MAKALAH Orde 2 [PDF]

Citation preview

MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 (Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Persamaan Diferensial) Dosen Pengampu: Pika Merliza, M.Pd



Disusun Oleh: Kelompok 2



Bagas Bayu Winata



1801042004



Candra Rafi Fakhrudin



1801041008



Hamdah



1801040010



Novita Rismawati



1801041028



Siti Sundari



1801041036



KELAS B JURUSAN TADRIS PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN (FTIK) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) METRO T.P. 2020/2021



KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan karuniaNya kami dapat menyelesaikan makalah tentang Persamaan Diferensial Orde 2. Semua ini tidak terlepas dari Rahman dan Rahim serta pertolongan-Nya, sehingga semua hambatan dan kendala dalam penyusunan makalah ini dapat dilalui. Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini. Akhir kata kami berharap semoga makalah tentang Persamaan Diferensial Orde 2 ini dapat memberikan manfaat maupun inspirasi terhadap pembaca. Metro, April 2021



Penyusun



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL................................................................................................i KATA PENGANTAR..............................................................................................ii DAFTAR ISI.............................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang...............................................................................................1 B. Rumusan Masalah..........................................................................................1 C. Tujuan............................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Persamaan Diferensial Orde 2......................................................2 B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 2..................................................2 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan....................................................................................................11 B. Saran...............................................................................................................11 DAFTAR PUSTAKA



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variable atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan differensial banyak berperan dalam berbagai bidang sains maupun teknologi. Tetapi pada kenyataannya banyak yang belum mengerti solusi persamaan differensial. Oleh karena itu penyusun membuat makalah ini agar pembaca dan penyusun dapat mengerti materi persamaan differensial, khususnya persamaan differensial orde 2.



B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam makalah ini adalah sebagai berikut : 1.



Apa yang dimaksud persamaan diferensial orde 2?



2.



Bagaimana penyelesaian persamaan orde 2?



C. Tujuan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut : 1.



Untuk mengetahui pengertian persamaan diferensial orde 2.



2.



Untuk mengetahui penyelesaian persamaan orde 2.



BAB II PEMBAHASAN



A. Pengertian Persamaan Diferensial Orde 2 Persamaan diferensial orde dua merupakan suatu persamaan diferensial dimana turunan tertinggi adalah dua. Menurut jenis atau tipe persamaan diferensial orde 2 dibagi menjadi 4 tipe, yaitu : a) y ' ' =f ( x ) atau



d2 y =f ( x ) d x2



b) y ' ' =f ( x , y ' ) atau ''



d2 y dy =f x , 2 dx dx



(



'



c) a y + b y + cy=0 atau a .



)



d2 y dy + b . +c . y=0 2 dx dx



d) a y ' ' + b y ' + cy=f ( x) atau a .



d2 y dy + b . +c . y=f ( x ) 2 dx dx



B. PenyelesaianPersamaan Diferensial Orde Dua a) PD Orde 2 Tipe y ' ' =f ( x ) atau



d2 y =f ( x ) d x2



d2 y 3 2 =4 x + 3 x + x Carilah jawaban umum persamaan diferensial 2 dx Jawab: d2 y 3 2 =4 x + 3 x + x 2 dx dy =∫ ( 4 x3 +3 x 2+ x ) dx dx dy 1 =x 4 + x 3+ x 2 +c 1 dx 2 1 y=∫ x 4 + x 3 + x2 +c 1 dx 2



(



)



1 1 1 y= x 5 + x 4 + x 3 +c 1 x +c 2 5 4 6 ∴ Jadi jawaban umum persamaan diferensial



d2 y 3 2 =4 x + 3 x + x adalah d x2



1 1 1 y= x 5 + x 4 + x 3 +c 1 x +c 2. 5 4 6



b) PD Orde 2 Tipe y ' ' =f ( x , y ' ) atau



d2 y dy =f x , 2 dx dx



(



)



d 2 y dy x. + + x=0 Carilah jawaban umumnya. d x 2 dx Jawab: Misal: p=



dy dp d 2 y = maka ............ (1) dx dx d x 2



Apabila pers (1) dimasukkan ke soal x.



dp + p+ x=0 dx



x.



dp + p=−x ....…………………........(2) dx



Ingat kembali rumus maka



d(x . p) dp dx =x . + p . dx dx dx



d(x . p) dp =x . + p .1 ……………..(3) dx dx



Dengan demikian pers (2) dan pers (3) dapat disederhanakan menjadi d(x . p) =−x (Kemudian kedua ruas diintegralkan) dx xp=∫ −x dx xp=



−1 2 x +c 1 2



Dari persamaan (1) diketahui p= harga p dapat diganti dengan xp= x



dy maka dx



dy dx



−1 2 x +c 1 2



dy −1 2 = x + c 1 (Kemudian kedua ruas dibagi dengan x) dx 2



dy −1 = x+ c1 dx 2 y=∫ y=



( −12 x+ cx ) dx 1



−1 2 x +c 1 . ln x +c 2 4



∴ Jadi jawaban umum persamaan diferensial x . y=



d 2 y dy + + x=0 adalah d x 2 dx



−1 2 x +c 1 . ln x +c 2. 4



c) PD Orde 2 Tipe a y ' ' + b y ' + cy=0 atau a .



d2 y dy + b . +c . y=0 2 dx dx



Persamaan tersebut, jika harga d2 y 2 dy =m , =m dan y=1 2 dx dx sehingga persamaannya menjadi : a m 2 +bm+ c=0 → (disebut persamaan karakteristik.) m=m1 dan m=m2 Dimana m = akar-akar penyelesaian Jika m1≠ m2 maka harga : Y = Ae m x + B e m 1



2



x



A dan B = Konstanta (atau c 1 dan c 2) Jika m1 = m2 maka Y =em x (A + B x ) 1



Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks), Atau m=a+bj atau m=a+bi Y =e ax [ A cos βx+ B sin βx ] Carilah penyelesaian persamaan diferensial berikut ini.



d2 y dy +3 +2 y=0 2 dx dx Jawab: d2 y 2 dy =m , =m dan y=1 ,maka persamaan karakteristiknya adalah: Jika 2 dx dx 1m2 +3 m+2=0 (m + 1)(m + 2)=0 Sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠ m2) Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah y = A. e−x + B.e−2 x



Carilah penyelesaian persamaan diferensial berikut



d2 y dy +6 +9 y =0 2 dx dx



Jawab: m2 +6 m+ 9=¿ (m+3)(m+3) =0  m = -3 (akar kembar) sehingga Y = e-3x(A+Bx) d2 y dy +4 +9 y=0 Carilah penyelesaian persamaan diferensial berikut 2 dx dx Jawab: m 2 +4 m+9=0 , dengan menggunakan rumus ABC m=



−4 ± √16−36 −4 ± √−20  m= 2 2



m=



−4 ± √−1 √ 4 √ 5 −4 ± j.2 . √5 m= 2 2



m=−2 ± j √5 Sehingga a=-2 dan β=√ 5 Dan akhirnya memberikan Y =e ax ¿ Y =e ax ¿



d2 y dy + b . +c . y=f ( x ) d) PD Orde 2 Tipe a y + b y + cy=f (x) atau a . 2 dx dx ''



'



Pada persamaan diferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu : 1) Fungsi Komplementer : Diperoleh dengan memecahkan persamaan bila f(x)=0, seperti dalam bagian program sebelum ini. Adapun pemecahannya, jika f(x)=0 adalah: Untuk akar yang berbeda Y = A em x + B e m x 1



2



Untuk akar kembar Y =em x ( A+ Bx ) 1



Untuk akar imaginer Y =e ax ¿ 2) Integral Khusus Diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan, yaitu dengan mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam persamaannya dan kemudian menyamakan koefisien-koefisinnya. Jika ruas kanan adalah fungsi berderjat dua, bentuk umumnya : Y =C x2 + Dx+ E Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya: Y =Cx + D



Selesaikan Persamaan Diferensial dari



d2 y dy 2 −5 +6 y =x 2 dx dx



Jawab: Fungsi Komplementer, pemecahanya dengan persamaan kiri = 0, yaitu : d2 y dy −5 +6 y + 0 yang memberikan 2 dx dx m2−5 m+6=0



( m−2 ) ( m−3 ) =0 m=2 atau m=3 Jawaban fungsi komplementer: Y = A e2 x + B e 3 x



Integral Khusus: Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2) sehingga bentuk umum persamaan berderajat dua adalah: Y =C x2 + Dx+ E Maka



dy =2Cx + D dx



d2 y =2 C dx 2 Harga y , Yaitu:



dy d2 y dan 2 dimasukan ke persamaan semula ( soal ). dx dx



d2 y dy 2 −5 +6 y =x 2 dx dx 2



2 C−5(2 Cx+ D)+ 6(Cx 2+ Dx+ E)=x



2 C−10Cx – 5 D+ 6 C x 2+ 6 Dx+ 6 E=x 2 6 C x 2 +(6 D – 10 C) x+(2 C – 5 D+6 E)=x 2 Bentuk tersebut biasa ditulis 6 Cx2 + (6D – 10C)x + (2C – 5D + 6E) = 1x2 + 0x + 0 Dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita dapatkan : x 2 → 6 C=1 C=



1 6



x → 6 D−10 c =0 1 6 D−10 ∙ =0 6



→ D=



5 18



0 → 2c −5 D+ 6 E=0 E=



19 108



Jadi Integral Khususnya : Y =C x2 + Dx+ E ¿



1 2 5 19 x + x+ 6 18 108



Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah: Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus



1 5 19 ¿ A e 2 x + B e 3 x + x 2 + x+ 6 18 108



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Persamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah-masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk PD. Persamaan Diferensial dibagi menjadi beberapa bahasan salah satunya Persamaan Diferensial Orde Dua. Bentuk umum Persamaan Diferensial Orde Dua terdapat 4 tipe, yaitu y ' ' =f ( x )



atau



d2 y =f ( x ) ; y ' ' =f ( x , y ' ) d x2



a y ' ' + b y ' + cy=0 atau a .



atau a .



atau



d2 y dy =f x , 2 dx dx



(



)



;



d2 y dy + b . +c . y=0 dan a y ' ' + b y ' + cy=f (x) 2 dx dx



d2 y dy + b . +c . y=f ( x ) yang memiliki cara penyelesaian masing2 dx dx



masing pada setiap tipe. B. Saran Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesainnya. Karena dengan menguasainya, maka kita akan lebih mudah memahami persamaan diferensial orde dua. Selain itu, kita juga harus paham dengan teknik-teknik turunan maupun pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat dengan mudah menyelesaikan soal-soal persamaan diferensial orde dua.