Pendugaan Parameter Distribusi Pareto Menggunakan Metode Maximum Likelihood Dan Metode Bayes Dengan Prior Konjugat [PDF]

Citation preview

Pendugaan Parameter Distribusi Pareto Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes dengan Prior Konjugat Lut Wilianto1*, Khoirin Nisa2 Jurusan Matematika Universitas Lampung, Bandar Lampung Jl. Prof. Sumatri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung 35145 Penulis Korespodensi: [email protected]



Abstrak Pendugaan parameter merupakan dasar dari ilmu statistika yang sering digunakan khususnya dalam hal penelitian. Pendugaan parameter bertujuan untuk menjelaskan bagaimana karakteristik data pada populasi melalui statistik sampel. Pada penelitian ini, distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi Pareto. Umumnya distribusi Pareto digunakan dalam bidang sosial, ekonomi, bisnis, asuransi, politik, dan mempelajari tingkat ozon di atmosfer. Metode pendugaan yang digunakan adalah metode klasik Maximum Likelihood dan metode Bayes. Metode Maximum Likelihood dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood dari distribusi sampel. Sedangkan, metode Bayes menggunakan konsep teorema peluang Bayes, yaitu menggabungkan distribusi sampel dan distribusi awal (prior) sehingga didapat distribusi posterior. Distribusi prior yang digunakan adalah prior konjugat dilihat dari distribusi pembentuk fungsi likelihoodnya yaitu distribusi Gamma. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui penduga dari parameter distribusi Pareto dengan menggunakan kedua metode pendugaan tersebut. Kemudian, dalam penelitian ini ingin juga bagaimana sifatsifat penduga dari kedua metode tersebut baik secara analitik maupun secara empirik dalam studi simulasi data. Menggunakan metode Maximum Likelihood diperoleh penduga titik bagi parameter 𝜃, yaitu 𝜃̂𝐿 = 𝑛 𝛼+𝑛 ̂ ̂ . Kemudian, dengan metode Bayes diperoleh 𝜃̂𝐵 = 𝑥𝑖. Penduga 𝜃𝐿 dan 𝜃𝐵 merupakan 𝑛 ∑𝑛 𝑖=1(𝑙𝑛 𝑥𝑖 −𝑙𝑛 𝜅)



𝛽+∑𝑖=1 𝑙𝑛



𝜅



penduga yang bias, namun secara asimtotik tak bias. Pada penelitian ini juga ditunjukkan bahwa kedua penduga tersebut merupakan penduga yang konsisten. Kata Kunci: Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, Prior Konjugat, Pareto, Gamma, Sifat-Sifat Penduga. 1. PENDAHULUAN Pada pengambilan sampel secara acak terdapat peluang-peluang untuk terambilnya sampel-sampel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa populasi tersebar membentuk suatu distribusi peluang tertentu (Sahoo, 2008). Dalam teori peluang, distribusi Pareto 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝑘) adalah salah satu dari distribusi peluang kontinu dengan parameter bentuk 𝜃 dan parameter skala 𝑘 dimana 𝜃 > 0 dan 𝑘 > 0. Distribusi Pareto berasal dari nama seorang ekonom yaitu Vilfredo Pareto (1848-1923) yang mengamati bahwa 80% kekayaan di Milan dimiliki oleh hanya 20% dari penduduknya. Distribusi Pareto disebut juga dengan distribusi power law. Distribusi Pareto sering dipakai pada persoalan uji hidup, seperti waktu sampai rusak atau umur suatu komponen yang diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak (Sugiarto, S., 2014). Jika X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka fungsi kepadatan peluang dari variabel acak Pareto dengan parameter 𝜅 dan 𝜃 adalah: 𝜅𝜃 𝜃 ( 𝜃+1 ) ; 𝑥 ≥ 𝜅 𝑓(𝑥) = { (1) 𝑥 0 ; 𝑥 0 dan 𝜅 > 0 yaitu, 𝑓(𝑥𝑖 |𝜃, 𝜅) = {



𝜃(



𝜅𝜃 𝑥𝑖 𝜃+1



)



; 𝑥𝑖 ≥ 𝜅



0



; i = 1,2, … , n



(2)



; 𝑥𝑖 < 𝜅



dari fungsi kepadatan peluang distribusi Pareto Persamaan (2), dibentuk fungsi likelihood 𝐿(𝜃, 𝜅) Sehingga fungsi likelihood yang terbentuk adalah 𝑛



𝐿(𝜃, 𝜅) = ∏ 𝑖=1



={



𝜃𝜅 𝜃 𝑥𝑖𝜃+1 𝑛



𝜃 𝑛 𝜅 𝑛𝜃 ∏



1



; 𝑥≥𝜅



𝑥 𝜃+1 𝑖=1 𝑖



0



(3)



; 𝑥 0)



(11)



𝑥 0, n pecahan negatif n bukan bilangan negatif, fungsi Gamma didefinisikan oleh



∞



𝛤(𝑛) = ∫ 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥



(12)



0



Dengan demikian dapat ditentukan fungsi bersama Pareto-Gamma seperti berikut. 𝑛 𝑛 𝑛𝜃



𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = 𝜃 𝜅̂



∏ 𝑖=1 α



=



1 𝑥𝑖𝜃+1



.



𝛽 𝛼 𝜃 𝛼−1 𝑒 −𝛽𝜃 Γ(𝛼)



𝛽 ̂𝜅 𝑛 𝑒 −𝛽 𝜃 𝑛+𝛼−1 ( 𝑛 ) 𝑛 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) ∏𝑖=1 𝑥𝑖



𝜃



(13)



Fungsi marginal dapat diperoleh dengan mengintegrasi fungsi bersama 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) terhadap parameter 𝜃 seperti berikut. ∞



𝜃



𝛽α ̂𝜅 𝑛 𝑒 −𝛽 𝑚(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = ∫ 𝑛 𝜃 𝑛+𝛼−1 ( 𝑛 ) 𝑑𝜃 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) ∏𝑖=1 𝑥𝑖 0



∞



𝜃



𝛽α ̂𝜅 𝑛 = 𝑛 ∫ 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒 −𝛽𝜃 ( 𝑛 ) 𝑑𝜃 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) ∏𝑖=1 𝑥𝑖 0 ∞



𝜃



̂𝑛



𝜅 ln( 𝑛 ) 𝛽 = 𝑛 ∫ 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒 −𝛽𝜃 𝑒 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 𝑑𝜃 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) α



0



∞



𝛽α −𝜃(𝛽+ln ∏𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑛 ∫ 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒 ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) =



0 ∞



𝛽α ∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖



Γ(𝛼)



∫ 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒



− ln ̂𝜅 𝑛)



𝑑𝜃



𝑥𝑖 ) −𝜃(𝛽+∑𝑛 𝑖=1 ln ̂ 𝜅 𝑑𝜃



0



𝛼+𝑛



α



𝛽 1 = 𝑛 .( 𝑥) ∏𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ̂𝜅



. Γ(𝛼 + 𝑛)



(14)



Sehingga posterior dapat dituliskan seperti berikut 𝜋(𝜃|𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) =



=



𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) 𝑚(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) 𝜃 𝛽α 𝜅 𝑛 𝑒 −𝛽 𝑛+𝛼−1 ̂ 𝜃 ( ) ∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼) ∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝛼+𝑛



𝛽α



1 𝑥) 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ̂𝜅 𝑛 −𝛽 𝜃 ̂ 𝜅 𝑒 𝜃 𝑛+𝛼−1 ( 𝑛 ) ∏𝑖=1 𝑥𝑖



∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 Γ(𝛼)



=



.(



. Γ(𝛼 + 𝑛)



𝛼+𝑛



(



1 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒



=



𝑥𝑖 ) ̂𝜅



. Γ(𝛼 + 𝑛)



𝑥𝑖 ) −𝜃(𝛽+∑𝑛 𝑖=1 ln ̂ 𝜅 𝛼+𝑛



(



1



. Γ(𝛼 + 𝑛) 𝑥𝑖 ) ̂𝜅 𝑥𝑖 𝛼+𝑛 𝑛 (𝛽 + ∑𝑖=1 ln ) 𝑥𝑖 ) −𝜃(𝛽+∑𝑛 ̂𝜅 𝑖=1 ln ̂ 𝜅 = . 𝜃 𝑛+𝛼−1 𝑒 Γ(𝛼 + 𝑛) 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln



(15)



Dapat dilihat distribusi posterior yang diperoleh yaitu pada Persamaan (15) memiliki bentuk yang sama dengan 𝑥 distribusi gamma namun dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 yang berbeda, yaitu 𝛼 ∗ = 𝛼 + 𝑛 dan 𝛽 ∗ = 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln ̂𝑖 . 𝜅



𝑥



Maka, dapat dikatakan juga 𝜋(𝜃|𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )~Gamma(𝛼 + 𝑛 , 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln ̂𝑖 ). Sehingga dapat diperoleh 𝜅 penduga Bayes dari distribusi Pareto yang merupakan nilai harapan dari posteriornya adalah 𝛼+𝑛



𝜃̂𝐵 = 𝐸(𝜃|𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) =



𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln



(16)



𝑥𝑖 ̂𝜅



Kemudian sifat-sifat penduga 𝜃̂𝐵 adalah seperti berikut. A. Nilai Harapan Penduga 𝜃̂𝐵 𝐸(𝜃̂𝐵 ) = 𝐸 (



𝛼+𝑛



𝑥) 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ̂𝜅 𝛼+𝑛 = 𝑥 𝛽 + 𝐸 (∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ) ̂𝜅 engan asumsi bebas stokastik identik, maka 𝛼+𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝛽 + (𝐸 (ln ) + 𝐸 (ln ) + ⋯ + 𝐸 (ln )) ̂𝜅 ̂𝜅 ̂𝜅 ketika 𝑥𝑖 = 𝑘, maka 𝛼+𝑛 = 1 𝛽 + (𝑛 − 1) 𝜃 (𝛼 + 𝑛) 𝜃 𝐸(𝜃̂𝐵 ) = 𝜃𝛽 + (𝑛 − 1)



(17)



Karena 𝐸(𝜃̂𝐵 ) ≠ 𝜃, maka 𝜃̂𝐵 merupakan penduga bias. Besar bias 𝜃̂𝐵 adalah seperti berikut. 𝐵𝑖𝑎𝑠(𝜃̂𝐵 ) = 𝐸(𝜃̂𝐵 ) − 𝜃 =



(𝛼 + 𝑛) 𝜃 ( 𝜃𝛽 + (𝑛 − 1))𝜃 − 𝜃𝛽 + (𝑛 − 1) 𝜃𝛽 + (𝑛 − 1)



=



(𝛼 − 𝜃𝛽 + 1) 𝜃 𝜃𝛽 + (𝑛 − 1)



(18)



B. Varians Penduga 𝜃̂𝐵 Varians penduga 𝜃̂𝐵 yaitu seperti berikut. 𝑉𝑎𝑟(𝜃̂𝐵 ) = 𝑉𝑎𝑟 (



= (𝛼 + 𝑛)2 𝑉𝑎𝑟 ( Karena sulit untuk mencari tahu apa distribusi dari



𝛼+𝑛 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln



𝑥𝑖 ) ̂𝜅



1 𝛽+



𝑥 ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ̂𝜅



1 𝑥 𝜅



𝑖 𝛽+∑𝑛 𝑖=1 ln ̂



)



, akibatnya 𝑉𝑎𝑟 (



1 𝑥 𝜅



𝑖 𝛽+∑𝑛 𝑖=1 ln ̂



) sulit juga untuk



dievaluasi atau ditentukan hasilnya. Dengan begitu, akan menjadi sulit untuk mencari varians dari penduga 𝜃̂𝐵 secara analitik. Oleh karena itu, varians dari penduga 𝜃̂𝐵 akan ditunjukan nilainya secara empiris melalui studi simulasi yang dilakukan dengan bantuan software R.



C. Konsistensi Penduga 𝜃̂𝐿 2 Penduga 𝜃̂𝐵 dapat dikatakan sebagai penduga yang bersifat konsisten apabila 𝐸(𝜃̂𝐵 − 𝜃) → 0, jika 𝑛 → ∞. Hal ini akan diteliti dan dilihat secara empiris melalui simulasi dengan software R. Apabila pada simulasi tersebut ditunjukkan bahwa nilai Mean Square Error (MSE) semakin mengecil dan menuju ke nilai nol, ketika ukuran atau n semakin besar dan menuju tak hingga, maka dapat disimpulkan bahwa penduga Bayes (𝜃̂𝐵 ) merupakan penduga yang konsisten.



4. STUDI SIMULASI Studi simulasi dilakukan dengan membangkitkan data berdistribusi Pareto dengan kombinasi parameter 𝜅 = 1, 3 dan 𝜃 = 1,3, 5 serta besar sampel 𝑛 = 20, 40, 100, 300, 500, 1000, 5000, 10000, 20000, dan 50000. Kemudian, akan dilihat bagaimana nilai dugaan dan sifat-sifat dari penduga Maximum Likelihood, dan penduga Bayes berdasarkan langkah-langkah studi simulasi data yang telah dijelaskan pada metode penelitian. Hasil simulasi yang menunjukkan nilai dugaan 𝜃 untuk kedua metode pendugaan dapat dilihat pada lampiran. Selanjutnya, sifat-sifat dari kedua penduga yang ditunjukkan pada simulasi ini akan dibandingkan berdasarkan persamaan-persamaan yang telah didapatkan melalui studi analitik. Pada pendugaan parameter 𝜃, digunakan distribusi prior gamma, dengan parameter yang telah ditetapkan (fix), yaitu 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 5. Berikut adalah hasil dari simulasi-simulasi yang telah dilakukan. 4.1 Bias Penduga Maximum Likelihood dan Bayes Berdasarkan dari studi simulasi yang dilakukan, akan dilihat bagaimana bias antara kedua penduga θ̂L dan θ̂B sebagai berikut. Tabel 1. Bias Penduga θ̂L dan θ̂B , ketika κ = 1 dan θ = 1,3,5 n



𝛉=𝟏 ̂ 𝐋 ) Bias (𝛉 ̂𝐁) Bias (𝛉



𝛉=𝟑 ̂ 𝐋 ) Bias (𝛉 ̂𝐁) Bias (𝛉



𝛉=𝟓 ̂ 𝐋 ) Bias (𝛉 ̂𝐁) Bias (𝛉



20



0,046005



0,095468



0,145889



1,087959



0,277047



2,529213



40



0,035657



0,039695



0,063340



0,685977



0,160667



1,726037



100



0,010152



0,019678



0,027560



0,320906



0,021158



0,912371



300



0,004238



0,005764



0,014408



0,111081



0,003800



0,358178



500



0,003717



0,002303



0,011621



0,064889



0,014989



0,205854



1000



0,001936



0,001070



0,002666



0,035877



0,002033



0,114247



5000



0,000620



0,000019



0,000302



0,008079



0,003419



0,019504



10000



0,000285



0,000585



0,000421



0,004314



0,000107



0,011579



20000



0,000286



0,000436



0,000822



0,002769



0,000119



0,005862



50000



0,000045



0,000015



0,000012



0,000768



0,000718



0,003016



Tabel 2. Bias Penduga θ̂L dan θ̂B , ketika κ = 3 dan θ = 1,3,5 n



𝛉=𝟏 ̂ ̂𝐁) Bias (𝛉𝐋 ) Bias (𝛉



𝛉=𝟑 ̂ ̂𝐁) Bias (𝛉𝐋 ) Bias (𝛉



𝛉=𝟓 ̂ ̂𝐁) Bias (𝛉𝐋 ) Bias (𝛉



20



0,069727



0,079905



0,166251



1,079273



0,177233



2,547538



40



0,040201



0,036048



0,078310



0,678026



0,110915



1,744265



100



0,011820



0,018082



0,033886



0,316166



0,072775



0,879618



300



0,003205



0,006766



0,001809



0,122556



0,007917



0,348158



500



0,000293



0,005673



0,003929



0,072181



0,000041



0,219491



1000



0,002300



0,000709



0,001388



0,037115



0,007734



0,104943



5000



0,000573



0,000027



0,000388



0,008164



0,002526



0,020388



10000



0,000014



0,000314



0,000701



0,003195



0,001583



0,009897



20000



0,000164



0,000014



0,000134



0,002082



0,000245



0,005499



50000



0,000107



0,000167



0,000344



0,000436



0,000119



0,002418



Berdasarkan dari kedua tabel yaitu Tabel 1 dan Tabel 2, dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan yang sama. Ketika nilai parameter 𝜃 semakin besar, maka bias penduga 𝜃̂𝐿 maupun 𝜃̂𝐵 akan semakin besar pula. Kemudian, jika dilihat dari sudut pandang parameter 𝜅, ketika nilai 𝜅 semakin meningkat, untuk ukuran sampel yang tidak terlalu besar, yaitu n = 20 s.d. 300, bias 𝜃̂𝐿 akan semakin besar, sedangkan bias 𝜃̂𝐵 akan semakin kecil. Namun, untuk ukuran sampel n = 500 s.d. 50000 perbedaannya tidak menentu. Untuk melihat lebih jelas bias kedua penduga secara asimtotik, maka dapat dilihat dalam bentuk grafik seperti berikut.



Bias (θ=1, κ=3)



Bias (θ=1, κ=1)



Bayes



ML



Bayes



Gambar 1. Bias penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes (𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 1, 𝜅 = 1 dan 3



n=50000



n=20000



n=5000



n=10000



n=500



n=1000



n=300



n=100



n=40



n=20 n=40 n=100 n=300 n=500 n=1000 n=5000 n=10000 n=20000 n=50000 ML



n=20



0,100000 0,080000 0,060000 0,040000 0,020000 0,000000



0,120000 0,100000 0,080000 0,060000 0,040000 0,020000 0,000000



Bias (θ=3, κ=1)



Bias (θ=3, κ=3)



1,200000 1,000000 0,800000 0,600000 0,400000 0,200000 0,000000



ML



Bayes



n=50000



n=20000



n=5000



n=10000



n=500



ML



n=1000



n=300



n=100



n=40



n=20



n=20 n=40 n=100 n=300 n=500 n=1000 n=5000 n=10000 n=20000 n=50000



1,200000 1,000000 0,800000 0,600000 0,400000 0,200000 0,000000



Bayes



Gambar 2. Bias penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes(𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 3, 𝜅 = 1 dan 3



Bias (θ = 5, κ=1)



Bias (θ=5, κ=3)



3,000000 2,500000 2,000000 1,500000 1,000000 0,500000 0,000000



ML



Bayes



ML



n=50000



n=20000



n=10000



n=5000



n=1000



n=500



n=300



n=100



n=40



n=20



n=50000



n=20000



n=5000



n=10000



n=500



n=1000



n=300



n=100



n=40



n=20



3,000000 2,500000 2,000000 1,500000 1,000000 0,500000 0,000000



Bayes



Gambar 3. Bias penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes(𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 5, 𝜅 = 1 dan 3



Berdasarkan grafik yang telah disajikan dalam Gambar 15, 16 dan 17, dapat dilihat bahwa bias kedua penduga semakin kecil dan menuju nol seiring dengan semakin besarnya ukuran sampel n. Dengan demikian kedua penduga merupakan penduga yang tak bias secara asimtotik.



4.6.1



Varians Penduga Maximum Likelihood dan Bayes



Berdasarkan dari studi simulasi yang dilakukan, akan dilihat lebih lanjut bagaimana varians antara kedua penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 yang akan ditampilkan dalam tabel sebagai berikut.



Tabel 3. Varians Penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 , ketika 𝜅 = 1 dan 𝜃 = 1,3,5 n



𝜃=1 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



𝜃=3 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



𝜃=5 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



20



0,057335



0,025522



0,556936



0,058595



1,543663



0,059135



40



0,027818



0,018275



0,244768



0,070703



0,695133



0,099537



100



0,011274



0,009581



0,090571



0,052946



0,238908



0,099895



300



0,003447



0,003267



0,029245



0,024344



0,081312



0,059740



500



0,002084



0,002019



0,017066



0,015271



0,052498



0,043447



1000



0,001026



0,001010



0,009794



0,009263



0,024344



0,022137



5000



0,000206



0,000205



0,001777



0,001757



0,004916



0,004823



10000



0,000093



0,000093



0,000927



0,000922



0,002270



0,002248



20000



0,000048



0,000048



0,000460



0,000458



0,001258



0,001252



50000



0,000020



0,000020



0,000176



0,000176



0,000530



0,000529



Tabel 4. Varians Penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 , ketika 𝜅 = 3 dan 𝜃 = 1,3,5



4.6.2



n



𝜃=1 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



𝜃=3 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



𝜃=5 ̂ Var (𝜃𝐿 ) Var (𝜃̂𝐵 )



20



0,064224



0,027844



0,514254



0,055463



1,406091



0,054816



40



0,028728



0,019027



0,250544



0,072203



0,647155



0,094250



100



0,010022



0,008533



0,094219



0,055267



0,271530



0,113138



300



0,003200



0,003034



0,027468



0,022875



0,083550



0,061343



500



0,002128



0,002061



0,018592



0,01664



0,046849



0,038840



1000



0,001051



0,001034



0,008718



0,008246



0,026670



0,024251



5000



0,000190



0,000189



0,001739



0,001719



0,004861



0,004768



10000



0,000090



0,000090



0,000943



0,000938



0,002562



0,002537



20000



0,000048



0,000048



0,000449



0,000448



0,001285



0,001279



50000



0,000021



0,000021



0,000179



0,000179



0,000545



0,000544



Mean Square Error (MSE) Penduga Maximum Likelihood dan Bayes Tabel 5. MSE Penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 , ketika 𝜅 = 1 dan 𝜃 = 1,3,5 n



𝜃=1 MSE MSE (𝜃̂𝐿 ) (𝜃̂𝐵 )



20



0,059451



40



0,029090



100



𝜃=3



𝜃=5 MSE MSE (𝜃̂𝐿 ) (𝜃̂𝐵 )



MSE (𝜃̂𝐿 )



MSE (𝜃̂𝐵 )



0,034636



0,578219



1,242250



1,620418



6,456054



0,019851



0,248780



0,541267



0,720947



3,078743



0,011377



0,009969



0,091330



0,155927



0,239355



0,932316



300



0,003465



0,003300



0,029452



0,036683



0,081326



0,188031



500



0,002098



0,002024



0,017201



0,019481



0,052722



0,085823



1000



0,001030



0,001011



0,009801



0,010550



0,024348



0,035190



5000



0,000206



0,000205



0,001777



0,001822



0,004928



0,005203



10000



0,000093



0,000093



0,000927



0,000941



0,002270



0,002382



20000



0,000048



0,000048



0,000460



0,000466



0,001258



0,001286



50000



0,000020



0,000020



0,000176



0,000177



0,000530



0,000538



Tabel 6. MSE Penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 , ketika 𝜅 = 3 dan 𝜃 = 1,3,5 n



𝜃=1 MSE MSE (𝜃̂𝐿 ) (𝜃̂𝐵 )



20



0,069086



40



𝜃=3



𝜃=5 MSE MSE (𝜃̂𝐿 ) (𝜃̂𝐵 )



MSE (𝜃̂𝐿 )



MSE (𝜃̂𝐵 )



0,034229



0,514254



0,055463



1,437502



6,544764



0,030344



0,020326



0,250544



0,072203



0,659457



3,136711



100



0,010162



0,008860



0,094219



0,055267



0,276826



0,886866



300



0,003210



0,003079



0,027468



0,022875



0,083612



0,182557



500



0,002128



0,002093



0,018592



0,016640



0,046849



0,087016



1000



0,001056



0,001035



0,008718



0,008246



0,026729



0,035264



5000



0,000190



0,000189



0,001739



0,001719



0,004867



0,005184



10000



0,000090



0,000090



0,000943



0,000938



0,002564



0,002635



20000



0,000048



0,000048



0,000449



0,000448



0,001285



0,001309



50000



0,000021



0,000021



0,000179



0,000179



0,000545



0,000550



Berdasarkan dari Tabel 5 dan Tabel 6, dapat dilihat perbedaan nilai MSE-nya. Untuk kedua nilai parameter 𝜅, baik ketika 𝜅 = 1 maupun ketika 𝜅 = 3, ketika parameter 𝜃 semakin besar nilainya, maka MSE kedua penduga juga akan semakin besar. Kemudian, dapat dilihat juga perbandingannya antara ketika 𝜅 = 1 dan 𝜅 = 3. Untuk semua nilai parameter 𝜃, ketika parameter 𝜅 semakin besar, maka MSE untuk kedua penduga juga semakin besar.



ML



Bayes



ML



n=50000



n=20000



0,000000



n=5000



0,000000



n=10000



0,020000



n=500



0,040000



0,020000



n=1000



0,040000



n=300



0,060000



n=100



0,060000



n=20



0,080000



n=20 n=40 n=100 n=300 n=500 n=1000 n=5000 n=10000 n=20000 n=50000



0,080000



n=40



MSE (θ=1, κ=3)



MSE (θ=1, κ=1)



Bayes



Gambar 41. MSE penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes (𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 1, 𝜅 = 1, 3



ML



Bayes



ML



Bayes



Gambar 42. MSE penduga penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes(𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 3, 𝜅 = 1, 3



n=50000



n=20000



n=10000



n=5000



n=1000



n=500



n=300



n=100



n=40



n=50000



n=20000



n=5000



0,000000



n=10000



0,000000



n=500



0,500000



n=1000



0,500000



n=300



1,000000



n=100



1,000000



n=40



1,500000



n=20



1,500000



n=20



MSE (θ=3, κ=3)



MSE (θ=3, κ=1)



MSE (θ=5, κ=1)



MSE (θ=5, κ=3)



7,000000 6,000000 5,000000 4,000000 3,000000 2,000000 1,000000 0,000000



8,000000 6,000000 4,000000 2,000000



ML



n=20 n=40 n=100 n=300 n=500 n=1000 n=5000 n=10000 n=20000 n=50000



n=50000



n=20000



n=5000



n=10000



n=500



n=1000



n=300



n=40



n=100



n=20



0,000000



Bayes



ML



Bayes



Gambar 43. MSE penduga penduga ML(𝜃̂𝐿 ) dan Bayes(𝜃̂𝐵 ) ketika 𝜃 = 5, 𝜅 = 1, 3



Berdasarkan grafik yang telah disajikan dalam Gambar 39, 40 dan 41, dapat dilihat bahwa MSE kedua penduga semakin kecil dan menuju nol seiring dengan semakin besarnya ukuran sampel n. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa penduga ML dan Bayes terhadap 𝜃 merupakan penduga yang konsisten.



5. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Estimasi atau penduga titik bagi parameter 𝜅 dan 𝜃 pada distribusi Pareto dengan menggunakan metode Maximum Likelihood adalah sebagai berikut: Untuk parameter 𝜅 yaitu: 𝜅̂ = min 𝑥𝑖 dan untuk parameter 𝜃 yaitu: 𝑛 𝜃̂𝐿 = 𝑛 ∑𝑖=1 (ln 𝑥𝑖 − ln 𝜅̂ ) 2. Pada pendugaan parameter distribusi Pareto menggunakan metode Bayes, diasumsikan bahwa parameter 𝜅 telah diketahui atau diasumsikan 𝜅̂ = min 𝑥𝑖 , seperti pada pendugaan dengan metode Maximum Likelihood dan jika dilihat berdasarkan grafik sebaran Pareto. Sehingga didapat penduga titik bagi parameter 𝜃 yaitu sebagai berikut: 𝛼+𝑛 𝜃̂𝐵 = 𝑥 𝛽 + ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑖 ̂𝜅 ̂ ̂ 3. Secara analitik ditunjukkan bahwa penduga 𝜃𝐿 dan penduga 𝜃𝐵 keduanya merupakan penduga yang bias. Namun, kedua peduga tersebut secara asimtotik akan menjadi tak bias. Besar bias kedua penduga memiliki nilai yang bervariasi dan dipengaruhi oleh parameter 𝜃. Selain pengaruh dari 𝜃, bias penduga 𝜃̂𝐵 juga dipengaruhi oleh besar nilai parameter dari distribusi priornya. Penduga 𝜃̂𝐵 memiliki varians yang lebih kecil dari penduga 𝜃̂𝐿 . MSE dari kedua penduga akan dipengaruhi oleh biasnya. Baik secara analitik maupun empirik, telah ditunjukkan bahwa penduga 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝐵 keduanya merupakan penduga yang konsisten.



DAFTAR PUSTAKA Bain, L.J. & Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2nd Edition. Duxbury Press, California. Berger, C. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, New York. Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics. 2nd Edition. John



Wiley & Sons, New York.



Box, G.E.P. & Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis. Addision-Wesley, Massachusetts.



Harinaldi. 2005. Prinsip-Prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga, Jakarta. Hogg, R.V., & Craig, A.T. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th Edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey. Hogg, R.V., McKean, Joseph W. & Craig, A.T. 2012. Introduction to Mathematical Statistics. 7th Edition. Prentice Hall International, United States of America. Malik, M. 2011. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil, Maximum Product of Spacing dan Regresi Ridge. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, Medan. Mukhopadhyay, N. & Ekwo, M.E. 1987. Sequental Estimation Problems for the Scale Parameter of Pareto Distribution. Scandinavian Actuarial Journal. 83-103. Sahoo, P. 2008. Probability and Mathematical Statistics. Department of Mathematics University of Louisville, Louisville. Saibagki, W. 1952. Theory and Applications of Gamma Function. Iwanami Syoten, Tokyo. Soejoeti, Z. & Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Karunika Universitas Terbuka, Jakarta Spiegel, M.R., Schiller, J.J., & Srinivasan, R.A. 2004. Probabilitas dan Statistik. Diterjemahkan oleh Ratna Indriasari. Erlangga, Jakarta. Sugiarto, S. 2014. Penduga Interval Parameter Bentuk dari Distribusi Pareto Berdasarkan Metode Momen dan Maksimum Likelihood. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru. Walpole, E.R. 1995. Pengantar Statistika. Ed. ke-3. Gramedia, Jakarta. Walpole, E.R. & Myers, H.R. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur ITB, Bandung.



dan Ilmuwan. Ed. ke-4.