Pertemuan 2 - Logika Matematika - Handout [PDF]

Citation preview

Pertemuan ke-2: LOGIKA MATEMATIKA



Departemen Matematika FMIPA IPB



Bogor, 2017



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



1 / 22



Topik Bahasan



1



Kesetaraan Dua Proposisi



2



Argumen



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



2 / 22



Kesetaraan Logik De…nisi (Kesetaraan Logik) Dua buah proposisi dikatakan setara logik, bila kedua proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaran proposisi penyusunnya. Notasi: p = q atau p q atau p , q (dibaca p setara logik dengan q, selanjutnya hanya akan dibaca p setara dengan q)



Contoh Gunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa: 1 2



p!q=



p _ q.



(p ^ q) =



p_



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



q. Pengantar Matematika



Bogor, 2017



3 / 22



Dalil-dalil Kesetaraan Misalkan p, q, dan r adalah sembarang proposisi, i tautologi, serta o kontradiksi. Dalil Keidentikan p_o = p 2 p_i = i 3 p^o = o 4 p^i = p 1



Dalil Komutatif 1 2



Dalil Asosiatif



Dalil Kesamakuatan 1 2



p_p = p p^p = p



1 2



p_ p^



1 2



p=i p=o



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



(p _ q) _ r = p _ (q _ r) (p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r)



Dalil Distributif



Dalil Komplemen 1 2



p_q = q_p p^q = q^p



Pengantar Matematika



p _ (q ^ r) = (p _ q) ^ (p _ r) p ^ (q _ r) = (p ^ q) _ (p ^ r)



Bogor, 2017



4 / 22



Dalil Ingkaran Ganda 1



( p) = p



Dalil de Morgan 1 2



(p _ q) = (p ^ q) =



p^ p_



q q



Dalil Penghapusan 1 2



(p _ q) ^ p = p (p ^ q) _ q = q



Dalil lainnya 1 2



p ! q = q ! p = p_q p $ q = (p ! q) ^ (q ! p) = (p ^ q) _ ( p ^



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



q)



Bogor, 2017



5 / 22



Catatan: Untuk menunjukkan kesetaraan dua proposisi dapat digunakan: 1 2



Tabel kebenaran Dalil-dalil kesetaraan



Contoh Gunakan dalil-dalil kesetaraan untuk menunjukkan bahwa: 1 2



(p ! p) ! p = i. (p ^ q) ^ (p _ q) =



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



q.



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



6 / 22



Argumen De…nisi Argumen adalah suatu proposisi yang berbentuk



[H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K.



Catatan: H1 , H2 , ..., Hn : hipotesis-hipotesis K : kesimpulan 2 Argumen [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K biasa ditulis: H1 H2 .. . 1



Hn K (Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



7 / 22



Kesahan Argumen



Argumen



% &



Sah [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K tautologi



Tidak sah [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K bukan tautologi



Jika argumen [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K sah, maka [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ! K disebut suatu implikasi logik dan dilambangkan [H1 ^ H2 ^ ... ^ Hn ] ) K



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



8 / 22



Catatan: Jika suatu argumen sah dan semua hipotesisnya benar, maka kesimpulan benar. 2 Untuk memeriksa kesahan suatu argumen dapat digunakan: 1



tabel kebenaran dalil-dalil kesetaraan kombinasi dalil-dalil kesetaraan dan tabel kebenaran aturan inferensia metode pohon



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



9 / 22



Contoh Periksa kesahan argumen berikut. "Jika hari ini hujan, maka saya membawa payung. Ternyata saya tidak membawa payung. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa hari ini tidak hujan."



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



10 / 22



Aturan Inferensia Beberapa argumen yang sah dan sering dijumpai dalam penalaran sehari-hari. 1



Modus Ponens p p!q q



2



Modus Tollens q p!q p



3



Kaidah Silogisme p!q q!r p!r



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



11 / 22



Contoh Periksa kesahan argumen berikut menggunakan aturan inferensia. p_r p!q r q



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



12 / 22



Metode Pohon



Kegunaan: untuk memeriksa kesahan suatu argumen Konsep dasar: Suatu argumen berbentuk implikasi p ! q. (p ! q) = p ^ q. p ! q adalah tautologi jika p ^ q adalah kontradiksi. Susun suatu pohon dari konjungsi premis (p) dan negasi kesimpulan ( q). 5 Bila semua cabang pohon membentuk kontradiksi, maka argumen sah. 6 Bila ada cabang yang tidak membentuk suatu kontradiksi, maka argumen tidak sah. 1 2 3 4



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



13 / 22



Prosedur Metode Pohon 1 2



3



4



5



6



7 8



Daftarkan semua premis dan negasi kesimpulannya. Tuliskan semua proposisi "jika ..., maka ..." dan proposisi "jika dan hanya jika" dalam bentuk konjungsi (^) dan disjungsi (_). Turunkan salah satu premis atau negasi kesimpulannya. Perangkai ^: ditulis ke bawah membentuk batang. Perangkai _: ditulis ke samping membentuk cabang. Jika ada cabang yang memuat suatu proposisi dan negasinya (kontradiksi), maka cabang tersebut tertutup dan beri tanda ( ). Lanjutkan langkah 3 bila masih ada cabang yang belum tertutup dan belum semua proposisi pada langkah 1 diturunkan. Hentikan proses bila semua cabang sudah tertutup atau semua proposisi pada langkah 1 sudah diturunkan. Argumen sah jika semua cabang tertutup. Argumen tidak sah jika terdapat sekurang-kurangnya satu cabang yang tidak tertutup.



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



14 / 22



Contoh Periksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan metode pohon. 1



2



p!q q p Jika harga seragam sekolah menurun, maka permintaan terhadap seragam sekolah meningkat. Jika sekarang bukan akhir masa liburan sekolah, maka permintaan terhadap seragam sekolah sedang tidak meningkat. Kenyataannya, sekarang adalah akhir masa liburan sekolah. Jadi dapat disimpulkan bahwa harga seragam sekolah sedang menurun.



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



15 / 22



Bahan Responsi



Soal Gunakan dalil-dalil kesetaraan untuk membuktikan bahwa: 1 2 3



proposisi (p !



q) _ ( r ! p) adalah tautologi.



p ! (q ! r) = (p ^ q) ! r. q ^ [(p _ q) ^



( q ^ p)] = q.



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



16 / 22



Soal Gunakan dalil-dalil kesetaraan untuk membuktikan kesahan argumen berikut. p! q q p



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



17 / 22



Soal Gunakan aturan inferensia untuk membuktikan kesahan argumen berikut. p_r p!q r q



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



18 / 22



Soal Gunakan metode pohon untuk membuktikan kesahan argumen berikut. p! q r^s p (r ^ s) ! q r_s



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



19 / 22



Soal Periksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan dalil-dalil kesetaraan, aturan inferensia, atau metode pohon. 1



2



3



p_q p! r r q Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau dia tidak menangis. Jika bayi tertawa, maka mukanya merah. Jadi jika bayi lapar, maka mukanya merah. Jika saya diterima di IPB dan belajar setidaknya 6 jam setiap hari, maka saya akan lulus dari IPB. Saya belajar 6 jam setiap hari. Jadi saya akan lulus dari IPB.



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



20 / 22



Soal Periksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan dalil-dalil kesetaraan, aturan inferensia, atau metode pohon. "Jika suatu bilangan bulat n habis dibagi 2 dan 3, maka n habis dibagi 6. Syarat perlu dan cukup agar suatu bilangan bulat n habis dibagi 6 adalah pembagian tersebut meninggalkan sisa 0 jika dibagi 6. Diberikan suatu bilangan bulat n yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 2. Kesimpulannya n tidak meninggalkan sisa 0 jika dibagi 6."



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



21 / 22



Tentang Slide



Penyusun: Dosen Departemen Matematika FMIPA IPB Versi: 2017 Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)



(Departemen Matematika FMIPA IPB)



Pengantar Matematika



Bogor, 2017



22 / 22