Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3 [PDF]

Citation preview

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban: P = {3x|x ∈ Z } Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan. 1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b ∈ P. Perhatikan : a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y) = (x+y) + (x+y) + (x+y) = 3(x+y) Karena x+y ∈ Z, maka a+b ∈ P 2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b = b+a Perhatikan: a+b = 3x + 3y = 3(x+y) = 3(y+ x) = 3y + 3x =b+a 3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c) Perhatikan: a+(b+c) = 3x + (3y + 3z) = 3x + 3(y+z) =3(x+ (y+z)) = 3((x+y) + z) = 3(x+y) + 3z = (3x + 3y) + 3z = (a+b) + c 4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P. Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P. Perhatikan: a + 0 = 3x + 3.0 = 3(x+0) = 3x =a Ini berarti 0 unsur nol dalam P. 5. Ambil sebarang a = 3x ∈ P. Pilih b = 3(-x) ∈ P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x) Perhatikan: 3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x)) = 3.0 =0 Jadi –(3x) = 3(-x) Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.



1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b ∈ P. Perhatikan: a .b = 3x . 3y = 3. 3xy = 3(3xy) Karena 3xy ∈ Z, maka a.b ∈ P. 2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c Perhatikan: a.(b.c) = 3x(3y . 3z) = 3x(3(3yz)) = 3.3.3(x(yz)) = 3.3.3((xy)z) = 3.3(xy) . 3z = (3x . 3y). 3z = (a.b). c Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan. 1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a Perhatikan: a(b+c) = 3x(3y + 3z) = 3x(3(y + z)) = 3.3(x(y + z)) = 3.3(xy + xz) = 3.3xy + 3.3xz = a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x = ((y+z)3). 3x = ((y+z)x)3.3 = (yx + zx)3.3 = 3.3yx + 3.3zx = 3y.3x + 3z.3x = b.a + c.a Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif. 1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b = b.a Perhatikan: a .b = 3x. 3y = 3.3xy = 3.3yx = 3y. 3x = b.a Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.



2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. Bukti : Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi. Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka: x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z sehingga: xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r. Akibatnya: xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r. Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 . Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y) Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring 3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R. Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan bersifat ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2 dan terhadap operasi pengurangan bersifat ( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2 Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ). Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R. Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks C = { a + b i │a, b dalam R } Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. 4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)



Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1, sehingga : p(a + b) = p(a) . p(b) p(0 + 1) = p(0) . p(1) p(1) = 1 . -1 -1 = -1 Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma. 5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. Penyelesaian : Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma : Misalkan x, y ∈ Z, maka p(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = p(x) + p(y) Sehingga p adalah suatu Homomorfisma. Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri. 6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0



Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 1+0=1 1+1=2 1+2=3 1+3=0 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2 a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka Z4 assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari Z4 



misalkan 0 ∈ Z4 0+e=e+0=0







misalkan 1 ∈ Z4 1+e=e+1=1







misalkan 2 ∈ Z4 2+e=e+2=2







misalkan 3 ∈ Z4 3+e=e+3=3



maka Z4 ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4, sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4, sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4, sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1



maka Z4 ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4 (a + b) = (2 + 3) = 1 (b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 1 maka Z4 komutatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +). 2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 1.0=0 1.1=1 1.2=2 1.3=3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 (a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2 a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2 Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka Z4 assosiatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 a.(b + c) = 2.(1 + 3) = 2.(0) =0 (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3) =2+6 =0 Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0



(a + b).c = (2 + 1).3 = (3).3 =1 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3) =2+3 =1 Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1 Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.). 7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a . b = b . a, a,b ∈ Z4 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel no.6) 2.3=2 3.2=2 Sehingga 2.3=3.2=2 Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. 8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif. Penyelesaian: Tabel Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)



Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈ P genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap Karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P



(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil Maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,



sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap ∈ P,



sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap maka P ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P, sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil



maka P ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +). 2. Monoid terhadap perkalian (P, .) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P genap . ganjil = genap genap . genap = genap ganjil . ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P (a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = genap maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil



maka P ada unsur satuan atau identitas Komutatif Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a . b) = (genap . ganjil) = genap (b . a) = (ganjil . genap) = genap Sehingga : (a . b) = (b . a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P a.(b + c) = genap . (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). Genap = (ganjil). Genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap) = genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .). 9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan



genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P. 10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian : ab = ac, maka: ab – ac = 0 a(b – c) = 0 Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka : b–c=0 Jadi b = c 11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. Penyelesaian : Daftar Cayley (Z4, .)



Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3]. Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2]. 12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: ∀ a ∈ P, ∃ a-1 ∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga genap.ganjil = genap ≠ e







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P, sehingga genap.genap = genap ≠ e



maka P tidak ada unsur balikan atau invers. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field. Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).



Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. Bukti : Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi. Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka: x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z sehingga: xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r. Akibatnya: xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r. Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 . Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y) Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R. Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan bersifat ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2



dan terhadap operasi pengurangan bersifat ( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2 Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ). Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R. Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks C = { a + b i │a, b dalam R } Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)



Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1, sehingga : p(a + b) = p(a) . p(b) p(0 + 1) = p(0) . p(1) p(1) = 1 . -1 -1 = -1



Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. Penyelesaian : Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma : Misalkan x, y ∈ Z, maka p(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = p(x) + p(y) Sehingga p adalah suatu Homomorfisma. Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri. unjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0



Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4



1+0=1 1+1=2 1+2=3 1+3=0 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 -



Assosiatif



Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2 a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka Z4 assosiatif -



Adanya unsur satuan atau identitas



Ambil sebarang nilai dari Z4 



misalkan 0 ∈ Z4 0+e=e+0=0







misalkan 1 ∈ Z4 1+e=e+1=1







misalkan 2 ∈ Z4 2+e=e+2=2







misalkan 3 ∈ Z4 3+e=e+3=3



maka Z4 ada unsur satuan atau identitas -



Adanya unsur balikan atau invers 



Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4, sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4, sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2







Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4, sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1



maka Z4 ada unsur balikan atau invers -



Komutatif



Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4 (a + b) = (2 + 3) = 1 (b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 1 maka Z4 komutatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +). 2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.) -



Tertutup



Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 1.0=0 1.1=1 1.2=2 1.3=3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4 -



Assosiatif



Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4



(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2 a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2 Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka Z4 assosiatif Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4 a.(b + c) = 2.(1 + 3) = 2.(0) =0 (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3) =2+6 =0 Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0 (a + b).c = (2 + 1).3 = (3).3 =1 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3) =2+3 =1 Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1 Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.



Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.). Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a . b = b . a, a,b ∈ Z4 Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel no.6) 2.3=2 3.2=2 Sehingga 2.3=3.2=2 Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Tabel Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)



Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) -



Tertutup



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈ P genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap Karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P -



Assosiatif



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil Maka P assosiatif -



Adanya unsur satuan atau identitas 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,



sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap ∈ P,



sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap maka P ada unsur satuan atau identitas -



Adanya unsur balikan atau invers 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P, sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil



maka P ada unsur balikan atau invers



-



Komutatif



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +). 2. Monoid terhadap perkalian (P, .) -



Tertutup



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P genap . ganjil = genap genap . genap = genap ganjil . ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P -



Assosiatif



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P (a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = genap maka P assosiatif -



Adanya unsur satuan atau identitas 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil



maka P ada unsur satuan atau identitas -



Komutatif



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P (a . b) = (genap . ganjil) = genap (b . a) = (ganjil . genap) = genap Sehingga : (a . b) = (b . a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P a.(b + c) = genap . (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). Genap = (ganjil). Genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)



= genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .). Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.



Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian : ab = ac, maka: ab – ac = 0 a(b – c) = 0 Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka : b–c=0 Jadi b = c Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. Penyelesaian : Daftar Cayley (Z4, .)



Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3]. Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2] Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.



Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: ∀ a ∈ P, ∃ a-1 ∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil 



Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P, sehingga genap.ganjil = genap ≠ e







Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P, sehingga genap.genap = genap ≠ e



maka P tidak ada unsur balikan atau invers. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field. Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).



CONTOH SOAL STRUKTUR ALJABAR 1.Himpunan Contoh 1 Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif. Penyelesaian : a. Tertutup Misalkan x = 2 dan y = 3, x*y=2*3=1 x*x=2*2=2 x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Z+ b. Komutatif x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3 x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1



y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1 x * y = y * x komutatif c. Assosiatif x, y, z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4 (x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3 x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1 (x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif Contoh 2 Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} dan B = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A ! Penyelesaian : Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)} Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}



2.semigrup dan monoid Contoh 1 Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a * b = a + b + ab Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup. Penyelesaian: 1. Tertutup Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka a * b = a + b + ab * N. Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *. 2. Assosiatif Ambil sebarang a, b, c * N, maka (a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc



a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku (a * b) * c = a * (b * c).



Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup. Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.



Contoh 2 Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian: Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut +



-1



1



-1



-2



0



1



0



2



Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Jadi, (G, +) bukan suatu grup.



3.Dasar2 grup Contoh 1 tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G. Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari H misalkan 0, 2, 4 H 0+0=0 0+2=2 0+4=4 2+2=4 2+4=0 4+4=2 karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H



b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari H misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2 a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka H assosiatif



c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0 G 0+e=e+0=0 misalkan 2 G 2+e=e+2=2 misalkan 4 G 4+e=e+4=4 maka G ada unsur satuan atau identitas



d. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0



Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2 maka G ada unsur balikan atau invers



e. Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari H misalkan 4 H 4+e=4+0=4 e+4=0+4=4 Sehingga : 4+e=e+4=4 maka H ada unsur satuan atau identitas



f. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H 4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e (-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e Sehingga : 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e maka H ada unsur balikan atau invers Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +) merupakan Subgrup dari (G, +).



Contoh 2



tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G. Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : Ambil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3 H didapat : 2 + 3 = 5 5 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +) Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}



4.Grup siklik Contoh 1



Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh 1. Penyelesaian : [1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}



Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.



Contoh 2



Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1 [-1] = {(-1)n | n Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1} [1] = {(1)n | n Z} = {(1)0, (1)1, (1)2, …} = {1} generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1} generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1}.



5.Grup faktor Contoh 1



Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G. Penyelesaian : (G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3 Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2} 1 + H = 1 + {0,2} = {1,3} 2 + H = 2 + {0,2} = {2,0} 3 + H = 3 + {0,2} = {3,1} Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2} H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3} H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0} H + 3= {0,2} + 3 = {3,1} Sehingga : 0 + H = H + 0= {0,2} 1 + H = H + 1= {1,3} 2 + H = H + 2 = {0,2} 3 + H = H + 3 = {1,3} Maka koset kiri = koset kanan



Contoh 2



Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.



Penyelesaian : Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian.



Diketahui : Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …} 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} a. Terhadap operasi penjumlahan Koset kiri : -2 + 3Z = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …} -1 + 3Z = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …} 0 + 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 1 + 3Z = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …} 2 + 3Z = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …} Koset kanan: 3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …} 3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …} 3Z + 0 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 3Z + 1 = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …} 3Z + 2 = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …} Koset kiri = Koset kanan b. Terhadap operasi perkalian Koset kiri : -2 . 3Z = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …} -1 . 3Z = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …} 0 . 3Z = {0} 1 . 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 2 . 3Z = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …} Koset kanan: 3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …} 3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …} 3Z . 0 = {0} 3Z . 1 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …} 3Z . 2 = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …} Koset kiri = Koset kanan



6.RING Contoh 1 Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. Bukti : Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi.



Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka: x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z sehingga: xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r. Akibatnya: xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r. Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 . Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y) Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring



Contoh 2 .Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R Jawab: Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R. Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan bersifat ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2 dan terhadap operasi pengurangan bersifat ( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2 Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ). Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R. Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks C = { a + b i │a, b dalam R } Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. 7.subring



Contoh 1



Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring. 1. S , syarat terpenuhi karena S = {0, 2} 2. a - b S Misalkan 0, 2 S 2–0=2 2–2=0 0–2=2 Sehinigga 0, 2 S 3. a . b S Misalkan 0, 2 S 2.0=0 2.2=0



0.2=0 Sehingga 0 S Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4. Contoh 2 Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan I X = { I ideal di R I X ⊆I } = dan (X)= ∩ Jika A,B ⊆ R , maka (A) ∩(B) merupakan I∈IX. ideal pada (A) . Bukti. Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) ∩ (B) juga merupakan ideal di R. Karena berlaku hubungan (A)∩ (B) ⊆ (A) , maka untuk setiap x ∈(A)∩(B) dan r ∈(A)selalu berlaku rx =xr∈(A) ∩(B) . Jadi, terbukti bahwa (A) ∩(B) merupakan ideal pada A . �� 8.ring faktor & homomorfisma



Contoh 1 Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6. Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor. Penyelesaian : Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu : K = {0, 2, 4} K + 1 = {1, 3, 5} Sehingga Z6/K = {K, K + 1} Tabel 8.1. Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .) +



k



K+1



.



k



K+1



k



k



k-1



k



k



k



K+1



K+1



k



K+1



k



k-1



Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K. Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syaratsyarat suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnya sebagai berikut : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K



berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 Sehingga K + 1 Z6/K 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] [K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)] (K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0) K + (1 + 1) = K + (0 + 0) K=K Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K (K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 (K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1 Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K (K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K (K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K K + (K + 1) = (K + 1) + K K + (0 + 1) = K + (1 + 0) K+1=K+1 Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1 6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/K berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K Sehingga K Z6/K 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/K [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] [K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)] (K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1) K + (0 . 1) = K + (0 . 1) K=K Sehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K K Z6/K (K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K



K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K 9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1 a. (b + c) = (a . b) + (a . c) K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)] K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)] K + (0 . 0) = K + (0 + 0) K=K Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = K Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor



Contoh 2 Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring. Penyelesaian : Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a . b) = f(a) . f(b) Sehingga : 1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R (a + b) = (a) + (b) a+a=a+b 2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R (a . b) = (a) . (b) a.b=a.b Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma Ring. 9.ring polinom Contoh 1 Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimana p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.