Peny - Bab 2 No 1-5 [PDF]

Citation preview

PENYELESAIAN SOAL-SOAL FUNGSI PEMBANGKIT Tugas ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah



MATEMATIKA DISKRIT



Dosen Pembimbing : Prof. I KETUT BUDAYASA, Ph.D



Oleh : Hariyadi (10715013) Agus Nur Sofan (10715015) Yohanes Nova Probo W (10715018)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2010



1. Tulis FPB dari barisan-barisan berikut, dan sederhanakan jika mungkin. a. ( 0, 0, 0, 1, 1, 1, . . . ) Jawab: P(x) = x 3 + x 4 + x 5 + ⋯ = 𝑥 3 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ ) 1



= 𝑥3 (



1−𝑥



=



)



𝑥3 1−𝑥



1



1



1



b. (0, 0, , , , … ) 2! 3! 4! Jawab: 𝑃(𝑥) =



1 2 1 3 1 4 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2! 3! 4!



= (1 + 𝑥 +



1 2!



𝑥2 +



1 3!



𝑥3 +



1 4!



𝑥4 + ⋯ ) − 𝑥 − 1



= 𝑒𝑥 − 𝑥 − 1 1



1



1



c. ( + + + ⋯ ) 3! 4! 5! Jawab: 𝑃(𝑥) =



1 1 1 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ 3! 4! 5!



= (1 + 𝑥 +



1 2!



𝑥2 +



1 3!



𝑥3 +



1 4!



𝑥4 +



1 5!



1



= 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑥 − 𝑥2 2!



1



1



1



1



d. (1, −1, , − , , − , … ) 2! 3! 4! 5! Jawab: 𝑃(𝑥) = 1 − 𝑥 + = 𝑒 −𝑥



1



𝑥5 + ⋯ ) − 1 − 𝑥 − 𝑥2



1 2 1 3 1 4 1 5 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 +⋯ 2! 3! 4! 5!



2!



e. (0,1,0,1,0,1,0,1, … ) 𝑱𝒂𝒘𝒂𝒃: 𝑃(𝑥) = 0 + 𝑥 + 0𝑥 2 + 𝑥 3 + 0𝑥 4 + 𝑥 5 + 0𝑥 6 + 𝑥 7 + ⋯ = 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥5 + 𝑥7 + ⋯ = 𝑥(1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + ⋯ ) 1



= 𝑥(



1−𝑥 2



2



)



2



f. (2,0, , 0, , … ) 3 5 𝑱𝒂𝒘𝒂𝒃: 2 2 P(x) = 2 + 0x + x 2 + 0x 3 + x 4 + ⋯ 3 5 2



2



3



5



= 2 + 𝑥2 + 𝑥4 + ⋯ 1



1



3



5



= 2 (1 + x 2 + x 4 + ⋯ ) = = =



1 3



1 5



2(x+ x3 + x5 +⋯ ) x 1 2



2( 𝑙𝑛(



1+𝑥 )) 1−𝑥



𝑥 1 𝑥



(𝑙𝑛(1 + 𝑥) − 𝑙𝑛(1 − 𝑥))



2. Tulislah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut. a. (3, 3,3,3, … ) Jawab: 𝑃(𝑥) = 3 + 3𝑥 +



3 2 3 3 3 4 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2! 3! 4!



= 3 (1 + 𝑥 + = 3(𝑒 𝑥 ) = 3𝑒 𝑥



1 2!



𝑥2 +



1 3!



𝑥3 +



1 4!



𝑥4 + ⋯ )



b. (0,1,0,1,0, … ) Jawab: 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑃(𝑥) = 0 + 𝑥 + 0 + + 0 + ⋯ 2! 3! 4! =𝑥+ =



1 2



𝑥2 3!



+



𝑥5 5!



+⋯



(𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 )



c. (3,1,3,1,3,1, … ) Jawab: 3𝑥 2 𝑥 3 3𝑥 4 𝑥 5 𝑃(𝑥) = 3 + 𝑥 + + + + +⋯ 2! 3! 4! 5! = (3 +



3𝑥 2 2!



= 3 (1 + =



3 2



𝑥2 2!



+ +



3𝑥 4 4! 𝑥4 4!



+ ⋯ ) + (𝑥 +



+ ⋯ ) + (𝑥 + 1



(𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) + (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) 2



= 2𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥



d. 𝑎𝑛 = 3𝑛 𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏: 𝑛 P(𝑥) = ∑~ 𝑛=0 3



= ∑~ 𝑛=0 = 𝑒 3𝑥



𝑥𝑛 𝑛!



(3𝑥)𝑛 𝑛!



𝑥3 3!



𝑥3 3!



+



+



𝑥5 5!



𝑥5 5!



+ ⋯)



+ ⋯)



3. P(x) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan 𝑎𝑛 . Carilah barisan (𝑎𝑛 ). a. 𝑃(𝑥) = 1 +



1 1−𝑥



𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏: P(𝑥) = 1 + = =



1 1−𝑥



1−𝑥+1 1−𝑥 2−𝑥 1−𝑥



𝑛 = (2 − 𝑥) ∑~ 𝑛=0 𝑥 ~ 𝑛 𝑛+1 = 2 ∑~ 𝑛=0 𝑥 − ∑𝑛=0 𝑥 ~ 𝑛 𝑛 = 2 ∑~ 𝑛=0 𝑥 − ∑𝑛=1 𝑥



Maka barisannya adalah: (𝑎𝑛 ) = {



b. 𝑃(𝑥) =



2; 𝑛 = 0 atau (𝑎𝑛 ) = ( 2,1,1,1,1, … ) 1; 𝑛  1



𝑥5 1+8𝑥



Jawab: 𝑥5 𝑃(𝑥) = 1 + 8𝑥 = 𝑥5 (



1



1+8𝑥



= 𝑥5 (



1



) )



1−(−8𝑥)



𝑛 = 𝑥 5 ∑~ 𝑛=0(−8𝑥) 𝑛 𝑛+5 = ∑~ 𝑛=0(−8) 𝑥 𝑛−5 𝑛 = ∑~ 𝑥 𝑛=5(−8)



Maka barisannya adalah: (𝑎𝑛 ) = {



(−8)𝑛−5 ; 𝑛  5 0 ; 0𝑛 < 5



Atau (𝑎𝑛 ) = (0,0,0,0,0,1, −8,64, … )



c. 𝑃(𝑥) =



2 1−𝑥



+ 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1



Jawab: 𝑃(𝑥) =



= = =



2 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1 1−𝑥 2+3𝑥 2 (1−𝑥)+6𝑥(1−𝑥)+(1−𝑥) 1−𝑥 2+3𝑥 2 −3𝑥 3 +6𝑥−6𝑥 2 +1−𝑥 1−𝑥 3+5𝑥−3𝑥 2 −3𝑥 3 1−𝑥



𝑛 = (3 + 5𝑥 − 3𝑥 2 − 3𝑥 3 ) ∑~ 𝑛=0 𝑥 ~ 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+3 = 3 ∑~ − 3 ∑~ − 3 ∑~ 𝑛=0 𝑥 + 5 ∑𝑛=0 𝑥 𝑛=0 𝑥 𝑛=0 𝑥 ~ ~ ~ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = 3 ∑~ 𝑛=0 𝑥 + 5 ∑𝑛=1 𝑥 − 3 ∑𝑛=2 𝑥 − 3 ∑𝑛=3 𝑥



Jadi barisannya adalah: 𝑎𝑛 =



3, 8, {5, 2,



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛=0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛=1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛=2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛≥3



atau 𝑎𝑛 = (3,8,5,2,2,2, … ) d. 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 𝑒 −𝑥 Jawab: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 𝑒 −𝑥



=



2𝑥 1!



𝑛 + ∑~ 𝑛=0(−1)



~ = 2𝑥 + ∑𝑛=0



(−1)𝑛 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 Jadi barisannya adalah : 𝑎𝑛 = { −1,𝑛 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1 (−1) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 2 𝑛!



1



1



1



1



2!



3! 4!



5!



Atau 𝑎𝑛 = (1, −1, , − , , − , … )



1



e. 𝑃(𝑥) =



2



(𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )



Jawab: 𝑃(𝑥) = =



1 2 1 2



(𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) [∑~ 𝑛=0



1 𝑛!



𝑥 𝑛 + ∑~ 𝑛=0



1



(−1)𝑛



1



= ∑~ 𝑛=0 2 (𝑛! + = ∑~ 𝑛=0 (



1+(−1)𝑛 2𝑛!



𝑛!



(−1)𝑛 𝑛!



) 𝑥𝑛



) 𝑥𝑛



Jadi barisannya adalah : 𝑎𝑛 =



1+(−1)𝑛 2𝑛!



Atau 𝑎𝑛 = (1, 0, f. P(𝑥) =



1 1−3𝑥



+



𝑥𝑛]



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 0



1 2!



, 0,



1 4!



, 0,



1 6!



, . . .)



4𝑥 1−𝑥



Jawab: P(𝑥) =



1 1−3𝑥



+



4𝑥 1−𝑥



~ 𝑛 𝑛 = ∑~ 𝑛=0(3𝑥) + 4𝑥 ∑𝑛=0 𝑥 ~ 𝑛 𝑛 𝑛+1 = ∑~ 𝑛=0 3 𝑥 + ∑𝑛=0 4𝑥 ~ 𝑛 𝑛 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 3 𝑥 + ∑𝑛=1 4𝑥 ~ 𝑛 𝑛 𝑛 = 1 + ∑~ 𝑛=1 3 𝑥 + ∑𝑛=1 4𝑥 𝑛 𝑛 = 1 + ∑~ 𝑛=1(3 + 4)𝑥



1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 Jadi barisannya adalah: 𝑎𝑛 = { 𝑛 3 + 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 1 Atau



𝑎𝑛 = (1, 7, 13, 31, 85, … )



4. Tulis barisan (𝑎𝑛 ) yang fungsi pembangkit eksponensialnya sebagai berikut! a. 𝑃(𝑥) = 5 + 5𝑥 + 5𝑥 2 + 5𝑥 3 + … Jawab: 𝑃(𝑥) = 5 + 5𝑥 + 5𝑥 2 + 5𝑥 3 + … = 5 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ ) 𝑛 = 5 ∑~ 𝑛=0 𝑥



= 5 ∑~ 𝑛=0 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



Jadi barisannya adalah 𝑎𝑛 = 5𝑛! atau 𝑎𝑛 = (5, 5, 10, 30, … )



b. 𝑃(𝑥) =



1 1−4𝑥



Jawab: 𝑃(𝑥) =



1 1 − 4𝑥



𝑛 = ∑~ 𝑛=0(4𝑥) 𝑛 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 4 𝑥 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 4 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



Jadi barisannya adalah: 𝑎𝑛 = 4𝑛 𝑛! atau 𝑎𝑛 = (1, 4, 32, 384, … ) c. 𝑃(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 4𝑥 Jawab: 𝑃(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 4𝑥 = ∑~ 𝑛=0



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 + ∑~ 𝑛=0 4



𝑛 = ∑~ 𝑛=0(1 + 4 )



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



Jadi barisannya adalah: 𝑎𝑛 = 1 + 4𝑛 Atau 𝑎𝑛 = (2, 15, 17, 65, … )



d. 𝑃(𝑥) = (1 + 𝑥 2 )𝑛 Jawab: 𝑃(𝑥) = (1 + 𝑥 2 )𝑛 𝑛 2 𝑘 = ∑~ 𝑛=0[𝑘 ](𝑥 ) 𝑥𝑛



𝑛 = ∑~ 𝑛=0[𝑘 ](2𝑘)! 𝑛!



Misal: n = 2k 1



K= 𝑛 2



𝑛 = ∑~ 𝑛=0 [1𝑘 ] 𝑛! 2



𝑥𝑛 𝑛!



2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 Jadi barisannya adalah: 𝑎𝑛 = { 𝑛 (1𝑛) 𝑛! , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 2



5. Cari konvolusi dari pasangan barisan berikut! a. (1, 1, 1, 1, … … … ) 𝑑𝑎𝑛 (1, 1, 1, 1, … … … ) Jawab: Misalkan konvolusi dari pasangan barisan tersebut adalah 𝑐𝑛 = (𝑎𝑛 ) ∗ (𝑏𝑛 ) Maka 𝑐𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝑏𝑛−𝑘 Karena 𝑎𝑖 = 1, 𝑏𝑖 = 1 , untuk setiap I ,maka: 𝑐𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 1 . 1 = ∑𝑛𝑘=0 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ……….. n + 1 suku = n + 1 , untuk setiap n b. ( 1, 1, 1, 1, …………. ) dan ( 0, 1, 2, 3, ……….... ) Jawab: Misalkan 𝑎𝑛 = ( 1, 1, 1, 1, …………. )



𝑎𝑛 = 1



𝑏𝑛 = ( 0, 1, 2, 3, ……….... )



𝑏𝑛 = 𝑛



Konvolusi dari 𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑛 adalah: 𝑐𝑛 = (𝑎𝑛 ) ∗ (𝑏𝑛 ) = ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝑏𝑛−𝑘 = ∑𝑛𝑘=0 1. (𝑛 − 𝑘) = ∑𝑛𝑘=0 𝑛 − ∑𝑛𝑘=0 𝑘 1



= n ( n+1 ) - 𝑛 ( n+1 ) 2



1



= 𝑛 ( n+1 ) 2



c. ( 1, 1, 1, 0, 0, 0, . . . ) dan ( 0, 1, 2, 3, . . . ) Jawab : 𝑎𝑛 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, … ) … … … … … … … (1) 𝑏𝑛 = (0, 1, 2, 3, … ) … … … … … … … … … (2) FPB dari (1) adalah A(x) = 1 + x + 𝑥 2 FPB dari (2) adalah B(x) = 𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 + … 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 𝑛𝑥 𝑛 Misalkan : A(x) B(x) = ∑~ 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥



𝑐𝑛 adalah konvolusi dari (𝑎𝑛 ) 𝑑𝑎𝑛 (𝑏𝑛 ) 𝑛 A(x) B(x) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) ∑~ 𝑛=0 𝑛𝑥 ~ 𝑛 𝑛 2 ~ 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 𝑛𝑥 + 𝑥 ∑𝑛=0 𝑛𝑥 + 𝑥 ∑𝑛=0 𝑛𝑥 ~ 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 = ∑~ + ∑~ 𝑛=0 𝑛𝑥 + ∑𝑛=0 𝑛𝑥 𝑛=0 𝑛𝑥 ~ ~ 𝑛 𝑛 𝑛 = ∑~ 𝑛=0 𝑛𝑥 + ∑𝑛=1(𝑛 − 1)𝑥 + ∑𝑛=2(𝑛 − 2)𝑥



𝐶𝑛=



0 { 𝑛 + (𝑛 − 1) 𝑛+𝑛−1+𝑛−2



𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 2



Atau



𝐶𝑛=



0 { 2𝑛 − 1 3(𝑛 − 1)



𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 2



d. ( 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . ) dan ( 6, 7, 8, 9, . . . ) Jawab: Misalkan :



𝑎𝑛 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, … ) … … … … … … … (1) 𝑏𝑛 = (6, 7, 8, 9, … ) … … … … … … … … … (2) FPB dari (1) adalah A(x) = 0 + 0x + 0𝑥 2 + 𝑥 3 + 0𝑥 4 + ⋯ = 𝑥3 FPB dari (2) adalah B(x) = 6 + 7𝑥 + 8𝑥 2 + 9𝑥 3 + … 𝑛 = ∑~ 𝑛=0(𝑛 + 6)𝑥 𝑛 Misalkan : A(x) B(x) = ∑~ 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥



𝑐𝑛 adalah konvolusi dari (𝑎𝑛 ) 𝑑𝑎𝑛 (𝑏𝑛 ) 𝑛 A(x) B(x) = 𝑥 3 ∑~ 𝑛=0(𝑛 + 6)𝑥 𝑛+3 = ∑~ 𝑛=0(𝑛 + 6)𝑥 𝑛 = ∑~ 𝑛−3=0(𝑛 + 6 − 3)𝑥 𝑛 = ∑~ 𝑛=3(𝑛 + 3)𝑥



Jadi 𝑐𝑛 = {



0 𝑛+3



𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 3