![Pembahasan Soal Ujian Aktuaris A50 - Metoda Statistika [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/pembahasan-soal-ujian-aktuaris-a50-metoda-statistika.jpg)
4 0 930 KB
Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris Persatuan Aktuaris Indonesia A50-Metode Statistika Periode 2014-2019
Tim Penyusun: Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc Agus Sofian Eka Hidayat, M.Ed, M.Sc
2019
Daftar Isi 1 A50 Periode November 2014
3
2 A50 Periode Juni 2015
25
3 A50 Periode November 2015
58
4 A50 Periode Juni 2016
95
5 A50 Periode November 2016
126
6 A50 Periode Mei 2017
157
7 A50 Periode November 2017
194
8 A50 Periode Mei 2018
230
9 A50 Periode November 2018
257
10 A50 Periode April 2019
292
2
1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 30(80 − t)1/2 , di dalam daerah domain 0 ≤ t ≤ 100. 1. Tentukan f (24) A. 0, 019 B. 0, 020 C. 0, 022 D. 0, 025 E. Tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Diberikan S(t) = 0, 30(80 − t)1/2 untuk 0 ≤ t ≤ 100. Untuk mengerjakan soal ini, formula yang kita gunakan adalah f (t) = −S0 (t) Dengan demikian, didapat: f (t) = − S0 (t) i d h 0, 30(80 − t)1/2 dt = (0, 3)(0, 5)(80 − t)1/2
=−
0, 15 = √ 80 − t sehingga, f (24) = 0, 0200446 ≈ 0, 020 Jawab: B. 2. Tentukan λ(45) A. 0, 0143 B. 0, 0214 C. 0, 0341
3
1 A50 Periode November 2014 D. 0, 0413 E. Tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Untuk mengerjakan soal ini, digunakan formula λ(t) =
f (t) S(t)
Dengan demikian, kita peroleh: 0, 15 √ f (t) 0, 5 80 − t λ(t) = = = S(t) 80 − t 0, 30(80 − t)1/2 sehingga, λ(45) = Jawab: A.
0, 5 = 0, 0142857 ≈ 0, 0143 80 − 45
3. Tentukan Λ(25) A. 0, 1378 B. 0, 1783 C. 0, 1873 D. 0, 214 E. Tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Dengan menggunakan: Λ(t) =
Z t 0
λ(y) dy
diperoleh Λ(25) =
Z 2 0
25 0, 5 5 dy = − 0, 5 ln(80 − y) ≈ 0, 1873 80 − y 0
Jawab: C. 4. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 10(100 − t)1/2 , di dalam daerah domain 0 ≤ t ≤ 100. Tentukan Var ( T ). A. 333.33 B. 666.67 C. 777.78
4
1 A50 Periode November 2014 D. 889.77 E. 998.89 Pembahasan: Dengan menggunakan formula: f (t) = −S0 (t) E[ T ] = E[ T 2 ] =
Z ω 0
Z ω 0
S(t) dt t2 f (t) dt
diperoleh: i d h 0, 05 0, 1(100 − t)1/2 = √ dt 100 − t 100 Z 100 200 (100 − t)3/2 1/2 = E[ T ] = 0, 1(100 − t) dt = − 15 3 0 0 √ 100 Z 100 100 − t(3t2 − 400t + 80000) 16000 t2 f (t) dt = − = 150 3 0 0 f (t) = −
sehingga 16000 − Var [ T ] = E[ T ] − ( E[ T ]) = 3 2
2
200 3
2
≈ 889, 77
Jawab: D. 5. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S( x ) = ax2 + b, dengan domain 0 ≤ x ≤ k. Jika expected value dari X adalah 60, maka tentukan median dari X. √ A. 25 2 √ B. 45 2 √ C. 49 2 √ D. 57 2 E. Tidak ada jawaban benar Pembahasan: Pertama, ingat bahwa F ( x ) = 1 − S( x ), artinya F ( x ) = 1 − ax2 − b. Lalu, karena batas bawah dan batas atas dari domain adalah 0 dan k, maka F (0) = 0 dan F (k) = 1. Artinya, 0 =1 − b 1 =1 − ak2 − b
5
1 A50 Periode November 2014 didapatkan b = 1 dan ak2 = −1. Lalu, tinjau nilai dari E[ X ] = 60, hal ini berarti: 60 =
Z k 0
S( x ) dx =
Z k 0
k ax3 ak3 ax + b dx = + bx = + bk 3 3 0 2
+ bk = −k3+3k = 2k 3 = 60. 0 Artinya, k = 90 dan a = −1/8100. Dengan menggunakan formula f ( x ) = −S ( x ) didapat Dengan melakukan substitusi ak2 = −1 dan b = 1, diperoleh
−k 3
d x2 2x f (x) = − − +1 = dx 8100 8100 Modus dari X diberikan oleh persamaan: 0, 5 = 0, 5 =
Z X mod 2x 0
8100
dx
X x2 mod 8100 0
2 Xmod 8100 √ = 45 2
0, 5 = Xmod Jawab: B.
6. Jika diketahui T berdistribusi uniform di daerah [1, 3]. Tentukan Var ( T ). A. 1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 2/3 E. 3/4 Pembahasan: Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians dari distribusi uniform, didapat Var [ T ] =
( b − a )2 (3 − 1)2 4 1 = = = 12 12 12 3
Jawab: A.
6
1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 7 sampai dengan 10 Distribusi f (x) =
1 2r/2 Γ(r/2)
x (r/2)−1 e− x/2 , x > 0
adalah distribusi Chi-square dengan r > 0 merupakan degrees of freedom. 7. Tentukan E[ X ] untuk distribusi ini. A. r/2 B. r/4 C. r D. 2r E. 1/(r − 2) Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari ekspektasinya adalah sama dengan derajat kebebasannya. Artinya, E[ X ] = r. Jawab: C. 8. Tentukan Var [ X ] untuk distribusi ini. A. r/2 B. r/4 C. r D. 2r E. 1/(r − 2) Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari variansnya adalah sama dengan dua kali derajat kebebasannya. Artinya, Var [ X ] = 2r. Jawab: D. 9. Tentukan E[ X −1 ] untuk distribusi ini. A. r/2 B. r/4 C. r D. 2r E. 1/(r − 2)
7
1 A50 Periode November 2014 Pembahasan: Akan dicari nilai dari E[ X −1 ] dengan menggunakan definisi dari ekspektasi dari suatu peubah acak X. E [ X −1 ] =
=
Z ∞ 0
Z ∞ 0
x −1 f ( x ) dx x −1
1 2r/2 Γ(r/2)
x (r/2)−1 e− x/2 dx
∞ 1 x (r/2)−1−1 e− x/2 dx r/2 2 Γ(r/2) 0 Z ∞ 1 = r/2 x (r−2)/2−1 e− x/2 dx 2 Γ(r/2) 0
Z
=
Lalu, ide untuk menyelesaikan integral diatas adalah dengan membentuk fungsi gamma, dimana Γ(n) =
Z ∞ 0
x n−1 e− x dx
Dengan memisalkan y = x/2 diperoleh dy = dx/2 dan integral berubah menjadi E [ X −1 ] =
2 2r/2 Γ(r/2)
Z ∞
=
2(r−2)/2 2r/2 Γ(r/2)
Z ∞
= = = = = =
2r/2−1 2r/2 Γ(r/2)
0
0
(2y)(r−2)/2−1 e−y dy y[(r−2)/2]−1 e−y dy
Γ((r − 2)/2)
1 Γ(r/2 − 1) 2 Γ(r/2) 1 (r/2 − 2)! 2 (r/2 − 1)! 1 (r/2 − 2)! 2 (r/2 − 1)(r/2 − 2)! 1 2(r − 2)/2 1 r−2
Jawab: E. 10. Tentukan the hazard rate, λ( x ), untuk distribusi ini jika r = 2. A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4
8
1 A50 Periode November 2014 D. 1/8 E. Tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Untuk r = 2 diperoleh f ( x ) =
e− x/2 . Lalu, fungsi λ( x ) diberikan oleh persamaan 2 f (x) S( x )
λ( x ) = Artinya, dicari S( x ) terlebih dahulu. S( x ) = 1 −
= 1−
Z x 0
f (y) dy
Z x −y/2 e
dy h i x = 1 − −e−y/2 0
2
0
= e− x/2 Berjalan dari hasil ini, e− x/2 λ( x ) = −2x/2 = 1/2 e Jawab: A. Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 11 sampai dengan 13 Sebuah survival distribution function (SDF) didefinisikan sebagai : S( x ) =
c−x ,0 ≤ x < c c+x
Sebuah life table dibuat berdasarkan SDF ini dengan menggunakan l0 = 100.000, dimana dalam life table ini menghasilkan l35 = 44.000. 11. Tentukan nilai dari ω dalam tabel A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 E. tidak ada jawaban yang benar
9
1 A50 Periode November 2014 Pembahasan: Tinjau formula, t px
= Sx (t) =
S0 ( x + t ) l x +t = S0 ( x ) lx
Dengan demikian, 35 p0
= S0 (35) =
S0 (35) c − 35 l = S0 (35) = = 35 = 0, 44 S0 ( 0 ) c + 35 l40
Artinya, c = 90. Diperoleh nilai ω = c = 90. Jawab: D. 12. Tentukan probabilitas orang bertahan hidup mulai dari lahir sampai berusia 60. A. 0, 1 B. 0, 2 C. 0, 3 D. 0, 4 E. 0, 5 Pembahasan: Akan dihitung 60 P0 dengan menggunakan formula t px
= Sx (t) =
S0 ( x + t ) S0 ( x )
sehingga, 60 p0
= S0 (60) =
90 − 60 S0 (60) = S0 (60) = = 0, 2 S0 ( 0 ) 90 + 60
Jawab: B. 13. Tentukan probabilitas bahwa seorang yang berusia 10 tahun akan meninggal di antara usia 30 dan 45. A. 1/24 B. 1/12 C. 1/8 D. 1/6 E. 5/24
10
1 A50 Periode November 2014 Pembahasan: Dengan menggunakan formula t|u q x
=t p x −t+u p x
dimana t px
=
S0 ( x + t ) S0 ( x )
akan dicari nilai dari 20|15 q10
=20 p10 −35 p10 =
S0 (30) S0 (45) − S0 (10) S0 (10)
dengan S0 (30) = S0 (10) dan S0 (45) = S0 (10)
90−30 90+30 90−10 90+10 90−45 90+45 90−45 90+45
=
5 8
=
5 12
Atinya, diperoleh 20|15 q10
=
5 5 5 − = 8 12 24
Jawab: E. 14. Jika the force of mortality didefinisikan sebagai : µx =
2 2 + , 0 ≤ x ≤ 100 x + 1 100 − x
Tentukan jumlah kematian yang terjadi diantara usia 1 dan 4 dalam life table dengan radix 10.000. A. 2.061, 81 B. 2.081, 61 C. 2.161, 81 D. 2.181, 16 E. 2.186, 11 Pembahasan: Formula yang digunakan untuk mengerjakan soal ini adalah t px
= e−
11
Rt 0
µ x+s ds
1 A50 Periode November 2014 l x +t =t p x × l x n dx
= l x − l x +n
Akan dicari nilai dari 1 d4 dengan l0 = 10.000. Pertama, dicari nilai dari µ0+s , dimana µ 0+ s = 4 p0
= e−
R4 0
2 2 + s + 1 100 − s R4
ds
= 0, 036864
R1
ds
= 0, 245025
µ0+s ds
= e−
µ0+s ds
= e−
2 2 0 s+1 + 100−s
Lalu, dicari nilai dari p0 = e −
R1 0
2 2 0 s+1 + 100−s
Kemudian, didapat l4 =4 p0 × l0 = 384, 64 l1 = p0 × l0 = 2.450, 25 sehingga, 3 d1
= l1 − l4 = 2.081, 61
Jawab: B. Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 15 sampai dengan 17 Jika diketahui lx = 2500(64 − 0, 8x )1/3 , 0 ≤ x ≤ 80 15. Tentukan f ( x ) A. (1/15)(0, 64 − 0, 8x )2/3 B. (1/15)(0, 64 − 0, 8x )−1/3 C. (1/15)(0, 64 − 0, 8x )−2/3 D. (1/15)(0, 64 − 0, 8x )1/3 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Pertama akan digunakan formula S( x ) = dan f (x) = −
12
lx l0
d S( x ) dx
1 A50 Periode November 2014 Dengan demikian, didapat " # d lx d 2500(64 − 0, 8x )1/3 1 1 f (x) = − =− = (64 − 0, 8x )−2/3 (−0, 8) dx l0 dx 10.000 4 3 sehingga f (x) =
1 (64 − 0, 8x )−2/3 15
Jawab: C. 16. Tentukan E[ X ] A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan:
Z ω
Formula dari ekspektasi X adalah E[ X ] =
E[ X ] =
0
Z 80 (64 − 0, 8x )1/3
4
0
S( x ) dx sehingga,
80 15(64 − 0, 8x )4/3 dx = − = 60 64 0
Jawab: A. 17. Tentukan Var [ X ] A. 518, 2457 B. 517, 2854 C. 515, 2478 D. 514, 2857 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Formula untuk mencari Var [ X ] adalah Var [ X ] = E[ X 2 ] − ( E[ X ])2 dimana E[ X 2 ] =
Z ω
13
0
x2 f ( x ) dx
1 A50 Periode November 2014 dan E[ X ] =
Z ω 0
S( x ) dx
Karena nilai dari E[ X ] sudah diperoleh di nomor sebelumnya, maka tinggal perlu dicari nilai dari E[ X 2 ]. E[ X 2 ] =
Z 80 0
x2
1 (64 − 0, 8x )−2/3 15
dx = 4.114, 2857
Lalu, didapat Var [ X ] = E[ X 2 ] − ( E[ X ])2 = 4.114, 2857 − 602 = 514, 2857 Jawab: D. Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 18 sampai dengan 19 √ Jika Ix = 1000 100 − x, 0 ≤ x ≤ 100 18. Hitunglah the exact value dari µ36+1/4 dengan menggunakan asumsi exponential. A. 0, 0076109 B. 0, 0077969 C. 0, 0078905 D. 0, 0079061 E. 0, 0079217 Pembahasan: Formula yang digunakan pada bagian ini adalah µ x+s = − ln p x sehingga, bisa kita peroleh µ36+1/4 = − ln p36
= − ln
l37 l36
√ 1000 100 − 37 √ = − ln 1000 100 − 36 = 0.007874 Jawab: Tidak ada jawaban yang memenuhi. 19. Hitunglah the exact value dari µ36+1/4 dengan menggunakan asumsi hyperbolic.
14
1 A50 Periode November 2014 A. 0, 0076109 B. 0, 0077969 C. 0, 0078905 D. 0, 0079061 E. 0, 0079217 Pembahasan: Dengan menggunakan formula µ x+s =
qx , didapat 1 − (1 − s ) q x
q36 1 − (1 − 1/4)q36 1 − p36 = 1 − 0.75(1 − p36 )
µ36+1/4 =
√
1 − 1000√100−37 36 1000 100− √ = 1000√100−37 1 − 0.75 1 − 1000 100−36
= 0.00789 Jawab: Tidak ada jawaban yang memenuhi. 20. Jika lx = 15.120 dan q x = 1/3, maka tentukan lx+1/4 A. 13.044 B. 13.440 C. 14.034 D. 14.304 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Formula yang digunakan adalah px = 1 − qx
l x +s =
l x +1 = p x × l x −1 1 1 +s lx l x +1 − l x
Dengan melakukan substitusi angka-angka dari soal, diperoleh px = 1 −
15
1 2 = 3 3
1 A50 Periode November 2014 lx+1 = p x × lx = 10.080 dan lx+1/4 =
1 + (1/4) lx
1 l x +1 − l x
−1
=
1 1 + 15.120 4
1 10.080 − 15.120
−1
= 13.440
Jawab: B. 21. Diketahui the expected future lifetimes dari orang yang terdiagnosa dengan LAS, ARC dan AIDS masing-masing adalah 7, 24 , 6, 54 , dan 0, 92. Tentukan varians dari future lifetime. A. 15, 53 B. 24, 84 C. 32, 92 D. 33, 33 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Formula yang digunakan E[ Tj ] = Var [ Tj ] =
1 µj 1 µ2j
Dengan menggunakan panjer model, diperoleh 1 = 0.92 µ3 Lalu, 1 1 + µ2b µ3 1 µ2b 1 µ2b 1 µ2b
= 6, 54 = 6, 54 −
1 µ3
= 6, 54 − 0, 92 = 5, 62
16
1 A50 Periode November 2014 Kemudian, 1 1 1 + + = 7, 24 µ2a µ2b µ3 1 = 7, 24 − 5, 62 − 0, 92 µ2a 1 = 0, 7 µ2a Variansi 1 1 1 + 2 + 2 = (0, 92)2 + (5, 62)2 + (0, 7)2 = 32, 9208 µ22a µ2b µ3 Jawab: C. 22. Sekumpulan dari n orang diamati sampai semuanya meninggal, dengan kematian dikelompokkan dalam interval yang tetap. Jika Var [Sˆ (t)] = 0, 0009, Var [Sˆ (r )] = 0, 0016, dan covarians nya adalah Cov[Sˆ (t), Sˆ (r )] = 0, 0008. Tentukan E[Sˆ (t)]. A. 0, 6 B. 0, 7 C. 0, 8 D. 0, 9 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Diberikan Var [Sˆ (t)] = 0, 009, Var [Sˆ (r )] = 0, 0016, dan covarians nya adalah Cov[Sˆ (t), Sˆ (r )] = 0, 0008. Formula yang digunakan adalah S(t) F (t) N (t) ˆ = Var [S(t)] = Var n n Var [Sˆ (r )] = Var
N (r ) S (r ) F (r ) = n n
1 − Sˆ (t)Sˆ (r ) Cov(Sˆ (t), Sˆ (r )) = n Dengan menggunakan persamaan untuk Var [Sˆ (t)], Var [Sˆ (r )], dan Cov(Sˆ (t), Sˆ (r )) diperoleh n=
S(t)(1 − S(t)) . . . (∗) 0, 0009
17
1 A50 Periode November 2014 n=
S(r )(1 − S(r )) . . . (∗∗) 0, 0016
n=
1 − S ( t ) S (r ) . . . (∗ ∗ ∗) 0, 0008
Dari (∗) dan (∗ ∗ ∗) diperoleh S(t) S (r ) = 8 9 sehingga S(r ) =
8S(t) . Lalu, dari persamaan (∗) dan (∗∗) didapat 9 S(r )(1 − S(r )) 0, 0016 8S(t) 8S(t) 1− 9 9 0, 0016 64S(t)2 72S(t) − 81 80S(t)2
=
S(t)(1 − S(t)) 0, 0009
=
S(t)(1 − S(t)) 0, 0009
= 16S(t) − 16S(t)2
= 72S(t) 9 S(t) = 10
Jawab: D. (d)
(w)
(d)
23. Jika kedua µ60+t dan µ60+t adalah konstan selama 0 < t < 1, maka tentukan q60 bila (d)
(w)
diketahui q0 60 = q0 60 = 0, 20. A. 0, 14 B. 0, 15 C. 0, 16 D. 0, 17 E. 0, 18 Pembahasan: Formula yang akan digunakan adalah (d)
(d)
q x = q0 x
1 (w) 1 − q0 x 2
Dengan demikian, diperoleh (d)
(d)
q60 = q0 60
1 (w) 1 1 − q0 60 = 0, 2(1 − (0, 2)) = 0, 18 2 2
18
1 A50 Periode November 2014 Jawab: E. 24. Anda diberi informasi berikut tentang suatu model data berkala statis (time series stationer): ρ1 = −0, 310 ρ2 = −0, 155 ρk = 0; k = 3, 4, 5, . . . Selain itu, Anda juga diberikan informasi: ϑ1 + ϑ2 = 0, 7. Berapakah nilai ϑ1 ? A. 0, 2 B. 0, 3 C. 0, 4 D. 0, 5 E. 0, 6 Pembahasan: Soal diatas merupakan model MA(2), dimana ρ (1) =
−ϑ1 + ϑ1 ϑ2 1 + ϑ12 + ϑ22
ρ (2) =
−ϑ2 1 + ϑ12 + ϑ22
ρ(h) = 0, |h| > 2 Diberikan ϑ1 + ϑ2 = 0, 7 sehingga bisa diperoleh ϑ1 = 0, 7 − ϑ2 Lalu, dengan menggunakan formula untuk ρ(1) dan ρ(2), didapat
−0, 31 =
−ϑ1 + ϑ1 ϑ2 1 + ϑ12 + ϑ22
Dengan substitusi, ϑ1 = 0, 7 − ϑ2 kedalam persamaan sebelumnya, diperoleh
−0, 31 =
−0, 7 + 1, 7ϑ2 − ϑ22 −0, 7 + ϑ2 + (0, 7 − ϑ2 )ϑ2 ⇔ − 0, 31 = . . . (∗) 1 + ϑ12 + ϑ22 1 + ϑ12 + ϑ22
dan
−0, 155 =
−ϑ2 . . . (∗∗) 1 + ϑ12 + ϑ22
19
1 A50 Periode November 2014 Berdasarkan (∗) dan (∗∗) didapat
−0, 7 + 1, 7ϑ2 − ϑ22 −ϑ2 = ⇔ 0, 1085 − 0, 5735ϑ2 + 0, 155ϑ22 = 0 −0, 155 −0, 31 dengan menggunakan formula penyelesaian pada persamaan kuadrat diperoleh ϑ2 = 3, 5 dan ϑ1 = 0, 5. Jawab: D. 25. Sepuluh pekerja PLTN yang secara tidak sengaja terkena radiasi pada tingkat yang signifikan. Suatu kematian diamati pada masing-masing t = 2 dan t = 4, dan x keluar dari pengamatan pada saat t = 3. Menggunakan estimator product limit untuk S(t), maka akan didapatkan Sˆ (5) = 0, 75. Tentukan x. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Pembahasan: Formula yang akan digunakan adalah m
∏
Sˆ (t) =
j =1
rj − dj rj
!
untuk tm ≤ t ≤ tm+1 . Dengan menggunakan formula ini, diperoleh Sˆ (5) = 0, 75 = 0, 75 = 0, 9 5 = 6
! rj − dj ∏ rj j =1 9 9−x−1 10 9−x 8−x 9−x 8−x 9−x 4
45 − 5x = 48 − 6x x=3 Jawab: C.
20
1 A50 Periode November 2014 26. Hitunglah m x berdasarkan asumsi Balducci. A. 0,11792 B. 0,31778 C. 0,11566 D. 0,10545 E. 0,21765 Pembahasan: Diketahui : lx = 900 dan lx+1 = 800 Rumus yang digunakan :
( q x )2 − p x · ln( p x )
=
mx Proses pengerjaan : mx
( q x )2 − p x · ln( p x ) 2 l 1 − xl+x 1 = − lxl+x 1 · ln lxl+x 1 2 1 − 800 900 = 800 − 800 900 · ln 900 = 0,117919 =
≈ 0,11792 Jawab: A. 27. Jika diketahui T berdistribusi seragam (uniform) di daerah [1, 3], maka tentukan Var ( T ). A. 1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 1/6 E. tidak ada jawaban yang benar
21
1 A50 Periode November 2014 Pembahasan: Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians dari distribusi uniform, didapat Var [ T ] =
( b − a )2 (3 − 1)2 4 1 = = = 12 12 12 3
Jawab: A. 28. Dari sebuah time series, Anda diberikan data sebagai berikut:
t 1 2 3 4 5
yt 984 1023 965 1040 988
yt − y¯ −16 23 −35 40 −12
Perkirakan fungsi autokorelasi pada saat perpindahan k = 2. A. −0, 46 B. −0, 16 C. 0, 51 D. 0, 84 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Formula yang akan digunakan adalah r1 =
∑4i=1 (yt − y¯ )(yt+1 − y¯ ) ∑5i=1 (yt − y¯ )2
r2 =
∑3i=1 (yt − y¯ )(yt+2 − y¯ ) ∑5i=1 (yt − y¯ )2 ϕˆ 22 =
r2 − r12 1 − r12
Menggunakan formula diatas, diperoleh r1 =
(−16)(23) + (23)(−35) + (−35)(40) + (40)(−12) = −0, 81326584 (−16)2 + (23)2 + (−35)2 + (40)2 + (−12)2
22
1 A50 Periode November 2014 r2 =
(−16)(−35) + (23)(40) + (−35)(−12) = 0, 5061267981 (−16)2 + (23)2 + (−35)2 + (40)2 + (−12)2 ϕˆ 22 =
r2 − r12 = −0, 45858 ≈ −0, 46 1 − r12
Jawab: A. 29. Diketahui suatu model untuk 20 data pengamatan sebagai berikut : Y = α + βX + ε Ditetapkan bahwa R2 = 0, 64. Hitunglah nilai dari F-statistic yang digunakan untuk menguji suatu hubungan linier. A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Diberikan k = 2 (dimana k menyatakan banyaknya parameter). Lalu, n = 20 (n menyatakan jumlah pengamatan) dan R2 = 0, 64. Akan dihitung nilai dari F-statistic yang digunakan untuk menguji suatu hubungan linier dari model tersebut. Formula yang digunakan adalah R2 F = k − 12 1−R n−k Dengan demikian diperoleh 0, 64 F = 2 − 1 = 32 1 − 0, 64 20 − 2 Jawab: B. 30. Diketahui suatu informasi tentang sebuah model MA(4) sebagai berikut :
23
1 A50 Periode November 2014 m
=
0
q1
=
1, 8
q2
=
q3
=
q4
=
s2e
=
−1, 110 0, 278 −0, 024 8
Tentukan standard deviasi dari perkiraan kesalahan tiga langkah ke depan (forecast error three steps ahead). A. 3, 6 B. 4, 9 C. 5, 8 D. 6, 6 E. tidak ada jawaban yang benar Pembahasan: Formula yang digunakan untuk mengerjakan soal ini adalah Var (eT (l )) = (q0 )2 + (q1 )2 + . . . + (ql −1 )2 s2e dan σeT (l ) =
q
Var (eT (l ))
Menggunakan formula ini, dengan q0 = 1 (ingat bahwa model ARIMA memiliki mean bernilai 0), diperoleh Var (eT (l )) = (q0 )2 + (q1 )2 + (q2 )2 s2e = 12 + 1, 82 + (−1, 110)2 (8) = 43, 7768 dan σeT (3) =
√
43, 7768 ≈ 6, 6
Jawab: D.
24
2 A50 Periode Juni 2015 1. Jika diketahui survival function dari seseorang adalah sebagai berikut: t = 1 − 90− x , untuk 0 ≤ t ≤ 90 − x. Hitunglah probabilita dari seseorang berumur 25 mencapai umur 80 tahun. t px
A. 55/65 B. 25/65 C. 5/13 D. 2/13 E. 25/13 Pembahasan: Diketahui : t = 55 dan x = 25 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: t px
= 1−
t , untuk 0 ≤ t ≤ 90 − x 90 − x
Dengan demikian diperoleh : 55 p25
55 90 − 25 55 1− 65 10 65 2 13
= 1− = = =
Jawab : D
Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 2 dan 3: Diketaui survival function dari X adalah S( X ) = e− x ( x + 1), x ≥ 0
25
2 A50 Periode Juni 2015 2. Tentukan E[ X ]. A. 0,25 B. 1 C. 0,5 D. 2 E. 0 Pembahasan: Diketahui : S ( X ) = e − x ( x + 1), x ≥ 0 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: E( X ) =
Z ∞ 0
S( x ) dx
Dengan demikian diperoleh : E( X )
=
Z ∞ 0
=
Z ∞ 0
= 2 Jawab : D 3. Tentukan Probability Density Function dari X. A. e− x ( x + 2) B. e− x x2 C. e− x ( x + 1)2 D. (e− x + 1) x E. e− x x Pembahasan: Diketahui : S ( X ) = e − x ( x + 1), x ≥ 0
26
S( x ) dx e− x ( x + 1) dx
2 A50 Periode Juni 2015
Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: f (x)
= −
d S( x ) dx
Dengan demikian diperoleh : f (x)
d S( x ) dx d − (e− x ( x + 1)) dx −(−e− x x + e− x − e− x )
= − = =
= xe− x Jawab : E 4. Diketahui probabilita sebagai berikut: • Probabilita dari seseorang berumur 30 mencapai umur 40 adalah 0,96 • Probabilita dari seseorang berumur 40 mencapai umur 50 adalah 0,91 • Probabilita dari seseorang berumur 50 mencapai umur 60 adalah 0,92 Hitunglah probabilita dari seseorang berumur 30 mencapai umur 60. A. 0,8037 B. 0,8935 C. 0,8832 D. 0,8372 E. 0,8736 Pembahasan: Diketahui : 10 p30
= 0.96
10 p40
= 0.91
10 p50
= 0.92
Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: t+u p x
=
27
t px
· u p x +t
2 A50 Periode Juni 2015 Dengan demikian diperoleh : 30 p30
=
10 p30 · 20 p40
=
10 p30 · 1 0p40 · 10 p50
= (0.96)(0.91)(0.92) = 0.803712 = 0.8037 Jawab : A 5. Jika diketahui: x
29
30
31
32
33
34
35
36
px
0,99
0,98
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,90
Hitunglah probabilita seseorang yang berumur 30 mencapai umur 35. A. 0,718819 B. 0,773512 C. 0,733489 D. 0,781325 E. 0,660140 Pembahasan: Diketahui : t = 5 dan x = 30 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: t+u p x
=
t px
· u p x +t
Dengan demikian diperoleh : 5 p30
=
p30 · p31 · p32 · p33 · p34
= (0.98)(0.96)(0.95)(0.94)(0.93) = 0.781325 Jawab : D
28
2 A50 Periode Juni 2015 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 6 dan 7: 1 x +1 , x
Diketaui fungsi force of mortality µ( x ) =
≥ 0.
6. Tentukan S( x ). 1 A. S( x ) = ,x ≥ 0 x+1 x ,x ≥ 0 B. S( x ) = x+1 C. S( x ) = e x+1 , x ≥ 0 x+1 D. S( x ) = ,x ≥ 0 x 1 ,x ≥ 0 E. S( x ) = ( x + 1)2 Pembahasan: Diketahui : µ( x ) =
1 ,x ≥ 0 x+1
Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: t px t px
Rt
ds
= e−
Rt
µ x+s ds
= e−
Rt
= e − 0 µ x +s S( x + t) = S( x )
Dengan demikian diperoleh : t px
0
1 0 x + s +1
ds
= eln(x+1)−ln(x+t+1) x +1
= eln( x+t+1 ) x+1 = x+t+1 t px
=
S( x + t) S( x )
= =
Jadi, S( x ) =
1 x +1
29
S( x + t) S( x ) x+1 x+t+1 1 x + t +1 1 x +1
2 A50 Periode Juni 2015
Jawab : A 7. Tentukan t p x . x+1 , x dan t ≥ 0 A. t p x = ( x + t) 1 B. t p x = , x dan t ≥ 0 ( x + t + 1)2 1 C. t p x = , x dan t ≥ 0 ( x + t + 1) x+1 , x dan t ≥ 0 D. t p x = ( x + t + 1)2 x+1 E. t p x = , x dan t ≥ 0 ( x + t + 1) Pembahasan: Dari jawaban pada soal nomor 6 diperoleh t p x = Jawab : E
x+1 di mana x ≥ 0 dan t ≥ 0 x+t+1
Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 8 dan 9: Seorang aktuaris memodelkan umur seseorang sebagai variabel acak X dengan survival function S( x ) =
906 − x6 , 906
untuk 0 < x < 90.
8. Hitunglah e0 0 . A. 67,50000 B. 77,14286 C. 12,85714 D. 0,06667 E. 75,00000 Pembahasan: Diketahui : S( x ) =
906 − x6 , untuk 0 < x < 90. 906
30
2 A50 Periode Juni 2015 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: t px
=
S( x + t) S( x ) Z ω
e00
=
=
S( x + t) S( x )
0
t p0
dt
Dengan demikian diperoleh : t px
=
=
t p0
= =
e00
=
906 − ( x + t)6 906 6 90 − x6 906 6 90 − ( x + t)6 906 − x6 906 − t6 906 6 t 1− 90 Z 90
dt 6 Z 90 t dt 1− 90 0 77,14286 0
= = Jawab : B 9. Hitunglah Var ( X ). A. 6.075 B. 5.951,02 C. 5.625,00 D. 247,9592 E. 123,9796 Pembahasan:
31
t p0
2 A50 Periode Juni 2015 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: f (x)
= −
E[ X ]
= e00
E[ X 2 ] Var ( x )
d S( x ) dx
Z ω
=
0
x2 f ( x ) dx
= E[ X 2 ] − ( E[ X ])2
Dengan demikiand diperoleh : S( x )
= 1−
f (x)
= − = =
E[ X ]
x 6 90
d dx
1−
x 6 90
6x5 906 1 x 5 15 90
= e00 = 77,14286
E[ X 2 ]
=
0
= = =
Var ( x )
Z 90
x2 ·
1 x 5 dx 15 90
90 1 1 · 5 x7 dx 15 90 0 1 1 8 (90) (15)(905 ) 8 6075
Z
= E[ X 2 ] − ( E[ X ])2 = 6075 − (77,14286)2 = 123,9796
Jawab : E 10. Untuk sebuah studi mortalita dengan data yang tidak lengkap, diperoleh data sebagai berikut:
32
2 A50 Periode Juni 2015 Jumlah Kematian
Jumlah Risiko
(Number of Deaths)
(Number of Risk)
3
1
50
5
3
49
6
5
k
10
7
21
Waktu(t)
Jika diketahui pula bahwa estimasi Nelson-Aalen dari survival function pada waktu t = 10 adalah 0,575, tentukan k. A. 48 B. 40 C. 36 D. 32 E. 25 Pembahasan: Diketahui : Sˆ (10) = 0,575 Jumlah Kematian
Jumlah Risiko
(Number of Deaths)
(Number of Risk)
3
1
50
5
3
49
6
5
k
10
7
21
Waktu(t)
Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: Hˆ (10)
4
=
Sj
∑ Rj
j =1
Sˆ (10)
33
ˆ
= e− H (10)
2 A50 Periode Juni 2015 Dengan demikian diperoleh : Hˆ (10)
4
=
Sj
∑ Rj
j =1
= = Sˆ (10) Hˆ (10) 5 3047 + k 7350 5 k 5 k k
3 5 7 1 + + + 50 49 k 21 5 3047 + k 7350 ˆ
= e− H (10) = −ln Sˆ (10)
= −ln(0,575) =
3047 − ln(0,575) 7350
= 0,1388274151 = =
5 0,1388274151 36,016
≈ 36 Jawab : C 11. Dari 100 orang yang hidup dengan umur eksak x, 2 orang diamati meninggal dalam estimasi
( x, x + 1] dan 98 tetap hidup sampai umur x + 1. Kematian muncul pada umur x + 0,3 dan x + 0,7. Estimasikan nilai qˆx dengan asumsi force of mortality adalah konstan dalam ( x, x + 1]. A. 0,020881 B. 0,020039 C. 0,019999 D. 0,030454 E. 0,010562 Pembahasan: Diketahui dari 100 orang yang hidup dengan umur eksak x: • 2 orang diamati meninggal dalam estimassi interval ( x, x + 1]. • 98 tetap hidup sampai umur x + 1.
34
2 A50 Periode Juni 2015 • Kematian muncul pada umur x + 0,3 dan x + 0,7. Formula yang digunakan dalam soal ini adalah: qˆ( x )
dx n x − (1 − s ) c x
=
Dengan demikian diperoleh:
qˆ( x )
= = =
dx n x − (1 − s ) c x 2 100 − (1 − 0, 3)(1) − (1 − 0, 7)(1) 0, 020
≈ 0, 019999 Jawab : C 12. Dalam sebuah studi data lengkap, estimasi Nelson-Aalen dari Λ(t) yang segera mengikuti kematian ke-2 adalah 13/42. Hitunglah estimasi dari Λ(t) yang segera mengikuti kematian ke-4. A. 0,950000 B. 0,759524 C. 0,634524 D. 0,545635 E. 0,478968 Pembahasan: Diketahui bahwa dalam sebuah studi data lengkap, estimasi Nelson-Aalen dari Λ(t) yang segera mengikuti kematian ke-2 adalah 13/42. Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:
Λ(t)
m
=
1
∑ r j , t m ≤ t < t m +1
j =1
S(t)
= exp[−Λ(t)]
Dengan demikian diperoleh:
35
2 A50 Periode Juni 2015
2
Λ (2)
1
∑ rj
=
j =1
13 42 13n2 − 13n
1 1 n−1+n 2n − 1 + = = 2 2 n n−1 n −n n −n 84n − 42
= =
13n2 − 97n + 42
= 0
(13n − 6)(n − 7) = 0 Karena nilai n harusah bilangan bulat, maka dipilih n = 7. Oleh karena itu kita dapatkan:
Λ (4)
4
=
1
∑ rj
=
j =1
1 1 1 1 + + = = 0, 759524 7 6 5 4
Jawab : B 13. Diketahui survival function S( x ) sebagai berikut: S( x ) = 1, ex S( x ) = 1 − , 100 S( x ) = 0,
0≤x 0, 0 < C < 1, x ≥ 0 1
(ii) µ( x ) = B( x + 1)− 2 , B > 0, x ≥ 0 (iii) µ( x ) = k( x + 1)n , n > 0, k > 0, x ≥ 0 Rumus yang digunakan adalah: µx =
f (x) , untuk x S( x ) R x − 0 µ(t)dt
≥ 0, µ x ≥ 0
, S(0) = 1 dan S(∞) = 0
S( x ) = e
Dengan demikian diperoleh : (i)S( x ) = e−
Rx
− BC
BC t dt
x −B
= e ln(C) untuk x = 0, S(0) 6= 1(tidak valid) (ii)S( x ) = e−
0
Rx 0
B ( t +1)
− 21
dt
1 +2B
= e−2B(x+1) 2
untuk x = 0, S(0) = 1 untuk x = ∞, S(∞) = 1(valid) (iii)S( x ) = e−
Rx 0
k (t+1)n dt
= e−
k (1+ x ) n +1 − k n +1
untuk x = 0, S(0) = 1 untuk x = ∞, S(∞) = 1(valid)
164
6 A50 Periode Mei 2017
Sehingga yang valid adalah (ii) dan (iii) Jawab: E. ii dan iii saja 7. Dalam suatu tabel double decrement, diberikan data sebagi berikut: (1)
(2)
x
qx
qx
25
0,01
0,15
26
0,02
0,15
(T )
(1)
(2)
Bila diketahui l26 = 8400 hitunglah perubahan pada d26 jika q25 berubah dari 0,15 menjadi 0,3 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 E. 40 Pembahasan: Diketahui :
(1)
(2)
x
qx
qx
25
0,01
0,15
26
0,02
0,15
(T )
l26 = 8400 Rumus yang digunakan adalah: ( j) t dx (τ ) lx
( j) t qx
=
(τ ) t qx
= ∑m j =1 q x
(τ )
qx
(τ )
=
( j)
(τ )
l x − l x +1 (τ ) lx
Dengan demikian diperoleh :
(1)
d26
(τ )
(1)
= l26 .q26
= 8400.(0, 02) = 168
165
6 A50 Periode Mei 2017 (2)
d26
(τ )
(2)
= l26 .q26
= 8400.(0, 15) = 1260
(τ )
= q25 .q25 = 0, 01 + 0, 15 = 0, 16
q25
(τ )
=
0, 16
=
q25
(1)
(2)
(τ )
(τ )
l25 − l26 (τ )
l25 (τ )
l25 − 8400 (τ )
l25 (τ )
(τ )
l25 − 0, 16l25
(τ ) l25 (τ )
l25
= 8400 8400 = 0, 84 = 10000
(2)
bila q25 menjadi 0,3 (τ )
q25
m
=
∑ q25
( j)
= 0, 01 + 0, 3 = 0, 31
j =1
(τ )
q25
(τ )
=
10000 − l26 10000
0, 31
=
10000 − l26 10000
(τ )
(τ )
l26
= 6900
(1)
d26
(τ )
(1)
= l26 .q26
= 6900(0, 02) = 138 Selisih 168 − 138
= 30
Jawab: C.30 8. Pada sebuah model double decrement, diperoleh informasi sebagai berikut:
166
6 A50 Periode Mei 2017 (T )
x
lx
(1)
dx
30
9,450
40
31
9,220
85
32
8,680
150
33
7,520
315
34
5,600
450
Hitunglah probabilitas bahwa seseorang yang berumur 30 tahun akan berkurang dalam 3 tahun karena decrement ke-2. A. 0,165 B. 0,170 C. 0,175 D. 0,18 E. 0,185 Pembahasan: Diketahui :
(T )
x
lx
30
9,450
40
31
9,220
85
32
8,680
150
33
7,520
315
34
5,600
450
Rumus yang digunakan adalah: untuk double decrement: (τ )
(τ )
(1)
(2)
l x +1 = l x − d x − d x ( j) n qx
=
( j) ∑in=−01 d x+i (τ ) lx
Dengan demikian diperoleh: (τ )
(τ )
(1)
dx
(1)
(2)
Berdasarkan lx+1 = lx − d x − d x diperoleh tabel
167
6 A50 Periode Mei 2017 (T )
x
lx
dx
(1)
dx
(2)
30
9,450
40
190
31
9,220
85
455
32
8,680
150
1010
33
7,520
315
1605
34
5,600
450
dengan menngunakan konsep jumlah barisan aritmatika ( j)
( j)
3 q30
=
∑in=−01 d30+i (τ ) lx
=
190 + 455 + 1010 = 0, 17513 9450
Jawab: C.0,175 9. Untuk sebuah tabel double decrement penyebab pertama adalah kematian dan penyebab kedua adalah withdrawal, diketahui informasi sebagi berikut (i) Kematian terdistribusi unfirofm sepanjang tahun dalam tabel single decrement (ii) Withdrwal terjadi di akhir tahun (τ )
(iii) lx
= 1000
(2)
(iv) q x = 0, 5 (1)
(2)
(v) d x = 0, 65d x
0 (2)
Hitunglah nilai p x
untuk populasi ini
A. 0.26 B. 0,33 C. 0,4 D. 0,47 E. 0,54 Pembahasan: Diketahui: (i) Kematian terdistribusi unfirofm sepanjang tahun dalam tabel single decrement (ii) Withdrwal terjadi di akhir tahun (τ )
= 1000
(2) qx
= 0, 5
(iii) lx (iv)
168
6 A50 Periode Mei 2017 (1)
(2)
(v) d x = 0, 65d x
Rumus yang digunakan adalah: ( j)
( j)
t qx =
(τ ) l x +1 0 (2)
px
−1 ∑tj= 0 dx+ j (τ )
=
lx (τ ) (1) lx − dx
=
(τ ) (τ ) ( p x ) qx
(2)
− dx
(2) qx
Dengan demikian diperoleh :
(2)
(2) qx
=
0, 5
=
∑1j=−01 d x+ j (τ )
lx (2)
dx 1000
(2)
= 500
(1)
= 0, 65(d x )
dx
(2)
dx
= 0, 65(500) = 325
(τ )
l x +1
(τ )
(1)
(2)
= lx − dx − dx
= 1000 − 325 − 500 = 175
(τ )
(τ )
px
= = =
0 (2)
px
(2) qx
=
(τ ) (τ ) ( p x ) qx
l x +1 (τ )
lx 175 1000 0, 175
0,5
= (0, 175) 1−0,75 = 0, 347724
169
6 A50 Periode Mei 2017 Sehingga jawaban yang paling mendekati adalah 0,33 Jawab:B. 0,33 10. Untuk sebuah model double decrement: 0 (1)
i. q x
0 (2)
ii. q x
= 0.3 = 0.4
iii. setiap decrement berdistribusi uniform sepanjang taun dalam tabel double decrement (1)
Berapakah nilai 0.3 q x A. 0,07 B. 0,076 C. 0,082 D. 0,088 E. 0,094 Pembahasan: Diketahui: 0 (1)
i. q x
0 (2)
ii. q x
= 0.3 = 0.4
iii. setiap decrement berdistribusi uniform sepanjang taun dalam tabel double decrement Rumus yang digunakan adalah: (1) s qx
(1)
= q x (s −
0 (2)
qx
0 (τ ) qx
s2 ), 0 ≤ s ≤ 1
Dengan demikian diperoleh :
170
6 A50 Periode Mei 2017
(τ )
qx
(τ )
= 1 − px
0 (1)
0 (2)
= 1 − ((1 − q x )(1 − q x )) t t = (1 − ).(1 − ) 65 30 = 1 − ((0.7)(0.6)) = 0.58
(1) 0.3 q x
0 (2)
(q ) = q x (0.3 − xτ 0, 32 ) qx 0, 4 = 0, 3(0.3 − 0, 32 ) 0, 58 = 0, 071 0 (1)
Jawab: A.0,07 11. Berikut ini adalah tabel mortalitas select dan ultimate dengan periode seleksi 3 tahun
[x]
q[ x]
q[ x]+1
q[ x]+2
q[ x]+3
x+3
60
0,10
0.12
0,14
0,16
63
61
0,11
0.13
0,15
0,17
64
62
0,12
0.14
0,16
0,18
65
63
0,13
0,15
0,17
0,19
66
64
0,14
0,16
0,18
0,20
67
(i) Bapak budi adalah indicidu baru yang diamati pada tanggal 1 januari 2015 (ii) Umur bapak budi tanggal 1 Januari 2016 adalah 61 (iii) Padalah probablitas pada 1 januari 2016 bahwa Bapak Budi akan tetap hidup pada tanggal 1 Januari 2021 Hitunglah nilai P A. 0 ≤ P < 0, 43 B. 0, 43 ≤ P < 0, 45 C. 0, 45 ≤ P < 0, 47 D. 0, 47 ≤ P < 0, 49 E. 0, 49 ≤ P < 1
171
6 A50 Periode Mei 2017 Pembahasan: Diketahui:
[x]
q[ x]
q[ x]+1
q[ x]+2
q[ x]+3
x+3
60
0,10
0.12
0,14
0,16
63
61
0,11
0.13
0,15
0,17
64
62
0,12
0.14
0,16
0,18
65
63
0,13
0,15
0,17
0,19
66
64
0,14
0,16
0,18
0,20
67
Rumus yang digunakan adalah: n P[ x ]+1
= P[ x]+1 .P[ x]+2 ....P[ x]+n
Dengan demikian diperoleh :
p
=
5 p[60]+1
=
P[60]+1 .P[60]+2 .P[60]+3 .P[60]+4 .P[60]+5
=
P61 .P62 .P63 .P64 .P65
= (1 − q61 )(1 − q[62 )(1 − q63 )(1 − q64 )(1 − q65 ) = (1 − 0, 12)(1 − 0, 14)(1 − 0, 16)(1 − 0, 17)(1 − 0, 18) = 0, 432666 = 0, 433 Jawab: B. 0, 43 ≤ p ≤ 0, 45 12. Berikut ini adalah tabel mortalitas select dan ultimate dengan periode seleksi 2 tahun
[x]
q[ x]
q[ x]+1
q[ x]+2
30
0,00422
0,00465
0,00620
31
0,00454
0,00598
0,00690
32
0,00473
0,00635
0,00790
33
0,00511
0,00680
0,00855
34
0,00550
0,00738
0,00938
Hitunglah nilai 2| q[30]+1
172
6 A50 Periode Mei 2017 A. 0,0053 B. 0,0058 C. 0,0063 D. 0,0068 E. 0,0073 Pembahasan: Rumus yang digunakan adalah:
=t Px .u q x+t n P[ x ]+1 = P[ x ]+1 .P[ x ]+2 ...P[ x ]+n Dengan demikian diperoleh : t|u q x
2 P[30]+1
=
P[30]+1 .P[30]+2
= (1 − q[30]+1 )(1 − q[30]+2 ) = (1 − 0, 00465)(1 − 0, 0062) = 0, 98917883
Selanjutnya
2 P[30]+1
=
2 P[30]+1 .P[30]+1+2
=
2 P[30]+1 .P[30]+3
= (0, 98917883)(0, 0069) = 0, 0068 Jawab:D.0,0068 13. Untuk sebuah studi mortalita pada ( x, x + 1] , diperoleh informasi sebagai berikut: i. Pada awal pengamatan, 600 orang hidup pada umur x ii. 40 orang baru masuk pada umur
x +1 4
iii. 20 orang keluar dari pengamatan pada umur
x +1 2
iv. 10 orang keluar dari pengamatan pada umur
x +3 4
v. diakhir pengamatan, 500 orang mencapai umur x + 1
173
6 A50 Periode Mei 2017 Jika kematian terjadi pada umur
x +1 2
dan force of mortality adalah konstan pada (x,x+1] ,
hitunglah estimator eksak dariq x A. 0,18 B. 0,21 C. 0,24 D. 0,27 E. 0,3 Pembahasan: Diketahui : (i.) Pada awal pengamatan, 600 orang hidup pada umur x (ii.) 40 orang baru masuk pada umur
x +1 4
(iii.) 20 orang keluar dari pengamatan pada umur (iv.) 10 orang keluar dari pengamatan pada umur
x +1 2 x +3 4
(v.) diakhir pengamatan, 500 orang mencapai umur x + 1 Rumus yang digunakan adalah: qˆx = 1 − exp(− dexx ) Dengan demikian diperoleh :
qˆx
= 1 − exp(−
dx ) ex
= 1 − exp(−
110 ) 600 + (1 − 0, 25).40 − (1 − 0, 5).20 − (1 − 0, 75).10 − (1 − 0, 5).110
= 0, 177 = 0, 18 Jawab: .0,18 14. Sebuah regresi linier Yi = 1 + βXi + ε i Y
1
3
5
X
2
4
8
Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var [ βˆ ]
174
6 A50 Periode Mei 2017 A. 0,0011 B. 0,0015 C. 0,0017 D. 0,0019 E. 0,0021 Pembahasan: Terlebih dahulu akan ditentukan SXXε2 dan SXX dengan menggunakan beberi
apa formula berikut βˆ
=
αˆ
=
εi
=
Var [ βˆ ]
=
SXY ∑n ( X − X¯ )(Yi − Y¯ ) = i =1 n i SXX ∑i=1 ( X − X¯ )2 Y¯ − βˆ X¯ Yi − Yˆi = Yi − αˆ + βˆ X¯ SXXε2 i
(SXX )2
Dinyatakan dalam bentuk tabel menjadi : i
Xi
Yi
Xi − X¯
Yi − Y¯
SXX
SXY
Y¯i
εi
ε2i
SXXε2
1
2
1
-2,667
-2
7,11
5,33
1,285714
-0,28571
0,081633
0,5805
2
4
3
-0,667
0
0,444
0
2,571429
0,428571
0,183673
0,0816
3
8
5
3,33
2
11,111
6,667
5,142857
-0,14286
0,020408
0,22676
Total
14
9
0
0
18,67
12
9
-6,7E-16
0,285714
0,889
Mean
4,67
3 βˆ
=
αˆ
=
Var [ βˆ ]
=
SXY ∑n ( X − X¯ )(Yi − Y¯ ) = 0, 642857 = i =1 n i SXX ∑i=1 ( X − X¯ )2 Y¯ − βˆ X¯ = 0 SXXε2 i = 0, 002551 (SXX )2
Jawab. Anulir 15. Dalam suatu studi mortalitas atas n individu, diketahui informasi sebagai berikut (i) tidak ada data yang di sensor dan tidak ada 2 kematian terjadi pada saat yang sama. (ii) tk waktu pada saat kematian ke -k ˆ ( t2 ) = (iii) Estimasi Nelson-Aalen atas fungsi kumulatif hazard adalah Λ
59 870
Tentukan estimasi product limit Kaplan-meler dari fungsi survival pada saat t9
175
i
6 A50 Periode Mei 2017 A. 0.76 B. 0.70 C. 0,64 D. 0,58 E. 0,52 Pembahasan: Diketahui (i) tidak ada data yang di sensor dan tidak ada 2 kematian terjadi pada saat yang sama. (ii) tk waktu pada saat kematian ke -k ˆ ( t2 ) = (iii) Estimasi Nelson-Aalen atas fungsi kumulatif hazard adalah Λ
59 870
Rumus yang digunakan adalah: r j −d j Sˆ (t) = ∏m j=1 ( r j ) untuk tm ≤ t < tm+1 ˆ (t) = ∑m 1 = 1 + 1 + ... + 1 ,untuk tm ≤ t < tm+1 Λ i =1 r n n −1 n − m +1 j
Dengan demikian diperoleh :
ˆ (t) Λ
m
=
1
∑ rj
=
i =1
59 870 59n2 − 59n 2
= =
1 1 + n n−1
2n − 1 n2 − n 1740n − 870
59n − 1799n + 870
= 0 p 1799 + (−1799)2 − 4(59)(870) n = = 30 2(59)
Selanjutnya Sˆ (t)
m
=
∏( j =1
= = =
rj − dj ) rj
29 28 27 21 . . .... 30 29 28 22 21 30 0, 7
Jawab: C.7,3
176
6 A50 Periode Mei 2017 16. Hitunglah ekspektasi hidup dari seseorang yang terdiagnosa LAS (state 2a menurut model panjer) bila diketahui informasi berikut ini: (i) µ21 = 0, 5 (ii) variansi dari pengharapan hidup orang berada dalam state 2a adalah 7,97 (iii) Ekspektasi pengharapan hidup untuk orang yang dalam stase 3 adalah 0.6 A. 4,1 B. 4,2 C. 4,3 D. 4,4 E. 4,5 Pembahasan: Diketahui: (i) µ21 = 0, 5 (ii) variansi dari pengharapan hidup orang berada dalam state 2a adalah 7,97 (iii) Ekspektasi pengharapan hidup untuk orang yang dalam stase 3 adalah 0.6 Rumus yang digunakan adalah: E[ Tj ] =
1 µj
Var [ Tj ] =
1 µ2j
Proses:
E[ T3 ] 1 µ3
=
= 0, 36
Var [ T21 ]
=
7, 97
=
1 µ22b 1 µ22b 1 µ2b
1 µ3
1 1 1 + 2 + 2 2 µ2a µ2b µ3 1 1 + 2 + 0, 36 0, 52 µ2b
= 7, 97 − ( = 3, 61 = 1, 9
177
1 + 0, 36) 0, 52
6 A50 Periode Mei 2017 Sehingga, E[ Tj ]
1 1 1 + + µ2a µ2b µ3 1 ( + 1, 9 + 0, 6) 0, 5 4, 5
= = =
Jawab:E. 4,5 17. Dalam sebuah studi kesehatan untuk orang yang hidup pada waktu ke t=0 , diketahui tidak terdapat penambahan peserta. Terdapat 1 kematian pada waktut6 , 2 kematian pada t7 , dan 2 kematian pada t8 . Dengan menggunakan estimasi procut limit dari S(t) diperoleh Sˆ (t6 ) = 0, 6, Sˆ (t7 ) = 0, 45 , Sˆ (t7 ) = 0, 27 Hitunglah banyaknya orang yang melakukan terminasi antara t7 Dant8 diketahui data sebagai berikut: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 Pembahasan: Diketahui : • orang hidup pada waktu t=0 • Tidak terdapat penambahan peserta • 1 kematian pada waktu t6 , 2 kematian pada t7 , dan 2 kematian pada t8 t7 • Dengan estimasi product limit S(t) Sˆ (t6 ) = 0, 6, Sˆ (t7 ) = 0, 45 , Sˆ (t7 ) = 0, 27 Rumus yang digunakan adalah: r j −d j Sˆ (t) = ∏m j=1 ( r j ) untuk tm ≤ t < tk −1
178
6 A50 Periode Mei 2017 Dengan demikian diperoleh :
r − d7 = Sˆ (t6 )( 7 ) r7 r7 − 2 0, 45 = 0, 6( ) r7 0, 45r7 − 0, 6r7 = −1, 2 Sˆ (t7 )
−0, 15r7
= −1, 2 = 8
r7 Selanjutnya,
r − d8 = Sˆ (t7 )( 8 ) r8 8−ω−2 0, 27 = 0, 45( ) 8−ω 0, 27(8 − ω ) = 2, 7 − 0, 45ω 2, 7 − 2, 16 ω = 0, 45 − 0, 27 ω = 3 Sˆ (t8 )
Jawab: B.3 18. Berdasarkan 30 pengamatan, diperoleh model sebagai berikut: Y = β 1 + β 2 X2 + β 3 X3 + ε, dimana R2 = 0,81 Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji hubungan linear (dibulatkan 2 desimal). A. 57,55 B. 62,43 C. 32,00 D. 41,90 E. 26,78 Pembahasan: Diketahui : Y = β 1 + β 2 X2 + β 3 X3 + ε, dimana R2 = 0,81 n=3 k (jumlah parameter) = 3
179
6 A50 Periode Mei 2017 Rumus yang digunakan adalah: R2 k −1 1− R2 n−k
=
F Dengan demikian diperoleh :
F
R2 k −1 1− R2 n−k 0,81 3−1 1−0,81 30−3
= =
= 57,552631 Jawab : A.
57,55
19. Pada suatu studi data lengkap dengan ukuran sampel mula-mula adalah 10, diketahui estimasi product limit atas S(12) sebagai Sˆ (12) = 0, 6. Hitunglah estimasi Nelson-Aalen atas S(12) A. 0,62 B. 0,65 C. 0,68 D. 0,71 E. 0,74 Pembahasan: Diketahui: n = 10 Sˆ (12) = 0, 6 Rumus yang digunakan adalah: r −d Sˆ (t) = ∏m ( j j ) j =1
ˆ (t) = ∑m Λ i =1
rj
1 rj
=
1 n
+
1 n −1
+ ... +
1 n − m +1
Dengan demikian diperoleh :
Sˆ (12)
m
=
∏( j =1
0, 6
= =
rj − 1 ) rj
1 1 1 1 + + + 10 9 8 7 1207 2520
180
6 A50 Periode Mei 2017 Selanjutnya S(12)
1207 ) 2520 1207 exp(− ) 2520 0, 619422
= exp(− = =
Jawab: A.0,62 20. Atas studi mortalita dua negara, diperoleh data sebagi berikut: t
Negara A
Negara B
dj
rj
dj
rj
1
30
300
22
200
2
32
270
15
178
3
15
238
18
163
16
145
4 20 223 r j adalah banyaknya resiko dalam periode (ti−1 , ti )
d j adalah banyaknya kematian dalam periode (ti−1 , ti ), asumsi terjadi pada ti S T (t) adalah estimasi peroduct limit dariS(t) berdasarkan total semua data pengamatan. S B (t) = adalah estimasi product limit dari S(t) berdasarkan data pengamatan negara B Hitunglah |S T (4) − S B (4)| A. 0,05 B. 0,04 C. 0,03 D. 0,02 E. 0,01 Pembahasan: Diketahui :
t
Negara A
Negara B
dj
rj
dj
rj
1
30
300
22
200
2
32
270
15
178
3
15
238
18
163
4
20
223
16
145
181
6 A50 Periode Mei 2017 Rumus yang digunakan adalah: r −d
j j Product limit S(t) = ∏m j =1 ( r j ) Dengan demikian diperoleh :
500 − 52 448 − 47 401 − 33 368 − 36 )( )( )( ) = 0, 664 500 448 401 368 200 − 22 178 − 15 163 − 18 145 − 16 ( )( )( )( ) = 0, 645 200 178 163 145
S T (4)
= (
S B (4)
=
Sehingga |S T (4) − S B (4)| = |0, 664 − 0, 645| = 0, 019 = 0, 02 Jawab: D.0,02 21. Sebuah regresi 2 variabel digunakan untuk mencocokkan data berikut ini: X
Y
2
10
5
6
8
11
9
13
X
Y
2
10
5
6
8
11
9
13
Hitunglah Cov[αˆ , βˆ ] A. -1,77 B. -1,85 C. -1,93 D. -2,01 E. -2,09 Pembahasan: Diketahui :
Rumus yang digunakan adalah:
182
6 A50 Periode Mei 2017 • ∑ xi yi = ∑( Xi − X¯ )(Yi − Y¯ ) • ∑ xi2 = ∑( Xi − X¯ )2 • ∑ y2i = ∑(Yi − Y¯ )2 • ∑ εˆ2i = ∑ y2i − q 2 ∑ εˆ • σˆ = n−2i
xi yi xi2
• Cov(αˆ , βˆ ) = − X¯ (
σ2 ) ∑ xi2
Dengan demikian diperoleh :
Yi − Y¯
( Xi − X¯ )2
(Yi − Y¯ )2
( Xi − X¯ )(Yi − Y¯ )
-4
0
-1
-4
16
0
0
1
16
4
11
2
1
4
1
2
9
13
3
3
9
9
9
6
10 0
0
30
26
15
i
Xi
Yi
Xi − X¯
1
2
10
2
5
6
3
8
4 Rata-rata Jumlah
∑ εˆ2i
=
∑ y2i −
xi yi xi2
(∑( Xi − X¯ )(Yi − Y¯ ))2 2 ¯ ( Y − Y ) − ∑ i ∑( Xi − X¯ 152 = 26 − 30 = 18, 5
=
s σˆ
= =
σˆ
2
√
∑ εˆ2i n−2
9, 25
= 9, 25
183
6 A50 Periode Mei 2017 Cov(αˆ , βˆ )
σ2 ) ∑ xi2 9, 25 ) −6( 50 −1, 85
= − X¯ ( = =
Jawab:B. -1,85 22. Untuk sebuha regresi 2 vaiabel berdasakan 8 pengamatan, diperoleh informasi: Xi − X¯ 2 = 2000 ∑ εˆ2i = 975 Hitunglahs β , yaitu standar error untuk Diberikan data sebagai s β berikut: A. 0,22 B. 0,24 C. 0,28 D. 0,31 E. 0,34 Pembahasan: Diketahui: n=8 Xi − X¯ 2 = 2000 ∑ εˆ2i = 975 Rumus yang digunakan adalah: = ∑( Xi − X¯ 2 ) ∑ xi2 r σˆ = s βˆ =
∑ εˆ2i n −2 √σ 2 ∑ xi
Dengan demikian diperoleh :
∑ xi2
=
∑(Xi − X¯ 2 )
= 2000
184
6 A50 Periode Mei 2017 s σˆ
=
∑ εˆ2i n−2
r
= =
s βˆ
=
957 8−2 12.63
σ q
∑ xi2
12, 63 √ 2000 = 0, 28
=
Jawab:B.0,28 23. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan Yi = β 1 + β 2 X2i + β 3 X3i + ε i , i = 1, 2, 3, 4. Diberikan data sebagai berikut i X2i
X3i
1
-4
-2
2
-2
4
3
2
-4
4
4
2
Estimasi least square dari β 3 dinyatakan sebagai βˆ 3 = ∑4i=1 wi Yi , tentukan nilai (w1 , w2 , w3 , w4 ) 1 3 3 1 , 20 , − 20 , 20 ) a. (− 20
3 3 1 1 , − 20 , 20 , 20 ) b. (− 20
1 2 2 1 c. ( 20 , − 20 , 20 , − 20 )
1 2 2 1 d. (− 20 , 20 , − 20 , 20 )
e. ( 14 , 14 , − 41 , − 41 )
Pembahasan: Diketahui :
185
6 A50 Periode Mei 2017 Yi = β 1 + β 2 X2i + β 3 X3i + ε i , i = 1, 2, 3, 4. i
X2i
X3i
1
-4
-2
2
-2
4
3
2
-4
4
4
2
Rumus yang digunakan adalah: ( x − x¯ ) βˆ 3 = ∑41 wi Yi = ∑41 [ ∑n (i x − x¯ )2 ]Yi i =1
i
Dengan demikian diperoleh : wi
= [
x¯3
=
n
∑ (xi − x¯ )2
( xi − x¯ ) ] n ∑i=1 ( xi − x¯ )2
−2 + 4 + −4 + 2 =0 4
= (−2)2 + (−2)4 + (−4)2 + (2)2 = 40
i =1
Sehingga, 2 1 =− 40 20 4 2 =− 40 20 4 2 − =− 40 20 2 1 =− 40 20
w1
= −
w2
=
w3
=
wi
=
1 2 2 1 Jawab: D.(− 20 , 20 , − 20 , − 20 )
24. Sebuah regresi linear digunakan untuk mencocokkan suatu deret waktu dengan 30 pengamatan, diketahui: • εˆ 1 = −7 • εˆ 30 = 11 30 2 • ∑tt= =1 εˆ t = 801
186
6 A50 Periode Mei 2017 30 • ∑tt= =1 ( εˆ t x εˆ t−1 ) = 2422
Hitunglah statistik Durbin-Watson A. 1,31 B. 1,27 C. 1,23 D. 1,19 E. 1,15 Pembahasan: Diketahui: • εˆ 1 = −7 • εˆ 30 = 11 30 2 • ∑tt= =1 εˆ t = 2422 30 • ∑tt= =1 ( εˆ t x εˆ t−1 ) = 801
Rumus yang digunakan adalah: d=
=30 (εˆ−εˆ 2 ∑tt= t −1 ) 2 =30 εˆ2 ∑tt= 1 t
Dengan demikian diperoleh :
t=30
∑ (εˆ − εˆ t−1 )2
t=30
=
t =2
∑ (εˆ2t − 2εˆt ε tˆ−1 + ε2tˆ−1 )
t =2 t=30
=
∑
εˆ2t − 2
t =2
t=30
∑
t =2
t=30
εˆt ε tˆ−1 +
∑
t =2
ε2tˆ−1
= (2422 − (49) − 2(801) + (2422 − (121)) = 3072 Selanjutnya
d
=
30 2 3072 ∑tt= =2 ( εˆ − εˆ t−1 ) = = 1, 26837 = 1, 27 t=30 ˆ2 2422 ε ∑ t =1
t
Jawab: B. 1,27
187
6 A50 Periode Mei 2017 25. Sebuah model regresi linear Yi = α + βXi + ε i digunakan untuk mencocokkan data berikut ini: X
Y
0
1
3
2
5
6
8
11
Hitunglah estimasi heterocedasticity-consistent dari Var [ βˆ ] A. 0,031 B. 0,042 C. 0,053 D. 0,064 E. 0,075 Pembahasan: Diketahui Yi = α + βXi + ε i X
Y
0
1
3
2
5
6
8
11
Rumus yang digunakan adalah: ∑n ( X − X¯ )(Yi −Y¯ ) βˆ = SXY = i=1 n i 2 ∑i=1 ( Xi − X¯ )
SXX
αˆ = Y¯ − βˆ X¯ ε i = Yi − εˆ i = Yi − (Y¯ − βˆ X¯ ) S ε2 var [ βˆ ] = XX i2 (SXX )
Dengan demikian diperoleh :
188
6 A50 Periode Mei 2017 i
XI
YI
X I − X¯
YI − Y¯
SXX
SXY
Yˆ I
εi
ε2i
SXX ε2i
1
0
1
-4
-4
16
16
0,17647
1,176471
1,384083
22,14533
2
3
2
-1
-3
1
3
3,705882
1,705882
2,910035
2,910035
3
5
6
1
1
1
1
6,294118
0,29412
0,086505
0,086505
4
8
11
4
6
16
24
10,17647
0,823529
0,678201
10,85121
Total
16
20
0
0
34
44
20
8,88E-16
5,058824
35,99308
Mean
4
5 βˆ
= = =
SXY SXX ∑in=1 ( Xi − X¯ )(Yi − Y¯ ) ∑in=1 ( Xi − X¯ )2 1, 294118
= Y¯ − βˆ X¯ = −0, 17647 SXY ε2i Var [ βˆ ] = (SXX )2 = 0, 031136 αˆ
Jawab: A. 0,031136 26. Korelasi serial order pertama (first order serial correlation) yaitu ε t = ρε t−1 + vt . Nilai ρ = 0, 6, Var [v] = 40 Hitunglah var [ε] A. 44,5 B. 49 C. 53,5 D. 58 E. 62,5 Pembahasan: Diketahui: ρ = 0, 6 Var [v] = σv2 = 40 Rumus yang digunakan adalah: var [v] =
σv2 1− ρ2
Dengan demikian diperoleh :
189
6 A50 Periode Mei 2017
var [v]
= =
40 1 − 0, 62 62, 5
Jawab: E. 62,5 27. Diketahui suatu model autoregressive ARMA(1,1) diketahui: φ = 0, 4 dan θ = 0, 5 Hitunglah ρ2 A. -0,026 B. -0,029 C. -0,032 D. -0,035 E. -0,038 Pembahasan: Diketahui : ARMA(1,1) φ = 0, 4 dan θ = 0, 5 Rumus yang digunakan adalah: ρ(h) =
(1−θφ)(φ−θ ) h−1 φ , 1−2θφ+θ 2
untuk h ≥ 1
Dengan demikian diperoleh :
ρ (2)
(1 − (0, 5)(0, 4))((0, 4) − (0, 5) (0, 4)2−1 1 − 2(0, 5)(0, 4) + 0, 52 = −0, 03765 =
= −0, 038 Jawab: E.-0,038 28. . Diketahui suatu proses second order autoregressive AR(2) diketahui:
190
6 A50 Periode Mei 2017 ρ1 = 0, 75, ρ2 = 0, 65 hitunglah φ1 A. 0,7 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,4 E. 0,3 Pembahasan: Diketahui: AR(2) ρ1 = 0, 75, ρ2 = 0, 65 Rumus yang digunakan adalah: Model AR(2) dapat dituliskan dalam bentuk xt = φ1 xt−1 + φ2 xt− 2 + ε t−1 φ1 = φ2 =
ρ1 (1− ρ2 ) 1−ρ21 ρ2 −ρ21 1−ρ21
Dengan demikian diperoleh :
φ1
= = =
ρ1 (1 − ρ2 ) 1 − ρ21 0, 75(1 − 0, 65) 1 − 0, 752 0, 6
Jawab: B. 0,6 29. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA (1,1) sebagai berikut:
yt = 0, 8yt−1 + 3 + ε t − 0, 2ε t−1 hitunglah ρ1 A. 0,62 B. 0,66 C. 0,70
191
6 A50 Periode Mei 2017 D. 0,74 E. 0,78 Pembahasan: Diketahui: ARMA(1,1) yt = 0, 8yt−1 + 3 + ε t − 0, 2ε t−1 Rumus yang digunakan adalah: Model ARMA(1,1) dapat dituliskan dalam bentuk yt = φyt−1 + ε t − θε t−1 (1−θφ)(φ−θ )
ρ(h) = 1−2θφ+θ 2 φh−1 , untuk h ≥ 1 Dengan demikian diperoleh : Berdasarkan yt = 0, 8yt−1 + 3 + ε t − 0, 2ε t−1 diperoleh φ = 0, 8 dan θ = 0, 2 Sehingga
ρ (1)
(1 − (0, 2)(0, 8))((0, 8) − (0, 2) (0, 8)1−1 1 − 2(0, 8)(0, 2) + 0, 22 = 0, 7 =
Jawab: B. 0,7 30. Dalam sebuah studi regresi dua peubah acak dihasilkan a) βˆ = 0, 2 b) s βˆ = 0, 095, yaitu standard error dari β Tentukanlah nilai statistik t beserta keputusan yang diambil dari sebuah uji untuk H0 : β = 0 dan H1 : β 6= 0 dengan confidance interval 95% (diketahui, nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah 1,96 ) A. t = 1, 5 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol. B. t = 1, 5 dan oleh karena itu terima hipotestis nol. C. t = 1, 8 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol. D. t = 2, 1 dan oleh karena itu terima hipotestis nol. E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.
192
6 A50 Periode Mei 2017 Pembahasan: Diketahui • βˆ = 0, 2 • s βˆ = 0, 095, yaitu standard error dari β • nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah t α ,n−2 = 1, 96 2
H0 diterima apabila −t α ,n−2 < T < t α ,n−2 dimana nilai T diperoleh dari: 2
2
βˆ 0, 2 T= = = 2, 105 s βˆ 0, 095 Diperoleh T = 2, 105 sehingga tolak hipotesis nol Jawab: E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.
193
7 A50 Periode November 2017 1. Diketahui fungsi survival dari seseorang berumur 40 tahun adalah sebagai berikut :
S40 (t)
1 − (0, 02t)2 ,
untuk 0 ≤ t < 25
0, 75e−0,1(t−25) , untuk t ≥25
Hitunglah µ70 A. 0,10 B. 0,15 C. 0,20 D. 0,25 E. 0,30 Pembahasan: Diketahui:
S40 (t)
1 − (0, 02t)2 ,
untuk 0 ≤ t < 25
0, 75e−0,1(t−25) , untuk t ≥25
Formula yang digunakan dalam soal ini adalah: Sx (t)
=
µx
=
S( x + t) Sx d − ln Sx ( x ) dx
Dengan demikian diperoleh :
µ70
d = − ln S40 (t), di mana t=30 dt d −0,1(t−25) = − ln(0, 75e ) dt t=30 = 0, 1
194
7 A50 Periode November 2017 Jawab: A 2. Dalam sebuah populasi tertentu, suatu hazard function didefinisikan sebagai berikut: : 0.010, 60 < t ≤ 70 µ(t) = 0.015, 70 < t ≤ 80 0.025, t > 80 Untuk seseorang dari populasi ini yang tepat berumur 65 tahun, hitunglah probabilitas bahwa orang tersebut akan tetap hidup paling sedikit 5 tahun lagi (dibulatkan 2 desimal). A. 0.97 B. 0.96 C. 0.95 D. 0.94 E. 0.93 Pembahasan: Diketahui: 0.010, 60 < t ≤ 70 µ(t) = 0.015, 70 < t ≤ 80 0.025, t > 80 Formula yang digunakan dalam soal ini adalah: t px
= exp −
Z t 0
µ x (s)ds
Dengan demikian diperoleh : 5 p65
= exp −
Z 5 0
= exp(−0.05) = 0.951229 ≈ 0.95 Jawab: C 3. Diketahui:
195
0.01ds
7 A50 Periode November 2017 a) S0 (t) = 1 − b) µ65 =
t ω
14
, untuk 0 ≤ t ≤ ω
1 180
Hitunglah e106 , yaitu ekspektasi hidup pada umur 106 tahun. A. 2.48 B. 2.59 C. 2.70 D. 2.81 E. 2.92 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :
µx
=
t px
=
ex
=
− dtd Sx (t) Sx (t) S( x + t) S( x ) ∞
∑ (t p x )
t =1
Dengan demikian diperoleh:
µx
= = =
µ65
=
1 180
=
ω
=
− dtd S0 (t) S0 ( t ) − dtd 1 −
t ω
14
1 1 − ωt 4 1 4ω 1 − ωt 1 4ω 1 − 65 ω 1 4ω − 260 180 + 260 = 110 4
196
7 A50 Periode November 2017 Dari sini, selanjutnya kita peroleh: t px
= =
S( x + t) S( x ) 100 − 1−
=
x +t 110
t 110
14
14
110 − x − t 110 − x
1 4
4
e106
=
∑ (t p106 )
t =1 4
=
∑
t =1
110 − 106 − t 110 − 106
1 4
= 2.478608056 ≈ 2.48 Jawab: A 4. Untuk suatu tabel double decrement, diketahui: 0(1)
a) q x
0(2)
b) q x
= 0.2 = 0.3
c) Setiap decrement terdistribusi secara uniform dalam masing-masing tabel single decrement yang diasosiasikan. (1)
Hitunglah q x (dibulatkan 3 desimal) A. 0.089 B. 0.126 C. 0.144 D. 0.167 E. 0.192 Pembahasan:
197
7 A50 Periode November 2017 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : (1) qx
=
(2)
=
qx
1 0(2) 1 − qx 2 1 0(1) 0(2) qx 1 − qx 2 0(1) qx
Dengan demikian diperoleh:
(1) qx
= = =
1 0(2) 1 − qx 2 " #! (2) qx 1 0(1) qx 1− 2 1 − 1 q0(1) 2 x " #! 0.3 1 0.2 1 − 2 1 − 0.2 2 0(1) qx
= 0.167 Jawab: D 5. Diketahui tabel mortalita dengan periode seleksi 2 tahun sebagai berikut:
x
q[ x]
q[ x]+1
q x +2
x+2
50
0.0060
0.0053
0.0070
52
51
0.0070
0.0063
0.0080
53
52
0.0080
0.0073
0.0090
54
53
0.0090
0.0083
0.0100
55
Jika force of mortality adalah konstan, hitunglah 10002.5 q[50]+0.4 (dibulatkan 2 desimal) A. 11.17 B. 12.96 C. 14.35 D. 15.13 E. 16.42 Pembahasan:
198
7 A50 Periode November 2017 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : t px
=
x + t p0
t px
=
p x .p x+1 .p x+2 ...p x+t−1
Untuk asumsi force of mortality konstan, didapatkan:
= ( p x )s s+t p x s+t p x = = ( p x )s s px
s px t p x +s
Dengan demikian diperoleh:
2.5 q[50]+0.4
= 1 −2.5 p[50]+0.4 2.9 p[50] = 1− ( p[50] )0.4 = 1−
p[50] .p[50]+1 .( p52 )0.9
(1 − q(50) )0.4
(1 − 0.006)(1 − 0.0053)(1 − 0.007)0.9 (1 − 0.006)0.4 = 0.01513 = 1−
Oleh karena itu didapatkan: 10002.5 q[50]+0.4
= (1000)(0.01513) = 15.13
Jawab : D 6. Pada sebuah studi double decrement yang dilakukan pada tahun kalender 2007, diperoleh data sebagai berikut: Orang ke-
Tanggal Lahir
Tanggal Kematian
Tanggal Withdrawal
1
1 Juli 1912
-
-
2
1 April 1912
1 Desember 2007
-
3
1 Oktober 1911
-
?
4
1 Januari 1912
-
-
5
1 Juni 1912
1 November 2007
-
0(kematian)
Diketahui pula qˆ95
= 0.46825 dengan menggunakan metode exact exposure. Pada
199
7 A50 Periode November 2017 tanggal berapa orang ke-3 keluar (withdrawal) dari pengamatan pada studi tersebut? A. 1 April 2007 B. 1 Mei 2007 C. 1 Juni 2007 D. 1 Juli 2007 E. 1 Agustus 2007 Pembahasan: Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:
Exact Exposure: qˆ
= 1 − exp
dj − εj
di mana: • yi = tanggal awal pengamatan - tanggal lahir • zi = tanggal akhir pengamatan - tanggal lahir • θi = tanggal meninggal - tanggal lahir • φi = tanggal withdrawal - tanggal lahir 0, jika y ≤ x i ri = y − x, jika x < y < x + 1 i
i
z − x, jika x < z < x + 1 i i si = 1, jika z ≥ x + 1 i 0, jika θi = 0 li = θi − x, jika x < θi < x + 1 0, jika θ ≥ x + 1 i
0, jika φi = 0 k i = φi − x, jika x < φi < x + 1 0, jika φ ≥ x + 1 i
ε eksak
s − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal i = k i − ri , jika seseorang withdrawal l − r , jika seseorang meninggal i
i
200
!
7 A50 Periode November 2017 Dengan demikian diperoleh:
Orang
yi
zi
1
94.5
95.5
2
94.57
95.75
3
95.25
96.25
4
95
96
5
94.58
95.58
θi
φi
95.67 95.25 + x 95.42
ri
si
li
0
0.5
0
0.75
0.25
1
0
1
0
0.58
ki
Eksposure eksak 0.5
0.67
0.67 0.25 + x
x 1
0.42
0.42
Berdasarkan tabel di atas, diperoleh eksposure eksak adalah 2.59 + x. Selain itu, berdasarkan kolom li , terdapat dua kematian untuk usia 95 tahun. Berdasarkan informasi pada tabel di atas, didapatkan: 2 = 1 − exp − 2.59 + x 2 0.46825 = 1 − exp − 2.59 + x 2 exp − = 1 − 0.46825 2.59 + x 2 = ln(0.53175) − 2.59 + x 2 = 0.63158 2.59 + x 2 − (0.63158)(2.59) x = 0.63158 = 0.576651 tahun 0(kematian)
qˆ95
= 6.9198 bulan ≈ 7 bulan Karena awal pengamatan dimulai pada tanggal 1 Januari 2017, maka orang ke-3 keluar pada tanggal 1 Agustus 2017. Jawab : E (d)
7. Jika diketahui force of mmortality adalah µ x (w) µx
=
4 5(100− x )
dan force of withdrawal adalah
11 = 5(100 , hitunglah conditional density function untuk kematian seseorang pada umur −x) 70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70.
A.
30−t 600
201
7 A50 Periode November 2017 B. C. D. E.
70−t 1125 (30−t)2 1125 (70−t)2 33750 (30−t)2 33750
Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : (τ )
(d)
(w)
= µx + µx Z t (τ ) = exp − µ x (y)dy
µx
(τ ) t px
0
= S( x )
x p0
f (t, j)
=
(τ ) ( j) t p x .µ x ( t )
Dengan demikian diperoleh:
(τ )
µx
(τ ) t px
(d)
(w)
= µx + µx Z = exp −
t 0
11 3 4 + = 5(100 − x ) 5(100 − x ) (100 − x ) 3 (100 − t)3 dy = exp (3 ln(100 − t) − 3 ln(100)) = 100 − y 1000000
=
Fungsi joint pdf t dan j apabila seseorang masih hidup adalah: f (t, j)
=
(100 − t)3 4 4(100 − t)2 . = 1000000 5(100 − t) 5000000
Berdasarkan informasi tersebut, maka diperoleh conditional density function seseorang pada umur 70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70 tahun adalah: P
(τ ) (d) t p70 .µ70 ( t )
=
S(70) 4(100−(70+t))2 5000000 (100−70)3 1000000 (30 − t)2
= =
33750
Jadi, conditional density function untuk kematian seseorang pada umur 70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70 adalah
(30−t)2 33750
Jawab : E
202
7 A50 Periode November 2017 8. Atas pengamatan pada 100 polis dalam studi pembatalan polis, diperoleh informasi sebagai berikut:
i Studi dibuat sedemikian sehingga untuk setiap satu pembatalan polis, ditambahkan satu polis baru (artinya r j selalu bernilai 100) ii Pembatalan polis terjadi di akhir tahun dengan pengamatan sebagai berikut: 1 polis batal di akhir tahun polis ke-1 2 polis batal di akhir tahun polis ke-2 3 polis batal di akhir tahun polis ke-3 ... ... n polis batal di akhir tahun polis ke-n iii Estimasi empiris Nelson-Aalen untuk fungsi distribusi kumulatif pada tahun ke-n adalah Fˆ (n) = 0.698806 Hitunglah nilai n. A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 16 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : Fˆ (n)
n
= 1 − exp
dj −∑ r j =1 j
203
! ,
t n ≤ t ≤ t n +1
7 A50 Periode November 2017 Dengan demikian diperoleh: Fˆ (n)
n
dj −∑ r j =1 j
= 1 − exp
n
0.698806 n
exp
dj −∑ 100 j =1 n
!
dj −∑ 100 j =1
= 1 − exp
!
!
dj
∑ 100
= 1 − 0.698806 = 0.301194 = − ln(0.301194)
j =1
1 2 3 n + + + ... + 100 100 100 100 n ( n +1) 2
100 n2 + n − 240
= 1.2 = 1.2 = 0
(n − 15)(n + 16) = 0 Karena nilai n haruslah positif, maka diperoleh nilai n yang memenuhi adalah 15. Jawab : D 9. Hasil dari suatu studi dalam periode pengamatan tahun kalender 1983 adalah sebagai berikut: Orang ke-
Tanggal Lahir
Tanggal Kematian
A
1 April 1922
1 Juni 1983
B
1 Juli 1922
-
C
1 Oktober 1922
1 Maret 1983
D
1 Januari 1923
-
E
1 April 1923
-
F
1 Juli 1923
1 Oktober 1983
G
X
-
i Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi ini. ii Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian. iii Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh qˆ60 =
4 9
Tentukan nilai qˆ60 jika dihitung dengan pendekatan exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan).
204
7 A50 Periode November 2017 A. 0.315 B. 0.468 C. 0.559 D. 0.631 E. 0.689 Pembahasan: Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:
Exact Exposure: qˆ
= 1 − exp
dj − εj
di mana: • yi = tanggal awal pengamatan - tanggal lahir • zi = tanggal akhir pengamatan - tanggal lahir • θi = tanggal meninggal - tanggal lahir • φi = tanggal withdrawal - tanggal lahir 0, jika y ≤ x i ri = y − x, jika x < y < x + 1 i
i
z − x, jika x < z < x + 1 i i si = 1, jika z ≥ x + 1 i 0, jika θi = 0 li = θi − x, jika x < θi < x + 1 0, jika θ ≥ x + 1 i
0, jika φi = 0 k i = φi − x, jika x < φi < x + 1 0, jika φ ≥ x + 1 i
ε eksak
s − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal i = k i − ri , jika seseorang withdrawal l − r , jika seseorang meninggal i
i
205
!
7 A50 Periode November 2017
ε aktuaria
si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal = k i − ri , jika seseorang withdrawal 1 − r , jika seseorang meninggal i
Dengan demikian diperoleh:
Orang
yi
zi
θi
A
60.75
61.75
61.75
B
60.5
61.5
C
60.25
61.25
D
605
E F
ri
si
0.75
li
ki
eksak
aktuaria
1
0.25
0.25
0.5
1
0.5
0.5
0.25
1
0.75
0.16
61
0
1
1
1
59.75
60.75
0
0.75
0.75
0.75
59.5
60.5
0
0.5
1
0.25
0
R
R
R
φi
60.41
60.25
G
0.41
Berdasarkan tabel di atas, diperoleh total eksposure eksak adalah 4.25 + R dan eksposure aktuaria adalah 2.91 + R. Selain itu, berdasarkan kolom li , terdapat dua kematian. Berdasarkan informasi pada tabel di atas, didapatkan: qˆ60
=
14 9 17 + 4R
=
R
=
=
2 4.25 + R 2 4.25 + R 18 1 4
Dalam exact exposure terdapat 2 kematian dalam kolom li . Dengan demikian kita peroleh: qˆ60
= 1 − exp
2 − 2.91 +
! 1 4
= 0.468956 ≈ 0.468
Jadi, nilai dari qˆ60 dengan pendekatan exact exposure adalah 0.468 Jawab : B 10. Untuk sebuah model double decrement: 0(1)
i t p40 = 1 − ii
0(2) t p40
= 1−
t 65 , t 30 ,
0 ≤ t ≤ 65 0 ≤ t ≤ 30
206
7 A50 Periode November 2017 (τ )
Hitunglah µ40+15 (dibulatkan 3 desimal) A. 0.058 B. 0.067 C. 0.075 D. 0.080 E. 0.087 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : m
(τ ) t px
0( j)
∏ (t p x
=
)
j =1
(τ )
1
= −
µ x +t
. (τ )
t px
d (τ ) t px dt
Dengan demikian diperoleh: (τ ) t p40
2
=
0( j)
∏(t p40
)
j =1
=
0(1) 0(2) t p40 .t p40
= =
t t 1− . 1− 65 30 1 2 19 t+ t 1− 390 1950
Selanjutnya: (τ )
µ40+t
1
= −
. (τ )
t p40
=
d (τ ) t p40 dt
1 − 19 1 − 390 t +
= −
d . 1 2 dt 1950 t
19 1 2 1− t+ t 390 1950
2 19 + 1950 t − 390 1 2 19 1 − 390 t + 1950 t
Oleh karena itu didapatkan: (τ )
µ40+15
= −
19 2 − 390 + 1950 (15) = 0.08667 ≈ 0.087 19 1 1 − 390 (15) + 1950 (15)2
Jawab : E
207
7 A50 Periode November 2017 11. Pada sebuah model double decrement, diperoleh informasi sebagai berikut: (τ )
• lx • • •
= 100
(τ ) lx+3 = 50 (1) 3 q x = 0.07 (2) 2| q x = 0.08 (2)
Hitunglah 2 q x A. 0.15 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.30 E. 0.35
Pembahasan: Formula yang digunakan dalam soal ini adalah: (1)
(1) t qx
=
( j)
=
−1 ∑tj= 0 d x+ j (τ )
lx
t|u q x
( j) u d x +t (τ ) lx
Untuk double decrement : (τ )
łx +t
(τ )
= lx −
t −1
∑
j =0
(1)
(2)
d x+ j + d x+ j
Dengan demikian diperoleh: (1)
(1) 3 qx
=
∑3j=−01 d x+ j (τ )
lx (1)
(1) 3 qx
=
(1)
(1)
(1)
d x + d x +1 + d x +2
(1)
(τ )
lx (1)
0.07
(1)
d x + d x +1 + d x +2
=
= 7
208
(1)
(1)
d x + d x +1 + d x +2 100
7 A50 Periode November 2017 Selanjutnya, (τ )
(τ )
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
= l x − d x − d x − d x +1 − d x +1 − d x +2 − d x +2 (2) (2) (2) (τ ) (1) (1) (1) (τ ) l x +3 = l x − d x + d x +1 + d x +2 − d x + d x +1 + d x +2 (2) (2) 50 = 100 − 7 − d x + d x+1 − 8
l x +3
(2)
(2)
d x + d x +1
= 35
Oleh karena itu, didapatkan: (2)
(2) 2 qx
∑2j=−01 d x+ j
=
(τ )
lx (2)
(2)
d x + d x +1
=
(τ )
lx
35 = 0.35 100
= Jawab : E
12. Diketahui tiga hasil pengamatan sebagai berikut: 0.68
0.80
0.96
Anda mencocokkan sebuah distribusi dengan fungsi kepadatan (density function) sebagai berikut ini terhadap data:
f (x)
= ( p + 1) x p ,
0 < x < 1, p > −1
Hitung estimasi maximum likelihood atas p (dibulatkan 2 desimal) A. 2.23 B. 2.95 C. 3.62 D. 4.32 E. 6.81 Pembahasan: Diketahui bahwa:
209
7 A50 Periode November 2017 • n=3 • Data hasil pengamatan adalah 0.68 , • f ( x ) = ( p + 1) x p ,
0.80 , dan
0.96
0 < x < 1, p > −1
Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: n
L( p)
∏ f ( xi )
=
i =1
Dengan demikian diperoleh: n
L( p)
=
∏ f ( xi )
i =1 n
=
∏( p + 1)(xi ) p
i =1
= ( p + 1)
n
n
∏ xi
!p
i =1
" ln[ L p ]
= ln ( p + 1)
n
n
∏ xi
!p#
i =1
" ln[ L p ]
= n ln( p + 1) + p ln
n
∏ xi
#
i =1 n
ln[ L p ]
= n ln( p + 1) + p ∑ ln( xi ) i =1
Dalam mencari maximum likelihood, maka kita gunakan persamaan :
d dp
ln[ L( p)] = 0. Oleh
karena didapatkan:
d dp
d ln[ L( p)] dp !
= 0
n
n ln( p + 1) + p ∑ ln( xi )
= 0
i =1 n
n + ln( xi ) pˆ + 1 i∑ =1 pˆ
210
= 0 =
−n − ∑in=1 ln( xi ) ∑in=1 ln( xi )
7 A50 Periode November 2017 Berdasarkan data pengamatan yang diberikan pada soal, maka diperoleh: pˆ
−3 − ∑3i=1 ln( xi ) ∑3i=1 ln( xi ) −3 − (ln(0.68) + ln(0.8) + ln(0.96)) = (ln(0.68) + ln(0.8) + ln(0.96)) = 3.618 =
≈ 3.62 Jawab : C 13. Diketahui: • Studi mortalita dilakukan atas sejumlah n orang. • Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yang sama. • tk = Saat kejadian meninggal ke -k ˆ ( t2 ) = • Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada t2 adalah Λ Hitunglah estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada t10 A. 0.52 B. 0.55 C. 0.64 D. 0.69 E. 0.78 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: Sˆ (t)
m
=
rj − dj rj
∏
j =1
ˆ (t) Λ
m
=
1
∑ rj
j =1
=
! , untuk
t m ≤ t ≤ t m +1
1 1 1 + + ... + , untuk n n−1 n−m+1
211
t m ≤ t ≤ t m +1
55 756
7 A50 Periode November 2017 Dengan demikian diperoleh: ˆ ( t2 ) Λ 55 756 55n2 − 55n 55n2 − 1567n + 756
= = =
1 1 + n n−1 2n − 1 n2 − n 1512n − 756
= 0
(55n − 27)(n − 28) = 0 Berdassarkan betuk persamaan kuadrat di atas, solusi yang mungkin dari n adalah 28. Gunakan nilai tersebut untuk menghitung estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada t10 , yaitu: Sˆ (t10 )
10
=
∏
j =1
= = =
rj − dj rj
!
27 26 25 18 . . ... 28 27 26 19 18 28 0.642857143
≈ 0.64 Jawab : C 14. Sebuah studi mortalita dilakukan atas pengamatan terhadap 50 peserta dimulai dari waktu ke0. Diketahui:
Waktu
Jumlah Kematian (dt )
Jumlah yang disensor (ct )
15
3
0
17
0
4
25
3
0
30
0
c30
32
8
0
40
2
0
Sˆ (35) adalah estimasi product limit dari S(35). Vˆ [Sˆ (35)] adalah estimasi variansi dari Sˆ (35) menggunakan formula Greenwood. Vˆ [Sˆ (35)] [Sˆ (35)]2
= 0.012718.
212
7 A50 Periode November 2017
Hitunglah c30 , jumlah yang disensor pada waktu t = 30. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: Vˆ [Sˆ (t)]
=
[Sˆ (t)]2
k
∑
j =1
dj r j (r j − d j )
!
Dengan demikian diperoleh: Vˆ [Sˆ (35)]
=
[Sˆ (35)]2
3
∑
j =1
Vˆ [Sˆ (35)] [Sˆ (35)]2
0.012718
8 (40 − c30 )(32 − c30 )
3
= =
dj r j (r j − d j ) !
!
dj r ( r j j − dj ) j =1 3 3 8 + + 50(47) 43(40) (40 − c30 )(32 − c30 )
∑
= 0.0096972182
1280 − 72c30 + c230 c230 − 72c30 + 455.0211416
= 824.9788584 = 0
Nilai dari c30 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah c30 = 7.00036 ≈ 7 atau c30 = 64.999 ≈ 65. Karena jumlah peserta yang ada adalah 50 orang, maka nilai c30 yang mungkin adalah c30 = 7. Jawab : B 15. Diketahui model deret waktu sebagai berikut: yt
= 0.9yt−1 + 1 + ε t − 0.6ε t−1
213
7 A50 Periode November 2017 Juga diberikan: yT
= 7.0
εˆ T
= 0.5
Dengan menggunakan error di periode yang akan datang adalah nol, hitunglah perkiraan 2 periode, yaitu yˆ T (2) A. 5.64 B. 6.12 C. 7.30 D. 8.20 E. 9.15 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:
= φ1s y T + (φ1s−1 + φ1 + 1)δ − φ1s−1 θ1 εˆ T
yˆ T (s) Dengan demikian diperoleh: yˆ T (2)
= (φ1 )2 y T + (φ1 + 1)δ − φ1 θ1 εˆ T = (0.9)2 (7) + (0.9 + 1)(1) − (0.9)(0.6)(0.5) = 7.3
Jawab : C 16. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam Deret Waktu. Koefisien autocorellation dari sample lag 1 adalah −0.40. Hitunglah tebakan awal untuk θ (yaitu parameter moving average). A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 E. 0.8 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:
214
7 A50 Periode November 2017
Autocorrelation function untuk MA(q) yang invertible
q−h
ρh
= −
θ h + ∑ j =1 θ j θ j + h q
1 + ∑ j=1 θ 2j
Dengan demikian diperoleh: ρ1
−0.4 = 0.4(1 + θ12 ) 4θ12 + 4 4θ12
θ1 1 + θ12 θ − 1 2 1 + θ1
= −
= θ1 = 10θ1
− 10θ1 + 4 = 0
(4θ1 − 2)(θ1 − 2) = 0 Nilai θ1 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah θ1 =
1 2
atau θ1 = 2. Karena nilai
parameter θ1 haruslah kurang dari 1, maka nilai θ1 yang dimaksud adalah θ1 = 0.5
Jawab : B 17. Model berikut ini digunakan untuk mengestimasi 30 pengamatan: • Model I : Y = β 1 + β 2 X2 + ε • Model II : Y = β 1 + β 2 X2 + β 3 X3 + β 4 X4 + ε Selain itu, diketahui data sebagai berikut: i ∑(Y − Y¯ )2 = 160 ii ∑( X2 − X¯ 2 )2 = 11 iii Untuk model I, βˆ 2 = −2 iv Untuk model II, R2 = 0.60 Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji bahwa β 3 dan β 4 adalah sama dengan 0. A. 10.56 B. 19.50
215
7 A50 Periode November 2017 C. 22.80 D. 26.30 E. 33.62 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:
2 ∑ ( X2 − X¯ 2 ) 2 ∑ (Y2 − Y¯2 )
!
R2R
=
β22
F
=
2 − R2 RUR n−k R . 2 m 1 − RUR
di mana: m adalah selisih jumlah parameter restricted dan unrestricted. k adalah jumlah parameter unrestricted dari model. Dengan demikian diperoleh: R2R
= = =
F
= = =
2 ∑ ( X2 − X¯ 2 ) 2 ∑ (Y2 − Y¯2 ) 11 (−2)2 160 0.275
!
β22
2 − R2 RUR n−k R . 2 m 1 − RUR
0.6 − 0.275 30 − 4 . 2 1 − 0.6 10.5625
≈ 10.56 Jadi, nilai F statistik yang digunakan untuk menguji bahwa β 3 dan β 4 adalah sama dengan 0 adalah 10.56 Jawab : A
216
7 A50 Periode November 2017 18. Pada suatu model autoregressive ARMA(1,1) diketahui informasi sebagai berikut: φ1
= 0.3
θ1
= 0.5
Berapa nilai ρ2 (dibulatkan 3 desimal) ? A. -0.029 B. -0.038 C. -0.046 D. -0.054 E. -0.061 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: ρh ρ1
= φ1 ρh−1 , untuk h ≥ 2 (φ1 − θ1 )(1 − φ1 θ1 ) = 1 − 2φ1 θ1 + θ12
Dengan demikian diperoleh: ρ2 ρ2
= φ1 ρ1 (φ − θ1 )(1 − φ1 θ1 ) = φ1 1 1 − 2φ1 θ1 + θ12 (0.3 − 0.5)(1 − (0.3)(0.5)) = (0.5) 1 − 2(0.3)(0.5) + (0.5)2 = −0.053684 ≈ −0.054
Jawab : D 19. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA(1,1) sebagai berikut: yt
= 0.7yt−1 + 3 + ε t − 0.3ε t−1
Berapa nilai ρ1 (dibulatkan 2 desimal) ? A. 0.47 B. 0.55
217
7 A50 Periode November 2017 C. 0.62 D. 0.70 E. 0.78 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: ρh ρ1
= φ1 ρh−1 , untuk h ≥ 2 (φ1 − θ1 )(1 − φ1 θ1 ) = 1 − 2φ1 θ1 + θ12
Dengan demikian diperoleh: ρ1
(φ1 − θ1 )(1 − φ1 θ1 ) 1 − 2φ1 θ1 + θ12 (0.7 − 0.3)(1 − (0.3)(0.7)) = 1 − 2(0.3)(0.7) + (0.3)2 = 0.4716 =
≈ 0.47 Jawab : A 20. Diketahui informasi sebagai berikut:
i
ii
i
xi
yi
1
1
9
2
2
3
3
3
4
4
4
-3
yi
=
Var (ε i )
=
βxi + ε i x 2 i 2
Tentukan nilai estimasi weighted least square dari β, yaitu βˆ (dibulatkan 2 desimal) A. 2.62 B. 2.69
218
7 A50 Periode November 2017 C. 2.77 D. 2.85 E. 2.93 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: wi
=
βˆ
=
1 1 = 2 Var (ε i ) σ n w ∑ i =1 i x i y i ∑in=1 wi xi2
Dengan demikian diperoleh: i
xi
yi
Var (ε i )
wi
wi x i y i
xi2
wi xi2
1
1
9
0.25
4
36
1
4
2
2
3
1
1
6
4
4
3
3
4
2.25
0.44444
5.3333
9
4
4
4
-3
4
0.25
-3
16
4
Total
10
13
7.5
5.69444
44.3333
30
16
βˆ
=
44.3333 ∑in=1 wi xi yi = = 2.77 n 2 16 ∑ i =1 wi x i
Jawab : C 21. Sebuah regresi 2 variabel dicocokkan ke dalam 5 observasi sebagai berikut: i
1
2
3
4
Xi
7
12
15
21
εˆ i
1.017
0.409
-0.557
-2.487
Berapakah nilai X5 ? A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
219
7 A50 Periode November 2017 E. 30 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : Sifat residual • Zero mean : ∑in=1 εˆ i = 0 • Orthogonality : ∑in=1 εˆ i Xi = 0 Dengan demikian diperoleh: n
∑ εˆ i
= 0
1.017 + 0.409 − 0.557 − 2.487 + εˆ 5
= 0
i =1
εˆ 5
= 1.618
Selanjutnya, n
∑ εˆ i Xi
= 0
1.017(7) + 0.409(12) − 0.557(15) − 2.487(21) + 1.618( X5 )
= 0
i =1
X5
= 30.009 ≈ 30
Jawab : E 22. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan: Yi = β 1 + β 2 X2i + β 3 X3i + ε i , i = 1, 2, 3, 4 Diberikan data sebagai berikut: i
X2i
X3i
1
-4
-3
2
-3
4
3
3
-4
4
4
3
Estimasi least square dari β 3 dinyatakan sebagai βˆ3 = ∑4i=1 wi Yi . Tentukan nilai dari (w1 ; w2 ; w3 ; w4 )
220
7 A50 Periode November 2017 A. (-0.08 ; -0.06 ; 0.06 ; 0.08) B. (-0.06 ; 0.08 ; -0.08 ; 0.06) C. (0.06 ; -0.08 ; 0.08 ; -0.06) D. (-0.05 ; 0.10 ; -0.10 ; 0.05) E. (0.05 ; -0.10 ; 0.10 ; -0.05) Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : βˆ 3
4
=
∑ wi Yi =
i =1
4
∑
i =1
( Xi − X¯ ) Yi ∑n ( Xi − X¯ )2 i =1
Dengan demikian diperoleh: ( Xi − X¯ ) , di mana ∑in=1 ( Xi − X¯ )2 −3 + 4 − 4 + 3 = 0, dan 4
wi
=
X¯
=
n
∑ (Xi − X¯ )2
= (−3)2 + (4)2 + (−4)2 + (3)2 = 50
i =1
Oleh karena itu, kita dapatkan: w1
=
w2
=
w3
=
w4
=
−3 = −0.06 50 4 = 0.08 50 −4 = −0.08 50 3 = 0.06 50
Jawab : B 23. Sebuah regresi linier digunakan untuk mengestimasikan 10 titik ( Xi , Yi ). Estimasi α adalah αˆ ˆ dan estimasi β adalah β. Diketahui pula: ˆ i − Y¯ )2 = 49 i ∑(αˆ + βX ii Variansi sampel dari Y adalah 8 ˆ i − Yi )2 Hitunglah ∑(αˆ + βX A. 23
221
7 A50 Periode November 2017 B. 26 C. 28 D. 30 E. 32 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : Var (Yˆ )
∑(Yi − Y¯ )2 ∑(Yi − Yˆi )2 + ∑(Yˆi − Y¯ )2 = n−1 n−1
=
Dengan demikian diperoleh: Var (Yˆ )
=
Var (Yˆ )
=
8
=
ˆ i − Yi )2 ∑(αˆ + βX
=
∑(Yi − Yˆi )2 + ∑(Yˆi − Y¯ )2 ∑(Yi − Y¯ )2 = n−1 n−1 ˆ i − Yi )2 + ∑(αˆ + βX ˆ i − Y¯ )2 ∑(αˆ + βX 10 − 1 ˆ i − Yi )2 + 49 ∑(αˆ + βX 9 23
ˆ i − Yi )2 = 23 Jadi, ∑(αˆ + βX Jawab : A 24. Sebuah model regresi linier Y = α + βX + ε digunakan untuk mengestimasi 8 data pengamatan. Diketahui: i βˆ = 2.075 ii ∑( Xi − X¯ )2 = 38 iii ∑(Yi − Y¯ )2 = 185 Hitunglah R2 (dibulatkan 3 desimal) A. 0.584 B. 0.684 C. 0.784 D. 0.884 E. 0.984
222
7 A50 Periode November 2017 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : 2
=
R2
=
R
∑( X2 − X¯ 2 )2 ∑(Y − Y¯ )2
∑( X2 − X¯ 2 )2 ∑(Y − Y¯ )2 38 (2.075)2 185 0.884
βˆ 22
Dengan demikian diperoleh:
= =
βˆ 22
Jawab : D 25. Sebuah model regresi linier yang digunakan untuk mengestimasikan 6 data pengamatan menghasilkan nilai R¯ 2 = 0.685. Jika model yang sama digunakan untuk mencocokkan 10 data pengamatan yang serupa, berapakah nilai expektasi dari R2 ? A. 0.68 B. 0.70 C. 0.72 D. 0.74 E. 0.76 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah : R¯ 2
= 1−
(1 − R2 )(n − 1) n−k
Dengan demikian diperoleh:
(1 − R2 )(n − 1) n−k (1 − R2 )(10 − 1) 0.685 = 1 − 10 − 2 2 (1 − R )(9) 0.315 = 8 R2 = 0.72 R¯ 2
= 1−
223
7 A50 Periode November 2017 Jadi, nilai expektasi dari R2 adalah 0.72. Jawab : C 26. Sebuah regresi dua variabel digunakan untuk mengestimasi 100 titik data. Diketahui: i X¯ = 140 ii ∑ Xi2 = 5256000 iii ESS (error of squares) = 540000 Hitunglah Cov[αˆ , βˆ ] (dibulatkan 2 desimal). A. -0.18 B. -0.23 C. -0.29 D. -0.36 E. -0.44 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: σ2
=
ESS N−2
∑(X2 − X¯ )2
=
∑ Xi2 − n ∑ Xi
Cov(αˆ , βˆ )
=
¯ 2 − X.σ ∑( X2 − X¯ )2
1
224
2
= ∑ Xi2 − n X¯
7 A50 Periode November 2017 Dengan demikian diperoleh: σ2
=
ESS N−2 540000 100 − 2 5510.2
=
∑ Xi2 − nX¯
= =
∑(X2 − X¯ )2
= 5256000 − 100(140)2 = 3296000 Cov(αˆ , βˆ )
¯ 2 − X.σ ∑( X2 − X¯ )2 −140(5510.2) = 3296000 = −0.23
=
Jadi, nilai dari Cov[αˆ , βˆ ] adalah -0.23 Jawab : B 27. Sebuah regresi linier digunakan untuk mencocokkan suatu deret waktu dengan 30 pengamatan. Diketahui: i εˆ 1 = −8 ii εˆ 30 = 10 2 iii ∑30 t=1 εˆ t = 3200
iv ∑30 t=1 εˆ t × εˆ t−1 = 760 Hitunglah statistik Durbin-Watson (dibulatkan 2 desimal). A. 1.27 B. 1.37 C. 1.47 D. 1.57 E. 1.67 Pembahasan:
225
7 A50 Periode November 2017 Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: d
∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 )2 ∑nt=2 εˆ2t
=
Dengan demikian diperoleh: d
= = =
∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 )2 ∑nt=2 εˆ2t 2 ε t εˆ t−1 + εˆ2t−1 ) ∑30 t=2 ( εˆ t − 2ˆ 2 ∑30 t=2 εˆ t 30 30 2 2 ∑30 t=2 εˆ t − 2 ∑t=2 εˆ t εˆ t−1 + ∑t=2 εˆ t−1 ) 2 ∑30 t=2 εˆ t
(3200 − (−8)2 ) − 2(760) + (3200 − 102 ) 3200 = 1.47375 =
≈ 1.47 Jadi, statistik Durbin-Watson adalah 1.47 Jawab : C 28. Anda melakukan analisis regresi sederhana dan telah menentukan bahwa nilai statistik uji Durbin-Watson adalah 0.7 Hitunglah nilai aproksimasi dari koefisien autokorelasi sampel (sample autocorrelation coefficient) untuk mengukur hubungan antara residual yang berurutan. A. 0.65 B. 0.60 C. 0.55 D. 0.50 E. 0.40 Pembahasan: Rumus yang digunakan adalah : pˆ
= 1−
226
d 2
7 A50 Periode November 2017 Dengan demikian diperoleh: d 2 0.7 1− 2 0.65
= 1−
pˆ
= =
Jadi, nilai aproksimasi dari koefisien autokorelasi sampel (sample autocorrelation coefficient) untuk mengukur hubungan antara residual yang berurutan adalah 0.65 Jawab : A 29. Anda mengestimasikan model regresi linear sederhana berdasarkan pengamatan atas 8 data harian berikut ini: Hari
Y
X
1
11
2
2
20
2
3
30
3
4
39
3
5
51
4
6
59
4
7
70
5
8
80
5
Dengan menggunakan metode least square, Anda menentukan estimasi regresi linier sebagai Yˆ = −25 + 20X Hitunglah nilai dari statistik Durbin Watson (dibulatkan 2 desimal). A. 2.60 B. 2.82 C. 3.04 D. 3.26 E. 3.48 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: d
=
∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 )2 ∑nt=2 εˆ2t
227
7 A50 Periode November 2017 di mana εˆ t = Yt − Yˆt . Dengan demikian diperoleh: Hari
Y
X
Yˆ
εˆ
εˆ2
(εˆ t − εˆ t−1 )2
1
11
2
15
-4
16
0
2
20
2
15
5
25
81
3
30
3
35
-5
25
100
4
39
3
35
4
16
81
5
51
4
55
-4
16
64
6
59
4
55
4
16
64
7
70
5
75
-5
25
81
8
80
5
75
5
25
100
Catat bahwa ∑ εˆ2 = 164 dan ∑(εˆ t − εˆ t−1 )2 = 571.
d
= = =
∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 )2 ∑nt=2 εˆ2t 571 164 3.48
Jadi, nilai dari statistik Durbin Watson adalah 3.48 Jawab : E 30. Anda mengestimasikan model regresi linear Yi = βXi + ε i berdasarkan data berikut ini: Y
3
9
14
X
1
4
10
Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var [ βˆ ] (dibulatkan 4 desimal) A. 0.0129 B. 0.0139 C. 0.0149 D. 0.0159 E. 0.0169
228
7 A50 Periode November 2017 Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah: βˆ
=
αˆ
=
SXX ∑n ( X − X¯ )(Yi − Y¯ ) = i =1 n i SXY ∑i=1 ( Xi − X¯ )2 Y¯ − βˆ X¯
= Yi − Yˆi = Yi − (αˆ + βˆ X¯ ) SXX ε2i Var ( βˆ ) = (SXX )2 εi
Dengan demikian diperoleh: i
Xi
Yi
Xi − X¯
Yi − Y¯
SXX
SXY
Yˆi
εi
ε2i
SXX ε2i
1
1
3
-4
-5.67
16
22.67
4
-1
1
16
2
4
9
-1
0.33
1
-0.33
7.5
1.5
2.25
2.25
3
10
14
5
5.33
25
26.67
14.5
-0.5
0.25
6.25
Total
15
26
0
0
42
49
26
0
3.5
24.5
Mean
5
8.67
βˆ
= = = =
Var ( βˆ )
= = =
SXX SXY ∑in=1 ( Xi − X¯ )(Yi − Y¯ ) ∑in=1 ( Xi − X¯ )2 49 42 1.1667 SXX ε2i (SXX )2 24.5 422 0.0139
Jadi, estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var [ βˆ ] adalah 0.0139 Jawab : B
229
8 A50 Periode Mei 2018 1. Diketahui table mortalita dengan periode seleksi 2 tahun sebagai berikut x
q[ x]
q[ x]+1
q[ x]+2
x+2
40
0,115
0,140
0,150
42
41
0,120
0,135
0,160
43
42
0,130
0,145
0,190
44
Tingkat kematian menyebar secara seragam di setiap usia. Tentukanlah 1,6 p[41]+0,4 A. 0,81 B. 0,82 C. 0,83 D. 0,84 E. 0,85 Pembahasan: Diketahui kematian menyebar secara UDD, maka t px 1,6 p[41]+0,4
= 1 − t qx = 1 − 1,6 q[41]+0,4 1, 6q[41] = 1− 1 − 0, 4q[41] (1, 6)(0, 12) 1 − (0, 4)(0, 12) = 0, 80 = 1−
Jawaban yang paling mendekati adalah 0,81 Jawab: A. 2. Untuk sebuah tabel double decrement , diberikan Usia x 20
lx
(τ )
dx
(1)
dx
1000
70
100
21 22
66 650
230
(2)
8 A50 Periode Mei 2018 Setiap decrement menyebar seragam untuk tiap usia. Hitunglah q0(21) A. 0,1434 B. 0,1560 C. 0,1760 D. 0,1800 E. 0,2000 Pembahasan: Setiap decrement menyebar seragam (UDD) sehingga 2
(τ )
=
d20
∑ dx
( j)
= 170
j =1
(τ )
(τ )
(τ )
= l20 − l21
d20 maka (τ )
(τ )
(τ )
l21 = l20 − d20 = 1000 − 170 = 830 selanjutnya (τ )
= l21 − l22 = 830 − 650 = 180
(τ )
= d21 + d21
d21 d21
(τ )
(1)
(τ )
(2)
maka (2)
= 180 − 66 = 114
(2)
=
d21 q21
(τ )
q21
(2)
=
d21
(τ ) l21 τ d21 (τ ) l21
231
=
114 830
=
180 830
(2)
8 A50 Periode Mei 2018 (2)
Selanjutny dipunyai q0 21 artinya (2)
(2)
q0 21
= 1 − p0 21 (2) ( τ ) (τ ) q21 /q21 = 1 − p21 114/830 650 180/830 = 1− 830 = 0, 1434
Jawab. A. 3. Berikut diberikan tabel double decrement (1)
a) µ x+0,5 = 0, 02 (2)
b) q x = 0, 01 c) Setiap decrement menyebar secara seragam pada tiap usia dalam tabel single decrement nya (1)
Hitunglah p x A. 0,9750 B. 0,9803 C. 0,9831 D. 0,9860 E. 0,9901
Pembahasan: (1)
qx
(τ )
1 − 0, 5q x
= 0, 02
(1)
qx
(1)
1 − 0, 5(0, 01 + q x )
= 0, 02
(1)
= 0, 02(1 − 0, 5(0, 01 + q x ))
(1)
= 0, 02(1 − 0, 005 + 0, 5q x )
(1)
= 0, 02 − 0, 0001 + 0, 01q x
(1)
= 0, 02 − 0, 0001
qx qx qx
1, 01q x
(1) qx
(1)
(1)
(1)
= 0, 1970297
232
8 A50 Periode Mei 2018 maka (1)
(1)
p x = 1 − q x = 1 − 0, 1970297 = 0, 9803 Jawab. B. 4. Diberikan i. ( µ x +t
=
0, 03
,
jika 0 ≤ t < 1
0, 08
,
jika 1 ≤ t < 2
ii. Y=min( Tx , 2) Hitunglah E(Y ) A. 1,52 B. 1,61 C. 1,73 D. 1,80 E. 1,92 Pembahasan: E [Y ]
= E[min( Tx , 2)] =
Z 2 0
=
Z 1 0
=
Z 1 0
=
Z 1 0
=
Z 1 0
tt p x µ x+t dt + 2t p x
tt p x µ x+t dt +
Z 2 0
t p x µ x +t
te−0,03t .(0, 03)dt + te te
−0,03t −0,03t
.(0, 03)dt + .(0, 03)dt +
Z 2 1
Z 2 1
Z 2 1
dt + 2t p x
te−0,08t (0, 08)dt + 2e−
R2
−
R
−
R
te
−0,08t
te
−0,08t
(0, 08)dt + 2e (0, 08)dt + 2e
0
= 0, 03(0, 490112) + 0, 08(1, 32482) + 2e−(0,03+0,08) = 1, 912 = 1, 92 Jawab. E.
233
µt dt
1 0
µt dt+
R2 1
µt dt
R2 1 0 0,03dt + 1 0,08dt
8 A50 Periode Mei 2018 5. Diberikan ( µx
=
0, 04 + 0, 001( x
0, 03
,
jika 30 ≤ x < 40
− 40)2
,
jika 40 ≤ x < 50
Hitunglah 4|11 q30 q30 A. 0,305 B. 0,325 C. 0,355 D. 0,375 E. 0,400 Pembahasan: t|u q x
= t p x .u q x + t
Dengan mengaplikasikan rumus di atas, sehingga diperoleh : 4 p30 11 p34 4|11 q30
= e− = e
−
R 34 30
R
0,03dx
= 0, 88692
R 45 40 2 34 0,03dx + 40 0,04+0,001( x −40) dx
=
4 p30 .11 q34
=
4 p30 . (1 − 11 p34 )
= 0, 655953
= (0, 88692) × (1 − 0, 655953) = 0, 305 Jawab. A. 6. Jika lx = 140 dan q x =
1 . Hitunglah lx+1/4 menggunakan asumsi Hyperbolic (Balducci) 5
A. 129 B. 130 C. 131 D. 132 E. 133 Pembahasan:
234
8 A50 Periode Mei 2018 Dalam asumsi Hyperbolic dipunyai: l x +s
=
l x +1 p x + sq x
dimana px
l x +1
= 1 − qx 1 = 1 − = 0, 8 5 = lx .p x = (0, 8)(140) = 112
sehingga lx+1/4
= lx+0,25 =
112 112 l x +1 = = 131, 76 = 132 = p x + 0, 25q x 0, 8 + (0, 25)(0, 2) 0, 85
Jawab. D. 7. Diketahui sebuah proses stokastik, autoregresive process first order, AR(1): yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + ε t Dimana forecast untuk 6 periode merupakan yˆ T (6) = 0, 9yt + Z Tentukanlah Z. A. 2,50 B. 3,75 C. 3,95 D. 4,10 E. 5,20 Pembahasan: Diketahui: yt
= 0, 9yt−1 + 0, 8 + ε t = φ1 yt−1 + δ + ε t yˆ T (6) = 0, 9yt + Z
235
8 A50 Periode Mei 2018
yˆ T (l ) = φ1l y T + φ1l −1 + φ1l −2 + ... + φ1 + 1 δ Dengan demikian diperoleh : Z
=
φ15 + φ14 + φ13 + φ12 + φ1 + 1 δ
=
0, 95 + 0, 94 + 0, 93 + 0, 92 + 0, 9 + 1 0, 8
= 3, 748472 ≈ 3, 75 Jawab. B. 8. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan: Yi = β 1 + β 2 X2i + β 3 X3i + ε i ,
i = 1, 2, 3, 4
Diberikan data sebagai berikut: i
X2i
X3i
1
-3
-1
2
-1
3
3
1
-3
4
3
1
Estimasi least square dari β 3 , dinyatakan sebagai βˆ3 = ∑4i=1 wi Yi Tentukan nilai dari (w1 , w2 , w3 , w4 ) 3 1 1 3 A. (− 20 , 20 , − 20 , 20 ) 3 3 1 1 B. (− 20 , − 20 , 20 , 20 ) 1 3 3 1 C. ( 20 , − 20 , 20 , − 20 ) 3 1 1 3 D. (− 20 , − 20 , 20 , 20 )
E. ( 14 , 14 , − 41 , − 14 ) Pembahasan: Diketahui: βˆ3
4
=
∑ wi Yi =
i =1
236
4
∑
i =1
( xi − x¯ ) Yi ∑in=1 ( xi − x¯ )2
8 A50 Periode Mei 2018 sehingga wi
=
( xi − x¯ ) n ∑i=1 ( xi − x¯ )2
di mana x¯3 =
−2 + 4 + (−4) + 2 =0 4
dan n
∑ (xi − x¯ )2 = (−2)2 + (4)2 + (−4)2 + (2)2 = 40
i =1
sehingga w1
=
w2
=
w3
=
w4
=
−2 −1 = 40 20 4 2 = 40 20 −2 −4 = 40 20 2 1 = 40 20
Jawab. A. 9. Untuk selang estimasi ( x, x + 2], diketahui data sebagai berikut: s=0
s=1
Jumlah orang yang hidup di umur x + s
200
170
Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 5
20
22
Jumlah peserta baru di umur x + s + 0, 25
40
32
Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 75
20
28
Jumlah orang yang bertahan di umur x + s + 1
170
140
Dengan menggunakan metode actuarial exposure, hitunglah estimasi 2 q x , yaitu kemungkinan orang berumur x tahun yang akan meninggal dalam 2 tahun berikutnya. A. 0,198 B. 0,200 C. 0,202 D. 0,204
237
8 A50 Periode Mei 2018 E. 0,206 Pembahasan: qˆx =
dx n x − (1 − s).c x + (1 − r )k x
untuk qˆx qˆx =
30 = 0, 139535 200 − 20(1 − 0, 5) + 40(1 − 0, 25) − 20(1 − 0, 75)
untuk qˆx+1 qˆx =
30 = 0, 068182 170 − 22(1 − 0, 5) + 32(1 − 0, 25) − 28(1 − 0, 75)
sehingga 2 qˆ x
= 1 − p x .p x+1 = 1 − (1 − qˆx ) (1 − qˆx+1 ) = 1 − (1 − 0, 139535)(1 − 0, 068182) = 0, 198203
Jawab. A. 10. Dalam sebuah model dua decrement, diberikan: (1)
a) q x = 0, 05 (2)
b) q x = 0, 15 c) Setiap decrement menyebar seragam dalam usia pada tabel decrement (1)
Tentukanlan µ x+0,2 A. 0,0490 B. 0,0521 C. 0,0560 D. 0,0590 E. 0,0610 Pembahasan:
238
8 A50 Periode Mei 2018 Untuk kasus UDD ( j)
( j)
qx
=
µ x +t
(τ )
1 − tq x
Dengan mengaplikasikan rumus di atas, sehingga (τ )
qx (1)
µ x+0,2 ( j)
sehingga
qx
(τ ) 1 − 0, 2q x
=
(1)
(2)
= q x + q x = 0, 05 + 0, 15 = 0, 2 ( j)
(1)
(1)
= µ x (0, 2) =
qx
(τ ) 0,2 p x
qx
=
(τ )
1 − 0, 2q x
0, 05 0, 05 = = 0, 0521 1 − 0, 2(0, 2) 0, 96
Jawab. B. 11. Diketahui bahwa mortalita mengikuti lx = 100 − x,
0 ≤ x ≤ 100
Hitunglah e75,2 A. 10,70 B. 10,90 C. 11,10 D. 11,50 E. 11,90 Pembahasan: Berdasarkan fungsi lx maka mortalitas ini mengikuti De Moivre’s Law ex
=
ω−x 1 − 2 2
dengan ω = 100 sehingga e75,2
=
(100 − 75, 2) 1 − = 12, 4 − 0, 5 = 11, 9 2 2
Jawab. E. 12. Dalam sebuah studi mortalita, ada 20 orang. Kematian terjadi pada waktu 1, 4, 5, dan 7. Satu orang withdraw dari studi pada waktu 2, dan dua orang withdraw dari studi pada waktu 6.
239
8 A50 Periode Mei 2018 Sisa 13 orang bertahan sampai waktu ke 10. Hitunglah estimasi variance dari product limit estimator S(10) menggunakan formula Greenwood. A. 10,0075 B. 0,0082 C. 0,0090 D. 0,0093 E. 0,0103 Pembahasan:
Sˆ (t)
=
Sˆ (10)
= = =
Vˆ [Sˆ (t)]
=
! rj − dj ∏ rj j =1 20 − 1 18 − 1 17 − 1 14 − 1 20 18 17 14 19 17 16 13 20 18 17 14 0, 784127 m
[Sˆ (t)]2
k
dj r j (r j − d j )
∑
j =1
Vˆ [Sˆ (10)]
= [Sˆ (10)]2
k
dj r j (r j − d j )
∑
j =1
= [0, 784127]
2
!
!
1 1 1 1 + + + (20)(19) (18)(17) (17)(16) (14)(13)
= [0, 784127]2 (0, 015071) = 0, 009266 ≈ 0, 0093 Jawab. D. 13. Dalam studi mortalita, 2 kematian terjadi pada waktu 3 dan 3 kematian pada waktu 5. Tidak ada kematian lain sebelum waktu 5. Estimasi Variance dari Nelson-alen H (3) adalah 0,002222. Sedangkan estimasi variance dari Nelson-alen H (5) adalah 0,007222 Tentukanlah jumlah yang withdraw di antara waktu 3 dan 5.
240
8 A50 Periode Mei 2018 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 Pembahasan:
Estimasi variance [ Hˆ (t)]
k
=
dj
∑ r2
j =1 j
Hˆ (3)
=
0, 002222
=
2 r12 2 r12
r12
= 900, 09
r1
≈ 30
Hˆ (5)
=
0, 007222
=
3 r22 3 r22
r22
= 415.4
r2
= 20, 381364
r2
≈ 20
Dengan demikian diperoleh 30 = 20 + 2 + c ⇒ c = 8. Jadi, jumlah yang withdraw di antara waktu 3 dan 5 adalah 8. Jawab. C. 14. Diberikan a) Kematian menyebar secara seragam pada tiap usia b) µ45,5 = 0, 3 o Hitunglah e45:1
241
8 A50 Periode Mei 2018 A. 0,8624 B. 0,8712 C. 0,8813 D. 0,8945 E. 0,9001 Pembahasan: o Diketahui bahwa untuk UUD nilai e45:1 = p x + 12 q x dan µ x+0,5 =
µ45,5
=
(0, 3)(1 − 0, 5q45 ) = 0, 3 − 0, 15q45 0, 3 q45
qx sehingga 1 − 0, 5q x
q45 1 − 0, 5q45 q45
= q45 = 1, 15q45 0, 3 = = 0, 261 (∗) 1, 15
dari (∗) diperoleh p45 = 1 − q45 = 1 − 0, 261 = 0, 739 selanjutnya 1 o = p45 + q45 = 0, 739 + (0, 5)(0, 261) = 0, 8695 = 0, 87 e45:1 2 Jawab. B. 15. Anda diberikan: i. j( x ) = 1, 3x−100 ii. µ x = j( x )/[1 + j( x )] Hitunglah q103 /q102 A. 1,01 B. 1,02 C. 1,03 D. 1,04 E. 1,06
242
8 A50 Periode Mei 2018 Pembahasan: n px
p103 p102
sehingga
Z x +n = exp − µ x dx x Z 104 1, 3x−100 = exp − dx = 0, 48947 103 1 + 1, 3x −100 Z 103 1, 3x−100 = exp − dx = 0, 51782 102 1 + 1, 3x −100
1 − p103 1 − 0, 48947 q103 = = = 1, 058 = 1, 06 q102 1 − p102 1 − 0, 51782
Jawab. E. 16. Sebuah sampel yang merupakan 10 buah mesin dengan waktu kegagalan terjadi (dalam hari) 3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 12. Asumsikan model survival yang digunakan adalah exponensial, estimasikanlah λ dengan menggunakan metode median. (Pdf dari sebaran exponensial f ( x ) = λe−λx ) A. 0,087 B. 0,092 C. 0,095 D. 0,100 E. 0,130 Pembahasan:
x0,5
= (1 − 0, 5) x5 + 0, 5x6 = (0, 5)(7) + (0, 5)(8) = 7, 5 2
F ( x0,5 )
= 1 − e−χ0,5
0, 5
= 1 − e−χ0,5
2
e−χ0,5
2
= 0, 5
−χ0,5 λˆ = ln(0, 5) ln(0, 5) λˆ = = 0, 09242 ≈ 0, 092 −7, 5 Jawab. B.
243
8 A50 Periode Mei 2018 17. Untuk sebuah tabel mortalita dengan dua tahun seleksi, diberikan : i. q[ x] = (1 − 2k)q x untuk semua x ii. q[ x]+1 = (1 − k)q x+1 untuk semua x iii. l[32] = 90 iv. l32 = 100 v. l33 = 90 vi. l34 = 63 Hitunglah q[32] A. 1/12 B. 2/25 C. 1/15 D. 2/31 E. 2/35 Pembahasan:
=
q32 q[31]+1
=
1−k q[32]
=
1 − 2k
l32 − l33 l32 l32 − l33 l32 1 10
= (1 − 2k)
q[32]
=
q33 q[32]+1
=
1−k q[33]
=
1 − 2k
=
q[32]+1
1 10
(∗)
l33 − l34 l32 l33 − l34 l33 3 10 3 (1 − k) (∗∗) 10
Berdasarkan (*), misalkan x = l[32]+1 , maka 90 − x
= 9(1 − 2k)
x
= 90 − 9 + 18k
x
= 81 + 18k
244
8 A50 Periode Mei 2018 Subtitusi nilai x ke dalam (**) 81 + 18k − 63 81 + 18k 18k + 18 81 + 18k 180k + 180 180k + 180
= = =
3 − 3k 10 3 − 3k 10 243 − 243k + 54k − 54k2
= 243 − 189k − 54k2
54k2 + 369k − 63
= 0
6k2 + 41k − 7
= 0
(6k − 1)(k + 7) = 0 artinya k = −7 dan k =
1 6
1 = untuk k = −7 diperoleh q[32] = (1 − 2(−7)) 10
untuk k =
1 6
1 diperoleh q[32] = (1 − 2( 16 )) 10 =
15 10
(tidak memenuhi)
1 15
Jawab. C. 18. Untuk suatu model ARMA(1, 1) diberikan persamaan sebagai berikut: yt = 0, 9yt−1 + 3 + ε t − 0, 4ε t−1 Hitunglah ρ1 A. 0,62 B. 0,73 C. 0,81 D. 0,88 E. 0,92 Pembahasan: Berdasarkan yt = 0, 9yt−1 + 3 + ε t − 0, 4ε t−1 diperoleh φ = 0, 9 dan θ = 0, 4 sehingga ρ1
=
(1 − (0, 4)(0, 9))((0, 9) − (0, 4)) (0, 9)1−1 = 0, 727 = 0, 73 1 − 2(0, 9)(0, 4) + (0, 4)2
Jawab. B.
245
8 A50 Periode Mei 2018 19. Diketahui dari 50 pengamatan
∑ εˆ2 = 100
∑(Yi − Y¯ )2 = 200 d (ε) = 30 Var Hitunglah R¯ 2 untuk k = 1 A. 0,34 B. 0,44 C. 0,50 D. 0,54 E. 0,64 Pembahasan: R2
= R¯ 2
∑ εˆ2 ∑(Yi − Y¯ )2 = 200 100 1− = 0, 5 200 (1 − R2 )(n − 1) 1− (n − k) (1 − 0, 5)(50 − 1) 1− = 0, 5 (50 − 1)
= 1−
= =
Jawab. C. 20. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA(1,1) yt = 0, 9yt−1 + 2 + ε t − 0, 2ε t−1 Hitunglah ρ1 A. 0,72 B. 0,74 C. 0,76 D. 0,78 E. 0,80
246
8 A50 Periode Mei 2018 Pembahasan: ρ x (h)
= φρ x (h − 1)
ρ x (2)
= φρ x (2 − 1) = φρ x (1)
sehingga
(θ + φ)(1 + θφ) ρ x (2) = φ 1 + 2θφ + θ 2 (−0, 2 + 0, 9) + (1 + (−0, 2)(0, 9)) = (0, 9) 1 + 2(−0, 2)(0, 9) + (−0, 2)2 = 0, 759
= 0, 76 Jawab. C. 21. Diketahui suatu proses moving average order 2, MA(2) yt = 0, 3 + ε t + 0, 5ε t−1 − 0, 4ε t−2 Berapakah nilai optimal dari 2 langkah ke depan dari model tersebut yang dibuat pada waktu t, jika error dari model pada waktu t,t − 1 and t − 2 masing ?masing 0,06 dan -0,1 dan 0.2 dan jika diketahui pula nilai dari deret y pada waktu t-1 adalah -0,4? A. 0 B. 0,23 C. 0,24 D. 0,30 E. 0,64 Pembahasan: Diketahui : ε t = 0, 06 ε t−1 = −0, 1 ε t−2 = 0, 2 µ = 0, 3 θ1 = −0, 5 θ2 = 0, 4 E(yt ) = E[0, 3 + ε t + 0, 5ε t−1 − 0, 4ε t−2 ] = 0, 3
247
8 A50 Periode Mei 2018 Jawab. D. 22. Jika diketahui (i) µ x = F + eex , x ≥ 0 (ii) 0 , 4p0 = 0,48 Hitunglah nilai F (dibulatkan 3 desimal). A. −0,090 B. −0,200 C. 1,090 D. 0,303 E. 0,200 Pembahasan:
x p0
h Z = exp −
0,4 p0
h Z = exp −
x 0
µ(s) ds
i
Dengan demikian diperoleh : 0,4 0
F + e2s ds
i
e0,8 − e0 i 2 −0,4F − 0,612771 0,733969 − 0,612771 0,4 0,302995 h
= exp − 0,4F −
0,48 ln(0,48)
=
F
= =
Jawab. D. 23. Sebuah regresi linier dengan dua variabel bebas dan satu konstan digunakan untuk mencocokkan suatu deret dengan 50 pengamatan, diketahui bahwa: 50
∑ (εˆ t − εˆ t−1 )2 = 90
t =2
50
∑ εˆ t 2 = 59
t =1
Diberikan tabel Durbin-Watson Test
248
8 A50 Periode Mei 2018
N 50
k=1
k=2
k=3
k=4
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
1,5
1,59
1,46
1,63
1,42
1,67
1,38
1,32
d L :batas bawah dari critical value dU :batas atas dari critical value Apa keputusan yang cocok pada uji Durbin-Watson tersebut? A. Residuals memiliki serial correlation yang positif B. Residuals memiliki serial correlation yang negatif C. Residuals tidak memiliki serial correlation D. Residuals memiliki serial correlation yang tak-negatif E. Hasil uji tidak dapat disimpulkan Pembahasan: Diketahui: Statistika Tes d=
2 ∑50 t=2 ( εˆ t − εˆ t−1 ) 2 ∑50 t=1 εˆ t
Jika d = 2 maka tidak ada korelasi Jika 0 < d < 2 maka positif korelasi Jika 2 < d < 4 maka negatif korelasi Untuk menguji korelasi positif: - Jika d < d L ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif - Jika d > dU Tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif - Jika d L < d < dU Tes tidak dapat disimpulkan Untuk menguji korelasi negatif: - Jika (4 − d) < d L ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif - Jika (4 − d) > dU tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif - Jika d L < (4 − d) < dU Tes tidak dapat disimpulkan
249
8 A50 Periode Mei 2018 Diperoleh nilai d: d
∑50 t=2 ( εˆ t − εˆ t−1 ) 2 ∑50 t=1 εˆ t 90 = 1, 53 50
= =
2
Diperoleh 0 < d < 2 dan d L < d < dU dimana 1, 5 < d < 1, 59, sehingga kesimpulan yang ditarik "Hasil uji tidak dapat disimpulkan" Jawab: E. 24. Dalam sebuah regresi model diberikan Untuk unrestricted model: ESSUR = 90 TSSUR = 190 Untuk restricted model: ESSR = 40 TSSR = 60 Hitunglah Statistik F1,98 A. 40 B. 42 C. 43 D. 44 E. 45 Pembahasan:
2 RUR
ESSUR 100 90 = 1− = TSSUR 190 190 ESSR 40 20 1− = 1− = TSSR 60 60 2 2 RUR − R R /1
= 1−
R2R
=
F (1, 98)
=
(1 − 100 190 ) / (98) = 39, 925 = 40
250
8 A50 Periode Mei 2018 Jawab. A. 25. Sebuah regresi linier Yi = 1 + βXi + ε i Y
1
3
5
X
2
4
8
Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var [ βˆ ] A. 0,0011 B. 0,0015 C. 0,0017 D. 0,0019 E. 0,0021 Pembahasan: Terlebih dahulu akan ditentukan SXXε2 dan SXX dengan menggunakan beberi
apa formula berikut βˆ
=
αˆ
=
εi
=
Var [ βˆ ]
=
SXY ∑n ( X − X¯ )(Yi − Y¯ ) = i =1 n i SXX ∑i=1 ( X − X¯ )2 Y¯ − βˆ X¯ Yi − Yˆi = Yi − αˆ + βˆ X¯ SXXε2 i
(SXX )2
Dinyatakan dalam bentuk tabel menjadi : i
Xi
Yi
Xi − X¯
Yi − Y¯
SXX
SXY
Y¯i
εi
ε2i
SXXε2
1
2
1
-2,667
-2
7,11
5,33
1,285714
-0,28571
0,081633
0,5805
2
4
3
-0,667
0
0,444
0
2,571429
0,428571
0,183673
0,0816
3
8
5
3,33
2
11,111
6,667
5,142857
-0,14286
0,020408
0,22676
Total
14
9
0
0
18,67
12
9
-6,7E-16
0,285714
0,889
Mean
4,67
3 βˆ
=
αˆ
=
Var [ βˆ ]
=
SXY ∑n ( X − X¯ )(Yi − Y¯ ) = i =1 n i = 0, 642857 SXX ∑i=1 ( X − X¯ )2 Y¯ − βˆ X¯ = 0 SXXε2 i = 0, 002551 (SXX )2
251
i
8 A50 Periode Mei 2018 Jawab. Anulir 26. Sebuah regresi 2 variabel mengestimasi 100 titik, Yi
= α + βXi + ε i
ESS (Error sum of squares)=10000 ∑ Xi2 = 5000 Hitunglah standart Error βˆ dan αˆ , yaitu s βˆ dan sαˆ A. 0,143 dan 1,010 B. 0,167 dan 1,210 C. 0,182 dan 1,323 D. 0,193 dan 1,433 E. 0,210 dan 1,500 Pembahasan: Akan dihitung terlebih dahulu σˆ σˆ 2
= =
ESS 10000 = n−2 98 r 10000 98
sehingga
s βˆ
=
sαˆ
=
q 10000 σ 98 q = 0, 1428 = 0, 143 = √ 2 5000 Xi s r √ 5000 10000 ∑ Xi2 = 1, 01 σ= p 2 98 n ∑ xi (100)(5000)
Jawab. A. 27. Diberikan model regresi di bawah ini Yi
=
β 1 + β 2 X2i + β 3 X3i + ε i
Diketahui: 2 = 1200 ∑ X2i
252
8 A50 Periode Mei 2018 2 = 2200 ∑ X3i ∑ X2i X3i = 2500
s2 = 1000
[ (c Hitunglah COV β2 , c β3 ) A. 0,5612 B. 0,6925 C. 0,7125 D. 0,7513 E. 0,8276 Pembahasan:
[ (c COV β2 , c β3 )
=
1−
−s2 √∑ X2i2 X3i 2 ∑ X2i ∑ X3i 2 ! q
√∑ X2i2 X3i
2 ∑ X2i ∑ X3i
−1000 √ =
1−
2 2 ∑ X3i ∑ X2i
2500 (1200)(2200) 2 ! p
√ 2500 (1200)(2200)
= 0, 69252
(1200)(2200)
Jawab. B. 28. Model dengan 48 observasi yang anda miliki, sesuai dengan model berikut: Y = β 1 + β 2 X2 + β 3 X3 + β 4 X4 + ε Jika diberikan: Sumber variasi
Derajat Kebebasan
Sum of Square
Regresi
3
103.658
44
69.204
Error Hitunglah nilai
R¯ 2
A. 0,57 B. 0,58 C. 0,59 D. 0,60 E. 0,61
253
8 A50 Periode Mei 2018 Pembahasan: Diketahui : • RSS = 69, 24 • ESS = 103, 658 • n = 48 • k = 4 karena Y = β 1 + β 2 X2 + β 3 X3 + β 4 X4 + ε memiliki 4 parameter sehingga
= ESS + RSS
TSS
= 69, 204 + 103, 658
R
= 172, 862 ESS = RSS 103, 658 = 172, 862 = 0, 599658 (1 − R2 )(n − 1) = 1− (n − k) (1 − 0, 599658)(47) = 1− 44 = 0, 572362
2
R¯ 2
Jawab. A. 29. Untuk sebuah table double decrement, diberikan: Usia x
(τ )
(1)
(2)
lx
dx
dx
40
1000
60
55
41
-
-
70
42
750
-
-
0 Setiap decrement menyebar secara uniform, hitunglah nilai q41
A. 0,077 B. 0,078 C. 0,079 D. 0,080 E. 0,081
254
(1)
8 A50 Periode Mei 2018 Pembahasan: (τ )
l41
(τ )
(1)
(2)
= l40 − d40 − d40 = 1000 − 60 − 55 = 885
l42
(τ )
= l41 − d41 − d41
(τ )
750
= 885 − d41 − 70 = 65
(1)
=
d41
=
d41
q41
(τ )
q41
(1)
0 (1)
(τ ) l41
=
65 = 0, 073446 885
(τ )
= q41
(2)
(1)
(1)
d41
(1)
(τ )
l41 65 + 70 = 0, 152542 885 0 (1)
= 1 − p41
(τ )
= 1 − p41
(1) q 41 (τ ) q 41 0,073446
= 1 − (1 − 0, 152542) 0,152542 = 0, 076599 Jawab. A. 30. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam Deret Waktu. Koefisien autocorellation dari sample lag 1 adalah −0.40. Hitunglah tebakan awal untuk θ (yaitu parameter moving average). A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 E. 0.8 Pembahasan: Autocorrelation function untuk MA(q) yang invertible:
255
8 A50 Periode Mei 2018
q−h
ρh
= −
θ h + ∑ j =1 θ j θ j + h q
1 + ∑ j=1 θ 2j
Dengan demikian diperoleh: ρ1
−0.4 = 0.4(1 + θ12 ) 4θ12 4θ12
θ1 1 + θ12 θ − 1 2 1 + θ1
= −
= θ1
+ 4 = 10θ1
− 10θ1 + 4 = 0
(4θ1 − 2)(θ1 − 2) = 0 Nilai θ1 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah θ1 =
1 2
atau θ1 = 2. Karena nilai
parameter θ1 haruslah kurang dari 1, maka nilai θ1 yang dimaksud adalah θ1 = 0.5
Jawab. B.
256
9 A50 Periode November 2018 1. Diketahui suatu proses moving average order 2, MA(2) yt = 3 + ε t − 0, 2ε t−1 − 0, 5ε t−2 Tentukanlah ρ1 dan ρ2 A. -0,0365 dan -0,250 B. -0,0665 dan -0,275 C. -0,0665 dan -0,355 D. -0,0775 dan -0,355 E. -0,0775 dan -0,388 Pembahasan: Diketahui: θ1 = −0, 2 θ2 = −0, 5 Rumus Umum untuk MA(q)
q=kθ j θ j+k
ρk =
θ k + ∑ j =1 q
1 + ∑ j=1 θ 2j
sehingga untuk MA(2) ρ1
= = =
θ1 + θ1 θ2 1 + θ12 + θ22
−0, 2 + (−0, 2)(0, 5) 1 + (−0, 2)2 + (−0, 5)2 −0, 077519
≈ −0, 0775
257
9 A50 Periode November 2018 ρ1
θ1 + θ1 θ2 1 + θ12 + θ22
=
(−0, 5) 1 + (−0, 2)2 + (−0, 5)2 −0, 38759
= =
≈ −0, 388 Jawab: E. -0,0775 dan -0,388 2. Sebuah regresi linier dengan tiga variabel bebas dan satu konstan digunakan untuk mencocokkan suatu deret dengan 100 pengamatan, diketahui bahwa: 100
∑ (εˆ t − εˆ t−1 )2 = 100
t =2
100
∑ εˆ t 2 = 81
t =1
Diberikan tabel Durbin-Watson Test
N 100
k=1
k=2
k=3
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
1,65
1,69
1,63
1,72
1,61
1,74
1,59
1,76
d L :batas bawah dari critical value dU :batas atas dari critical value Apa keputusan yang cocok pada uji Durbin-Watson tersebut? A. Residuals memiliki serial correlation yang positif B. Residuals memiliki serial correlation yang negatif C. Residuals tidak memiliki serial correlation D. Residuals memiliki serial correlation yang tak-negatif E. Hasil uji tidak dapat disimpulkan Pembahasan: Diketahui:
k=4
100
∑ (εˆ t − εˆ t−1 )2 = 100
t =2
258
9 A50 Periode November 2018 100
∑ εˆ t 2 = 81
t =1
Statistika Tes ∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 ) ∑nt=1 εˆ t 2
d=
2
Jika d = 2 maka tidak ada korelasi Jika 0 < d < 2 maka positif korelasi Jika 2 < d < 4 maka negatif korelasi Untuk menguji korelasi positif: - Jika d < d L ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif - Jika d > dU Tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif - Jika d L < d < dU Tes tidak dapat disimpulkan Untuk menguji korelasi negatif: - Jika (4 − d) < d L ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif - Jika (4 − d) > dU tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif - Jika d L < (4 − d) < dU Tes tidak dapat disimpulkan Diperoleh nilai d: d
= = =
2 ∑nt=2 (εˆ t − εˆ t−1 ) ∑nt=1 εˆ t 2 100 81 1, 2345
Diperoleh 0 < d < 2 dan d < d L Jawab: A. Residuals memiliki serial correlation yang positif 3. Dalam sebuah studi regresi dua peubah acak dihasilkan a) βˆ = 0, 2 b) s βˆ = 0, 095, yaitu standard error dari β Tentukanlah nilai statistik t beserta keputusan yang diambil dari sebuah uji untuk H0 : β = 0 dan H1 : β 6= 0 dengan confidance interval 95% (diketahui, nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah 1,96 ) A. t = 1, 5 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol.
259
9 A50 Periode November 2018 B. t = 1, 5 dan oleh karena itu terima hipotestis nol. C. t = 1, 8 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol. D. t = 2, 1 dan oleh karena itu terima hipotestis nol. E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol. Pembahasan: Diketahui • βˆ = 0, 2 • s βˆ = 0, 095, yaitu standard error dari β • nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah t α ,n−2 = 1, 96 2
H0 diterima apabila −t α ,n−2 < T < t α ,n−2 dimana nilai T diperoleh dari: 2
2
0, 2 βˆ = T= = 2, 105 s βˆ 0, 095 Diperoleh T = 2, 105 sehingga tolak hipotesis nol Jawab: E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol. 4. Diberikan forecast error 3 langkah ke depan berdasarkan ARIMA model eT (3) = 0, 34ε T +3 + 0, 26ε T +2 − 0, 55ε T +1 Diketahui pula, variance dari forecast error adalah 0,89 Hitunglah variance dari error, σε2 . A. 0,89 B. 1,10 C. 1,83 D. 2,15 E. 2,50 Pembahasan: Diketahui e T (3)
= ψ0 ε T +3 + ψ1 ε T +2 + ψ2 ε T +1 = eT (3) = 0, 34ε T +3 + 0, 26ε T +2 − 0, 55ε T +1
260
9 A50 Periode November 2018 variance dari forecast error = 0,89 Var [eT (l )]
=
Var [eT (3)]
=
ψ02 + ψ12 + ... + ψl2−1 σε2 ψ02 + ψ12 + ... + ψl2−1 σε2
σε2
=
= =
Var [eT (3)] ψ02 + ψ12 + ... + ψl2−1
0, 8 0, 34 + (0, 26)2 + (−0, 55)2 1, 8324 2
Jawab: C. 1,83 5. Pada sebuah analisis regresi, y = α + βx + ε, dari 49 pengamatan diketahui bahwa rata-rata dari sample x adalah 1.182,4 dengan standar deviasi 226, sedangkan rata-rata dari sampel y adalah 49,6 dengan standar deviasi 7,1. Korelasi sampel antara x dan y adalah 0,673. Dengan menggunakan informasi di atas hitunglah persamaan regresi nya: A. y = 24, 7 + 0, 0211x B. y = 0.0211 + 24, 7x C. y = −25.371, 8 + 21, 5x D. y = 21, 5 − 25.371, 8x E. y = 25.471 + 21, 5x Pembahasan: Diketahui: 1. N= 49 2. x¯ = 1.182, 4 dan s x = 226 3. y¯ = 49, 6 dan sy = 7, 1 4. r = 0, 673
261
9 A50 Periode November 2018 akan dihitung terlebih dahulu nilai r, β, α r
∑ xy
=
∑ xyn x¯ y¯ ( n − 1) s x s y
= r (n − 1)s x sy + n x¯ y¯ = (0, 673)(48)(226)(7, 1) + (49)(1.182, 4)(49, 6)
= 2.925.539, 958 ∑ xyn x¯ y¯ β = (n − 1)s2x 2.925.539, 958 − (49)(1.182, 4)(49, 6) = 48(226)2 = 0, 021143 α
= y¯ − β x¯ = 49, 6 − (0, 021143)(1.182, 4) = 24, 6006
Diperoleh y = 24, 6006 + 0, 021143x Jawab: A. y = 24, 7 + 0, 0211x 6. Dari soal nomor 5, misalnya ada pengamatan yang ke 50 dimasukkan dalam data. Yang mana dari kemungkinan berikut untuk pengamatan yang ke 50 tersebut yang akan mengubah persamaan regresi paling signifikan? A. x = 900, y = 45 B. x = 1200, y = 40 C. x = 1200, y = 60 D. x = 2400, y = 75 E. x = 2400, y = 25 Pembahasan: Dari soal nomor 5, diperoleh y = 24, 7 + 0, 0211x Untuk data berjumlah 49 diperoleh x¯ = 1.182, 4 dan y¯ = 49, 6 Akan dilakukan Cek kemungkinan untuk pengamatan yang ke 50 yang mengubah persamaan regresi paling signifikan
262
9 A50 Periode November 2018 a. Untuk x = 900, y = 45
(1.182, 4)(49) + 900 50 = 1.176, 752 (49, 6)(49) + 45 y¯ = 50 = 49, 508
x¯
=
Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.176, 752) = 49, 529 b. Untuk x = 1200, y = 40
(1.182, 4)(49) + 1200 50 = 1.182, 752 (49, 6)(49) + 40 y¯ = 50 = 49, 408
x¯
=
Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.182, 752) = 49, 656 c. Untuk x = 1200, y = 60
(1.182, 4)(49) + 1200 50 = 1.182, 752 (49, 6)(49) + 60 y¯ = 50 = 49, 808
x¯
=
Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.182, 752) = 49, 656 d. Untuk x = 2400, y = 75
(1.182, 4)(49) + 900 50 = 1.206, 752 (49, 6)(49) + 40 y¯ = 50 = 50, 108
x¯
=
Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.206, 752) = 50, 162
263
9 A50 Periode November 2018 e. Untuk x = 2400, y = 25
(1.182, 4)(49) + 2400 50 = 1.206, 752 (49, 6)(49) + 25 y¯ = 50 = 49, 108
x¯
=
Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.206, 752) = 50, 108 Dari kelima hasil di atas terlihat perbedaan nilai y yang paling signifikan pada pilihan E Jawab:E. x = 2400, y = 25 7. Jika error terms merupakan heteroscedastic, estimasi OLS (ordinary least squares) dari parameter persamaan regresi akan menjadi? A. Bias namun konsisten B. Tak-bias, efisien, namun tidak konsisten C. Tak-bias dan efisien D. Tak-bias, konsisten, namun tidak efisien E. Tak-bias, Efisien dan konsisten. Pembahasan: Kita tahu bahwa syarat untuk OLS adalah variansnya konstan atau tidak ada heteroscedastic dan bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) tetapi apabila terjadi heteroscedastic maka estimatornya tidak bersifat BLUE dan variansinya bukan terkecil dari semua unbiased estimator. Heteroscedastic tidak membuat OLS menjadi bias tetapi bisa membuat estimasi OLS dari varians koefisien menjadi bias. Dengan demikian, analisis regresi menggunakan data yang heteroskedastik masih akan memberikan perkiraan yang tidak bias untuk hubungan antara variabel prediktor dan hasil (konsisten), tetapi standart error dan hasil inferensi yang diperoleh dari analisis data dicurigai salah. Standard error yang bisa menyebabkan inferensi hasilnya menjadi bias, sehingga hasil tes hipotesis mungkin salah dan membuat kesalahan tipe II (Keputusan menerima hipotesis nol yang salah) Ketika terjadi heterokedastik, estimasi OLS menempatkan bobot lebih pada pengamatan dengan variansi error yang besar daripada variansi error yang lebih kecil. Pembobotan terjadi karena jumlah kuadrat residual terkait dengan variansi error yang besar cenderung jauh lebih besar daripada jumlah kuadrat residual terkait dengan variansi error yang lebih rendah. Garis regresi akan disesuaikan untuk meminimalkan jumlah total kuadrat residual, dan ini dapat
264
9 A50 Periode November 2018 memberikan hasil terbaik yang bisa dicapai dengan menjamin kecocokan yang sangat baik dalam bagian data yang memiliki variansi besar. Karena pembobotan ini berimplikasi pada estimasi parameter OLS tak-bias dan konsisten, tetapi tidak efisien. Sumber: Econometric Models and Economic Forecast(Fourth Edition),1998, by Pindyck, R.S. and Rubinfeld, D.L., Halaman 146-147 Jawab: D. Tak-bias, konsisten, namun tidak efisien 8. Dari soal nomor 5, berapakah derajat kebebasan (degree of freedom) untuk error: A. 1 B. 2 C. 47 D. 48 E. 49 Pembahasan: Diketahui y = 24, 7 + 0, 0211x dan N= 49 Rumus yang digunakan adalah: df = n − k dengan k adalah jumlah parameter termasuk intercept (konstan) Sehingga diperoleh:
y
= 24, 7 + 0, 0211x memiliki dua parameter sehingga
df
= 49 − 2 = 47
Jawab: C. 47 9. Diberikan data tingkat suku bunga pada sebuah instrumen sebagai berikut: Waktu (t)
yt
1
10%
2
7%
3
8%
265
9 A50 Periode November 2018 Dengan menggunakan metode Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) dimana α = 0, 9, hitunglah yˆ4 . A. 0,0700 B. 0,0751 C. 0,0792 D. 0,0800 E. 0,0833 Pembahasan: Diketahui: t = 1 −→ y1 = 0, 1 t = 2 −→ y2 = 0, 07 t = 3 −→ y3 = 0, 08 α = 0, 9 Rumus yang digunakan: yˆ t+1 = α yt + (1 − α)yt−1 + (1 − α)2 yt−2 + (1 − α)3 yt−3 + ... Sehingga proses pengerjaan : yˆ4
h i = α y3 + (1 − α ) y2 + (1 − α )2 y1 h i = 0, 9 0, 08 + (0, 1)(0, 07) + (0, 1)2 (0, 1)
= 0, 0792 Jawab:C. 0,0792 10. Diketahui sebuah proses stokastik, autoregresive process first order, AR(1): yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + ε t Dimana forecast untuk 6 periode merupakan yˆ T (6) = 0, 9yt + Z Tentukanlah Z. A. 2,50 B. 3,75 C. 3,95
266
9 A50 Periode November 2018 D. 4,10 E. 5,20 Pembahasan: Diketahui:
= 0, 9yt−1 + 0, 8 + ε t
yt
= φ1 yt−1 + δ + ε t yˆ T (6) = 0, 9yt + Z Rumus yang digunakan: yˆ T (l ) = φ1l y T + φ1l −1 + φ1l −2 + ... + φ1 + 1 δ Sehingga proses pengerjaan : Z
=
φ15 + φ14 + φ13 + φ12 + φ1 + 1 δ
=
0, 95 + 0, 94 + 0, 93 + 0, 92 + 0, 9 + 1 0, 8
= 3, 748472 ≈ 3, 75 Jawab: B. 3,75 11. Diketahui sebuah proses autoregresive moving average yt = 0, 5yt−1 + 0, 7 + ε t − 0, 2ε t−1 Hitunglah forecast l-periode dimana l merupakan bilangan yang sangat besar (mendekati takhingga) A. 1,4 B. 1,7 C. 2,1 D. 2,5 E. 3,0 Pembahasan: Diketahui:
yt = 0, 5yt−1 + 0, 7 + ε t − 0, 2ε t−1
267
9 A50 Periode November 2018 Rumus yang digunakan: lim yˆ T (l )
l →∞
= = =
δ 1 − φ1 0, 7 1 − 0, 5 1, 4
Jawab: A. 1,4 12. Dalam sebuah regresi model diberikan Untuk restricted model: ESSR = 35 TSSR = 60 Untuk unrestricted model: ESSUR = 85 TSSUR = 90 Hitunglah Statistik F1,97 A. 15 B. 66 C. 123 D. 194 E. Statistik tersebut tak dapat dihitung Pembahasan:
( RSSR − RSSUR )/r RSSUR /(n − k − 1) Dari rumus kita bisa menentukan RSSR dan RSSUR tetapi karena tidak mengetahui nilai r, k dan n TSS = ESS + RSS dan F =
dimana : r= jumlah restriction k= jumlah variabel independent n= ukuran sampel Sehingga statistik tersebut tidak dapat dihitung Jawab: E. Sehingga statistik tersebut tidak dapat dihitung
268
9 A50 Periode November 2018 13. Diberikan proses MA(3) dibawah ini yt = µ + ε t + θ1 ε t−1 + θ2 ε t−2 + θ3 ε 3 , dimana σt merupakan sebuah white noise process dengan nilai rata-rata nol dan variance σ2 . Yang manakah pernyataan di bawah yang benar? (i) Proses yt memiliki nilai rata-rata nol (ii) Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 0 (nol) pada lag 5 (iii) Proses yt memiliki variance σ2 (iv) Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 1 (satu) pada lag 0 A. i) dan iii) saja B. ii) saja C. ii) dan iv) saja D. i),ii) dan iii) saja E. i),ii), iii) dan iv) Pembahasan: Diketahui yt = µ + ε t + θ1 ε t−1 + θ2 ε t−2 + θ3 ε 3 , dimana σt merupakan sebuah white noise process dengan nilai rata-rata nol dan variance σ2 . Fungsi Auto korelasi untuk MA(q) q
ρk =
∑ i =0 θ i θ k + i q2
∑i=0 θi2 ρk = 0,
k = 1, 2, ..., q
k>q
Dimana θ0 = −1 dan θk = 0 untuk k ≥ q + 1 Varians dari fungsi MA(q) Var (yt ) = σt (1 + θ12 + θ22 + ... + θq2 ) Maka : (i) Salah, karena yang memiliki rata-rata nol adalah σt sedangkan yt memiliki rata-rata µ (ii) Benar, karena fungsi autocorrelation akan bernilai nol setelah lag ke-q pada MA(q) dalam hal ini akan bernilai nol setelah lag ke-3 (iii) Salah, karena untuk MA(3) Var (yt )
= σt (1 + θ12 + θ22 + θ32 ) = σ(1 + θ12 + θ22 + θ32 )
269
9 A50 Periode November 2018 (iv) Benar,
=
ρ0
= =
θ0 θ0 θ02 1.1 12 1
Jawab: C. ii dan iv saja 14. Diberikan λ X ( x ) = k, x > 0 Tentukanlah m a , tingkat kematian central dalam interval ( a, a + 1) A. k k B. 2 k C. 2a 2k D. 2a + 1 E. 0 Pembahasan: Diketahui λ X ( x ) = k, x > 0 Akan dihitung m a dengan interval ( a, a + 1), dimana :
R a +1 ma =
a
S(y)λ(y)dy R a +1 S(y)dy a
Jika :
S( x )
Z x
= exp − λ(y)dy 0 Z x = exp − kdy 0
= exp(−kx )
270
9 A50 Periode November 2018 sehingga Z a +1 a
S(y)λ(y)dy
=
Z a +1
e−ky kdy, misal u = −ky maka du = −kdy Z − k ( a +1) eu k − du k −ka a
= =
Z − k ( a +1)
eu du
−ka − k ( a +1)
= −e Z a +1 a
S(y)dy
=
Z a +1 a
= =
+ e−ka
e−ky dy, misal u = −ky maka du = −kdy
Z − k ( a +1) −ka
−
eu du k
−e−k(a+1) + e−ka k
maka nilai m a
R a +1 ma
a
= = =
S(y)λ(y)dy R a +1 S(y)dy a
−e−k(a+1) + e−ka −e−k(a+1) +e−ka k −e−k(a+1) + e−ka .k
−e−k(a+1) + e−ka
= k Jawab: A. k 15. Diketahui X1 dan X2 merupakan peubah acak bebas, didefinisikan bahwa: Apabila Y = Min( X1 , X2 ) , Z = Max ( X1 , X2 ) Maka: I. Fungsi Sebaran Survival (Survival Distribution Function) dari Y, S(y), merupakan perkalian dari fungsi sebaran survival X1 dan fungsi sebaran survival X2 II. Fungsi Sebaran Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari Z, F (z), merupakan perkalian dari fungsi sebaran kumulatif X1 dan fungsi sebaran kumulatif X2 III. Apabila X1 dan X2 menyebar exponensial maka Z menyebar eksponensial namun Y tidak. Yang manakah pernyataan di atas yang benar?
271
9 A50 Periode November 2018 A. I saja B. I dan II saja C. I dan III saja D. II dan III saja E. I, II, dan III benar Pembahasan: Diketahui X1 dan X2 merupakan peubah acak bebas,didefinisikan Y = Min( X1 , X2 ) , Z = Max ( X1 , X2 ) maka: I. Y = Min( X1 , X2 ) FY (y)
P (Y ≤ y ) = 1 − P (Y > y )
=
= 1 − P( X1 > x, X2 > x ) = 1 − [ P( X1 > x ) P( X2 > x )] 1 − FY (y) SY (y)
=
P ( X1 > x ) P ( X2 > x )
= S X1 ( x ) S X2 ( x )
II. Z = Max ( X1 , X2 ) FZ (z)
=
P( Z ≤ z)
=
P( X1 ≤ x, X2 ≤ x )
=
P ( X1 ≤ x ) P ( X2 ≤ x )
=
FX1 ( x ) FX2 ( x )
III. Salah, karena jika X1 dan X2 sama-sama menyebar exponensial maka Z dan Y harus memiliki sifat yang sama yaitu menyebar exponensial membawa sifat fungsi distribusi Jawab: B. I dan II saja 16. Yang manakah dari pernyataan di bawah yang benar pada asumsi linier untuk lx+t dimana 0 < t < 1? 1)
0,5 q x
< 0,5 q x+0,5
2) t x = 1−t p x . t q x+1−t 3) µ x+t < t q x A. 1 dan 2 saja
272
9 A50 Periode November 2018 B. 1 dan 3 saja C. 2 dan 3 saja D. 2 saja E. 1,2, dan 3 Pembahasan:
a)
0,5 q x
< 0,5 q x+0,5
(1 − 0, 5)q x 1 − 0, 5q x Jika diambil sebarang bilangan jelas 0,5 q x < 0,5 q x+0,5 (Benar) 0,5 q x
= 0, 5q x sedangkan 0,5 q x+0,5 =
b) t x = 1−t p x . t q x+1−t 1− t p x
. t q x +1− t
= (1 − (1 − t ) q x ) .
(1 − 1 + t ) q x 1 − (1 − t ) q x +1
= (1 − 1 + t ) q x = t . qx =
t qx
Benar
c) µ x+t < t q x
qx sedangkan t q x = t.q x 1 − t.q x Jika diambil sebarang bilangan diperoleh µ x+t > t q x (Salah) µ x +t =
Jawab: A. 1 dan 2 saja 17. Diberikan informasi lx = 10.000, L x+1 = 8.000, dan q x+1 = 0, 25 lx+1 = 8.100, L x+2 = 6.000, m x+2 = 0, 3645 Tentukanlah 2 p x+0,5 dengan menggunakan metode eksponensial (constant force) A. 0,44 B. 0,46 C. 0,54 D. 0,56 E. 0,64 Pembahasan: Diketahui
273
9 A50 Periode November 2018 lx = 10.000, L x+1 = 8.000, dan q x+1 = 0, 25 lx+1 = 8.100, L x+2 = 6.000, m x+2 = 0, 3645 Akan kita hitung 2 p x+0,5 dengan menggunakan metode eksponensial (constant force) maka : Langkah Pertama
= 1 − p x +1 l = 1 − x +2 l x +1 l x +1 − l x +2 0, 25 = l x +1 0, 25 . lx+1 = lx+1 − lx+2 q x +1
l x +2
= lx+1 − 0, 25 . lx+1 = 0, 75 . lx+1 = 0, 75 . 8100 = 6075
Langkah Kedua mx
=
m x +2
=
0, 3645
=
l x +3
=
dx L x − L x +1 = sehingga Lx Lx l x +2 − l x +3 l x +2 6075 − lx+3 6000 6075 − 0, 3645 . 6000
= 3888 Langkah Ketiga 2 p x +0,5
=
lx+0,5+2 lx+0,5 1
=
=
=
l x +2 ( p x +2 ) 2 lx+0,5 1 2 l l x +2 l x +3 x +2 1 2 l lx xl+x 1 3888 6075
6075 10000
274
12
8100 10000
4860 1 = 9000 = 0, 54 2
9 A50 Periode November 2018 Jawab: C. 0,54 18. Misakan ada 100 pengamatan dan diketahui Var [Sˆ (t)] = 0, 00056, Var [Sˆ (r )] = 0, 00040 Jika S(t) > 2S(r ) dan t < r, Tentukan 100Cov[Sˆ (t), Sˆ (r )] A. 0,0010 B. 0,0015 C. 0,0020 D. 0,0025 E. 0,0030 Pembahasan: Diketahui Var [Sˆ (t)] = 0, 00056, Var [Sˆ (r )] = 0, 00040 S(t) > 2S(r ) dan t < r Akan dihitung 100Cov[Sˆ (t), Sˆ (r )] Var Sˆ (t)
=
0, 00056(100)
=
S(t) F (t) S(t)(1 − S(t)) = n n S ( t ) − S ( t )2
S(t)2 − S(t) − 0, 056
=
0
(S(t) − 0, 940454)(S(t) − 0, 059545)
=
0
S(t) = 0, 940454 atau
S(t) = 0, 059545
Var Sˆ (r )
=
0, 0004(100)
=
S (r ) F (r ) S(r )(1 − S(r )) = n n 2 S (r ) − S (r )
S(r ) − S(r ) − 0, 04
=
0
(S(r ) − 0, 95825)(S(t) − 0, 0417424)
=
0
2
S(t) = 0, 95825 atau
275
S(t) = 0, 0417424
9 A50 Periode November 2018 maka 100Cov[Sˆ (t), Sˆ (r )]
100.qt .qr n 100.0, 059545.0, 0417424 100 0, 00224
= = =
Jawab: D. 0,00224 19. Pada sebuah pengamatan double-decrement (d)
(w)
Jika µ70+t dan µ70+t adalah konstan pada 0 < t < 1, (d)
(d)
(w)
Tentukanlah q70 jika diketahui q0 70 = q0 70 = 0, 20 A. 0,170 B. 0,180 C. 0,190 D. 0,195 E. 0,200 Pembahasan: (d)
(w)
(d)
(w)
Diketahui µ70+t dan µ70+t adalah konstan pada 0 < t < 1, dan q0 70 = q0 70 = 0, 20 sehingga:
= qx
(d)
=
q70
= =
1 0 (w) . qx 2 0 (d) 1 0 (w) q70 1 − . q70 2 1 (0, 2) 0, 2 1 − 2 0, 18 0 (d)
(d)
qx
1−
Jawab: B. 0,180 20. Dalam sebuah sampel terdapat 10.000 orang pada usia x. 1) 1000 orang baru masuk pada usia x + 1/4 2) 2000 meninggal pada interval ( x, x + 1) Tentukanlah moment estimator dari q x dimana kematian menyebar linier (UDD).
276
9 A50 Periode November 2018 A. 0,186 B. 0,197 C. 0,205 D. 0,220 E. 0,235 Pembahasan: Diketahui : • lx = 10.000 • 1000 orang baru masuk pada usia x + 1/4 • 2000 meninggal pada interval ( x, x + 1) sehingga moment estimator dari q x dimana kematian menyebar linier (UDD) adalah qˆx
= = =
d n x − (1 − s).c x + (1 − r ).k x 2000 10.000 − 0, 5(2000) + 0, 75(1000) 0, 20512
Jawab: C. 0,205 Untuk soal 21-22! Dalam studi mortalita untuk tahun kalender 2017, ada 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986 dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal 1 setiap bulannya . Berikut data kematian dan withdrawals No
Tanggal Lahir
Tanggal Kejadian
Kejadian
1
1 Februari 1986
1 Maret 2017
Withdrawal
2
1 April 1986
1 Maret 2017
Meninggal
3
1 Juni 1986
1 Juli 2017
Meninggal
4
1 Agustus 1986
1 Februari 2017
Withdrawal
5
1 Maret 1987
1 Januari 2017
Meninggal
21. Hitunglah q30 dengan perhitungan estimasi aktuaria. A. 0,0060 B. 0,0073 C. 0,0084
277
9 A50 Periode November 2018 D. 0,0098 E. 0,0125 Pembahasan: Diketahui 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986 dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal 1 setiap bulannya. No
Tanggal Lahir
Tanggal Kejadian
Kejadian
1
1 Februari 1986
1 Maret 2017
Withdrawal
2
1 April 1986
1 Maret 2017
Meninggal
3
1 Juni 1986
1 Juli 2017
Meninggal
4
1 Agustus 1986
1 Februari 2017
Withdrawal
5
1 Maret 1987
1 Januari 2017
Meninggal
yi = tanggal awal pengamatan-tanggal lahir zi =tanggal akhir pengamatan-tanggal lahir θi =tanggal meninggal-tanggal lahir φi =tanggal withdraw-tanggal lahir
( ri
=
( si
ιi
κi
=
=
=
ε eksak
=
,
jika yi < x
yi − x
,
jika x < yi < x + 1
zi − x
,
jika x < zi < x + 1
1
,
jika zi < x + 1
0
,
jika θi = 0
θi − x
,
jikax < θi < x + 1
0
, θi > x + 1
0
,
jika φi = 0
,
jikax < φi < x + 1
si − ri κ i − ri ι i − ri
0
φi − x 0
, φi > x + 1
,
jika seseorang tidak meninggal dan withdraw
,
jika seseorang withdraw
,
jika seseorang meninggal
278
9 A50 Periode November 2018 Tanggal
Yi
zi
ri
si
1-Jan-86
31.00
32.00
00.00
1.00
1-Feb-86
30.92
31.91
0.92
1.00
1-Mar-86
30.84
31.84
0.84
1,00
1-Apr-86
30.75
31.75
0.75
1.00
1-May-86
30.67
31.67
0.67
1.00
1-Jun-86
30.59
31.58
0.59
1.00
1-Jul-86
30.51
31.50
0.51
1.00
1-Aug-86
30.42
31.42
0.42
1,00
1-Sep-86
30.34
31.33
0.34
1-Oct-86
30.25
31.25
1-Nov-86
30.17
1-Dec-86
Lahir
θi
φi
Exposure ιi
κi
eksak
10ε
1.00
10.00
0.08
00.84
0.16
1.61
0.25
2.46
0.33
3.28
0.41
4.13
0.49
4.95
0.08
0.85
1.00
0.66
6.65
0.25
1.00
0.75
7.47
31.16
0.17
1.00
0.83
8.32
30.09
31.08
0.09
1.00
0.91
9.14
1-Jan-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1.00
9.97
1-Feb-87
29.92
30.91
0.00
0.91
0.91
9.12
1-Mar-87
29.84
30.84
0.00
0.84
0.00
0.00
1-Apr-87
29.75
30.75
0.00
0.75
0.75
7.51
1-May-87
29.67
30.67
0.00
0.67
0.67
6.69
1-Jun-87
29.59
30.58
0.00
0.58
0.58
5.84
1-Jul-87
29.51
30.50
0.00
0.50
0.50
5.02
1-Aug-87
29.42
30.42
0.00
0.42
0.42
4.17
1-Sep-87
29.34
30.33
0.00
0.33
0.33
3.32
1-Oct-87
29.25
30.25
0.00
0.25
0.25
2.50
1-Nov-87
29.17
30.16
0.00
0.16
0.16
1.65
1-Dec-87
29.09
30.08
0.00
0.08
0.08
0.83
11.63
116.28
00.00 30.92 31.08 0.00
29.84
31.08 0.00 0.00 30.51
0.00
0 0.92 0 0
0
Total
0 0 0 0.51
0
Bisa dilihat pada kolom ιi terjadi satu kematian untuk usia 30 tahun sehingga q30 =
1 = 0, 008599 116, 28
Jawab: C. 0,0084 22. Dengan menggunakan usia nearest birthday. Hitunglah p30 dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi konstan force of mortality). A. 0,951
279
9 A50 Periode November 2018 B. 0,963 C. 0.972 D. 0.986 E. 0.991 Pembahasan: Diketahui 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986 dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal 1 setiap bulannya. No
Tanggal Lahir
Tanggal Kejadian
Kejadian
1
1 Februari 1986
1 Maret 2017
Withdrawal
2
1 April 1986
1 Maret 2017
Meninggal
3
1 Juni 1986
1 Juli 2017
Meninggal
4
1 Agustus 1986
1 Februari 2017
Withdrawal
5
1 Maret 1987
1 Januari 2017
Meninggal
yi = tanggal awal pengamatan-tanggal lahir zi =tanggal akhir pengamatan-tanggal lahir θi =tanggal meninggal-tanggal lahir φi =tanggal withdraw-tanggal lahir
( ri
=
( si
ιi
κi
=
=
=
0
,
jika yi < x
yi − x
,
jika x < yi < x + 1
zi − x
,
jika x < zi < x + 1
1
,
jika zi < x + 1
0
,
jika θi = 0
θi − x
,
jikax < θi < x + 1
0
, θi > x + 1
0
,
jika φi = 0
φi − x
,
jikax < φi < x + 1
0
, φi > x + 1
280
9 A50 Periode November 2018
=
ε eksak
Tanggal
si − ri κ i − ri ι i − ri
Yi
zi
1-Jan-86
31.00
32.00
1-Feb-86
31.00
32.00
1-Mar-86
31.00
32.00
1-Apr-86
31.00
32.00
1-May-86
31.00
32.00
1-Jun-86
31.00
32.00
1-Jul-86
31.00
32.00
1-Aug-86
30.00
31.00
1-Sep-86
30.00
1-Oct-86 1-Nov-86
,
jika seseorang tidak meninggal dan withdraw
,
jika seseorang withdraw
,
jika seseorang meninggal
ri
si
0.00
1.00
0.00
1.00
0.00
1,00
0.00
1.00
0.00
1.00
0.00
1.00
0.00
1.00
0.00
1.00
31.00
0.00
30.00
31.00
30.00
31.00
1-Dec-86
30.00
1-Jan-87
Lahir
θi
φi
Exposure ιi
κi
eksak
10ε
1.00
10.00
1.00
10.00
1.00
10.00
1.00
10.00
1.00
10.00
1.00
10.00
1.00
10.00
0.00
0.00
1.00
1.00
10.00
0.00
1.00
1.00
10.00
0.00
1.00
1,00
10.00
31.00
0.00
1.00
1.00
10.00
30.00
31.00
0.00
1.00
1.00
10.00
1-Feb-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1.00
10.00
1-Mar-87
30.00
31.00
0.00
1.00
0.00
0.00
1-Apr-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1.00
10.00
1-May-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1.00
10.00
1-Jun-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Jul-87
30.00
31.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Aug-87
29.00
30.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Sep-87
29.00
30.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Oct-87
29.00
30.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Nov-87
29.00
30.00
0.00
1.00
1,00
10.00
1-Dec-87
29.00
30.00
0.00
1.00
1.00
10.00
22.00
220.00
0.00 31.00 31.00 0.00
30.00
31.00 0.00 0.00 30.00
0.00
0.00 1.00 1.00 0.00
0.00
Total Bisa dilihat pada kolom ιi terjadi dua kematian untuk usia 30 tahun sehingga
p30 = 1 − q30
2 = 1 − 1 − exp − 220
Jawab: C. 0,991
281
= 0, 99095
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00
9 A50 Periode November 2018 23. Sebuah studi pada interval ( x, x + 1) Diketahui: 3 2 = 1 − s2 (q x )2 untuk 0 ≤ s ≤ 2 3 2 2 ≤s≤1 s p x = 1 − s ( q x ) untuk 3
s px
Jika n x = 300, dan 1 kematian terjadi di usia x + 0, 45 dan 1 kematian lagi pada usia x + 0, 85 Tentukanlah MLE dari q x A. 0,013 B. 0,018 C. 0,020 D. 0,022 E. 0,024 Pembahasan: Diketahui : s px s px
nx
3 2 = 1 − s2 (q x )2 untuk 0 ≤ s ≤ 2 3 2 2 = 1 − s(q x ) untuk ≤ s ≤ 1 3 = 300
1 kematian terjadi di usia x + 0, 45 dan 1 kematian lagi pada usia x + 0, 85 Akan dihitung MLE dari q x • Untuk 0 ≤ s ≤
2 3 si p x µ x + si
=
# " 2 ( q ) 3 2 x 1 − s ( q x )2 . 2 1 − 32 s2 (q x )2
= ( q x )2 • Untuk
2 1 Yi = 10 ⇒ Yi = 21 − 5 − 4 − 2 nilai 5,4, dan 2 dari nilai di untuk Li > 0 9 10 − 1 = 10 10 11 9 16 − 2 − 3 9 = Pr[ L < li | L < 3] = 10 16 16 10 99 99 15 − 4 − 5 − 6 Pr[ L < li | L < 3] = .0 = 160 160 16 Pr[ L < li | L < 3] =
Diperoleh Pr[ L = 1| L < 3] =Pr[ L < 2| L < 3]−Pr[ L < 1| L < 3] =
9 99 − = 0, 28125 10 160
Jawab. C. 27. Untuk sebuah survival study, diberikan: i. Product Limit estimator Sˆ (t0 ) digunakan untuk membangun interval kepercayaan untuk S ( t0 ) ii. 95% interval kepercayaan berdistribusi log transformed untuk S(t0 ) adalah
(0, 695 : 0, 843) Tentukanlah nilai Sb(t0 ) A. 0,758
313
10 A50 Periode April 2019 B. 0,762 C. 0,765 D. 0,769 E. 0,779 Pembahasan: Log-Transformed confidence untuk estimasi Product Limit
1 Sˆ (tk ) U : Sˆ (tk )U
dengan U
z p +1 √ d 2
= exp
Var [Sˆ (tk )]
!
Sˆ (tk ). ln[Sˆ (tk )]
sehingga 1 ˆ ln S(t0 ) = ln(0, 695)...(1) U 0, 843 ⇒ U ln Sˆ (t0 ) = ln(0, 843)...(2)
1 Sˆ (t0 ) U
= 0, 695 ⇒
Sˆ (t0 )U
=
Dengan membagi (2) dengan (1) diperoleh U ln Sˆ (t0 ) = U2 1 ln Sˆ (t0 )
=
U
=
U
ln(0, 843) ln(0, 695) s ln(0, 843) ln(0, 695)
= 0, 6851 Diperoleh: 1 U Sˆ (t0 ) = Sˆ (t0 ) U = 0, 6950,6851 = 0, 7794 Jawab. E. 28. Data pembayaran klaim dari 10 polis adalah: 2 3 3 5 5+ 6 7 7+ 9 10+
314
10 A50 Periode April 2019 Tanda + mengindikasikan bahwa kerugian melebihi limit polis. Dengan menggunakan Product Limit estimator, tentukan probabilitas bahwa kerugian yang terjadi pada polis melebihi 8. A. 0,40 B. 0,36 C. 0,30 D. 0,25 E. 0,20 Pembahasan: Akan dibuat tabel data i
di
xi
ui
entry
event
censored
1
0
2
-
2
0
3
-
3
0
3
-
4
0
5
-
5
0
-
5
6
0
6
-
7
0
7
-
8
0
-
7
9
0
9
-
10
0
-
10
Table Survival j
tj
dj
rj
1
2
1
10
2
3
2
9
3
5
1
7
4
6
1
5
5
7
1
4
6
9
1
2
Fungsi Survival
315
10 A50 Periode April 2019 Sˆ (t)
t 0≤t
