Pemecahan Masalah Matematika [PDF]

Citation preview

BAHAN BELAJAR MANDIRI



Edisi Kesatu



GD202/3SKS/BBM1-9



PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA



Drs. Nahrowi Adjie, S.Pd., M.Pd. Maulana, S.Pd.



UPI PRESS



Pemecahan Masalah Matematika Tim Penulis Tim Revisi



: Drs. Nahrowi Adjie, S.Pd., M.Pd. Maulana, S.Pd. :



Hak Cipta pada penulis Hak Penerbitan pada Universitas Pendidikan Indonesia Dilarang mengutip sebagian atau seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit UPI PRESS. Edisi Revisi Cetakan Kedua, 2009 Desain Tim Ahli Desain Cover Tata Letak isi



: Drs. Asep Herry Hernawan, M.Pd. Cepi Riyana, S.Pd., M.Pd. : Rudi Sopiana, S.Pd. Asep Saepul Kholiq : Dadi Mulyadi, S.Pd. Angga Hadiapurwa



Penerbit : UPI PRESS Gedung Penerbitan dan Percetakan Universitas Pendidikan Indonesia Jl. Dr. Setiabudhi, No. 229 Bandung 40154 Tlp. (022) 2013163 Pes.4502 Fakultas Ilmu Pendidikan Jl. Dr. Setiabudhi No. 229 Bandung, Tlp (022) 2013163 Pes.4301 Fax/Telp : (022) 2000021



KATA PENGANTAR



Dewasa ini, guru Sekolah Dasar/Madrasah Ibtidaiyah dipersyaratkan memiliki kualifikasi S-1 atau D-IV sesuai dengan tuntutan profesional. Hal ini sesuai dengan ketentuan yang terdapat pada UU Nomor 20/2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional, UU Nomor 14/2005 tentang Guru dan Dosen, dan PP Nomor 19/2005 tentang Standar Nasional Pendidikan. Sejalan dengan itu, Universitas Pendidikan Indonesia (UPI) mulai tahun akademik 2006/2007 menyelenggarakan Program Strata I (S-1) PGSD bagi guru Sekolah Dasar/Madrasah Ibtidaiyah dengan menggunakan pendekatan dual-modes. Pendekatan ini dilakukan melalui perpaduan antara sistem pembelajaran tatap muka dengan sistem pembelajaran mandiri (self-instruction). Sistem pembelajaran mandiri dilakukan dengan cara mempelajari bahan belajar mandiri tercetak (printed materials) yang dikaji lebih lanjut pada pembelajaran tatap muka. Bahan belajar mandiri ini mencakup materi untuk peningkatan wawasan tentang berbagai konsep dan keterampilan yang berhubungan dengan peningkatan diri sebagai guru profesional. Mudah-mudahan dengan tersusunnya bahan belajar mandiri ini, para mahasiswa dapat belajar secara mandiri dengan tidak mengganggu pelaksanaan tugas-tugas keseharian. Bandung, September 2009 Rektor,



Prof. Dr. H. Sunaryo Kartadinata, M.Pd. NIP. 19500321 197412 1001



Kata Pengantar ............................................................................................................i Daftar Isi ......................................................................................................................ii Tinjauan Mata Kuliah ................................................................................................v Bahan Belajar Mandiri 1 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, Dan Strategi Pemecahan Masalah .....................................................1 Pendahuluan ................................................................................................................. 1 Kegiatan Pembelajaran 1 Makna Masalah dan Klasifikasi Masalah ............................3 Latihan ..........................................................................................................................9 Rangkuman .................................................................................................................11 Tes Formatif 1 .............................................................................................................11 Balikan dan Tindak Lanjut...........................................................................................13 Kegiatan Pembelajaran 2 Langkah-langkah dan Strategi Pemecahan Masalah .........14 Latihan ........................................................................................................................23 Rangkuman .................................................................................................................25 Tes Formatif 2 .............................................................................................................26 Balikan dan Tindak Lanjut ..........................................................................................28 Kunci Jawaban Tes Formati f.......................................................................................29 Glosarium ....................................................................................................................31 Daftar Pustaka .............................................................................................................32 Bahan Belajar Mandiri 2 Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika ......33 Pendahuluan.................................................................................................................33 Kegiatan Pembelajaran 1 Tujuan dan Karakeristik Belajar Matematika .....................34 Latihan .........................................................................................................................41 Petunjuk Jawaban Latihan ...........................................................................................41 Rangkuman ..................................................................................................................42 Tes Formatif 1 ..............................................................................................................43 Balikan dan Tindak Lanjut...........................................................................................44 Kegiatan Pembelajaran 2 Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika.................45 Latihan .........................................................................................................................54 Petunjuk Jawaban Latihan ...........................................................................................55 Rangkuman ..................................................................................................................56 Tes Formatif 2 ..............................................................................................................56 Balikan dan Tindak Lanjut...........................................................................................58 Kunci Jawaban Tes Formatif........................................................................................59 Glosarium.....................................................................................................................61 Daftar Pustaka..............................................................................................................62 Bahan Belajar Mandiri 3 Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika ............................................................................63 Pendahuluan.................................................................................................................63 Kegiatan Pembelajaran 1 Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika Dengan Pendekatan Soal Cerita ................................................................................................65 Daftar isi



i



Latihan .........................................................................................................................71 Petunjuk Jawaban Latihan ...........................................................................................71 Rangkuman ..................................................................................................................72 Tes Formatif 1 ..............................................................................................................73 Balikan dan Tindak Lanjut...........................................................................................75 Kegiatan Pembelajaran 2 Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika ..................................................................................................................76 Latihan .........................................................................................................................87 Petunjuk Jawaban Latihan ...........................................................................................88 Rangkuman ..................................................................................................................88 Tes Formatif 2 .............................................................................................................89 Balikan dan Tindak Lanjut...........................................................................................92 Kunci Jawaban Tes Formatif........................................................................................93 Glosarium.....................................................................................................................94 Daftar Pustaka..............................................................................................................95 Bahan Belajar Mandiri 4 Pemecahan Masalah Dalam Himpunan, Fungsi, Dan Logika ...............................................................................97 Pendahuluan.................................................................................................................97 Kegiatan Pembelajaran 1 Himpunan ...........................................................................99 Latihan .......................................................................................................................109 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................109 Rangkuman ................................................................................................................111 Tes Formatif 1 ............................................................................................................112 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................114 Kegiatan Pembelajaran 2 Fungsi................................................................................115 Latihan .......................................................................................................................129 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................130 Rangkuman ................................................................................................................132 Tes Formatif 2 ............................................................................................................132 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................135 Kunci Jawaban Tes Formatif......................................................................................136 Glosarium...................................................................................................................144 Daftar Pustaka............................................................................................................145 Bahan Belajar Mandiri 5 Pemecahan Masalah Dalam Logika dan Bilangan Bulat..........................................................................................................147 Pendahuluan...............................................................................................................147 Kegiatan Pembelajaran 1 Logika ...............................................................................149 Latihan .......................................................................................................................163 Petujuk Jawaban Latihan ...........................................................................................163 Rangkuman ................................................................................................................165 Tes Formatif 1 ............................................................................................................166 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................168 Kegiatan Pembelajaran 2 Bilangan Bulat ..................................................................169 ii



Daftar isi



Latihan .......................................................................................................................177 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................178 Rangkuman ................................................................................................................179 Tes Formatif 2 ............................................................................................................180 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................181 Kunci Jawaban ...........................................................................................................182 Glosarium...................................................................................................................184 Daftar Pustaka............................................................................................................185 Bahan Belajar Mandiri 6 Pemecahan Masalah Dalam Sistem Bilangan Cacah ........................................................................................................187 Pendahuluan...............................................................................................................187 Kegiatan Pembelajaran 1 Sistem Bilangan Cacah dan Operasi Hitungnya...............189 Latihan .......................................................................................................................200 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................200 Rangkuman ................................................................................................................201 Tes Formatif 1 ............................................................................................................202 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................203 Kegiatan Pembelajaran 2 Urutan Pada Bilangan Cacah, FPB dan KPK ...................204 Latihan .......................................................................................................................215 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................215 Rangkuman ................................................................................................................217 Tes Formatif 2 ............................................................................................................218 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................219 Kunci Jawaban ...........................................................................................................220 Glosarium...................................................................................................................221 Daftar Pustaka............................................................................................................222 Bahan Belajar Mandiri 7 Pemecahan Masalah Dalam Bilangan Bilangan Pecahan, dan Perbandingan...................................................223 Pendahuluan...............................................................................................................223 Kegiatan Pembelajaran 1 Pecahan .............................................................................225 Latihan .......................................................................................................................240 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................241 Rangkuman ................................................................................................................243 Tes Formatif 1 ............................................................................................................244 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................245 Kegiatan Pembelajaran 2 Perbandingan ....................................................................246 Latihan .......................................................................................................................253 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................253 Rangkuman ................................................................................................................255 Tes Formatif 2 ............................................................................................................255 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................257 Kunci Jawaban ...........................................................................................................258 Glosarium...................................................................................................................261 Daftar Pustaka............................................................................................................262 Daftar isi



iii



Bahan Belajar Mandiri 8 Pemecahan Masalah Dalam Peluang dan Statistika .............................................................................................263 Pendahuluan...............................................................................................................263 Kegiatan Pembelajaran 1 Pecahan .............................................................................265 Latihan .......................................................................................................................279 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................280 Rangkuman ................................................................................................................281 Tes Formatif 1 ............................................................................................................283 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................285 Kegiatan Pembelajaran 2 Statistika ...........................................................................286 Latihan .......................................................................................................................299 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................266 Rangkuman ................................................................................................................303 Tes Formatif 2 ............................................................................................................304 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................306 Kunci Jawaban Tes Formatif......................................................................................307 Glosarium...................................................................................................................312 Daftar Pustaka............................................................................................................313 Bahan Belajar Mandiri 9 Pemecahan Masalah Dalam Bilangan Bilangan Pecahan, dan Perbandingan ...................................................................315 Pendahuluan...............................................................................................................315 Kegiatan Pembelajaran 1 Geometri Datar (Struktur konsep) ....................................318 Latihan .......................................................................................................................343 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................343 Rangkuman ................................................................................................................345 Tes Formatif 1 ............................................................................................................347 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................350 Kegiatan Pembelajaran 2 Geometri Ruang................................................................351 Latihan .......................................................................................................................358 Petunjuk Jawaban Latihan .........................................................................................359 Rangkuman ................................................................................................................360 Tes Formatif 2 ............................................................................................................361 Balikan dan Tindak Lanjut.........................................................................................363 Kunci Jawaban ...........................................................................................................364 Glosarium...................................................................................................................371 Daftar Pustaka............................................................................................................372



iv



Daftar isi



Tinjauan Mata Kuliah



TINJAUAN MATA KULIAH



M



ata kuliah Pemecahan Masalah Matematika merupakan pokok bahasan pengulangan dalam mata kuliah Konsep Dasar Matematika. Bagi Anda yang memilih konsentrasi Pendidikan Matematika Sekolah Dasar, akan dibahas secara lebih mendalam tentang pemecahan masalah matematika, sehingga Anda sebagai guru SD mampu menggunakan berbagai macam strategi dalam menghadapi “masalah non-rutin” dalam matematika dan mampu membimbing siswa SD dalam menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan matematika, cakupan materinya meliputi himpunan, fungsi, logika, sistem bilangan dan bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan pecahan desimal,, peluang, statistik, dan geometri. Mata kuliah ini tidak menuntut prasyarat. Secara umum, tujuan dari mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat memahami makna masalah yang berhubungan dengan matematika, memahami langkah-langkah dalam penyelesaian masalah, memahami strategi dalam pemecahan masalah matematika, memahami tugas guru dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika, memahami metode/teknik mengadakan proses pembelajaran matematika, memahami peneyelesain masalah yang berhubungan dengan himpunan, himpunan, fungsi, logika, sistem bilangan, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan pecahan desimal, peluang, statistik, dan geometri. Secara khusus mahasiswa dapat: 1. memahami makna masalah dan klasifikasi masalah 2. menjelaskan langkah-langkah Penyelesaian Masalah 3. menjelaskan strategi pemecahan masalah 4. menjelaskan tugas guru dalam proses pembelajaran pemecahan masalah matematika 5. menerapakan metode/telnik pembelajaran matematika 6. membimbing siswa SD dalam menyelesaikan masalah 7. mendemostarasikan penyelesaian masalah himpunan dan fungsi, dan logika 8. mendemonstrasikan penyelesaian masalah sistem bilangan, cacah, bulat, dan desimal 9. mendemonstrasikan penyelesaian masalah peluang, statistik, dan geometri Manfaat dari mempelajari modul ini adalah mahasiswa memiliki wawasan yang luas tentang matematika, memiliki keterampilan berpikir matematika, dan memiliki keterampilan pemecahan masalah matematika. Berdasarkan tujuan yang ingin dicapai serta bobot SKS mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika, materi mata kuliah ini disajikan dalam 6 modul, yang terdiri sebagai berikut: Modul 1 : Makna, Klasifikasi, Langkah-Langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Modul 2 : Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika Modul 3 : Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika Modul 4 : Penyelesaian Masalah Himpunan dan Fungsi Modul 5 : Penyelesaian Masalah Logika dan Sistem Bilangan Bulat Modul 6 : Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Modul 7 : Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Pecah dan Perbandingan Modul 8 : Penyelesaian Masalah Peluang dan Statistik Modul 9 : Penyelesaian Masalah dalam Geometri Datar dan Geometri Ruang



Pemecahan Masalah Matematika



v



Tinjauan Mata Kuliah



Dengan mempelajari setiap modul secara cermat sesuai dengan petunjuk yang ada pada setiap modul serta dengan mengerjakan semua tugas, latihan, dan tes yang diberikan, mahasiswa akan berhasil dalam menguasai tujuan-tujuan yang ditetapkan. MODUL 1 MODUL 2 MODUL 3 MODUL 4 MODUL 5 MODUL 6 MODUL 7 MODUL 8 MODUL 9



vi



: MAKNA, KLASIFIKASI, LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN, DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH : PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA : METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN ASALAH MATEMATIKA : PEMECAHAN MASALAH DALAM HIMPUNAN DAN FUNGSI : PEMECAHAN MASALAH DALAM LOGIKA DAN BILANGAN BULAT : PENYELESAIAN MASALAH DALAM BILANGAN CACAH : PEMECAHAN MASALAH DALAM BILANGAN PECAHAN, DAN PERBANDINGAN : PEMECAHAN MASALAH DALAM PELUANG DAN STATISTIKA : GEOMETRI DATAR DAN GEOMETRI RUANG



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



MAKNA, KLASIFIKASI, LANGKAHLANGKAH PENYELESAIAN, DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH



S



esuai dengan perkembangan jaman yang semakin kompleks dan banyak macamnya, maka masalah-masalah kehidupan itupun muncul dan semakin kompleks. Perkembangan jaman tersebut menuntut kita untuk berkompetisi dan dalam memenuhi segala kebutuhan hidup. Hanya orang-orang yang tangguh, disiplin, dan tekunlah yang dapat bersaing dalam kehidupan yang demikian. Untuk itu kita sebagai guru harus dapat mempersiapkan manusia-manusia yang unggul di bidangnya dan mampu bersaing dalam kehidupan yang serba kompleks ini. Dengan kata lain kita harus mencetak manusia-manusia yang berkualitas dengan jalan meningkatkan mutu pendidikan sejak dini. Ilmu matematika memberikan sumbangan yang cukup besar dalam pembentukan manusia unggul, karena salah satu kreteria manusia unggul adalah manusia yang dapat menggunakan nalarnya untuk kemajuan umatnya. Kita yakin bahwa sebaik-baiknya manusia adalah yang mampu membawa manfaat bagi manusia lainnya untuk kehidupan selanjutnya. Tidak dapat dipungkiri lagi bahwa kemajuan teknologi sekarang ini, yang merubah dunia semakin canggih dan praktis dalam segala kehidupan adalah sumbangan ilmu matematika. Dalam mengahadapi kehidupan ini kita sering dihadapkan kepada suatu permasalahan, sehingga kita dituntut untuk menyelesaikannya. Untuk itu generasi penerus kita harus dapat menyelesaikannya sebagai bekal dalam kehidupan di masa yang akan datang. Dalam bahan belajar mandiri ini akan dibahas makna masalah, klasifikasi masalah, dan strategi pemecahan masalah dalam bidang matematika, dengan tujuan pembelajaran khususnya adalah mahasiswa dapat: 1. menjelaskan arti masalah dalam kehidupan sehari-hari. 2. menjelaskan maksud penyelesaian masalah dalam matematika 3. menjelasakan klasifikasi masalah dalam matematika 4. menjelaskan langkah-langkah dalam penyelesaian masalah 5. menggunakan berbagai macam strategi dalam penyelesaian maslah matematika.



Pemecahan Masalah Matematika



1



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya. 2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini.



2



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



MAKNA MASALAH DAN KLASIFIKASI MASALAH 1. Makna Masalah alam kehidupann sehari-hari kita sering dihadapkan kepada masalah-masalah, yang menuntut kita untuk menyelesaiakannya. Kata “masalah” mengandung arti yang komprehensif. Oleh karenanya akan terjadi berbagai tanggapan yang berbeda dalam menghadapi masalah tertentu. Dalam hal ini terjadi perbedaan sikap terhadap sesuatu kejadian atau kondisi tertentu (sikap diartikan sebagai kondisi kejiwaan untuk bereaksi terhadap lingkungan). Dengan demikian akan terjadi perbedaan penyikapan terhadap suatu masalah tertentu, misalnya sesuatu akan menajadi masalah bagi anak-anak, tetapi belum tentu menjadi masalah bagi orang dewasa. Berikut adalah ilustrasi berbagai contoh dalam menyikapi masalah. Ilustrasi 1 : Pada waktu bulan puasa Ida sudah tidur pada pukul 22.00, dengan harapan tidak akan kesiangan waktu sahur. Pada pukul 24.00 listrik di rumah Ida padam, dan Ida tetap tidur pulas sehingga Ida tidak mengetahui terjadinya padam listrik yang membuat rumahnya gelap-gulita. Ilustrasi 2 : Pada pukul 01.00 Ida terbangun dan melihatnya/merasakan bahwa listrik di rumahnya masih tetap padam, lantas Ida melihat jam dan memutuskan untuk tidur kembali tanpa ada usaha untuk mengecek listrik rumahnya yang padam (apakah padam semua, atau ada gangguan pada instalasi listrik rumahnya) Ilustrasi 3 : Lain halnya dengan Adiknya Ida, begitu terbangun dan melihat listrik mati, lantas menyuruh bapaknya untuk memperbaikinya, karena Adiknya Ida tidak bisa tidur kalau ruangan gelap. Ilustrasi 4 : Bapak Ida memperbaiki listrik yang padam dengan melihat dulu rumah tetangganya apakah listriknya mati atau tidak. Ternyata listrik di rumah tetangga tidak mati. Bapak Ida lantas memeriksa saklar di meteran ternyata dalam keadaan of, lantas saklar dinaikan menjadi on, tetapi saklar tidak mau on dan listrik tetap mati. Bapak Ida memutuskan untuk menggunakan lampu minyak saja, karena tidak sanggup memperbaikinya. Ilustrasi 5: Lain halnya dengan tetangga Ida, jika mengalami hal demikian maka tetangga Ida itu mencobanya untuk memperbaiki sendiri tanpa bantuan orang lain, dengan cara mencobacoba berbagai kemungkinan yang terjadi. Misalnya mengecek kabel-kabel yang dimungkinkan adanya konsleting (sambungan arus pendek yang tidak dikehendaki). Ilustrasi 6: Pagi harinya Bapaknya Ida menghubungi anaknya (Kakaknya Ida) dan memintanya untuk memperbaiki kabel listrik yang konslet. Karena Kakaknya Ida adalah sarjana elektro (mengetahui seluk beluk listrik), maka dengan mudah saja ia menemukan penyebab terjadi penyambungan arus pendek, yaitu dengan menggunakan alat-alat yang dimilikinya.



D



Pemecahan Masalah Matematika



3



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Dari ilustrasi-ilustrasi di atas memberikan gambaran bagaimana seseorang menyikapi suatu masalah atau tidak punya sikap sama sekali. Ilustrasi 1: menggambarkan yang bernama Ida tidak mempunyai sikap apa-apa, karena Ida tidak mengetahui adanya listrik padam. Pada ilustrasi 2: Ida mengetahui listrik padam, tetapi Ida masa bodoh (tak peduli) padamnya listrik, karena ia tak terganggu oleh padamnya listrik. Ilustrasi 3: Adiknya Ida merasa terganggu oleh padamnya listrik dan ia menyuruh bapaknya untuk memperbaikinya. Ilustrasi 4: Bapaknya Ida tidak bisa memperbaiki listrik dan memilih membiarkan listrik di rumahnya padam. Ilustrasi 5: Tetangga Ida, jika menemukan kejadian tersebut sering melakukan coba-coba untuk memperbaiki listrik. Dan ilustrasi 6: Kakaknya Ida sudah terampil memperbaiki listrik, karena ia ahli di bidangnya. Dari ilustrasi tersebut ada beberapa kategori sikap yang terjadi padi diri sesorang dalam menghadapi situasi tertentu, yaitu: (1) Orang yang tidak mengetahui adanya masalah; (2) orang yang tidak peduli terhadap adanya masalah; (3) orang yang mengetahui adanya masalah, tetapi tidak bisa menyelesaikannya; (4) orang yang sering mencoba-coba menyelesaikan masalah; dan (5) orang yang mahir menyelesaikan masalah. Biasanya masalah muncul pada saat/situasi yang tidak diharapkan atau muncul karena akibatakibat kita melakukan suatu pekerjaan, atau jika merencanakan suatu kegiatan (proyek) kita akan menemukan berbagai permasalahan yang muncul. Munculnya masalah tersebut dapat dikatakan/ dijadikan sebagai masalah jika kita mau menerimanya sebagai tantangan untuk diselesaikan, tetapi jika kita tidak mau menerima sebagai tantangan berarti masalah tersebut menjadi bukan masalah yang terselesaikan. Untuk terampil dalam menyelesaikan masalah dibutuhkan berbagai kemampuan yang ada pada diri kita, sebagai hasil dari belajar, yaitu berbagai pengetahuan, sikap dan psikomotor. Berbagai pengetahuan dimaksud adalah: ingatan, pemahaman, penerapan, analisis,sintesis, dan evaluasi (sering disebut taksonomi Bloom). Dengan demikian tidaklah mudah menyelesaikan suatu masalah, karena melibatkan berbagai kemampuan nalar/berpikir kita dari tingkat rendah sampai tingkat tinggi (tingkat rendah adalah ingatan, pemahaman dan penerapan, sedangkan tingkat tinggi adalah analisis, sintesis dan evaluasi). Misalkan, jika kita ingin mengukur luas tanah, pengetahuan-pengetahuan apakah yang harus kita miliki dan bagaimana cara menggunakannya? Untuk dapat mengetahui luas tanah, kita harus memiliki pengetahuan tentang bentuk-bentuk geometris beserta ciri-cirinya, sataun ukuran panjang, rumus-rumus mencari luas, dan operasi hitung yang terbentuk oleh rumus-rumus tersebut. Masalah-masalah yang dibahas pada bahan belajar mandiri ini adalah masalah yang berhubugan dengan matematika. Maka dari itu pengetahuan yang akan dibahas adalah pengetahuan yang berhubungan dengan matematika. Di dalam memahami permasalahan matematika, biasanya kita bertanya kepada diri kita sendiri dengan sejumlah pertanyaan yang membantu kita untuk dapat menyeleksi informasi yang ada. Pertanyaan-pertanyaan yang dimaksud antara lain: Apa yang kita ketahui? Berapa banyak? Apa itu? Siapa? Apa yang dicari. Permasalahan yang kita hadapi dapat dikatakan masalah jika masalah tersebut tidak bisa dijawab secara langsung, karena harus menyeleksi informasi (data) yang diperoleh. Dan tentunya jawaban yang diperoleh bukanlah kategori masalah yang rutin (tidak sekedar memindahkan/mentransformasi dari bentuk kalimat biasa ke pada kalimat matematika). Berikut contoh masalah rutin dan non rutin.



4



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Contoh 1.1. Masalah rutin: a. Pada mulanya Budi mempunyai 5 buku lantas oleh Bapaknya dibelikan 4 buku. Berapakah jumlah buku Budi sekarang? b. Amir mempunyai tanah berbentuk segitiga, panjang alasnya 3 cm dan tingginya 4 cm. Berapakah luas tanah Amir tersebut? c. Panjang suatu persegipanjang adalah 5 m dan lebarnya 6 m. Berapakah kelilingnya? Masalah/soal a tersebut merupakan contoh dari kalimat matematika “5 + 4”, contoh b merupakan contoh soal bagaimana menerapkan rumus mencari luas segitiga, dan contoh c merupakan contoh soal untuk menerapkan rumus mencari keliling persegipanjang. Soal-soal tersebut tidak adanya keterlibatan proses berpikir tingkat tinggi. Contoh 1.2. Masalah non rutin a. Pada mulanya Budi mempunyai 5 buku, kemudian Bapaknya memberi sejumlah buku sehingga buku Budi menjadi 12 buku. Berapakah jumlah buku yang diberikan Bapaknya? b. Amir mempunyai tanah berbentuk segipanjang dengan keliling 12 m, panjangnya 2 kali lipat dari lebarnya. Berapakah luas segipanjang tersebut? c. Ahmad mempunyai tanah 100 kali lipat dari gambar di bawah ini. Berapakah luasnya?



Contoh a memperlihatkan penjumlahan 5 + x = 12. Contoh ini membutuhkan keterampilan penyelesaian suatu persamaan. Contoh b memperlihatkan persamaan: K = 12 p=2 l K = 2p + 2 l = 12 2 (2 l ) + 2 l = 12 4 l + 2 l = 12 6 l = 12 l= 2



Pemecahan Masalah Matematika



5



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



karena lebarnya 2 maka panjangnya 2.(2) = 4 Luas = p x l Luas = 4 x 2 = 8 m2 Contoh c menuntut kita mengetahui sifat-sifat bangun datar, mau dibawa kemana gambar tersebut. Yang paling mudah gambar tersebut dibawa/dibuat dua segitiga ( ∆ACD dan ∆ACB ). Sehingga kita cukup mengukur alasnya dan garis tinggi segitiga tersebut. Seperti berikut ini.



Terlihatlah sesuatu pertanyaan atau permasalahan yang kita hadapi disebut permasalahan bila pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab langsung sebab masih harus menyeleksi informasi (data) yang kita peroleh. Tentunya jawaban terhadap pertanyaan tersebut juga tidak merupakan jawaban yang rutin dan mekanistik, namun memerlukan strategi dengan menggunakan pengetahuan dan pengalaman yang kita miliki untuk menjawab pertanyaan tersebut. Namun pertanyaan yang tadinya merupakan permasalahan, setelah berhasil kita selesaikan, baik masalah tersebut kita selesaikan sendiri maupun diberitahukan penyelesaiannya oleh orang lain atau kita peroleh jawabannya dari buku, maka pertanyaan tersebut bukan merupakan permasalahan lagi. Suatu pertanyaan merupakan permasalahan bagi anak SD, tetapi mungkin bukan permasalahan bagi gurunya, sebab anak SD untuk menjawab pertanyaan tersebut memerlukan proses yang rumit sedang bagi gurunya untuk menjawab tersebut memerlukan proses penalaran yang rutin. Namun apabila suatu pertanyaan merupakan permasalahan bagi anda, apakah pertanyaan tersebut merupakan permasalahan bagi anak SD? Tentu saja pertanyaan tersebut bagi anak SD bukan merupakan permasalahan, karena anak SD memang belum siap untuk mampu menjawab permasalahan Anda. Demikian juga permasalahan yang dihadapi oleh ilmuwan, misalnya ahli geodesi, tentunya bukan masalah bagi kita, karena kita tidak mempelajari permasalahan yang dihadapi oleh ahli geodesi. Selain itu, pertanyaan itu merupakan permasalahan bila pertanyaan itu merupakan tantangan bagi kita untuk menjawabnya. Kalau demikian halnya, apa yang dimaksud dengan masalah? Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah bagi seseorang, jika orang itu tidak mempunyai aturan/ hukum tertentu yang segera dapat digunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut. Ini berarti pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin, pertanyaan tersebut dapat dimengerti, pertanyaan tersebut merupakan tantangan untuk dijawab yang sifatnya individu dan



6



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



bergantung pada waktu. Pemecahan/penyelesaian masalah merupakan proses penerimaan tantangan dan kerja keras untuk menyelesaikan masalah tersebut. Jadi aspek penting dari makna masalah adalah bahwa penyelesaian yang diperoleh tidak dapat dikerjakan dengan prosedur rutin. Berpikir keras harus dilaksanakan untuk mendapatkan cara menyelesaikan suatu masalah. Kalkulasi/ perhitungan sederhana dan aplikasi langsung rumus-rumus tidak dikualifikan sebagai permasalahan. 2. Klasifikasi Masalah Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melakukan aktivitas-aktivitas yang berhubungan dengan kegiatan yang membutuhkan suatu cara untuk melakukannya membutuhkan penalaran yang melibatkan ilmu matematika. Karena memang ilmu matematika tumbuh dan berkembang berdasarkan kebutuhan manusia dalam mengahadapi persoalan/hidup. Oleh karena itu permasalahan yang kita hadapi dapat dibedakan menjadi masalah yang berhubungan dengan masalah tranlasi, masalah aplikasi, masalah proses, dan masalah teka-teki. Masalah translasi merupakan masalah kehidupan sehari-hari yang untuk menyelesaikannya perlu adanya translasi (perpindahan) dari bentuk verbal ke bentuk matematika. Dalam memindahkan bentuk verbal (kata/kalimat) ke bentuk/model matematika membutuhkan kemampuan menafsirkan atau menterjemahkan kata atau kalimat biasa ke dalam simbol-simbol matematika yang selanjutnya dicari cara penyelesaiannya berdasarkan aturan yang berlaku. Dalam memindahkan bentuk verbal ke model matematika ada yang bersifat sederhana dan ada yang kompleks. Sederhana atau tidaknya tergantung dari informasi (data) yang ada, konsep matematika yang ada, dan banyaknya operasi hitung yang digunakan. Contoh berikut adalah bagaimana bentuk verbal diubah menjadi kalimat matematika. Contoh 1.3. memindahkan ke model matematika. a. Ani menabung di sekolah setiap harinya Rp. 500,00. Berapakah jumlah tabungan Ani setelah lima hari? Pada soal di atas kita harus dapat memindahkan/mengubah kata (pernyataan) “setiap harinya Rp 500,00 dan jumlah setelah lima hari”. Model matematika adalah : 500 + 500 + 500 + 500 + 500 atau diubah dalam kalimat perkalian 5 x 500 = 5 x 5 x (100) = 25 x 100 = 2500 Kesimpulan yang dapat dibuat dalam menjawab soal tersebut adalah: “Jika Ani menabung setiap harinya Rp 500,00, maka setelah lima hari jumlah tabungan Ani menjadi Rp 2.500,00 b. Dalam satu bulan tabungan Ani sudah berjumlah Rp 25.000,00, karena ada keperluan untuk beli buku tabungan tersebut diambil sebesar Rp 15.000,00. Berapakah sisa tabungan Ani sekarang? Kata kunci dalam soal tersebut adalah “berjumlah Rp 25.000,00 dan diambil sebesar Rp 15.000,00”. Kata “diambil” diartikan sebagai pengurangan, sehingga model matematika menjadi: 25000 – 15000 = ....



Pemecahan Masalah Matematika



7



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Contoh 1.4. masalah translasi sederhana dan kompleks. a. Masalah translasi sederhana: Harga 1 kg Apel Rp 10.000,00 dan harga 1 kg Jeruk Rp 8.000,00. Berapa rupiah Amir harus membayar jika ia membeli 5 kg Apel dan 3 kg Jeruk? b. Masalah Translasi Kompleks: Sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang mempunyai panjang dua kali lebarnya dan kelilingnya 1.500 m. Tanah tersebut ditanami kacang tanah yang masing-masing kacang tanah berjarak satu sama lain 10 cm. Pada perbatasan tanah tersebut juga ditanami. Bila satu kilogram kacang tanah tersebut berisi 1.500 butir kacang tanah, berapa kg kacang tanah yang dibutuhkan untuk menanami sebidang tanah tersebut. c. Kompleks atau tidaknya suatu maslah tergantung pada seberapa banyak informasi matematika yang termuat dalam masalah sehari-hari tersebut, seberapa banyak konsep matematika yang berbeda yang diperlukan , seberapa banyak operasi matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang dimaksud. Masalah aplikasi, merupakan penerapan berbagai teori/konsep yang dipelajari pada matematika. Sebagai guru perlu memberikan kesempatan pada siswa untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan bermacam-macam ketrampilan dan prosedur matematik. Dengan menyelesaikan masalah semacam itu siswa dapat menyadari kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya sebagai berikut: Contoh 1.5. Ida ingin memiliki handphone, uang yang dimilikinya terbatas, yaitu hanya Rp 1.025.000,00. Maka dari itu ia mensurvei harga handphone ke berbagai toko dan didapatkan harga sebagai berikut: Di toko A ditawarkan harga Rp 1.200.000,00 dengan potongan harga 15 %. Di toko B barang sama ditawarkan Rp 1.300.000,00 dengan potongan harga 20 %. Di toko manakah Ida harus membeli handphone yang sesuai dengan keadaan uangnya?



Masalah proses biasanya untuk menyusun langkah-langkah merumuskan pola dan strategi khusus dalam menyelesaikan maslah. Masalah semacam ini memberikan kesempatan siswa sehingga dalam diri siswa terbentuk keterampilan menyelesaikan masalah sehingga dapat membantu siswa menjadi terbiasa menyeleksi masalah dalam berbagai situasi . Dengan demikian siswa terbiasa dengan strategi penyelesaian masalah khusus, misalnya menyusun tabel, dan akan menggunakan waktu beberapa saat dalam menyelediki suatu permasalahan sehingga strategi tersebut dapat digunakan untuk mengembangkan penyelesaikan terhadap permasalahan yang dihadapi. Masalah proses misalnya: Contoh 1.6. Pak Ahmad meminjam uang di Koperasi Simpan Pinjam sebesar Rp. 12.000.000,00. Aturan bunga yang terapkan adalah bunga berjalan (tidak tetap) sebesar 12 % pertahun. Pak Ahmad akan mengembalikan selama 2 tahun secara dicicil. Berapakah besar bunga yang diberikan Pak Ahmad kepada Koperasi tersebut?



8



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Permasalahan ini dituntut untuk mengetahui rumus yang digunakan (dalam kasus tersebut adalah rumus Un deret aritmatika), untuk dapat menerapkan rumus harus dicari dulu suku pertama, suku kedua, dan beda suku pertama dengan suku kedua. Dengan demikian terlihatlah suatu proses yang agak rumit dalam menyelesaikan masalah tersebut. Masalah teka-teki dimaksudkan untuk rekreasi dan kesenangan serta sebagai alat yang bermanfaat untuk mencapai tujuan afektif dalam pengajaran matematika. Masalah teka teki dapat digunakan untuk pengantar suatu pembelajaran, seperti untuk memusatkan perhatian, untuk memberikan ganjaran (penguatan) atau mengisi waktu kelas yang sedang tidak ada pelajaran (waktu luang). Masalah teka-teki itu bervariasi sesuai dengan cabang matematika , seperti logika, bilangan, kombinatorik, geometri, probabilitas dll. Dalam masalah teka-teki biasanya tidak rumus atau cara khusus yang digunakan, akan tetapi apakah teka-teki masuk akal atau tidak. Contoh 1.7. a. Disediakan 6 batang korek api . Bentuklah 4 segitiga sama sisi yang setiap sisi segitiga itu 1 batang korek api (tidak dipotong-potong). Gambar seperti berikut.



b. Masukanlah bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 ke dalam kotak-kotak 3 x 3, sedemikian rupa sehingga jumlah bilangan mendatar, menurun, dan diagonal berjumlah 15. c. Bagaimanakah caranya agar 18 : 2 = 10 Dengan contoh-contoh permasalahan yang telah dikemukakan, perlu kita bedakan antara “masalah” dan “soal latihan”. Apabila kita mengajarkan ketrampilan matematika, misalnya menuliskan algoritma penjumlahan bilangan bulat dan pecahan desimal, maka siswa berlatih algoritma dalam bentuk simbol. Kegiatan semacam ini lebih baik dikatakan mengerjakan latihan soal. Dalam kegiatan menyelesaikan masalah siswa tidak sekedar mengerjakan algoritma, tetapi mereka menyusun strategi terlebih dahulu sehingga masalah itu dapat diselesaikan.



1. Perhatikan ilustrasi berikut ini. Ibu akan belanja pergi ke pasar untuk membeli kebutuhan sehari-hari, pada waktu akan berangkat melihat isi loketnya, ternyata tidak ada uangnya. Pertanyaan: a. Apakah Ibu terkena masalah? Jelaskan! b. Sebutkan alternatif tindakan Ibu selanjutnya !



Pemecahan Masalah Matematika



9



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



1 jam karena ada 4 kecelakaan, Ayah tiba di kantor pukul 07.45. Berapa lama sebenarnya perjalanan Ayah ke kantor?



2. Ayah pergi ke kantor pada pukul 07.00 diperjalanan terjebak macet selama



Soal tersebut dapat dikategorikan pada pemecahan masalah dalam bentuk apa? Jelaskan! 3. Disediakan 6 batang korek api . Bentuklah 4 segitiga sama sisi yang setiap sisi segitiga itu 1 batang korek api (tidak dipotong-potong). 4. Misalkan Budi sedang berdiri di salah satu titik sudut (A) lapangan bola seperti pada gambar di bawah ini. Ia akan pergi ke titik sudut C dengan memilih jalan yang terdekat. Jalan manakah yang ia pilih? Jelaskan! A



B



D



C



5. Jenis pengetahuan apakah yang harus kita miliki agar kita mampu menyelesaikan masalah? Petunjuk Jawaban Latihan 1. a. Ya, Ibu sedang terkena masalah, karena uang merupakan hal yang penting untuk berbelanja. b. Ibu tidak jadi berangkat kepasar, Ibu meminjam/meminta dulu uang, 2. Soal tersebut dikategorikan masalah translasi, karena tinggal memindahkan kalimat verbal ke 1  dalam kalimat matematika, seperti 07.45 – 07.00 -  x60  = ... 4  3. Cobalah Anda buat sebuah limas segitiga, seperti gambar berikut ini.



4. Budi harus melewati jalan AC, karena hanya itu jalan yang paling dekat dibandingkan dengan jalan ABC dan ADC. Hal tersebut dapat dibuktikan dengan dalil Phytagoras (c2 = a2 + b2 ) A



D



B



C



5. Jenis pengetahuan yang harus kita miliki agar kita mampu menyelesaikan adalah ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi. Kita harus memiliki ingatan yang baik berbagai konsep (sifat, aturan, teorema, rumus, dalil, dan hukum) yang terdapat pada ilmu matematika, memiliki pemahaman yang baik terhadap konsep, dapat menerapkan dalam berbagai situasi, mampu menganalisis, membuat kesimpulan, dan dapat mengevaluasi hasil pekerjaan kita.



10



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Kita sebagai guru harus menumbuhkan sikap positif dalam mengahadapi permasalahan kehidupan sehari-hari yang ada di sekeliling kita. Sikap positif tersebut antara laian: (1) berani menerima tantangan, (2) mau mencoba menyelesaikannya, (3) tidak lekas menyerah, dan (4) teramapil mengaplikasikan pengetahuan dan pemahaman matematika dalam kehidupan sehari-hari. Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah bagi seseorang, jika orang itu tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang segera dapat digunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut. Ini berarti pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin, pertanyaan tersebut dapat dimengerti, pertanyaan tersebut merupakan tantangan untuk dijawab yang sifatnya individu dan bergantung pada waktu. Pemecahan/penyelesaian masalah merupakan proses penerimaan tantangan dan kerja keras untuk menyelesaikan masalah tersebut. Jadi aspek penting dari makna masalah adalah bahwa penyelesaian yang diperoleh tidak dapat dikerjakan dengan prosedur rutin. Berpikir keras harus dilaksanakan untuk mendapatkan cara menyelesaikan suatu masalah. Kalkulasi/perhitungan sederhana dan aplikasi langsung rumus-rumus tidak dikualifikan sebagai permasalahan. Masalah dapat dibedakan dari masalah translasi, masalah aplikasi, masalah proses, dan masalah teka-teki.



Jawablah soal-soal berikut dengan memberi tanda silang pada huruf (A, B, C, atau D) jika: A jika pernyataan (1) dan (2) benar B jika pernyataan (1) dan (3) benar C jika pernyataan (2) dan (3) benar D jika pernyataan (1), (2), dan (3) benar 1. Amin membeli 3 kg telur, harga per kg nya Rp 8.000,00. Berapakah Amin harus membayar. Soal tersebut termasuk kategori ... (1) masalah rutin (2) masalah translasi (3) non rutin 2. Amin berangkat ke sekolah menggunakan sepeda, tiba-tiba di perjalanan ban sepedanya kempes. Tindakan Amin yang baik adalah ... (1) menitipkan sepedanya kepada orang yang ada di sekitarnya (2) menitipkan sepedanya kepada penambal ban (3) pulang kembali untuk menyimpan sepedanya



Pemecahan Masalah Matematika



11



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



3. Tinggi suatu pohon dapat diketahui dengan cara mengukur panjang bayangannya. Pengetahuan yang diperlukan untuk mengetahui tinggi pohon tersebut adalah ... (1) memahami konsep kesebangunan dalam segitiga (2) memahami sifat segitiga sama sisi (3) menggunakan alat ukur panjang 4. Dengan makin banyaknya kendaraan roda dua atau lebih, membuat perjalanan Ida menuju sekolah sering terlambat, maka dari itu Ida yang biasanya berangkat pukul 06.45 di majukan menjadi pukul 06.30 (1) berangkat ke sekolah bukan maslah bagi Ida (2) Ida sudah mengambil langkah tepat (3) Ida menghadapi maslah dalam berangkat ke sekolah 5. Pada hari Sabtu tanggal 17 Juni 2006 usia Budi tepat 5 tahun. Pada hari apakah Budi lahir 5 tahun yang lalu? Untuk mengetahui hari lahir Budi diperlukan perhitungan ... (1) jumlah hari dalam lima tahun terakhir (2) jumlah hari dalam lima tahun dibagi dengan bilangan tujuh (3) menghitung mundur dari sisa pembagian 6. Andri pergi sekolah pada pukul 06.30 tiba di sekolah pukul 06.55. Berapa lama perjalanan Andri? Model matematika yang dapat dibuat dari soal tersebut adalah ... (1) 06.55 – 06.30 = ... (2) 06.30 + x = 06.55 (3) 06.55 – x = 06.30 7. Aplikasi apakah untuk menyelesaikan soal berikut ini. Berapakah luas daerah lingkaran yang berdiameter 10 cm. (1) memcari jari-jari lingkaran (2) menerapkan rumus (3) menerapkan rumus 8. Pertandingan sepak bola Piala Dunia 2006 yang diikuti oleh 32 peserta dan dibagi dalam 8 group. Berapa peratandingan yang terjadi pada putaran pertama (yang diikuti oleh 32 kesebelasan yang dibagi dalam 8 group). Proses untuk menyelesaikan soal tersebut adalah ... (1) menghitung jumlah pertandingan dalam satu group (2) mengalikan dengan delapan (3) menetapkan pemenang-pemenang pertandingan



12



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



9. Seorang petani akan menyebrangi jembatan dengan membawa rumput, kambing, dan srigala. Dalam menyebrangi jembatan dia hanya dapat membawa satu jenis benda (misalnya hanya rumput saja, atau kambing saja, atau srigala saja). Bagaimana caranya petani tersebut menyebrangi jembatan agar rumput tidak dimakan kambing dan kambing tidak dimakan srigala sewaktu ditinggalkan (1) menyebrangkan kambing dan menyimpannya. (2) menyebrangkan srigala dan mebawa kembali kambing yang sudah disebrangkan (3) menyebrangkan rumput dan terakhir menyebrangkan kambing 10. Manusia yang diperlukan di masa yang akan datang adalah manusia yang ... (1) berani menerima tantangan (2) mampu berkompetisi (3) terampil menyelesaikan masalah



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



Pemecahan Masalah Matematika



13



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



LANGKAH-LANGKAH DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH



D



i dalam menyelesaikan masalah kita harus bekerja keras menerima tantangan untuk menyelesaikan masalah yang kita hadapi. Berbagai macam kemampuan berpikir yang kita miliki, seperti: ingatan, pemahaman dan penerapan berbagai teorema, aturan, rumus, dalil, dan hukum akan sangat membantu dalam penyelesaian suatu masalah matematika yang kita hadapi. Kemampuan dalam pemecahan masalah termasuk suatu ketrampilan, karena dalam pemecahan masalah melibatkan segala aspek pengetahuan (ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi) dan sikap mau meneriam tantangan. Seseorang yang sedang menghadapi masalah matematika harus ingat, mengerti, dan dapat menerapkan terhadap hal-hal yang terkait dengan masalah yang sedang dihadapinya. Misal, jika ia sedang melakukan pembelian suatu barang maka ia harus ingat terhadap konsep operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh 1.8. Amir membeli telur 2 kg dengan harga perkilogram Rp. 8.000,00. Berapa rupiah Amir harus membayar? Dalam contoh tersebut operasi hitung yang terlibat adalah “2 x 8000 atau 8000 + 8000”. Contoh 1.9. Amir membeli 2 kg telur, lantas Amir membayarnya Rp. 16.000,00. Berapakah harga 1 kg telur? Untuk kasus tersebut operasi hitung yang terlibat adalah pembagian, yaitu “2 x n = 16000 ; 16000 : 2 = n”. Contoh 1.10. Amir mengetahui harga 1 kg telur Rp. 8.000,00 lantas ia mengambil satu kantong yang harganya Rp. 16.000,00. Berapa kg Amir membeli telur? Untuk masalah ini operasi hitung yang terkait adalah operasi hitung pembagian atau pengurangan, yaitu: “16000 : 8000 atau 16000 – 8000 – 8000”.



14



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Lebih jauh lagi seorang yang sedang menghadapi masalah matematika harus dapat menganalisis, mengsintesis, dan mengevaluasi hasil kinerjanya sehingga ia yakin benar akan hasil kinerjanya. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: (1) memahami soal, (2) memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. Dalam memahami soal, kita harus memahami dan mengidentifikasi apa fakta atau informasi yang diberikan, apa yang ditanyakan, diminta untuk dicari, atau dibuktikan. Dalam memilih pendekatan atau strategi pemecahan, misalkan mengambarkan masalah dalam bentuk diagram, memilih dan menggunakan pengetahuan aljabar yang diketahui dan konsep yang relevan untuk membentuk model atau kalimat matematika. Dalam menyelesaikan model, kita melakukan operasi hitung secara benar dalam menerapkan strategi, untuk mendapatkan solusi dari masalah. Dan menafsirkan solusi, yaitu kita harus memperkirakan dan memeriksa kebenaran jawaban, masuk akalnya jawaban, dan apakah memberikan pemecahan terhadap masalah semula. Berikut adalah diagram alur matematika sebagai cara memecahkan masalah yang dikutip dari Pusat Kurikulum Depdiknas (2003), seperti berikut ini. SITUASI MASALAH ATAU SOAL NYATA



Penyederhanaan



pemeriksaan hasil



SOLUSI



transformasi



interpretasi



matematisasi PERUMUSAN MASALAH



MODEL MATEMATIKA



Matematika sebagai cara memecahkan masalah Pada diagram pemecahan masalah di atas, soal atau masalah nyata disederhanakan (simplifikasi) kemudian dirumuskan atau diformulasikan ke dalam soal yang bisa diselesaikan secara matematika, lalu proses matematisasi yaitu proses menyatakan soal ke dalam bahasa matematika sehingga diperoleh model matematika. Melalui transformasi atau penyelesaian secara matematis diperoleh solusi (jawab atau pemecahan) dari model matematika. Solusi ini kemudian ditafsirkan atau diinterpretasikan sebagai penyelesaian masalah matematikanya. Kita, sebagai pemecah masalah perlu memeriksa kebenaran atau masuk akalnya jawaban terhadap masalah semula.



Pemecahan Masalah Matematika



15



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Kita perlu perencanaan yang berupa langkah-langkah sistematik untuk menyelesaikan masalah tersebut.Untuk memahami suatu masalah kita dapat membuat pertanyaan-pertanyan sebagai berikut: a. Bacalah dan bacalah berulang kali masalah tersebut. Pahami kata demi kata, kalimat demi kalimat. b. Identifikasi apa yang diketahui dari masalah tersebut c. Identifikasi apa yang hendak dicari d. Abaikan hal-hal yang tidak relevan dengan permasalahan e. Jangan menambahkan hal-hal yang tidak ada sehingga masalahnya menjadi berbeda dengan masalah yang kita hadapi. Contoh 1.11. Ali menyimpan baju dalam almari yang berwarna putih dan biru, di dalam almari tersebut ada delapan baju berwarna putih dan dua baju berwarna biru. Berapa baju yang harus diambil Ali paling sedikit dari dalam almari tersebut dengan tanpa melihat (ruangan dalam keadaan gelap), sehingga ia mendapatkan dua baju yang sama warnanya? Jawab: Data yang tidak relevan adalah banyaknya baju dalam almari, sedangkan data yang relevan adalah 8 baju putih dan 2 baju biru. Analisis! Apa yang akan terjadi jika Ali mengambil dua baju, tentu bisa sama atau bisa berbeda, jika berbeda warna maka Ali harus mengambil satu baju lagi. Jadi ali perlu mengambil tiga baju sekali-gus. Di dalam merencanakan penyelesaian masalah seringkali diperlukan kreativitas. Sejumlah strategi dapat membantu kita untuk merumuskan suatu rencana penyelesaian suatu masalah. Strategi tersebut antara laian: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru. Pada pelaksanaan pemecahan masalah strategi-strategi tersebut tidak berdiri sendiri, melainkan dapat digunakan lebih dari satu strategi. Berikut adalah contohcontoh penyelesaian pemecahan soal/masalah. (1) Membuat Tabel Contoh 1.12. Harga satu buku Matematika Rp 8.000,00 dan harga satu buku IPA Rp 7.000,00. Amin membeli 10 buku Matematika dan buku IPA, ia membayarnya Rp 74.000,00. Berapakah Amin membeli buku Matematika dan Berapakah buku IPA? Jawab.



Susunan Matematika IPA 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1



Harga Matematika IPA 8000 63000 16000 56000 24000 49000 32000 42000 40000 35000 48000 28000 56000 21000 64000 14000 72000 7000



Harga Total 71000 72000 73000 74000 75000 76000 77000 78000 79000



Jadi, dengan melihat tabel di atas Amin membeli buku Matematika sebanyak 4 buku dan buku IPA sebanyak 6 buku.



16



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Contoh 1.13. Hasil Tes Formatif Matematika kelas VI SD Sukamaju sebagai berikut: 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 9, 4, 5, 6, 7, 8, 6, 7, 8, 9, 8, 8, 6, 6. Berapakah rata-ratanya dan berapa persen yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 7? Jawab



Nilai (x)



Jml (f)



4 5 6 7 8 9



1 3 7 4 6 4



Jumlah



25=N



Rata-rata =



f.x



%



4 15 42 28 48 36 17 3



4 12 28 16 24 16 10 0



Kumulatif %



Kumulatif f Atas 1 4 11 15 21 25



Bawah 25 24 21 14 10 4



Atas 4 16 44 60 84 100



Bawah 100 96 84 56 40 16



∑ f.x = 173 = 6.92 N



25



Yang mendapat nilai ≥ 7 adalah 14 orang atau 56 % (2) Membuat Gambar Contoh 1.14. Suatu kelompok siswa yang terdiri dari 25 anak. 18 anak menyukai matematika dan 20 anak menyukai IPA. Berapa anak yang menyukai kedua-duanya? Jawab Diagram Venn Mat IPA



5



Pemecahan Masalah Matematika



13



7



17



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



(3) Menduga, Mencoba, dan Memperbaiki Contoh 1.15. Masukanlah bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 pada lingkaran yang disediakan di bawah ini, dengan syarat bilangan yang berdekatan tidak boleh berurutan (misal 1 dan 2, 2 dan 3, 3 dan 4, 4 dan 5 tidak boleh berdekatan)



Jawab Coba-cobalah dengan cara menduga berbagai kemungkinan dan memperbaikinya jika terjadi kesalahan.



(4) Mencari Pola Contoh 1.16 Isilah soal berikut dengan menentukan pola terlebih dahulu 5 x 5 = 25



25



15 x 15 = 225 [( 1 x 1) + 1 ] = 2



25



25 x 25 = 625 [( 2 x 2) + 2] = 6



25



35 x 35 = [( ... x ...) + ... ] = 12



25



45 x 45 = ... Jawab Pola dari perkalian 45 x 45 = [4 x 4) + 4) = 20, angka 20 dijadikan ribuan dan ratusan, sehingga menjadi 2025. Jadi 45 x 45 = 2025



18



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



(5) Mengguanakan Penalaran Contoh 1.17 Jika 16 buku berharga Rp 200.000,00, maka berapakah harga 20 buku? Jawab. Jika 16 buku berharga Rp 200.000,00, harga 20 buku adalah: 20 x 200000 = 250000 16



Jadi harga 20 buku adalah Rp 250.000,00 (6) Menggunakan Variabel dan Persamaan Contoh 1.18 Seorang peternak ayam dan sapi tidak ingin ternaknya diketahui secara pasti. Ketika ada yang bertanya dengan pertanyaan “berapakah jumlah ayam dan sapi yang bapak miliki?”. Peternak menjawab “Ternak saya jumlah kepalanya ada 65 sedangkan kaki-kakinya ada 180, silakan Anda cari sendiri berapakah ayam dan sapi yang saya miliki”. Jawab Misalkan ayam = x dan sapi = y, maka didapatkan 2 persamaan: Kepala (persamaan 1): x + y = 65 Kaki (persamaan 2): 2x + 4y = 180 (persamaan 1) menjadi x = 65 –y (persamaan 1 dimasukan ke persamaan 2) menjadi: 2(65 – y) + 4y = 180 130 – 2y + 4y = 180 2y = 50 y = 25 (y = 25 dimasukan ke persamaan 1): x + y = 65 x + 25 = 65 x = 40 Jadi x (ayam) = 40 dan y (sapi) = 25



Pemecahan Masalah Matematika



19



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Contoh 1.19. Perhatikan gambar berikut ! Berapakah rupiah harga sebuah gunting dan sebuah pulpen? Rp. 357.000,00 Rp. 266.000,00 Jawab



Misalkan harga sebuah gunting = x dan harga sebuah pulpen = y, maka didapatkan 2 persamaan: (1)



4x + 3y = 266000



(2)



3x + 6y = 357000



(kalikan dengan 2)



(1)



8x + 6y = 532000



(2)



3x + 6y = 357000 – 5x + 0 = 175000 x = 35000



x = 35000 masukan ke salah satu persamaan (1) atau (2) Persamaan (1) 4x + 3y = 266000 4(35000) + 3y = 266000 140000 + 3y = 266000 3y = 126000 y = 42000 Pemeriksaan: 4(35000) + 3(42000) = 266000 pernyataan yang benar Jadi harga gunting (x) = Rp 35.000,00 dan harga sebuah pulpen (y) = Rp 42.000,00



20



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



(7) Menggunakan Algoritma Contoh 1.20. Bilangan terbesar berapakah yang dapat membagi bilangan 45 dan 120? Jawab Untuk menjawab soal tersebut salah satunya dapat dilakukan dengan cara mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Algoritma Euclid, yaitu: FPB (45, 120) = 120 = 2 x 45 + 30;



FPB (30, 45) =



45 = 1 x 30 + 15;



FPB (15, 30) =



30 = 2 x 15 + 0 Jadi FPB (45, 120) adalah 15 Pemeriksaan: 45 : 15 = 3 dan 120 : 15 = 8 (8) Menggunakan Sifat-Sifat Bilangan Contoh 1.21. Amin mempunyai tabungan di Bank Nusa Indah sebesar Rp 2.500.000,00, tetapi ia mempunyai hutang ke Toko Sumber Rejeki sebesar Rp 1.050.000,00. Berapa rupiah Amin mempunyai uang sebenarnya? Jawab Salah satu cara untuk mengetahui jawaban soal tersebut adalah dengan cara mengetahui sifat invers bilangan bulat, yaitu a + (-a) = 0 x = 2500000 + (- 1050000) x = (1450000 + 1050000) + (-1050000) x = 1450000 + [1050000 + (- 1050000)] x = 1450000 + 0 x = 1450000 Jadi Amin sebenarnya mempunyai uang sebesar Rp 1.450.000,00



Pemecahan Masalah Matematika



21



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



(9) Menggunakan Rumus Contoh 1.22. Satu kolam renang berbentuk seperti gambar di bawah ini. Dengan keterangan: panjang 25 m, lebar 10 m, yang paling dalam 3 m dan yang paling dangkal 1 m sepanjang 5 m. Berapakah air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?



I II



III



Jawab Volume Balok (I): Panjang 5 m, lebar 10 m, tinggi 3 m Rumus: p x l x t 25 x 10 x 3 = 750 m3 Volume Balok (II): 5 x 10 x (3-1) = 100 m3 Volume Setengah Balok (III) :



( 25 − 5) x (10) x (3 − 1) 20 x10 x 2 = = 200m 3 2 2



(Volume I) – (Volum II) – (Volume III) = 750 – 100 – 200 = 450 m3 450 m3 = 450.000 dm3 = 450.000 liter Jadi Air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut adalah 450.000 liter. (10) Menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru. Contoh 1.23. Tiang bendera di depan sekolah talinya putus, dengan demikian talinya harus diganti dengan yang baru. Berapakah ukuran panjang tali yang diperlukan dengan tidak mengukur secara langsung panjang tiang bendera? Jawab Kita pandang tiang bendera sebagai salah satu sisi segitiga siku-siku yang akan dicari ukuran panjangnya, lantas tentukan salah sati titik untuk menancapkan tiang pendek (misalnya 2 m), pada ujung puncak tiang 2 m tersebut pasang tongkat yang bila ditarik garis lurus akan menyentuh ujung tiang bendera. Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut. D



E



A B



22



C



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Misalkan AB = 3 m, AC = 8 m, dan BE = 2 m Berlaku: AB BE AE = = AC CD AD 3 2 = 8 CD



3 CD = 16 1 CD = 5 m 3 1 Jadi panjang CD (tiang bendera) = 5 m. Karena tali yang diperlukan untuk mengerek 3



1 bendera sebanyak dua kali lipat, maka tali yang diperlukan haruslah 2 x 5 = 3 2x



16 32 2 = = 10 m 3 3 3



1. Sebidang persegi panjang salah satu sisinya 4 m, sedangkan sisi yang lain panjangnya dua kali lipat. Berapakah luas dan kelilingnya? Dari soal tersebut, informasi apa yang diberikan, apa yang hendak diketahui, dan sebutkan rumus yang terkait ! 2. Amir dan Budi dua saudara. Amir dan Budi menabung di celengan yang sama hingga mencapai Rp 320.000,00. Amir merasa telah memasukan uang Rp 170.000,00, sedangkan Budi merasa telah memasukan uang sebesar Rp 220.000,00. Setelah bermusyawarah mereka setuju untuk membagi sama sisa uang yang menjadi milik bersama. Berapakah hasil tabungan mereka masingmasing? 3. Ayah dan Anak mencangkul bersama-sama sebidang tanah menghabiskan waktu 6 jam, sedangkan kecepatan bekerja Ayah tiga kali lipat dari pada Anaknya. Berapa waktu yang diperlukan jika pekerjaan itu diselesaikan secara terpisah, baik oleh Ayah maupun oleh Anaknya? 4. Dua tahun yang lalu umur Ayah 6 kali umur anaknya, dan 18 tahun kemudian umur Ayah akan menjadi dua kali umur anaknya. Tentukan umur mereka masing-masing!



Pemecahan Masalah Matematika



23



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Petunjuk Jawaban Latihan 1. Informasi yang diberikan: panjang sisi 4 m dan sisi lain 2.(4 m)= 8 m Yang hendak diketahui: Luas dan keliling persegi panjang Rumus yang terkait: Luas = panjang x lebar Keliling = 2 (panjang) + 2 (lebar) 2. Dengan membuat gambar didapat:



Budi Amir



100.000



70.000



150.000



Karena sudah sepakat yang milik bersama dibagi dua, maka: Uang Amir: 100.000 + (70.000 : 2) = 135.000 Uang Budi : 150.000 + (70.000 :2) = 185.000 Dengan cara lain didapatkan: Misalkan Uang Amir (A) dan uang Budi (B): n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – (A ∩ B) 320.000 = 170.000 + 220.000 - (A ∩ B) (A ∩ B) = 390.000 – 320.000 (A ∩ B) = 70.000 Uang milik Amir : 170.000 – 70.000 + (70.000 : 2) = 135.000 Uang milik Budi : 220.000 – 70.000 + (70.000 : 2) = 185.000 3. Waktu yang dibutuhkan Ayah : 6 :



3 4 = x6 = 8 jam 4 3



1 4 = x 6 = 24 jam 4 1 4. Misalkan umur Ayah = x , dan umur Anak = y, diperoleh persamaan: (1) (x – 2) = 6(y – 2) x – 2 = 6y – 12 x – 6y = -10 ⇔ ⇔ (2) (x + 18) = 2(y + 18) x + 18 = 2y + 36 x – 2y = 18 ⇔ ⇔ Jika x = -10 + 6 y (persamaan 1), maka (persamaan 2) = (-10 + 6y) – 2y = 18



Waktu yang dibutuhkan Anak: 6 :



24



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



4y = 28 y=7 Untuk y = 7 persamaan (1) = x – 6(7) = -10 x = 32 Jadi umur Ayah sekarang 32 tahun dan umur Anaknya 7 tahun



Kemampuan dalam pemecahan masalah termasuk suatu ketrampilan, karena dalam pemecahan masalah melibatkan segala aspek pengetahuan (ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi) dan sikap mau menerima tantangan. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: (1) memahami soal, (2) memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. Untuk memahami suatu masalah kita dapat membuat pertanyaan-pertanyan sebagai berikut: a. Bacalah dan bacalah berulang kali masalah tersebut. Pahami kata demi kata, kalimat demi kalimat. b. Identifikasi apa yang diketahui dari masalah tersebut c. Identifikasi apa yang hendak dicari d. Abaikan hal-hal yang tidak relevan dengan permasalahan e. Jangan menambahkan hal-hal yang tidak ada sehingga masalahnya menjadi berbeda dengan masalah yang kita hadapi. Sejumlah strategi dapat membantu kita untuk merumuskan suatu rencana penyelesaian suatu masalah, yaitu: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru, dll. Pada pelaksanaan pemecahan masalah strategi-strategi tersebut tidak berdiri sendiri, melainkan dapat digunakan lebih dari satu strategi.



Pemecahan Masalah Matematika



25



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat ! 1. Saya mempunyai selembar kertas dengan ukuran 40 cm x 40 cm, bila akan dibuat suatu kotak kue tanpa tutup, maka gambarnya jaring-jaring kotak tersebut adalah...



B



A



C



D



2. Jika harga 2 kg telur Rp 10.000,00, maka harga 8 kg telur adalah ... A. 8 x Rp 5.000,00 B.



2 xRp10.000,00 8



C.



8 xRp10.000,00 2



D. Rp 5.000,00 x 8



3. Ayah telah mempunyai pagar sepanjang 40 m untuk memagari kandang itik (berbentuk persegipanjang) di belakang rumahnya ada tembok belakang dapat dijadikan salah satu sisi persegi panjang. Berapakah ukuran yang dapat dibuat agar ukuran luas persegi panjang tersebut yang paling luas? Salah satu sisi persegipanjang tersebut adalah ... A. 5 m C. 12 m B. 10 m D. 15 m 4. A dan B berjalan mengelilingi lapangan sepak bola yang kelilingnya 1 km. A membutuhkan waktu 6 menit sedang B membutuhkan 10 menit. Apabila mereka start dan dalam waktu yang sama, dalam berapa menit mereka berpapasan jika mereka start dalam berlawanan arah? A. 3 menit C. 3,75 menit B. 3,5 menit D. 4 menit



26



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



5. Seorang Bapak meninggal dunia dengan meninggalkan ahli waris: seorang Istri, 2 anak laki-laki, dan 3 anak perempuan. Harta peninggalannya berupa 1 ha tanah dan uang sebesar Rp. 1 dari total harta peninggalan, sedangkan anak laki-laki 8 mendapat dua bagian dibanding anak perempuan dari sisa harta. Berapakah bagian masingmasing (istri, anak laki-laki, dan anak perempuan). Yang diketahui (informasi) dari soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali ... A. Keluarga yang ditinggalkan anak dan istri B. Harta yang ditinggalkan tanah 10000 m2 dan uang 100 juta rupiah C. Istri mendapat seperdelapan bagian D. Satu orang anak laki-laki mendapat 25 juta rupiah dan 2500 m2



100.000.000,00. Jika istri mendapat



6. Seorang pengusaha sewaan becak dan sepedah tidak ingin tetangganya mengetahui berapa banyak becak dan sepedah yang ia punyai secara khusus, maka ketika tetangganya bertanya, ia menjawab, “Aku mempunyai 69 becak dan sepedah sedangkan jumlah bannya 183”. Berapakah banyaknya becak dan berapakah banyak sepedah yang dipunyai pengusha tersebut ? Strategi untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali ... A. harus menggambar becak dan sepeda B. menggunakan dua variabel C. membuat dua persamaan D. menyelesaikan persamaan dengan menggunakan teknik eliminasi 7. Tanah yang berbentuk persegi panjang mempunyai keliling 50 m dan luasnya 150 m2. Berapakah panjang dan lebarnya? Untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali ... A. mengetahui rumus keliling dan luas persegi panjang B. membuat persamaan berdasarkan apa yang diketahui C. menyelesaiakan persamaan kuadrat yang terbentuk oleh operasi aljabar D. memperkirakan panjang dan lebarnya 8. Persamaan kuadrat yang terbentuk dari gambar di bawah ini adalah ... A. x2 + 14 x – 480 = 0 B. x2 + 14 x – 34 = 0 34 C. x2 + 14 x + 34 = 0 x + 14 D. x2 + 14 x + 480 = 0 x



9. Berapa bulan yang diperlukan untuk membayar hutang Rp 1.000.000,00, bila bulan pertama dibayar Rp 25.000,00, bulan kedua Rp 30.000,00, bulan ketiga Rp 35.000,00 dst. A. 15 bulan C. 20 bulan B. 16 bulan D. 25 bulan



Pemecahan Masalah Matematika



27



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



10. Ada berapa cara dua hadiah dapat diberikan kepada 10 konstestan apabila kedua hadiah tidak boleh jatuh kepada orang yang sama. A. 10 cara B. 20 cara C. 90 cara D. 100 cara



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



28



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



KUNCI JAWABAN Tes Formatif 1 1. A 2. C 3. D 4. A 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 10. D Tes Formatif 2 1. B 2. C 3. B X



Luas



5



10



12



15



150



200



192



150



4. C. Misalkan x = waktu yang dicari dalam menit 1 1 x + x = 1 km 6 10 5 3 x + x =1 30 30



5. 6. 7. 8.



15 3 menit = 3 menit 4 4 D A D A (x + 14)2 + (x)2 = (34)2 x2 + 28x + 196 + x2 = 1156 2x2 + 28x – 960 = 0 x2 + 14 x – 480 = 0



Pemecahan Masalah Matematika



29



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



9. B Diketahui a = 25000 dan b = (30000 – 25000) = 5000 Ditanyakan banyaknya bulan pembayaran (n) Sn =



n [2a + (n − 1)b] 2



1.000.000 =



n [2(25.000) + (n − 1)5.000] 2



1.000.000 =



n [50.000 + 5.000n − 5.000] 2



n [45.000 + 5.000n] 2 1.000.000 = 22.500n + 2.500n2 n2 + 9n – 400 = 0 n = 16 atau n = -25 Jadi n yang mungkin adalah 16 (banyaknya bulan untuk membayar hutang Rp 1.000.000,00



1.000.000 =



10. C Tahap pertama ada 10 cara, dan tahap kedua ada 9 cara, sehingga jumlah seluruhnya adalah 10 x 9 = 90



30



Pemecahan Masalah Matematika



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



GLOSARIUM algoritma



: suatu tata cara yang sistematis untuk menemukan jawaban dari suatu soal. Setiap langkah harus jelas letaknya. aplikasi : penerapan identifikasi : 1. tanda kenal diri; bukti diri; 2. penentu atau penetapan identitas seseorang, benda, dsb interpretasi : menterjemahkan komprehensif : pemahaman matematisasi : proses mengubah kalimat biasa ke model matematika non rutin : tidak biasa rutin : biasa simplikasi : menyederhanakan solusi : penyelesaian transformasi : perubahan rupa (bentuk, sifat, fungsi, dsb) translasi : terjemahan variabel : sesuatu yang belum tentu



Pemecahan Masalah Matematika



31



Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah



DAFTAR PUSTAKA Billstein, Rick, Shlomo Lebeskind, Johnny W. Lott. A Problem Solving Approach to Mathematics For Elementary School Teachers (Fifth Edition). Addison-Wesley Publishing Company. TT Herman Hudoyo dan Akabar Sutawidjaja (1996/1997), Matematika, Depdikbud, Jakarta. Pusat Kurikulum Depdiknas, Kurikulum Matematika Sekolah Dasar tahun 2004 Tim MKPBM Jurusan Pendidikan Matematika (2001), Common Text Book Strategi Pembelajaran Matematika Kontempor. UPI, Bandung Wheeler, R.E. (1992). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth.



32



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA



P



eranan guru dalam proses pembelajaran di tingkat sekolah dasar sangat penting adanya, karena siswa belum menyadari akan pentingnya belajar dan mereka belum bisa berpikir secara formal. Oleh karena itu masyarakat umum sering beranggapan, bahwa keberhasilan belajar siswa di tingkat sekolah dasar banyak ditentukan oleh gurunya. Seorang guru yang profesional hendaknya mengenali secara baik komponen-komponen pembelajaran, karena itulah pembahasan pada bahan belajar mandiri ini akan difokuskan pada komponen-komponen pembelajaran, seperti: Tujuan dan karakteristik matematika, kendala dalam belajar matematika, karakteristik siswa sekolah dasar, metode pembelajaran, dan hasil pembelajaran. Secara khusus tujuan yang akan dicapai setelah belajar bahan belajar mandiri ini, Anda dapat: 1. menjelaskan tujuan belajar matematika 2. menjelaskan karakteristik materi matematika 3. menjelaskan kendala yang sering ditemukan dalam belajar matematika 4. menjelaskan karakteristik siswa sekolah dasar 5. menyebutkan berbagai metode yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika. 6. menjelaskan hasil belajar matematika Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya. 2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini.



Pemecahan Masalah Matematika



33



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



TUJUAN DAN KARAKTERISTIK BELAJAR MATEMATIKA 1. Tujuan Belajar Matematika atematika adalah salah satu alat berpikir, selain bahasa, logika, dan statistika (Suriasumantri, 1999 : 167). Di pihak lain matematika merupakan ilmu yang berperan ganda, yakni sebagai raja dan sebagai pelayan ilmu. Sebagai raja, matematika merupakan bentuk logika paling tinggi yang pernah diciptakan oleh pemikiran manusia, sedangkan sebagai pelayan, matematika menyediakan sistem logika serta model-model matematika dari berbagai segi kegiatan keilmuan. Menurut Russeffendi, matematika sebagai: ilmu deduktif, bahasa, seni, ratunya ilmu, ilmu tentang struktur yang terorganisasikan, dan ilmu tentang pola dan hubungan (Ruseffendi, 1997 : 7374)



M



Matematika disebut ilmu deduktif, sebab dalam matematika tidak menerima generalisasi yang berdasarkan pada observasi, eksperimen, coba-coba (induktif) seperti halnya ilmu-ilmu lain. Kebenaran generalisasi dalam matematika harus dapat dibuktikan secara deduktif. Matematika adalah bahasa, sebab matematika merupakan bahasa simbol yang berlaku secara universal (internasional) dan sangat padat makna dan pengertian. Sebagai seni, dalam matematika terlihat adanya keteraturan, keterurutan dan konsisten, sehinga matematika indah dipandang dan diresapi seperti hasil seni. Sedangkan sebagai ratunya ilmu, matematika adalah bahasa, ilmu deduktif, ilmu tentang keteraturan, ilmu tentang sruktur yang terorgasisaikan dengan baik dan merupakan pelayan ilmu lainnya. Soedjadi (2000) memberikan enam definisi atau pengertian tentang matematika, yaitu: (1) Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir dengan baik, (2) Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, (3) Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, (4) Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk, (5) Matematika adalah pengetahuan tentang strukturstruktur yang logik, dan (6) Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat. Dalam Kurikulum SD 2004, matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika sederhana yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi bilangan, pengukuran dan geometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel. Dan tujuan pembelajaran matematika adalah:



34



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



(1) Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi. (2) Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba. (3) Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah (4) Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan Dari tujuan di atas jelaslah bahwa belajar matematika tidak sekedar dapat menyelesaian suatu soal melalui berbagai operasi hitung, tetapi lebih jauh dari itu, seperti yang telah disebutkan di atas. Seorang guru dituntut untuk dapat memilih strategi atau pendekatan model proses pembelajaran yang dapat diartikan sebagai perbuatan, atau suatu kebijakan dari guru yang menyangkut penyajian materi pelajaran supaya anak didik atau siswa mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Kebijakan itu mencakup kegiatan guru, kegiatan siswa dan interaksi antara guru dan siswa. Hal tersebut sesuai dengan perannya, yaitu sebagai: (1) demonstrator, (2) pengelola kelas, (3) mediator dan fasilitator, dan (4) evaluator. Sesuai dengan profesinya yang berhubungan dengan pengelola kelas (pengelola pembelajaran), seorang guru dituntut untuk mengembangkannya, yaitu harus menyadari bahwa profesinya menuntut kompetensi atau kemampuan yang lebih. Adapun yang berhubungan dengan kompetensi atau kemampuan guru, yaitu: (1) Mengembangkan kepribadian; (2) Menguasai landasan kependidikan; (3) Menguasai bahan pengajaran; (4) Menyusun program pengajaran; (5) Melaksanakan program pengajaran; (6) Menilai hasil dan proses belajar-mengajar yang telah dilaksanakan; (7) Menyelenggarakan program bimbingan; (8) Menyelenggarakan administrasi sekolah; (9) Berinteraksi dengan sejawat dan masyarakat; dan (10) Menyelenggarakan penelitian sederhana untuk keperluan pengajaran. Adapun kemampuan yang secara langsung terlibat dalam proses pembelajaran adalah: (1) menguasai bahan pengajaran; (2) menyusun program pengajaran; (3) melaksanakan program pengajaran, dan (4) menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan. Dalam menguasai bahan pengajaran, berdasarkan kurikulum SD 2004 guru dituntut menguasai kemampuan matematika yang dipilih dalam Standar Kompetensi. Kompetensi tersebut dirancang sesuai dengan kemampuan dan kebutuhan siswa agar dapat berkembang secara optimal, serta memperhatikan pula perkembangan pendidikan matematika di dunia sekarang ini. Untuk mencapai kompetensi tersebut dipilih materi-materi matematika dengan memperhatikan struktur keilmuan, tingkat kedalaman materi, serta sifat esensial materi dan keterpakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Secara rinci, standar kompetensi tersebut, adalah sebagai berikut, yaitu: (1) Bilangan, yang mencakup: melakukan dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah dan menaksir operasi hitung (2) Pengukuran dan Geometri, yang mencakup: mengidentifikasi bangun datar dan bangun ruang menurut sifat, unsur, atau kesebangunannya, melakukan operasi hitung yang melibatkan keliling,



Pemecahan Masalah Matematika



35



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



luas, volume, dan satuan pengukuran, menaksir ukuran (misal: panjang, luas, volume) dari benda atau bangun geometri, menentukan dan menggambarkan letak titik atau benda dalam sistem koordinat (3) Pengelolaan Data, yang mencakup: Mengumpulkan, menyajikan, dan menafsirkan data (ukuran pemusatan data) Sebelum melakukan kegiatan pembelajaran, guru dituntut untuk menyusun program pembelajaran, agar proses pembelajaran terarah dan hasil yang akan dicapai maksimal. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam perencanaan proses pembelajaran ini antara lain adalah: (1) mengkaji konsep yang akan dipelajari siswa, (2) mengidentifikasi indikator keberhasilan yang diharapkan dapat dikuasai siswa, (3) mengidentifikasi berbagai keterampilan prasyarat yang akan ditinjau kembali sebelum mengenal konsep baru, (4) memilih metode dan media yang akan digunakan untuk menjelaskan konsep, (5) memikirkan macam kegiatan latihan yang akan digunakan untuk meningkatkan penguasaan, (6) mencari cara menilai keberhasilan proses pembelajaran (Sutawidjaja, 1992/1993 : 4). Dalam melaksanakan program pengajaran, hal-hal yang perlu diperhatikan antara lain sebabagai berikut: (1) mengatur ruangan kelas, jika diperlukan guna menghindari gangguan yang mungkin terjadi, (2) mengusahakan peran siswa aktif , (3) mengenal dan menyelesaikan kesulitan belajar siswa, (4) menyampaikan konsep matematika secara tepat, (5) menyesuaikan kecepatan dan arah pembelajaran guru dengan kelompok siswa, (6) Mengusahakan suatu iklim pembelajaran yang dapat menerima kesalahan sebagai bagian dari proses belajar, dan siswa secara bebas untuk bertanya, (7) mendorong siswa untuk mau belajar matematika, (8) mengembangkan sikap positif siswa terhadap matematika, (9) memilih dan menggunakan metode yang cocok untuk tujuan perilaku dan konsep yang telah ditentukan (Sutawidjaja, 1992/1993 : 7-8) Dalam suatu proses pembelajaran guru perlu mengetahui hasil kinerjanya, yang berupa berbagai kemampuan yang dapat dikategorikan sebagai aspek kognitif (cognitive), aspek afektif (affective), dan aspek keterampilan (psykomotoric). Aspek kognitif, yaitu aspek yang berkenaan dengan kemampuan berpikir dari tingkatan yang rendah sampai tingkatan yang lebih tinggi, yaitu : pengetahuan (knowledge), pemahaman (comprehension), penerapan (aplication), analisis (analisys), sintesis (synthesis), dan evaluasi (evaluation). Aspek Apektif (affective) adalah hal-hal yang berhubungan dengan sikap(attidute) sebagai manifestasi dari minat (interest), motivasi (motivation), kecemasan (anxiety), apresiasi perasaan (emosional appreatiation), penyesuaian diri (self adjusment), bakat (aptitude), dan semacamnya. Aspek keterampilan (psykomotoric) mencakup gerakan sederhana sampai kompleks, seperti: gerakan refleks, gerakan dasar, gerakan keterampilan, dan gerakan komunikasi (Ruseffendi, 1992). Semua aspek-aspek tersebut tidaklah berdiri sendiri, melainkan saling mempengaruhi satu dengan yang lainnya. Misalkan dalam menyelesaiakan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari semua aspek tersebut terlibat, dimulai dari aspek kognitif, afektif dan psikomotor. Maka dari itu dalam menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan haruslah ditujukan pada keberhasilan apek kognitif, afektif, dan psikomotor. Dengan kata lain keberhasilan proses pembelajaran tidak dapat diwakili oleh salah satu aspek saja, melainkan terintegrasi dalam semua aspek.



36



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran pemecahan masalah matematika dapat dikatakan sebagai muara dalam belajar matematika, sebab berbagai aspek (kognitif, afektif,dan psikomotor) terlibat di dalamnya. Misalnya, jika kita sedang mengahadapi permasalahan dengan pengukuran luas/keliling suatu bangun geometri, dibutuhkan aspek kognitif seperti pengetahuan, pemahaman, dan aplikasi rumus. Di pihak lain kita dituntut untuk menerima permasalahan sebagai suatu tantangan yang harus dicarikan solusinya, dan akhirnya kita harus mempunyai kemampuan untuk melaksanakan pemecahan masalah dalam bentuk perbuatan yang nyata. 2. Karakteristik Belajar Matematika Materi pelajaran matematika termasuk materi yang abstraks, oleh karenanya hanya orangorang yang dapat berpikir abstraks saja yang dapat mempelajari matematika. Bagi siswa sekolah dasar akan kesulitan belajar matematika, jika gurunya tidak menyesuaikan dengan kemampuan berpikir siswa-siswanya (siswa SD yang berusia di bawah 11 tahun pada umumnya belum dapat berpikir abstraks). Karena sifat abstraksnya itu maka guru harus memulai dalam belajar matematika dari konkrit (nyata) menuju abstraks. Misal, jika guru akan mengajarkan penjumlahan bilangan cacah “2 + 3 = 5”, tahap-tahapnya adalah sebagai berikut: (1) Ambilah contoh-contoh benda yang dapat mewakili bilangan 2 dan bilangan 3, misalnya apel, kelereng, jeruk, dan sebagainya. (2) Lakukan penggabungan antara dua apel dengan tiga apel menjadi satu wadah, suruhlah siswa untuk menghitung satu persatu apel yang sudah dijadikan satu wadah tersebut. (3) Tulislah kejadian tersebut dalam kalimat: “dua apel digabungkan dengan tiga apel menjadi lima apel” atau “dua apel ditambah tiga apel sama dengan lima apel” (4) Lakukan penggunakan lambang bilangan dan simbol-simbol/lambang-lambang matematika yang digunakan, seperti: “2 apel + 3 apel = 5 apel” (catatan: dalam menjumlah atau mengurang jangan mengambil contoh benda yang berbeda, misalnya: 2 apel + 3 jeruk = ?) (5) Gunakan kalimat matematika yang sebenarnya, yaitu : 2 + 3 = 5 (6) Suruhlah siswa untuk membuat kalimat biasa dari kalimat matematika “2 + 3 = 5” yang lainnya, misalnya yang sedang dibicarakan adalah jeruk atau pisang. Tahap (5) dari contoh di atas merupakan bentuk abstraks, karena kalimat matematika “2 + 3 = 5” dapat diterapkan dalam berbagai kasus Di pihak lain, orang (siswa) yang akan belajar matematika harus memiliki “hukum kekekalan”, jika tidak memiliki hukum kekekalan, maka siswa belajar matematikanya melalui hafalan (Ruseffendi, 1992). Hukum kekekalan tersebut adalah hukum kekekalan: materi, bilangan, panjang, luas, berat, dan isi.



Pemecahan Masalah Matematika



37



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Hukum kekekalan materi sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa benda-benda itu tidak berubah walaupun bentuk wadahnya berubah-ubah. Perhatikan contoh gambar di bawah ini. Manakah yang lebih banyak isinya antara bentuk bangun ruang A atau B?



A B



Jika siswa/anak mengatakan (berpendapat) bahwa bangun ruang A yang lebih banyak, maka pertanda siswa/anak tersebut belum memilki kekekalan materi. Hukum kekekalan bilangan sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa jumlah benda tertentu tidak berubah jumlahnya jika ditempatkan dengan berbagai cara, misalnya dalam dua wadah, tiga wadah, dan sebagainya. Perhatikan gambar berikut, daerah manakah yang lebih banyak jumlah kelerengnya?



A



B



Jika siswa/anak menyebutkan bahwa daerah B yang paling banyak kelerengnya, maka pertanda anak belum memiliki hukum kekekalan bilangan. Untuk mempercepat siswa memiliki hukum kekekalan bilangan, latihlah siswa dengan percobaan percobaan seperti berikut. Bagaimana caranya agar kita memiliki 10 kelereng? Kemungkinan jawaban adalah sebagai berikut:



38



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Siswa A: saya mengambil dari si B sebanyak 1,dari si C sebanyak 2, dari si D sebanyak 3, dan dari si E sebanyak 4. Siswa B : saya mengambil dari si A sebanyak 2, dari si C sebanyak 3, dan dari si D sebanyak 5. Siswa C : saya mengambil dari si A sebanyak 4, dari si D sebanyak 6. Dari contoh kegiatan tersebut, jelas terlihat bahwa 10 kelereng dapat diubah dalam berbagai bentuk, yang akhirnya ditulis dalam kalimat matematika, sebagai berikut: 10 = 1 + 2 + 3 + 4 10 = 2 + 3 + 5 10 = 4 + 6 dan lain lain Hukum kekekalan panjang sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa panjang suatu benda tidak berubah walaupun ditempatkan dengan berbagai cara, dibentangkan, digulung, dan sebagainya. Perhatikan gambar berikut.



A



B Dari ilustrasi di atas jika siswa berpendapat tali A yang paling panjang, maka pertanda siswa itu belum memiliki hukum kekekalan panjang. Untuk mempercepat siswa memiliki hukum kekekalan panjang, lakukan percobaan-percobaan mengukur benda-benda dengan berbagai satuan ukuran yang lebih kecil. Satuan ukuran yang baku adalah metrik (meter), inchi, foot, yard, dan mil. Untuk tahap pertama anak belajar satuan panjang gunakan satuan ukuran yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti di Indonesia yang sering digunakan adalah meter, digambarkan dalam tangga metrik yang menggambarkan besarnya konversi dengan satuan metrik yang lainnya, yaitu: km hm dam m dm cm mm



Pemecahan Masalah Matematika



39



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Hukum kekekalan luas sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa luas suatu daerah tidak berubah walaupun dibagi-bagi dalam beberapa bagian. Perhatikan contoh gambar berikut.



A



B



Jika diberikan ilustrasi di atas lantas siswa berpendapat bahwa luas daerah B yang lebih luas, maka pertanda siswa belum memiliki hukum kekekalan luas. Untuk menumbuhkan hukum kekekalan luas, cobalah siswa diajak melakukan percobaan merakit suatu bangun datar yang terpisah menjadi bangun-bangun datar baru yang merupakan satu kesatuan. Untuk tahap pertama anak belajar satuan luas gunakan satuan ukuran yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti di Indonesia yang sering digunakan adalah metrik persegi (m2) dan are, digambarkan dalam tangga metrik yang menggambarkan besarnya konversi dengan satuan metrik yang lainnya, yaitu: km2 km2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2



Hukum kekekalan berat sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa berat suatu benda tidak berubah walaupun dibagi-bagi dalam beberapa bagian. Hukum kekekalan berat akan tumbuh dan berkembang bila siswa sering melakukan percobaan menimbang berat suatu benda dan membandingkan dengan berat benda lain yang lebih banyak jumlahnya, tetapi beratnya sama. Suatu berat hanya dapat dirasakan, sebab benda yang kelihatannya besar belum tentu beratnya juga besar. Misal, kapuk satu kilogram dengan besi satu kilogram, mana yang bentuknya besar?.



40



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Satuan ukuran berat yang sering digunakan di Indonesia adalah: ton, kwintal (kw), kilogram (kg), dan gram (g). Hati-hati penggunaan satuan berat ons, untuk di Indonesia satu ons = 100 gram, tetapi untuk di dunia internasional satu ons = 28, 3 gram (Hollands, 1984) Hukum kekekalan isi (volume) sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa isi suatu benda ruang tidak berubah walaupun terbagi-bagi dalam satuan yang lebih kecil. Hukum kekekalan isi akan tumbuh dan berkembang bila siswa sering melakukan percobaan mengetahu isi suatu benda dan membanding dengan isi benda lain yang lebih banyak jumlahnya, tetapi isinya sama. Adanya atau telah memiliki hukum kekekalan–hukum kekekalan tersbeut merupakan prasyarat siswa untuk belajar matematika, maka dari itu seorang guru yang hendak memberikan pelajaran matematika, perlu mengontrol/mendiagnosis terlebih dahulu siswa-siswanya akan kemampuan dasar yang harus dimiliki. Jika hal ini tidak diperhatikan akan terdapat siswa yang kesulitan belajar matematika secara formal.



1. 2. 3. 4. 5.



Mengapa matematika disebut ilmu deduktif? Berikan alasannya. Apa yang dimaksud ilmu matematika sebagai “pelayan ilmu”? berikan contohnya. Sebutkan tujuan belajar matematika secara singkat menurut kata-kata sendiri! Apa yang dimaksud peran guru sebagai pasilitator? Jelaskan! Tugas guru adalah mengajar, sebutkan hal-hal yang harus dilakukan guru sehubungan dengan tugasnya itu? 6. Mengapa dalam belajar matematika siswa perlu memimiliki hukum kekekalan? Petunjuk Jawaban Latihan 1. Matematika disebut ilmu deduktif, sebab dalam matematika tidak menerima generalisasi yang berdasarkan pada observasi, eksperimen, coba-coba (induktif) seperti halnya ilmu-ilmu lain. Kebenaran generalisasi dalam matematika harus dapat dibuktikan secara deduktif 2. Ilmu matematika banyak memberikan sumbangan terhadap ilmu lain, seperti dalam ilmu ekonomi, IPA, dan lain-lian. Penerapan rumus deret aritmatika pada perhitungan jumlah bunga yang ditetapkan, menentukan waktu gerhana, dan sebagainya. 3. Melatih berpikir, mengembangkan kreativitas, mengembangakan kemampuan pemecahan masalah, dan dapat berinteraksi secara efisien dan efektif 4. Guru menyediakan pasilitas belajar untuk siswa-siswanya, agar siswa belajar lebih efektif, seperti menyediakan alat/media pembelajaran. 5. Tugas guru dalam mengajar antara lain: menguasai bahan pengajaran, menyusun program pengajaran, melaksanakan program pengajaran, dan menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan. 6. Sebab belajar matematika bersifat abstraks, jika siswa tidak memiliki hukum kekekalan, maka belajar siswa melalui hafalan.



Pemecahan Masalah Matematika



41



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Sebutan terhadap matematika adalah: ilmu deduktif, bahasa, seni, ilmu tentang keteraturan, ilmu tentang struktur, dan pelayan terhadap ilmu lain. Matematika SD berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika sederhana yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi bilangan, pengukuran dan geometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel. Tujuan pembelajaran matematika adalah: 1. Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi. 2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba 3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah 4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan Peran guru sebagai:demonstrator, pengelola kelas, mediator dan fasilitator, dan evaluator. Guru dituntut untuk kompeten dalam: (1) Mengembangkan kepribadian; (2) Menguasai landasan kependidikan; (3) Menguasai bahan pengajaran; (4) Menyusun program pengajaran; (5) Melaksanakan program pengajaran; (6) Menilai hasil dan proses belajarmengajar yang telah dilaksanakan; (7) Menyelenggarakan program bimbingan; (8) Menyelenggarakan administrasi sekolah; (9) Berinteraksi dengan sejawat dan masyarakat; dan (10) Menyelenggarakan penelitian sederhana untuk keperluan Materi pelajaran matematika termasuk materi yang yang abstraks, oleh karenanya hanya orang-orang yang dapat berpikir abstraks saja yang dapat mempelajari matematika.. Di pihak lain, orang (siswa) yang akan belajar matematika harus memiliki “hukum kekekalan”, jika tidak memiliki hukum kekekalan, maka siswa belajar matematikanya melalui hafalan. Hukum kekekalan tersebut adalah hukum kekekalan: materi, bilangan, panjang, luas, berat, dan isi.



42



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat ! 1. Kebenaran suatu pernyataan pada matematika haruslah ... A. disepakati bersama B. dapat dibuktikan secara intuitif C. didasarkan pada pernyataan lain sebelumnya D. didasarkan pada rumus-rumus 2. Matematika sering disebut seperti di bawah ini, kecuali ... A. pelayan ilmu C. karya seni B. rajanya ilmu D. bahasa universal 3. Cabang matematika yang dipelajri di SD adalah sebagai berikut, kecuali .... A. geometri C. aritmatika B. pengukuran D. kalkulus 4. Guru menyusun skenario pembelajaran termasuk tugas guru dalam bidang .... A. membuat rencana pembelajaran C. mempersiapkan alat/media B. menyusun materi pelajaran D. mengadakan evaluasi 5. Siswa dapat menjelaskan bahwa 5 + 6 = 11, 4 + 7 = 11, dan 8 + 3 = 11 juga. Anak tersebut telah memiliki hukum kekekalan ..... A. materi C. isi B. bilangan D. panjang



1 1 5 + = dengan menggunakan garis bilangan, kegiatan 2 3 6 guru tersebut dapat dikategorikan penjelasan .... A. konkrit C. abstrak B. semi konkrit D. semi abstrak



6. Guru menjelaskan konsep bigaimana



7. Guru memperlihatkan bagai mana dengan menggunakan bangun lingkaran yang dibagi enam. Kegiatan guru tersebut termasuk sebagai .... A. Pengelola kelas C. Demonstrator B. Fasilitator D. Evaluator



Pemecahan Masalah Matematika



43



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



8. Melatih siswa untuk dapat memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari merupakan muara dari belajar matematika, sebab .... A. siswa telah belajar matematika B. pemecahan masalah membutuhkan berbagai kemampuan C. diberikan diakhir pelajaran D. hanya siswa yang telah memahami konsep matematikalah yang dalat menyelesaikan pemecahan masalah 9. Siswa oleh gurunya ditugaskan untuk mengukur panjang seutas tali yang panjangnya 2 meter. Siswa A kebagian alat yang ukurannya 10 cm, Siswa B kebagian alat yang ukurannya 20 cm, siswa C kebagian alat yang ukurannya 50 cm, dan siswa D mengukurnya dengan menggunakan “jengkal” tangannya. Setelah mereka mengukur dan melaporkan hasilnya. Guru bertanya kepada semua siswa, dengan pertanyaan “manakah hasil pengukuran yang benar”, dan siswa menjawab masing-masing merasa benar. Fenomena tersebut menandakan bahwa siswa-siswa tersebut .... A. belum mengetahui ukuran panjang B. mempunyai pendirian yang kuat C. belum memiliki hukum kekekalan panjang D. belum mengetahui alat ukur yang baku 10. Guru yang hendak mengajarkan materi perkalian, prasyarat untuk mempelajari perkalian tersebut adalah ... A. siswa telah paham penjumlahan C. siswa telah paham pembagian B. siswa telah paham pengurangan D. siswa telah paham konsep bilangan



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



44



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA



B



elajar matematika tidaklah bermakna jika tidak dikaitkan dalam kehidupan sehari-hari. Karena dalam kegiatan kehidupan sehari-hari sering membutuhkan bantuan ilmu matematika, misalnya dalam jual-beli, bertani, dan lain-lain. Karena memang matematika tumbuh dan berkembang dari kehidupan sehari-hari manusia dengan segala aktivitasnya. Misalnya saja dalam pekembangan bilangan, yang dimulai dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional/ irrasional, bilangan khayal, dan bilangan kompleks muncul secara bertahap sesuai dengan kebutuhan manusia terhadap bilangan. Manusia primitif membilang dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya (bilangan asli), tetapi setelah ditemukan angka 0 (nol), maka kegiatan membilang pada dasarnya dimulai dari tidak ada, yaitu: 0, 1, 2, 3, ...(bilangan cacah). Karena kehidupan manusia makin kompleks dan berkembang adanya hak milik, maka muncul bilangan bulat, seperi mempuanyai hutang sesuatu diartikan sebagai mempunyai jumlah yang negatif dan sebaliknya jika mempunyai sesuatu diartikan mempunyai jumlah yang potitif, dan antara mempunyai sesuatu dengan mempunyai hutang adalah tidak mempunyai sesuatu atau dilambangkan dengan bilangan nol. Setelah itu berkembang bilangan rasional dan bilangan pecah, karena suatu bilangan tidak selalu habis dibagi habis, seperti 1 dibagi 2, ditulis



1 , 2 dibagi 3, ditulis 2



2 a dan sebagainya. Di pihak lain ada bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , seperti 3 b



2, 3, 5 dan lain sebagainya. Gabungan bilangan rasional dan irrasional dinamakan bilangahn real (nyata). Seterusnya muncul bilangan khayal, seperti bilangan dalam bentuk akar negatif ( − 1, − 2 , − 4 dan sebagainya. Gabungan antara bilangan real dan khayal dinamakan bilangan kompleks. Siswa sekolah dasar dimulai kelas satu sudah sewajarnya dibekali dengan manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari, yaitu selalu mengaitkan materi pembelajaran dengan kehidupan nyata yang terjadi dan yang sering dialami siswa. Kemampuan kognitif siswa akan berkembang selaras dengan kematangannya, dan akan berkembang dengan baik dan cepat jika dalam belajarnya sering dihadapkan terhadap permasalahan kehidupan sehari-hari. Kita sebagai guru harus menyadari bahwa kemampuan manusia itu terbatas dan tidak sama irama perkembangan mentalnya, maka dari itu sebagai guru harus menyesuaikan pemberian materi pelajaran dengan kemampuan-kemampuan siswa-siswanya, seperti belajar dari hal-hal konkrit menuju abstrak, dari sederhana ke kompleks, dan dari mudah ke sulit.



Pemecahan Masalah Matematika



45



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Siswa diajak menyelesaikan pemecahan masalah dari satu langkah ke penyelesaian masalah yang membutuhkan banyak langkah yang disertai kemampuan memahami dan menangkap lebih banyak vatiabel dan faktor dalam suatu masalah. Tidak ada cara yang pasti bagai mana melatihkan pemecahan masalah kepada siswa, namun ada petunjuk yang dapat membantu guru dalam membelajarkan siswanya kearah penggunaan pendekatan pemecahan masalah matematika, agar siswa belajarnya terarah dan mendapat hasil yang baik. Langkah-langkah Membantu Siswa dalam Penyelesaian Masalah Seperti yang telah dibahas pada bahan belajar mandiri 1, beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: (1) memahami soal, (2) memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. (1) Memahami Soal Guru memberi masalah dalam bentuk soal setiap hari, baik dalam jam pelajaran matematika, maupun pada mata pelajaran lain secara terpadu (karena matematika banyak kaitannya dengan Bahasa, IPS, IPA, dan lain-lain), dengan langkah-langkah sebagai berikut: (a) menjelaskan kata atau ungkapan operasi hitung yang sering digunakan, seperti sebagai berikut: Penjumlahan : digabungkan, disatukan, dijadikan satu wadah, dijumlahkan, dimasukan, dan pengulangan suatu kegiatan. Contoh 2.1: • Amin mempunyai 10 kelereng dan Andri mempunyai 8 kelereng, jika kelereng Amin dan Andri digabungkan/disatukan/dijadikan satu wadah maka kelereng mereka berjumlah ... • Kelereng Amin dalam gelas ada 5, lantas dimasukan lagi sebanyak 4 kelereng, maka kelereng Amin dalam gelas sekarang ada ... kelereng. • Pada hari senin Amin menyimpan uang dalam celengan sebanyak Rp 2.000,00, pada hari selasa sebanyak Rp 5.000,00, pada hari rabu sebanyak Rp 3.000,00. Berapa rupiah banyak uang yang tersimpan dalam celengan tersebut Pengurangan : selisih/ beda, dikurangi/berkurang, diambil, dipisahkan, dan dibagikan. Contoh 2.2: • Amin mempunyai uang sebesar Rp 5.000,00 sedangkan Ani mempunyai Rp 7.000,00. Berapakah selisih/beda uang Amin dan Ani? • Andri diberi uang jajan dalam satu minggu sebanyak Rp 10.000,00 setalah hari ke empat uangnya berkurang Rp 4.000,00. Berapakah sisa uang Andri sekarang? • Pak Budi mempunyai anak ayam yang baru menetas sebanyak 10 ekor, yang 5 ekor dipisahkan dari induknya. Berapakah anak ayam yang ikut induknya? • Pak Budi mempunyai uang sebanyak Rp 50.000,00, uang tersebut dibagikan kepada 2 oarng pakir miskin sebanyak Rp 15.000,00. Berapakah rupiah sisa uang Pak Budi sekarang?



46



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Perkalian : digandakan sebanyak ... kali, setiap ... terdiri dari ..., kegiatan yang berulangulang (dalam jumlah yang sama), Contoh 2.3: • Pak Budi meminjam uang dari “Bank Keliling” sebanyak Rp 1.000.000,00 karena ia tak mampu membayar dalam waktu satu tahun utangnya digandakan sebanyak 3 kali. Berapa rupiah Pak Budi harus membayar utangnya jika dalam satu tahun tidak bisa membayar? • Kelurahan Munjuljaya terdiri dari 2.500 Kepala Keluarga (KK), setiap harinya masingmasing KK membuang sampah terdiri dari 1 kg. Berapa kg sampah yang terkumpul dalam satu bulan? • Kasir bank menghitung uang menggunakan jari-jarinya, dalam satu kali gerakan jari-jarinya mampu mengambil empat lembar uang. Jika dia menggerakan jari-jarinya sebanyak 25 kali, maka berapa lembar uang yang dia hitung? Pembagian sama)



: pengurangan yang berulang, dibagikan, dipisah-pisah (dalam jumlah yang



Contoh 2.4: • Amin mempunyai 100 kelereng, setiap hari diambilnya sebanyak 5 kelereng. Pada hari ke berapa kelereng itu habis? • Pak Budi membagikan uang zakat sebanyak Rp 1.000.000,00 kepada 100 orang pakir miskin. Berapa rupiah rata-rata kebagian setiap orangnya? • Pak Budi mempunyai ayam sebanyak 50 ekor, ayam tersebut dipisahkan-pisahkan dalam 10 kandang. Berapa ekor rata-rata isi setiap kandangnya? (b) menjelaskan hubungan antara penjumlahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, penjumlahan dengan perkalian, dan pengurangan dengan pembagian. Contoh 2.5: •



Penjumlahan dengan pengurangan: Jika a + b = c , berlaku c – a = b atau c – b = a



•



Perkalian dengan pembagian: Jika a x b = c , berlaku c : a = b atau c : b = a



•



Penjumlahan dengan perkalian: 5+5+5+5=4x5



•



Pengurangan dengan pembagian.: 10 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = 10: 2



Pemecahan Masalah Matematika



47



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



(c) melatih membaca pemahaman dari kalimat pendek dan sederhana ke kalimat panjang dan kompleks. Cobalah dengan menggunakan metode diskusi untuk membahas soal yang diberikan dengan fokus isi pokok kalimat. Apakah topik/tema yang dibicarakan, informasi apa yang diberikan, apa yang ditanyakan, dan sebagainya. (d) bertanya kepada siswa tentang isi kalimat yang diberikan dalam contoh, tentang apa yang diketahui atau data apa yang diberikan dan apa yang ditanyakan atau apa yang akan dicari. Dalam hal ini guru yang mengajukan pertanyaan tentang isi kalimat yang dijadikan contoh. (e) pada tahap awal, pembuatan paragrap cukup terdiri dari satu kalimat, dan jangan berbelit-belit sehingga sulit dimengerti siswa. Contoh: Kasir bank menghitung uang menggunakan jari-jarinya. Dalam satu kali gerakan jari-jarinya mampu mengambil empat lembar uang. Dia menggerakan jari-jarinya sebanyak 25 kali. Berapa lembar uang yang dia hitung? (2) Memilih Pendekatan atau Strategi Pemecahan Seperti yang telah dibahas pada bahan belajar mandiri 1, pendekatan atau strategi pemecahan masalah banyak sekali alternatif yang harus kita pakai, hal tersebut didasarkan pada jenis masalah atau soal. Starategi tersebut adalah: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru, dan lain lain. Bagi siswa yang belum dapat berpikir abstraks pendekatan dengan membuat gambar terlebih dahulu akan sangat membantu. Hal tersebut dapat dilakukan secara konkrit atau dengan gambaran obyek yang dimaksud. Setelah itu berkembang kepada strategi-strategi lain yang memungkinkan suatu masalah dapat diselesaikan secara matematis, seperti membuat variabel, membuat persamaan, menggunakan logika, dan lain-lain. Contoh 2.6: (1) Penjumlahan dan pengurangan Pada mulanya Ani mempunyai 5 buku, kemudian Ibunya memberi sejumlah buku sehingga buku Ani sekarang menjadi 9 buku. Berapakah Ibu memberi buku kepada Ani? Jawab



48



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Lakukan secara konkrit atau dengan membuat gambar, seperti berikut.



Tanyakan kepada siswa ada berapa buku yang tidak mempunyai pasangan seperti yang digambarkan di atas dan buku yang tidak mempunyai pasangan tersebut merupakan buku pemberian Ibu. Lantas bimbing siswa kearah model matematika yang terbentuk, seperti: 5 buku + .... buku = 9 buku atau 5 + ... = 9 Dari gambar sudah didapat bahwa buku yang tidak mempunyai pasangan sebanyak 4 buku, dan itu adalah buku pemberian Ibu. Jadi kalimat matematika yang terbentuk adalah: 5 + 4 = 9 Jika strategi dengan pembuatan gambar telah dikuasai, meningkatlah kepada pembuatan variabel, boleh dengan “x, y, n, m, dll”.seperti berikut ini. Diketahui: Ani mempunya 5 buku Setelah diberi Ibu menjadi 9 buku Ditanyakan: Berapakah buku pemberian Ibu? Jawaban: Misalkan buku pemberian Ibu = x, maka 5+ x=9 5 + (-5) + x = 9 + (-5) x=4 Jadi, buku pemberian Ibu sebanyak 4 buku (2) Perkalian dan Pembagian Di kelas tiga ada 20 meja yang disusun secara teratur, barisan terdepan ada 4 meja. Ada berapa meja setiap baris ke belakang? Jawab:



Pemecahan Masalah Matematika



49



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Membuat gambar



Ruangan bagian depan Barisan depan



Barisan ke belakang, setiap barisnya ada 5 meja Dalam membuat gambar lakukan membuat meja barisan terdepan sebanyak 4 meja, lantas buatlah gambar meja ke belakang sambil membilang sampai 20 meja. Sehingga gambar akan seperti di atas. Meja sebanyak 5 ke belakang merupakan jawaban dari soal tersebut Model matematikanya adalah: 4 x ... = 20 atau Misalkan setiap baris meja kebelakang = m, maka 4 x m = 20 Jika kedua ruas dibagi dengan 4, maka m = 5 Jadi baris meja ke belakang ada 5 meja (3) Operasi hitung campuran Ibu belanja telur 4 kg dan terigu 3 kg, harga setiap kilogram telur Rp 8.000,00 dan harga setiap kilogram terigu Rp 4.000,00. Ibu membayar dengan uang Rp 50.000,00. Berapakah sisa uang Ibu? Jawab Diketahui (a) 4 kg @ Rp 8.000,00 (b) 3 kg @ Rp 4.000,00 (c) Ibu membayar Rp 50.000,00 Ditanyakan berapa rupiah uang sisa (pengembalian)?



50



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Model matematikanya: 50.000 – [(4 x 8.000) + (3 x 4.000)] = ... 50.000 – [ 32.000 + 12.000] = ... 50.000 – 44.000 = 6.000 Jadi sisa (pengembalian) uang Ibu adalah Rp. 6.000,00 (3) Menyelesaikan Model Matematika Dalam menyelesaikan model matematika siswa dituntut untuk terampil menggunakan pengetahuannya tentang konsep-konsep dasar matematika beserta aturan-aturan yang ia ketahui sewaktu mengerjakan latihan-latihan soal. Baik dalam bentuk algoritma maupun secara aljabar sederhana. Seperti hubungan penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pangkat dan akar. Dalam penyelesaian model matematika siswa telah paham dan terampil, seperti hal-hal sebagai berikut: (a) a + b = c, kalimat matematika ini dapat dibolak balik sesuai dengan pola yang didapatkan dalam menterjemahkan (mentransformasi) kedalam model matematika, seperti menjadi c – a = b atau c–b=a (b) a x b = c, kalimat matematika ini dapat dibolak balik sesuai dengan pola yang didapatkan dalam menterjemahkan (mentransformasi) kedalam model matematika, seperti menjadi c : a = b atau c :b=a (c) a2 = b, dapat diubah menjadi a = b atau b 2 = b (d)



a c ad + bc a c ad − bc + = atau − = b d bd b d bd



a c = b d ⇒ ad = bc (f) dan lain-lain



(e)



(4) Menafsirkan Solusi. Sebelum ditafsirkan/diterjemahkan kedalam bentuk kesimpulan, sebaiknya siswa dibiasakan untuk memeriksa dulu, apakah jawaban hasil perhitungan itu benar atau masih terdapat kekeliruan. Untuk ini dibutuhkan ketelitian untuk mengecek ulang hasil perhitungan yang didapatkan. Menafsirkan solusi merupakan kemampuan berpikir tingkat tinggi, karena hal tersebut merupakan penarikan kesimpulan dari hal-hal yang telah dianalisis dengan menggunakan berbagai strategi dan menggunakan berbagai opersi hitung. Menafsirkan solusi merupakan menemukan jawaban dari permasalahan yang sedang dibahas atau diuraikan.



Pemecahan Masalah Matematika



51



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 2.7: Ina disuruh Ibu membeli sebanyak 10 telur, di perjalanan pulang telur yang dibeli tersenggol temannya, ketika dihitung telur yang utuh tinggal 6 telur. Berapa butir telur yang pecah? Jawab Diketahui : beli telur 10 Sisa telur 6 Ditanyakan: Telur yang pecah Jawab: Alaternatif kalimat: (1) (Semua telur yang dibeli) - (Sisa telur yang utuh) = (telur yang pecah) (2) (Sisa telur yang utuh) + (telur yang pecah) = (Semua telur yang dibeli) (3) 10 – 6 = ... (4) 6 + ... = 10 Alternatif Pemecahan: (1) Perlihatkan 10 benda (sebagai pemisalan telur) lantas ambil sebanyak 6, maka sisanya 4 benda (2) Perlihatkan 10 jari lantas hitung mundur sebanyak 6 kali bertepatan dengan melipat jari, maka sisa jari yang belum telipat sebanyak 4. (3) Gambarlah 10 telur lantas pasangkan dengan gambar 6 telur, maka 4 telus tidak mempunyai pasangan (4) Enam ditambah berapa agar mnejadi sepuluh? Hitung dimulai 6 sebanyak yang dibutuhkan sehingga berhenti di 10, sambil mengacungkan jari. (5) Jika siswa telah memahami konsep penjumlahan dan pengurangan, maka siswa langsung dibimbing ke model matematika dan menyelesaikannya dengan aturanaturan tertentu. Kesimpulan Jadi telur yang pecah sebanyak 4 telur



52



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 2.8: Suatu bak mandi mempunyai panjang dua kali lebarnya, dan tingginya setengah dari lebarnya. Jika luas alas bak itu 7.200 cm2 berakah liter isi bak air tersebut? Diketahui Panjang bak 2 kali lebar Tinggi bak



1 lebar 2



Luas = 7.200 cm2 Ditanyakan isi bak dalam liter Jawab: Gambar: 1 l 2 l 2l



Mencari ukuran bak 2 l x l = 7200 2 l2 = 7200 l2 = 3600 l=



3600



l = 60 Jadi lebar (l) = 60 cm Karena lebar 60 cm, maka panjang (p) = 2 x 60 = 120 cm dan tingginya (t) adalah 1 x60 = 30 cm 2



Rumus volum (isi) bak (yang berbentuk balok) adalah p x l x t, yaitu: 120 cm x 60 cm x 30 cm = 216.000 cm3 Karena yang ditanyakan adalah dalam bentuk satuan liter, maka 216.000 cm3 = 216 dm3 = 216 liter Jadi isi bak mandi tersebut adalah 216 liter.



Pemecahan Masalah Matematika



53



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Dari proses penyelesaian soal di atas, dapat dirinci langkah-langkah sebagai berikut: (1) Memahami soal, seperti yang terlihat dalam menyederhanakan soal dalam bentuk yang diketahui dan ditanyakan. (2) Membuat gambar bak mandi yang mempunyai panjang, lebar, dan tinggi. Dalam hal ini harus ingat bahwa bentuk demikian adalah balok yang rumus isinya adalah: p x l x t (3) Mencari ukuran bak yang didahului dengan menterjemahkan luas alas bak yang berbentu balok, yaitu: panjang kali lebar dalam bentuk variabel l, seperti: 2 l x l = 7200 (4) Menjalankan operasi hitung, sehingga ditemukan ukuran lebar yang dimaksud. (5) Mengaitkan hasil operasi hitung dengan pernyataan yang diketahui. Sepeti panjangnya dua kali lebarnya dan tingginya setengah lebarnya. Sehingga ditemukan ukuran panjang dan tinggi (6) Karena panjang, lebar, dan tinggi sudah diketahui maka isi bak dapat diketahui dengan menjalankan rumus isi (volumea) balok. (7) Volum bak sudah diketahui tetapi membutuhkan transformasi dari bentuk cm3 ke liter melalui dm3. (8) Menyimpulkan isi bak air sebagai hasil proses sebelumnya. Jelaslah, bahwa suatu proses penyelesaian masalah sangatlah kompleks dan banyak hal-hal yang terkait, sehingga membutuh daya nalar yang cukup tinggi.



1. Perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut dan tentukan termasuk pada bilangan apa yang dimaksud? a. Amin menghitung jumlah kambing peliharaannya dimulai dari 2, 4, 6, 8, dan 10. b. Ahmad membagikan 5 roti kepada 2 orang temannya samaa banyak. c. Ani menghitung panjang sisi-sisi daerah segitiga dengan menggunakan rumus: c2 = a2 + b2 d. Budi mempunyai meminjam uang di Bank Guna Usaha sebanyak Rp. 10.000.000,00 2. Pengetahuan apakah yang harus dimiliki oleh seorang pemasang ubin lantai agar jumlah ubin yang akan dipasangkan diketahui secara pasti? 3. Ayah telah mempunyai pagar sepanjang 40 m untuk memagari kandang itik (berbentuk persegipanjang) di belakang rumahnya ada tembok belakang dapat dijadikan salah satu sisi persegi panjang. Berapakah ukuran yang dapat dibuat agar ukuran luas persegi panjang tersebut yang paling luas? Dari soal tersebut di atas apa saja yang diketahui yang menjurus kepada penyelesaian soal? 4. Hasil survei terhadap kelas enam yang terdiri dari 40 siswa, 22 orang menyenangi pelajaran matematika, 21 orang menyenangi pelajaran IPA, 20 orang menyenangi pelajran IPS. 3 orang menyenangi pelajaran Matematika dan IPA, 4 orang menyenangi pelajaran IPA dan IPS, 6 orang menyenangi pelajaran Matematika dan IPS, dan 5 orang yang menyenangi ketiga pelajaran tersebut. Buatlah gambarnya!



54



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



5. Buatlah kalimat matematika dari pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Bilangan yang berurutan jumlahnya 21. b. Amin mendapat bunga bank sebesar Rp 500.000,00 dari saldo simpanan sebesar Rp 5.000.000,00. Berapa persen bunga yang diterima Amin? c. Harga 4 pensil dan 5 spidol sebesar Rp 35.000,00 d. Lampu merah menyala setiap 5 detik, lampu kuning menyala setiap 6 detik, lampu hijau menyala setiap 8 detik, dan lampu biru menyala setiap 12 detik. Jika ke empat lampu dinyalakan secara bersamaan pada detik ke berapa lampu merah dan lampu kuning menyala bersamaan yang ke dua, ke tiga, dan ke empat. Pada detik ke berpa lampu hijau dan lampu biru menyala bersamaan yang ke dua, ke tiga, dan ke empat. Petunjuk Jawaban Latihan 1. a. Bilangan Asli b. Bilangan Rasional (Bilangan Pecah) c. Bilangan Rasional atau Bilangan Irrasional (Bilangan real) d. Bilangan Bulat Negatif 2. Pengetahuan yang dimilikinya adalah pengetahuan tentang bangun datar, luas suatu daerah, dan satuan ukuran panjang/luas. 3. Pagar 40 m sebagai keliling persegipanjang, tetapi salah satu panjang persegipanjang tersebut telah tersedia tembok. 4. IPA



Matematika



3



8



9 6



5 4 5



IPS



5. a. Misalkan bilangan pertama n, maka bilangan keduanya adalah n + 1. Jadi model matematika adalah : n + (n + 1) = 21 x (5.000.000) = 500.000 100 c. Misalkan pensil adalah x dan spidol adalah y, maka model matematika adalah: 4x + 5y = 35000 d. KPK (5 dan 6) = .... dan KPK (8 dan 12) =



b.



Pemecahan Masalah Matematika



55



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Belajar matematika tidaklah bermakna jika tidak dikaitkan dalam kehidupan seharihari, misalnya dalam jual-beli, bertani, dan lain-lain. Karena matematika tumbuh dan berkembang dari kehidupan sehari-hari manusia dengan segala aktivitasnya. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: (1) memahami soal, (2) memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi.



Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat ! 1. Yang termasuk bilangan rasional adalah ... A. 0,



1 , 2



4 , -2



C. -1, 3, 0,



5



B. -3,



2 , 2



3,4



D. -4, 4, 0,



−4



2. Siswa yang belum siap belajar matematika, maka belajarnya akan seperti berikut, kecuali ... A. melalui hafalan C. verbalisme B. mendapat kesulitan D. melalui jari tangan 3. Guru menjelaskan materi pelajaran matematika mengilustrasikannya dengan menggunakan gambar-gambar, maka kegiatan guru tersebut termasuk menjelaskan matematika secara ... A. konkrit C. semi abstrak B. semi konkrit D. abstrak 4. Memilih pendekatan atau strategi pemecahan masalah dilakukan setelah kita .... A. Membaca soal C. membuat model matematika B. memahami soal D. menyelesaikan perhitungan 5. Ungkapan yang dapat dikategorikan sebagai penjumlahan adalah sebagai berikut, kecuali ... A. digabungkan C. ditempatkan dalam satu wadah B. disatukan D. digandakan



56



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



6. Ungkapan yang dapat dikategorikan sebagai perkalian adalah sebagai berikut, kecuali ... A. setiap ... terdiri dari ... B. dilipat-gandakan C. dipisah-pisahkan dalam bagian yang sama D. pengulangan suatu kegiatan dalam jumlah yang sama 7. Suatu tabung berisi kerucut yang luas lingkarannya dan tingginya sama. Jika jari-jari lingkaran 5 cm dan tinggginya 10 cm, berapakah selisisih volume tabung dengan kerucutnya? Catatan π = 3,14 A. 785 cm3 B. 523,33 cm3 C. 261,67 cm3 D. 261 cm3 8. Seorang peternak ayam dan sapi tidak ingin ternaknya diketahui secara pasti. Ketika ada yang bertanya dengan pertanyaan “berapakah jumlah ayam dan sapi yang bapak miliki?”. Peternak menjawab “Ternak saya jumlah kepalanya ada 11 sedangkan kaki-kakinya ada 34”. Sehubungan dengan pernyataan peternak tersebut, maka jumlah ayam dan jumlah sapi dapat diketahui dengan menggunakan pendekatan sebagai berikut, kecuali ... A. dua variabel yang berbeda B. membuat dua persamaan C. melakukan subtitusi atau eliminasi pada dua persamaan yang dibuat D. bertanya lagi dengan pertanyaan yang lebih khusus 9. Pada sebuah toko, baru terjual balpoin dan pensil harga sebuah balpoin Rp. 500,00 dan sebuah pensil Rp. 400,00 sedangkan uang yang terkumpul sebanyak Rp.3.500,00. Berapakah balpoin dan pensil yang terjual? A. 2 pensil dan 4 balpoin C. 3 pensil dan 5 balpoin B. 3 pensil dan 4 balpoin D. 4 pensil dan 4 balpoin 10. Jumlah dua bilangan sama dengan 12 dan hasil kalinya 27. Model matematikanya adalah ... A. 2x + y = 12 dan 2 (2x + y) = 27 C. x – y = 12 dan x.y = 27 B. x = 12 - y dan x.y = 27 D. x + y = 12 dan 27 x = y



Pemecahan Masalah Matematika



57



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



58



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



KUNCI JAWABAN Tes Formatif 1 1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10. A



πr 2



Tes Formatif 2 1. A 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B



Luas Tabung :



= 3,14 x 52 x 10 = 785 cm3



1 1 ( tabungnya) = x785 = 261.67 cm3 3 3 Selisih volume tabung dengan volume kerucutnya adalah : 785 cm3 - 261.67 cm3 = 523.33 cm3 Luas Kerucut :



Pemecahan Masalah Matematika



59



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



9. D



Tidak perlu bertanya yang lebih khusus, karena data yang diberikan pada dasarnya sudah cukup jika dikerjakan secara matematis, seperti berikut. Misalkan Ayam = x dan jumlah kakinya = 2x Misalkan Sapi = y dan jumlah kakinya = 4 y Persmaan yang didapat adalah: 1. x + y = 11 2. 2x + 4y = 34 dengan cara substitusi didapatkan nilai x dan y, yaitu: x = 11 – y (persamaan 1) 2(11 – y) + 4y = 34 (persamaan 2) 22 – 2y + 4y = 34 2y = 10 y=5 Jika y = 5, maka x = 6, hal ini sesuai dengan persamaan 1, karena 5 + 6 = 11 dan 2(5) + 4(6) = 34.



9. B



Perhatikan tabel berikut. Y = 400 X = 500 1 2 3 4 5 6



1 900 1400 1900 2400 2900 3400



2 1300 1800 2300 2800 3300 3800



3 1700 2200 2700 3200 3700 4200



4 2100 2600 3100 3600 4100 4600



5 2500 3000



3500 4000 4500 5000



6 2900 3400 3900 4400 4900 5400



Jadi balpoin yang terjual sebanyak 3 buah dan pensil sebanyak 5 buah 10. B



60



Pemecahan Masalah Matematika



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



GLOSARIUM abtraks affektif deduktif eksperimen ilmu eksak induktif kognitif kompeten konkrit konsisten kuatitatif observasi psikomotor solusi



: tidak dapat diraba/dilihat, hanya dapat dipikirkan : sikap : proses berpikir dari umum ke khusus : percobaan : ilmu pasti : proses berpikir dari khusus ke umum : pengetahuan : mampu : nyata dapat dilihat, didengar dll : ajeg/tatap : jumlah : pengamatan : keterampilan : penyelesaian



Pemecahan Masalah Matematika



61



Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



DAFTAR PUSTAKA Hollands, Roy. Kamus Matematika Erlangga, Jakarta: 1984. Ruseffendi, E.T. (1997). Materi Pokok Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Universitas Terbuka. Soedjadi, R. (2000) Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Dirjen Dikti, Departemen Pendidikan Nasional. Suriasumantri, Jujun S. (1999). Filsafat Ilmu: Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan Sutawidjaja, Akabar. (1992/1993). Pendidikan Matematika 3. Depdikbud, Dirjen Dikti, PPTK: Jakarta.



62



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA



P



erkembangan ilmu dan teknologi telah merubah segala aspek kehidupan manusia. Sesuai dengan perkembangannya, maka masalah-masalah itupun muncul dan semakin tak terbatas jumlah maupun ragamnya. Maka dari itu kita sebagai guru harus mempersiapkan anak didik/siswa kita untuk dapat menyesuaikan dengan kehidupan yang semakin kompleks itu, agar tetap dapat hidup dalam kehidupan modern yang serba canggih. Karena kita yakin bahwa manusia-manusia yang tangguh, cerdas dan kreatiflah yang dapat bersaing dalam kehidupan itu. Jika kita gagal dalam mempersiapkan manusia-manusia yang berkualitas, apalah jadinya generasi penerus kita, apakah akan menjadi “budak” bangsa lain? Tugas guru adalah tugas yang mulia, karena merupakan tugas kemanusian, yang akan mengangkat drajat manusia dikemudian hari. Kita sebagai guru harus dapat mencari program yang dapat memberi keluwesan dalam kemampuan siswa untuk menyelesaikan permasalahan matematika, karena permasalahan yang akan muncul bukan saja jumlahnya tak terbatas, tetapi juga belum dapat diidentifikasi. Untuk itu siswa perlu dibekali bagaimana cara mengidentifikasi permasalahan, bagaimana menyederhanakan permasalahan, bagaimana memilih langkah-langkah yang efisien, bagaimana menterjemahkan masalah, bagaimana memodifikasi jawaban apabila ada data yang baru, dan bagaimana melatih siswa untuk membuat masalah. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, guru perlu memilih strategi/metode bagaimana mengadakan proses pembelajaran yang dapat membantu siswa menyelesaiakan pemecahan masalah matematika. Bahan belajar mandiri ini berisikan alternatif-alternatif yang dapat dipilih guru ketika merncanakan kegiatan pembelajaran, terutama dalam memilih metode atau teknik pembelajaran yang berhubungan dengan pembelajaran pemecahan masalah matematika. Secara khusus tujuan belajar dari bahan belajar mandiri ini adalah sebagai berikut: 1. mahasiswa dapat memilih metode/teknik pembelajaran yang baik diterapkan dalam kasus (proses belajar) tertentu. 2. mahasiswa dapat membuat perencanaan kegiatan pembelajaran dengan menggunakan metode yang yang cocok. 3. mahasiswa dapat membuat skenario pembelajaran yang mengacu pada pemecahan masalah matematika.



Pemecahan Masalah Matematika



63



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajri bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya. 2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini.



64



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN SOAL CERITA



K



egiatan belajar matematika membutuhkan kreativitas dari guru, agar siswa dalam belajarnya mencapai tujuan yang diharapkan. Pada dasarnya belajar pemecahan masalah matematika merupakan melatih siswa untuk terampil menggunakan pengetahuan yang telah dipelajari sehingga dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari, baik kejadian yang serupa/mirip ataupun sudah dimodifikasi sesuai dengan kebutuhan yang terjadi. Kegiatan pembelajaran dapat dikatakan berhasil, jika siswa dapat mengakomodasikan dan mengkonstruksi pengetahuannya untuk dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dan lebih jauh lagi dapat dijadikan dasar dalam menyelesaiakan permasalahan kehidupan. Mengakomodasikan berarti tersimpan dalam memori otak yang relatif lama, sedangkan mengkonstruksi berarti membangun pengetahuan baru dari hasil belajar sebelumnya. Seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, agar siswa tidak asing lagi antara kaitan matematika dengan kehidupan sehari-hari, pendekatan yang demikian sering disebut pendekatan “Matematika Realistik”, dengan karakteristik menggunakan konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan (Suharta, TT). Dengan demikian pendekatan belajar matematika dengan soal-soal cerita (yang sudah dikenal siswa) dapat dikatakan pendekatan belajar Matematika Realistik. Karena guru membawa siswa kearah situasi yang sudah dikenal dan siswa dapat membayangkan situasi atau kondisi yang diceritakan. Dalam pendekatan Matematika Realistik tahap yang dilalui adalah sebagai berikut, yaitu: (1) Pembelajaran dimulai dengan masalah kontekstual (“dunia nyata”), sehingga memungkinkan mereka menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung. (2) Siswa diberi kebebasan untuk membuat model-model matematika sendiri dalam menyelesaikan masalah, dari model-of masalah tersebut menjadi model-for masalah yang sejenis, yang akhirnya akan menjadi matematika formal. (3) Menekankan bahwa dengan pembuatan “produksi bebas” siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi informal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah kontekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal. (4) Interaksi siswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam Matematika Realistik, seperti negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informasi siswa. (5) Pengintegrasian unit-unit matematika adalah adalah hal esensial, karena jika diabaikan keterkaiatan dengan yang lain, maka akan berpengaruh pada yang penyelesaian masalah. Dalam mengaplikasikan matematika diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks, dan tidak hanya aritmatika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain.



Pemecahan Masalah Matematika



65



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Dalam pembelajaran matematika dengan menggunakan pendekatan soal cerita, Sutawidjaja (1992/1993) mengarahkan kepada pendekatan model dan pendekatan terjemahan (tranlasi), sepeti berikut ini. (1) Pendekatan Model; Dalam pendekatan model ini siswa membaca atau mendengarkan soal cerita, kemudian siswa mencocokan situasi yang dihadapi itu dengan model yang sudah mereka pelajari sebelumnya. Pendekatan model ini mempunyai keunggugalan terutama bagi siswa yang mempunyai kemampuan membaca lemah. Karena seringkali siswa dapat memperoleh model yang sesuai untuk persoalan yang dihadapi setelah membaca sekilas persoalan itu, walaupun mungkin ia tidak memahami kata demi kata. Keunggulan lain adalah jika soal tersebut dibacakan secara lisan atau menggunakan media audio-visual. Pada waktu guru menggunakan pendekatan model dengan secara lisan biasanya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: (a) Soal cerita disajikan secara lisan kepada kelas oleh guru atau siswa . (b) Mencocokan secara verbal dilakukan setelah 2 atau 3 model dibicarakan. (c) Siswa mengemukakan pilihannya melalui kegiatan “tunjukkan padaku”. (d) Diskusi dilaksanakan untuk melihat model mana yang sesuai, model yang tidak logis disisihkan Contoh3.1. Siswa dianggap telah diberi 4 model berikut dari pelajaran-pelajaran sebelumnya



(!) 66



(2)



(3) 6 6



(4) 6 6



6 6 6



6 3–1=2



2+1=3



6



6 3–1=2



6



3–1=2



Dari 4 model di atas cerita-cerita (kalimat verbal) yang mungkin diantaranya, yaitu: Model (1):



Semula Amin mempunyai dua balon, agar jumlah balon menjadi tiga, maka harus menambahkannya satu balon.



Model (2):



Balon Amir semuanya tiga, agar balonnya tinggal dua, maka balon tersebut satu harus dilepas (diberikan).



Model (3):



Balon Ani dibandingkan dengan balon Budi ada yang sama, manakah balon yang sama?



Model (4) :



Balon Ani semula ada tiga, karena pecah maka balonya sekarang ada dua



Catatan: Usahakan siswa diarahkan pada pembuatan kalimat yang tidak rutin, soal rutin tersebut seperti: “dua balon digabungkan dengan 1 balon atau tiga balon diambil 1 balon”, karena dalam pembelajaran pemecahan masalah terfokus pada pemecahan masalah non rutin.



66



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



(2) Pendekatan Terjemahan (Translasi); Kegiatan pembelajaran ini melibatkan siswa pada membaca kata demi kata dan ungkapan demi ungkapan dari soal cerita yang sedang dihadapinya, untuk kemudian menterjemahkan kata-kata dan ungkapan-ungkapan itu ke dalam kalimat matematika. Contoh:



Soal Cerita



Pemikiran



Siti mempunyai sejumlah kue Ani memberi 3 kue kepada Siti



 adalah banyaknya kue  yang dipunyai Siti Memberi adalah seperti +3 menaruh bersama membentuk suatu gabungan, jadi ditambah (+) dengan 3 Kue Siti semula +3=9 ditambah dengan pemberian Ani menjadi 9 kue 6+3=9 6 kue



Siti sekarang mempunyai 9 kue



Berapa kue Siti semula



Terjemahan



Pada bahan belajar mandiri ini pembahasan difokuskan pada pembelajaran pemecahan masalah matematika, bukannya pembelajaran matematika secara umum. Pembelajaran matematika secara umum merupakan prasyarat untuk dapat menyelesaiakan masalah matematika, karena pengetahuan matematika akan diaplikasikan dalam pemecahan masalah. Oleh karena itu siswa tidak akan mampu menyelesaikan masalah matematika, jika pengetahuan matematikanya kurang. Karena dalam pemecahan masalah matematika terdapat langkah membuat model matematika dan menyelesaikannya sehingga didapat suatu jawaban yang akan dijadikan kesimpulan. Berikut ini adalah contoh-contoh pengembangan pengalaman belajar pemecahan masalah matematika dimulai dari soal cerita yang sudah dikenal siswa (“dunia nyata”) dan pokok materi diambil dari kurikulum SD 2004. Contoh 3.2: Materi Pokok Bahasan Kelas Waktu Hasil Belajar Indikator Media/alat



: Bilangan sampai dengan 500 : Operasi hitung bilangan :2 : 1 x 40 menit : Melakukan penjumlahan dan atau pengurangan bilangan : memecahkan soal cerita yang mengandung penjumlahan dan pengurangan : karet gelang dalam ikatan-katan limapuluhan, sepuluhan, dan satuan



Pemecahan Masalah Matematika



67



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Pengalaman Belajar : (1) guru mengadakan apersepsi keterampilan siswa dalam menjumlah dan mengurang suatu bilangan paling besar 500 (2) Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok (misalnya 5 kelompok), setiap kelompok diberi sejumlah karet gelang yang telah dikelompokkan (diikat) dalam limapuluhan, misalnya sebagai berikut: (a) Kelompok A mendapat 150 karet gelang (3 ikat) (b) Kelompok B mendapat 200 karet gelang (4 ikat) (c) Kelompok C mendapat 250 karet gelang (5 ikat) (d) Kelompok D mendapat 300 karet gelang (6 ikat) (e) Kelompok E mendapat 350 karet gelang (7 ikat) (3) Seterusnya karet gelang setiap kelompok ditambah lagi dengan jumlah sembarang, sehingga jumlahnya berubah, menjadi sebagai berikut, misalnya: (a) Kelompok A menjadi 260 karet gelang (b) Kelompok B menjadi 375 karet gelang (c) Kelompok C menjadi 455 karet gelang (d) Kelompok D menjadi 463 karet gelang (e) Kelompok E menjadi 489 karet gelang (4) Siswa mendiskusikan berapa karet gelang yang ditambahkan pada pemberian yang kedua. (5) Siswa menuliskan kalimat matematika sesuai dengan tugasnya masing-masing. (6) Salah seorang wakil kelompok (secara bergiliran) melaporkan hasil diskusi (presentasi kelompok) (7) Kelompok yang lain dan guru menanggapinya serta guru memberikan penguatan terhadap hasil kerja siswa. Contoh 3.3: Materi Pokok Bahasan Kelas Waktu Hasil Belajar Indikator



: Geometri : Keliling dan Luas persegipanjang :3 : 1 x 40 menit : Menentukan keliling dan luas bangun datar : Menemukan cara menghitung keliling dan luas persegi panjang, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah Media/alat : Tali/benang, alat ukur panjang (meteran), sudut siku-siku Pengalaman Belajar : (1) Prasyarat siswa telah terampil dalam penjumlahan/pengurangan, perkalian/pembagian, mengunakan alat pengukur meteran dan sudut, dan mengenal rumus keliling dan luas persegi panjang dan segitiga. (2) Guru menyiapkan bentuk-bentuk geometri di halaman kelas, seperti berikut ini dengan menggunakan media tali/benang.



68



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



E A



B II



I



D



F



C G III I



J



(3) Siswa ditugaskan untuk mengukur keliling dan luas bangun sesuai dengan tugasnya, kelompok 1 mengukur bangun I (segi empat ABCD), kelompok 2 mengukur bangun II (segi lima BEFGC), dan kelompok 3 mengukur bangun III (segi empat DGIJ). (4) Guru membimbing siswa dalam menggunakan meteran dan sudut siku-siku, bimbingan tersebut antara lain: Kelompok 1: pastikan bahwa bangun tersebut persegi panjang dengan mengukur sudutsudutnya menggunakan sudut siku-siku. Jika sudah siku-siku, ukurlah panjang AB dan panjang AD, masukan kedalam rumus keliling dan rumus luas persegipanjang Kelompok 2: Bentangkan lagi tali dari BG dan BF, sehingga didapat tiga daerah segitiga (BFE, BFG, dan BCG), buat garis tinggi dari ketinggan segitiga tersebut dengan menggunakan tali dan sudut siku-siku, sehinga didapat gambar seperti di bawah ini.



E



B



L K



F



C G Lakukan pengukuran untuk keliling adalah panjang BE + EF + FG + GC + BC. Lakukan pengukuran panjang alas dan panjang tinggi segitiga. Gunakan rumus mencari luas segitiga. Kelompok 3: petunjuk hampir sama dengan kelompok 2. (5) Siswa mempresentasikan hasil tugasnya dihadapan kelompok lain secara bergantian. (6) Guru memberikan penguatan dan saran-saran yang diperlukan.



Pemecahan Masalah Matematika



69



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 3.4: Materi Pokok Bahasan Kelas Waktu Hasil Belajar Indikator



: Bilangan Bulat : Operasi hitung dengan bilangan bulat :5 : 1 x 40 menit : menghitung perpangkatan dan akar : memecahkan masalah sehari-hari yang melibatkan perhitungan bilangan bulat Media/alat : Uang Pengalaman Belajar : (1) Prasyarat, siswa terampil mengoperasikan bilangan bulat terutama penumlahan dan perkalian. (2) Siswa dihadapkan pada model matematika seperti berkut: (a) 2 + ... = (-5) (b) (-6) + .... = (-8) (c) ... + (- 4) = 6 (d) 3 x ... = (-12) (e) (-4) x .. = (-8) (3) Siswa membuat kalimat cerita sesuai dengan soal di atas, seperti: (a) Ani semula memiliki uang 2 lembar ribuan, karena ada keperluan mendesak sekarang menjadi negatif 5 lembar ribuan. Jadi Ani meminjam uang sebanyak 7 lembar ribuan. (b) Kemarin Anto meminjam uang dari temannya sebanyak 6 lembar ribuan dan hari ini meminjam lagi sehingga jumlah uang Anto negatif 8 lembar ribuan. Jadi pinjaman Anto bertambah 2 lembar ribuan. (c) Uang Amin setelah ditambahkan dengan hutagnya 4 lembar ribuan sebesar menjadi 6 lembar ribuan. Jadi uang Amin pada mulanya sebesar 10 lembar ribuan (d) Hutang Adi menjadi 3 kali lipat karena tidak dibayar dalam waktu tertentu, dan sekarang Hutang Adi menjadi 12 lembar ribuan. Jadi hutang Adi pada mulanya 4 lembar ribuan. (e) Hutang Adi pada mulanya 4 lembar ribuan, karena tidak mampu membayar dalam satu bulan hutang Adi sekarang menjadi 8 lembar ribuan. (4) Siswa melaporkan hasil kerjanya secara individual secara acak (5) Guru memberikan penguatas dan saran yang diperlukan Contoh 3.5: Materi Pokok Bahasan Kelas Waktu Hasil Belajar Indikator Media/alat



70



: Bilangan Pecah : Operasi hitung dengan bilangan pecah :6 : 1 x 40 menit : memecahkan masalah sederhana yang melibatkan perbandingan dan skala : memecahkan masalah sederhana yang melibatkan perbandingan dan skala : Atlas



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Pengalaman Belajar (1) Siswa telah memahami translasi perhitungan satuan panjang (2) Siswa dihadapkan pada penggalan-penggalan cerita seperti berikut ini untuk diskusikan dalam



kelompok. (3) Siswa melaporkan hasil pekerjaannya secara berkelompok Pemikiran Terjemahan (4) Guru memberikan penguatan dan saran-saran yang diperlukan



Soal Cerita Andi melakukan perjalanan



Perjalanan dari satu Jarak A ke B tempat ke tempat lain suatu Setelah dilihat di1. Jelaskan Jarak darikegiatan A ke B belajar = 7 dapat cm = dikatakan 7.000.000berhasil! cm 2. Mengapakah pembelajaran matematika harus selalu dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari? Atlas perjalanannya 7 cm dan diperbesar 7 cm = 70 km karakteristik pembelajaran matematika realistik! sepanjang 7 cm 3. Sebutkan menjadi 1.000.000 dengan skala peta 1 : cm 2x5+3x6 4. Buatlah soal cerita dari operasi hitung campuran : 1.000.000 7 Andi berangkat 5. pukul Lama perjalanan 10.00 – 07.00 = 3 jam Terjemahkan (translasikan) soal cerita berikut ke dalam model matematika, dengan terlebih dahulu 07.00 dan tiba pukulmemberikan 07.00 s.d. 10.00yang dipikirkan. ilustrasi 10.00 Berapa km rata-rata“Andi akan membuat sangkar burung berbentuk kubus 1 ukuran 60 cm. Sisi-sisi sangkar tersebut 70 km : 3 jam= 23 terbuat dari potongan-potongan bambu kecil.dengan jarak kerapatan 3 cm. Berapa potong bambu perjam perjalanan 3 (maksimal) yang diperlukan untuk membuat sangkar tersebut” Andi km Petunjuk Jawaban Latihan 1. Kegiatan pembelajaran dapat dikatakan berhasil, jika siswa dapat mengakomodasikan dan mengkonstruksi pengetahuannya untuk dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dan lebih jauh lagi dapat dijadikan dasar dalam menyelesaiakan permasalahan kehidupan



Pemecahan Masalah Matematika



71



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



2. Pembelajaran matematika harus selalu dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari karena sifat dari materi matematika abstrak, sehingga siswa akan merasa kesulitan dalam belajar. Oleh karena itu seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, agar siswa tidak asing lagi antara kaitan matematika dengan kehidupan seharihari 3. Karakteristik pembelajaran matematika realistik adalah: menggunakan konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan 4. Pada hari senin Aku membeli 2 bungkus permen setiap bungkusnya terdiri dari 5 biji dan hari Selasa membeli lagi sebanyak 3 bungkus setiap bungkusnya terdiri dari 6 biji. Permen tersebut diberikan kepada 7 orang dengan bagian yang sama. 5. Soal Cerita Pemikiran Terjemahan sangkar burung berbentuk kubus ukuran 60 cm



Sisi-sisi sangkar tersebut terbuat dari potonganpotongan bambu kecil.dengan jarak kerapatan 3 cm



Bangun yang teridiri dari 6 sisi dengan ukuran 60 x 60



60



Setiap sisi terdiri dari Potongan bambu yang berjarak sama, yaitu 3 cm



60 : 3 Berapa potong bambu (maksimal) yang diperlukan untuk membuat sangkar tersebut



6 x (60 : 3) = 120 Potngan bambu yang diperlukan maksimal 120 potong



Seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, pendekatan tersebut disebut pendekatan matematika realistik, dengan karakteristik menggunakan konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan. Soal cerita sebaiknya berawal dari dunia nyata siswa. Penggunaan soal cerita diarahkan pada pendekatan model dan pendekatan terjemahan (tranlasi).



72



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Petunjuk : Pilihlah: A. Jika (1), (2), dan (3) betul B. Jika (1) dan (3) betul C. Jika (2) dan (3) betul D. Semuanya betul 1. Belajar matematika akan bermakna/berguna jika disesuaikan dengan ... (1) kehidupan (“dunia nyata”) siswa (2) kemampuan guru (3) kemampuan mental siswa 2. Karakteristik pembelajaran matematika realistik adalah ... (1) berawal dari kehidupan siswa (2) memahami model-model matematika (3) adanya komunikasi timbal balik anatara guru dan siswa 3. Pembelajaran matematika membutuhkan pengetahuan yang luas dari seorang guru, sebab: (1) masalah yang muncul dalam kehidupan manusia tak terbatas (2) matematika harus dipelajari secara terpadu (3) matematika pelayan ilmu lain 4. Pada bulan ini Anton belum mendapat kiriman uang jajan dari orangtuanya, oleh karenanya ia disuruh untuk meminjam pada temannya yang baik hati. Pada minggu pertama Anton meminjam Rp. 5.000,00, pada minggu ke dua ia minjam Rp 6.000,00 dan pada minggu ke tiga ia meminjam Rp. 7.000,00. Sedangkan pada minggu ke empat Anton mendapat kiriman uang sebesar Rp 30.000,00. Berapakah uang Anton pada minggu ke empat, setelah dibayarkan pada temannya? Kalimat matematika yang benar adalah ... (1) 5.000 + 6.000 + 7000 – 30.000 (2) (-5.000) + (-6.000) + (-7000) + (30.000) (3) 30000 – (5.000 + 6.000 + 7000) 5. Apakah yang dipikirkan (yang berhubungan dengan matematika ), jika seseorang berkata: “ Saya mempunyai drum minyak yang isinya 200 liter”. (1) drum minyak biasanya berbentuk tabung (2) isi (volume) drum adalah luas alasnya dikalikan tingginya (3) 200 liter sama dengan 200 dm3 6. Seorang siswa tidak akan mengalami kesulitan menyelesaikan soal cerita matematika. (1) memahami bahasa yang ada pada cerita (2) dapat menyederhanakan dalam model matematika (3) menguasai sistem matematika



Pemecahan Masalah Matematika



73



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



7. Cerita mana yang ccok dengan kaliamat: (-3) + 8 (1) Bapak meminjam uang sebesar tiga juta rupiah ke bank dan esok harinya ia mendapatkan hadiah undia sebesar delapan juta rupiah (2) Pada mulanya saya mempunyai uang sebesar tiga ribu rupiah dan kemudian ada yang memberi sebesar delapan ribu rupiah (3) Saya sedang mencari seseorang di suatu gedung bertingkat. Orang yang saya cari itu berpesan pada petugas informan, yaitu: “Saya akan menuju lantai dasar ke tiga, kemudian saya akan naik sebanyak delapan lantai” 8. Apa harus dipikirkan dari penyelesaian masalah berikut: Ibu Ani lahir tanggal 29 Februari 1980. Sudah berapa kali Ibu ani merayakan hari ulang tahunnya tepat sesuai dengan tanggal kelahirannya, jika sekarang adalah tanggal 1 Maret 2008? (1) Ibu Ani lahir pada tanggal yang munculnya setiap empat tahun sekali (2) Tahun-tahun yang habis dibagi 4 setelah tahun 1980 (3) Jumlah tahun-tahun kelipatan 4 setelah tahun 1980 9. Soal cerita yang cocok dengan gambar di bawah ini adalah.



    (1) Di kelas Dua terdapat empat baris meja dan setiap barisnya ada lima meja (2) Meja-meja di kelas Dua disusun sebagai berikut: baris pertama lima meja, baris ke dua lima meja, baris ke tiga lima meja, dan baris ke empat lima meja. (3) Meja-meja di kelas Dua diatur sebagai peerkalian: 4 x 5 10. Amin mempunyai dua tali yang panjangnya 30 cm dan 45 cm. Kedua tali tersebut akan dipotongpotong sama panjang menjadi beberapa bagian. Berapa cm ukuran tali setiap potongnya dan ada berapa potong tali setelah terpotong-potong? Jawaban dari soal cerita tersebut adalah: (1) FPB (30 dan 45) = 5 dan (30 : 5 + 45 : 5) = 15 (2) KPK (30 dan 45) = 90 dan 90 habis dibagi 30 atau 45 (3) Ukuran talinya 5 cm dan banyaknya potongan tali 15 potong



74



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



Pemecahan Masalah Matematika



75



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA



S



alah satu tugas guru dalam proses pembelajaran adalah memilih metode dan teknik pembelajaran, di samping menentukan tujuan, mendalami materi, memilih alat/media, dan menentukan alat evaluasi. Dalam memilih metode banyak pilihan yang dapat digunakan, seperti: metode ceramah, metode tanya jawab, metode demonstrasi, metode diskusi, dn lain-lain. Sedangkan dalam memilih teknik pembelajaran lebih difokuskan pada pembelajaran secara sempit dan dilaksanakan bersamaan dengan penggunaan metode yang dipilih, teknik-teknik pembelajaran tersebut antara lain, yaitu: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Analisis, Teknik Aturan dan Hukum, Teknik Definisi, Teknik Percobaan yang Disempurnakan, Teknik Translasi, Teknik Contoh, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan dan Simulasi, dan Teknik Penemuan (Sutawidjaja, 1992/1993). Teknik-teknik yang akan dibahas adalah teknik-teknik yang dapat dipilih untuk proses pembelajaran pemecahan masalah matematika, yaitu: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan/Teka-teki, dan Teknik Simulasi. Teknik-teknik tersebut dijelaskan sebagai berikut: 1.



Teknik Keterlibatan Siswa Teknik keterlibatan siswa merupakan teknik mengajar yang mengikutsertakan siswa secara fisik dan mental. Secara fisik seperti ikut aktif dalam suatu kegiatan yang melibatkan anggota tubuh maupun panca indra, sedangkan secara mental siswa mengikuti jalannya suatu pembelajaran dengan antusias dan konsentrasi penuh. Suatu pembelajaran sudah seharusnya selalu melibatkan siswa, karena jika siswa aktif dalam suatu proses pembelajaran adalah suatu pertanda adanya keinginan siswa untuk belajar, dan jangan sampai guru saja yang aktif. Dalam belajar matematika keterlibatan mental siswa sangat diperlukan, sebab penjelasan guru sering kali sulit dimengerti. Untuk penjelasan yang tidak/belum dimengerti siswa, dapat langsung ditanyakan atau minta penjelasan ulang. Sering kali terjadi, guru memberikan kesempatan bertanya, tetapi siswa tidak ada yang bertanya dan bila disuruh mencoba sering kali tidak bisa atau jika diberikan soal yang berbeda tidak dapat menyelesaikannya. Hal tersebut merupakan gejala yang umum pada pembelajaran matematika, hal tersebut dimungkinkan beberapa sebab, diantaranya yaitu: penjelsan guru tidak komunikatif (tidak dipahami, di luar jangkauan daya pikir siswa, terlalu cepat, dll).



76



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Keunggulan dari keterlibatan siswa diantaranya adalah: (1) dapat menimbulkan minat belajar yang tinggi, sehingga hasil belajar akan bertahan lama. (2) Guru mudah mengendalikan kelas, jika kegiatan-kegiatan siswa sudah terarah dan siswa mengerti akan tugas yang harus dilakukannya. (3) Dapat dijadikan guru untuk mendiagnosa kesulitan-kesulitan dalam belajar siswa. Sedangkan kelemahannya seringkali menimbulkan kegaduhan, misalnya dalam keterlibatan lisan atau guru kurang kontrol terhadap aktivitas siswa. Agar siswa terlibat secara penuh dalam belajar, guru memberikan siswa untuk mencoba, menganalisis, dan menemukan sendiri. Contoh 3.6. Pak Budi ingin siswa-siswanya memahami/menyadari bahwa luas suatu daerah pada dasarnya adalah “panjang kali lebar atau luas persegi panjang”. Oleh karena itu ia memberikan tugas kepada siswa-siswanya untuk melakukan percobaan membandingkan menghitung luas suatu daerah (segitiga dan lingkaran) dengan pendekatan rumus dan pendekatan “panjang kali lebar “. Daerah yang dijadikan percobaan sebagai berikut..



Daerah



Rumus Luas =



1 alas x tinggi 2



Model Persegipanjang



Tinggi = lebar



1 alas = panjang 2



Luas = π .r 2



Jari-jari= r = lebar



1 2π .r keliling = = panjang 2 2



Pemecahan Masalah Matematika



77



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 3.7. Seorang guru ingin siswa-siswanya mengalami langsung proses pengukuran panjang, pengukuran sudut, pengukuran keliling, dan pengkuran luas. Alat yang digunakan: tali, busur, meteran, dan pasak bambu (paku 10 cm). Langkah-lankahnya sebagai berikut: (1) Guru menyediakan bangun datar persegipanjang (besar) yang terbagi-bagi dalam bentuk bangun datar lebih kecil (tangram), Bangun tersebut dibuat di tengah lapangan/halaman sekolah dengan menggunakan tali dan paku, gambar seperti berikut ini.



(2) Dengan menggunakan busur, bangun-bangun datar yang dibuatnya diberi nama/ditentukan jenisnya (jenis bangun apakah yang dibuatnya, apakah bujursangkar, persegipanjang, segitiga, travesium, layang-layang, belah ketupat, jajaran genjang, atau lingkaran.) (3) Siswa mengukur ukuran panjang yang dibutuhkan untuk menentukan keliling dan luas dengan menggunakan alat ukur meteran. (4) Siswa membuat gambar bangun datar yang dibuatnya (5) Siswa melakukan perhitungan keliling dan luas bangun datar yang dibuatnya. (6) Siswa mempresentasikan hasilnya di depan kelas. (7) Siswa menggambar bangun datar tersebut dalam skala yang sama dan memamerkan hasil kerjanya di papan buletin/pengumuman. 2. Teknik Analogi Teknik analogi adalah suatu teknik yang berusaha menciptakan suatu cerita untuk mengilustrasikan suatu konsep. Teknik ini digunakan untuk meningkatkan ketrampilan “bagaimana” tentang suatu konsep. Penggunaan teknik ini terkadang sering mengorbankan ketepatan matematika demi menyederhanakan konsep itu. Di pihak lain sifat abstraks matematika membutuhkan ilustrasi yang dapat memudahkan siswa memahami suatu konsep, oleh karenya dengan berbagai macam ilustrasi yang dapat dipahami siswa dan sesuai dengan “dunia nyata” siswa, proses pembelajaran matematika akan mudah dimengerti dan menarik untuk dipelajari.



78



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Teknik analogi diterapkan dalam pembelajaran pemecahan masalah merupakan alternatif yang dapat dipilh guru, agar siswa mengenal penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Karakteristik penggunaan teknik analogi adalah: (1) Menimbulkan minat tinggi, karena aspek cerita dari teknik ini akan menimbulkan minat belajar (2) Ketepatan bahasa akan berkurang jika menggunakan teknik ini (3) Suatu konsep mungkin harus diajarkan kembali untuk mengembangkan pemahaman matematika secara tepat untuk menghindari kesalahan konsep jika konsep tersebut disajikan dengan teknik analogi. (4) Teknik analogi lebih sering digunakan untuk ketrampilan “bagaimana” daripada ketrampilan “mengapa” tentang suatu konsep (5) Teknik analogi yang dirancang secara baik akan mengurangi tingkat abstraksi sajian dan kebanyakan akan berhasil dalam menyajikan suatu konsep, jika teknik yang lebih abstrak tidak berhasil Kelebihan teknik anaogi anatar lain: (1) dapat meningkatkan minat siswa karena aspek cerita yang disajikan (2) dapat meningkatkan pemahaaman siswa (3) dapat mengurangi tingkat abstraksi sajian suatu konsep Kelemahannya antara lain: (1) ketepatan bahasa akan berkurang (2) mungkin suatu konsep harus diajarkan kembali untuk mengembangkan pemahaman matematika secara tepat untuk menghindari kesalahan konsep. Contoh penerapan teknik analogi dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika, seperti pada tabel dibawah ini. Contoh 3.8.



Konsep Matematika a+b=c



Analogi (1) Jika dalam gelas ada 2 butir kelereng lantas dimasukan lagi 3 butir kelereng, maka sekarang dalam gelas tersebut ada 5 butir kelereng. (2) Jika dalam gelas semula ada 2 butir kelereng, tetapi setelah dimasukan kelereng lagi jumlahnya bertambih menjadi 5 butir kelereng, maka kelereng yang dimasukan itu adalah 3 butir kelereng. (3) Jika dalam satu gelas ada 10 butir kelereng, lantas akan ditempatkan dalam dua gelas, maka kemungkinan isi masing-masing gelas itu berjumlah genap atau ganjil adalah: (2 dan 8), (4 dan 6), (1 dan 9), (3 dan 7), (5 dan 5)



Pemecahan Masalah Matematika



79



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



axb=c



s2 = x ⇒ s =



x



(1) Lantai kelas IV terbuat dari keramik, panjang sisi pertama ada 21 keramik sedangkan panjang sisi kedua ada 25 keramik. Jadi banyaknya keramik di lantai kelas IV tersebut adalah 21 x 25 = 525 keramik. (2) Jika lantai kelas IV salah satu sisinya ada 25 keramik, sedangkan jumlah keramiknya ada 525 keramik, maka sisi lantai yang lainnya adalah 525 : 25 = 21 keramik (1) Lantai kelas V berbentuk persegi (bujursangkar), sisi-sisinya terdiri dari 28 keramik, maka jumlah keramik lantai kelas V adalah: 282 = 784 keramik. (2) Jika lantal kelas V berbentuk persegi (bujursangkar) dan jumlah keramiknya ada 784 keramik, maka banyaknya keramik pada sisisisinya adalah:



784 = 28 2 = 28 keramik



3.



Teknik Menggunakan Model Teknik ini menggunakan model dalam proses belajar mengajar, model-model yang digunakan biasanya berupa gambar atau benda yang digunakan untuk memperagakan referensi dari konsep yang akan dikembangkan. Teknik ini digunakan secara luas untuk mengurangi tingkat abstraksi suatu konsep. Sebagai contoh adalah sebagai berikut: (1) Kita menggunakan gambar-gambar geometri untuk menanamkan konsep geometri yang abstrak. (2) Kita menggunakan garis bilangan untuk menanamkan konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang (3) Kita menggunakan benda-benda berwarna untuk menanamkan konsep pengurangan. Karakteristik teknik ini adalah: (1) Sangat menarik minat siswa, karena semua siswa melihat dan mengamati model (2) Model mengurangi kerumitan konsep (3) Teknik ini dapat digunakan secara luas, apabila mengenalkan konsep bilangan, operasi hitung, penyelesaian masalah, geometri dan pengukuran. (4) Dalam menggunakan model, harus hati-hati sehingga suatu atribut suatu model yang tidak berhubungan dengan konsep yang dikembangkan tidak akan membawa siswa kearah kesalahan konsep terhadap konsep yang dikembangkan. Misal dalam menjelaskan konsep bilangan kita selalu menggunakan satu jenis benda saja atau selalu menggunakan satu warna saja, hal tersebut akan menimbukan kesan pada siswa bilangan tertentu akan menunjuk pada benda tertentu atau warna tertentu.



80



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika penggunaan model merupakan salah satu strategi yang dapat dipilih. Seorang guru dapat menggunakan benda-benda satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi untuk membuat suatu model. Misal guru dalam menjelaskan konsep bilangan dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai benda sebagai berikut: (1) Benda satu dimensi, seperti model perkalian “5 x 2” yang tidak sama dengan “2 x 5” dengan menggunakan tali atau garis bilangan:



0



1



2



3



4



5



6



7



8



8



10



8



9



10



Model perkalian 5 x 2



0



1



2



3



4



5



6



7



Model perkalian 2 x 5 (2) Benda dua dimensi, seperti luas suatu daerah digunakan dalam menjelaskan konsep perkalian. Contoh sebagai berikut.



Model perkalian 7 x 11 atau 11 x 7 (3) Benda tiga dimensi, seperti isi suatu benda ruang (dalam kubus/balok satuan). Contoh sebagai berikut.



Model perkalian 8 x 8 x 5



Model-model tersebut di atas dapat dijadikan dasar untuk menyelesaikan masalah, jika siswa telah memahami dan dapat mengasosiakan dalam kehidupan sehari-hari.



Pemecahan Masalah Matematika



81



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 3.9 Tukang kerupuk mengisi “blek/kaleng” kerupuk dengan cara memasukannya lima-lima, ia menghitung urut sampai 8 kali. Berapakah kerupuk yang dimasukan ke dalam blek/kaleng tersebut? Jawab: Model yang mungkin adalah: 1



2 5



3 10



4 15



5 20



6 25



7 30



8 35



40



Model perkalian 8 x 5 Jadi jika menghitung kerupuk dengan kelipatan 5 sebanyak 8 kali, maka jumlah kerupuk dalam blek/kaleng ada 40 kerupuk. Contoh 3.10. Tempat duduk bus penumpang ada 12 baris, ketika kondektur memeriksa penumpang ia mengatakan jumlah penumpang ada 57 orang, sebab ada 3 kursi yang kosong. Berapa jumlah kursi setiap barisnya? Jawab: Model kursi dapat digambarkan sebagai berikut:



Model perkalian 12 x 5 = 60 60 – 3 = 57 Jadi jumlah kursi setiap barisnya ada 5 kursi



Contoh 3.11. Pak Amir seorang penjual “Mie Rebus”, pada hari Minggu ia belajanja ke pasar untuk membeli mie rebus sebanyak 5 dus, setiap dusnya terdiri dari 48 bungkus dan harga setiap dusnya Rp. 38.400,00. Mie rebus tersebut dijualnya seharga Rp 1.000,00 perbungkus. Berapa persen keuntungan Pak Amir jika mie tersebut habis terjual? Jawab: Model banyaknya mie rebus dalam setiap dus adalah:



82



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Modal: 5 x Rp. 38.400,00 = Rp 192.000,00 Hasil penjualan: 5 x 48 x Rp 1.000,00 = Rp 240.000,00 Keuntungan: Rp 240.000,00 - Rp 192.000,00 = Rp 48.000,00 Persentase Keuntungan:



48000 x100 = 25 % 192000



keuntungan Pak Amir adalah 25 % TeknikJadi Permainan/Teka-teki Permainan adalah sembarang alat atau aktivitas yang mempunyai satu atau lebih pemenang, di mana seorang atau kelompok siswa saling “berhadapan” melakukan kegiatan bermain dengan menggunakan aturan-aturan tertentu sehingga didapatkan seorang/kelompok pemenang (juara). Sedangkan teka-teki merupakan jenis perlombaan, di mana penentuan pemenang didasarkan pada kreteria tertentu, misalnya: kecepatan, ketetapan, kreativitas, dan lain-lain. 3.



Keuntungan pembelajaran matematika dengan menggunakan teknik permainan dan teka-teki adalah sebagai berikut: (1) Sudah termuat sifat-sifat cara berpikir matematika, sehingga secara langsung atau tidak langsung kita telah menanamkan dasar matematika. (2) Memperluas belajar matematika (3) Pada umumnya siswa sekolah dasar senang melakukan permainan, seyogyanya pembelajaran matematika dapat disajikan dalam bentuk/teknik permainan yang sesuai dengan usia/ kemampuan siswa. (4) Dalam waktu luang (jam bebas) dapat diisi dengan jenis permainan yang terarah. Contoh-contoh permaian dan teka-teki yang dapat digunakana antara lain sebagai berikut. Contoh 3.12. Disediakan bangun bujursangkar tiga kali tiga, isikan (masukan) bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 kedalam bujursangkar-bujursangkar tersebut sedemikian rupa sehingga jumlah bilangan dalam bujursangkar mendatar, menurun maupun diagonal berjumlah 15. Guru memperlihatkan cara pengisian bujursangkar-bujursakar tersebut, seperti berikut:



Pemecahan Masalah Matematika



83



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



1 5



1



5



3



5



2



I



II



IV



∑15



4



2



III



8



1



6



∑15



3



5



7



4



9



2



∑15 ∑15



∑15 ∑15 ∑15



∑15



Setelah memberikan contoh tersebut di atas, merubah bilangan-bilangan yang dimasukan menjadi seperti berikut, yaitu: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, dan 3. Sehingga setelah dimasukan jumlah mendatar, menurun, dan diagonal berjumlah sama.



Jawab: Langkah-langkahnya sebagai berikut: (1) Masukan bilangan yang tengah (-1) pada kotak (bujursangkar) yang tengah dan masukan bilangan urutan pertama (-5) pada kotak kedua paling atas. (2) Setelah menempatkan bilangan (-5), tempatkan bilangan (-4) pada kota jalan kuda (pada permainan catur) atau mengikuti “leter L” dan dilanjutkan untuk bilangan (-3) dan (-2) ada pada posisi diagonal. (3) Bilangan 0 ditempatkan pada jalur diagonal yang lurus dengan bilangan (-2). (4) Untuk bilangan yang lain mengikuti “leter L” setelah menempatkan bilangan 0. (5) Gambarnya seperti berikut:



2



-5



0



-3



-1



1



-2



3



-4



(6) Dari kotak-kotak mendatar, menurun, dan diagonal didapat jumlah-jumlahnya adalah (-3)



84



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 3. 13. Masukan bilangan-bilangan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 pada kotak-kotak berikut ini, dengan syarat satu bilangan dengan bilangan yang berdekatan tidak boleh berurutan (misal 1 dengan 2, 3 dengan 2 atau 4, dll).



Bilangan-bilangan tersebut salah satu yang mungkin adalah sebagai berikut:



7



4



6



1



8



3



5



2



Contoh 3. 14. Misalkan gambar di bawah ini adalah gambar ikan yang terbuat dari batang-batang korek api, ubahlah gambar di bawah ini dengan memindahkan dua batang korek api sedemikian rupa sehingga posisi ikan beruabah arah.



Jawab:



Pemecahan Masalah Matematika



85



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh 3.15. Aku adalah adalah bilangan bulat, bila dikalikan dengan bilangan asli berapa saja, jumlah angka-angka hasil perkaliannya selalu menunjuk aku, aku sering mendapat sebutan: “bilangan istimewa, bilangan paling kuat, dan bilangan keberuntungan”. Bilangan berapakah aku? Jawab: Bilangan tersebut adalah bilangan 9 (sembilan) Misal: 9 x 5 = 45 ⇒ 4 + 5 = 9 9 x 67 = 603 6 + 0 + 3 = 9 9 x 128 = 1152 1 + 1 + 5 + 2 = 9 9 x 8675 = 78075 7 + 8 + 0 + 7 + 5 = 27 2 + 7 = 9 5.



Teknik Simulasi Simulasi adalah sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata. Dalam simulasi biasanya dituntut kemampuan prasyarat, oleh karenanya simulasi biasanya diterapkan dalam pembelajaran pada akhir kegiatan. Kegiatan simulasi dapat meningkatkan minat belajar, tetapi akan menimbulkan kegaduhan dan memakan waktu yang relatif lama. Untuk meminimalkan kegaduhan dan waktu yang lama, guru membuat perencanan dan peraturan yang yang baik. Kegiatan/aktivitas yang dapat disimulasikan misalnya: proses jual beli, proses lelang, kegiatan perbangkan, usaha koperasi, membuat suatu proyek, dan lain sebagainya. Contoh 3.16. Tema Alat/media Pemeran Contoh etalase



86



: Proses jual beli : uang-uangan, gambar/benda yang diperjualbelikan, nota penjualan, etalase/ meja pajangan, kalkulator/alat hitung. : kasir, penjaga barang, pembeli :



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Contoh nota penjualan : Nama Pembeli : .................... Tanggal



: ....................



Alamat



: ....................



No. Urut



Jumlah Barang



1 2 3 4 5 6 7 8



5 3 10 2 25 2 4 3



Nama Barang



Pensil Gunting Buku Telepon Amplop Mouse Meteran Komputer



Harga Satuan (Rp.)



Besar Discont (%)



3,000 7,000 14,000 45,000 500 15,000 8,000 5,000,000



5 35 25 25 25 35 35 35



Harga setelah Discont (Rp.) 2,850 4,550 10,500 33,750 375 9,750 5,200 3,250,000 Jumlah



Harga Total (Rp.)



14,250 13,650 105,000 67,500 9,375 19,500 20,800 9,750,000 10,000,075



1. Apa yang harus dilakuan guru jika setelah proses pembelajaran selesai, ternyata hasil belajar siswa tidak memenuhi target yang telah ditentukan? 2. Bagaimana tanggapan Anda terhadap pernyataan: “tidak ada metode/teknik yang terbaik” untuk digunakan dalam proses pembelajaran. 3. Hasil belajar yang didapatkan dari mencoba sendiri, menemukan sendiri akan bertahan lama dibandingkan dengan hasil informasi dari guru, jelaskan. 4. Buatlah suatu analogi cerita yang cocok untuk “10 + (-3) + (-5)” . 5. Dua kelompok siswa sedang melakukan tebak-tebakan titik koordinat (x, y). Kelompok A memberikan data (x, y ) adalah permutasi bilangan kurang dari 10 . Bilangan (x, y) tersebut harus ditebak oleh kelompok B dengan cara mengajukan 5 pertanyaan dan harus dijawab dengan jujur oleh kelompok A. (Ketentuan pemenang adalah: jika menebak salah satunya (x atau y) tepat skornya 50 dan jika menebak keduanya tepat skornya 100) Silakan Anda mencoba.



Pemecahan Masalah Matematika



87



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Petunjuk Jawaban Latihan 1. Guru merefleksi kegiatan belajar mengajar yang telah dilakukan, sehingga didapatkan kemungkinan-kemungkinan penyebab kegagalan, dan selanjutnya merubah strategi pembelajaran (salah satunya adalah memilih metode/teknik yang lain). 2. Pernyataan tersebut benar, sebab pemilihan metode harus menyesuaikan dengan kemampuan guru, sifat materi, karakteristik siswa, dan situasi dan kondisi kelas. 3. Hasil belajar yang didapatkan dari mencoba sendiri, menemukan sendiri akan bertahan lama dibandingkan dengan hasil informasi dari guru, sebab materi yang diinformasikan (dijelaskan) guru kurang berkesan dibandingkan dengan hasil pengalaman sendiri. 4. Ibu menyimpan uang sebanyak 10 lembar uang ribuan, tetapi ia mempunyai hutang kepada bu Minah sebanyak 3 lembar uang ribuan dan bu Ijah sebanyak 5 lembar uang ribuan. 5. Kelompok A menuliskan titik kordinat (x, y) dalam secarik kertas dan menyimpannya di tempat yang netral (tempat yang tidak memungkinkan untuk merubah), misalnya (3, 1) Proses permainan tebak-tebakan seperti berikut: Pertanyaan 1 : apakah x anggota bilangan genap? Jawaban : tidak/bukan Pertanyaan 2 : apakah y anggota bilangan genap pula? Jawab : tidak/bukan Pertanyaan 3 : apakah x kurang dari 5 Jawab : ya Pertanyaan 4 : apakah y kuarang dari 5 pula Jawab : ya Pertanyaan 5 : apakah x sama dengan 3 Jawab : ya Pemikiran dari kelompok B adalah sebagai berikut: (1) x adalah bilangan ganjil sama dengan 3 (2) y adalah bilangan ganjil kurang dari 5, berarti y = 3 atau y = 1 (3) Kesimpulan (x, y) adalah (3, 3) atau (3, 1)



Tugas guru yang tidak kalah pentingnya dengan tugas lain yaitu menentukan/memilih metode/teknik pembelajaran. Pemilihan etode/teknik yang monoton akan berpengaruh terhadap minat dan hasil belajar. Oleh karena itu guru perlu memilih/menentukan metode/ teknik yang cocok agar tujuan yang telah ditentukan mudah dicapai. Metode/teknik yang sesuai dengan proses pembelajaran pemecahan masalah di sekolah dasar diantaranya adalah: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan/Teka-teki dan Teknik Simulasi.



88



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Teknik Keterlibatan Siswa merupakan teknik mengajar yang mengikutsertakan siswa secara fisik dan mental. Secara fisik seperti ikut aktif dalam suatu kegiatan yang melibatkan anggota tubuh maupun panca indra, sedangkan secara mental siswa mengikuti jalannya suatu pembelajaran dengan antusias dan konsentrasi penuh. Teknik Analogi adalah suatu teknik yang berusaha menciptakan suatu cerita untuk mengilustrasikan suatu konsep Teknik Menggunakan Model biasanya guru menggunakan berupa gambar atau benda memperagakan referensi dari konsep yang akan dikembangkan. Teknik ini digunakan secara luas untuk mengurangi tingkat abstraksi suatu konsep. Permaian adalah sembarang alat atau aktivitas yang mempunya satu atau lebih pemenang, di mana seorang atau kelompok siswa saling “berhadapan” melakukan kegiatan bermain dengan menggunakan aturan-aturan tertentu sehingga didapatkan seorang/kelompok pemenang (juara). Sedangkan teka-teki merupakan jenis perlombaan, di mana penentuan pemenang didasarkan pada kreteria tertentu, misalnya: kecepatan, ketepan, kreativitas, dan lain-lain. Simulasi adalah sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata. Dalam simulasi biasanya dituntut kemampuan prasyarat, oleh karenanya simulasi biasanya diterapkan dalam pembelajaran pada akhir kegiatan.



Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat ! 1. Tugas guru dalam merencanakan kegiatan pembelajaran adalah sebagai berikut, kecuali ... A. Membuat tujuan pembelajaran secara umum B. Menentukan materi pembelajaran C. Memilih metode/teknik pembelajaran D. Menentukan media pembelajaran 2. Pemilihan metode/teknik pembelajaran haruslah memperhatikan hal-hal sebagai berikut, kecuali ... A. karakteristik siswa B. situasi dan kondisi kelas C. keyakinan akan keberhasilan D. kesukaan guru



Pemecahan Masalah Matematika



89



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



3. Pemilihan metode/teknik keterlibatan siswa, mungkin dilaksanakan jika didukung oleh hal-hal sebagai berikut, kecuali ... A. siswa memiliki minat belajar yang tinggi B. media/alat pembelajaran yang diperlukan tersedia C. guru kurang menguasai metode/teknik yang lain D. kemampuan guru dalam mengelola kelas 4. Guru akan menjelaskan bahwa perkalian berhubungan erat dengan pembagian, misal jika 5 x 8 = 40, maka 40 habis dibagi 5 atau 8. Contoh cerita yang cocok untuk mengungkapkan “40 : 5” adalah ... A. Budi memiliki 5 bungkus permen, setiap bungkusnya terdiri dari 8 biji perpen B. Budi memiliki 8 bungkus permen setiap bungkusnya terdiri dari 5 biji permen C. Jika Budi memiliki 40 biji permen yang tersimpan dalam 5 bungkus, maka setiap bungkusnya terdiri dari ... biji permen. D. Jika Budi memiliki 40 biji permen yang tersimpan dalam 8 bungkus, maka setiap bungkusnya terdiri dari ... biji permen. 5. Model yang cocok untuk cerita: “ Terdapat sejumlah garis bertemu di satu titik, maka sudutsudut yang mungkin terjadi adalah sebanyak.... sudut” B



A



C



D



6. Model yang cocok untuk cerita: “ Dalam suatu rapat yang dihadiri oleh lima orang dan mereka saling bersalaman satu dengan yang lainnya, maka banyaknya bersalaman adalah ....”



A



B



C



90



D



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



7. Tanggal berapa Pak Ahmad lahir?. Data yang diberikan adalah sebagai berikut:



A 1 5 9 13 17 21 25 29



B 3 7 11 15 19 23 27 31



2 6 10 14 18 22 26 30



C 3 7 11 5 19 23 27 31



4 6 12 14 20 22 28 30



D 5 7 13 15 21 23 29 31



8 10 12 14 24 26 28 30



E 9 11 13 15 25 27 29 31



16 18 20 22 24 26 28 30



17 19 21 23 25 27 29 31



Berdasarkan tabel di atas, tanggal lahir Pak Ahmad terdapat pada kolom seperti berikut:



A



B v



C v



D



E v



Atau dengan kata lain, tanggal kelahiran Pak Ahmad terdapat pada kolom B, C, dan E. Maka tanggallahir Pak Ahmad adalah tanggal .... A. 14 C. 22 B. 18 D. 30 8. Amin, Budi, dan Cuncun masing-masing mempunyai sejumlah uang. Jika Uang Amin disatukan dengan uang Budi berjumlah Rp 60.000,00, uang Budi disatukan dengan uang Cuncun berjumlah Rp 110.000,00, dan uang Cuncun disatukan dengan uang Amin berjumlah Rp 80.000,00. Jumlah uang mereka semua adalah ... A. Rp 115.000,00 C. Rp 125.000,00 B. Rp 120.000,00 D. Rp 130.000,00 9. Berikut ini adalah kegiatan/aktivitas yang dapat disimulasikan, kecuali ... A. Kegiatan menentukan rumus bangun ruang C. Kegiatan berkoperasi B. Kegiatan perbankkan D. Kegiatan melelang 10. Jika guru tidak mengantisipasi terlebih dahulu dalam penggunaan teknik simulasi, maka kelemahannya adalah sebagai berikut, kecuali ... A. menimbulkan kegaduhan C. tujuan pembelajaran sulit dicapai B. memerlukan waktu yang relatif lama D. terlena dalam simulasi, sehingga lupa tujuan



Pemecahan Masalah Matematika



91



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar . Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = —————————————— x 100 % 10 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kuran Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai.



92



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF Tes Formatif 1 1. B 2. A 3. B 4. C 5. A



6. A 7. B 8. D 9. D 10. B



Tes Formatif 2 1. A 2. D 3. C 4. D 5. A 6. D 7. C Perhatikan bilangan yang terdapat di sebelah kiri setiap kolom (bilangan: 1, 2, 4, 8, dan 16). Karena tanggal kelahiran Pak Ahmad terdapat pada kolom B, C, dan E, maka tanggal lahirnya adalah: 2 + 4 + 16 = 22 8. C Perhatikan pola berikut B



60.000



A



Uang A =



110.000



80.000



C



[∑ ( A + B) + ∑ ( A + C )]− ∑ ( B + C ) = [60.000 + 80.000] − 110.000 = 15.000



2 ∑ ( A + B) + ∑ ( B + C ) − ∑ ( A + C )



2 [60.000 + 110.000] − 80.000 = 45.000 = Uang B = 2 2 + + + − + ( ) ( ) ( ) A C B C A B [80.000 + 110.000] − 60.000 = 65.000 ∑ ∑ ∑ = Uang C = 2 2



[



]



[



]



9. A 10. C



Pemecahan Masalah Matematika



93



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



GLOSARIUM analogi : berdasarkan persamaan atau kiasan, yang menggunakan persamaan, kiasan dua dimensi : benda yang mempunyai panjang dan lebar interaktif : bersifat saling mempengaruhi karakteristik : sifat-sifat kontekstual : berhubungan dengan konteks kontruksi : bersifat membangun, secara tidak langsung operasi hitung : perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan, akar dan pangkat satu dimensi : benda yang mempunyai panjang saja simulasi : sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata strategi : Siasat tiga dimensi : benda yang mempunyai panjang, lebar dan tinggi translasi : terjemahan



94



Pemecahan Masalah Matematika



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



DAFTAR PUSTAKA Billstein, Rick, Shlomo Lebeskind, Johnny W. Lott. A Problem Solving Approach to Mathematics For Elementary School Teachers (Fifth Edition). Addison-Wesley Publishing Company. TT Herman Hudoyo dan Akabar Sutawidjaja (1996/1997), Matematika, Depdikbud, Jakarta. Pusat Kurikulum Depdiknas, Kurikulum Matematika Sekolah Dasar tahun 2004 Ruseffendi, E.T. (1997). Materi Pokok Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Universitas Terbuka Suharta, I Gusti Putu. Matematika Realistik: Apa dan Bagaiman?. www.depdiknas.go.id.(0103-2006) Sutawidjaja, Akabar. (1992/1993). Pendidikan Matematika 3. Depdikbud, Dirjen Dikti, PPTK: Jakarta. Tim MKPBM Jurusan Pendidikan Matematika (2001), Common Text Book Strategi Pembelajaran Matematika Kontempor. UPI, Bandung Wheeler, R.E. (1992). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth.



Pemecahan Masalah Matematika



95



Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika



96



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



PEMECAHAN MASALAH DALAM HIMPUNAN DAN FUNGSI



P



ada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 4 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan nonrutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 4 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam himpunan dan fungsi, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar 1: Himpunan, dan Kegiatan Belajar 2: Fungsi. Meskipun antara kegiatan belajar yang satu bukan merupakan prasyarat untuk mempelajari kegiatan belajar lainnya, akan tetapi satu sama lain memiliki keterkaitan yang erat. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan dan fungsi. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat: 1. Membedakan suatu kumpulan yang termasuk himpunan atau bukan himpunan. 2. Menyatakan suatu himpunan dengan cara dengan mendaftar anggota himpunan. 3. Menyatakan suatu himpunan dengan menjelaskan sifat anggota himpunan. 4. Menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. 5. Memperoleh pengertian mengenai himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan bagian, serta komplemen suatu himpunan. 6. Terampil menggunakan diagram venn untuk menjelaskan keanggotaan dan melakukan operasi suatu himpunan. 7. Terampil melakukan operasi irisan, gabungan, dan selisih antara dua himpunan. 8. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan. 9. Memperoleh pemahaman tentang pengertian fungsi. 10. Terampil menginterpretasikan dan menggambar grafik suatu fungsi linear.



Pemecahan Masalah Matematika



97



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



11. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan persamaan garis melalui satu titik dengan gradien tertentu. 12. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan persamaan garis melalui dua titik. Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB 1: Himpunan KB 2: Fungsi Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini: 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini. 2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan!



98



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



HIMPUNAN PENGANTAR impunan merupakan konsep matematika yang sangat mendasar dan sangat penting karena aplikasinya yang begitu luas, banyak digunakan baik dalam cabang-cabang matematika, maupun di luar bidang matematika. Himpunan juga merupakan kajian matematika yang banyak dipelajari oleh siswa SD, sehingga guru atau calon guru SD diharapkan untuk menguasai konsep himpunan ini.



H



Cakupan materi dalam Kegiatan Belajar 1 ini antara lain: Pengertian Himpunan, Penulisan Himpunan, Himpunan Kosong, Himpunan Semesta, Himpunan Bagian, Diagram Venn, dan OperasiOperasi pada Himpunan, serta di dalam setiap kajian materi tersebut disuguhkan pemecahan masalah matematiknya. INDIKATOR Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, Anda diharapkan dapat: 1. Membedakan suatu kumpulan yang termasuk himpunan atau bukan himpunan. 2. Menyatakan suatu himpunan dengan cara dengan mendaftar anggota himpunan. 3. Menyatakan suatu himpunan dengan menjelaskan sifat anggota himpunan. 4. Menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. 5. Memperoleh pengertian mengenai himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan bagian, serta komplemen suatu himpunan. 6. Terampil menggunakan diagram venn untuk menjelaskan keanggotaan dan melakukan operasi suatu himpunan. 7. Terampil melakukan operasi irisan, gabungan, dan selisih antara dua himpunan. 8. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan. URAIAN Pernahkah Anda berbelanja ke pasar? Apa sajakah yang bisa Anda lihat di sana? Di pasar, Anda pasti akan melihat banyak sekali barang dagangan yang sedang diperjualbelikan. Beberapa pedagang ada menjual buah-buahan seperti lengkeng, apel, jeruk, durian, anggur, dan berbagai jenis buah lainnya. Banyak pula pedagang yang menjual beraneka sayuran seperti wortel, bayam, kol, kacang panjang, ataupun buncis. Selain bahan makanan, tentu saja masih banyak pedagang yang menjual barang lain seperti pakaian, mainan, alat tulis, dan sebagainya. Dapatkah Anda menyebutkan kelompok barang dagangan lain yang sering dijumpai di pasar selain yang disebutkan baru saja?



Pemecahan Masalah Matematika



99



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Pengertian Himpunan Himpunan dalam pengertian matematika sering juga disebut kumpulan, atau kelompok. Himpunan dapat dibayangkan sebagai suatu kumpulan benda-benda baik yang “jelas” maupun yang “tidak jelas”. Kumpulan benda-benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan benda-benda yang tidak jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut. a.



Kumpulan nama-nama bulan dalam satu tahun.



Apakah Anda dapat menyebutkan nama-nama bulan dalam satu tahun? Tentu saja kita semua mengetahui bahwa nama-nama bulan dalam satu tahun adalah: Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Tepatnya ada 12 bulan dalam satu tahun. Hal ini berarti bahwa kumpulan nama-nama bulan dalam satu tahun memiliki anggota yang dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. b.



Kumpulan orang kaya di kota Sumedang.



Apakah Anda mengetahui siapa saja orang kaya di kota Sumedang? Berapa banyak uang tabungannya di bank agar dapat disebut sebagai orang kaya? Berapa banyak mobil yang harus dia miliki agar tersohor sebagai orang kaya? Anggota dari kumpulan orang kaya di kota Sumedang tidak dapat kita tetapkan atau kelompokkan secara jelas, karena pengertian ‘kaya’ itu sendiri sangat relatif atau tidak jelas. Dari kedua contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pada contoh (a) kita dapat mengetahui bahwa kumpulan tersebut merupakan sebuah himpunan. Mengapa demikian? Karena kita dapat mengelompokkan anggota-anggotanya dengan jelas. Sedangkan pada contoh (b), karena kita tidak dapat menetapkan anggota kelompoknya dengan jelas, maka kumpulan tersebut bukan merupakan suatu himpunan. Dengan demikian, kita dapat menyusun suatu pengertian himpunan, yaitu: Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang anggota-anggotanya dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, dan seterusnya. Contoh 4.1.1: Himpunan bilangan asli kurang dari 25! Misalnya himpunan itu diberi nama A, maka A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 25 yang dapat kita tulis, A = {bilangan asli kurang dari 25}.



100



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Contoh 4.1.2: Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. Misalnya himpunan itu diberi nama B, maka B adalah himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J yang dapat kita tulis, B = {nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan lambang ∈ dan untuk menyatakan bahwa suatu objek atau benda yang bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang . Contoh 4.1.3: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, maka: 1 merupakan anggota A, ditulis 1 A, 5 merupakan anggota A, ditulis 5 A, 12 bukan anggota A, ditulis 12 .



Penulisan Himpunan



∉ bxx | bx



Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan, antara lain: 1. dengan mendaftar anggota himpunan; 2. dengan menjelaskan sifat anggota himpunan; 3. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh 4.1.4: Misalkan kita akan menyatakan himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. 1. Dengan mendaftar anggota himpunan, misalnya B = {Januari, Juni, Juli} 2. Dengan menjelaskan sifat anggota himpunan, misalnya Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. 3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, misalnya B = { nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}. Kalimat ini dapat dibaca, B adalah himpunan dari semua x adalah nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. Penggunaan A={



pada notasi penulisan himpunan dapat diganti dengan huruf kecil lainnya. Misalnya: nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J} atau,



A = { y | y nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}



Pemecahan Masalah Matematika



101



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Contoh 4.1.5: Suatu Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} mempunyai anggota sebanyak 7 buah dan ditulis n(A) = 7. Sedangkan suatu himpunan Z = { x | x huruf yang menyusun kata “harry potter”}. Kata harry potter terdiri atas 11 huruf, yaitu h, a, r, r, y, p, o, t, t, e, r. Huruf r ada 3 buah dan huruf t ada 2 buah, tetapi karena anggota yang sama dalam satu himpunan hanya ditulis satu kali, sehingga salah jika kita menuliskannya sebagai Z = {h, a, r, r, y, p, o, t, t, e, r}. Yang benar Z = {h, a, r, y, p, o, t, e}. Dengan demikian, kita dapat mengetahui bahwa banyaknya anggota himpunan K adalah 8 buah dan dapat ditulis n(Z) = 8.



Himpunan Kosong Apakah setiap himpunan mempunyai anggota? Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut. Contoh 4.1.6: A = {bilangan cacah yang kurang dari 8}, maka A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Sehingga kita dapat mengetahui bahwa banyak anggota himpunan A adalah 8 dan ditulis n(A) = 8. Contoh 4.1.7: B = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 1}. Menurut Anda, adakah bilangan asli yang kurang dari 1? Karena tidak ada suatu bilangan yang termasuk kelompok bilangan asli yang kurang dari 1, maka kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan B tidak memiliki anggota. Sehingga kita dapat menulisnya B = { } dan n(B) = 0. Contoh 4.1.8: P = {himpunan bilangan prima antara 14 dan 16}. Hanya ada satu bilangan antara 14 dan 15, yaitu bilangan 15. Tetapi, apakah bilangan 15 merupakan bilangan prima? Ternyata bilangan 15 bukan merupakan bilangan prima, karena memiliki faktor-faktor {1, 3, 5, 15}. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan bahwa himpunan P tidak memiliki anggota dan ditulis P = ∅ dan n(P) = 0. Dari himpunan-himpunan pada Contoh 4.1.6, Contoh 4.1.7, dan Contoh 4.1.8, ternyata terdapat himpunan yang tidak mempunyai anggota, yaitu himpunan pada Contoh 4.1.7 dan Contoh 4.1.8. Himpunan yang tidak mempunyai anggota tersebut kita namakan sebagai himpunan kosong. Ingat, suatu himpunan kosong yang ditulis P = { }, berarti himpunan tersebut tidak memiliki anggota, atau n(P) = 0. Akan tetapi suatu himpunan dengan anggotanya nol, misal Q = {0}, bukan merupakan himpunan kosong, karena jumlah anggotanya adalah 1, ditulis n(Q) = 1. Anda harus hati-hati, jangan sampai keliru membedakannya.



102



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Himpunan Semesta Untuk dapat memahami pengertian himpunan semesta, perhatikanlah beberapa contoh himpunan di bawah ini. Contoh 4.1.9: H = {bebek, ayam, kucing, sapi, macan} Himpunan H terdiri dari nama-nama hewan. Oleh karena itu, himpunan semesta ini dapat dinyatakan sebagai himpunan semua hewan yang ada di dunia. Contoh 4.1.10: K = {5, 7, 11} Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua anggota K di antaranya adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, atau {bilangan prima}. Oleh karena itu, himpunan semesta dari himpunan B adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, {bilangan prima}.



Himpunan Bagian Diketahui dua himpunan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f, g}. Dari kedua himpunan tersebut dapat dilihat bahwa semua anggota A merupakan anggota B juga. Ini berarti bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dan dapat ditulis A ⊂ B. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B dan dapat ditulis A ⊂ B. Atau dapat juga dikatakan bahwa himpunan B memuat A yang dapat ditulis B ⊃ A. Contoh 4.1.11: Diketahui M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan N = {2, 4, 6, 8, 10}. Tentukan hubungan antara himpunan M dan himpunan N! Jawaban: Karena setiap anggota N merupakan anggota M, maka hubungan antara himpunan M dan himpunan N adalah M ⊃ N, atau N ⊂ M. Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan digunakan rumus 2n, dengan n menyatakan jumlah anggota suatu himpunan. Misal, himpunan A = {1, 2, 3}. Karena n(A) = 3, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan A adalah 23, yaitu 8.



Pemecahan Masalah Matematika



103



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Diagram Venn Masih terdapat cara selain untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan (lihat kembali 3 cara pada bagian sebelumnya, yakni dengan Diagram Venn. Diagram Venn ini diperkenalkan oleh John Venn (1834-1923) dapat digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan. Diagram venn dapat digambarkan dalam bentuk elips atau lingkaran yang di dalamnya terdapat anggota suatu himpunan yang ditunjukkan dengan sebuah noktah atau titik. Contoh 4.1.12: Diketahui himpunan A = {a, b, c, d} sedangkan himpunan semestanya adalah S = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Gambar diagram venn untuk himpunan A tersebut adalah sebagai berikut:



Unsur yang tidak termasuk dalam anggota himpunan harus diletakkan di luar diagram venn. Dalam diagram venn, semesta pembicaraan digambarkan dalam bentuk persegi. Himpunan bagiannya digambarkan dengan kurva tertutup sederhana. Anggota himpunannya digambarkan dengan noktah (titik).



Irisan (Intersection) Himpunan Untuk mempermudah pemahaman mengeai operasi irisan pada himpunan, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 4.1.13: Himpunan A dan himpunan B berikut ini. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {4, 6, 8, 10}. Bilangan berapakah yang termasuk anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B? Ternyata, bilangan 4 dan 6 merupakan bilangan yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Oleh karena itu, {4, 6} merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan himpunan B yang dapat disebut sebagai irisan himpunan A dan B, ditulis: A ∩ B = {4, 6}. Irisan himpunan A dan himpunan B tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk diagram venn sebagai berikut. Irisan himpunan A dan B dapat ditulis sebagai: A ∩ B={



104



dan x ∈ B }



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Artinya, irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B juga.



Gabungan (Union) Himpunan Untuk mempermudah pemahaman mengenai operasi irisan pada himpunan, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 4.1.14: Perhatikan himpunan A dan himpunan B berikut ini. A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}. Dari kedua himpunan tersebut kita dapat membentuk sebuah himpunan baru, yaitu {1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan tersebut merupakan anggota himpunan A saja, anggota himpunan B saja, dan anggota persekutuan A dan B. Pada himpunan tersebut telah berlaku operasi gabungan antara himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara himpunan a dan b tersebut dapat ditulis: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Gabungan himpunan A dan B dapat ditulis sebagai: A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Artinya, gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A saja, anggota himpunan B saja, dan anggota persekutuan A dan B. Banyaknya anggota himpunan dari gabungan dua himpunan dan tiga himpunan dapat dilihat dari diagram venn berikut.



S A . 1



B .3



. 4



. 2 . 5



Karena: n(A) = a + b , n(B) = b + c , n(A ∩ B) = b , Maka: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)



Pemecahan Masalah Matematika



105



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Komplemen Suatu Himpunan Misalkan suatu himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan A = {1, 3, 5}. Himpunan lain yang beranggotakan {2, 4} adalah anggota dari S tetapi bukan anggota A. Himpunan demikian dinamakan sebagai Komplemen dari A, biasa ditulis AC atau A2 . Dengan demikian AC = { x | x ∉ A dan x ∈ S }. Perhatikan diagram venn di bawah ini:



S AC



Selisih Dua Himpunan Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, berarti A ∩ B = {2, 4, 6}. Selisih himpunan yang ditulis sebagai A – B adalah seluruh anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih himpunan tersebut dinyatakan dengan: A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } atau, A − B = A ∩ BC Perhatikan diagram venn berikut ini, bagian yang diarsir menyatakan A – B. S A



106



B



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Sifat-Sifat Operasi Himpunan Untuk lebih memudahkan Anda dalam memahami konsep himpunan, perhatikan beberapa sifat operasi himpunan berikut ini. 1. Sifat komutatif irisan :A∩ B = B∩ A 2. Sifat asosiatif irisan : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. Sifat komutatif gabungan :A∪ B = B∪ A 4. Sifat asosiatif gabungan : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 5. Sifat distributif irisan terhadap gabungan : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) (A ∩ C) 6. Sifat distributif gabungan terhadap irisan : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)



Pemecahan Masalah Dalam Topik Himpunan ‘Bekerja cerdas’ dan ‘bekerja keras’ dalam menerima tantangan merupakan syarat mutlak yang harus dimiliki oleh kita ketika memecahkan masalah. Seseorang harus bekerja cerdas untuk mencari langkah-langkah yang mungkin dilakukan, dan bekerja keras ketika melaksanakan langkahlangkah tersebut. Memang banyak rumus, teorema, aturan, maupun hukum yang kita miliki, akan tetapi belum dapat segera digunakan langsung untuk menyelesaikan masalah tersebut. Oleh karena itu, kita perlu perencanaan yang berupa langkah-langkah sistematik untuk memecahkan masalah tersebut. Seperti yang telah Anda pelajari pada bahan belajar mandiri sebelumnya, terdapat langkah-langkah sistematik pemecahan masalah, seperti yang dianjurkan Polya sebagai berikut ini: 1. Memahami masalah, bisa dengan cara menuliskan kembali masalah dengan kata-kata sendiri, menuliskan masalah dalam bentuk lain yang lebih operasional, dalam bentuk rumus, dalam bentuk gambar, dan sebagainya. 2. Membuat rencana atau cara untuk memecahkan masalah. Dalam pembuatan rencana ini juga memungkinkan kita untuk membuat hipotesis-hipotesis sebagai jawaban sementara. 3. Menjalankan rencana yang telah dibuat pada langkah kedua. Dengan kata lain, kita menyelesaikan permasalahan yang ada dengan cara yang telah kita susun pada langkah kedua. 4. Melihat kembali apa yang telah dilakukan, yaitu memeriksa benar atau tidaknya pemecahan masalah yang telah dilakukan, atau juga untuk melihat alternatif penyelesaian yang lebih baik (lebih praktis dan efisien). Dalam topik himpunan, beberapa permasalahan non-rutin yang mungkin Anda hadapi untuk dicari pemecahannya misalnya sebagai berikut ini. Contoh 4.1.15: Suatu kelompok siswa yang terdiri dari 15 anak. 8 anak suka tennis, 9 anak suka catur, serta 5 anak menyukai tennis dan catur. Berapa anak yang tidak menyukai kedua-duanya (tennis maupun catur)?



Pemecahan Masalah Matematika



107



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



Jawaban: Untuk menjawab permasalahan ini, ada baiknya kita laksanakan langkah-langkah berikut: 1. Memahami masalah, bisa dengan cara menuliskan kembali masalah dengan kata-kata sendiri, atau menuliskan masalah dalam bentuk gambar. Dalam hal ini kita mengetahui bahwa jumlah seluruh siswa adalah 15 orang. Akan tetapi jika kita melakukan penjumlahan untuk setiap jumlah siswa berdasarkan kesukaannya, pasti akan melebihi 15 anak, karena 8 + 9 + 5 = 27. Jika Anda menganggap bahwa jumlah siswa keseluruhannya adalah 27, itu keliru. Oleh karena itu, perlu cara lain untuk memecahkan permasalahan ini. 2. Membuat rencana atau cara untuk memecahkan masalah. Agar lebih mudah, ada baiknya jika masalah ini dipecahkan dengan membuat suatu diagram venn. Kita misalkan T sebagai kelompok yang menyukai tennis, dan C sebagai kelompok yang menyukai catur. Berarti akan terdapat irisan antara himpunan T dan C yang menyatakan kelompok yang menyukai keduanya, yaitu T ∩ C . Banyaknya siswa yang tidak menyukai tennis maupun catur adalah dengan mengurangkan jumlah anggota himpunan semesta dengan gabungan T dan C, yakni n(S) – n(T ∪ C). 3. Menjalankan rencana yang telah dibuat pada langkah kedua. Dengan kata lain, kita menyelesaikan permasalahan yang ada dengan cara yang telah kita susun pada langkah kedua, yaitu: Jumlah siswa yang tidak menyukai tennis maupun catur adalah: n(S) – n(T ∪ C)



= n(S) – [n(T) + n(C) – n(T ∩ C)]



= 15 – (8 + 9 – 5) = 15 – 12 = 3 4. Melihat kembali apa yang telah dilakukan, yaitu memeriksa benar atau tidaknya pemecahan masalah yang telah dilakukan, atau juga untuk melihat alternatif penyelesaian yang lebih baik (lebih praktis dan efisien). Dalam kasus ini, kita juga dapat melakukan pemecahan masalah dengan menggunakan gambar suatu diagram venn. Perhatikan gambar berikut: T: kelompok yang suka tennis, berjumlah 8 siswa. C: kelompok yang suka catur, berjumlah 9 siswa.



Jadi, memang benar bahwa ada 3 anak yang tidak suka tennis maupun catur. Coba Anda bandingkan, cara manakan yang menurut Anda lebih efisien?



108



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi



1. Diketahui himpunan A = {a, b, c}. Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A. Hitunglah banyak himpunan bagian dari A! 2. Jika untuk dua buah himpunan A dan B berlaku rumus umum: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) maka untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, tentukan rumus umum untuk n(A ∪ B ∪ C) ! 3. Dalam sebuah kelas terdapat 45 siswa yang terdiri dari 32 siswa yang gemar makan soto, 35 siswa yang gemar makan sate, dan 27 siswa gemar makan soto dan sate. Berapa banyak siswa yang tidak gemar makan soto dan sate? Kunci Jawaban Latihan 1. Pertama, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Kedua, himpunan bagian yang terdiri dari satu anggota, yaitu {a}, {b}, {c}. Ketiga, himpunan bagian yang terdiri dari dua anggota, yaitu {a,b}, {a,c}, dan {b,c}. Keempat, himpunan bagian yang terdiri dari tiga anggota atau dengan kata lain himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari Himpunan A sendiri, yaitu {a, b, c}.



∪



Jadi, jumlah himpunan bagian dari himpunan A adalah penjumlahan dari himpunan kosong (1), himpunan bagian dengan satu anggota (3), himpunan bagian dengan dua anggota (3), dan himpunan bagian dari himpunan A sendiri (1) yang seluruhnya berjumlah delapan anggota. 2. Misalkan a, b, c, d, e, f, dan g menyatakan jumlah anggota seperti pada gambar berikut ini: S A



B b



a



e d c



f g C



Dengan demikian, n(A ∪ B ∪ C) = a + b + c + d + e + f + g. Karena n(A) = a + b + c + d n(A ∩ B) = b + d n(A ∩ B ∩ C) = d n(B) = b + d + e + f n(A ∩ C) = c + d d + f n(C) = c + d + f + g n(B ∩ C) = maka



n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)



Pemecahan Masalah Matematika



109



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



PEMECAHAN MASALAH DALAM LOGIKA DAN BILANGAN BULAT



P



ada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 5 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik logika dan bilangan bulat. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat: 1. Memperoleh pengertian tentang logika. 2. Memahami tentang nilai kebenaran suatu pernyataan dan menyusun tabel kebenarannya. 3. Menggunakan kaidah-kaidah yang ada dalam operasi uner dan biner; 4. Membuktikan validitas suatu argumen. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang berlaku dalam logika matematika. 6. Terampil menggunakan kaidah-kaidah dalam logika untuk melakukan pemecahan masalah matematik. 7. Memahami pengertian, operasi, dan sifat-sifat bilangan bulat. 8. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. 9. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan pada bilangan bulat. 10. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat. 11. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pembagian pada bilangan bulat. 12. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan bulat. 13. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan bulat. 14. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan.



Pemecahan Masalah Matematika



147



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB 1: Logika KB 2: Bilangan Bulat Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini: 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini. 2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan!



148



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



LOGIKA PENGANTAR ita menyadari bahwa betapa pentingnya berpikir kritis dalam melakukan pemecahan masalah, baik itu masalah matematik, maupun masalah yang berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Dengan berpikir kritis, seseorang dapat mengatur, menyesuaikan, mengubah, atau memperbaiki pikirannya, sehingga ia dapat mengambil keputusan untuk bertindak lebih tepat. Untuk dapat berpikir kritis, seseorang harus juga memiliki kemampuan penalaran. Sedangkan jalan kunci untuk melakukan penalaran adalah dengan memahami logika. Jadi, secara tidak langsung, untuk dapat melakukan pemecahan masalah, syarat yang tak boleh ditinggalkan adalah memahami logika.



K



Pada Kegiatan Belajar 1 ini akan dibahas dengan cukup detail mengenai logika, khususnya logika matematika. Secara garis besar, kajian materi dalam Kegiatan Belajar 1 ini akan dimulai dari pengertian logika, pernyataan dan operasinya, serta argumen dan penarikan kesilmpulan. Setiap kajian materi tersebut disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik. INDIKATOR Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, Anda diharapkan dapat: 1. Memperoleh pengertian tentang logika. 2. Memahami tentang nilai kebenaran suatu pernyataan dan menyusun tabel kebenarannya. 3. Menggunakan kaidah-kaidah yang ada dalam operasi uner dan biner; 4. Membuktikan validitas suatu argumen. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang berlaku dalam logika matematika. 6. Terampil menggunakan kaidah-kaidah dalam logika untuk melakukan pemecahan masalah matematik.



Pemecahan Masalah Matematika



149



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



URAIAN



Pengertian Logika Secara etimologis, istilah “logika” berasal dari bahasa Yunani, “logos”, yang berarti kata, ucapan, pikiran, atau bisa juga mengandung arti ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, logika merupakan suatu metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah. Pengajaran logika terbilang sudah sangat ‘tua’, sejak ribuan tahun yang lalu. Tokoh yang dikenal sebagai pelopor logika adalah Aristoteles (348 – 322 SM). Dalam mempelajari logika, kita tak bisa lepas dari penalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Banyak sering pula yang mengartikan penalaran sebagai cara berpikir, sebagai suatu penjelasan dalam menunjukkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan menggunakan cara-cara tertentu hingga mencapai suatu kesimpulan yang tepat. Selama kita hidup, banyak permasalahan keseharian yang harus dihadapi. Kita dituntut untuk senantiasa menggunakan akal pikiran dalam melakukan setiap kegiatan yang penuh pemikiran dan pertimbangan. Kita harus memiliki pola pikir yang tepat, akurat, rasional, dan objektif. Pola berpikir seperti ini adalah pola berpikir yang terdapat dalam logika. Kelebihan lain dalam mempelajari logika adalah dapat bisa memperoleh nilai-nilai bersifat praktis. Dengan menguasai prinsip-prinsipnya, kita akan sangat tertolong untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan bernalar yang dilakukan oleh orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri kita sendiri.



PENGERTIAN PERNYATAAN Pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Tidak semua kalimat termasuk ke dalam pernyataan. Pernyataan diartikan sebagai kalimat matematika tertutup yang benar saja, atau salah saja, tetapi tidak kedua-duanya dalam waktu yang bersamaan. Biasanya pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil, seperti: p, q, r, s, dan sebagainya. Contoh 4.3.1: Di bawah ini adalah contoh-contoh pernyataan: p : Semua sapi adalah hewan menyusui. q : 3 + 2 = 6. r : Semua makhluk hidup pasti akan mengalami kematian. s : Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dua. Contoh 4.3.2: Di bawah ini adalah contoh-contoh yang bukan pernyataan: 1. Kapan kamu menikah? 2. Makan, yuk! 3. 2x + 3 = 10. 4. 25y – 3 = 17, dengan y adalah bilangan real.



150



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



NILAI KEBENARAN Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan disebut Nilai Kebenaran dari pernyataan tersebut. Nilai kebenaran suatu pernyataan p ditulis ô (p). Jika benar, maka nilai kebenarannya B, dan jika salah nilai kebenarannya S. Contoh 4.3.3: p:3+2=6 p : 2x – 4 = 6, untuk x = 5



maka ô (p) = S. maka ô (p) = B.



OPERASI UNER Dalam logika matematika terdapat dua jenis operasi, yaitu operasi uner dan biner. Operasi uner berarti hanya melibatkan satu unsur, yang dalam hal ini unsur tersebut berupa pernyataan. Yang termasuk operasi uner ini adalah operasi negasi, atau penyangkalan. Negasi biasanya dilambangkan dengan “ ~ “. Nilai kebenaran negasi dari sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan itu. Jadi, jika nilai kebenaran suatu pernyataan adalah B, maka nilai kebenaran negasinya adalah S, begitu pun sebaliknya. Contoh 4.3.4: p : 23 + 51 = 100 maka ~ p : 23 + 51 ≠ 100, atau ~ p : Tidak benar bahwa 23 + 51 = 100. ô (p) = S dan ô (~ p) = B.



OPERASI BINER Operasi biner adalah operasi yang melibatkan dua unsur. Contoh operasi biner yang sering kita jumpai dalam matematika adalah: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan sebagainya. Khusus dalam logika, terdapat empat macam operasi biner, antara lain: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Keempat operasi biner ini akan segera kita pelajari, namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai pernyataan majemuk. Pernyataan Majemuk Pernyataan tunggal yang digabung disebut pernyataan majemuk. Perhatikan contoh sederhana berikut! Elzan adalah pria yang kaya. Elzan adalah pria yang tampan. Kedua pernyataan tunggal di atas dapat digabungkan sehingga membentuk suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung “dan”. Pernyataan majemuk yang dimaksud adalah Elzan adalah pria yang kaya dan tampan. Dalam Kegiatan Belajar 3 ini, kita hanya akan mempelajari pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan tunggal. Kata penghubungnya adalah: (1) “dan”, (2) “atau”, (3) “jika..... maka.....”, serta (4) “.....jika dan hanya jika.....”



Pemecahan Masalah Matematika



151



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



1. Operasi Konjungsi Salah satu cara untuk menggabungkan pernyataan tunggal sehingga menjadi pernyataan majemuk adalah dengan menggunakan kata “dan”., yang dikenal dengan nama operasi konjungsi. Perhatikan kembali kalimat majemuk yang telah dibuat sebelumnya dengan menggunakan kata penghubung “dan”, yaitu Aufa adalah pria yang kaya dan tampan. Pernyataan pertama : Aufa adalah pria yang kaya. Pernyataan kedua



: Aufa adalah pria yang tampan.



Pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan” hanya bernilai benar jika baik pernyataan pertama maupun pernyataan kedua sekaligus benar. Dalam keadaan lain adalah salah, yaitu jika salah satu atau kedua-duanya dari pernyataan tunggal adalah salah, pernyataan majemuk adalah salah. Kata penghubung “dan” pada pernyataan majemuk dilambangkan dengan “ ∧ ”, Definisi Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p dan q disebut konjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan p∧ q Pernyataan p dan q masing-masing disebut konjung-konjung. Konjungsi bernilai benar jika keduannya p dan q adalah benar, dan dalam keadaan lain adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.



p



Tabel 4.3.1 Tabel Kebenaran Konjungsi q p ∧ q



B



B



B



B



S



S



S



B



S



S



S



S



Contoh 4.3.5: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p ∧ q berikut ini! a. p : 100 + 500 = 800 q : 4 adalah faktor dari 12 b. p : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata q : 625 adalah bilangan kuadrat



152



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



Jawaban: a. p salah, q benar p ∧ q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah) Atau bisa juga ditulis: ô (p) = S, ô (q) = B. Jadi, ô (p ∧ q) = S. b. ô (p) = B, ô (q) = B. p ∧ q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah bilangan kuadrat (benar). Jadi, ô (p ∧ q) = B. 2. Operasi Disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata “atau” dinamakan pernyataan disjungsi. Kedua buah pernyataan pembentuk disjungsi ini disebut sebagai disjung-disjung. Kata penghubung “atau” dalam keseharian dapat memiliki arti ganda. Misalnya seorang berkata, “Pada pukul 10 malam nanti, saya akan menonton pertandingan sepakbola world cup atau tidur”, tetapi tidak mungkin keduanya. Pernyataan majemuk seperti ini disebut disjungsi eksklusif. Sekarang, perhatikan disjungsi majemuk berikut: Orang yang boleh memilih dalam pemilu adalah WNI yang berumur di atas 17 tahun atau sudah kawin. Pernyataan ini dapat diartikan, orang yang boleh memilih dalam pemilu tidak hanya yang berumur di atas 17 tahun dan sudah kawin. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif. Dalam matematika dan sains, “atau” diartikan sebagai disjungsi inklusif, kecuali jika disebut lain.



Disjungsi pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk p atau q, ditulis p ∨ q. Disjungsi didefinisikan sebagai berikut : Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p atau q disebut disjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan p ∨ q. Disjungsi p ∨ q bernilai benar jika salah satu p atau q, atau keduanya adalah benar, disjungsi adalah salah hanya jika keduanya p dan q adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.



Pemecahan Masalah Matematika



153



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



Tabel 4.3.2 Tabel Kebenaran Disjungsi



p



Q



p∨q



B



B



B



B



S



B



S



B



B



S



S



S



Contoh 3.6: Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan ! a. p : 3 + 4 = 12 q : Dua meter sama dengan 200 cm b. p : 29 adalah bilangan prima q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat c. p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong q:



23 adalah bilangan cacah.



Jawaban: a. ô (p) = S, ô (q) = B. Jadi, ô (p ∨ q) = B. p ∨ q : 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar). b. ô (p) = B, ô (q) = B. Jadi, ô (p ∨ q) = B. p ∨ q : 29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa barat (benar). c. ô (p) = S, ô (q) = S. Jadi, ô (p ∨ q) = S. 3. Operasi Impilikasi Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya. Misalkan,



p : Sore tidak hujan. q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.



154



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p ⇒ q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi. Definisi: Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan p ⇒ q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini. Tabel 4.3.3 Tabel Kebenaran Implikasi p



q



p⇒q



B



B



B



B



S



S



S



B



B



S



S



B



Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh 4.3.7. Contoh 4.3.7: Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut ! a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat. b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair. c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil. Jawab : a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat. Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar. b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair. Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah. c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil. Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.



Pemecahan Masalah Matematika



155



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



4. Operasi Biimplikasi Perhatikanlah pernyataan berikut: Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah. Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan oleh hujan? Tentu saja tidak selalu begitu, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi. Sekarang, perhatikan pernyataan berikut: Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas. Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disenut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat ganda. Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “ ⇔ ” yang berarti “jika dan hanya jika” disingkat “jhj” atau “jikka”. Biimplikasi “p ⇔ q” ekuivalen dengan “jika p maka q dan jika q maka p”, dinotasikan sebagai: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Adapun definisi tentang biimplikasi adalah sebagai berikut.



Definisi: Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan p ⇔ q. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi adalah salah. Perhatikan Tabel 4.3.4 berikut ini. Tabel 3.4 Tabel Kebenaran Biimplikasi



156



p



q



p ⇔ q



B



B



B



B



S



S



S



B



B



S



S



B



Pemecahan Masalah Matematika



Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat



Contoh 4.3.8: Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah ini! a. 20 + 7 = 27 jika dan hanya jika 27 bukan bilangan prima. B ô (p) = B, ô (q) = B. Jadi, ô (p q) = B.



B



b. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap. ô (p) = B, ô (q) = S. Jadi, ô (p q) = S. c. tan2 45° + cos 2 45° = 2 jika dan hanya jika tan2 45° = 2 ô (p) = S, ô (q) = S. Jadi, ô (p q) = B.



Pernyataan Majemuk Bertingkat Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang menggunakan negasi (~), konjungsi ( ∧ ), disjungsi ( ∨ ), implikasi ( ⇒ ) dan biimplikasi ( ⇔ ) seperti pada: ~p, ~q, p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q dan p ⇔ q. Pada kenyataannya, suatu pernyataan majemuk bersusun dapat dibentuk oleh lebih dari dua pernyataan tunggal serta beberapa pernyataan majemuk. Berikut ini disajikan beberapa contoh agar Anda bisa lebih menangkap maksudnya.. ~ (p ∨ q) (p ∧ q) ∨ p (p ∨ q) ⇒ (p ∧ q) ~ (p ∧ ~q) ⇒ (p ∨ q)



[ p ⇒ (q ∧ r )] ∧ [~ p ⇒ (~ q ∧ ~ r )] Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk Bertingkat Anda telah menguasai cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran untuk operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, seperti pada Tabel 4.3.1, Tabel 4.3.2, Tabel 4.3.3, dan Tabel 4.3.4. Dari tabel-tabel tersebut, dapat diketahui bahwa untuk dua pernyataan tunggal yang berbeda terdapat 4 kemungkinan komposisi atau 22 komposisi. Apabila pernyataan tunggal ada 3 buah (misalnya (p ∧ q) ∨ r), maka akan terdapat 22 = 8 kemungkinan komposisi sehingga anda harus menyusun tabel dengan jumlah baris sebanyak 8 baris seperti pada Tabel 4.3.5 berikut ini.



Pemecahan Masalah Matematika



157



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



PENYELESAIAN MASALAH DALAM SISTEM BILANGAN CACAH



P



ada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 6 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 6 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam bilangan cacah, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar1:sistem Bilangan Cacah Dan Operasi Hitungnya dan Kegiatan Belajar 2: Urutan pada Bilangan Cacah dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) serta Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Setiap kegiatan belajar yang Anda pelajari, satu sama lainnya memiliki keterkaitan yang erat, sehingga diharapkan Anda mampu mempelajari dan memahaminya secara tuntas. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik system bilangan cacah. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat: 1. Memahami pengertian, dan sifat-sifat bilangan cacah. 2. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan cacah. 3. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan pada bilangan cacah. 4. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan cacah. 5. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pembagian pada bilangan cacah. 6. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan cacah. 7. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan cacah. 8. Memahami urutan-urutan pada bilangan cacah. 9. memahami dan terampil menggunakan FPB dan KPK dalam kehidupan sehari-hari



Pemecahan Masalah Matematika



187



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi dua Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB 1: Sistem Bilangan Cacah dan Operasi Hiitungnya KB 2: Urutan pada Bilangan Cacah , FPB dan KPK Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini: 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini. 2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan!



188



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



SISTEM BILANGAN CACAH DAN OPERASI HITUNGNYA PENGANTAR Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. (Sumber: Ensiklopedia Matematika, 1998). Konsep dasar mengenai bilangan sungguh merupakan hal mutlak yang harus dipelajari oleh setiap orang. Bagaimana tidak, bilangan merupakan idea yang selalu muncul dan menjadi bagian dari kehidupan sehari-hari, baik itu kita sadari maupun tidak. Bahkan Pythagoras—seorang matematikawan yang sangat tersohor dan sangat besar pengaruhnya—mengatakan bahwa semua hal dalam hidup ini adalah bilangan. Pembelajaran mengenai bilangan pun menjadi bagian vital yang dilaksanakan di persekolahan dasar. Oleh karenanya, setiap guru dan calon guru SD harus “lebih dalam” menguasai konsep dan sistem bilangan. Di samping itu juga, setiap guru dan calon guru SD harus pandai pula menyuguhkan pembelajaran mengenai bilangan kepada setiap anak didiknya dengan bentuk pemecahan masalah, sehingga ke depannya nanti diharapkan agar para siswa tersebut mampu memecahkan persoalan kehidupan sehari-harinya yang berkenaan dengan konsep bilangan. Kegiatan Belajar 1 ini mencakup pokok-pokok materi mengenai: pegertian bilangan cacah, beberapa operasi yang berkenaan dengan bilangan cacah, sifat-sifat yang berlaku dalam setiap operasi pada bilangan cacah, serta di dalam setiap kajian materi tersebut disuguhkan pemecahan masalah matematiknya. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam Kegiatan Belajar 1 ini, Anda diharapkan dapat: 1. Memahami pengertian, operasi, dan sifat-sifat bilangan cacah. 2. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan cacah. 3. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan cacah. 4. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan dan pembagian pada bilangan cacah. 5. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan cacah. 6. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan cacah. 7. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik bilangan cacah.



Pemecahan Masalah Matematika



189



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Pengertian BILANGAN CACAH Bilangan (number) dapat diartikan sebagai: “Suatu ukuran dari besaran, tetapi juga dipakai dalam suatu cara abstrak (tak berwujud) tanpa menghubungkannya dengan `berapa banyak` atau pengukurannya” (Hollands, 1984: 15). Pada operasi hitung selanjutnya akan dibahas tentang bilangan kardinal (cardinal number), yaitu yang berhubungan dengan bilangan cacah (whole numbers), yang didefinisikan sebagai gabungan bilangan asli (natural numbers) dengan bilangan 0 (nol), bilangan asli itu sendiri adalah himpunan A = {1, 2, 3, …..) (Wheeler, 1973: 81-83). Jadi bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai himpunan C = {0, 1, 2, 3, …}. Dalam membilang biasanya kita mulai dari 1 (satu), 2 (dua), 3 (tiga) dan seterusnya sesuai dengan objek yang kita bilang. Membilang yang demikian merupakan system bilangan asli. Lain halnya jika membilang kita mulai dari tidak ada, yang dilambangkan dengan 0 (nol), 1, 2, 3, … Bilangan demikian disebut bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah adalah {0, 1, 2, 3, …}, himpunan yang diperoleh dengan memasukkan bilangan nol ke himpunan bilangan asli. Bilangan tersebut jika digambarkan dalam garis bilangan adalah sebagai berikut.



OPERASI HITUNG BILANGAN CACAH DAN SIFAT-SIFATNYA Operasi hitung yang akan dibahas adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Penjelasannya sebagai berikut: 1. Penjumlahan Definisi penjumlahan adalah: Andaikan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, A dan B adalah himpunan-hipunan yang terpisah, sedangkan a = n(A) dan b= n(B), maka a + b = n(A ∪ B) Kata-kata yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan penjumlahan adalah: digabungkan, disatukan, dijadikan satu wadah, dijumlahkan, dimasukan, dan pengulangan suatu kegiatan Sifat-sifat Penjumlahan a. Tertutup Bentuk sifat tertutup dalam penjumlahan bilangan cacah adalah setiap jumlah (hasil penjumlahan) selalu menghasilkan bilangan cacah pula. Seperti 2 + 3 = 5, bilangan 5 termasuk bilangan cacah. b. Komutatif Bentuk sifat komutatif (sifat pertukaran) dalam penjumlahan bilangan cacah selalu menunjuk untuk setiap bilangan cacah a dan b, berlaku a + b = b + a. Seperti 2 + 4 = 4 + 2, 3 + 6 = 6 + 3 dan lain-lain. c. Assosiatif Bentuk sifat assosiatif )sifat pengelompokkan) dalam penjumlahan bilangan cacah selalu menunjuk untuk setiap bialangan cacah a, b dan c, berlaku: (a + b) + c = a + (b + c). Seperti (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) dan lain-lain



190



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



d. Sifat Penjumlahan dengan bilangan 0 (nol) Setiap bilangan cacah bila dijumlahkan dengan bilangan nol selalu menunjuk kepada bilangan itu sendiri, dengan sifat a + 0 = a. Seperti 5 + 0 = 5, 7 + 0 = 7 dan lain-lain. Penggunaan sifat-sifat tersebut dalam pemecahan masalah hanyalah untuk menyederhanakan pengerjaan operai hitung, sehingga dapat lebih cepat terselesaikan. Contoh Soal 6.1.1. Pada hari Senin Ina membeli kue sebanyak dua kali, yang pertama membeli lima bungkus kue dan yang kedua membeli 8 bungkus kue. Berapa bungkus kue yang dibeli Ina pada hari senin tersebut? Jawab: 5 bungkus kue + 8 bungkus kue = … bungkus kue, dengan menggunakan sifat komutatif soal tersebut di selesai dengan cara: 8 + 5 (mengapa?). Contoh soal 6.1.2. Pada hari raya Idul Fitri, Amin mendapat hadiah uang dari tiga orang saudaranya, yaitu masing-masing sebesarnya 57 ribu rupiah, 25 rikbu rupiah dan 75 ribu rupiah. Berapakah jumlah hadiah yang diterima Amin seluruhnya? Jawab: 57 ribu rupiah + 25 ribu rupiah + 75 ribu rupiah = ….. ribu rupiah. Dengan menggunakan sifat assosiatif soal tersebut diselesaikan dengan cara: 57 + (25 + 75) (mengapa?) Pemahaman konsep dasar penjumlahan diarahkan pada penguasaan fakta dasar penjumlahan, dengan table sebagai berikut. Tabel 6.1.1: Fakta Dasar Penjumlahan + 0 1



2



3



4



5



6



7



8



9



0 0 1



2



3



4



5



6



7



8



9



1 1 2



3



4



5



6



7



8



9



10



2 2 3



4



5



6



7



8



9



10



11



3 3 4



5



6



7



8



9



10



11



12



4 4 5



6



7



8



9



10



11



12



13



5 5 6



7



8



9



10



11



12



13



14



6 6 7



8



9



10



11



12



13



14



15



7 7 8



9



10



11



12



13



14



15



16



8 8 9



10



11



12



13



14



15



16



17



9 9 10 11



12



13



14



15



16



17



18



Dari 100 fakta dasar penjumlahan di atas yang harus dikuasai hanyalah 55 fakta dasar, karena penggunaan sifat komutatif, seperti 7 + 5 = 5 + 7 dan lain –lain.



Pemecahan Masalah Matematika



191



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



2. Perkalian Pemahaman konsep perkalian dapat diilustrasikan sebagai pemasangan silang antara dua himpunan, yaitu: Jika a dan b bilangan cacah, A dan B adalah himpunan yang terhingga sedemikian hingga n(A) = a dan n(B) = b, maka a x b = n (A x B). Misalkan perkumpulan bulu tangkis mempunyai pemain putra sebanyak 3 orang, yaitu: Rudi, Candra, dan Gunawan, serta mempunyai 2 orang pemain putri, yaitu: Susi dan Yeni. Jika akan diturunkan bermain dalam pasangan ganda campuran, maka pasangan yang mungkin terjadi adalah: (1) Rudi dan Susi; (2) Rudi dan Yeni; (3) Candra dan Susi; (4) Candra dan Yeni; (5) Gunawan dan Susi; dan (6) Gunawan dan Yeni. Jadi banyaknya pasangan atau kombinasi yang mungkin terjadi adalah 6 pasang. Banyaknya pasangan tersebut didapat dari pemasangan silang dua anggota himpunan atau didapat dari perkalian bilangan 3 dan bilangan 2. Contoh lain, ambil dua himpunan A dan B yang saling lepas, A dengan a anggota dan B dengan b anggota, kemudian bentuklah A x B. Maka banyaknya anggota (pasangan) dalam A x B disebut a x b. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {k, l, m, n}. Maka A x B = {(a, k), (a, l), (a, m), (a, n), (b, k), (b, l), (b, m), (b, n), (c, k), (c,l), (c, m), (c, n)}. Hasil perkalian tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 6.1.2: Perkalian silang dua anggota himpunan x a b c



k a, k b, k c, k



l a, l b, l c, l



m a, m b, m c, m



n a, n b, n c, n



Atau perkalian tersebut dapat digambarkan sebagai persilangan 3 baris dengan 4 garis, seperti gambar berikut:



Gambar 6.1.1: Persilangan 3 garis dengan 4 garis Perkalian dapat pula dinyatakan sebagai penjumlahan berulang, dengan definisi: Jika a dan b bilangan cacah, maka a.b = b + b + b + ... + b atau ab adalah penjumlahan berulang yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku adalah b. Atau perkalian axb ialah penjumlahan atau penjumlahan berganda yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku sama dengan b. Definisi ini dapat pula dilihat pada Bell(1962), Atau dapat dinyatakan: Jika N + N = 2 x N, maka N + N + N = 3 x N dan seterusnya. Dan pada Grossnickle (1959), definisi perkalian ini diilustrasikan dengan: 2 x 5 = 10, sebagai “2 groups of 5`s are 10”. Misal: Jika ada 4 kandang ayam, dalam setiap kandangnya terdapat 5 ekor ayam, maka jumlah ayam tersebut adalah 5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 20 ekor ayam.



192



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Perkalian dapat pula dipandang sebagai gabungan suatu himpunan atau dengan perkataan lain, a x b ialah banyaknya anggota dalam persatuan (gabungan) a himpunan, yang sepasang-sepasang lepas dan masing-masing mempunyai b anggota. Misal: Jika A1, A2, A3, ... An adalah himpunan-himpunan yang sepasang-sepasang lepas dan masingmasing mempunyai b anggota, maka a x b adalah banyaknya anggota : A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An. Contoh Perkalian 3 x 4 dapat diperagakan sebagai berikut:



44 44 44 44 44 44 Gambar 6.1.2: Perkalian 3 x 4 anggota Atau dengan jajaran yang terdiri dari 3 baris masing-masing dengan 4 anggota (pesawat) seperti gambar berikut:



4444 4444 4444 Gambar 6.1.3: Perkalian 3 x 4 anggota Definisi lain dalam hal perkalian dapat digunakan dengan pendekatan kelipatan suatu bilangan, atau dengan istilah lain yaitu membilang loncat, seperti terlihat pada tabel berikut ini. Tabel 6.1.3: Kelipatan suatu bilangan



Kelipatan 1 2 3 4 5



1 1 2 3 4 5



2 2 4 6 8 10



3 3 6 9 12 15



4 4 8 12 16 20



Kelipatan ke … 5 6 7 5 6 7 10 12 14 15 18 21 20 24 28 25 30 35



8 8 16 24 32 40



9 9 18 27 36 45



10 10 20 30 40 50



Penggunaan kelipatan pada proses perkalian misalnya 2 x 4 , yaitu mencari kelipatan 4 pada langkah ke dua (pada tabel di atas adalah 8, karena pada kelipatan 4 kita temukan: 4, 8, .....). Contoh lain, 4 x 5 , bilangan yang dimaksud adalah bilangan pada kelipatan 5 dalam langkah ke 4 ( pada tabel di atas adalah 20, karena pada kelipatan 5 kita temukan: 5, 10, 15, 20, ..... ). Fakta dasar perkalian adalah perkalian bilangan 0 sampai dengan 9. Sedangkan fakta dasar pembagian adalah pembagian bilangan dimana bilangan yang dibaginya dari 0 sampai dengan 81, pembaginya bilangan asli dari satu sampai dengan 9, dan hasil baginya adalah bilangan cacah dari 0 sampai dengan 9. Dalam kalimat matematik seperti 6 x 9 = 54, 6 dan 9 disebut faktor sedangkan 54 hasil kali dan semuanya menyusun apa yang disebut fakta perkalian.



Pemecahan Masalah Matematika



193



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Fakta dasar perkalian dalam bilangan cacah dapat dimisalkan sebagai berikut, yaitu ada sembarang bilangan a x b = c, dengan keterangan sebagai berikut : 0 ≤ a ≤ 9 (a tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9), 0 ≤ b ≤ 9 (b tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9), 0 ≤ c ≤ 81 (c tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 81), dengan keterangan a, b, dan c elemen (anggota) bilangan cacah. Contoh-contoh perkalian fakta dasar dapat dilihat pada tabel perkalian di bawah ini. Tabel 6.1.4: Perkalian Fakta Dasar



x 0 1



2



3



4



5



6



7



8



9



0 0 0



0



0



0



0



0



0



0



0



1 0 1



2



3



4



5



6



7



8



9



2 0 2



4



6



8



10



12



14



16



18



3 0 3



6



9



12



15



18



21



24



27



4 0 4



8



12



16



20



24



28



32



36



5 0 5



10



15



20



25



30



35



40



45



6 0 6



12



18



24



30



36



42



48



54



7 0 7



14



21



28



35



42



49



56



63



8 0 8



16



24



32



40



48



56



64



72



9 0 9



18



27



36



45



54



63



72



81



Untuk memantapkan penguasaan fakta dasar perkalian dan pembagian dapat digunakan tabel, jari tangan, dan mengaitkan suatu perkalian dengan fakta yang mudah diingat, seperti kelipatan dua yang hasil perkaliannya selalu bilangan genap, kelipatan lima sering ada pada penggaris atau bilangan menit pada jam (satu bilangan nilainya 5 menit, dan kelipatan tujuh yang ada pada perhitungan hari dalam satu mingu. Sifat Operasi Hitung Perkalian Dalam perkalian bilangan cacah berlaku sifat-sifat, yaitu: (1) tertutup, (2) komutatif, (3) asosiatif, (4) elemen identitas, (5) perkalian dengan bilangan nol, dan (6) distributif perkalian terhadap penjumlahan (Soewito, 1991/1992: 40-42). Juga dapat dilihat pada Wheeler (1973), yang memiliki: Commutative, Assosiative, Identity, Distributive (distributif perkalian terhadap penjumlahan), dan sifat perkalian dengan bilangan nol. Berikut ini penjelasan sifat-sifat perkalian tersebut, yaitu:



194



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



1) Sifat Tertutup Sifat tertutup dalam perkalian bilangan cacah maksudnya ialah, jika ada dua bilangan cacah atau lebih diperkalikan, maka hasilnya bilangan cacah pula (tidak keluar dalam konteks bilangan cacah). Misalnya: 2 x 4 = 8 , 3 x 7 = 21 dan lain lain, 8 dan 21 adalah anggota bilangan cacah. 2) Sifat Pertukaran (Commutative) Sifat pertukaran (komutatif) didefinisikan: Untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku a.b = b.a. Atau dengan perkataan lain, hasil suatu perkalian tidak berubah bila pengali dan yang terkalikan dipertukarkan. Untuk bukti secara umum, dapat diambil himpunan A dan B sedemikian hingga n(A) = a, n(B) = b. Karena A x B = B x A maka, n ( A X B) = n (B x A) atau a.b = n ( A x B) = n ( B x A) = b.a. Misalkan 3 x 4 = 4 x 3 = 12. Karena 4 + 4 + 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Bukti lain adalah sebagai berikut: Ambil himpunan H dengan A anggota dan I dengan B anggota. H dan I saling lepas, a x b adalah banyaknya anggota himpunan H x I, yaitu himpunan { (x,y) : x ∈ H, y ∈ I }. b x a adalah banyaknya anggota himpunan I x H , yaitu himpunan { (y,x) : y ∈I, x ∈ H}. Karena setiap (x, y) H x I dapat dipasangkan dengan ( y, x) I x H dan sebaliknya, maka H x I sama dengan I x H, dengan kata lain a x b = b x a. Sebagai contoh diambil: H = {k, l, m, n} dan I = {s, t }, maka perkalian silang kedua himpunan tersebut menjadi: {(k,s), (k,t), (l,s), (l,t), (m,s), (m,t), (n,s), (n,t)}. Sedangkan Jika perkalian himpunannya tersebut dipertukarkan (dibalikkan posisi), maka menjadi seperti berikut, yaitu: {(s, k), (s, l), (s, m), (s, n), (t, k), (t, l), (t, m), (t, n)}. Dalam kasus ini dapat disimpulkan bahwa perkalian dua himpunan tersebut adalah sama, karena masing-masing menghasilkan 8 kemungkinan pemasangan anggota himpunan. Dengan adanya sifat komutattif perkalian, maka perbedaan antara pengali dan terkalikan tidak berarti, dan untuk menyatakan masingmasing disebut faktor. Pemakaian sifat komutatif dapat dilihat pada contoh berikut: a). Seorang yang harus mengalikan 439 x 8 akan lebih mudah kalau ia melakukannya dengan sifat pertukaran, yaitu 8 x 439 dari pada 439 x 8 b). 2 x 9 berarti 9 + 9 9 x 2 berarti 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Dengan demikian seorang yang harus menghitung 9 x 2 akan mengubahnya dengan 2 x 9 karena bentuk 2 x 9 ini lebih mudah dihitung. c). Penggunaan sifat komutatif sering digunakan dalam perhitungan luas suatu daerah (bangun datar/ dua dimensi), contohnya seperti gambar berikut, bahwa luas gambar di sebelah kiri sama dengan luas daerah di sebelah kanannya:



5 cm



3 cm 5 cm



3 cm Gambar 6.1.4: Luas suatu daerah dalam dua posisi



Pemecahan Masalah Matematika



195



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



3) Sifat Pengelompokan (Assosiative) Untuk mengalikan tiga bilangan cacah, misalnya 2 x 3 x 4, dapat digunakan pengelompokan yang berbeda, yaitu: 2 x 3 x 4 = (2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24 atau, 2 x 3 x 4= 2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24 Dengan demikian didapat (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4). Dari contoh tersebut nampak adanya sifat asosiatif dalam perkalian. Cara lain untuk memperlihatkan sifat assosiatif adalah dengan membuat alat peraga tiga dimensi, yang terdiri dari panjang, lebar dan tinggi. Contoh berikut perkalian (4 x 3) x 2 = 4 x (3 x 2), seperti gambar berikut:



2 cm



4 cm



4 cm



3 cm



3 cm 2 cm



Gambar 6.1.5: Bangun ruang dalam dua posisi Sifat asosiatif tersebut dapat dikatakan sulit diterima oleh siswa kelas III sekolah dasar sebab kemampuan siswa masih terbatas, yaitu harus memahami terhadap benda ruang tiga dimensi, pemahaman terhadap benda ruang tiga dimensi tersebut siswa harus memiliki daya tilik ruang, seperti pada kubus ada istilah sisi, rusuk dan titik sudut, maka dari itu sifat tersebut tidak akan diajarkan dalam penelitian tindakan kelas ini. 4) Elemen Identitas dan Sifat Perkalian dengan Bilangan 0 (nol) Bilangan 1 (satu) adalah elemen identitas perkalian sehingga untuk setiap bilangan cacah a berlaku 1.a = a dan a.1 = a. Sedangkan untuk bilangan 0 (nol) berlaku 0. a = 0 dan a.0 = 0 Contoh: 4 x 1 = 4 ; 6 x 1 = 6 ; 1 x 8 = 8 ; 1 x 10 = 10 ; dsb. 4 x 0 = 0 ; 2 x 0 = 0 ; 5 x 0 = 0 ; 0 x 10 = 0; dsb.



196



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



5) Sifat Penyebaran (Distributive) Perkalian terhadap Penjumlahan Untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a). Sifat distributif ini dapat diilustrasikan sebagai berikut, dengan contoh 3 x 8 menjadi (3 x 5) + (3 x 3):



Gambar 6.1.6.: Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Contoh: 7 x 13 = 7 x (10 + 3) = (7 x 10) + (7 x 3) 8 x 13 = 8 x (10 + 3) = (8 x 10) + (8 x 3) 63 x 4 = (60 + 3) x 4 = (60 x 4) + (3 x 4) = 240 + 14 = 254 34 x 21 = (34 x 20) + (34 x 1) = 680 + 34 = 714 Sifat-sifat tersebut di atas fungsinya untuk mempermudah penyelesaian suatu soal, seperti contoh soal berikut: 87 x 34 = 34 x 87 (sifat komutatif) = (30 + 4) x (80 + 7) (sifat distributif) = 30 x (80+7) + 4 x (80+7) (sifat distributif) = (30 x 80) + (30 x 7) + (4 x 80) + (4 x 7) (sifat distributif) = 2400 + 210 + 320 + 28 = 2400 + 530 + 28 = 2400 + 558 = 2958 6). Pemberian Contoh dan Penggunaan dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam pemberian contoh perkalian, hendaknya mengacu pada definisi yang sudah dipahami siswa, yaitu definisi penjumlahan berulang. Dalam hal ini guru dapat menggunakan sejumlah himpunan dan garis bilangan. Misalkan untuk menjelaskan 3 x 2=.... dengan pendekatan himpunan:



∪



∪



=



Gambar 6.1.7: Perkalian sebagai penggabungan himpunan



Pemecahan Masalah Matematika



197



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Sedangkan jika menggunakan pendekatan garis bilangan untuk perkalian seperti 3 x 2 dapat digambarkan sebagai berikut: 0



1



2



3



4



5



6



Gambar 6.1.8: Perkalian dalam garis bilangan Penggunaan perkalian dalam kehidupan sehari-hari dapat dikaitkan dengan jumlah siswa, jumlah orang yang berbaris, dan lain-lain yang memperlihatkan adanya keteraturan. Misalkan: jika jumlah meja di dalam kelas ada 20 dan setiap satu meja dipakai 2 kursi, maka jumlah kursi dapat diprlihatkan oleh perkalian 20 x 2 kursi = 40 kursi. 3.



Pengurangan dan Pembagian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan istilah-istilah kebalikan atau invers, begitupun dalam matematika. Seperti pengurangan dapat didefinisikan sebagai kebalikan penjumlahan, sedangkan pembagian didefiniskan sebagai kebalikan dari perkalian. Atau dengan kalimat lain pengurangan didefinisikan sebagai berikut: Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b. Contoh: 7+2=9



sebab 9 – 2 = 7



12 + 3 = 15



sebab 15 – 12 = 3



24 + 23 = 47



sebab 47 – 23 = 24



Pengurangan ini sering dijadikan sebagai pemeriksaan hasil dari penjumlahan, untuk meyakinkan bahwa hasil penjumlahan tersebut benar. Misalkan, apakah benar 12 + 13 = 25, maka untuk meyakinkan hasil penjumlahan tersebut cobalah balikan, berapkah 25 – 13 = … ? Jika hasil 12, maka hasil penjumlahan tersebut adalah benar. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai masalah yang melibatkan penyelesaiannya berhubungan dengan pengurangan. Misalanya dalam contoh soal berikut. Contoh Soal Amin disuruh ibunya membeli 10 butir telur, ketika dalam perjalanan pulang tiba-tiba terjatuh, sehingga telur yang dibelinya ada yang pecah. Adapun telur yang masih tersisa 7 butir. Berapa butir telor yang pecah? Jawab: Soal tersebut dapat diselesaikan dengan pendekan model matematika seperti berikut: 10 – 7 = 3



198



sebab 7 + 3 = 10



Pemecahan Masalah Matematika



Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah



Misalkan x adalah telur yang pecah, maka 10 – x = 7 x=3 Jadi telur yang pecah adalah 3 butir. Sedangkan pembagian didefinikan sebagai berikut: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y = x Contoh: 12 : 3 = 4



sebab 4 x 3 = 12



42 : 7 = 6



sebab 6 x 7 = 42



20 : 5 = 4



sebab 4 x 5 = 20



Contoh Soal Ibu membagikan kue sebanyak 30 biji kepada anaknya yang berjumlah 5 orang, masing mendapatkan bagian yang sama. Berapakah anaknya masing-masing mendapatkan kue? Jawab: Misalkan A, B, C, D, dan E adalah nama-nama anak, jika 30 kue dibagi habis kepada 5 orang, maka masing-masing mendapatkan 6 biji kue. Dan gambar yang da[at dibuat adalah sebagai berikut