Isi (PD Orde 2) [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang MatLab (Matrix Laboratory) merupakan komputasi numerikal dan bahasa pemrograman komputer generasi keempat yang dikembangkan oleh The MathWorks. Matlab memungkinkan adanya manipulasi matriks, plot grafik dari fungsi dan data dan implementasi algoritma. Matlab merupakan metode numerik yang memiliki toolbox dengan menggunakan mesin simbolik MuPAD, yang memberikan akses terhadap aljabar komputer. Sebagai tambahan, adanya Simulink pada Matlab mampu memberikan tampilan simulasi grafis multiranah dan desain berdasarkan model untuk sistem kinematika dan dinamika. Pada tahun 2004, MathWorks mengklaim bahwa Matlab telah dimanfaatkan oleh lebih dari satu juta pengguna di dunia pendidikan dan industry. Pada dasarnya, metode numerik dari Matlab ini fungsinya adalah untuk mempermudah perhitungan-perhitungan yang ssulit diselesaikan dengan cara analitis. Disamping itu, kelebihan lain fungsi dari Matlab ini adalah mampu menampilkan plot grafik yang diinginkan apakah dalam 2 dimensi atau 3 dimensi, berwarna atau tidak berwarna. Hal ini tentunya, dapat dijadikan sebagai alasan bagi seorang guru misalnya untuk mengunakan Matlab sebagai sebuah media peembelajaran, yang mampu membantu siapa saja yang menggunakannya apakah guru atau siswa untuk mempeajari materi-materi fisika dengan lebih mudah dan menarik. Sebagai contoh, untuk menampilkan bentuk plot grafik gelombang transversal dalam pelaksanaannya secara analitis akan diperoleh tampilan grafik yang terbatas hanya pada dua dimensi yang diproyeksikan terhadap sumbu x dan y. Untuk mengambarkan gelombang tersebut dalam bentuk 3 dimensi, tentunya akan sulit jika digambar dengan cara manual, tetapi jika menggunakan Matlab, hal ini menjadi lebih mudah Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model



1



matematis di dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial. Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan dituliskan dengan :



 dx d 2 x d n x  F  x, , 2 , n , t   0  dt dt dt  Persamaan differensial adalah pesamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variabel bebas saja dinamakan perasamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation-ODE). Sedangkan persamaan diferensial yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (Partial Differential Equation-PDE). Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan. Pada pembahasan makalah ini akan membahas persamaan diferensial biasa (ODE) dengan metode Euler atau orde satu. Penyelesaian persamaan diferensial biasa (ODE) mempunyai bentuk umum yaitu: dy  f  x, y  dx



Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi di xr+1 = xr + h, dengan h



adalah ukuran langkah (step) setiap lelaran. Pada metode



analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada



2



metode numeric nilai awal (initial value) pada persamaan di atas berfungsi untuk memulainya dengan matlab. Oleh karena itu, pada bagian ini penulis akan menulis penggunaan Matlab untuk menyelesaikan masalah integral yang berjudul “Persamaan Diferensial Orde Dua” yang akan diaplikasikan dengan menggunakan matlab.



1.2 Rumusan Masalah 1. Bagaimana



penggunaan



metode



Euler



dengan



Matlab



untuk



menyelesaikan persamaan differensial orde 2? 2. Bagaimana penggunaan metode Runge Kutta dengan Matlab untuk menyelesaikan persamaan differensial orde 2?



1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui penggunaan metode Euler dengan Matlab untuk menyelesaikan persamaan differensial orde 2 2. Untuk mengetahui penggunaan metode Runge Kutta dengan Matlab untuk menyelesaikan persamaan differensial orde 2



3



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Persamaan Diferensial Orde Dua (Buku Prof. Sahyar) Bentuk umum persamaan diferensial orde dua 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑦) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Persamaan diferensial orde dua banyak digunakan dalam bidang sains seperti persamaan getaran, persamaan gaya, persamaan rangkaian RLC pada listrik AC dan lainnya.persamaan diferensial orde dua dapat diselesaikan secara analitik dan non analitik.



2.1.1 Metode Euler Penyelesaian persamaan diferensial orde dua dilakukan dengan memodifikasi persamaan diferensial orde dua menjadi dua persamaan orde satu. Persamaan iterasi metode euler untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua adalah sebagai berikut: 𝑑2𝑥 = 𝑓(𝑡, 𝑥̂, 𝑥) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 𝑑2 𝑥 𝑥̂ = : 𝑥̈ = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 ∶ 𝑣 = = 𝑥̈ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑥̈ = = 𝑣̇ 𝑑𝑡 𝑥̇ = 𝑣:



𝑣̇ = 𝑓(𝑡, 𝑣, 𝑥)



Persamaan iterasi : 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ𝑣 𝑣2 = 𝑣1 ℎ𝑓(𝑡1 , 𝑣1 , 𝑥1 )



4



Penerapan Metode Euler Contoh 1 Masalah : penyelesaian model untuk getaran teredam c k x− x m m dx t = v; = v; dx = vdt dt x̂ = −



x2 = x1 + v2 h v̂ = f(t, v, x) = −



c k x− x m m



dv = f(t, v, x); dv = dt f(t, v, x) dt Defenisi fungsi Function dg=fg(t,v,x) m=1;k=2;c=0,5; dg=-(c/m*v-(k/m)*x Variabel utama/struktur data No.



Besaran



Variabel



Tipe data



Keterangan



1



Lebar segmen



m



Real



Input



2



Nilai awal simpangan



x



Real



Input



3



Nilai awal kecepatan



v



Real



Input



4



Lama pengamatan



tm



Real



Input



5



Nilai fungsi eksternal getaran



dt



Real



Input



Algoritma 1. Mulai 2. Input Data 



x = input (‘nilai awal x=f’)







v = input (‘nilai awal v=’)







tm=input(‘lama pengamatan=’)







n = Input (‘jumlah segmen =’)



3. Proses



5







dt←tm/n;







t←0;







for i ←l:n







x←x+dt*v;







v←v+dt*fg(t,v,x);







t←t+dt







xc(i) ←x;xd(i) ←v;







xt(i) ←t;







end



4. Tampil 



Plot (xt,xc);







Plot (xt,xd);



5. Stop Koding %metode euler %persamaan diff orde 2 %dengan syarat awal %dy/dx=f(x,y) %fungsi getaran teredam %x^=-(c/m)v-(k/m)x clc; clear; x = input (‘nilai awal x=f’) v = input (‘nilai awal v=’) tm=input(‘lama pengamatan=’) n = Input (‘jumlah segmen =’) dt←tm/n; t=0; for i=l:n x=x+dt*v; v=v+dt*fg(t,v,x); t=t+dt xc(i) =x;xd(i)=v; xt(i)=t; end plot(xt,xc,’t’,xt,xd,’k’);grid on;xlabel(‘t’); ylabel(‘x.v’);title(‘getaran teredam’); legend(‘x’,’v’); fprint(‘waktu=%8,3f,’n’,t’) fprint(‘x=%8,3f,’n’,t’) fprint(‘v=%8,3f,’n’,t’) Function dg=fg(t,v,x) m=1;k=2;c=0,5; dg=-(c/m*v-(k/m)*x



6



Aplikasi Dengan Matlab Langkah-langkah dengan MATLAB: 1. Buka program Matlab pada desktop sehingga akan terbuka program dengan memunculkan kotak dialog MATLAb dan Comman Window seperti gambar:



Program MATLAB



Kotak dialog MATLAB



Comman Window



2. Buat M-file baru pada Comman Window dengan cara mengklik menu File pada Comman Window dan pilih New kemudian M-File seperti gambar di bawah ini:



Buat file baru pada Comman Window : File  New  M-File



7



3. Maka akan muncul kotak M-File baru seperti pada gambar di bawah ini:



4. Masukkan kode program ke program MATLAB sebagai berikut dengan cara mengketikkannya pada kotak dialog M-File. Kode Program : %Metode Euler %Persamaan diff. orde 2 %dengan syarat awal %dy/dx=f(x,y) %fungsi getaran teredam %x"=-(c/m)v-(k/m)x clc; clear all; disp ( ' PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE EULER ' ); disp ( ' OLEH : KELOMPOK 1 ' ); disp ( ' NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) ' disp ( ' NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) ' disp ( ' SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020)' disp ( ' KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA' ); disp ( ' DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ' ); disp ('________________________________________________________'); disp (' ') x=input('Nilai awal x = ') v=input ('Nilai awal v = ') tm=input('Lama pengamatan = ') n=input('Jumlah segmen = ') dt=tm/n; t=0; for i=1:n x=x+dt*v; v=v+dt*fg(t,v,x); t=t+dt; xc(i)=x;xd(i)=v; xt(i)=t; end plot(xt,xc,'r',xt,xd,'k');grid on;xlabel('t'); ylabel('x,v');title('getaran teredam'); legend('x','v'); fprintf('waktu=%8.3f\n',t); fprintf('x=%8.3f\n',x); fprintf('v=%8.3f\n',v);



8



); ); );



Kode pada halaman selanjutnya function dg=fg(t,v,x); m=1;k=2;c=0.5; dg=-(c/m)*v-(k/m)*x;



Koding yang telah di input sebagai berikut:



5. Setelah selesai mengetik script program, simpanlah hasil kerja (work) dengan mengklik menu File kemudian Save pada kotak dialog M-File. Gantilah nama file dari Untitled menjadi ‘MetodeEuler2’ (tanpa spasi). Catatan : nama file tidak boleh menggunakan spasi, jika menggunakan spasi maka file akan eror jika dijalankan. 6. Pada work path klik ‘Debug’ kemudian ‘Run’ untuk menjalankan program. 7. Maka akan muncul pada Comman Window sebagai berikut: >> PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE EULER OLEH : KELOMPOK 1 NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020) KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ________________________________________________________ Nilai awal x =



9



Gambar pada comman window:



8. Kemudian masukkan nilai awal x = 10, nilai awal v = 0, lama pengamatan = 15, jumlah segmen = 400. Setelah itu tekan ‘Enter’ pada keyboard, maka akan muncul nilai integral tersebut sebagai berikut. >> PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE EULER OLEH : KELOMPOK 1 NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020) KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ________________________________________________________ Nilai awal x = 10 x = 10 Nilai awal v = 0 v = 0 Lama pengamatan = 15 tm = 15 Jumlah segmen = 400 n = 400 waktu= 15.000 x= -0.080 v= -0.278 >>



10



Gambar pada Comman Window:



Gambar grafik pada Comman Window:



11



2.1.2 Metode Runge-Kutta Orde 4 Bentuk persamaan iterasi penyelesaian persamaan differensial orde dua dengan meyode Runge-Kutta orde 4 adalah sbb; 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2



= 𝑓(𝑡, 𝑣, 𝑥); 𝑣 =



𝑑𝑥 𝑑𝑡



𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑔(𝑡, 𝑣, 𝑥); = 𝑓(𝑡, 𝑣, 𝑥) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 k1=dt*g(t,v,x);r1=dt*f(t,v,x) k2=dt*g(t+dt/2,v+r1/2, x+k1/2) r2=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k1/2) k3=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2) r3=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2) k4=dt*g(t+dt,v+r3,x+k3) r4=dt*g(t+dt,v+r3,x+k3) k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6 r=(r1+2*r2+2*r3+r4)/6 x=x+k; v=v+r Penerapan metode Runge-Kutta model untuk getaran: c k x− x m m dx t = v; = v; dx = vdt dt c k v̂ = f(t, v, x) = − x − x m m dv = f(t, v, x); dt 𝑚x̂ = −



Variabel utama/struktur data No.



Besaran



Variabel



Tipe data



Keterangan



1



Lebar segmen



m



Real



Input



2



Nilai awal simpangan



x



Real



3



Nilai awal kecepatan



v



Real



4



Lama pengamatan



tm



Real



5



Nilai fungsi eksternal getaran



dt



Real



12



Input



Algoritma 1. Mulai 2. Input Data  x = input (‘nilai awal x=f’)  v = input (‘nilai awal v=’)  tm=input(‘lama pengamatan=’)  n = Input (‘jumlah segmen =’) 3. Proses  t←0;  dt←tm/n;  for i←1:n 



k1=dt*g(t,v,x);r1=dt*f(t,v,x)







k2←dt*g(t+dt/2,v+r1/2, x+k1/2)







r2←dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k1/2)







k3←dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2)







r3←dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2)







k4←dt*g(t+dt,v+r3,x+k3)







r4←dt*g(t+dt,v+r3,x+k3)







k← (k1+2*k2+2*k3+k4)/6







r← (r1+2*r2+2*r3+r4)/6







x←x+k;







v←v+r







t←t+dt







xc(i) ←x;xd(i) ←v;







xt(i) ←t;







end



4. Tampil 



Plot (xt,xc)







Plot (xt,xd)



5. Stop



13



Koding %metode Runge-Kutta orde 2 %dengan syarat awal %dy/dx=f(x,y) %fungsi getaran teredam %x^=-(c/m)v-(k/m)x clc; clear; x = input (‘nilai awal x=f’) v = input (‘nilai awal v=’) tm=input(‘lama pengamatan=’) n = Input (‘jumlah segmen =’) t=0; dt←tm/n; for i=1:n k1=dt*g(t,v,x);r1=dt*f(t,v,x) k2=dt*g(t+dt/2,v+r1/2, x+k1/2) r2=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k1/2) k3=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2) r3=dt*g(t+dt/2,v+r2/2, x+k2/2) k4=dt*g(t+dt,v+r3,x+k3) r4=dt*g(t+dt,v+r3,x+k3) k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6 r=(r1+2*r2+2*r3+r4)/6 x=x+k; v←v+r t←t+dt xc(i) ←x;xd(i) ←v; xt(i) ←t; end plot(xt,xc,’t’,xt,xd,’k’);grid on;xlabel(‘t’); ylabel(‘x.v’);title(‘getaran teredam’); legend(‘x’,’v’); fprint(‘waktu=%8,3f,’n’,t’) fprint(‘x=%8,3f,’n’,t’) fprint(‘v=%8,3f,’n’,t’) Function dg=fg(t,v,x) m=1;k=2;c=0,5; dg=-(c/m*v-(k/m)*x function dv=fv(t,v,x); dv=v



14



Aplikasi Dengan Matlab Langkah-langkah dengan MATLAB: 1. Buka program Matlab pada desktop sehingga akan terbuka program dengan memunculkan kotak dialog MATLAb dan Comman Window seperti gambar:



Program MATLAB



Kotak dialog MATLAB



Comman Window



2. Buat M-file baru pada Comman Window dengan cara mengklik menu File pada Comman Window dan pilih New kemudian M-File seperti gambar di bawah ini:



Buat file baru pada Comman Window : File  New  M-File



15



3. Maka akan muncul kotak M-File baru seperti pada gambar di bawah ini:



4. Masukkan kode program ke program MATLAB sebagai berikut dengan cara mengketikkannya pada kotak dialog M-File. Kode Program : %Metode Runge Kutta orde 2 %dengan syarat awal % dy/dx=f(x,y) % Fungsi getaran teredam % x"=-(c/m)v-(k/m)x clc; clear all; disp ( ' PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE RUNGE KUTTA ORDE 4 ' ); disp ( ' OLEH : KELOMPOK 1 ' ); disp ( ' NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) ' ); disp ( ' NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) ' ); disp ( ' SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020)' ); disp ( ' KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA' ); disp ( ' DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ' ); disp ('________________________________________________________'); disp (' ') x=input('Nilai simpangan = '); v=input ('Nilai kecepatan awal = '); tm=input('Lama pengamatan = '); n=input('Jumlah segmen = '); t=0; dt=tm/n; for i=1:n k1=dt*fv(t,v,x); r1=dt*fg(t,v,x); k2=dt*fv(t+dt/2,v+r1/2,x+k1/2); r2=dt*fg(t+dt/2,v+r1/2,x+k1/2); k3=dt*fv(t+dt/2,v+r2/2,x+k2/2); r3=dt*fg(t+dt/2,v+r2/2,x+k2/2); k4=dt*fv(t+dt,v+r3,x+k3); r4=dt*fg(t+dt,v+r3,x+k3); k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; r=(r1+2*r2+2*r3+r4)/6; x=x+k; v=v+r;



16



t=t+dt; xc(i)=x;xd(i)=v; xt(i)=t; end plot(xt,xc,'r',xt,xd,'k');grid on;xlabel('t'); ylabel('x,v');title('Getaran teredam'); fprintf(' waktu=%8.3f\n',t); fprintf(' X=%8.3f\n',x); fprintf(' V=%8.3f\n',v);



Koding yang telah di input sebagai berikut:



5. Setelah selesai mengetik script program, simpanlah hasil kerja (work) dengan mengklik menu File kemudian Save pada kotak dialog M-File. Gantilah nama file dari Untitled menjadi ‘RungeKutta2’ (tanpa spasi). Catatan : nama file tidak boleh menggunakan spasi, jika menggunakan spasi maka file akan eror jika dijalankan. 6. Pada work path klik ‘Debug’ kemudian ‘Run’ untuk menjalankan program. 7. Maka akan muncul pada Comman Window sebagai berikut: >> PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE RUNGE KUTTA ORDE 4 OLEH : KELOMPOK 1 NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020) KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA



17



DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ________________________________________________________ Nilai simpangan =



Gambar pada comman window:



8. Kemudian masukkan nilai simpangan = 10, nilai kecepatan awal = 0, lama pengamatan = 15, jumlah segmen = 150. Setelah itu tekan ‘Enter’ pada keyboard, maka akan muncul nilai integral tersebut sebagai berikut. >> PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 DENGAN METODE RUNGE KUTTA ORDE 4 OLEH : KELOMPOK 1 NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020) KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ________________________________________________________ Nilai simpangan Nilai kecepatan Lama pengamatan Jumlah segmen = waktu= 15.000 X= -0.066 V= -0.303 >>



= 10 awal = 0 = 15 150



18



Gambar pada Comman Window:



Gambar grafik pada Comman Window:



Melalui testing diatas disimpulkan bahwa dengan metode Euler menggunakan segmen 400 sedangkan pada metode Runge Kutta menggunakan jumlah segmen 150. Komputasi dengan metode Runge-Kutta lebih efektif dan lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler.



19



Penyelesaian Persamaan Diferensial orde 2 menggunakan fungsi standar Matlab menyediakan beberapa fungsi standar untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua, maka harus dilakukan modifikasi sehingga menjadi bentuk persamaan diferensial orde satu. Perubahan bentuk persamaan diferensial orde dua ke satu 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥. 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑦) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 dy misal y1 = y; y2 = ; maka persamaan menjadi dx 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑓(𝑥, 𝑦1 )𝑦2 + 𝑔(𝑥, 𝑦1 )𝑦1 = 𝑔(𝑥, 𝑦1 )



Aplikasi 1 Penyelesaian persamaan diferensial orde 2 getaran teredam Bentuk umum persamaan diferensial getaran teredam 𝑚=



𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +𝑐 + 𝑘𝑦 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡



𝑑2𝑦 𝑐 𝑑𝑦 𝑘 =− − 𝑦 2 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 Fungsi eksternal getaran teredam %getaran teredam %my+cy2+ky=0 Function dy/dt=getar(t,y); m=1;c=0,5;k=2 dy/dt=[y(2);-c/m*y(2)-k/m*y(1)]



Koding %getaran teredam %my+cy2+ky=0 %nama file getar.m [t,y]=ode45(‘getar’,0,30,[5:0]); y1=y(t,1); y2=y(t,2); plot(t,y1,t,y2); grid on; title(‘getaran teredam’); xlabel(‘t=waktu’); ylabel(‘y/v’); legend(‘y’,’v’);



20



Hasil grafik pada comman window



Aplikasi 2 Penyelesaian persamaan diferensial orde 2 getaran paksa Bentuk umum persamaan getaran paksa 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑚 = 2 +𝑐 + 𝑘𝑦 = 𝐴 cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2𝑦 𝑐 𝑑𝑦 𝑘 = − − 𝑦 + 𝐴 cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 Fungsi eksternal getaran paksa %getaran paksa %my+cy2+ky=a cos wt %nama file getar.m Function dy/dt=getar(t,y); m=1;c=0,5;k=2 dy/dt=[y(2);-c/m*y(2)-k/m*y(1)+2*cos(3*t)];



Koding %getar paksa %my+cy2+ky=0 %nama file getar.m [t,y]=ode45(‘getar’,0,30,[10:2]);



21



y1=y(t,1); y2=y(t,2); plot(t,y1,t,y2); grid on; title(‘getar paksa’); xlabel(‘t=waktu’); ylabel(‘y/v’); legend(‘y’,’v’);



Hasil grafik pada comman window



Aplikasi 3 Penyelesaian persamaan diferensial orde 2 getaran Van Der Pol 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 + 𝑚(1 − 𝑦 ) +𝑦 =0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2) = −𝑚(1 − 𝑦 −𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 0 < 𝑚 < 10 Fungsi eksternal getaran Van der Pol %getaran Van der Pol %y2=-m(1-y^2)y^2-5 %nama file getaran Van.m Function dy/dt=getar(t,y); m=1;c=0,5;k=2 dy/dt=[y(2);-c/m*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];



22



Koding %getar Van der Pol %y2=-m(1-y^2)y^2-5 [t,y]=ode45(‘van’,0,30,[2:0]); y1=y(t,1); y2=y(t,2); plot(t,y1,’k’,t,y2,’t’); grid on; title(‘getaran Van Der Pol’); xlabel(‘t=waktu’); ylabel(‘y/v’); legend(‘y’,’v’);



Hasil grafik pada comman window



2.2 Persamaan Diferensial Orde Dua (Buku Chapra) 2.2.1 Metode Klasik Orde – keempat Runge-Kutta(RK) Metode RK yang paling populer adalah urutan keempat. Pada pendekatan urutan kedua, ada versi jumlah tak terbatas. Berikut ini adalah bentuk paling umum digunakan, dan karena itu kita menyebutnya metode klasik RK orde keempat:



23



y i 1  y i 



1 k1  2k 2  2k 3  k 4 h 6



Dimana k1  f t i , y i  1 1   k 2  f  t i  h, y i  k 1 h  2 2   1 1   k 3  f  t i  h, y i  k 2 h  2 2   k 4  f t i  h, y i  k 3 h 



Perhatikan bahwa untuk ODE (Operaional Diferential Parsial) yang merupakan fungsi t saja, metode klasik RK orde keempat ini mirip dengan aturan Simpson 1/3. Selain itu, metode RK orde keempat mirip dengan pendekatan Heun dalam beberapa taksiran derajat kemiringan dikembangkan untuk menghasilkan derajat kemiringan rata-rata yang lebih baik untuk interval tersebut. Seperti yang digambarkan pada Gambar. 20,7, masing-masing k mewakili kemiringan. Persamaan (20.44) kemudian menunjukkan rata-rata hitung untuk mencapai kemiringan yang disesuai. Pernyataan soal. Gunakan metode RK urutan keempat klasik untuk diintegrasikan. Untuk kasus ini, kemiringan pada awal interval dihitung sebagai



y '  4e 0.8t  0.5 y dari t = 0 sampai t = 1 menggunakan step ukuran 1 dengan y(0)=2.



24



k 2  f (0.5  3.5)  4e 0.8( 0.5)  0.5(3.5)  4.217299 Kemiringan ini pada gilirannya digunakan untuk menghitung nilai lain, dan kemiringan lain pada titik tengah:



y (0.5)  2  3(0.5)  3.5 k 3  f 0.5  4.108649  4e 0.8( 0.5)  0.5(4.108649)  3.912974 Selanjutnya :



y10  2  3.912974(1.0)  5.912974 k 4  f (1.0  5.912974)  4e 0.8(1.0)  0.5(5.912974)  5.945677 Akhirnya, Akhirnya, orde keempat dari setiap kemiringan digabungkan untuk menghasilkan kemiringan rata-rata. Derajat kemiringan rata-rata ini kemudian digunakan untuk membuat prediksi pada akhir interval.



1 3  2(4.217299)  2(3.912974)  5.945677  4.201037 6 y1.0  2  4.201037(1.0)  6.201037







Yang lebih baik dibandingkan dengan solusi yang sebenarnya yaitu 6.194631(ε1=0.103%) Tentunya dapat untuk mengembangkan metode RK orde kelima dan lebih tinggi. Sebagai contoh, Butler (1964) metode RK urutan kelima ditulis sebagai : y i 1  y1 



1 7k1  32k 3  12k 4  32k 5  7k 6 h 90



Dimana :



25



k1  f t i , y i  1   k 2  f  t i  h, y i  k 1 h  4   1 1 1   k 3  f  t i  h, y i  k 1 h  k 2 h  4 8 8   1 1   k 4  f  t i  h, y i  k 2 h  k 3 h  2 2   3 3 9   k 5  f  t1  h, y i  k 1 h  k 4 h  4 16 16   3 2 12 12 8   k 6  f  t i  h, y i  k 1 h  k 2 h  k 3 h  k 4 h  k 5 h  7 7 7 7 7   Dengan Aplikasi Matlab clc; clear all; disp ( ' PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 ' ); disp ( ' OLEH : KELOMPOK 1 ' ); disp ( ' NAMA : ANSELVINUS HALLAWA (NIM 8166175001) ' disp ( ' NORA HAWARI DAULAY (NIM 8166175016) ' disp ( ' SALWA DWI RATNA (NIM 8166175020)' disp ( ' KELAS : REG-A 2016 PROG.PASCA SARJANA' ); disp ( ' DOSEN PENGAMPU : Dr.Rita Juliani,M.Si ' ); disp ('________________________________________________________'); disp (' '); if nargin