Pencerminan Geser [PDF]

Citation preview

mmittajs874.blogspot.com



Pencerminan Geser (Refleksi Geser)



Teorema 12.1 : Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan sudut rotasi yang diketahui.



Pembuktian Andaikan diketahui rotasi 𝑅𝐴𝑂 dan translasi 𝐺𝐵𝐶 dan andaikan s sebuah garis melalui A ̅̅̅̅ serta D sebuah titik sehingga BC = 2𝐴𝐷 ̅̅̅̅. Andaikan pula t adalah yang tegak lurus pada 𝐵𝐶 garis melalui D yang sejajar dengan s, sehingga 𝑀𝑡 𝑀𝑠 = 𝐺𝐵𝐶 dan r adalah garis melalui A sehingga besarnya sudut dari r ke s adalah ½ 𝜑. Maka 𝑅𝐴,𝜙 = 𝑀𝑠 𝑀𝑟 sehingga 𝐺𝐵𝐶 𝑅𝐴,𝜙 = (𝑀𝑡 𝑀𝑠 )(𝑀𝑠 𝑀𝑟 ) = 𝑀𝑡 𝑀𝑟 = 𝑅𝐸,𝜙



½𝜗



Jika (E) = t ∩ r maka 𝑀𝑡 𝑀𝑟 adalah sebuah rotasi mengelilingi E. karena sudut antara t dan r juga ½ 𝜑 maka kita peroleh 𝑀𝑡 𝑀𝑟 = 𝑅𝐸,𝜙 . Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan bahwa 𝑅𝐴,𝜙 𝐺𝐵𝐶 = 𝑅𝐹,𝜙 (Gambar 12.2)



½𝜗



Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA



mmittajs874.blogspot.com Akibat : Himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali. Andaikan diketahui rotasi 𝑅𝐴,𝜙 dan refleksi 𝑀𝑠 . Apabila A ∈ s maka 𝑅𝐴,𝜙1 = 𝑀𝑡 𝑀𝑠 ; 𝑡 adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah ½ϕ. Jadi, 𝑅𝐴,𝜙 , 𝑀𝑠 = (𝑀𝑡 𝑀𝑠 )𝑀𝑠 = 𝑀𝑡 . Andaikan A ∉ s . kita tarik garis-garis t dan r sehingga t tegak lurus dengan s dan r melalui A sehingga sudut dari t ke r adalah ½ 𝜑 maka 𝑅𝐴,𝜙 𝑀𝑠 = (𝑀𝑟 𝑀𝑡 )𝑀𝑠 = 𝑀𝑟 (𝑀𝑡 𝑀𝑠 ) = 𝑀𝑟 𝑆𝐵 Dengan (B) = t ∩ s Andaikan v sebuah garis melalui B tegak lurus pada r dan w sebuah garis melalui B yang sejajar r maka 𝑆𝐵 = 𝑀𝑤 𝑀𝑣 sehingga 𝑅𝐴,𝜙 𝑀𝑠 = 𝑀𝑟 (𝑀𝑤 𝑀𝑣 ) = (𝑀𝑟 𝑀𝑤 )𝑀𝑣 Oleh karena w//r maka 𝑀𝑟 𝑀𝑤 sebuah translasi sehingga : 𝑅𝐴,𝜙 𝑀𝑠 = 𝐺2𝐵𝐶 𝑀𝑣 Dengan (C) = v ∩ r Jadi transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah refleksi pada v dan sebuah translasi sejajar v. Hasilkali demikian dinamakan refleksi geser.



Definisi : sebuah transformasi R dinamakan refleksi geser apabila ada garis g dan sebuah ruas garis berarah ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 yang sejajar dengan g sehingga 𝑅 = 𝐺𝐴𝐵 𝑀𝑔 . Garis g ini dinamakan sumbu refleksi geser.



Teorema 12.2 : Setiap hasilkali sebuah refleksi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut adalah suatu refleksi geser. Akibat 1 : Apabila ada ruas garis berarah ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 tidak tegak lurus terhadap garis s maka hasilkali suatu geseran 𝐺𝐴𝐵 dengan sebuah refleksi 𝑀𝑠 adalah sebuah refleksi geser. Akibat 2 : Apabila ada garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali refleksi-refleksi 𝑀𝑡 , 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑡 adalah suatu refleksi geser.



Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA