Pengertian Kelipatan Suatu Bilangan [PDF]

Citation preview

MAKALAH Bilangan kelipatan dan factor serta KPK dan FPB



Dosen Pengampu : BQ. INDANA ZULFA, M.Pd



Disusun Oleh Kelompok : 4     



Fathul Aziz Nurul Aini Siti Nurmala Hayati Syifaunnufus Yesika Alfianingsih



INSTITUT AGAMA ISLAM HAMZANWADI NW LOMBOK TIMUR FAKULTAS TARBIYAH PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH 2021/2022



KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah tentang ” Bilangan kelipatan dan factor serta KPK dan FPB” ini. Makalah ini merupakan laporan yang dibuat sebagai bagian dalam memenuhi kriteria mata kuliah. Salam dan salawat kami kirimkan kepada junjungan kita tercinta Rasulullah Muhammad SAW, keluarga, para sahabatnya serta seluruh kaum muslimin yang tetap teguh dalalm ajaran Kami menyadari bahwa makalah ini masih ada kekurangan disebabkan oleh kedangkalan dalam memahami teori, keterbatasan keahlian, dana, dan tenaga penulis. Semoga segala bantuan, dorongan, dan petunjuk serta bimbingan yang telah diberikan kepada kami dapat bernilai ibadah di sisi Allah Subhana wa Taala. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfat bagi kita semua, khususnya bagi penulis sendiri.



i



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1 A. Latar Belakang ..................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................ 1 C. Tujuan .................................................................................................. 2 BAB II PEMBAHASAN ................................................................................ 3 A. B. C. D. E. F.



Pengertian Kelipatan Bilangan ............................................................. Faktor suatu Bilangan .......................................................................... Kelipatan persekutuan terkecil ( KPK) ................................................ Kelipatan Persekutuan Terkecil ( KPK)............................................... Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) .....................................................



3 5 7 9 11



BAB III PENUTUP ........................................................................................ 13 A. Simpulan .............................................................................................. 13 B. Saran ..................................................................................................... 13



DAFTAR PUSTAKA ..................................................................... 14



ii



BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pelajaran matematika merupakan merupakan pelajaran yang sangat penting dan banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai mata pelajaran inti, matematika diberikan mulai dari pendidikan dasar SD/MI sampai pada perguruan tinggi. Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman yang baik tentang konsep yang lain, seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang di ajarkan dari tingkat SD sampai SMP dan banyak di gunakan untuk memahami konsep matematika SMA. Konsep faktor, kelipatan, KPK dan FPB di jenjang SD dan SMP, sering kali disajikan secara sangat mendasar, namun tidak secara utuh. Sebagai contoh untuk menemukan KPK dan FPB cenderung menggunakan salah satu cara yaitu, konsep pohon faktor, sementara munculnya konsep ini tidak dikaji secara utuh atau melupakan materi persyaratanya yaitu konsep bilangan prima sehingga metode untuk menemuka KPK dan FPB salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang di ajarkan dari tingkat SD sampai SMP dan banyak di gunakan untuk memahami konsep matematika SMA. Konsep faktor, kelipatan KPK dan FPB di jenjang SD dan SMP, sering kali di sajikan sangat mendasar, namun tidak secara utuh, sebagai contoh untuk menemukan KPK dan FPB cenderung menggunakan salah satu cara yaitu konsep pohon faktor. B. Rumusan Masalah 1. Apakah pengertian dari kelipatan suatu bilangan? 2. Bagaimana cara menentukan faktor suatu bilangan? 3. Bagaimana menetukan Kelipatan Persekutuan Terkecil ( KPK) ? 4. Bagaimana menetukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ? 1



C. Tujuan Tujuan penulisan makalah ini selain untuk memenuhi tugas mata kuliah pembelajaran Bilangan kelipatan dan factor serta KPK dan FPB dan sebagai tolak ukur pemahaman kita terhadap materi tersebut.



2



BAB II PENDAHULUAN A. Pengertian Kelipatan bilangan Dalam matematika kita sering mendengar dengan kata kelipatan suatu bilangan dan factor suatu bilangan. Kedua hal itu sangat penting dipelajari karena kedua hal itu adalah awal untuk belajar matematika lebih tinggi sebaiknya kita mempelajari definisi dan cara menentukan kelipatan dan factor bilangan tersebut. Kelipatan dari suatu bilangan merupakan bilangan atau deret bilangan diperoleh dengan cara menambahkan bilangan itu sendiri dari bilangan sebelumnya atau mengalikan bilangan tersebut dengan 1, 2, 3, 4, …, dan seterusnya. Biasanya kita menemukan anka 0 dalam bilangan asli. Minsalnya bilangan 3 kelipatan dari berapa? Bagaimana kita mencari?. Kalikan bilangan 3 dengan angka 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya secara berurutan. Dan hasilnya adalah kelipatannya. 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 Masukkan bilangan ditebali di atas menjadi seperti ini 3, 6, 9, 12, 15, 18 Jadi, bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, dan seterusnya Untuk lebih memahami kerjakanlah soal kelipatan suatu bilangan di bawah ini? 3



Bilangan-Bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, (Contoh soal)



1x2=2 2x2=4 3x2=6 4x2=8 5 x 2 = 10 6 x 2 = 12 Jadi, bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12 Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4,…,dan seterusnya. Jika semua bilangan asli kamu kalikan dengan 2, maka diperoleh bilangan kelipatan dua , yaitu 2,4, 6,8 10,12,…. Minsal kelipatan 2 maka deret bilangannya adalah 2, 4,6, 8, 10, 12, 14, 116, 18,, 20, 22,…ini di peroleh dari ; =2 2+2=4(2x) 2+22=6(3x) 2+2+2+2=8(4x)…dst.. Atau 1x2=2 2x2=4 3x2=6 4x2=8…dst



4



Dengan cara yang sama,maka, bilangan kelipatan 3 adalah 3,6, 9, 12, 15, 18,… bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12,16, 20, 24…. Jadi kesimpulannyakelipatan merupakan hasil penjumlahan dengan bilangan yang sama secara terus menerus B. Faktor suatu bilangan Definisi factor suatu bilangan adalah suatu bilangan yang membagi bilangan lain sehingga menghasilkan bilangan asli, singkatnya, factor adalah pembagian habis dari suatu bilangan. Jika bilangan A habis dibagi oleh bilangan B adalah factor dari A. Minsalnya bilangan 8 dibagi 2. Jadi, faktor adalah 2. Karena bilangan yang membagi adalah 2. Bilangan yang membaginya harus bilangan asli. Bagaimana jika bentuk bilangan desimal ataupun pecahan? Apakah masih termasuk faktor? Jawabannya tentu tidak, karena bilangan tersebut bukanlah bilangan asli. Lalau bagaimana cara mencari faktor bilangan itu? Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh faktor bilangan dari 10 menggunakan langkah-langkah berikut: 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 3 = 3,3 (bukan faktor bilangan) 10 : 4 = 2,5 (bukan faktor bilangan) 10 : 5 = 2 10 : 6 = 1,67 (bukan faktor bilangan) 10 : 7 = 1,42 (bukan faktor bilangan) 10 : 8 = 1,25 (bukan faktor bilangan) 10 : 9 = 1,11 (bukan faktor bilangan) 10 : 10 = 1



5



Jadi faktor dari 10 ialah 1,2, 5 dan 10. a. Cara cepat mencari kelipatan suatu bilangan Kelipatan suatu bilangan dapat didefinisikan sebagai hasil perkalian yang dilakukan antara sebuah bilangan dengan bilangan asli. Bilangan asli tersebut ialah 1, 2, 3, 4, 5, dan lain-lain. Biasanya kita tidak menemukan angka nol dalam bilangan asli. Bahkan bilangan negatif sekalipun juga tidak dapat kita temukan dalam bilangan asli. Bagaimana cara mencari kelipatan bilangan itu? Setelah mengetahui tentang pengertian kelipatan bilangan di atas, kemudian saya akan menjelaskan tentang cara menghitung kelipatan bilangan itu sendiri. Kita buat contoh kelipatan bilangan 6, maka cara mencarinya akan menggunakan langkah-langkah seperti berikut ini: 1x6 2 x 12 3 x 18 4 x 24 5 x 30 6 x 36 Jadi kelipatan dari 6 ialah 6, 12, 18, 24, 30, 36, dan seterusnya…. b. Cara Cepat Mencari Faktor Bilangan Materi kelipatan dan faktor bilangan tersebut tidak hanya membahas tentang pengertian kelipatan bilangan, pengertian faktor bilangan, contoh kelipatan bilangan dan contoh faktor bilangan saja. Namun ada pula pembahasan mengenai cara cepat menghitung faktor bilangan. Misalnya, kita akan mencari faktor dari 16. Maka bilangan ini dapat dicari faktornya menggunakan metode seperti berikut:



16 : 1 = 16 16 : 2 = 8 16 : 4 = 4 (Hasilnya lebih rendah dibandingkan pembagi) 6



Dari langkah langkah di atas akan ada hasil angka yang sama berupa: Bilangan hasil : 4, 8, 16 Bilangan pembagi 1, 2, 4 Jadi faktor dari 16 ialah 1, 2, 4, 8 dan 16 1.



Contoh Soal Kelipatan dan Faktor Bilangan  Tentukan kelipatan dari bilangan 8 dan 9? Jawaban. Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 48, 48, 56 dan seterusnya Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 dan seterusnya



 Tentukan faktor dari bilangan 20 dan 30? Jawaban. Faktor



dari



20



=



1,



2,



4,



5,



10,



20



Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 C. Konsep kelipatan persekutuan dan faktor persekutuan a. kelipatan persekutuan kelipatan persekutuan dapat diartikan sebagai bilangan yang mempunyai persamaan kelipatan dari dua atau lebih bilangan. Artinya dua bilangan yang menghasilkan suatu kelipatan memiliki nilai yang sama. Misalnya pada bilangan kelipatan 2 dan 3 menghasilkan persamaan kelipatan pada bilangan 6, 12, dan 18. Mencari suatu persukutuan dilakukan dengan mencari kelipatan masing masing.



Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 dan seterusnya. Bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16 dan seterusnya. Bilangan kelipatan dari 4 dan 2 yang memiliki persamaan dapat dilihat di bilangan yang



ditebali.4, 8, 12, 16 adalah bilangan kelipatan



persekutuan. 7



b. Faktor persekutuan faktor persekutuan dapat diartikan sebagai bilangan yang mempunyai persamaan faktor dari dua atau lebih bilangan. Sama dengan kelipatan persekutuan yang membedakannya hanya pada faktor persekutuan yang digunakan. Bilangan 12 dan 4 memiliki bilangan persekutuan 1, 2, dan 4. Misalnya pada 12 dan 24 pesekutuannya dicari dengan cara membuat faktor dari masing-masing bilangan tersebut. Bilangan faktor 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12 Bilangan faktor 24 adalah 1, 2,3, 4, 6, 8, 12 dan 24 Jadi faktor pesekutuan dari 12 dan 24 adalalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12 c. Bilangan prima Kita harus mengetahui apa itu bilanagn asli dan bilangan cacah:  Bilangan asli dii mulai dari angka 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya…  Bilangan cacah di mulai dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnnya  Faktor adalah bilangan yang habis membagi suatu bilangan Selanjutnya bilangan prima adalah, bilangan yang hanya habis dibagi satu dan dirinya sendiri dan hanya memiliki 2 faktor, yaitu satu dan dirinya sendiri, Dan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11…..dst. Bilangan 2 hanya memiliki tepat dua faktor yaitu 1 dan 2, karena 2 = 1 x 2 atau 2 = 2 x 1 Bilangan 3 hanya memliki tepat 2 faktor yaitu 1 dan 3, karena 3 = 1 x 3 atau 3 = 3 x 1 1 bukan merupakan bilangan prima karena 1 hanya memiliki satu faktor yaitu 1, karena 1 = 1 x 1 Sedangkan bilangan 4, 6, 8, 9, 10, 12 bukan bilanagn prima karena memiliki lebih dari 2 faktor



8



Bagaimana



Mengetahui



bilangan



prima



atau



tidak ?.



Cara



mendapatkannya dengan cara mencari faktor suatu bilangan tersebut. Jika ternyata bilangan itu memiliki lebih dari 2 faktor berarti bilangan tersebut bukan bilangan prima. Contoh; Bilangan 6 faktornya adalah 1, 2, 3 dan 6. Bukan bilangan prima Bilangan 5 faktornya adalah 1 dan 5. Bilanganya termasuk bilangan prima D. Kelipatan persekutuan terkecil ( KPK) Kelipatan persekutuan terkecil atau yang disingkat KPK dalam bahasa inggris dikenal sebagai least common multiple (LCM). KPK dari 2 atau lebih bilangan merupakan bilangan yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau lebih bilangan tersebut. Dengan kata lain, KPK dari 2 atau lebih bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi dengan 2 atau lebih bilangan tersebut. Dan cara mencaru KPK itu sering dituliskan dengan persamaa LCM (a, b), dimana a dan b adalah bilangan bulat (integer),, dan nanti hasil yang diminta adalah bilangan bulat positif terkecil yang bisa dibagi dengan a atau b. Cara Mencari Nilai KPK Dalam mencari nilai KPK terdapat 2 metode yang dapat digunakan, yaitu Metode sederhana Misal kita akan mencari KPK dari 14 dan 4, maka cara mencari KPK menggunakan metode sederhana adalah. Kelipatan 14 = 14, 28, 42, 56, 70, … Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, … KPK dari 14 dan 4 adalah kelipatan yang sama dan terkecil, jadi KPK nya adalah 28



9



Soal ke-2 kita akan mencari KPK dari 6 dan 12 menggunakan metode sederhana



maka cari KPK



Penyelesaian: Kelipatan 6=6, 12, 18,24, 30, 36 Kelipatan 12=12 , 24, 36, 48…. KPK dari 2dan 12 adalah kelipatan yang sama dan terkecil, jadi KPK nya adalah 12 Metode factorial Metode ini menggunakan pohon faktorial. Misalkan kita akan mencari KPK dari 20 dan 45 maka cara mencari KPK nya adalah Buat pohon faktornya



20



45



2



10 2



3



15



5 1



3 5



5 1



5



susun bilangan dari pohon faktor sehingga didapatkan faktorialnya faktorial 20 = 22 x 51 faktorial 45 = 32 x 51 ambil faktor yang memiliki pangkat terbesar yaitu 22 x 32 x 51 kalikan faktor faktor tersebut 4 x 9 x 5 = 180 Jadi, KPK dari 20 dan 45 adalah 180. Contoh soal ke-2 KPK dari 25 dan 30 menggunakan pohon factorial 25



30



5 5



2



15 3



10



5



Faktorial 25 = 52 Faktorial 30 = 2 x 3 x 5 Diperoleh KPK dari 25 dan 30 adalah 2 x 3 x 52 = 150 E.



Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)



Faktor persekutuan terbesar atau yang disingkat FPB dalam bahasa inggris dikenal sebagai Great common divisor (GCD). FPB dari 2 atau lebih bilangan merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua (atau lebih) bilangan tersebut. Cara mencari nilai FPB Hampir sama seperti KPK, dalam mencari nilai FPB terdapat 2 metode yang dapat digunakan, yaitu 1. Metode Sederhana Misal kita akan mencari FPB dari 14 dan 4, maka cara mencari KPK menggunakan metode sederhana adalah Faktor 14 = 1, 2, 7, 14 Faktor 4 = 1, 2, 4 FPB dari 14 dan 4 adalah faktor yang sama dan terbesar, jadi FPB nya adalah 2 Contoh ke-2 Carilah FPB DARI 4, 8 Dan 12 Penyelesaian : Factor dari 4 adalah = 1, 2, 4 Factor dari 8 adalah = 1, 2, 4, 8 Factor dari 12 adalah = 1, 2, 4, 6, 12 Factor persekutuannya adalah 1, 2, 4 Niali yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4.



11



Contoh soal ke-3 Akan dicari FPB dari 15 dan 20 menggunakan metode sederhana Penyelesaian ;  



Faktor 15 = 1, 3, 5, 15 Faktor 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20 FPB dari 14 dan 4 adalah faktor yang sama dan terbesar, maka FPB nya adalah 5



Contoh Soal 1 2. Metode factorial Metode faktorial memiliki 2 alternatif cara yaitu menggunakan pohon faktor. Misalkan kita akan mencari FPB dari 20 dan 30 maka cara mencari FPB nya adalah Buat pohon faktornya



20 2



30 10



2



2



15



3



5



5



1



5



susun bilangan dari pohon faktor sehingga didapatkan faktorialnya  



faktorial 20 = 22 x 51 faktorial 30 = 21 x 31 x 51



ambil faktor yang sama yaitu 2 dan 5 kalikan faktor yang sama dan memiliki pangkat terkecil yaitu21x 51 kalikan faktor faktor tersebut 2 x 5 = 10 Jadi, FPB dari 20 dan 30 adalah 10.



12



BAB III PENUTUP A. Simpulan Kelipatan dari suatu bilangan merupakan bilangan atau deret bilangan diperoleh dengan cara menambahkan bilangan itu sendiri dari bilangan sebelumnya atau mengalikan bilangan tersebut dengan 1, 2, 3, 4,. singkatnya, factor adalah pembagian habis dari suatu bilangan. Jika bilangan A habis dibagi oleh bilangan B adalah factor dari A. Minsalnya bilangan 8 dibagi 2. Jadi, faktor adalah 2. Karena bilangan yang membagi adalah 2. Bilangan yang membaginya harus bilangan asli. Dan kelipatan persekutuan dapat diartikan sebagai bilangan yang mempunyai persamaan kelipatan dari dua atau lebih bilangan. Artinya dua bilangan yang menghasilkan suatu kelipatan memiliki nilai yang sama adapun faktor persekutuan adalah bilangan positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Bilangan prima merupakan bilangan asli yang lebih besar dari angka 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar dari dua terbesar yang membagi semua bilangan tersebut. Dalam bahasa inggris, FPB dikenal dengan Greatest common Divisor, sering juga disebut sebagai Greatest Common Factor atau Highest Common Factor. Dan dalam menetukan faktor FPB dan KPK dapat di lakukan dengn dua cara yaitu, metode sederhana dan metode factorial B. Saran Demikian makalah pembelajaran bilangan kelipatan dan faktor serta KPK dan FPB sangat penting untuk di pelajari oleh seorang guru untuk siswa dan makalah ini masih banyak kurangnya yang harus di lengkapi, untuk itu kami mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun dari bapak/ibuk dosen rekan-rekan sekalian.



13



DAFTAR PUSTAKA  https://www.kelaspintar,id/blog/edutech/fpb-pengertian  hhtps://indoakademi.com/matematika/4sd/40200-k4m01-kelipatan-danfactor/40201-kelipatan-dan-factor/  hhtps://wwwhhtps://mandiribelajarsains.blogspot.com/2016/01/kelipatan-dan-faktorbilangan-matematika.html?m=1  https://rpp.co.id/materi-kelipatan-dan-faktor-bilangan/



14