Pembahasan Soal Kaidah Pencacahan [PDF]

Citation preview

1.Aturan Penjumlahan Putra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara laing: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up). Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah? Penyelesaian: Alat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil. Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan. Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara. 2. Aturan Perkalian Dari kota A ke kota B ada 5 jalan yg dapat dilalui, dari kota B ke kota C ada 7 jalan yg dapat dilalui, dengan berapa cara seseorang dapat : a. dari kota A ke kota C melalui B b. dari kota A ke kota C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B? jawab: Kaidah Pencacahan Adalah suatu cara untuk menentukkan banyak cara yang mungkin dapat dilakukan dalam suatu kejadian,



Kaidah Pencacahan dapat diselesaikan dengan dengan kaidah perkalian, Penjumlahan, Filling Slots, atau metode diagram pohon.



Dari Kota A ke kota B ada 5 jalan.



Dari Kota B ke kota C ada 7 jalan.



Banyak cara :



a. Dari Kota A ke kota C melalui B. b. Dari kota A ke kota C melalui B dan kembali ke A melalui B.



Kita analisa satu persatu :



A - B = 5 jalan B - C = 7 jalan Maka untuk jawaban a ;



A-BxB-C=



5 x 7 = 35 jalan



Untuk jawaban b :



A - C dari jawaban a adalah 35 jalan.



C - B = ada 6 jalan



(1 jalan telalh dilalui saat berangkat)



B - A = ada 4 jalan.



(1 jalan telah dilalui saat berangkat)



Maka dari C - A =



C-BxB-A=



4 x 6 = 24 jalan



Sehingga total cara dari A - B - C - B - A ada :



35 x 24 = 840 jalan



A. DARI KOTA A KE KOTA C MELALUI KOTA B ADA 35 CARA B. DARI KOTA A KEKOTA C MELALUI KOTA B DAN KEMBALI LAGI KE KOTA A MELALUI KOTA B ADA 840 JALAN



3. Banyak rute alternatif dari kota A menuju kota B ada 2 rute penerbangan, sedangkan banyak rute alternatif dari kota B ke C ada 4 rute jalan darat. Adi akan melakukan perjalanan pergi pulang dari kota A ke kota C. a. Tentukan banyak rute berbeda yang mungkin dapat dilakukan Adi untuk pergi dari kota A ke kota C melalui kota B! b. Tentukan banyak rute berbeda yang mungkin dapat dilakukan Adi pulang dari kota C ke kota A melalui kota B dengan syarat tidak menggunakan rute yang sama saat ia pergi! c. Tentukan banyak rute berbeda yang mungkin dapat dilakukan Adi jika Adi melakukan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B pergi pulang dengan tidak menggunakan rute yang sama! (Soal USBN 2019) jawab: Kota A — 2 rute —> Kota B (AB = 2 rute) Kota B — 4 rute —> Kota C (BC = 4 rute) a. Banyak rute berbeda pergi dari Kota A ke kota C melalui kota B adalah: AB x BC = 2 x 4 = 8 rute b. Banyak rute berbeda pulang dari kota C ke kota A melalui kota B dengan syarat tidak menggunakan rute yang sama saat pergi adalah: (BC-1) x (AB-1) = (4-1) x (2-1) = 3 rute



c. Banyak rute berbeda pergi pulang dari kota A ke kota C melalui kota B dengan tidak menggunakan rute yang sama adalah: AB x BC x (BC-1) x (AB-1) = 2 x 4 x 3 x 1 = 24 jalan



Misalkan Andi akan berangkat sekolah bersama dengan teman sekelasnya, Amir. Rumah Andi terletak pada titik P dan rumah Amir terletak pada titik Q (lihat gambar). Sehingga, dalam perjalanan ke sekolah Andi akan menuju rumah Amir terlebih dahulu, kemudian bersama-sama dengan Amir ia akan berangkat ke sekolah. Ada berapa cara yang dapat ditempuh Andi untuk berangkat ke sekolah apabila ia harus melalui rumah Amir terlebih dahulu?



Banyaknya cara perjalanan dari titik P ke titik Q dilanjutkan ke titik R dapat digambarkan dengan diagram pohon seperti pada gambar berikut.



REPORT THIS AD



Dari diagram pohon tersebut terlihat rute perjalanan dari titik P ke titik R melalui titi Q ada 6 cara yang dapat ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurutan {(a, x), (a, y), (a, z), (b, x), (b, y), (b, z)}. Dari uraian di atas, didapatkan bahwa jika ada 2 cara yang berbeda dari P ke Q dan ada 3 cara yang berbeda dari Q ke R maka akan diperoleh (2 × 3) cara yang berbeda dari P ke R. Kaidah ini merupakan aturan perkalian. Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini.



Rute perjalanan dari P ke R dapat ditempuh melalui Q atau S. Dari P ke R melalui Q ada (2 × 3) cara yaitu 6 cara, sedangkan dari P ke R melalui S ada (1 × 2) cara, sehingga rute perjalanan dari P ke R ada (6 + 2) cara yang berbeda. Kaidah ini merupakan aturan penjumlahan. Dari kedua contoh di atas dapat kita simpulkan tentang kaidah perkalian dan aturan penjumlahan sebagai berikut. Jika suatu peristiwa terjadi dengan m cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan n cara yang berbeda maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan:  



(m × n) cara yang berbeda (prinsip perkalian); (m + n) cara yang berbeda (prinsip penjumlahan). REPORT THIS AD



Untuk lebih memahami mengenai aturan perkalian dan aturan penjumlahan, perhatikan contoh soal berikut!



Contoh Soal Untuk membentuk pengurus suatu organisasi, tersedia 2 orang calon ketua, 3 orang calon sekretaris, dan 2 orang calon bendahara dan tidak ada seorang pun yang dicalonkan pada dua atau lebih kedudukan yang berbeda. Dalam berapa cara susunan pengurus yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dapat dibentuk? Pembahasan Contoh Soal Untuk ketua ada 2 cara memilih, karena ada 2 calon. Demikian juga untuk sekretaris ada 3 cara dan untuk bendahara ada 2 cara, karena ada 2 calon. Oleh karena itu, menurut prinsip perkalian, susunan pengurus dapat dibentuk dengan (2 × 3 × 2) cara, yaitu 12 cara. Untuk mendapatkan gambaran yang jelas dari penyelesaian di atas, banyaknya susunan pengurus dapat ditunjukkan dengan diagram pohon sebagai berikut.



Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...



(A) 144(B) 108(C) 72(D) 36(E) 35(A) 144(B) 108(C) 72(D) 36(E) 35 Alternatif Pembahasan: show Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi: Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian adalah:



PWPWPWP4332211PWPWPWP4332211 Banyak susunan urutan adalah 4×3×3×2×2×1×1=1444×3×3×2×2×1×1=144 Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan wanita dari SMA "A" adalah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang adalah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok wanita (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:



3!×3!×2!×1!=6×6×2×1=723!×3!×2!×1!=6×6×2×1=72 Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih seperti berikut ini:



PAWAPWPWP1132211PAWAPWPWP1132211



Banyak susunan urutan adalah 1×1×3×2×2×1×1=121×1×3×2×2×1×1=12



PAWAPWPWP1132211PAWAPWPWP1132211 Banyak susunan urutan adalah 1×1×3×2×2×1×1=121×1×3×2×2×1×1=12 PWAPAWPWP3112211PWAPAWPWP3112211 Banyak susunan urutan adalah 3×1×1×2×2×1×1=123×1×1×2×2×1×1=12 PWPAWAPWP3211211PWPAWAPWP3211211 Banyak susunan urutan adalah 3×2×1×1×2×1×1=123×2×1×1×2×1×1=12 PWPWAPAWP3221111PWPWAPAWP3221111 Banyak susunan urutan adalah 3×2×2×1×1×1×1=123×2×2×1×1×1×1=12 PWPWPAWAP3221111PWPWPAWAP3221111 Banyak susunan urutan adalah 3×2×2×1×1×1×1=123×2×2×1×1×1×1=12 PWPWPWAPA3221111PWPWPWAPA3221111 Banyak susunan urutan adalah 3×2×2×1×1×1×1=123×2×2×1×1×1×1=12 Total banyak susunan urutan dimana urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan adalah 6×12=726×12=72 Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan adalah 144−72=72144−72=72