PD LINIER ORDE - N Variasi Parameter [PDF]

Citation preview

PD LINIER ORDE –n Metode Variasi Parameter



Muhammad Imron



Metode Variasi Parameter PD Linier Non Homogen Orde-n non homogen dengan koefisien konstan



any(n) + an-1y(n-1) + ... + a2y’’ + a1y’ + a0y = r(x) (anDn + an-1Dn-1 + ... + a2D2 + a1D + a0) y = r(x) Solusi Lengkap dari PD tersebut adalah



y = yh + yp



yh



yh



merupakan penyelesaian PD Homogen



= c1y1 + c2y2 + c3y3 + ... + cnyn



Dengan metode Variasi Parameter, penyelesaian khusus yp diberikan oleh :



yp



= u1y1 + u2y2 + u3y3 + ... + unyn



Dimana y1 , y2 , ... yn merupakan hasil penyelesaian PD Homogen Sedangkan u1, u2, u3, ... , un ditentukan dengan cara berikut :



yp



= u1y1 + u2y2 + u3y3 + ... + unyn



Sedangkan u1, u2, u3, ... , un ditentukan dengan cara berikut :



y1 y'1



y2 y’2



y3 ... yn y’3 ... y'n



yn-11 yn-12 yn-33 ... y'n



u'1 u'2 = u'n



0 0



Wxu=R



r(x) Tentukan Determinan Wronski (W)



Selesaikan dengan cara Crammer, maka : u'1 = W1 W u'2 = W2 W



u1 =



u'n = Wn W



un =



u2 =



∫ ∫



W1 dx W W2 dx W



∫



Wn dx W



Wi determinan matriks W tetapi kolom ke-i diganti dengan matriks R



Contoh 1 Carilah penyelesaian umum PD y’’ – 3y’ + 2y = e3x Solusi PD Homogen : PK : m2 – 3m + 2 = 0 (m – 1)(m –2) = 0 m = 1 dan m = 2 yh = c1 ex + c2 e2x Solusi khusus PD : yp = u1 y1 + u2 y2 yp = u1



ex



+ u2



e2x



Menentukan u1 dan u2 : ex e2x ex 2e2x



u'1 0 = u'2 e3x



ex e2x W= x = 2e3x – e3x = e3x 2x e 2e 0 e2x W1 = 3x = 2x e 2e ex W2 = x e



∫ ∫



0 = e3x



0 – e5x e4x – 0



∫ ∫



– e5x dx = – e2x dx = – 1 e2x 2 e3x 4x dx = ex dx = ex u2 = e e3x Sehingga yp = (– 1 e2x )ex + ( ex ) e2x= – 1 e3x 2 2



u1 =



Sehingga Solusi lengkap PD : y = c1 ex + c2 e2x – 1 e3x 2



Contoh 2 Carilah penyelesaian umum PD y’’ + 4y = sin 2x Solusi PD Homogen : +4=0 m = ± 2i yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x



PK :



m2



W=



cos 2x sin 2x = 2cos2 2x + 2sin2 2x = 2 –2sin 2x 2cos 2x



W1 =



0 sin 2x



W2 =



cos 2x –2sin 2x



∫ u = ∫



1 (– sin2 2x) dx = 1 cos 2x sin 2x – 1 x 4 2 8 1 cos 2x sin 2x dx = – 1 cos2 2x – 1 16 2 8



Solusi khusus PD : yp = u1 y1 + u2 y2 yp = u1 cos 2x + u2 sin 2x Menentukan u1 dan u2 : cos 2x sin 2x –2sin 2x 2cos 2x



u'1 0 = u'2 Sin 2x



u1 = 2



sin 2x 2cos 2x 0 sin 2x



= 0 – sin2 2x = cos 2x sin 2x – 0



Sehingga yp = (u1)cos 2x + (u2)sin 2x = – 1 x cos 2x + 1 sin 2x 4 16 Sehingga Solusi lengkap PD :



y = c1 cos 2x + c2 sin 2x – 1 x cos 2x + 1 sin 2x 4 16



Contoh 3 Carilah penyelesaian umum PD y’’ – 4y’ + 4y = e2xln x Solusi PD Homogen : PK : m2 – 4y + 4 = 0 m = 2 (akar kembar) yh = c1 e2x + c2 xe2x Solusi khusus PD : yp = u1 y1 + u2 y2 yp = u1 e2x + u2 xe2x Menentukan u1 dan u2 : e2x 2e2x



xe2x e2x+2xe2x



u'1 0 = u'2 e2x ln x



e2x W= 2e2x



xe2x e2x+2xe2x



= e4x+2xe4x – 2xe4x = e4x



0 xe2x W1 = 2x = 0 – xe4x ln x 2x 2x e ln x e +2xe e2x W2 = 2e2x



∫ u = ∫ u1 = 2



0 = e4x ln x – 0 2x e ln x



– x ln x dx = – 1 x2 ln x + 1 x2 4 2 lnx dx = x ln x – x



Sehingga yp = (– 1 x2 ln x + 1 x2 )e2x + (x ln x – x)x e2x = 1 x2 e2x ln x – 3 x2 e2x 2 4 2 4 Sehingga Solusi lengkap PD :



y = c1 e2x + c2 xe2x + 1 x2 e2x ln x – 3 x2 e2x 2 4



Badai Cepat Berlalu Semoga Kita Diberikan Kesehatan