Peny - Bab 2 No 14-28 [PDF]

Citation preview

14. Ada berapa cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata “KOMBINATORIKA” sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling banyak 20? Penyelesaian: Konsonan = 6 yaitu K, M, B, N, T, R, K Vokal = 3 yaitu O, I, A Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 20 )7 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )3 1−𝑥 21



=(



1−𝑥



7



1



3



) (1−𝑥)



= (1 − 𝑥 21 )7 (1 − 𝑥)−10 7 𝑡 + 9 𝑘 (𝑥)𝑡 = ∑7𝑘=0 ( ) (−1)𝑘 𝑥 21𝑘 ∙ ∑∞ ( ) 𝑡=0 𝑘 𝑡 Selanjutnya kita cari nilai k dan t sedemikian hingga 21k +t = 100 21𝑘 + 𝑡 = 100 ↔ 𝑘 = 0 ˄ t = 100 𝑘 = 1 ˄ t = 79 𝑘 = 2 ˄ t = 51 𝑘 = 3 ˄ t = 37 𝑘 = 4 ˄ t = 16 Jadi banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien x100 dalam P(x) yaitu: 7 109 7 88 7 67 7 46 7 25 = ( ) (−1)0 ( ) + ( ) (−1)1 ( ) + ( ) (−1)2 ( ) + ( ) (−1)3 ( ) + ( ) (−1)4 ( ) 0 3 100 1 79 2 58 37 4 16 7! 67 7! 46 7! 25 109 88 = 1.1. ( ) − 7. ( ) + ( )− ( )+ ( ) 2!5! 58 3!4! 37 4!3! 16 100 79



15. Sebanyak n koin (mata uang logam) yang identik ditempatkan di dalam k kotak yang berbeda. Berapa probabilitasnya, bahwa setiap kotak mendapat paling sedikit satu koin? Penyelesaian: FP dari permasalahan menentukan banyaknya cara untuk menempatkan n koin yang identik ke dalam k kotak yang berbeda sedemikian hingga untuk setiap kotak mendapat paling sedikit satu koin adalah: P(x) = (𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )𝑘 = (𝑥(1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ ))𝑘 1



𝑘



= 𝑥 𝑘 (1−𝑥)



= 𝑥 𝑘 ∑∞ 𝑡=0 (



𝑘 + 𝑡 − 1 (𝑥)𝑡 ) 𝑡



𝑘 + 𝑡 − 1 (𝑥)𝑡+𝑘 = ∑∞ ) 𝑡=0 ( 𝑡 Misalkan t + k = n



t=0n=k P(x) = ∑∞ 𝑛=𝑘 (



𝑛 − 1 (𝑥)𝑛 ) 𝑛−𝑘



Jadi banyaknya cara untuk menempatkan n koin yang identik ke dalam k kotak yang berbeda sedemikian hingga untuk setiap kotak mendapat paling sedikit satu koin (n(A)) adalah koefisien xn dalam P(x) yaitu: 𝑛−1 ( ) 𝑛(𝐴) = { 𝑛 − 𝑘 0



𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘



16. Seorang manager dari suatu perusahaan yang bergerak di bidang transportasi merencanakan membeli 3 jenis kendaraan baru, sedan, bus, dan truk. Sang manager ingin membeli n buah kendaraan baru yang terdiri dari paling sedikit satu sedan, paling banyak 10 bus dan sekurang-kurangnya 2 tapi tak lebih dari 15 truk. Ada berapa cara hal ini dapat dilakukan, jika dua kendaraan sejenis tidak dibedakan? Penyelesaian: Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )(1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥10 )(𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ + 𝑥15 ) = 𝑥(1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )(1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥10 )𝑥 2 (𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ + 𝑥13 ) 1



1−𝑥 11



= 𝑥 3 (1−𝑥) (



1−𝑥 11 )(1



1−𝑥 14



)(



)



1−𝑥 14 )(1



= 𝑥 3 (1 − 𝑥 −𝑥 − 𝑥)−3 = 𝑥 3 (1 − 𝑥 14 −𝑥11 + 𝑥 25 )(1 − 𝑥)−3 3 + 𝑡 − 2 (𝑥)𝑡 = (𝑥 3 − 𝑥17 −𝑥14 + 𝑥 28 ) ∑∞ ) 𝑛=𝑘 ( 𝑡 = ∑∞𝑡=0 (𝑡 + 2) (𝑥)𝑡+3 − ∑∞𝑡=0 (𝑡 + 2) (𝑥)𝑡+17 − ∑∞𝑡=0 (𝑡 + 2) (𝑥)𝑡+11 − ∑∞𝑡=0 (𝑡 + 2) (𝑥)𝑡+28 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 −1 𝑛 − 12 𝑛 − 26 𝑛 − 15 𝑛 ∞ 𝑛 ∞ 𝑛 ∞ = ) (𝑥) − ∑𝑛=17 ( ) (𝑥) − ∑𝑛=14 ( ) (𝑥) − ∑𝑛=28 ( ) (𝑥)𝑛 𝑛−3 𝑛 − 14 𝑛 − 28 𝑛 − 17 𝑛−1 𝑛 − 12 𝑛 − 26 𝑛 − 15 (𝑥)𝑛 ∑∞ = ∑∞𝑛=3 ( ) (𝑥)𝑛 − ∑∞𝑛=14 ( ) (𝑥)𝑛 − ∑∞𝑛=17 ( ) − 𝑛=28 ( ) (𝑥)𝑛 𝑛−3 𝑛 − 14 𝑛 − 28 𝑛 − 17 𝑛 ∑∞𝑛=3 (



Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien xn dalam P(x) yaitu: 𝑛 0 𝑛−1 ( ) 𝑛−3 𝑛−1 𝑛 − 12 ( )−( ) 𝑛 − 3 𝑛 − 14 = 𝑛−1 𝑛 − 12 𝑛 − 15 ( )−( )−( ) 𝑛−3 𝑛 − 14 𝑛 − 17 𝑛−1 𝑛 − 12 𝑛 − 26 𝑛 − 15 ( )−( )−( )−( ) 𝑛−3 𝑛 − 14 𝑛 − 28 𝑛 − 17 {



𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 3 ≤ 𝑛 ≤ 13 𝑗𝑖𝑘𝑎 14 ≤ 𝑛 ≤ 16 𝑗𝑖𝑘𝑎 17 ≤ 𝑛 ≤ 27 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 28



17. Sebuah team tingkat nasional yang beranggotakan 100 orang dipilih dari orang-orang di ke 27 Provinsi yang ada di Indonesia sedemikian hingga tiap provinsi diwakili oleh paling sedikit dua dan paling banyak 10 orang. Penyelesaian: Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x)



= (𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ 𝑥10 )27 = 𝑥 54 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ 𝑥 8 )27 1−𝑥 9



= 𝑥 54 ( 1−𝑥 )



27



= 𝑥 54 (1 − 𝑥 9 )27 (1 − 𝑥)−27 =𝑥 54 ∑27 𝑘=0 ( Cari k dan t



27 (−1)𝑘 (𝑥)9𝑘 ∑∞ 27 + 𝑡 − 1 (𝑥)𝑡 ) ) 𝑡=0 ( 𝑘 𝑡



54 + 9𝑘 + 𝑡 = 100  9k +t = 46  t = 46-9k ↔ 𝑘 = 0 ˄ t = 46 𝑘 = 1 ˄ t = 37 𝑘 = 2 ˄ t = 28 𝑘 = 3 ˄ t = 19 𝑘 = 4 ˄ t = 10 𝑘 =5˄t =1



Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien x100 dalam P(x) 27 72 27 45 27 27 27 63 27 54 27 36 )( ) − ( )( ) + ( )( ) − ( )( ) + ( )( ) − ( )( ) 0 46 3 19 5 1 37 2 28 4 10 1



= (



18. Ada berapa cara untuk menempatkan 50 koin yang sama ke dalam 5 kotak berbeda sedemikian hingga a. Tidak ada kotak yang kosong b. Setiap kotak mendapat paling sedikit 5 dan paling banyak 25 koin c. Tiga kotak pertama masing-masing mendapat paling sedikit 10 koin? Penyelesaian: a. Tidak ada kotak yang kosong Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah :



P(x) = (𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )5 = 𝑥 5 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )5 1



=𝑥 5 (1−𝑥)



5



= 𝑥 5 (1 − 𝑥)−5 5 + 𝑘 − 1 (𝑥)𝑘 ) 𝑘



=𝑥 5 ∑∞ 𝑘=0 ( = ∑∞ 𝑘=0 (



𝑘 + 4 (𝑥)𝑘+5 ) 𝑘



= ∑∞ 𝑘=5 (



𝑘 − 1 (𝑥)𝑘 ) 𝑘−5



Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien x50 dalam P(x) yaitu 49! 49 ( ) = 45!4! = 211876 = { 45 0



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 5 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 ≤ 4



b. Setiap kotak mendapat paling sedikit 5 dan paling banyak 25 koin Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 5 +𝑥 6 + ⋯ + 𝑥 25 )5 = 𝑥 25 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 20 )5 =𝑥 25 (



1−𝑥 21 1−𝑥



5



)



= 𝑥 25 (1 − 𝑥 21 )5 (1 − 𝑥)−5 Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien x50 dalam P(x) yaitu 5 24 5 0 = ( )( ) − ( )( ) 0 24 1 4 c. Tiga kotak pertama masing-masing mendapat paling sedikit 10 koin Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥10 +𝑥11 + ⋯ )3 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )2 = 𝑥 30 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )3 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )2 1



3



1



2



=𝑥 30 (1−𝑥) (1−𝑥) = 𝑥 30 (1 − 𝑥)−5



=𝑥 30 ∑∞ 𝑘=0 ( = ∑∞ 𝑘=0 (



𝑘 + 4 (𝑥)𝑘 ) 𝑘



𝑘 + 4 (𝑥)𝑘+30 ) 𝑘 𝑘 − 26 (𝑥)𝑘 ) 𝑘 − 30



= ∑∞ 𝑘=30 (



Banyaknya cara yang dimaksud adalah sama dengan koefisien x50 dalam P(x) 0 𝑛(𝐴) = { 50 − 24 24 ( )=( ) 20 50 − 30



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 ≤ 29 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 30



19. Terdapat berapa cara untuk membagi p buah apel (yang identik) kepada q anak, sedemikian hingga; a. Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 buah apel b. Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel Penyelesaian: a. Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 buah apel Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 5 +𝑥 6 +𝑥 7 + ⋯ )𝑞 = 𝑥 5𝑞 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )𝑞 1



𝑞



=𝑥 5𝑞 (1−𝑥)



= 𝑥 5𝑞 (1 − 𝑥)−𝑞 𝑞 + 𝑛 − 1 (𝑥)𝑛 ) 𝑛



=𝑥 5𝑞 ∑∞ 𝑛=0 (



𝑞 + 𝑛 − 1 (𝑥)𝑛+5𝑞 ) 𝑛



= ∑∞ 𝑛=0 (



Misalkan p = n + 5q ↔ n = p - 5q → untuk n = 0 maka p = 5q 𝑞 + 𝑝 − 5𝑞 − 1 P(x) = ∑∞ ) (𝑥)𝑝 𝑝=5𝑞 ( 𝑝 − 5𝑞 𝑝 − 4𝑞 − 1 𝑝 = ∑∞ 𝑝=5𝑞 ( 𝑝 − 5𝑞 ) (𝑥) Banyaknya cara yang dimaksud adalah samadengan koefisien xp dalam P(x), yaitu:



0 𝑛(𝐴) = { 𝑝 − 4𝑞 − 1 ( ) 𝑝 − 5𝑞



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 < 5𝑞 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 ≥ 5𝑞



b. Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥10 +𝑥11 + ⋯ + 𝑥100 )𝑞 = 𝑥10𝑞 (1 + 𝑥1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 90 )𝑞 1−𝑥 91



= 𝑥10𝑞 (



1−𝑥



𝑞



)



= 𝑥10𝑞 (1 − 𝑥 91 )𝑞 (1 − 𝑥)−𝑞 𝑞 𝑞+𝑡−1 𝑡 =𝑥10𝑞 ∑𝑞𝑘=0 ( ) (𝑥)91𝑘 . (−1)𝑘 ∑𝑞𝑡=0 ( )𝑥 𝑘 𝑡 𝑞 + 𝑡 − 1 ∑∞ 𝑞 (−1)𝑘 𝑡+10𝑞+91𝑘 ) . 𝑘=0 ( ) 𝑥 𝑘 𝑡



= ∑∞ 𝑡=0 (



Misalkan, 𝑝 = 𝑡 + 10𝑞 + 91𝑘 ↔ 𝑡 = 𝑝 − 10𝑞 − 91𝑘 → 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 = 10𝑞 + 91𝑘 P(x)



𝑞 𝑞 𝑘 𝑝 − 9𝑞 − 91𝑘 − 1 𝑝 = ∑∞ 𝑝=10𝑞+91𝑘 . ∑𝑘=0 (𝑘 ) (−1) ( 𝑝 − 10𝑞 − 91 ) 𝑥



Jadi banyaknya cara membagi p buah apel kepada q anak sedemikian hingga setiap anak tidak mendapat lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 adalah koefisien 𝑥 𝑝 dalam P(x), yaitu: 𝑞



𝑞 𝑝 − 9𝑞 − 91𝑘 − 1 ∑ ( ) (−1)𝑘 ( ) 𝑘 𝑝 − 10𝑞 − 91𝑘



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 ≥ 10𝑞 + 91𝑘



0



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 < 10𝑞 + 91𝑘



𝑛(𝐴) = {



𝑘=0



20. Tentukan banyaknya “solusi bulat” dari setiap persamaan berikut a. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 60, 1 ≤ 𝑥 ≤ 30, ∀𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4} b. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 50, 𝑥1 ≥ 3, ∀𝑖 ∈ {1,2,3} c. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥4 = 𝑘, 𝑥1 ≥ 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 𝑘 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 Penyelesaian: a. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 60, 1 ≤ 𝑥 ≤ 30, ∀𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4} Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥+𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 30 )4 = 𝑥 4 (1 + 𝑥+𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 29 )4 1−𝑥 30



= 𝑥4 (



1−𝑥



4



)



=𝑥 4 (1 − 𝑥 30 )4 (1 − 𝑥)−4 4 𝑡+3 𝑡 =𝑥 4 ∑4𝑘=0 ( ) (−1)𝑘 . 𝑥 30𝑘 ∑𝑞𝑡=0 ( )𝑥 𝑘 𝑡 𝑡 + 3 4 (−1)𝑘 4+𝑡+30𝑘 4 = ∑∞ )( ) 𝑥 𝑡=0. ∑𝑘=0 ( 𝑡 𝑘 Mencari k dan t sedemikian hingga 4 + 30𝑘 + 𝑡 = 80 30𝑘 + 𝑡 = 76 Untuk: k = 0 maka t = 76, atau k = 1 maka t = 46, atau k = 2 maka t = 16 Banyaknya solusi bulat yang dimaksud adalah koefisien 𝑥 80 dalam P(x), yaitu: 4 79 4 47 4 19 a80 = ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 76 1 46 2 16 b. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 50, 𝑥1 ≥ 3, ∀𝑖 ∈ {1,2,3} Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 3 +𝑥 4 + ⋯ )3 = 𝑥 9 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )3 1



3



= 𝑥 9 (1−𝑥)



𝑘+2 𝑘 )𝑥 𝑘



=𝑥 9 ∑4𝑘=0 ( =∑4𝑘=0 (



𝑘 + 2 𝑘+9 )𝑥 𝑘



𝑛−7 𝑛 )𝑥 𝑛−5



=∑4𝑘=9 (



Jadi banyaknya solusi bulat yang dimaksud adalah koefisien x50 dalam P(x) yaitu: 43 ( ) = 903 𝑎𝑛 = { 41 0



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 9 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 ≤ 8



c. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥4 = 𝑘, 𝑥1 ≥ 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 𝑘 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )𝑛 1



𝑛



= (1−𝑥)



=∑4𝑘=0 (



𝑛+𝑘−1 𝑘 )𝑥 𝑘



Banyaknya solusi bulat yang dimaksud adalah koefisien 𝑥 4 dalam P(x), yaitu: 𝑛+𝑘−1 ) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ≥ 0 𝑘



𝑎𝑛 = (



21. Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a, b, dan c sedemkian hingga memuat paling sedikit satu a, satu b, dan satu c. Ada berapa kata sandi yang dapat dibentuk? Penyelesaian: Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : 𝑥



P(x) = (1! +



𝑥2 2!



+



3



𝑥3



…) 3!



= (𝑒 𝑥 − 1)3



= ((−1) + 𝑒 𝑥 )



3



3 =∑3𝑘=0 ( ) (−1)𝑘 (𝑒 𝑥 )3−𝑘 𝑘 = 𝑒 3𝑥 − 3𝑒 2𝑥 + 3𝑒 𝑥 − 1 𝑛 =∑~ 𝑛=0 3



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − 3 ∑~ 𝑛=0 2



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



+ ∑~ 𝑛=0 3 𝑛! − 1



Banyaknya kata sandi yang bisa dibuat adalah koefisien



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x), yaitu:



3𝑛 − 3. 2𝑛 + 3 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3 0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 ≤ 2 22. Tentukan banyak barisan binair n- angka yang memuat : a. Angka “1” paling sedikit dua b. Angka “0” sebanyak bilangan genap dan angka “1” paling sedikit satu c. Angka “1” sebanyak bilangan ganjil dan angka “0” sebanyak bilangan genap d. Angka “1” sebanyak bilangan genap 𝑎𝑛 = {



Penyelesaian a. Angka “1” paling sedikit dua Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : 𝑥



P(x) = (1 + 1! +



𝑥2 2!



+



𝑥3



𝑥2



… ) ( 2! + 3!



= 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 − 𝑥 − 1)



𝑥3 3!



+⋯)



= 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑛 =∑~ 𝑛=0 2



𝑥𝑛 𝑛! 𝑥𝑛



𝑛 = ∑~ 𝑛=0 2 𝑛 =∑~ 𝑛=0 2



− ∑~ 𝑛=0



𝑛!



𝑥𝑛



𝑥 𝑛+1 𝑛!



𝑥𝑛



− ∑~ 𝑛=0 𝑛!



𝑥𝑛



𝑥𝑛



~ − ∑~ 𝑛=0 (𝑛−1)! − ∑𝑛=0 𝑛! 𝑥𝑛



𝑥𝑛



~ − ∑~ 𝑛=1 𝑛 𝑛! − ∑𝑛=0 𝑛!



𝑛!



Banyaknya barisan binair yang dimaksud adalah koefisien 𝑎𝑛 = {



2𝑛 − 𝑛 − 1 0



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 < 2



b. Angka “0” sebanyak bilangan genap dan angka “1” paling sedikit satu Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : 𝑥2



P(x) = (1 + =( =



2!



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2



𝑥4



+



4!



+ ⋯ ) (𝑥 + 𝑥 2 +𝑥 3 + ⋯ )



) (𝑒 𝑥 − 1)



𝑒 2𝑥 +𝑒 0 −𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2 1



= 2 (𝑒 2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 1) 1



𝑛 =∑~ 𝑛=0 2 2



𝑥𝑛 𝑛!



1 𝑥𝑛



− ∑~ 𝑛=0 2



𝑥𝑛



𝑛−1 = ∑~ 𝑛=0 2



𝑛!



𝑛



1 𝑥𝑛



− ∑~ 𝑛=0 2



1



𝑛 − ∑~ 𝑛=0 2 (−1)



𝑛



1



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − ∑~ 𝑛=0 2 (−1)



𝑥𝑛 𝑛!



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien 𝑛−1



𝑎 𝑛 = {2 0



1 (−1)𝑛 − − 2 2



1



+2 1



+2



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 ≤ 1



c. Angka “1” sebanyak bilangan ganjil dan angka “0” sebanyak bilangan genap Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah :



P(x) = (𝑥 + =( =



𝑥3 3!



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥



𝑒 2𝑥 4



2



−



𝑥5



+



5!



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥



)(



𝑒 −2𝑥 4



+⋯)



2



)



𝑥𝑛



1



𝑛 = 4 [∑~ 𝑛=0 2



𝑛!



𝑛 − ∑~ 𝑛=0(−2)



𝑥𝑛 𝑛!



]



Jadi banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien 1 𝑛 [2 − (−2)𝑛 ] 𝑎𝑛 = { 4 0



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝



d. Angka “1” sebanyak bilangan genap Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : 𝑥2



𝑥



P(x) = (1 + 1! +



2!



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥



= 𝑒𝑥 (



+



2



𝑥3



… ) (1 + 3!



𝑥2 2!



+



𝑥4 4!



+⋯)



)



1



= 2 (𝑒 2𝑥 + 1) =



1 2



1



𝑒 2𝑥 + 2 1



𝑛 =∑~ 𝑛=0 2 2



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



𝑛−1 = ∑~ 𝑛=0 2



1



+2



𝑛!



1



+2



Banyaknya barisan yang dimaksudkan adalah koefisien



𝑎𝑛 = {



2𝑛−1 + 2𝑛−1



1 2



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 0 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 1



23. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat: a. Angka “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap b. Angka “0” dan “1” masing-masing sebanyak genap dan “2” sebanyak ganjil c. Angka “0”, “1”, dan “2” masing-masing sebanyak genap d. Angka “0”, “1”, dan “2” masing-masing sebanyak ganjil Penyelesaian a. Angka “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 + =(



𝑥3 3!



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2



𝑥5



+



5!



+ ⋯ ) (1 +



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥



)(



2



) 𝑒𝑥



𝑥2 2!



+



𝑥4 4!



𝑥



+ ⋯ ) (1 + 1! +



𝑥2 2!



+⋯)



1



= 4 (𝑒 2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 )𝑒 𝑥 1



=



4



(𝑒 3𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) 𝑥𝑛



1



𝑛 =4 (∑~ 𝑛=0 3



𝑛 − ∑~ 𝑛=0(−1)



𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



)



Banyaknya barisan yang dimaksudkan adalah koefisien 0 1 𝑎𝑛 = { (3𝑛 − (−1)𝑛 ) 4



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 1



b. Angka “0” dan “1” masing-masing sebanyak genap dan “2” sebanyak ganjil Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + =( =(



𝑥2 2!



+



𝑥4 4!



+ ⋯ ) (𝑥 +



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥



) (



2



2



𝑥3 3!



+



𝑥5 5!



+⋯)



)



(𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 )(𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 )



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥



4



2



)(



)



1



= 8 (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )(𝑒 2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 ) 1



= 8 (𝑒 3𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 − 𝑒 −3𝑥 ) 1



= 8 (𝑒 3𝑥 − 𝑒 −3𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 ) 1



𝑛 = 8 (∑~ 𝑛=0 3



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − ∑~ 𝑛=0(−3)



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − ∑~ 𝑛=0(−1)



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



+ ∑~ 𝑛=0 𝑛! )



dalam P(x) yaitu:



0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 1 𝑎𝑛 = {1 𝑛 (3 + 3𝑛 + 1 + 1) = (3𝑛 + 1) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 8 4 c. Angka “0”, “1”, dan “2” masing-masing sebanyak genap Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + =(



𝑥2 2!



+



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 3 2



)



𝑥4 4!



3



+⋯)



1



= 8 (𝑒 3𝑥 + 3𝑒 𝑥 + 3𝑒 −𝑥 +𝑒 −3𝑥 ) 1



𝑛 = 8 (∑~ 𝑛=0 3



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



~ 𝑛 + 3 ∑~ 𝑛=0 𝑛! + 3 ∑𝑛=0(−1)



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien 0 𝑎 𝑛 = {1 𝑛 (3 + 3 + 3 + 3𝑛 ) 8



𝑥𝑛 𝑛! 𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 + ∑~ 𝑛=0(−3)



𝑥𝑛 𝑛!



)



dalam P(x) yaitu: , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝



d. Angka “0”, “1”, dan “2” masing-masing sebanyak ganjil Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + =(



𝑥3 3!



+



𝑥5 5!



3



+⋯)



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 3



)



2



1



= 8 (𝑒 3𝑥 − 3𝑒 𝑥 + 3𝑒 −𝑥 −𝑒 −3𝑥 ) 1



𝑛 = 8 (∑~ 𝑛=0 3



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛



~ 𝑛 − 3 ∑~ 𝑛=0 𝑛! + 3 ∑𝑛=0(−1)



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien 0 1 𝑎𝑛 = { 1 𝑛 (3 − 3 − 3 + 3𝑛 ) = (3𝑛 − 3) 8 4



𝑥𝑛 𝑛! 𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − ∑~ 𝑛=0(−3)



𝑥𝑛 𝑛!



)



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙



24. Tentukan banyak barisan quartenair n-angka yang memuat: a. Angka “0” dan “1” masing-masing genap dan angka “2” dan “3” masing-masing ganjil. b. Angka “1” paling sedikit satu, dan angka-angka yang lain masing-masing sebanyak bilangan ganjil. Penyelesaian a. Angka “0” dan “1” masing-masing genap dan angka “2” dan “3” masing-masing ganjil. Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (1 + =(



𝑥2 2!



+



𝑥4 4!



2



+ ⋯ ) (𝑥 +



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2 2



) (



2



)



𝑥3 3!



+



𝑥5 5!



2



+⋯)



1



= 16 (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )2 (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 )2 1



= 16 (𝑒 2𝑥 + 2 + 𝑒 −2𝑥 )(𝑒 2𝑥 − 2 + 𝑒 −2𝑥 ) 1



=16 (𝑒 4𝑥 − 2 + 𝑒 −4𝑥 ) 1



= 16 (∑∝𝑛=0 4𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



+ ∑∝𝑛=0(−4)𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



− 2)



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien 0 1 𝑎𝑛 = { 1 𝑛 (4 + (−4)𝑛 ) = (4𝑛 ) 16 8



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝



b. Angka “1” paling sedikit satu, dan angka-angka yang lain masing-masing sebanyak bilangan ganjil. Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : P(x) = (𝑥 +



𝑥2 2!



+



𝑥4 4!



2



+ ⋯ ) (𝑥 +



𝑥3 3!



+



𝑥5 5!



2



+⋯)



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 3



= (𝑒 𝑥 − 1) (



2



)



1



= 8 (𝑒 𝑥 − 1)(𝑒 3𝑥 − 3𝑒 𝑥 − 𝑒 −3𝑥 ) 1



=8 (𝑒 4𝑥 − 3𝑒 2𝑥 + 3𝑒 0 − 𝑒 −2𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 3𝑒 𝑥 − 3𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 ) = 𝑥𝑛



1 8



∑∝𝑛=0 4𝑛



3 ∑∝𝑛=0 𝑛! − 3 ∑∝𝑛=0(−1)𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



𝑥𝑛 𝑛!



− 3 ∑∝𝑛=0 2𝑛



+ ∑∝𝑛=0(−3)𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



+ 3 − ∑∝𝑛=0(−2)𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



− ∑∝𝑛=0 3𝑛



𝑥𝑛 𝑛!



Banyaknya barisan yang dimaksud adalah koefisien



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x) yaitu:



0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 1 𝑛 (4 − 4(2)𝑛 ) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑎𝑛 = 8 1 𝑛 (4 − (2)𝑛+1 − 2. 3𝑛 + 6) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 {8 25. Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda sedemikian hingga: a. Tidak ada kamar kosong b. Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang. Penyelesaian



𝑥𝑛 𝑛!



+



a. Tidak ada kamar kosong Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : = (𝑥 +



P(x)



𝑥2 2!



+



𝑥3



100



…) 3!



= (𝑒 𝑥 − 1)100 = ∑100 𝑘=0 (



100 (−1)100−𝑘 𝑘𝑥 ) 𝑒 𝑘



𝑛 100 (−1)100−𝑘 ∑∞ 𝑛𝑥 ) 𝑘 𝑛=0 𝑛! 𝑘



= ∑100 𝑘=0 (



100 (−1)100−𝑘 𝑛 𝑥 𝑛 ) 𝑘 ) 𝑛! 𝑘



100 = ∑∞ 𝑛=0. (∑𝑘=0 (



Banyaknya cara menempatkan n orang berbeda ke dalam 100 kamar identik sedemikian hingga tidak ada kamar yang kosong sama dengan koefisien P(x) yaitu: 100



100 (−1)100−𝑘 𝑛 ∑( ) 𝑘 𝑘



𝑘=𝑜



b. Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang Fungsi pembangkit untuk permasalahan di atas adalah : = (𝑥 +



P(x) =(



2𝑥+𝑥 2 2



𝑥2



100



) 2!



100



)



2+𝑥 100



= 𝑥100 (



2



)



=𝑥100 (2 + 𝑥)100 2−100 100 𝑡 100−𝑡 )2 𝑥 𝑡



=𝑥100 2−100 ∑100 𝑡=0 (



100 𝑡−100 200−𝑡 )2 𝑥 𝑡



= ∑100 𝑡=0 (



= ∑∝𝑛=200 (



100 ) 2100−𝑛 𝑥 𝑛 200 − 𝑛 𝑥𝑛 100 ) 2100−𝑛 𝑛! 200 − 𝑛



=∑∝𝑛=200 𝑛! (



𝑥𝑛 𝑛!



dalam



Jadi banyaknya cara dari permasalahan di atas sama dengan koefisien



𝑥𝑛 𝑛!



dalam P(x)



yaitu: 100 ) 2100−𝑛 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 100 ≤ 𝑛 ≤ 200 200 − 𝑛 26. Misalkan S adalah himpunan semua bilangan bulat 10-angka yang dibentuk dari angka-angka: ‘1’, ‘2’, ‘3’,’4’, dan’5’. JIka sebuah bilangan dipilih secara acak dari S, berapakah peluang bilangan tersebut memuat angka ‘1’ sebanyak genap dan angka ‘2’ sebanyak ganjil? Penyelesaian: Fungsi pembangkit untuk himpunan Sadalah: 𝑛! (



P(x)



𝑥2



= (1 + 𝑥 +



+



2!



𝑥3 3!



5



+⋯)



(𝑒 𝑥 )5



= = 𝑒 5𝑥



= ∑∝𝑘=0



(5𝑥)𝑘 𝑘!



|𝑆| adalah banyaknya bilangan bulat 10-angka = koefisien



𝑥 10 10!



= 510



Misalkan A adalah himpunan semua bilangan bulat 10-angka yang dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dengan syarat angka 1 sebanyak genap dan angka 2 sebanyak ganjil. Fungsi pembangkit untuk himpunan A adalah….. P(x) = (1 + =(



𝑥2 2!



𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2



𝑥4



+



4!



+ ⋯ ) (𝑥 +



𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥



)(



2



𝑥3 3!



+



𝑥5 5!



+ ⋯ ) (1 + 𝑥 +



𝑥2 2!



+⋯)



) 𝑒 3𝑥



1



= 4 (𝑒 2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 )𝑒 3𝑥 =



1 4



(𝑒 5𝑥 − 𝑒 𝑥 )



1



=4 (∑∝𝑘=0



(5𝑥)𝑘 𝑘!



𝑥𝑘



1



− 4 ∑∝𝑘=0 𝑘! )



Banyaknya bilangan bulat 10-angka dengan syarat yang diberikan adalah |𝐴|= koefisien



𝑥 10 10!



1



dalam P(x) = 4 (510 − 110 ) |𝐴|



Peluang bilangan tersebut = |𝑆| =



1 10 (5 −1) 4 510



= 0,25



27. Misalkan Sn adalah himpunan semua kata sandi dengan panjang n yang dibentuk dari huruf-huruf dalam kata “RAHASIA” a. Ada berapakah kata sandi dalam Sn? b. Ada berapakah kata sandi yang memuat huruf A dalam Sn? c. Ada berapakah kata sandi yang memuat setiap konsonan dalam Sn?



Penyelesaian: a. Banyak kata sandi dalam Sn? Fungsi pembangkit dari permasalahan ini: P(x) = (1 + 𝑥 +



𝑥2 2!



5



+⋯)



= 𝑒 5𝑥 =∑∞ 𝑛=0



(5𝑥)𝑛 𝑛!



𝑛 = ∑∞ 𝑛=0 5



𝑥𝑛 𝑛!



Jadi banyak kata sandi dalam Sn adalah 5n untuk 𝑛 ≥ 0 b. Banyak kata sandi yang memuat huruf A dalam Sn? Fungsi pembangkit dari permasalahan ini: P(x) = (𝑥 +



𝑥2 2!



+



𝑥3



… ) (1 + 𝑥 + 3!



𝑥2 2!



+



4



𝑥3



…) 3!



= (𝑒 𝑥 − 1)𝑒 4𝑥 = 𝑒 5𝑥 − 𝑒 4𝑥 = ∑∞ 𝑛=0



(5𝑥)𝑛 𝑛!



− ∑∞ 𝑛=0



(4𝑥)𝑛 𝑛!



Jadi banyak kata sandi yang memuat huruf A dalam Sn adalah 5n-4n untuk 𝑛 ≥ 0 c. Banyak kata sandi yang memuat setiap konsonan dalam Sn? P(x) = (𝑥 +



𝑥2 2!



+



𝑥3



2



… ) (1 + 𝑥 +



3! 3 2𝑥



𝑥2 2!



+



𝑥3 3!



2



…)



= (𝑒 𝑥 − 1) 𝑒 = (𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 1)(𝑒 𝑥 − 1)𝑒 2𝑥 = (𝑒 3𝑥 − 3𝑒 2𝑥 + 3𝑒 𝑥 − 1)𝑒 2𝑥 = 𝑒 5𝑥 − 3𝑒 4𝑥 + 3𝑒 3𝑥 − 𝑒 2𝑥 = ∑∞ 𝑛=0



(5𝑥)𝑛 𝑛!



− 3 ∑∞ 𝑛=0



(4𝑥)𝑛 𝑛!



+ 3 ∑∞ 𝑛=0



(3𝑥)𝑛 𝑛!



− ∑∞ 𝑛=0



(2𝑥)𝑛 𝑛!



Jadi banyak kata sandi yang memuat setiap konsonan dalam Sn adalah 5n3(4n)+3(3n)-2n untuk 𝑛 ≥ 0 28. Sebanyak n bola ditempatkan dalam k kotak. Berapakah peluang kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika: a. Bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda? b. Bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda? c. Bola-bola berbeda dan kotak-kotak identik? Penyelesaian:



a. Bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda Misal, A = himpunan kejadian kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika bolabola identik dan kotak-kotak berbeda. SA = himpunan semua kejadian dari percobaan yang dilakukan jika bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda Fungsi Pembangkit dari permasalahan SA adalah P(x) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )𝑘 𝑘



1



= (1−𝑥) =∑∞ 𝑛=0 (



𝑘 + 𝑛 − 1 (𝑥)𝑛 ) 𝑛



𝑘+𝑛−1 ) 𝑛



Jadi |𝑆𝐴 |= (



Fungsi pembangkit dari permasalahan A adalah P(x) = (𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ )2 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )𝑘−2 = 𝑥 2 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ )2 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ )𝑘−2 2



1



1



𝑘−2



=𝑥 2 (1−𝑥) (1−𝑥) 1



𝑘



= 𝑥 2 (1−𝑥)



𝑘 + 𝑛 − 1 (𝑥)𝑛 ) 𝑛



=𝑥 2 ∑∞ 𝑛=0 ( =∑∞ 𝑛=0 (



𝑘 + 𝑛 − 1 2 (𝑥)𝑛 )𝑥 𝑛



= ∑∞ 𝑛=0 (



𝑘 + 𝑛 − 1 𝑛+2 )𝑥 𝑛



= ∑∞ 𝑛=2 (



𝑘 + 𝑛 − 3 (𝑥)𝑛 ) 𝑛−2



0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑦 < 2 Jadi |𝐴| = { 𝑘 + 𝑛 − 3 ( ) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 ≥ 2 𝑛−2 Jadi peluang kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda adalah 0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑛 < 2 |𝐴| 𝑛(𝑛 − 1) = { , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 2 |𝑆𝐴 | (𝑘 + 𝑛 − 1)(𝑘 + 𝑛 − 2)



b. Bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda Misal, B = himpunan kejadian kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika bolabola berbeda dan kotak-kotak berbeda SB = himpunan semua kejadian dari percobaan yang dilakukan jika bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda Fungsi Pembangkit dari permasalahan SB adalah P(x) = (1 + 𝑥 + =𝑒



2!



+



𝑘



𝑥3



…) 3!



𝑘𝑥



= ∑∞ 𝑛=0 =



𝑥2



(𝑘𝑥)𝑛



𝑛! 𝑥𝑛 ∞ ∑𝑛=0 𝑘 𝑛 𝑛!



Jadi |𝑆𝐵 |= 𝑘 𝑛



, untuk 𝑛 ≥ 0



Fungsi pembangkit dari permasalahan B adalah P(x) = (𝑥 +



𝑥2 2!



+



𝑥3 3!



+



𝑥4 4!



2



+ ⋯ ) (1 + 𝑥 +



𝑥2 2!



+



𝑥3 3!



𝑘−2



+⋯)



= (𝑒 𝑥 − 1)2 (𝑒 𝑥 )𝑘−2 = 𝑒 𝑘𝑥 − 2𝑒 (𝑘−1)𝑥 + 𝑒 (𝑘−2)𝑥 𝑛 = ∑∞ 𝑛=0 𝑘



𝑥𝑛 𝑛!



𝑛 − ∑∞ 𝑛=0 2(𝑘 − 1)



𝑥𝑛 𝑛!



Jadi |𝐵| = 𝑘 𝑛 − 2(𝑘 − 1)𝑛 + (𝑘 − 2)𝑛



𝑛 + ∑∞ 𝑛=0(𝑘 − 2)



𝑥𝑛 𝑛!



, untuk 𝑛 ≥ 0



Jadi peluang kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda adalah |𝐵|



𝑘 𝑛 −2(𝑘−1)𝑛 +(𝑘−2)𝑛



|𝑆𝐵



𝑘𝑛



= |



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 0



c. Bola-bola berbeda dan kotak-kotak identik Peluang kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika bola-bola berbeda dan kotak-kotak identik adalah



𝑘 𝑛 −2(𝑘−1)𝑛 +(𝑘−2)𝑛 𝑘!