye) ~ekil 10-13 Ornek l0-2'deki PD kontrolorlu sisternin birim basarnak yarutlan.
FrekansTammi Bolgesi Tasarimr PD kontrolorunu frekans tamm bolgesinde tasarlamak icin (lO-io) iliskisinin Bode diyagrammdan yararlamhr. ~ekil 10-14'Je K, = 1 ve K0 = 0 ic;:in Bode diyagrarru gorulmektedir. Ozgun sistemicin 3_§ag1daki kriter degerleri elde edilir: Kazanc payi
= 3.6 dB,
Raz payi = 7.77°,
Rezonans tepesi M, = 7.62,
A PD kontrolunda once
gerceklesmesi
istenen f=P iJs) arasmdaki genlik egrisi, ozgiln sisteme ve faz gerilemeli kontrolorlu sisteme gore cok daha dii§iikttir. Faz gerilemeli kontrolor sistemi daha kararh ktlmakla birlikti . frekaasi yaklasik 40 rad/s uzerindeki giiriilttileri de kuvvetlendirir, ~, Bu ornekte, Ornek 10-lO'da bir faz gerilemeli kontrolorle kontrol edilen ti~tincti mer-
Ornek 10-15 tebeden giine§ izleme sistemine, dayamkh bir ileri kontrolor tasarlanacaktir, Ozgtin sistemin ileri yol transfer fonksiyonu, K = 1 olmak uzere, G'(s) p
156 250 OOOK = ------s{s2
+ 625s + 156 250)
(10-197)
§eklindedir. Kapah cevrimli sisteme iliskin kok egrisi Sekil 10-50'de verilrnistir. Sistemin faz gerilerneli kontrollu sonuclan ise Tablo 10-19'da ozetlenmistir. Faz geriIemeli' kontrolorun parametrelerini a = 0.1 ve T = 20 olarak secelim. Bu durumda karakteristik denklemin baskm kutuplan s == -187.73 ±jl64.93'.ttir. Eger ikinci mertebeden dayamkli kontrolorun sifirlan -180 ± j 166.13 'e yerlestirilirse kontrolorun transfer fonksiyonu
812
Boliim 10
Kontrol Sistemlerinin Tasanrru
s2 + 360s + 60 000
G (s) = '
(10-198)
60 000
yazilabilir. Kontrolorun yuksek frekans sorunlarrru asmak icin Gc(s)'ye iki baskm olmayan kutup eklenebilir. A§ag1daki analiz (10-198) iliskisi ile verilen Gh) ile surdurulmustur. Kontrolorlti sistemin kok egrisi Sekil 10-69'da verilmistir. Boylece kontrolornn sifirlan istenen baskin kutuplanna cok yakin yerlestirilerek sistern, nominal degerin yakimndaki ya da otesindeki degi§ken K degerleri icin duyarsiz hale getirilmis olur. Bu durumda ileri kontrolorun transfer fonksiyonu
G· ,/s)
=
60000
(10-199)
s2 + 360s + 60 000
=
seklindedir. K 0.5, 1.0, 2.0 ve 10.0 icin birim basamak degerleri ve. ilgili karakteristik denklem kokleri Tablo 10-25'te verilmistir, A
1l! :
i [!lla
10.---,--..,...,..-,.r,..,.,,--~...-,,-,-,..,...,.....-~--,-,,...,...,...,.,..,,.~-,--.-,-,..,..,.,,,.,-~--,-.,...,..,,.,.,.,,~..,,_,--,-~= 1
nu ! t
ii
I.
~•111,:
I
I
Il
J 0 ---,----,,·.•·---·'-- -rFaz gerilemeli : , kontrolorlu sistem
i
_10
__
&i'
c2. -20 '§'
i ~
-30
-40
L. ,
i ' : :
'
.. 4 I· !
n:
:n
uu i I < "I !Hi ~ H:!',..._ rti··· -l---
!J:0.02 K=lOO'\_· Kontrolorlu sistem
· J86j /
Ozgen sistem
K=lOO
K = !000 J = O.QJ -56.6 + j43.3 K
= 1000
J "'0.02 -55.57 + }44.94
j50 .Jf
-50
o
0
-j50
\
K=O
-j86.6 K= 100
J
= 0.01
:i: ?-
\.
'b
~ekil 10-70-0rnek ifi~kin kok egrisi.
10-16'daki dayarukh ve ileri kontrolorlo konum kontrol sistemine
Kmm 10-11 Alt t;evrimli Geribeslemeli Kontrol
817
Tablo 10-26 Ornek 10-1 G'daki Dayanrkh ve lleri Kontrolorlu Sistemin Birim Basamak Degerleri ve Karakteristik Oenklem Kokleri ·
0.01 0.02
1.6 2.0
0.034 53 0.033 57
0:044 44 0.044 44
-1967, -978.96,
-56.60 ± j43.3 -55.57 ± j44.94
[email protected]!.'i'&i.%\l!i!!,ffli~~-~
1 o~ 11 AH Cevriml i Geribeslemel i Kontrol A Kararlil1g1 arnrrnak icin bir
alt cevrl mli geribeslemede takometre ku11anrlabilir.
Onceki kisimlarda tartisilan kontrol yapilannda, seri kontrolorler kontrol sisteminin ana cevrimi uzerinde ileri yolda ya da ileribeslemeli bir yolda yer ahr, Herne kadar seri kontrolorler, gerceklestirilmelerindekikolayhk nedeniyle cok yaygm olsalar da, bazen kontrolorleri, sistern yaptsma bagh olarak Sekil 10-2 (b)'de oldugu gibi, alt cevrimlere yerlestirmek daha uygun olabilir, Ornegin bir dogru akim motoruna dogrudan baglanan bir takometre, sadece faz gostergesi olarak degil, takometrenin 9Ik1~ isareti sisterne geri beslenerek, kapah .cevrimli · bir sistemin kararhhgim duzeltmede de kullarnlabilir, Motor hizr, motor zit. elektromotor kuvveti elektronik olarak tirretilerek de etkilenebilir, Prensipte PID kontroloru ya dafaz ilerlemeli-gerilerneli ve gerilemeli-ilerlemeli kontrolorler farkli uygularnalarda alt s;evrimde geribeslemeli olarak kullamlabilir. Bazr kosullarda alt cevrim kontrol sistemini di§ bozuculara ya da i9 parametre degisimlerine karsi daha dayamkh kilabilir.
10-11-1
-.
H1z ya da Takometrik Geribeslemeli Kontrol
Etkin isaretin turevinden yararlanarak kapah cevrimli bir sistemin sonumttnu duzeltme yonterni prensipte 91kl§ isaretinden yararlamlarak da gerceklestirilebilir, Diger bir deyisle s;tkl§ isaretiuinin turevi geri beslenerek sistem etkin isaretine cebirsel eklenebilir, Uygulamada eger 91ki§ degi§keni mekanik konum ise, bir takometreden yararlanarak, mekanik konumdan konurnun turevleriyle orantih elektriksel bir isaret elde edilir, Sekil 10-71 'de 9Ik1§ isaretinin turevini ikinci bir yoldan geribesleyen kontrol sisterninin blok diyagrami gorulmektedir. Takometrenin transfer fonksiyonu K,s ile ifade edilrnistir; burada K,, genellikle analitik amacla [volt I radyan] cinsinden .ifade edilen, takometre katsayisiru belirtmektedir. K, takometrelere iliskin ticari veri kayitlannda 1000 devir dakika basina volt [V/(d/d)J olarak verilir, Hiz, ya da takometrik geribeslemenin etkisini gostermek icin, ikinci mertebeden bir ornek sistemi goz onunde bulundurahm. Sekil 10-71 'de kontrol edilen sisternintransfer fonsiyonu
818
Bolum 10
Kontrol Sistemlerinin
Tasanm1
Gp(s) = s(s +
2(cu,,)
olarak verilmis olsun, Bu durumda kapah cevrlrnli sistemin transfer fonksiyonu Y(s)
--
R(s)
cuin =---------sl + (2kOJn + KiCo!)s + cu!
ve karakteristik denklemi
(10-209) olarak _elde edilir. Karakteristik denklemden goriildilgti gibi, K1 katsaytsi
t; soniim
orani ile ayni terimde yer aldigtndan, takometrik geribesleme sistem soniimilnil am; yoniinde etkiler. Bu nedenle takometrik geribesleme kontrol sistemini PD kontrolorune
benzer bir §ekilde etkiler. Ancak, ~ekil 10-3'te oldugu gibi, kapah cevrim transfer fonksiyonu
PD kontrolorlu
sistemin
§eklindedir. (10-208) v_e (10-210) transfer fonksiyonlan karsilastmlsa karakteristik denklernlerin KP= 1 ve K0::: K icin esdeger oldugu gorulur. Bununla birlikte (10-210) transfer fonksiyonunun, (10~208)'den farkh olarak, s = -Kp/Kv'de bir sifm vardir, ~u halde takometrik geribeslemeli sistem yamti karakteristik denklern tarafmdan belirlenirken, PD kontrolorlu sistemin basamak yamti s -Kp/K0 sifmyla da etkilenir, Takometrik geribeslemeli sistemin ileri yol transfer fonksiyonu 1
=
Y(s)
--=------E(s)
A. 1 tipi sistern-
de takometik geribesterne hrz .hata katsayrsrm azalnr, ancak konum hata sabitini etkile-
mez.
s(s +
cu2n
2(cun + [(cu!)
(10-211)
1 tipi olduguna gore, kararh hal hatasimn temel ozelligi takometrik geribeslerne tarafmdan etkilenmez; bu basamak giris fonksiyonu icin kararh hal konum hatasmm sifir olacagr anlamina gelir. Ancak birim rampa giri§ fonksiyonu icin sistemin kararli hal hatasr (2( + K1 m") I oi; Sekil 10-3'teki PD kontrolorln sistemin hiz hatasi ise 2( I cu/dir. Buna gore 1 tipi sistemde takometrik geribesleme K. hiz hata katsayisuu
azalur, ancak konum hata katsaytst Kp'yi etkilemez.
K1s1m 10-11 Alt «;:evrimli Geribeslemeli Kontrol
819 ·
Y(s)
R(s)
+
~ekil 1 O·71 Ta kometrik geribeslernel i kontrol sis tern l.
10-11-2 Aktif filtreli Alt Cevrirn Geribeslemeli Kontrol Alt cevrim geribeslemeli bir sistemde takometre yerine, masraflan azaltmak ve yer kazanmak amaciyla RC elernanlanndan ve i§lemsel kuvvetlendiricilerinden olusan, aktif bir filtre kullamlabilir, A§ag1daki ornekte bu yaklasimm nasil uygulandigi gosterilecektir. ==="""""""" Ornek 10-9'daki ikinci mertebeden gtine§ izleme sisteminde, ileri yolda bir seri kontOrnek 10-17 rolorden yararlanmak yerine, ~elcil 10-72 (a)'da gortildiigti gibi · kontrolor bir alt •9MM11WMilliM1N,w
~evnme yerle§ttrilmi§tir; burada G (s) ~ P
2 500 25)
s(s +
(10-212)
ve H()s::::~
K,s
1 + Ts
.·
(10-213)
§eklindedir. Sistemin l tipl kalmasin; s.aglmnak !~in H(s)'nin s = O'da bir sifin bulun-
maktadir, (10~213) denklerni ~e~il l(),.72 (b)'deki islemsel kuvvetlendiricili devre ile ger¥eklenebilir. Bu devre, frekansm s1fi,r oldugu surekli halde acik devre gibi davrandigmdan, ile:ri yelda serl kontrolor olarak kullanilamaz. Alt cevrlmde geribeslemeli bir kontrolor olarak dogru akimim iletmemesi hie bir sorun yaratrnaz, ~ekil 10·72 (aj'daki sistemin ileri yol transfer fonksiyonu
~/s) ;;;, O(s) ;;e El/s)
-
(!is)_ -
l + G/s)J-l(s)
2 500(1 + Ts)
(10-214)
=~~~~~~~~~~ s[(s
+ 25)(1 +Ts)+ 2 SOOK,]
elarak besaplamr. Sistemln karakterhitik denklerni
Ts~+ (2$T + l)s1 + (2;5 + 2 5001' + 2 500K,)s + 2 500:;::: 0
. (10-215)
820
Biiliim 10 Kontrol Sistemlerinin Tasannu
sekiindedir. K, ve T pararnetrelerinin etkisini gostermek icin, once K, sabit ve T degisken olmak uzere, (10-215) denkleminin kok cevreleri. cizilir. (10-215) ifadesi T' siz terimlere bolunurse 1
+
Ts(s2 + 25s + 2 500) =0 s2 + (25 + 2 500K,)s + 2 500
(10-216)
elde edilir, K,'ningoreli bilyiik olmasi halhlde sonuncu denklemin iki kutbu, biri koordinat merkezine yakm olmak Iizere, gercektir, K,'yi (10-215) denkleminin kutuplan karmasik olacak §ekilde secmek daha etkileyicidir. Sekil 10-73'te (10-215) denklemininin, K, :::: 0.02 ve T degerinin O ile oo arasmda degisimine iliskin, kok cevreleri gorulmektedir. T = 0.006 icin karakteristik denklem kokleri-56:72, -67.47 + }52.85 ve -67.47 -j52.85'te yer altr, Birim basamak degerleri §U sekildedir: · asim = %0, tr 0.044 85 saniye, t, = 0.060 61 saniye, t.,,~ 0.4 saniye. Sistemin hiz hata sabiti
=
=
100 K. = lim sG(s) = ---,-,o 1 + lOOK,
(10-217)
§eklindedir. Buna gore (10-213) alt cevrimde geribeslemeli kontrolor, takometrik geribeslemede oldugu gibi, K,. hata katsayisnu azaltrr ancak sistem 1 tipi kalmaya devam eder. A
e.(s)
e,(s)
+
(a)
(b) ~ekil 10-72 (a) Alt c;evrim geribeslemeli gone~ izleme kontrol sistemi. (b) K1s/(l + Ts)'in bir i~lemsel kuvvetlendlrici Ile gerceklestlrllmesi.
Krsirn 10-12
Durum Geribeslemeli Kontrol
821
j(J) O.Ql
s-d!izlemi
po )60
T=Q.006
'.
j48.4
T=oo j40
~T=O O.OOS
T
}33.07
= 0.004
j30 }20
JIO 0 ,.__ T T = 0.006 T = oo ~----1----1+----t-l>---0
= sabit
Kapah cevrimli sisternin ozdegerleri -10 ve -10 'da bulunsun
(b)
t·c. 0 icin x(t) yarntmr x(O) = 0 icin once R = 1 ve n(t) = -1 icin, sonra R 1 ve n(t) = 0 icin ciziniz. Bir PI kontroloru, R(s) = R/s olmak uzere,
=
U(s) Kr cs» =-::Kp+E(s) s
E(s)
= R(s) - X(s)
,
R(s) = Rls (basamak giris)
seklinde tasarlaymiz. KP ve Kr katsayilanm karakteristik denklem kokleri -10 ve -TO'da olacak sekilde belirleyiniz, t c. 0 icin x(t) yarnnru x(O) = 0 olmak uzere once R = 1 ve n(t) = -1, sonra R = 1 ve n(t) = 0 icin ciziniz.
866
Botum 10
Kontrol Sistemlerinio
Tasarum
Fmn
~ x(I)
~ekil 1 OP-46 .
Dogim ~ Yanhs Tekrarlama Sorulanmn Yamtlan
5. (Y)
22. (D)
6.(Y) 26. (D)
8.(D)
18. (D)
27. (D)
28. (D)
19. (D)
20. (D)
21. (D)
Sistemlerinin Tasanrm
ANAHTAR KIElffM!ElfER VE KONUILAR A Saytsal Kontrolorler A Faz ilerlemeli Kontrol A Sonlu Zaman Yanrn Tasanmi A Sayisal PID Kontroloru
A Faz Gerilemeli Kontrol A Durum Geribeslemeli Tasanm IA Kok Egrisi Tasanrm
Aynk verili kontrol sistemlerinin tasanmi surekli kontrol sistemlerinin tasanm prensibine esdegerdir. Burada da hedef, sistemi kriterlere uygun bir sekilde davranmaya yonelten, bir kontrolor tasarlamaknr. Gercekte, kontrol edilen sistern hep aynidir, aradaki tek fark aynk verili sisternlerde kontrolorun omeklenmis ya da sayisal veriyi isleyebilecek yetenekte olmasidir. · Bu boliimde aynk verili kontrol sistem tasanrm kisaca tanitilmaya 9ah§llacaktlr. Derinlemesine inceleme sayisal kontrol sistemlerini konu edinen kitaplarda bulunabilir. Bolumde sadece seri ve durum geribeslemeli sayisal kontrol sistemlerinin tasanmi ele almacaktir. Bu sisternlere iliskin blok diyagramlan Sekil 11-1 'de gorulmektedir,
868
Bolum 11
Aynk Verili Kontrol Sistemlerinin Tasanmi
y(t)
r(I)
+ Kontrol
Sayisal
kontrolor
edilen
~---D(z)------1~
sistern
(a)
(b)
~ekil 11-1 (a) Seri sayrsal kontrolorlu kontrol sistemi. (b) Durum geribeslemeli sayrsal kontrol sistemi.
Aynk verili kontrol sistemlerinin tasannu surekli sistemlerde oldugu gibi frekans ya da zaman tanim bolgesinde gerceklestirilebilir. Mevcut bilgisayar programlan He sayisal kontrol sistemleri en az deneme smama admu ile tasarlanabilir.
11-2 Surekli Kontrolorlerin Sayrsal Cerceklestirilmesi Kisiler surekli kontrol sistemlerinin tasanrmru genellikli sayisal kontrol sistemlerinden once ogrenir ya da ikincisini big bilmeye de bilir. Bu nedenle muhendislerin genellikle surekli kontrol sistemlerini sayisal kontrol sistemlerine tercih etmelerine sasmamak gerekir. Tasanmcr bir sistemde sayrsal kontrol uygulamaya karar verdiginde, sistem ve kontrolor dinamigi z-transfer fonksiyonlan ya da diferans denklemleriyle ifade edilebilecek sekilde modellenmis olmahdir. Bununla birlikte bazt durumlarda eskiden tasarlannus surekli kontrolorlerin yerine dahi ilsti.in sayisal kontrolorlerin kullamlmast istenebilir. Bu nedenle bu bohtrnde tartisrlan konulann iki yonti vardir; ilki PID, faz ilerlemeli, faz gerilemeli ve benzeri siirekli kontrolorlerin sayisal kontrolorlerle nasil yaklasik ifade edilebileceginin belirlenmesi, ikincisi ise sayisal kontrolorlerin sayisal islemcilerle nasil gerceklestirilebileceginin incelenrnesidir,
K1s1m 11 ·2
11-2-1
Silrekli Kontrolor(erin
Say1sal Gerceklestirllmesi
869
PIO Kontrolorlerinin say1sal ger~ekle§tirilmesi
· Surekli PID kontrolorleri K,
Gc(s) = K, + Ko,r +- s
(11-1)
transferfonksiyonu ile ifade edilir. Kr orann elemam sayisal olarak KP sabit kazanci ile gerceklenir.Sayisal bir bilgisayar ya da islemcinin kelime uzunlugu sonlu oldugundan KP sonsuz aynsnnlamaz, · · Bir /(t) fonksiyonunur, t -' kT arundaki zaman turevi geri fark kurah ile yaklasik ifade edilebilir; buna gore /(t)'nin t = kT ve (k - l )T olyi.i degerleri ile, ·
I =
df(t) dt , • er
2.(1(k1) ., f[(k - l)T]) T
(11-2)
yaztlabilir. Yukandaki turev ilseminin z-transfer fonksiyonunu bulmak icin (11-2) ifadesinin z-donusumu almirsa ·
i(
df(t)
dt
I •=tr ) = ~T
(1- z·1)F(z) =
2
-
Tz
1
F(z)
(11-3)
elde .t?dilir. Buna gore sayisal turev alicmm z-transfer fonksiyonu, K0 bir oranti katsayisr olmak uzere,
I
. Go(z) = K0
(z - 1)
Tz
(11-4)
§eklindedir. Eger (11-4) iliskisinde z yerine er, yazihr ve T omekleme periyodu sifrra yaklastmhrsa, Go(z)'nin surekli turev islemine karsi dusen KoS transfer fonksiyonuna yakmsadigi goriilur. Genelde omekleme periyodunun secimi cok onemlidir, Sayisal yaklasrmm dogrulugu j9in T ornekleme periyodu yeterli derecede kucnk olmahdir. Integral islemi K,/s'i yaklasik sayisal ifade etmek icin cok sayidaki numerik integrasyon yonteminden yararlamlabilir. Bir fonksiyon alaruru sayisal yaklasik elde etmenin temel i.i9 yontemi vardir; yamuk integrasyon, ileri dik dortgen integrasyon, ve geri dik dortgen integrasyon. Bu yontemlera§ag1da aciklanrmsnr:
Yamuk integrasyon Yamuk integrasyon kurah f(t) fonksiyonunun altmdaki alam Sekil ll-2'de gortildiigi.i gibi bir dizi yamukla yaklasik ifade eder, f(t))1in t= kT amndaki integralini
870
Bolilm 11
Ayrrk Verili Kontrol
Sistemlerinin Tasanrm f(t)
~.r\~-~: f[(k-
.-~
l)T]
'.\_~"-'.
. \/'
u[(k - 1)1]
0
J_
·"'"'\· ·
j "'"
v·
(k- l)T
.f(k1J
·._
·. :I
\i kT
~ekil 11·2 Yamuk integrasyon kuralt. u(k1) ile ifade edelim. Eger (k - 1) r s; t < kT icin f(t)'nin altmdaki alan bir yamukla ifade edilirse u(k1)
= u[(k-
l)TJ +
T
2
{f(kT) + f[(k- 1)71}
(11-5)
yazilabilir. (11-5) denklerninin a-donusumu ahmrsa, K, oranu katsayisr olmak uzere, sayisal integratorun transfer fonksiyonu
I
G ( ) = K U(z) I
= K,T(z -
' F(z)
z
1) 2(z-1)
(11-6)
olarak elde edilir.
Ileri Dikdortgen Integrasyon Ileri dikdortgen integrasyondaf(t) altmdaki alan Sekil 11-3'te oldugu gibi dikdortgenlerle yaklasik ifade edilir. Buna gore f(t) 'nin t = kT amndaki integral degeri u(k1)
= u[(k - 1)] + Tf(kT)
(11-7)
seklinde yaklasik elde edilebilir, Eger (11-7) .iliskisinin z-donusumu almirsa, ileri dikdortgen entegrasyon kurahyla integre eden sayrsal integratorun transfer fonksiyonu,
,z-· _ K
G( )
U(z) _ K1Tz
l7JT::i
_
,·,z, z-1
olarak bulunur,
(11-8)
K1s1m 11 ·2 Silrekli Kontrolorle'rin Sayrsal Gerr;:ekleitirilmesi
871
f(t) f(KI)
u[(k- 1)71 0
(k- l)T kT
·~ekil 11-3 ileri dikdortgen integrasyon kurah.
Geri Dikdortgen integrasyon Geri dikdortgen integrasyonda gecerli olan kural ~ekil 11-4'te gorulmektedir. Buna gore .f{t)'nin. t = kT amndaki integral degeri u(kT)
= u[(k- l)T] + Tf[(k- l)T)
(11-9)
§eklinde yaklasik ifade edilebilir. Geri dikdortgen integrasyon kurahm kullanan sayisal
intgratorun z-transfer fonksiyonu G(z) 1
=K
1
U(z)
F(z)
= K1T
(11-10)
z- 1
olarak elde edilir. Yukanda aciklanan oran, turev ve integral alma islemleri birlestirilirse, bir sayisal PID kontrolorunun a§ag1daki farkh transfer fonksiyonlanyla modellenebilecegi
gorulur:
·
Yamuk integrasyon G (z)
= (Kr ~ TK /2 + K;;!T)z 1
2
c
·
+ (TK,/2 - Kp - 2K0/T)z + K0/T
z(z - 1)
tC 0) 0, -3.851.
8-21 (a) Kopma noktalanrn saglayan denklem: 2s2 + 3(1 + a)s + 6a.= 0.
s =: 0 dismda kopma noktasi yok, 0.333 < a « 3 .
Sei;ilmi~ Problemlerin
Yamtlart
931
8-25 (b) Sistem --;3.333< K < 23.333 icin kararhk simnnda; diger tum K degerleri icin kararsiz.
9-1 (c) K = 100 icin, ta,
= 10 rad/s, ( = 0.327, M, = 1.618, m,. = 9.45 rad/s,
9-2, (b) M, = 15.34, to, = 4 rad/s, BG= 6.223 rad/s, (e) M,
= 1.57, ro, = 0 rad/s, BG = 1.12 rad/s.
9~5 En buyiik M, = 1.496, en kiic;tikBG = 1.4106 rad/s. 9-9 (a)
0.5 icin kararh, 9-15 (a) Sistem K > 0.5 icin kararli. (e) Sistem tum K degerleri icin kararsiz. 9-18 (a) Kararhhk icin N < 3. 9-21 (a) Kararhhk icin Td = 1.47 saniye. 9-24 (b) Maksimum D
= 400 mm.
9~28 (e) KP= 6.82 dB, FP = 50.27 derece. (h) KP= sonsuz, FP
= 13.4 derece.
= (Z -
1)180°
= i80°, Z = 2.
932
Se~ilmi§ Problemlerin
Yamtlan
9-29 (c) K kazancr 28.71 dB artinlabilir. 9-30 (d) K kazanci -2.92 dB azaltilmahdrr. 9-36 (b) FP
= 2.65", KP=
10.51 dB, M,
= 17.72, to, = 5.75 rad/s, BG=
9.53 rad/s.
9-38 (g) BG = 30 rad/s. 9-39 (b)
:rd= 0.124 4 saniye.
9-43 (b) KP.= 30.72 dB, FP = sonsuz. 9-46 Kararlihk icin en buyuk N sayisi 7' dir, ·
BoWm 10 10-3 (a) KP= 10, s; 10-5 (b)
s;
= 0.09.
= 0.001 75.
10-7 (a) Kv = 0.09, FP
= 93.8°, KP=
10-13 (a) K, = 0.6 icin minimum t, 10-16 (b) Kv
0,
M,
= 1, BG= 1.41 ra!J/s.
= 0.851 saniye. Kararhhk icin KP< 4.9718.
= 399.85, s, = ;348.93.
10-20 K, = 50, Kv
= 6, K, = 100.
10-22 (a) 1/aT'yi G(s)'in s = -lO'daki kutbu silinecek §ekilde yerlestir, (b) Ilave faz ilerlemeyi 67 dereceye ayarla, Y eni kazanc ger;i§ frekansi 10-25 (a) R 2
= 2.65 x 10
5
ile 0.65 goreli sonum oranma ulasihr,
10-27 (a) a = 1000, T = 0.000 4.
(c) a= 0.074.
= 70 rad/s.
Se~ilmi§ Problemlerin
10-30 (b) t;p
= 1.222, ox, = 45 rad/s,
10-34 K = 59.3. · 10-38 (c). G
![otomatik kontrol sistemleri [7.baskı ed.]
9758431649](https://pdfs.asia/img/200x200/otomatik-kontrol-sistemleri-7basknbsped-9758431649.jpg)
