Makalah Pencerminan [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari Zaman Babilonia, Yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. Geometri transformasi merupakan suatu bab yang membahas mengenai perpindahan suatu titik pada bidang dimensi dua atau datar. Transformasi meliputi refleksi, rotasi. dilatasi, translasi. Pada makalah ini dikhususkan membahas mengenai refleksi (pencerminan). Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).



1



BAB II ISI 2.1. Definisi Pencerminan (Refleksi) Definisi: Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut : i.



jika



ii.



jika



Pencerminan



, maka



, maka



pada garis



sehingga garis



adalah sumbu



.



selanjutnya dilambangkan sebagai



. Garis



dinamakan sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin (Rawuh. 1992: 34). 2.2. Teorema 2.2.1. Teorema 1: Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. 2.2.2. Teorema 2: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. 2.3. Pembuktian Teorema 2.3.1. Pembuktian teorema 1 Ms: V → V (Ms suatu fungsi dari V ke V (bidang Euclid)) Berdasarkan definisi diatas, jelas bahwa domain dari Ms adalah V. Daerah hasil dari Ms juga pada V, sebab apabila kita mengambil x  V , x  s atau x  s. Untuk x  s, Ms(x) = x  s . Untuk x  s , Ms(x) = y, dimana s 2



sumbu dari



xy



, artinya



yx  V



, sehingga y  V , artinya adalah bidang V



juga. Jadi Ms suatu fungsi dari V ke V. I. Akan dibuktikan Ms surjektif. Ambil sebarang X '  V, X '= Ms(X ) . Menurut definisi  jika X



, maka



 jika X  s maka Ms(X ) = X' = X X '  V, X '= X = Ms(X ), X  s dengan s sumbu XX’



Sehingga,



Jadi Ms surjektif. II. Akan dibuktikan Ms injektif. 



Kasus 1 Misalkan A1



A2



Untuk A1  s maka Ms(A1 ) = A1 '= A1 . A2  s maka Ms(A2 ) = A2 '= A2 Jadi, A1







A2



Kasus 2 Ambil A1  s, A2 i.



Ms(A1 ) = A1 '= A1



ii.



Ms(A2 ) = A2 ', yakni s sumbu dari



Karena A1  s, A2 



s, maka



s, maka A1



A2



Kasus 3 Untuk A1



s, A2



s, A1



A2 3



A1'



A2'



Andaikan Ms(A1) = Ms(A2) , maka dipenuhi : A1 A1’ adalah suatu garis dengan sumbu s, artinya A1 A1’



s



A2 A2’ adalah suatu garis dengan sumbu s, artinya A2 A2’



s.



Andaikan A1 A2, maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus terhadap garis sumbu s yang melalui titik yang sama. Artinya jika Ms(A1) = Ms(A2), maka haruslah A1 A2. Padahal diketahui A1



A2.



Jadi haruslah , A1



A2



Ms(A1)



Ms(A2)



Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi (Hamzah. 2011). 2.3.2. Pembuktian teorema 2 Ambil sembarang A, B, A’, B’  V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan A’B’ = AB. Kasus I Jika A, B  s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. Jadi AB = A’B’



Ms(A) = A, Ms(B) = B.



Kasus II Jika A  s, B



s dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’



B



B’



C



Akan ditunjukkan AB = A’B’ 4



Perhatikan



ABC &



AB'C



AC = AC (berimpit) m( ABC) = m( ACB') (karena siku-siku) BC = B’C (karena s sumbu simetri) Menurut teorema karena S) yang sama, maka



ABC & AB'C mempunyai sifat sisi sudut sisi (S Sd



ABC



AB'C



Jadi AB = A’B’. Kasus III Jika A, B  S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.



D



Akan ditunjukkan AB = A’B’ Perhatikan



BDC & B'DC .



DC = DC (berimpit) m( DCB) = m( DCB') (karena siku-siku) BC = B’C (karena s sumbu simetri) Menurut teorema karena



BDC &



BD'C mempunyai sifat sisi sudut sisi



(S Sd S) yang sama, maka



BDC



B' DC.



Jadi BD = B’D dan m( BDC) = m( B'DC). Karena m( BDC) = m( B'DC) dan m( DCB) = m( DCB') = 90 ,



maka 5



..................(1) Perhatikan



BAD &



B' AD



AD = A’D (berimpit) ...........(1) DB = DB’ (diketahui) Menurut teorema karena



BAD &



B' AD mempunyai sifat sisi sudut sisi (S



Sd S) yang sama maka BAD



B' AD



Jadi AB = A’B’



(Hamzah. 2011).



6



2.4. Latihan Soal



7



8



9



10



11



12



BAB III KESIMPULAN 1. Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: 



jika P s maka Ms (P) = P







jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP' . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu



pencerminan / singkat cermin. 2. Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).



13