Persamaan Diferensial Orde-2 [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-2 (A)HOMOGEN dan (B) TAK HOMOGEN HOMOGEN A.1 Homogen Bentuk Sederhana



Untuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk: '



A y + By+ C=0



.



Dinamakan homogen, karena sama dengan nol, dengan: maka dapat diambil misal: y= A e , sehingga:



A



,



B



, dan



C



st



( A s ' + Bs+C ) A e st =0≫ ≫ A s ' + Bs+ C=0 ≫ ≫ adalah persamaan karakteristik



Berdasarkan persamaan karakteristik, diperoleh akar-akar s dan (1) s ≠ s >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a e + a e 1



1



2



s1 x



1



s2 x



2



s2



.



adalah konstanta,



(2)



s 1=s2



(3)



s1



>>>>> Keduanya bilangan riil, maka:



s1 x



y=a1 e + a2 x e



dan s >>>>> Keduanya bilangan kompleks ( ), maka: 2



s2



s2 x



s 1,2=R e + j I m



dan



s1



y=e R e [ ( a1+ a2 ) cos I m . t + j ( a1+ a2 ) s ∈I m. t ]



CONTOH SOAL #akar-akar riil dan tidak sama



CONTOH#1#akar-akar riil dan tidak sama Selesaikan persamaan berikut! ''



'



3 y −8 y −3 y =0



Penyelesaian: 3 y '' −8 y ' −3 y =0 ≫ ≫ 3 s2−8 s−3=0 ≫ ≫ RUMUS ABC



−b ± √ b −4 ac 2a 2



s 1,2=



s 1=



8+ √ 64−36 8 10 4 5 9 = + = + = =3 6 6 6 3 3 3



conjugate dari



s 2=



8− √ 64−36 8−10 −2 −1 = = = 6 6 6 3



3x



y=a1 e +a 2 e



−1 x 3



CONTOH#2#akar-akar riil dan tidak sama Selesaikan persamaan berikut! y ' ' −4 y ' +3 y=0 ; dengan : y ( 0 )=−1 dan y ' ( 0 )=1



Penyelesaian: ''



'



2



y −4 y +3 y=0 ≫ ≫ s −4 s +3=0≫ ≫ RUMUS ABC



s 1,2=



s 1=



−b ± √ b 2−4 ac 2a



4 + √ 16−12 4 2 = + =2+1=3 2 2 2



s 2=



8− √ 64−36 4 2 = − =2−1=1 6 2 2



3x



y=a1 e +a 2 e



'



3x



x



y =3 a1 e +a2 e



x



Substitusi syarat awal…… y ( 0 )=−1≫ ≫ −1=a 1+ a2 ≫ ≫ a1 =−1−a2



' y ( 0 )=1≫ ≫ 1=3 a1+ a2 ≫ ≫ 3 a1 =1−a 2



≫ ≫3 (−1−a2 )=1−a2 ≫ ≫−3−3 a2=1−a2



≫ ≫−3−1=3 a 2−a2 ≫ ≫−4=2 a2



≫ ≫ a2=



−4 =−2 2



≫ ≫ a1=−1−a2=−1−(−2 )=−1+ 2=1



3x



x



3x



y=a1 e +a 2 e ≫ ≫ y =e −2 e



x



CONTOH SOAL #akar-akar riil dan sama



CONTOH#1#akar-akar riil dan sama Selesaikan persamaan berikut! ''



'



y +8 y +16 y=0



Penyelesaian: y ' ' +8 y ' +16 y=0 ≫ ≫ s 2 +8 s +16=0≫ ≫ ( s+ 4 ) ( s +4 )=0 s 1=s2=−4



y=a1 e−4 x + a2 ∙ x ∙ e−4 x



CONTOH#2#akar-akar riil dan sama Selesaikan persamaan berikut! y ' ' + 4 y ' + 4 y =0 ; dengan : y ( 0 )=3 dan y ' ( 0 )=1



Penyelesaian: y ' ' + 4 y ' + 4 y =0 ≫ ≫ s2−4 s+ 4=0 ≫ ≫ ( s+ 2 )( s+2 )=0 s 1=s2=−2



y=a1 e−2 x +a 2 x e−2 x



'



−2 x



y =−2 a1 e



−2 x



+a 2 e



−2 x



−2 a2 x e



Substitusi syarat awal…… y ( 0 )=3 ≫ ≫ 3=a1+ a2 ≫ ≫ a 1=3−a2



y ' ( 0 )=1≫ ≫ 1=−2 a1 +a 2 ≫ ≫ 1=−2 ( 3−a 2) +a 2



≫ ≫ 1=−6+2 a2 + a2=≫ ≫ 1+6=3 a2



≫ ≫ a2=



7 3



7 9 7 9−7 2 ≫ ≫ a1=3−a2=3− = − = = 3 3 3 3 3



2 7 y=a1 e 3 x +a 2 x e x ≫ ≫ y= e 3 x + x e x 3 3



CONTOH SOAL #akar-akar complex conjugate



CONTOH#1#akar-akar complex conjugate Selesaikan persamaan berikut! y ' ' −2 y ' +1 0 y=0



Penyelesaian: ''



'



2



y −2 y +1 0 y=0 ≫ ≫ s −2 s+ 10=0 ≫ ≫ RUMUS ABC



s 1,2=



−b ± √ b 2−4 ac 2a



s 1=



2+ √ 4−40 2 √−36 36 ∙ √ −1 6 ∙ −1 = + =1+ √ =1+ √ ≫ ≫ s 1=1+ j 3 2 2 2 2 2



s 2 ≫ ≫ complex conjugate s1



s 2=1− j3



y=a1 e



( 1 + j 3) t



+ a2 e



( 1− j 3) t



y=a1 e



1t+ j3t



+ a2 e



1 t− j 3t



y=et [ a1 e j 3 t + a2 e− j 3 t ]



Ingat, persamaan Euler!!! >>> y=et [ a 1 ( cos 3 t + j sin 3 t ) +a 2 ( cos 3 t − jsin 3 t ) ]



t



y=e [ ( a1 +a2 ) cos 3 t+ j ( a1−a2 ) sin 3t ]



y=et [ b 1 cos 3 t+ j b2 sin 3t ]



ix



e =cos x+i sin x



dan



−ix



e =cos x−isin x



Diketahui:



b1=a1 +a2 b2=a1−a2



CONTOH#2#akar-akar complex conjugate Selesaikan persamaan berikut! ''



'



'



y −6 y +25 y =0 ; dengan : y ( 0 )=4 dan y ( 0 ) =1



Penyelesaian: ''



'



2



y −6 y +25 y =0 ≫ ≫ s −6 s +25=0≫ ≫ RUMUS ABC



−b ± √ b −4 ac 2a 2



s 1,2=



s 1=



6+ √ 36−100 6 √−64 64 ∙ √−1 8 ∙ −1 = + =3+ √ =3+ √ ≫ ≫ s1 =3+ j 4 2 2 2 2 2



s 2 ≫ ≫ complex conjugate s1



s 2=3− j 4



y=a1 e (3 + j 4 ) t +a 2 e (3− j 4) t



y=a1 e



3t+ j4t



+a2 e



3 t− j 4 t



y=e3 t [ a 1 e j 4 t +a2 e− j 4 t ]



Ingat, persamaan Euler!!!



ix



e =cos x+i sin x



y=e3 t [ a 1 ( cos 4 t+ j sin 4 t )+ a2 ( cos 4 t− j sin 4 t ) ]



y=e3 t [ ( a1+ a2 ) cos 4 t+ j ( a1−a 2 ) sin 4 t ]



'



3t



y =3 e [−4 ( a 1+ a2 ) s ∈4 t+ j 4 ( a1−a 2) co s 4 t ]



Substitusi syarat awal…… y ( 0 )=4 ≫ ≫ 4=a1 + a2 ≫ ≫ a1=4−a 2



dan



−ix



e =cos x−isin x



y ' ( 0 )=1≫ ≫ 1=3 j 4 ( a 1−a2 ) ≫ ≫1= j 12 ( a1−a2 )



≫≫



1 1 =a −a =≫ ≫ − j=4−a2−a2 j 12 1 2 12



≫ ≫−2 a2 =



≫ ≫ 2 a 2=



a2=2+ j



−1 1 j−4 ≫ ≫ 2 a2= j+ 4 12 12



1 1 1 j+ 4 ≫ ≫ a2= j+2 2 12 24



(



)



1 24



(



≫ ≫ a1=4−a2=4− 2+ j



a1=2− j



1 24



1 1 =2− j 24 24



)



+¿



(2− j 241 +2+ j 241 )cos 4 t+ j [( 2− j 241 )−(2+ j 241 )] ¿sin 4 t (



]



y =e 3t ¿



[(



y=e3 t 2− j



1 1 1 1 +2+ j cos 4 t+ j 2− j −2− j sin 4 t 24 24 24 24



)



(



[



(



2 sin 4 t 24



]



[



(



1 sin 4 t 12



]



y=e3 t 4 cos 4 t+ j − j



y=e3 t 4 cos 4 t+ j − j



[



y=e3 t 4 cos 4 t+



)



)



1 sin 4 t 12



)



]



]



A.2 Homogen dengan Penggunaan Persamaan Cauchy/Euler Untuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:



2



''



'



x y + ax y +by=0



y=c ∙ x m



;



y ' =cm ∙ x m−1



;



dan



y ' ' =cm ( m−1 ) x m−2



sehingga persamaan menjadi: c ∙ x 2 ∙ m ( m−1 ) ∙ x m−2+ c ∙ a ∙ x ∙m ∙ x m−1 +c ∙b ∙ x m=0



Bentuk lain: c ∙ x 2 ∙ m ( m−1 ) ∙



xm xm +c ∙ a ∙ x ∙ m∙ +c ∙ b ∙ xm =0 2 x x 1 c



[dikalikan x 2 ∙ m ( m−1 ) ∙



m



], maka: m



x x + a ∙ x ∙m ∙ +b ∙ x m=0 2 x x



m ( m−1 ) ∙ x m+ am∙ x m+ b ∙ x m=0



[dikalikan



1 m x



m ( m−1 )+ am+ b=0



Bentuk lain: m 2+ ( a−1 ) m+b=0



], maka:



;



, maka diambil:



#yang digunakan; #adalah persamaan karakteristik



m 2+ ( a−1 ) m+b=0



Berdasarkan persamaan karakteristik, kemudian dicari akar-akar m2



selalu riil. (1) m ≠ m >>>>> 1



(2)



2



m1=m2



>>>>>



m1



y=c1 x + c2 x



m2



y=c1 x m + ( c 2 ∙ ln x ) x m 1



>>>>>



y=( c1 +c 2 ln x ) x m



CONTOH#1 Selesaikan persamaan berikut! ( z+ 1 )2 y ' ' +5 ( z +1 ) y ' +3 y=0



Penyelesaian: Dimisalkan:



( z+ 1 )=x



2



2



m1



dan



m2



. ##



m1



dan



2



''



'



x y +5 x y +3 y=0≫ ≫ a=5 dan b=3



2



m + 4 m+3=0 ≫ ≫ m1=−1 dan m2=−3



(#akar-akarnya riil dan tidak sama……), selanjutnya disubstitusikan ke: m1



m2



−1



−3



y=c1 x + c2 x



y=c1 x +c 2 x



−1



y=c1 ( z+1 ) +c 2 ( z +1 )



−3



CONTOH#2 Selesaikan persamaan berikut! x 2 y ' ' −3 y ' + 4=0 ; dengan : y ( 1 ) =1dan y ' (1 )=1



Penyelesaian:



2



''



'



x y −3 y + 4=0 ≫≫ a=−3 dan b=4



Substitusikan ke: m2+ ( a−1 ) m+b=0 m 2+ (−3−1 ) m+ 4=0



2



m −4 m+ 4=0 ≫ ≫ ( m−2 )( m−2 )=0 ≫ ≫ m 1=m2=2



Jawaban sementara: y=( c1 +c 2 ln x ) x 2



'



y =c 2



1 2 x + 2 x ( c 1+c 2 ln x ) x



Substitusikan syarat awal: y (1 ) =1≫ ≫ 1=( c1 + c2 ln 1 ) 1



#diketahui:



2



ln 1=0



y (1 ) =1≫ ≫ 1=( c1 + c2 0 ) ≫ ≫ 1=c 1 ≫ ≫ c 1=1



1 y ' ( 1 )=1 ≫ ≫ 1=c 2 12 +2 ∙1 ( c 1 +c 2 ln1 ) 1



≫ ≫1=c 2+ 2 ( c1 + c2 ∙0 )



≫ ≫1=c 2+ 2 c1 ≫ ≫ 1=c 2+ 2∙ 1≫ ≫ c 2=−1



Nilai



c 1=1



y=( c1 +c 2 ln x ) x



dan



c 2=−1



, disubstitusikan ke:



2



Diperoleh jawaban akhir: y=( 1−ln x ) x 2



TAK HOMOGEN



Untuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:



y ' ' +a y ' +by=r ( x )



., maka jawabannya: y= y h + y p



y h= A e sx



.



yp



ditentukan sesuai penjelasan sebelumnya, metode penjumlahan jawaban homogen dan parsial/partikuler. CONTOH#1 Selesaikan persamaan berikut! ''



'



4



y +5 y + 6 y=9 x −x



Jawaban homogen: ''



'



y h +5 y h +6 y h=0



s 2 +5 s+ 6=0≫ ≫ ( s+3 ) ( s+2 )=0≫ ≫ s1=−3 ; s 2=−2



−3 x



y h= A1 e



−2 x



+ A2 e



;



y h= A e



sx



Penentuan jawaban parsial, ''



'



yp



:



4



y p +5 y p +6 y p=9 x −x



f ( x )=9 x 4 −x=e ax ∙ P n ( x ) ; a=0; n=4



4



3



2



y p=B x +C x + D x + Ex+ F



y 'p=4 B x 3 +3 C x 2+ 2 Dx+ E



''



2



y p=12 B x +6 Cx+ 2 D



Substitusikan ke persamaan, 2



:



( 12 B x + 6 Cx+2 D ) +5 ( 4 B x + 3C x +2 Dx+ E ) + 6 ( B x 4 +C x 3 + D x 2+ Ex + F ) =9 x 4−x



2



3



yp



3



2



2



4



3



2



4



12 B x +6 Cx +2 D+ 20 B x +15 C x +10 Dx+5 E+6 B x +6 C x + 6 D x +6 Ex+ 6 F=9 x −x



6 B x 4 + (20 B+6 C ) x 3 + ( 12 B+15 C+ 6 D ) x 2 + ( 6 C+10 D+6 E ) x + ( 12 D+5E+6 F )=9 x 4 −x



Suku



x4



Suku



x3



Suku



x2



Suku



x1



Suku



x



0



3 2



:



6 B=9 ≫ ≫ ≫ B=



:



3 20 B+ 6 C=0≫ ≫ 20 ∙ =−6 C ≫ ≫ C=−5 2



:



3 75−18 57 19 12 B+15 C+ 6 D=0 ≫ ≫ 12∙ +15 (−5 )+ 6 D=0 ≫ ≫ 18−75+ 6 D=0 ≫ ≫ D= = = 2 6 6 2



:



6 C+10 D+6 E=−1≫ ≫ 6 (−5 )+ 10∙



:



12 D+5E+6 F=0 ≫ ≫ 12∙



Nilai-nilai



B=



3 2



,



C=−5



,



19 −1+30−95 −66 +6 E=−1≫ ≫ E= = =−11 2 6 6



19 −114 +55 −59 +5 (−11 )+ 6 F=0 ≫ ≫ F= = 2 6 6



D=



19 2



,



E=−11



, dan



F=



−59 6



disubstitusikan ke



diperoleh: 3 4 59 3 19 2 y p= x −5 x + x −11 x− 2 2 6



y= y h + y p



−3 x



y= A1 e



−2 x



+ A2 e



3 4 59 3 19 2 + x −5 x + x −11 x− 2 2 6



4



3



2



y p=B x +C x + D x +Ex+ F



,