Parameter Denavit-Hartenberg Untuk Manipulator Robot [PDF]

Citation preview

1



ANALISIS POSISI MANIPULATOR SERI 1.1



Pengantar Robotik



Robotik merupakan suatu ilmu yang mempelajari bahwa suatu mesin dapat menggantikan manusia dalam melakukan suatu pekerjaan baik dari segi aktivitas fisik dan pengambilan suatu keputusan. Karena alasan ini robot telah menarik perhatian manusia sejak dari Al Jaziri dan Leonardo da Vinci hingga sekarang [9]. Dalam perkembangannya, robotik kemudian didefinisikan sebagai suatu ilmu yang mempelajari hubungan cerdas antara indera (sense or perception) dengan tindakan (action). Bagian yang terpenting dari suatu robot adalah komponen mekanisnya yang dapat dibagi atas komponen penggerak (locomotion) dan komponen gerak (manipulator). 1.2



Pengantar Manipulator Robot Sekarang, pembahasan akan ditujukan kepada komponen mekanis robot terutama untuk komponen gerak (manipulator). Manipulator robot terdiri atas sekumpulan batang kaku (links) yang terhubung satu sama lain melalui sambungan (joints) sehingga membentuk suatu rantai kinematik (kinematic chain). Suatu manipulator dibentuk oleh beberapa komponen mekanik yang secara garis besar terdiri atas: (1) lengan (arm) yang memastikan pergerakan (mobility), (2) wrist yang memastikan kemampuan dari (3) end-effector yang berfungsi untuk melakukan tugas-tugas yang dibutuhkan. Mobilitas dari suatu robot ditentukan oleh keberadaan sambungan (joint) pada strukturnya. Artikulasi antar dua batang kaku (link) yang terhubung dapat berupa revolute joint dan prismatic joint. Untuk manipulator seri atau rantai kinematik terbuka setiap revolute joint atau prismatic joint akan menyediakan struktur satu derajat kebebasan. Sedangkan untuk manipulator paralel atau yang berantai kinematik tertutup, derajat kebebasan adalah kurang dari jumlah sambungan karena struktur yang berupa loop. Derajat kebebasan (DOF) akan menentukan jumlah variabel tugas yang tersedia yaitu orienting dan positioning. Untuk melakukan tugas di dalam ruang dimensi tiga akan dibutuhkan 6 derajat kebebasan untuk melakukan 3 orienting dan 3 positioning. Jika derajat kebebasan melebihi jumlah variabel tugas yang tersedia



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



maka manipulator dikatakan redundant. Setelah penentuan derajat kebebasan dilakukan, besarnya ruang kerja (workspace) yang dibutuhkan juga perlu ditentukan. Karena ini akan menyangkut seberapa besar ruang yang dibutuhkan oleh end-effector untuk mengakses ruang kerja tersebut. Bentuk dan volume workspace ditentukan oleh struktur mekaniknya dan batasan (limit) dari masingmasing sambungan [10]. Batas dari rung kerja (workspace) robot itu sendiri dikenal dengan work envelope. Beberapa struktur dan ruang kerja robot dapat dilihat pada Gambar 1.1.



Gambar 1.1 Manipulator kartesian dan ruang kerjanya (kiri) dan manipulator SCARA beserta ruang kerjanya (kanan). 1.3



Manipulator Seri Manipulator robotik yang ditampilkan oleh Gambar 1.1 merupakan jenis manipulator seri dan memiliki tiga derajat kebebasan (DOF). Penentuan posisi dan orientasi end-effector manipulator seri untuk variasi variabel sudut pada masing-masing joint dikenal dengan forward kinematic. Sedagkan, jika diketahui posisi dan orientasi end-effector dan kemudian ditentukan besarnya variabel sudut pada masing-masing joint, maka keadaan ini dinamakan dengan inverse kinematics. Inverse kinematic yang dilakukan pada manipulator seri cukup rumit, karena dibutuhkan seperangkat penyelesaian matematis untuk memperoleh penyelesaian tertutup (closed form). Sebagai contoh, untuk manipulator seri 6 DOF dengan joint yang hanya berupa revolute atau prismatic, persamaan translasi dan rotasi selalu dapat direduksi menjadi polinom variabel berorde tunggal yang tidak lebih



2



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



besar dari 16 [9]. Kemudian, manipulator tersebut dapat memiliki 16 penyelesaian ril di dalam masalah inverse kinematics.Karena penyelesaian tertutup persamaan polinom hanya mungkin diperoleh jika polinom berorde 4 atau kurang. Dengan demikian, kondisi ini menunjukkan banyak dari geometri manipulator tidak dapat diselesaikan melalui jawab tertutup. Selanjutnya, penyelesaian secara numerik dapat ditempuh. Terdapat beberapa penyelesaian melalui metode numerik diantaranya adalah symbolic elimination method, continuation method dan iterative method, yang ketiganya dapat ditemukan dalam beberapa literatur robotik. 1.4



Analisis Posisi Manipulator Seri (Forward dan Inverse Kinematics)



a



Parameter Link dan Sistem Koordinat Link (Denavit-Hartenberg Parameters)



Secara umum, suatu manipulator seri dengan n-DOF disusun atas base link dan nlink yang bergerak dan terhubung dengan n-joints secara seri. Gerak relatif pada setiap joint dapat dikendalikan dengan suatu aktuator sehingga end-effector dapat diposisikan dan diorientasikan di dalam ruang kerjanya. Pendeskripsian geometri dari struktur seri dimulai dari base link hingga end-effector yang dinomori dari 0 hingga n dan joint-nya dari 1 hingga n. Kecuali untuk end-effector dan base link yang hanya memiliki satu joint. Link 1 tehubung dengan base link melalui joint 1 dan link 2 melalui joint 2, dan seterusnya. Dengan demikian link i memiliki joint i pada ujung rendah dan joint (i+1) pada ujung tinggi, seperti yang ditunjukan pada Gambar 1.2 [10]. Dengan mengikuti konvensi Denavit dan Hartenberg (1955) suatu sistem koordinat kartesian dapat ditempatkan pada setiap link dari suatu manipulator. Kecuali untuk base link dan end-effector, sistem koordinat i ditempatkan ke link i melalui aturan berikut: 1. Sumbu zi disesumbukan dengan sumbu joint ke-(i+1). Untuk revolute sumbu zi adalah sumbu putar dan untuk prismatic searah sumbu translasi. Arah positif rotasi dan translasi dapat ditentukan sendiri.



3



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



2. Sumbu xi didefinisikan sepanjang normal bersama antara sumbu joint ke-i dan ke-(i+1) yang melalui titik pada sumbu joint ke-i hingga ke-(i+1). Jika kedua sumbu adalah sejajar, maka sumbu xi dapat dipilih kemanapun yang harus tegak lurus terhadap dua sumbu joint. Untuk kasus dua sumbu yang saling bersilangan dan memotong, sumbu xi didefinisikan melalui perkalian silang vektor zi-1×zi baik searah maupun berlawanan arah dan awalnya pada titik perpotongan. 3. Sumbu yi ditentukan melalui aturan tangan kanan.



Gambar 1.2 Parameter Denavit-Hartenberg. Konvensi Denavit dan Hartenberg memberikan definisi yang tidak unik untuk link dengan kasus berikut: 1. Untuk link 0 (base link) cukup sumbu z0 yang harus dinyatakan dengan O0 dan x0 kemudian dapat dipilih. 2. Untuk link n (end-effector), karena tidak ada joint (i+1), zn tidak secara unik didefinisikan karena xn harus berarah normal (tegak lurus) terhadap sumbu zn-1. Jika joint n adalah revolute dan kemudian zn disejajarkan dengan arah zn-1.



4



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Karena kerangka koordinat telah diberikan pada tiap link, selanjutnya posisi dan orientasi link i terhadap link (i-1) dapat dinyatakan melalui parameter-parameter berikut: ai: jarak antara Oi dan Oi’, di: koordinat Oi’ sepanjang zi-1, αi: sudut yang dibentuk antara sumbu zi-1 dan zi terhadap sumbu xi, yang bernilai positif ketika arah putarnya berlawanan arah jarum jam, θi: sudut yang dibentuk antara sumbu xi-1 dan xi terhadap sumbu zi-1, yang bernilai positif ketika arah putarnya berlawanan arah jarum jam Dua dari empat parameter diatas, yaitu ai dan αi yang selalu tetap dan hanya tergantung pada geometri hubungan joint yang berdekatan pada link tersebut. Sedangkan dua sisanya merupakan variabel jika joint-nya berupa revolute, θi, atau prismatic, di. b



Transformasi Homogen Denavit-Hartenberg



Hingga sejauh ini, transformasi koordinat antara link i dan link i-1 dapat dinyatakan menurut aturan berikut: 1. Sistem koordinat (i-1) ditranslasikan sepanjang sumbu xi pada jarak ai dengan matriks trasnformasinya ditentukan oleh



 1 0 0 a i  0 1 0 0  . Trans  xi , ai     0 0 1 0    0 0 0 1



11\* MERGEFORMAT (1.)



2. Sistem koordinat (i-1) dirotasikan trehadap sumbu xi dengan besar sudut αi dan matriks transformasinya dinyatakan oleh



Rot  xi , i  



1 0  0 c i  



 0 s i  0



0



0  si ci 0



0 0 . 0  1



22\* MERGEFORMAT (1.)



5



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



3. Sistem koordinat (i-1) ditranslasikan sepanjang sumbu zi-1 pada sejauh di dengan matriks transformasinya ditentukan oleh



1 0 0  0 1 0 



0 0 Trans  zi 1 , di   .  0 0 1 d i    0 0 0 1



33\* MERGEFORMAT (1.)



4. Sistem koordinat (i-1) dirotasikan terhadap sumbu zi-1 dengan besar sudut θi dan matriks transformasinya dinyatakan oleh



 si



si



ci







 ci Rot  zi 1 ,i   



 0



0







 0



0



0 0  0 0 . 1 0  0 1



44\* MERGEFORMAT (1.)



Dengan demikian, transformasi total link i dapat dituliskan dalam bentuk i 1



A i  Trans  zi 1 , di  Rot  zi 1 , i  Trans  xi , ai  Rot  xi , i  ,



55\*



MERGEFORMAT (1.) atau dalam bentuk matriks



 ci



 si c i



si si



 s Ai   i 0   0



ci ci



ci s i



si



c i



0



0







i 1



ai ci  ai si . di   1 



66\* MERGEFORMAT (1.)



Transformasi dari link 0 ke link n merupakan perkalian dari matriks transformasi masing-masing link, persamaan 6, yang secara matematis didefinisikan dengan 0



A n  0 A1 L



i 1



Ai L



n 1



A n.



77\* MERGEFORMAT (1.)



Melalui persamaan 7 akhirnya dapat diperoleh orientasi dan posisi dari endeffector. Orientasi dari end-effector ditentukan oleh matriks 3×3 dari tiga baris dan tiga kolom pertama matriks 7, sedangkan posisinya dapat ditemukan dari matriks 3×1 dari kolom keempat matriks 7. Orientasi dan poisisi end-effector yang telah diperoleh dari 7 dapat dinyatakan dalam bentuk transformasi umum terhadap 6



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



sistem koordinal globalnya yang berada di base. Transformasi umum ini didefinisikan melalui penggunaan persamaan transformasi orientasi umum suatu objek yang berada di dalam ruang, ini secara matematis dinyatakan dalam bentuk 0



A n  Trans  px , p y , pz  RPY   , , 



 Trans  px , p y , pz  Rot  z ,   Rot  y,  Rot  x,  



 c c  sc   



c s s  s c s s s  c c



c s c  s s s s c  c s



c s 0



c c 0



  s   0



p x p y . pz  1



88\*



MERGEFORMAT (1.) Transformasi orientasi umum pada 8 dikenal dengan transformasi orientasi umum roll-pitch-yaw (RPY) yang merupakan bagian dari transformasi orientasi umum Euler angles. Dengan menuliskan 8 dalam bentuk berikut



0



 xx  x  y



zx



yy



zy



 xz



yz



zz



 0



0



0



An 



yx







px p y . pz  1



99\* MERGEFORMAT (1.)



Orientasi end-effector secara gamblang dapat ditentukan sebagai berikut



  atan2  x y , xx  ,



  atan2   xz , xx c  x y s  ,



  atan2  yz , z z  .



1010\* MERGEFORMAT (1.)



Dalam melakukan suatu tugas, posisi end-effector yang akan diketahui terlebih dahulu. Contohnya dapat dilihat dalam proses perakitan suatu komponen mesin, yang pertama kali diketahui adalah posisi dan orientasi komponen mesin tersebut terhadap titik referensi manipulator robot. Kemudian adalah posisi dan orientasi tempat pemasangan komponen mesin dalam perakitannya dengan bagian mesin lainnya atau komponen lainnya. Untuk mendapatkan kedua posisi dan orientasi (pengambilan dan pemasangan), maka diperlukan pengendalian dari setiap aktuator yang terdapat pada masing-masing joint. Dengan demikian, prosedur



7



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



yang telah dibahas sampai sejauh ini belum dapat dipakai untuk menutupi permasalahan ini, karena analisis posisi dan orientasi manipulator masih dalam tahapan penentuan posisi dan orientasi (forward kinematics). Permasalahan yang diajukan ini akan dapat diselesaikan melalui penerapan prosedur inverse kinematics. Pertama kali yang harus dilakukan adalah penentuan matriks transformasi masing-masing link hingga merakitnya menjadi suatu transformasi total dari base ke end-effector. Dengan telah diketahuinya posisi dan orientasi end-effector dalam workspace manipulator tersebut, selanjutnya dapat ditentukan seberapa besarnya aktuator pada masing-masing sambungan harus digerakkan. Kasus 1: PPRR Serial Manipulator Suatu manipulator seri 4 DOF (PPRR serial manipulator) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3. Kemudian, parameter dari masing-masing link untuk manipulator tipe ini didaftarkan dalam Tabel 1.1.



Gambar 1.3 PPRR Serial Manipulator (seluruh dimensi dalam mm dan tidak digambar dalam ukuran sebenarnya).



8



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Tabel 1.1 Parameter DH untuk PPRR serial manipulator seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3. No. link



αi



ai



di



θi



1



-90°



0



d1



0



2



90°



0



d2



0



3



-135°



0



350



θ3



4



0



0



400



θ4



Variabel link untuk PPRR serial manipulator dinyatakan oleh



q   d1 d 2 3  4  . T



Forward Kinematics Matriks transformasi untuk setiap link dinyatakan sebagai berikut



1  0 



0 0 1 0 0 A1  ,  0 1 0 d1    0 0 0 1 



 c3  



2



s3



A3    



 0 



 0



0



0



2 s3 2 2  c3 2 2  2 0







1 0 0  0 0 1 1  A2   0 1 0   0 0 0



 2 s3 0  2   2 c3 0 , 2   2  350 2  0 1 



0 0 



 d2 



1







3



,



 s4



0



c4



0



 0



0



 0



0



1 400  0 1



A4 



 c4  s  4 



0 0 



.



selanjutnya diperoleh matriks transformasi dari base ke end-effector, yaitu 0



A 4  0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 



2 s3 s4 2 2 s3c4  c3 s4 2 2  s4 2 0



 c3c4   



























2 s3c4 2 2  s3 s4  c3c4 2 2  c4 2 0



c3 s4 



 2 s3 200 s3 2  2   2 c3 200c3 2  d 2  . 2   2  350  200 2  d1 2  0 1 







9



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Dengan demikian posisi dan orientasi end-effector dapat ditentukan melalui persamaan 8, yaitu



px  200s3 2, p y  200c3 2  d 2 , pz  350  200 2  d1 , dan



 2 s3c4  2c3 s4 , 2 c c  2 s s 3 4 3 4 



  tan 1 







  tan 







s4 2



 ,  2c3c4  2 s3 s4 c  2 s3c4  2c3 s4 s  



1



















  c4 2 2 1   tan  c4  .   2 2



  tan 1 



dengan c3, s3, c4 dan s4 secara berturut-turut adalah cos θ3, sin θ3, cos θ4 dan sin θ4. Inverse Kinematics Dalam kasus ini, posisi end-effector dalam koordinat kartesian ruang dinotasikan dengan px, py, pz dan orientasinya, ϕ, ϑ, ψ, juga telah diketahui. Kemudian akan ditentukan besarnya nilai dari variabel pada setiap joint sehingga end-effector bisa mencapai titik tersebut. Posisi end-effector yang telah diperoleh sebelumnya ditulis ulang kembali disini, px  bs3 , p y  bc3  d 2 , pz  h  d1 ,



dengan b  200 2 mm , h  350  200 2 mm , untuk penyederhanaan. Variabel dari setiap joint dapat ditemukan melalui penyelesaian ketiga persamaan diatas. Variabel joint 1 adalah











d1  pz  h  pz  350  200 2  pz  67.16.



10



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Sedangkan joint 2 dapat ditentukan sebagai berikut px2  b 2 s32



 p d   p d 



2



y



px2



2



y



2



2



 b 2c32  b2







yang menghasilkan d 2  p y  b 2  px2 ,



dengan



px  b ;



. Karena jika



p b



maka titik tersebut berada di luar



workspace manipulator yang bersangkutan. Sekarang, kedua variabel joint prismatik telah didapatkan, untuk dua variabel joint revolute dapat ditentukan dari posisi dan orientasi end-effector. Variabel joint θ3 yaitu



 px b   py  d2  



3  tan 1 



dengan



px  b ,



px   1  1 b  tan  d  p   tan  y  2  



p x



 b 2  px2



dan variabel joint θ4 adalah



 4  cos 1  tan  . Kasus 2: PRPRR Serial Manipulator Suatu manipulator seri 5 DOF (PRPRR serial manipulator) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.4 dan parameter dari masing-masing link untuk manipulator tipe ini didaftarkan dalam Tabel 1.2. Tabel 1.2 Parameter DH untuk PRPRR serial manipulator seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.4. No. link



αi



ai



di



θi



1



0



0



d1



0



2



-90°



0



200



θ2



3



0



0



d3



0



4



0



150



300



θ4



5



0



0



300



θ5



11



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Gambar 1.4 PRPRR Serial Manipulator (seluruh dimensi dalam mm dan tidak digambar dalam ukuran sebenarnya). Variabel link untuk PRPRR serial manipulator dinyatakan oleh



q   d1  2



d3  4  5  . T



Forward Kinematics Matriks transformasi untuk setiap link dinyatakan sebagai berikut



1 0 0 0 1 0 



0 0 0 A1  ,  0 0 1 d1    0 0 0 1







c2  s 2 1 A 2   0   0



1 0 0 0 1 0 



0 0 2 A3  ,  0 0 1 d3    0 0 0 1



4



A5 



 c5  s  5  0   0



 s5 0







c4  s 4 3 A 4   0   0



0



 s2



0



c2



1 0



0 0



 s4 c4 0 0



0 0 



 200  1



,



0 150 c4 0 150 s4 ,  1 300  0 1



0 0 



c5



0



0 0



1 300  0 1



.



12



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



selanjutnya diperoleh matriks transformasi dari base ke end-effector, yaitu 0



A 5  0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5







 c2 c45   s2c45   s45   0



c2 s45  s2 s45



 s2 c2



c45 0



0 0



  600  d 3  s2  150c2 c4  600  d3  c2  150s2c4  d1  200  150s4   1 



Dengan demikian posisi dan orientasi end-effector dapat ditentukan melalui persamaan 8



px  150c2c4   600  d3  s2 ,



p y  150 s2c4   600  d 3  c2 , pz  d1  200  150s4 , dan



 s2c45   2 ,  c2c45



  tan 1  



s45 s     tan 1 2 45 2  ,   c2 c45  s2 s45  c2c45c  s2 s45 s  c45   tan 1    90.  0



  tan 1 



dengan c2, s2, c45 dan s45 secara berturut-turut adalah cos θ2, sin θ2, cos (θ4 + θ5), dan sin (θ4 + θ5). Inverse Kinematics Posisi end-effector, px, py, pz dan orientasinya, ϕ, ϑ, ψ, dalam koordinat kartesian telah diketahui. Kemudian, untuk mencapai posisi dan orientasi yang telah ditentukan dapat dilakukan dengan mengendalikan besarnya gerakan aktuator pada setiap sambungannya. Untuk yang pertama, variabel joint θ2 dapat ditentukan secara langsung dari orientasi end-effector, yaitu



2  .



13



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Varibel joint θ4 diperoleh dengan mengeliminasi d3 dari px dan py



p  150 s2c4 150c2c4  px  600  d3  y , s2 c2 atau



150c2c4  p xc  p y s  150s2c4  px c  p y s . 150  



 4  cos 1 



Kemudian, variable joint d1 dengan mudah diperoleh dari pz,



  p c  p y s  d1  pz  200  150s4  pz  200  150sin  cos 1  x   . 150     Kembali lagi dengan melakukan manipulasi matematis pada px dan py yang selanjutnya akan diperoleh variabel joint d3



 600  d3 



2



 600  d3 



2



s2   bc c4  px 



2



c2   p y  bs c4 



2



dengan b = 150 mm, dan dijumlahkan



 600  d3 



2



  bc c4  px    p y  bs c4  2



2



 px2  p y2  b 2c42  2b  pxc  p y s  c4 ,



dan substitusikan nilai θ4, diperoleh



 600  d3 



2



 px2  p y2   px c  p y s   2  px c  p y s  2



 px2  p y2   px c  p y s 



2



2



 px2  1  c2   p y2  1  s2   2 px p y c s  px2 s2  2 px p y c s  p y2c2   px s  p y c 



2



atau



d 3  600   px s  p y c  .



14



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Akhirnya, varibel joint θ5 ditemukan melalui orientasi posisi end-effector, ϑ, yang kembali ditulis ulang disini







s45  2 .  c c  s s45



  tan 1 



2  45



Kemudian



c2  s2 tan   4  5  



tan   4  5  , tan 



atau







1 c2 tan   p c  p y s    tan  cos 1  x     . 4 2 2  1  s tan   1  s tan  150        



5  tan 1 



c2 tan  



Kasus 3: STANFORD Manipulator Suatu manipulator yang dikenal dengan STANFORD manipulator ditunjukkan oleh Gambar 1.5 dengan parameter dari masing-masing link untuk manipulator tipe ini didaftarkan dalam Tabel 1.3. Tabel 1.3 Parameter DH untuk PRPRR serial manipulator seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.5. No. link



αi



ai



di



θi



1



-90°



0



ℓ1



θ1



2



90°



0



ℓ2



θ2



3



0



0



d3



0



4



-90°



0



0



θ4



5



90°



0



0



θ5



6



0



0



ℓ6



θ6



15



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



Gambar 1.5 Stanford Manipulator (seluruh dimensi dalam mm dan tidak digambar dalam ukuran sebenarnya). Variabel link untuk STANFORD manipulator dinyatakan oleh



q   1  2



d3  4  5  6  . T



Forward Kinematics Matriks transformasi untuk setiap link dinyatakan sebagai berikut



0



A1 



 c1  s  1  0   0



0



 s1



0



c1



1 0



0 0



1 0 0  0 1 0 



0 0 , l 1  1



0 0 2 A3  ,  0 0 1 d3    0 0 0 1







c2 0 s2  s 0 c 2 2 1  A2   0 1 0   0 0 0 



c4  s 4 3  A4   0   0



 0  0 



l2



,







1



 s4  0 0 c4  0 , 1 0  0  0 0  1 0



16



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



4



A5 



 c5  s  5  0   0



0



s5



0 c5 1 0



0 0



0 0 , 0  1







c6  s 6 5  A6   0   0



 s5 c6 0 0



0  0 0  0 . 1 l6  0 1



Matriks transformasi dari base ke end-effector dinyatakan oleh 0



A 6  0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5 5 A 6



Degan melakukan perkalian matriks secara post-multiplying, diperoleh  a11 a12  a a 0 A 6   21 22  a31 a32  0  0



a13 a23 a33 0



a14 a24 , a34  1



dimana a11  c1c2 c4 c5c6  c1c2 s4 s6  c1s2 s5c6  s1s4c5c6  s1c4 s6 ,



a12  c1c2 c4 c5 s6  c1c2 s4c6  c1s2 s5 s6  s1s4c5 s6  s1c4c6 , a13  c1c2c4 s5  c1s2c5  s1s4 s5 ,



a14  l 6c1c2 c4 s5  l 6c1s2 c5  d3c1s2 , a21  s1c2 c4 c5c6  s1c2 s4 s6  s1s2 s5c6  c1s4c5c6  c1c4 s6 ,



a22   s1c2 c4 c5 s6  s1c2 s4c6  s1s2 s5 s6  c1s4c5 s6  c1c4c6 , a23  s1c2 c4 s5  s1s2c5  c1s4 s5 ,



a24  l 6 s1c2c4 s5  l 6 s1s2c5  d 3s1s2 , a31   s2 c4c5c6  s2 s4 s6  c2 s5c6 ,



a32  s2c4c5 s6  s2 s4c6  c2 s5 s6 , a33   s2c4 s5  c2c5 ,



a34  l 6 s2c4 s5  l 6c2c5  d 3c2  l 1 , Dengan demikian posisi dan orientasi end-effector dapat ditentukan melalui persamaan 8



17



1 Analisis Posisi Manipulator Seri



px  a14  l 6 c1c2c4 s5  l 6c1s2 c5  d3c1s2 , p y  a24  l 6 s1c2 c4 s5  l 6 s1s2c5  d3 s1s2 , pz  a34  l 6 s2 c4 s5  l 6c2 c5  d3c2  l 1 , dan



 a21 ,  a11



  tan 1 



 a31  , a c  a s 21   11   a    tan 1  32 .  a33 



  tan 1 



Penentuan inverse kinematic manipulator Stanford cukup rumit dan panjang.



18