Panduan Riset Operasi 2019 [PDF]

Citation preview

PANDUAN PRAKTIKUM



RISET OPERASI



6S-16 LINEAR PROGRAMMING



X2 6X1 + 5X2 = 30



2X1 = 8



6 D



5



3X2 = 15



C



Daerah feasible



B A



0



4 5



X1



Oleh: Dr. Ir. Endang Yektiningsih, MP. Dr. Ir. Indra Tjahaja Amir, MP.



PROGRAM STUDI AGRIBISNIS - FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN” JAWA TIMUR 2019



KARTU PESERTA PRAKTIKUM RISET OPERASI



No



Nama Mahasiswa



: ……………………………………………………



NPM



: ……………………………………………………



Semester / Program Studi



: ………… / Agribisnis



Tahun Akademi



: 2018 / 2019



Golongan



: ……………………………………………………..



Nilai Akhir



: ……………………………………………………..



Acara Praktikum



Tanggal



Nilai



Nilai



Paraf



Praktikum



Aktivitas



Laporan



Pembimbing



Mengetahui, Kalab



Ir. Eko Priyanto, MP



Koor. Dosen Pengampu



(



)



i



KATA PENGANTAR



Belajar merupakan proses meningkatkan ilmu pengetahuan dan ketrampilan peserta didik yang dapat dilakukan baik di dalam kelas maupun di luar kelas. Tujuan pembelajaran adalah membentuk manusia yang mampu memecahkan masalah secara ilmiah dengan tetap memegang prinsip etika dan estetika sehingga diharapkan menjadi insan yang lebih berdaya guna. Selaras dengan prinsip dan tujuan pembelajaran tersebut maka Program Studi Agribisnis Fakultas Pertanian Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Jawa Timur menyusun kurikulum yang sarat akan praktek sehingga diharapkan mahasiswanya tidak hanya mampu memecahkan masalah secara konsep saja tetapi juga terampil secara praktis melalui tugas-tugas praktikum. Salah satu mata praktikum adalah Riset Operasi yang melatih mahasiswa memecahkan



menggunakan masalah



(mengoperasikan)



dalam



penelitian.



alat-alat



Praktikum



analisis ini



lebih



dalam banyak



diselenggarakan di dalam kelas setelah menghimpun data-data di lapangan dan menghasilkan pengambilan keputusan yang paling tepat (optimum). Modul Praktikum Riset Operasi ini tersusun tanpa terlepas dari masukan berbagai pihak, oleh karena itu selayaknya penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada semua pihak yang telah berkontribusi. Dengan berbekal ketidaksempurnaan maka penyusun berharap adanya saran yang membangun sehingga materi dari Modul Praktikum Riset Operasi ini semakin berbobot dan bermanfaat.



Surabaya, Februari 2019 Tim Penyusun,



ii



DAFTAR ISI



KARTU PESERTA PRAKTIKUM ............................................................................ i KATA PENGANTAR................................................................................................... ii DAFTAR ISI.................................................................................................................. iii ACARA I : LINEAR PROGRAMMING METODE GRAFIS ............................... 1 ACARA II : METODE SIMPLEX ............................................................................ 8 ACARA III : TEORI DUALITAS ............................................................................. 12 ACARA IV : LINEAR PROGRAMMING POM FOR WINDOWS ..................... 15 ACARA V : METODE TRANSPORTASI .............................................................. 29 ACARA VI : MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT) ................................. 33 ACARA VII : INVENTORY (PERSEDIAAN) ........................................................ 36 ACARA VIII : ANTRIAN (WAITING LINES)......................................................... 41 ACARA IX : BREAK EVENT POINT ..................................................................... 46 ACARA X : DECISION ANALISYS ............................................................. 50



iii



ACARA I LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE GRAFIS



Menurut



Siswanto



(1990),



Operations



Research



adalah



sebuah



pendekatan kuantitatif yang menggunakan metode-metode optimisasi untuk menyelesaikan suatu persoalan matematis. Sedangkan Pemrograman Linear (Linear Programming) adalah salah satu model Riset Operasi yang sering digunakan untuk memecahkan masalah yang terkait dengan pengalokasian sumber daya perusahaan secara optimal untuk mencapai keuntungan maksimal atau biaya minimum. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam “fungsi”, 1. Fungsi tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan sasaran di dalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. 2. Fungsi kendala/batasan (constraint function) merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. Bagian terpenting dari Riset Operasi adalah bagaimana menerjemahkan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yang mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data



yang



kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang bersifat rasional. Dalam Riset Operasi diperlukan ketajaman berpikir dan logika. Untuk



mendapatkan solusi yang



optimal



dan memudahkan kita



mendapatkan hasil, kita dapat menggunakan komputer. Software yang dapat digunakan antara lain: LINDO (Linear,Interactive and Discrete Optimizer) dan POM For Windows.



1



Selain



itu,



dalam



mempelajari



Riset



Operasi,



diperlukan



model



untuk



penyederhanaan yang sengaja dibuat untuk mempermudah mempelajari dunia nyata yang kompleks dan hasilnya dikembalikan ke dunia nyata kembali. Model bisa berbentuk gambar, simulator/prototype, matematis/grafik, dan lain-lain. Dalam pengambilan keputusan dapat dibantu dengan banyak alat analisis. Untuk melakukan analisis diperlukan data. Data dibagi menjadi dua:  Data Kualitatif (data yang wujudnya kategori/atribut atau data yang tidak berwujud angka, jika berwujud angka, angka tersebut hanya sekedar 



pengganti kategori).  Data Kuantitatif (data yang berujud angka atau numeris, dan angka-angka itu bisa dilakukan operasi matematika) Fokus Riset Operasi menekankan Metode Kuantitatif dalam pengambilan keputusan. 1. LANGKAH UMUM MEMECAHKAN MASALAH KUANTITATIF Siapkan formula masalahnya, misalnya akan dipecahkan suatu masalah linier programming maka langkah kerjanya adalah: a. Tentukan masalahnya apakah kasus maksimum atau minimum b. Berapa jumlah variabel yang ada c. Berapa jumlah batasan yang ada d. Masukkan masalah tersebut ke dalam computer e. Lakukan pengecekan pada masalah bila terjadi kesalahan input f. Lakukan perhitungan dan lihat hasilnya dengan meng-Klik SOLVE g. Tampilkan hasil-hasil perhitungan h. Simpan formulasi masalah atau datanya



2



2



MODEL Linear Programming Kegiatan Sumber



Pemakaian sumber per unit Kegiatan (keluaran)



Kapasitas Sumber



1



2



3



….



n



1



a11



a12



a13



….



a1n



b1



2



a21



a22



a23



….



a2n



b2



3



a31



a32



a33



….



a3n



b3



…



…



…



…



…



…



m



am1



am2



am3



amn



bm



Z pertambahan tiap unit



C1



C2



C3



Cn



X1



X2



X3



Xn



Tingkat kegiatan



….



Gambar 1. Matriks Model Linear Programming Model Matematis  







Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = C1X1+ C2X2+ C3X3+ ….+ CnXn







Batasan : a11 X11 + a12X2 + a13X3 + ….+ a1nXn



≤ b1



a21 X11 + a22X2 + a33X3 + ….+ a2nXn



≤ b1



……………………………………………………………………………………………………………



am1X11+ am2X2 + am3X3 + ….+ amnXn



≤



bm



dan 



Non Negatively : X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ………. Xn ≥ 0



3



3



Asumsi-asumsi Dasar Linear Programming 1. Proportionality Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan 2. Additivity Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain 3. Divisibility Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan 4. Deterministic (Certainty) Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat. Penyelesaian Linear Programming Linear Programming dapat diselesaikan dengan beberapa cara antara lain : - Dengan Metode Grafis. - Dengan Metode Simplex. - Dengan Program Komputer. Metode Grafis kemampuannya terbatas, yaitu jika jumlah decision variabel hanya sebanyak 2 variabel saja (jika 3 variabel masih bisa tetapi sudah menjadi lebih sulit). Metode Simplex dapat digunakan jika jumlah decision variabel berkisar antara 3 sampai 6 variabel (jika lebih dari 6 variabel akan menjadi sulit dan penyelesaiannya menjadi sangat panjang). Penyelesaian dengan program komputer sangat mudah (dapat digunakan untuk menyelesaikan model linear programming dengan banyak variabel. Penyelesaian Linear Programming Dengan Metode Grafis. Langkah-langkah penyelesaian linear programming menggunakan metode grafis adalah sebagai berikut : * Gambarkan sumbu X1 dan X2. * Gambar garis fungsi pembatas (fungsi constrant) dengan cara :



4



* * * *



a. Tandanya diubah menjadi sama dengan ( = ). b. Cari titik potong dengan sumbu vertikal dan horizontal. Tentukan daerah yeng mungkin (feasible region). Gambarkan fungsi objective (fungsi tujuan) dengan menentukan suatu nilai tertentu. Geser fungsi objective sehingga diperoleh solusi optimum. Cek solusi optimum pada model matematisnya.



Contoh : Sebuah rumahtangga memproduksi 2 macam roti yang sangat laris, yaitu Roti Bolu dan Roti Sisir. Selain bahan-bahan yang lain, ada 2 bahan yang persediaannya menjadi pembatas, yaitu terigu, dan gula. Untuk membuat 1 buah Roti Sisir diperlukan 2 Kg terigu dan 6 Kg telur. Untuk membuat 1 buah Roti Bolu diperlukan 4 Kg terigu dan 3 Kg telur. Setiap 1 buah Roti Bolu dapat memberikan keuntungan bersih Rp. 200,- sedangkan setiap 1 buah Roti Sisir dapat memberikan keuntungan bersih Rp. 300,-. Rumahtangga tersebut setiap harinya hanya mampu membeli 120 Kg Terigu, dan 180 Kg telur. Pertanyaan : a. Tuliskan model persamaan matematis linear programmingnya untuk: - Fungsi Tujuan - Fungsi Kendala b. Selesaikanlah permasalahan tersebut dengan menggunakan METODE GRAFIS. c. Berapa solusi optimumnya (berapa buah sebaiknya Roti Bolu dan Roti Sisir yang harus diproduksi agar bisa memaksimumkan laba). d. Berapa Keuntungan maksimumnya ? Jawab : a. Jika permasalahan diatas diformulasikan dalam model linear programming akan menjadi sebagai berikut : Fungsi Tujuan : Max : Z = 200 X1 + 300 X2 Fungsi Batasan 1 2



: 2 X1 + 4 X2  120 : 6 X1 + 3 X2  180



Asumsi Non Negatively : X1 ; X2  0



5



b. Penyelesaian Metode Grafis Batasan 1  2 X1 + 4 X2 = 120  titik potong dengan sumbu X1 = 60 titik potong dengan sumbu X2 = 30 Batasan 2  6 X1 + 3 X2 = 180  titik potong dengan sumbu X1 = 30 titik potong dengan sumbu X2 = 60 Setelah itu tentukan daerah kelayakan (feasible region), disini daerah feasible region adalah daerah yang dibatasi oleh titik-titik 0 (titik pusat), titik A (perpotongan antara garis fungsi batasan 1 dengan sumbu horizontal), titik B (perpotongan antara garis fungsi batasan 1 dan garis fungsi batasan 2), dan titik C (perpotongan antara garis fungsi batasan 2 dengan sumbu vertikal). Kemudian membuat garis fungsi tujuan. Misalkan Z = 3000 Maka 3000 = 200 X1 + 300 X2  titk potong dengan sumbu X1 = 15 titik potong dengan sumbu X2 = 10 Pokok Bahasan Ii Linear Programming Metode Kuantitatif . 21 Geser garis fungsi tujuan menjauhi titik 0 sehingga menyentuh kedua garis fungsi batasan



Gambar 2: Metode Grafis dalam Penyelesaian Linear Programming



6



c. Jadi solusi optimumnya : X1 diproduksi sebanyak 20 buah dan X2 diproduksi sebanyak 20 buah d. Z max = 20 X1 + 30 X2 = 200 (20) + 300 (20) = 10000 Keuntungan maksimum sebesar Rp. 10.000 Soal Kasus 1. Seorang petani yang memiliki 7 Ha tanah sedang memikirkan berapa Ha tanah yang harus ditanamai padi dan berapa Ha yang harus ditanami kedele. Ia mengetahui bahwa jika ditanami padi, setiap Ha tanah akan menghasilkan 10 ton padi. Untuk itu diperlukan tenaga kerja 4 HKO per minggunya. Jika ditanami kedele, hasilnya 25 ton per Ha dan diperlukan tenaga kerja 10 HKO per minggunya. Setiap Kg Padi dapat dijual dengan harga Rp. 3000,- sedangkan harga kedele Rp. 4000,- per Kg. Saat ini ini petani tersebut hanya memiliki tenaga kerja 40 HKO per minggunya. Karena ada peraturan pemerintah yang mengharuskan setiap petani untuk menghasilkan padi paling sedikit 30 ton setiap kali panen, bagaimanakah formulasi persoalan ini agar petani tersebut dapat menggarap tanahnya secara optimal ? 2. Seorang pengusaha yang memiliki 3 buah pabrik sedang menghadapi masalah berkaitan dengan pembuangan limbah pabriknya. Selama ini ia membuang limbah tersebut ke sungai sehingga menimbulkan 2 macam polutan. Setelah berkonsultasi dengan pihak berwenang, diperoleh informasi bahwa ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik I adalah Rp. 15.000,-/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan I sebanyak 0,1 ton dan polutan II sebanyak 0,45 ton dari setiap 1 ton zat buangan. Ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik II adalah Rp. 10.000,-/ton dengan kemampuan mengurangi 0,2 ton polutan I dan 0,25 ton polutan II. Untuk memproses 1 ton zat buangan dari pabrik III diperlukan biaya Rp. 20.000,-/ton yang akan mengurangi 0,4 ton polutan I dan 0,3 ton polutan II. Peraturan pemerintah mengharuskan perusahaan ini untuk dapat mengurangi polutan I paling sedikit 30 ton dan polutan II paling sedikit 40 ton. Formulasikan persoalan ini agar diperoleh ongkos total yang minimum !



7



ACARA II



METODE SIMPLEX Penyelesaian Linear Programming dengan Metode Grafis penggunaan terbatas untuk 2 variabel saja (gambar yang terbentuk dalam 2 dimensi). Sebenarnya penyelesaian untuk 3 variabel dengan Metode Grafis masih bisa, tetapi karena gambar nantinya yang terbentuk menjadi 3 dimensi, maka cara menggambar maupun interpretasinya juga menjadi semakin sulit. Untuk itu, penyelesaian permasalahan Linear Programming yang jumlah variabelnya lebih banyak dapat menggunakan Metode Simplex. Perkembangan teknologi sekarang, dengan program komputer memungkinkan penyelesaian Linear Programming dengan variabel keputusan yang jauh lebih banyak Penyelesaian Linier Programming dengan Metode Simplex Penyelesaian permasalahan Linear Programming dengan vaiabel keputusan yang lebih banyak, dapat dilakukan dengan Metode Simplex. Metode ini menggunakan cara perhitungan algorithma yang dalam prakteknya berbentuk tabel yang dinamakan metode simplex tabel. Dinamakan demikian karena penyelesaian kombinasi-kombinasi variabel yang optimal dihitung menggunakan tabel-tabel. a). Penyelesaian persoalan linier programming maksimisasi : Seperti contoh di depan yang sudah kita selesaian dengan metode grafis, kita selesaiakan dengan metode simplex. Langkah-langkah penyelesaian Linear Programming dengan metode simplex dapat ditempuh dengan langkah-langkah sebagai berikut : Max : Batasan :



Z = 200 X1 + 300 X2 2 X1 + 4 X2  120 6 X1 + 3 X2  180 X1 ; X2  0



1. Ubah fungsi objective, dari bentuk eksplisit menjadi implisit. Z = 200 X1 + 300 X2 diubah menjadi : Z - 200 X1 - 300 X2 = 0 2. Ubah tanda ketidaksamaan dari fungsi constraint menjadi bertanda sama dengan ( = ) dengan menambahkan variabel Slack. Variabel slack adalah variabel tambahan yang mewakili pengangguran atau kapasitas constraint (batasan). 2 X1 + 4 X2  120 diubah menjadi : 2 X1 + 4 X2 + S1 = 120 6 X1 + 3 X2  180 diubah menjadi : 6 X1 + 3 X2 + S2 = 180 Karena kondisi ini maka fungsi tujuannya juga harus menyesuaikan menjadi : Z - 200 X1 - 300 X2 + 0 S1 + 0 S2 = 0 3. Susun fungsi objective dan fungsi constraint dalam bentuk persamaan standar.



8



Fungsi tujuan Fungsi batasan 4.



Max : Z - 200 X1 - 300 X2 + 0 S1 + 0 S2 = 0 (1) 2 X1 + 4 X2 + S1 = 120 (2) 6 X1 + 3 X2 + S2 = 180 Susun model dalam bentuk tablo (tabel). Tabel ini disebut tabel awal. Angkaangka yang dimasukkan dalam tabel awal adalah angka koefisien dari variabelvariabel : Z, X1, X2, …. , Xn, S1, S2, ….. , Sn, dan Nilai Kanan (NK). Pada tabel ditambahkan kolom Variabel Dasar (VD), dan Rasio. VD Z S1 S2



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



*) Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan nilai pada sisi kanan dari persamaan.



5.



Pilih kolom dari baris pertama tabel yang mempunyai angka negatif terbesar, untuk dipakai sebagai kolom pivot (kolom kunci). VD Z S1 S2



6. 7. 8. 9.



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



Lihat nilai-nilai di bawah kolom pivot (kolom kunci). Jika semua  0 , artinya tidak punya solusi. Jika tidak, lanjutkan. Bagilah nilai kanan dengan nilai yang ada pada kolom pivot (kolom kunci), kecuali kolom Z. Isikan hasil baginya pada kolom Rasio. Pilih baris yang mempunyai Rasio paling kecil, sebagai baris pivot (baris kunci). Titik potong kolom pivot dengan baris pivot menghasilkan pivot point (nilai kunci). VD Z S1 S2



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



Ratio 30* 60



10. Sampai disini tabel awal sudah selesai. Selanjutnya buatlah tabel yang baru di bawah tabel awal. 11. Isilah tabel kedua dimulai dari baris kunci pada tabel awal. Baris ini variabel dasar tabel awal diganti dengan variabel kunci tabel awal. Angka-angka pada baris ini berasal dari angka-angka dari baris kunci tabel awal dibagi dengan angka kunci.



9



VD Z S1 S2



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



Ratio



VD Z X2 S2



Z



X1



X2



S1



S2



NK



Ratio



0



½



1



¼



0



30



30* 60



12. Selanjutnya ubah tabel dengan menggunakan Eliminasi Gauss. Untuk barisbaris yang lain, isilah dengan cara : (angka-angka pada baris yang lama) – (angka-angka pada baris dari hasil perhitungan langkah 12) * (angka kunci tabel awal yang bersesuaian). Baris ke 1 :



( -200 -300 ( - 300) ( ½ 1 - 50 0



0 ¼ 75



0 0 100



( 6 ( ½ 4½



0 ¼ -¾



1 0 1



Baris ke 2 : (3)



3 1 0



0) 30 ) 9000



(-)



180 ) 30 ) ( - ) 90



VD Z S1 S2



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



Ratio



VD Z X2 S2



Z 1 0 0



X1 -50 1/2 4½



X2 0 1 0



S1 75 1/4 -¾



S2 100 0 1



NK 900 30 90



Ratio



30* 60



60 20



13. Setelah tabel kedua terisi semua, lihatlah baris pertamanya (baris variabel dasar Z), apakah sudah tidak ada yang bernilai negatif. Jika masih ada yang bernilai negatif, penyelesaian dilanjutkan lagi seperti mulai langkah ke 6. Seperti kita lihat pada contoh diatas, ternyata baris 1 ( Z ) masih ada yang bernilai negatif, yaitu (– 50) pada variabel X1 , maka tabel simplex masih harus dilanjutkan perhitungannya karena belum optimal. Caranya seperti pada saat membuat tabel kedua simplex.



10



VD Z S1 S2



Z 1 0 0



X1 -200 2 6



X2 -300 4 3



S1 0 1 0



S2 0 0 0



NK 0 120 180



Ratio



VD Z X2 S2



Z 1 0 0



X1 -50 1/2 4½



X2 0 1 0



S1 75 1/4 -¾



S2 100 0 1



NK 900 30 90



Ratio



VD Z X2 X1



Z 1 0 0



X1 0 0 1



X2 0 1 0



S1 66 1/3 1/3 -1/6



S2 99 1/6 -1/9 2/9



NK 10.000 20 20



Ratio



30* 60



60 20*



14. Jika sudah tidak ada yang bernilai negatif artinya sudah optimal. Pembacaan hasil optimal dilihat dari variabel dasarnya yang dan nilai kanan yang bersesuaian. Artinya pada kondisi optimal, X1 (Roti Bolu) yang diproduksi adalah 20 buah, dan X2 (Roti Sisir) yang diproduksi juga 20 buah, maka akan menghasilkan keuntungan sebesar Rp. 10.000,Soal-Soal : Selesaikan permasalahan linear programming berikut dengan menggunakan metode simplex : 1. Maksimumkan : Z = 4 X1 + 3 X2 Kendala : 2 X1 + 3 X2  6 - 4 X1 + 2 X2  3 2 X2  5 2 X1 + X2  4 X1 , X2 ,  0 2. Maksimumkan : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3 Kendala : 8 X1 + 6 X2 + X3  60 4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3  60 2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3  60 X1 , X2 , X3  0 3. Maksimumkan : Z = 3 X1 + X2 + 5 X3 + 4 X4 Kendala : 3 X1 - 3 X2 + 2 X3 + 8 X4  50 5 X1 + 6 X2 - 4 X3 - 4 X4  40 4 X1 - 2 X2 + X3 + 3 X4  20 X1 , X2 , X3 , X4  0



11



ACARA III TEORI DUALITAS Pendahuluan Setiap persoalan linier programming, selalu mempunyai persoalan kedua yang selalu berkaitan dengan persoalan pertama. Persoalan pertama disebut Primal dan persoalan kedua disebut Dual. Kedua persoalan tersebut selalu berkaitan sedemikian rupa sehingga solusi optimal dari persoalan pertama akan memberikan informasi yang lengkap tentang solusi optimal dari persoalan kedua. Hubungan antara permasalahan model yang asli (disebut bentuk “primal”) dengan bentuk dualnya sangat bermanfaat untuk berbagai hal, khususnya interpretasi ekonominya. Bentuk dual dari bentuk dual adalah bentuk primal. Primal  ----------------------------  Dual Persoalan Primal : Max : Kendala



Z = c1 X1 + c2 X2 + ………. + cn Xn a11 X1 + a12 X2 + ………………………… + a1n Xn  b1 a21 X1 + a22 X2 + ………………………… + a2n Xn  b2 am1 X1 + am2 X2 + ………………………… + amn Xn  bm X1 ; X2 ; …………. ; Xn  0



Model Dualnya : Min : Kendala



Y0 = b1 Y1 + b2 Y2 + ……………………. + bn Yn a11 Y1 + a21 Y2 + ………………………… + am1 Ym  c1 a12 Y1 + a22 Y2 + ………………………… + am2 Xm  c2 a1n Y1 + a2n Y2 + ………………………… + amn Ym  cm Y1 ; Y2 ; …………. ; Ym  0 Catatan : Y1 ; Y2 ; ………….. ; Ym adalah variabel pada model dual. Dasar Teori Dualitas Secara umum model linear programming bentuk primal yang standar dapat ditulis dalam model persamaan matematis sebagai berikut : Fungsi Tujuan : Fungsi Batasan : dan Xj ≥ 0



Maksimumkan Z =  cj Xj  aij Xj ≤ bj untuk j = 1, 2, ………, n



12



Jika bentuk matematis dari linear programming diatas dibuat dalam bentuk tabel simplex, maka akan menjadi lebih mudah dipahami. Sebagai contoh kita tampilkan tabel simplex dari baris 1 (baris fungsi tujuan Z). Tabel Hubungan Primal Dual dilukiskan seperti pada tabel berikut : PRIMAL (DUAL) Maximisasi Elemen Nilai Kanan Tanda fungsi kendala :  Tanda fungsi kendala :  Tanda fungsi kendala : = Variabel :  0 Tanda Variabel :  0 Tidak terbatas dalam tanda. Koefisien fungsi objective Minimisasi



DUAL (PRIMAL) Minimisasi Koefisien fungsi objective Tanda Variabel :  0 Tanda Variabel :  0 Tidak terbatas dalam tanda. Tanda Tanda fungsi kendala :  Tanda fungsi kendala :  Tanda fungsi kendala : = Elemen nilai kanan Maximisasi



Contoh : Model persoalan primal : Max :



Z = 2 X1 + X2



Kendala :



X1 + X2  7 2 X1 + 3 X2  9 4 X1 + X2  10



X1 ; X2  0



Maka bentuk model dualnya : Min :



Y0 = 7 Y1 + 9 Y2 + 10 Y3



Kendala :



Y1 + 2 Y2 + 4 Y3  2 Y1 + 3 Y2 + Y3  1



Y1 ; Y2 ; Y3  0 Latihan Soal : Persoalan Primal : Max :



Z = 2 X1 + X2 - 3 X3 + 5 X4



Kendala :



X1 + 7 X2 + 3 X3 + 7 X4  46 3 X1 - X2 + X3 + 2 X4  8 2 X1 - 3 X2 - X3 + X4  10



X1 ; X2 ; X3 ; X4  0



13



Carilah : a. Persoalan dualnya. b. Penyelesaian optimal dual dari primalnya. Jawab : a. Persoalan dualnya : Min Y0 = 46 Y1 + 8 Y2 + 10 Y3 Kendala : Y1 + 3 Y2 + 2 Y3  2 7 Y1 - Y2 + 3 Y3  1 3 Y1 + Y2 - Y3  - 3 7 Y1 + 2 Y2 + Y3  5 Y1 ; Y2 ; Y3  0 b. Penyelesaian primal dengan menggunakan metode simplex pada iterasi terakhir adalah sebagai berikut :



Jadi penyelesaian primal : X1 = 0 ; X2 = 12/7 ; X3 = 0 ; X4 = 34/7 ; Z = 26 penyelesaian dual : Y1 = 1/3 ; Y2 = 4/3 ; Y3 = 0 ; Y0 = 26. Metode dual simplex ini juga sangat penting untuk digunakan dalam analisis kepekaan (sensitivity analysis). Contohnya jika terjadi suatu kendala baru ditambahkan ke dalam persoalan semula setelah mencapai solusi optimal. Apabila ternyata kendala baru tidak terpenuhi oleh solusi optimal yang telah dicapai, maka persoalannya akan menjadi tidak feasibel lagi, sehingga untuk menyelesaikan ketidakfeasibelan ini perlu digunakan metode dual simplex.



Latihan Soal: Diketahui bentuk primal dari model linear programming sebagai berikut : Maksimumkan : Z = 3 X1 + X2 + 4 X3 Kendala : 6 X1 + 3 X2 + 5 X3  25 3 X1 + 4 X2 + 5 X3  20 X1 , X2 , X3  0 Pertanyaan :



a. Carilah bentuk dualnya. b. Selesaikan primal dari dualnya.



14



ACARA IV LINEAR PROGRAMMING DENGAN POM FOR WINDOWS



Dalam praktek mempelajari penyelesaian masalah dengan linear programming ini digunakan perangkat lunak (software) POM for Windows. 1. MENJALANKAN POM FOR WINDOWS a. Melalui Shortcut Apabila ada shortcut POM for Windows maka di klik 2x pada icon (Gambar) Shortcut POM for Windows. b. Melalui Menu Program Klik start → Program → Pilih POM for Windows sehingga akan muncul pada layar sebagai berikut :



Gambar 1.1. Langkah KE-1 Linear Programming Secara garis besar layar POM for Windows terdiri atas : a. Title Bar Terdiri dari: The control Main Box, program name dan button untuk layar yaitu Minimize, Maximize, dan close. b. Menu Bar Terdiri dari: File, Edit, View, Modul, Tables, Tools, Windows, dan Help.



5



15



c. Tool Bar atau Button Bar Terdiri dari: Command Bar, contohnya print screen dan solve, Instruction Panel, Extra Data Area, Data Table, Annotation Area, Status Panel. 2.



MENYIMPAN FILE PADA POM FOR WINDOWS Ketika hendak menyimpan file maka tutup semua hasil yang dibuka melalui



tombol WINDOW. Kemudian kembali ke data awal dengan menekan tombol edit data sehingga muncul tabel. Apabila grafik tidak ditutup dulu maka akan muncul pertanyaan save as bmp file? Berikut ekstensi yang harus diperhatikan ketika menyimpan file pada MODULE yang akan dibahas : a.



Linear Programming save as file dengan ekstensi .lin



b.



Transportations save as file dengan ekstensi .tra



c.



Assignment save as file dengan ekstensi .ass



d.



Break-even / Cost Volume Analysis save as file dengan ekstensi .bre



e.



Inventory save as file dengan ekstensi .inv



3. MODUL POM FOR WINDOWS Untuk memberikan gambaran singkat, berikut ini akan diuraikan beberapa materi pada modul POM beserta contoh kasus dan langkah pemecahannya. Modul ini digunakan untuk memecahkan masalah yang terkait dengan pengalokasian sumber daya perusahaan secara optimal untuk mencapai keuntungan maksimal atau biaya minimum. Ada dua model dalam Linier Programming, yaitu: a. Model Grafik Model grafik digunakan untuk memecahkan masalah penentuan kombinasi optimum (maksimal dua variabel) guna memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya dengan kendala tertentu.



6



16



Contoh kasus1 Maksimisasi: Dua produk diproses berangkai menggunakan 4 mesin. Waktu setiap mesin per hari tersedia 8 jam. Waktu proses produksi dan profit sebagai berikut: Tabel 1.1. Contoh Matrik Model LP Maksimisasi PRODUK



MESIN 1



MESIN 2



MESIN 3



MESIN 4



PROFIT



1



10 menit



6 menit



8 menit



0 menit



Rp. 10.000



2.



5 menit



20 menit



15 menit



30 menit



Rp. 20.000



Hitung jumlah produksi optimal setiap jenis produk dan keuntungan totalnya!



Penyelesaian: Pada kasus diatas disebutkan bahwa waktu yang tersedia adalah 8 jam sedangkan proses produksi mesin menggunakan satuan menit sehingga perlu dilakukan penyesuaian satuan waktu menjadi menit sehingga diperoleh angka 8 jam x 60 menit = 480 menit. Langkah selanjutnya adalah menyusun formulasi sesuai data yang terdapat dalam tabel diatas. Untuk mempermudah, jika soal yang diberikan dalam bentuk narasi, dibuat dahulu dalam bentuk tabel.



Formulasi Linier Programming: Max Z = 10.000 X1 + 20.000 X2 Kendala : 1. 10 X1 + 5 X2 ≤ 480 2. 6 X1 + 20 X2 ≤ 480 3. 8 X1 + 15 X2 ≤ 480 4.



30 X2 ≤ 480



5.



X1, X2 ≥ 0



Setelah formulasi selesai disusun maka masukkan data pada program POM for Windows dengan langkah sebagai berikut:



7



17



Pada menu POM klik MODULE lalu pilih Linear Programming, lalu klik NEW sehingga muncul gambar berikut :



Gambar 1.2. Langkah ke-1 Formulasi Linier Programming:



Keterangan: 



 Title → judul kasus yang diselesaikan, misalnya PT. LAKU LAN JAYA  Number of Constraint → jumlah fungsi batasan yang ada pad kasus. Isikan 4 buah mesin untuk produksi (A,B,C,D) sebagai fungsi batasan.  Number of Variables → jumlah variabel yang ada pad fungsi tujuan. Isikan 2 sesuai kasus di atas terdapat 2 produk (1,2) sebagai fungsi tujuan.  Objective → tujuan pengalokasian sumber daya. Klik Maximize sesuai kasus di atas (memaksimalkan keuntungan)  Row Name Options → Nama batasan yang diinginkan, misalnya A,B,C,…



Selanjutnya Klik OK sehingga muncul tampilan isian untuk memasukkan koefisien fungsi batasan dan fungsi tujuan serta kapasitas maksimum batasan pada kolom RHS (Right Hand Side) seperti berikut:



8



18



Gambar 1.3. Langkah ke-2 Linear Programming



Klik SOLVE apabila data sudah lengkap dan benar sehingga akan tampak hasilnya. Kemudian dengan meng-klik Window akan tampil pilihan Linear Programming Result, Ranging, Solution List, Iterations, dan Graph seperti pada gambar berikut:



Gambar 1.4. Langkah ke-3 Linear Programming



9



19



Gambar 1.5. Langkah ke-4 Linear Programming



Gambar 6. Langkah ke-5 Linear Programming



10



20



Gambar 1.7. Output dari penyelesaian CONTOH SOAL LINEAR PROGRAMMING



Kesimpulan : Area warna pink pada grafik merupakan Feaseble Area yaitu daerah batas yang mungkin untuk pengalokasian sumber daya produksi yang ada dengan waktu yang tersedia. Produksi tidak boleh melebihi titik-titik yang ada pada daerah Feaseble



Area. Pada grafik terdapat Isoprofit Line yang berada pada titik (34,29:13,71) di mana garis tersebut merupakan titik koordinat maksimum produksi guna mencapai profit yang maksimal. Pada grafik sisi kanan terdapat Kolom Constraint Display yang akan menunjukkan garis dari persamaan formulasi Linear Programming yang ada apabila di-klik salah satu check-box di depannya. Di bawah kolom Constraint Display terdapat kolom Corner Points yang menunjukkan hubungan antara variabel X1 dan X2 serta Z.



11



21



Jadi, jika X1 = 48 dan X2 = 0 maka Z (profit) akan bernilai 480.000 Jumlah produksi untuk produk



:1. (X1) = 34,29 2. (X2) = 13.71



Keuntungan Total



: Z = Rp. 617.142,9,-



Contoh kasus2 Minimisasi: Min Z



= 8 X1 + 2X2



Kendala 1.



= 2 X1 – 6 X2 ≤ 12



2.



= 5 X1 + 4 X2 ≥ 40



3.



= X1 + 2 X2 ≥ 12



4.



=



5.



= X1, X2 ≥ 0



X2 ≤ 6



Penyelesaian:  



   



 Klik Module Linear Programming → New  Ketikkan judul pada Title  Number of Constraint diisi 4 karena pada kasus di atas terdapat 4 fungsi batasan / kendala.  Number of Variable diisi 2 karena pada kasus di atas terdapat dua fungsi tujuan, yaitu X1 dan X2.  Pada kolom Objective pilih Minimize dan pada Row Name Options pilih A, B, C,….  Klik OK lalu SOLVE dan lihat hasilnya dengan meng-klik WINDOW untuk memilih hasil tampilan.



12



22



Pada grafik minimisasi, kolom Corner Points menunjukkan titik-titik optimal untuk produksi X1 = 3,2 dan X2 = 6 serta Z (biaya minimum) = 3,76 b. Model Simplex Model simplex digunakan untuk memecahkan masalah programasi linear melalui iterasi di mana tahapan-tahapan komputasional diulangi terus menerus sebelum diperoleh tingkat optimal. Tujuannya sama seperti Model Grafik Linear Programming yaitu untuk mendapatkan keuntungan maksimal (Maksimisasi) dan biaya minimum (minimisasi). Namun pada model simplex, jumlah variabel bisa dua atau lebih dari dua.



Contoh Kasus Maksimisasi: Lihat kembali kasus 1 Maksimisasi Isikan formulasi Linear Programming untuk kasus 1 lalu seperti pada langkahlangkah sebelumnya. Kemudian klik SOLVE untuk melihat hasilnya. Selanjutnya akan dibahas mengenai iterasinya. Formulasi simplex untuk kasus 1 tersebut adalah: Z



= 10.000 X1 + 20.000 X2 = 10 X1 + 5 X2 + S 1 ≤ 480 = 6 X1 + 20 X2 + S2 ≤ 480 13



23



= 8 X1 + 15 X2 + S3 ≤ 480 =



30 X2 + S4 ≤ 480



Adapun S (Slack) adalah variabel semu. Pada Window pilih Iterations sehingga akan muncul gambar berikut:



P ada tabel iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak 4 kali. Hal tersebut berarti untuk mencapai kombinasi angka optimum diperlukan empat kali langkah komputasi. Pada tabel Iterasi ke-4 dapat ditarik kesimpulan bahwa: Pada Basic Variable menyatakan jumlah produksi untuk Produk 1 (X1) = 34,29 dan Produk 2 (X2) = 13,71. Dan S1 bernilai 1, artinya ada sisa pada kendala 1 (480) sebanyak 1.



Contoh Kasus Minimisasi: Lihat kembali kasus 2 Minimisasi. Langkah pengerjaan sama dengan kasus 2 minimisasi. Hal yang akan di bahas adalah ITERASI. Perhatikan tabel berikut.



14



24



Pada tabel iterasi tersebut disebutkan bahwa iterasi terjadi sebanyak 7 kali. Pada tabel tersebut muncul komponen Artfcl (artificial) dan Surplus yang akan muncul bila kasus tersebut bukan kasus standar dan membutuhkan variabel pembantu untuk mencapai iterasi maksimal.



Soal – soal Latihan :



1. Loris Bakery menghasilkan 2 macam roti, yaitu roti A dan Roti B. untuk membuat roti A diperlukan bahan baku I 3Kg dan bahan baku II 2 Kg. sedangkan untuk membuat roti B diperlukan bahan baku I 4Kg dan bahan baku II 5Kg. jumlah bahan baku I dan bahan baku II yang di miliki Loris bakery sebanyak 80Kg dan 100Kg. Harga jual roti A Rp 6.000 dan roti B Rp 8.000. berapa hasil maksimal yang akan didapatkan perusahaan? 2. Toko Laris Menyediakan 2 merk pupuk, Standard & Super. Tiap jenis mengandung campuran bahan Nitrogen & Fosfat dalam jumlah tertentu. Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16Kg & 24Kg Nitrogen Dan Fosfat lahannya. Harga pupuk Standard & Super 3000 & 6000. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing - masing jenis pupuk yang harus dibeli agar



15



25



total harga pupuk mencapai nilai minimum (harga paling murah) agar kebutuhan pupuk lahannya dapat terpenuhi? 3. PT LAQUNA TEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:



Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja



Kg Bahan Baku dan Jam Tenaga Kerja Kain sutera Kain wol



Maksimum Penyediaan



Benang Sutera



2



3



60 Kg



Benang Wol



-



2



30 Kg



Tenaga Kerja



2



1



40 Jam



Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal. 4. Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis mak anan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:



16



26



Vitamin



Protein



(Unit)



(unit)



Royal Bee



2



2



100.000



Royal Jelly



1



3



80.000



Minuman Kebutuhan



8



12



Jenis Makanan



Biaya / unit



Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi? 5. Perusahaan minuman MARIGOLD merencanakan untuk membuat tiga jenis minuman yaitu Soy Bean, Yoghurt, dan Peel Fresh. Untuk menghasilkan ketiga jenis minuman tersebut, diperlukan adanya bahan baku, tenaga kerja, tenaga mesin, dan lainnya. Soy Bean dipasarkan dengan harga empat ribu rupiah/ botol, Yoghurt dipasarkan dengan harga dua ribu lima ratus rupiah/ botol, dan Peel Fresh dipasarkan dengan harga tiga ribu rupiah/ botol. Kebutuhan proses produksi untuk ketiga jenis minuman tersebut dapat ditabelkan sebagai berikut:



Keperluan



Jenis Minuman MARIGOLD



Kapasitas



Soy Bean



Yoghurt



Peel Fresh



tersedia



Bahan Baku



20



30



10



25,000



Tenaga Kerja



25



15



30



12,000



Tenaga Mesin



30



25



20



10,000



Lainnya



10



20



25



17,500



Bagaimana menentukan kombinasi ketiga jenis minuman, berapa banyak Soy Bean, Yoghurt, ataupun Peel Fresh yang harus dihasilkan agar memberikan keuntungan terbesar dengan tidak melampaui kapasitas (kendala) yang tersedia? 6. PT “B” menghasilkan 2 jenis tas yaitu tas kerja dan tas wanita dengan bahan baku berupa kulit dan plastik. Untuk setiap unit tas kerja dibutuhkan 6 lembar 17



27



kulit dan 3 lembar plastik. Bahan baku yang dimiliki perusahaan adalah 240 lembar kulit dan 180 lembar plastik. Harga jual tas kerja Rp. 80.000 dan tas wanita Rp. 40.000. Tentukan jumlah produksi agar menghasilkan penerimaan yang optimal.



18



28



ACARA V METODE TRANSPORTASI



Metode ini diigunakan untuk memecahkan masalah pengangkutan komoditi tunggal dari sejumlah sumber ke sejumlah destinasi (tempat tujuan) dengan tujuan untuk meminimkan biaya pengangkutan, memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan total waktu pengangkutan. Masalah Transportasi dapat diselesaikan dengan menggunakan POM for Windows yang akan memberikan pilihan pemecahan masalah dengan menggunakan 4 pilihan metode, yaitu: a. Any Starting Method, b. Northwest Corner Method, c. Minimum Cost Method, dan d. Vogel’s approximation Method



 Jumlah barang yang tersedia (Supply) sama dengan jumlah barang yang  



diminta (Demand).  Jumlah barang yang tersedia lebih besar dari jumlah barang yang diminta. Dalam keadaan ini muncul Dummy Destination.  Jumlah barang yang tersedia lebih sedikit dari jumlah barang yang diminta. Dalam keadaan ini muncul Dummy Source.



Vogel’s Approximation Method (VAM): Suatu pabrik memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu daerah D, E, F dan memiliki tiga gudang yang berlokasi di A, B, dan C sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas produksi per bulan pabrik D = 90 ton, E = 60 ton, dan F = 50 ton. Permintaan masing-masing gudang A = 50 ton, B = 110 ton, dan C = 40 ton per bulan. Berikut biaya transportasi dari pabrik ke gudang (Rp):



19



29



Gudang Pabrik D E F



A



B



C



20 15 25



5 20 10



8 20 19



Tentukan dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya transportasinya.



Penyelesaian:      



 Klik Module → Transportation → New  Title → ketikkan judul, misalnya PT. Laku Lan Jaya  Number of Source → jumlah sumber yang ada (pabrik). Ketikkan 3  Number of Destination → jumlah tujuan yang ada (gudang). Ketikkan 3  Objective → pilih minimize karena menghitung biaya minimal.  Row Name Options → pilih source1, source2, ….  Klik OK sehingga muncul tabel isian dan isikan data sesuai kasus:



Pilih Vogel’s approximation Method pada Starting Menthod. Setelah itu klik SOLVE untuk melihat hasilnya.



20



30



Soal-soal Latihan 1. Perusahaan air mineral ingin mendistribusikan produk terbarunya ke empat agen yang menjadi pelanggan perusahaan air mineral tersebut dan ingin mendistribusikannya ke beberapa kota di Indonesia dengan biaya atar kepada para agen di hitung dengan jarak tempat agen tersebut setiap per galonnya. Berikut biaya pengiriman produk tersebut dalam bentuk rupiah (Rp): Tabel 3.1 Data Transportasi Ke Dari Agen 1



Cilegon Kuningan Bandung 1



10



Padang



Supply



90



95



75



6300



Agen 2



80



75



120



80



4750



Agen 3



95



100



65



115



5450



Agen 4



70



85



75



90



6500



Demand



5200



5500



6000



6300



23000



Tentukan alokasi yang memberikan biaya transportasi yang paling minimum? 2. Suatu perusahaan mempunyai tiga pabrik di W, H, O. Dengan kapasitas produksi tiap bulan masing- masing 90 ton, 60 ton, dan 50 ton; dan mempunyai tiga gudang penjualan di A, B, C dengan kebutuhan tiap bulan masing- masing 50 ton, 110 ton, dan 40 ton. Biaya pengangkutan setiap ton produk dari pabrik W, H, O ke gudang A, B, C adalah sebagai berikut:



Tentukan alokasi hasil produksi dari pabrik – pabrik tersebut ke gudang – gudang penjualan dengan biaya pengangkutan terendah? 21



31



3. MG Auto memiliki 3 pabrik mobil di Los Angeles, Detroit dan New Orleans dan 2 distributor utama di Denver dan Miami. Jumlah produksi mobil tiap tiap pabrik dalam satu tahun adalah 100 unit, 150 unit dan 50 unit. Permintaan kedua distributor setiap tahunnya masing masing sejumlah 175 unit dan 125 unit. Biaya pengiriman tiap unit mobil dari tiap pabrik ke tiap distributor ditunjukkan pada matriks berikut:



Tentukan pendistribusian yang optimal (jumlah pengiriman mobil dari tiap pabrik tiap distributor, dengan total biaya minimal) ?



4. Perusahaan Hardrock memiliki 3 pabrik pada daerah yang berbeda-beda dan memiliki 3 proyek dengan lokasi yang berbeda juga. Biaya pengiriman per truk tercantum dalam table di bawah ini: Proyek



Proyek A



Proyek B



Proyek C



Pabrik 1



10



4



11



Pabrik 2



12



5



8



Pabrik 3



9



7



6



Pabrik



Adapun kapasitas harian pabrik, masing-masing adalah: Pabrik 1 kapasitas 70, Pabrik 2 kapasitas 50, Pabrik 3 kapasitas 30, dengan kebutuhan tiap proyek adalah: Proyek A = 40, Proyek B = 50, Proyek C = 60. Tentukan alokasi yang memberikan biaya transportasi paling minim.



22



32



ACARA VI : MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT)



Model ini digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisien berbeda-beda untuk tugas yang berbeda-beda pula. Contohnya: bagaimana penugasan sejumlah karyawan dengan sejumlah tugas yang harus dikerjakan dengan tujuan memaksimalkan keuntungan. Dalam model ini akan dibahas dua masalah, yaitu masalah standar, yaitu jika jumlah karyawan sama dengan jumlah tugasnya (m=n) serta masalah non-standar, yaitu jika jumlah karyawan tidak sama dengan jumlah tugasnya (m≠n).



Penugasan Standar Bagian pemasaran sebuah perusahaan mempunyai empat orang salesman, sebut saja Akhmad, Andi, Bagus dan Ida yang akan ditugaskan ke empat kota yang berbeda, yaitu kota A, B, C, dan D. Ke empat calon salesman kemudian diuji cobakan pada empat kota yang ada selama empat bulan secara bergilir, masingmasing selama satu bulan. Selama uji coba kinerja mereka diukur berdasarkan unit barang yang mampu dijualnya dan hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut:



Salesman



KOTA A



B



C



D



Akhmad



120



230



110



220



Andi



90



105



120



140



Bagus



170



140



105



180



Ida



190



200



195



210



Bagaimana sebaiknya susunan penugasan ke empat salesman perusahaan tersebut yang tepat?



23



33



Penugasan Standar2 Sebuah bengkel menerima enam jenis pekerjaan, masing-masing membutuhkan pengelolaan pada mesin bubut. Bengkel tersebut mempunyai enam mesin bubut dengan tingkat kecepatan yang berbeda. Tabel berikut menggambarkan waktu yang dibutuhkan (dalam jam) untuk memproses tiap pekerjaan pada tiap mesin.



Pekerjaan



Mesin M-1



M-



A



7



6



B



6



C



M-3



M-4



M-5



M-6



2



8



5



5



8



4



5



4



6



9



9



8



12



10



6



D



1



3



1



2



1



1



E



16



18



10



14



19



12



F



12



14



12



18



20



24



Tentukan penugasan tiap pekerjaan ke tiap mesin agar total waktu pengolahannya sekecil mungkin!



Contoh kasus penugasan non-standar1 Soal sama dengan pada kasus sebelumnya (pada penugasan standar), yang berbeda pada uji coba mereka dikirim ke lima kota daerah pemasaran selama lima bulan. Kinerja ke empat salesman di kota E sebagai berikut: Akhmad → 245, Andi → 130, Bagus → 195, dan Ida → 185. Bagaimanakah sebaiknya susunan penugasan ke empat salesman perusahaan tersebut ke empat kota dari lima kota potensial yang bisa dijangkau agar kinerja salesman optimal? Soal-soal Latihan: 1. Seorang pengusaha konveksi mempunyai 4 orang karyawati yang memproduksi 4 jenis produk. Jumlah produk yang dihasilkan dari masing-masing karyawan adalah sebagai berikut: 24



34



Nama



Baju



Celana



Rok



Safari



Aya



6



7



10



9



Ana



2



8



7



8



Lilo



8



9



5



12



Kina



7



11



12



3



Buatlah penugasan karyawan agar dihasilkan produk maksimum? 2. Sebuah perusahaan pengecoran mempunyai 4 mesin, yaoitu M1, M2, M3, dan M4. Setiap mesin mempunyai kapasitas yang berbeda dalam pengoperasiannya. Dalam



minggu



mendatang,



perusahaan



mempunyai



pesanan



untuk



menyelesaikan 4 pekerjaan, yaitu J1, J2, J3, dan J4. Biaya pengoperasian pekerjaan oleh keempat mesin adalah sebagai berikut: Mesin



M1



M2



M3



M4



J1



210



150



180



130



J2



140



160



200



190



J3



150



175



220



200



J4



200



115



160



190



Pekerjaan



25



35



ACARA VII : INVENTORY (PERSEDIAAN)



Model ini digunakan untuk memecahkan kasus yang berhubungan dengan persediaan barang untuk proses produksi dan biaya produksi dalam kaitannya dengan permintaan pelanggan terhadap suatu produk dan menyangkut biaya perawatan stok barang di gudang. Yang tercakup dalam system persediaan bahan baku ini meliputi: pengadaan bahan baku, penyimpanan bahan baku, serta pengeluaran bahan baku. Modul ini merupakan variasi dari model EOQ (Economical Order Quantity). EOQ adalah suatu jumlah pembelian untuk memenuhi kebutuhan bahan dalam satu periode yang mempunyai biaya persediaan paling ekonomis untuk dilaksanakan setiap kali pembelian. Dalam perhitungan EOQ digunakan asumsi sebagai berikut: a. Pola pemakaian bahan baku tetap b. Terdapat persediaan yang cukup di pasar bebas c. Terdapat tingkat harga yang sama dalam satu periode d. Terdapat tingkat biaya yang sama dalam satu periode e. Bahan baku yang direncanakan pembeliannya adalah bahan baku di mana jumlah unit fisik yang dipergunakan sedang, sedangkan nilai rupiahnya juga sedang. Dari asumsi model EOQ, maka konsep TIC (Total Inventory Cost) atau Biaya Total Persediaan dapat dirumuskan sebagai berikut: TIC



= Set Up Cost + Holding Cost



Perilaku biaya pesan tidak dipengaruhi oleh berapa unit yang dipesan, tetapi dipengaruhi oleh berapa kali kita melakukan pemesanan. Untuk biaya simpan tergantung dari banyaknya barang yang disimpan (dari rata-rata persedaan dikalikan biaya simpan per unit per periode).



26



36



Kasus Economic Order Quantity (EOQ) Toko elektronik “Brilliant” menjual TV merk “Sukhoi”. Dari pengalaman menjual selama beberapa tahun diperoleh data bahwa rata-rata unit terjual tiap bulannya adalah 50 unit. Biaya penyimpanan sebesar 20% dari harga pembelian per unit. Biaya pesan sekali pemesanan Rp. 50.000 dan harga pembelian per unit sebesar Rp. 600.000. Tentukan EOQ!



Penyelesaian: Formulasi untuk kasus di atas adalah: Permintaan (demand)



= 50 unit x 12 bulan = 600 unit per tahun



Biaya pesan



= Rp. 50.000 tiap kali pesan



Biaya simpan (gudang)



= 20% x Rp. 600.000 = Rp. 120.000



Harga pembelian



= Rp. 600.000



Langkah pengerjaan:  Klik module lalu pilih Inventory → New → Economic Order Quantity (EOQ) Model.  Isikan judul pada kolom Title lalu klik OK.







 Isikan data sesuai formula di atas seperti tampak pada gambar berikut :  Klik SOLVE untuk melihat hasilnya.



27



37



Safety Stock: Safety stock/Iron Stock yaitu persediaan minimal yang harus ada untuk menjamin kelancaran proses produksi akibat adanya kemungkinan kekurangan persediaan (Out of Stock). Oleh karena itu sebisa mungkin persediaan minimum jumlahnya harus ditekan (seminimal mungkin). Out of stock bisa terjadi karena beberapa hal: 1. Penggunaan bahan dasar di dalam proses produksi yang lebih besar dari pada yang diperkirakan sebelumnya. 2. Pesanan/pembeliaan bahan dasar tidak dapat datang tepat pada waktunya (atau lead time tidak terpenuhi/tidak tepat). Reorder Point (ROP) Adalah titik pemesanan kembali, yaitu saat kondisi barang persediaan ada beberapa unit kita harus melakukan pemesanan kembali, mengingat adanya kebutuhan untuk Safety Stock dan kebutuhan selama waktu menunggu “Lead Time”.



Soal-soal Latihan: 1. Sebuah perusahaan membutuhkan bahan baku klasifikasi B dalam satu tahun = 4500 unit. Biaya tiap kali pesan sebesar Rp. 400. Harga bahan baku per unit sebesar Rp. 800. Dan biaya simpan per unit per tahun = 5% dari harga beli bahan baku. Pertanyaan: a. Hitung EOQ b. Persediaan maksimum c. Rata-rata persediaan d. Berapa kali pesan dalam 1 tahun e. Jarak waktu antar pemesanan satu dengan pemesanan berikutnya (asumsi 1th=360 hari) f.



Hitung TIC



g. Hitung Total cost untuk keseluruhan termasuk untuk beli bahan baku!



28



38



2. Sebuah perusahaan sepatu merencanakan untuk menjual 1000 pasang sepatu pada tahun 2018 mendatang. Untuk memenuhi pemesanan tersebut, dilakukan penandatanganan nota kesepahaman (MoU) antara perusahaan dan supplier. Adapun dalam ketentuan itu, ditetapkan bahwa biaya transportasi ditanggung oleh pihak perusahaan sebesar $40 per order. Sedangkan biaya simpan sebesar $30. Dengan berasumsi bahwa semua kesepakatan tersebut tidak berubah dalam sepanjang tahun 2018. Hitunglah: a. EOQ b. Total Cost c. Jumlah pemesanan dalam 1 tahun d. Biaya pemesanan total per tahun e. Biaya simpan total per tahun



3. Gudang Rabat Alfa berencana untuk melakukan pengadaan sereal pada tahun 2007 besok. Adapun kebutuhan tahunan produk sereal adalah 4000 karton. Toko tersebut menanggung $60 per pemesanan sereal. Dan dibutuhkan $0.80 per karton pertahunnya untuk menyimpan sereal tersebut dalam persediaan.



a. EOQ d. Biaya pemesanan total per tahun b. Total Cost e. Biaya simpan total per tahun c. Jumlah pemesanan dalam 1 tahun



4. Berdasarkan soal nomor 2 di atas, jika saat ini Alfa setiap kali melakukan pemesanan sereal sebanyak 500 karton. Berikan rekomendasi anda, apakah perusahaan akan menggunakan EOQ pada soal nomor 2 atau menggunakan kuantitas pemesanan sebanyak 500 karton? Mengapa? 5. Kebutuhan bahan mentah selama 1 tahun sekitar 60.000 unit. Harga beli per unit Rp. 200, biaya pengiriman setiap kali pesan Rp. 40.000. biaya persiapan setiap kali pesan Rp. 10.000. Biaya penerimaan barang setiap kali pesan Rp. 10.000. Biaya pemeliharaan per unit per tahun Rp.15. Biaya bunga atas modal per tahun Rp. 15. Biaya sewa gudang per unit per tahun Rp. 20. Safety stock 29



39



ditetapkan sebesar kebutuhan 15 hari. Lead time 5 hari dengan catatan 1 tahun dihitung 300 hari. Hitung: a. EOQ d. Biaya pemesanan total per tahun b. total Cost e. Biaya simpan total per tahun c. Reorder Point atau pemesanan kembali 6. Sebuah perusahaan membutuhkan bahan baku klasifikasi B dalam 1 tahun ada 4500 unit. Biaya tiap kali pesan Rp 400. Harga bahan baku per unit sebesar Rp. 800 dan biaya simpan per unit per tahunnya sebesar 5% dari harga beli bahan baku. Hitunglah: a. EOQ b. Berapa kali melakukan pemesanan dalam 1 periode c. Total biaya pesan d. Total biaya simpan e. Total cost



30



40



ACARA VIII : ANTRIAN (WAITING LINES)



Masalah antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan pelayanan atau fasilitas pelayanan, sehingga pengguna fasilitas yang datang tidak segera dapat pelayanan dan harus menunggu hingga dilayani. Tujuan dasar dari model antrian ini adalah untuk meminimumkan biaya fasilitas pelayanan dan biaya antrian.



Contoh: Suatu



hipermarket mencoba membuat sistem



antrian



baru



pada tempat



pembayaran (kasir). Rata-rata tingkat kedatangan pelanggan 12 org/jam dan setiap pelanggan dapat dilayani dalam 4 menit. Gaji yang diberikan pada kasir adalah Rp 2500/jam. Diketahui biaya menunggu dalam antrian untuk setiap pelanggan adalah Rp 20/menit. Dengan data diatas, perusahaan melakukan ana lisis terhadap 3 pilihan yaitu, 1. Tetap memberlakukan sistem yang ada yaitu satu saluran satu tahap 2. Merekrut karyawan yang lebih terampil dengan gaji Rp.3000/jam. Dengan cara ini setiap pelanggan dapat dilayani 2 menit. 3. Memberlakukan sistem antrian baru dengan 2 tempat pembayaran



Hitung biaya total per jam yang harus dikeluarkan untuk setiap alternatif dan pilih alternatif terbaik.



Penyelesaian: 1. Jalankan program QM for Windows, pilih Module – Waiting Lines 2. Pilih menu File - New, pilih model yang sesuai dengan studi kasus. Untuk contoh diatas alternatif pertama yang dipilih adalah M/M/1, sehingga muncul tampilan seperti Gambar di bawah ini.



31



41



Gambar 5.1. Tampilan awal Antrian  Buat judul penyelesaian soal ini dengan mengisi bagian Title: “Hipermarket” . Jika Title tidak diisi, program QM for Windows akan membuat judul sendiri sesuai default (patokan)- nya. Default Title ini dapat dirubah dengan meng-klik modify default title. Judul dapat diubah/edit dengan meng-klik ikon title. 



 Pilih pada bagian Cost Analysis,pada pilihan Use Cost.  Sekarang tampilan akan seperti pada Gambar 5.2, lanjutkan dengan meng-klik tombol hingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 5.3



42



Gambar 5.2 Tampilan modul Waiting Lines setelah beberapa pilihan diisikan



Gambar 5.3 Tampilan untuk mengisikan angka-angka sesuai dengan contoh soal



 Selesaikan Contoh Soal ini dengan meng-klik tombol



pada toolbar atau dari



menu File – Solve, atau dengan menekan tombol F9 pada keyboard.  Jika ternyata ada data soal yang perlu diperbaiki, klik tombol



pada toolbar atau



dari menu File – Edit.  Jangan lupa simpan (save) file kerja ini dengan menu File – Save (atau menekan tombol Ctrl+S. Pilihan untuk menyimpan file dengan format Excel (.xls) dan html (.html) juga disediakan.



Hasil Perhitungan Ada 5 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu:



1. Waiting Lines Result 2. Table of Probabilities 3. Graphs of Prababilities 33



43



Output-output ini dapat ditampilkan secara bersaman dengan memilih menu Window – Tile, atau secara bertumpuk dengan menu Window – Cascade.



Gambar 5.4 Output waiting lines results



Gambar 5.5 Output table of probabilitie 34



44



Gambar 5.6 Output Graph of Probabilit



35



45



ACARA IX : BREAK EVENT POINT



Break event point (BEP) adalah suatu keadaan dimana dalam suatu operasi perusahaan tidak mendapat untung maupun rugi atau impas (penghasilan = total biaya). BEP merupakan hal yang sangat penting jika ingin membuat usaha agar di kemudian hari tidak mengalami kerugian.



Manfaat BEP: 1.



Sebagai alat perencanaan untuk hasilkan laba.



2.



Memberikan informasi mengenai berbagai tingkat volume penjualan, serta hubungannya dengan kemungkinan memperoleh laba menurut tingkat penjualan yang bersangkutan.



3.



Mengevaluasi laba dari perusahaan secara keseluruhan.



4.



Mengganti sistem laporan yang tebal dengan grafik yang mudah dibaca dan dimengerti.



Kompenen yang berperan dalam BEP adalah biaya. Yang dimaksud dengan biaya adalah biaya variabel dan biaya tetap, yang dalam prakteknya memisahkan biaya kedalam biaya variabel atau biaya tetap bukanlah pekerjaan yang mudah. Biaya tetap adalah biaya yang harus dikeluarkan dalam proses produksi, sedangkan biaya variabel adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit proses produksi. Biaya ini tidak ada jika tidak melakukan produksi. Salah satu kelemahan dari BEP adalah hanya ada satu macam barang yang diproduksi atau dijual, jika lebih dari satu macam maka kombinasi atau komposisi penjualannya (sales mix) akan tetap konstan. Pada era sekarang ini, perusahaan harus berusaha untuk meningkatkan daya saingnya dengan menciptakan banyak produk, sehingga sangat sulit menentukan BEP.



Cara menghitung BEP Untuk menghitung BEP dapat dilakukan dengan cara menghitung dalam bentuk unit atau hharga tergantung pada kebutuhannya.



36



46



Rumus Analisis Break Even: BEP = Total Fixed Cost / (Harga perunit - Variabel Cost Perunit)



Keterangan:  



Fixed cost: adalah biaya tetap yang nilainya cenderung stabil tanpa dipengaruhi unit yang diproduksi.







Variable cost: adalah biaya variabel yang besar kecil nilainya tergantung pada banyak dan sedikit jumlah barang yang diproduksi.



Contoh: Misalnya ada perusahaan asesoris yang harga satu buah asesoris adalah Rp 10.000,- dengan biaya variabel sebesar Rp 5.000,- per buah dan biaya tetap sebesar Rp 10.000.000,BEP = 10.000.000 / (10.000 - 5.000) BEP = 2.000



Sehingga diperlukan memproduksi 2.000 buah asesoris untuk mendapatkan kondisi seimbang antara biaya dengan keuntungan atau dikatakan profitnya nol. Penyelesaian dengan menggunakan applikasi POM for Windows seperti di bawah ini: 1.



Buka POM for Windows



2.



Pilih module dari fungsi-fungsi yang tersedia atau juga bisa menggunakan perintah (ALT + M) kemudian pilih breakevent.



3.



Setelah memilih breakevent kemudian pilih => NEW dan pilihh => BREAK EVEN ANALSIS dan akan muncul form seperti dibawah ini.



Gambar 6.1. Langkah ke-1 BREAK EVEN ANALSIS 37



47



4. Ketikan judul pada title, sebagai contoh BEP-1. Setelah memasukkan judul kemudian akan muncul form seperti dibawah ini. Klik OK.



Gambar 6.2. Langkah ke-2 BREAK EVEN ANALSIS 5.



Masukkan nilai seperti pada kasus yang akan diselesaikan.



Gambar 6.3. Langkah ke-3 BREAK EVEN ANALSIS



Gambar 6.4. Langkah ke-4 BREAK EVEN ANALSIS



48



6.



Kemudian tekan Solve atau juga bisa menggunakan perintah (ALT + S )



7.



Kemudian akan keluar hasil seperti dibawah ini.



Gambar 6.5. Langkah ke-5 BREAK EVEN ANALSIS Hasil perhitungan: Nilai break event dari kasus diatas adalah = 2000 asesoris.



Gambar 6.6 Output dari penyelesaian CONTOH SOAL BREAK EVEN ANALSIS



39



49



ACARA X : DECISION ANALISYS



Decision Analisys (DA) adalah salah satu metode untuk menyelesaikan masalah mengenai analisa keputusan. Analisa ini dilakukan melalui tabel yang akan ditunjukkan oleh output hasil pengolahan data. Tujuan yang diinginkan adalah untuk memilih keputusan yang lebih optimal berdasarkan alternatif - alternat Menguntungkan Tidak menguntungkan Probabilitas 0.2 0.7 0.1 Pabrik Besar 275000 100000 -150000 Pabrik Kecil 200000 60000 10000 Peningkatan Kapasitas 100000 40000 -1000 Do Nothing 0 0 0if pilihan yang ada.



a. Contoh soal PT. Naruto adalah salah satu perusahaan yang bergerak dibidang produksi makanan. Perusaah ini akan melakukan ekspansi dengan pilihan beberapa alternatif yang akan dipertimbangkan. Alternatif keputusan antara lain membuat pabrik besar, pabrik kecil, peningkatan kualitas, atau tidak melakukan apapun (do nothing). Dalam keputusan tersebut akan ada hal yang dipengaruhi yaitu sangat menguntungkan, menguntungkan, atau tidak menguntungkan dengan probalitilas untuk masing-masing kemungkinan yaitu 0.2 , 0.7 ,dan 0.1.Data akan dijelaskan lebih lanjut dengan tabel dibawah ini. Tabel 7.1 Data Perusahaan PT. Naruto Sangat



Menguntungkan



menguntungkan Probabilitas



Tidak menguntungkan



0,2



0,7



0,1



Pabrik Besar



275000



100000



-150000



Pabrik Kecil



200000



60000



-10000



Peningkatan



100000



40000



-1000



0



0



0



Kapasitas Do Nothing Pertanyaan : Hitung nilai disetiap alternatif pilihan, kemudian pilih alternatif terbaik dan berapa keuntungan yang akan didapatkan. 40



50



b. Langkah penyelesaian soal :  Jalankan program QM for Windows, pilih Module –



-



New, sehingga muncul tampilan seperti Gambar 7.1.



Gambar 7.1. Tampilan awal modul Decision



Analysis  Buat judul penyelesaian soal ini dengan mengisi bagian Title: “CONTOH SOAL 



DECISION ANALYSIS” . Jika Title tidak diisi, program QM for Windows akan membuat judul sendiri sesuai default (patokan)-nya. Default Title ini dapat dirubah dengan mengklik modify default title. Judul dapat diubah/edit dengan meng-klik ikon title. Isikan (set) jumlah keputusan dengan 2, dengan cara meng-klik tanda



pada



kotak Number of Decisions (dalam program QM for Windows, tidak perlu memasukkan keputusan non negatif). 



 Isikan (set) jumlah nature states dengan 2, dengan cara meng-klik tanda



pada kotak.



 Biarkan pada bagian Objective, tetap pada pilihan Profit (Maximize)



41



51







 Sekarang tampilan akan seperti pada Gambar 7.2, lanjutkan dengan meng-klik tombol



hingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 7.3. 



Gambar 7.2. Tampilan modul decision Analysis setelah beberapa pilihan diisikan.



Gambar 7.3 Tampilan untuk mengisikan angka-angka sesuai dengan contoh soal



42



52



 Selesaikan Contoh Soal ini dengan meng-klik tombol



pada toolbar



atau dari menu File – Solve, atau dengan menekan tombol F9 pada 



keyboard.  Jika ternyata ada data soal yang perlu diperbaiki, klik tombol







pada



toolbar atau dari menu File – Edit.  Jangan lupa simpan (save) file kerja ini dengan menu File – Save (atau menekan tombol Ctrl+S. Pilihan untuk menyimpan file dengan format Excel (.xls) dan html (.html) juga disediakan.



Hasil Perhitungan: Ada 5 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu : 1. Decision Table Result 2. Expected value Multiplications 3. Perfect Information 4. Regret or Opportunity Loss 5. Hurwicz Tabe



Output-output ini dapat ditampilkan secara bersaman dengan memilih menu



Window – Tile, atau secara bertumpuk dengan menu Window – Cascade.



Gambar 7.4 Output dari penyelesaian CONTOH SOAL DECISION ANAL



43 53