Pertemuan Ke-11 Pendugaan Parameter PDF [PDF]

Citation preview

Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



PERTEMUAN KE- 11 POKOK BAHASAN PENDUGAAN PARAMETER Team Teaching: Drs. Gatot Kusjono,MM ; Suprianto,SPd,MM, Drs. Fikron Al Khoir, MM, MPd; Ajimat, S.Si,MM



A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Pada bab ini akan dijelaskan mengenai pendugaan parameter. Melalui risetasi, Anda diharapkan mampu: 1.1. Melakukan pendugaan nilai rata-rata populasi dan memahami hubungan jumlah sampel dengan galat percobaan. 1.2. Melakukan pendugaan nilai proporsi populasi baik observasi 1 ataupun 2 populasi serta menentukan jumlah sampel yang sesuai dengan tujuan percobaan.



B. URAIAN MATERI PENDUGAAN NILAI TENGAH 4. Pendugaan Nilai Tengah bagi Beda 2 Nilai Tengah dari Sampel-sampel Kecil dan apabila nilai ragam populasi diketahui tidak sama (𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐 ). Selang Kepercayaan sebesar (1- ) 100 % bagi |𝜇1 − 𝜇2 | adalah : 𝑠2 𝑠2 𝑠2 𝑠2 |𝑥̅1 − 𝑥̅2 | − (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . √ 1 + 2 ) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |𝑥̅1 − 𝑥̅2 | + (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . √ 1 + 2 ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2 2



Jika 𝜎12 dan 𝜎22 tidak diketahui , maka gunakan 𝑠12 dan 𝑠22 𝑠2



Derajat bebas (db) =



2 𝑠2



(𝑛1 +𝑛2 )



1 2 2 2 𝑠2 𝑠2 ( 1) ( 2) 𝑛1 𝑛2 + (𝑛 (𝑛1 −1) 2 −1)



[



] [



]



nilai db dibulatkan ke bilangan bulat terdekat, atau dapat didekati dengan n1 + n2 - 2.



S-1 MANAJEMEN



[1]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



Latihan : Dari 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter teh dengan simpangan baku 4. Sedangkan dari 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 36 liter teh dengan simpangan baku 5. Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama. a.



Hitunglah derajat bebas bagi distribusi t!



b.



Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris. Penyelesaian: Diketahui:



n1 = 12



𝑥̅1 = 22 liter



S1 = 4



n2 = 10



𝑥̅2 = 36 liter



S2 = 5



=1%



/2 = 0.5 % = 0,005



a. Derajat bebasnya (db): 𝑠2



db =



𝑠2



2



(𝑛1 +𝑛2 )



[



] [



2 42 52 ) 12 10 2 2 42 52 ( ) ( ) 12 10



( +



1 2 2 2 𝑠2 𝑠2 ( 1) ( 2) 𝑛1 𝑛2 + (𝑛 (𝑛1 −1) 2 −1)



=



(12−1)



]



[



=



14,6944 0,8561



=17,1652 ≈ 17



+ (10−1)



] [



]



b. Rata-rata teh yang diminum orang jepang: Nilai 𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) = 𝑡( 17 ; 0,005 ) = 2,898 2



|𝑥̅1 − 𝑥̅2 | − (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . √



𝑠12



𝑛1



2



+



𝑠22 𝑛2



) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |𝑥̅1 − 𝑥̅2 | + (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . √ 2



𝑠12 𝑛1



+



𝑠22 𝑛2



)



42 52 42 52 |22 − 36| − (𝑡( 17 ; 0,005 ) . √ + ) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |22 − 36| + (𝑡( 17 ; 0,005 ) . √ + ) 12 10 12 10 14 − (2,898 . 1,9579) < |𝜇1 − 𝜇2 | < 14 + (2,898 . 1,9579) 14 − 5,674 < |𝜇1 − 𝜇2 | < 14 + 5,674 8,326 < |𝜇1 − 𝜇2 | < 19,674



5. Pendugaan bagi Beda 2 Nilai Tengah dari sampel-sampel kecil dan nilai kedua ragam populasi diketahui sama (𝝈𝟐𝟏 dan 𝝈𝟐𝟐 ). Selang Kepercayaan sebesar (1- ) 100 % bagi |𝜇1 − 𝜇2 | adalah: |𝑥̅1 − 𝑥̅2 | − (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . 𝑠𝑔𝑎𝑏 √ 2



S-1 MANAJEMEN



𝑠21



𝑛1



+



𝑠22 𝑛2



) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |𝑥̅1 − 𝑥̅2 | + (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . 𝑠𝑔𝑎𝑏 √ 2



𝑠21



𝑛1



+



𝑠22 𝑛2



)



[2]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



2 Jika 𝜎12 dan 𝜎22 tidak diketahui , maka gunakan ragam sampel gabungan 𝑠𝑔𝑎𝑏 . 2 𝑆𝑔𝑎𝑏 =



(𝑛1 −1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2 −2



2 ; 𝑆𝑔𝑎𝑏 = √𝑆𝑔𝑎𝑏



;



derajat bebas (db) = n1 + n2 -2 Contoh: Dari 12 orang Jepang yang diwawancarai rata-rata setiap bulannya mereka minum 22 liter teh dengan simpangan baku 4. Sedangkan wawancara terhadap 10 orang Inggris diketahui rata-rata setiap bulannya mereka minum 26 liter teh dengan simpangan baku 5. Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitunglah : a. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua contoh b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris. Penyelesaian: (Selesaikan sebagai latihan) Diketahui:



n1 = 12



𝑥̅1 = 22 liter



S1 = 4



n2 = 10



𝑥̅2 = 26 liter



S2 = 5



=1%



/2 = 0.5 % = 0,005



a. Simpangan baku gabungan (𝑆𝑔𝑎𝑏 ): 2 𝑆𝑔𝑎𝑏 =



(𝑛1 −1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2 −2



=



(12−1).42 +(10−1).52 12+10−2



= 20,05



2 𝑆𝑔𝑎𝑏 = √𝑆𝑔𝑎𝑏 = √20,05 = 4,4777



b. Beda rata-rata banyak teh yang diminum: Nilai 𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) = 𝑡( 12+10−2 ; 0,005 ) = 𝑡( 20 ; 0,005 ) = 2,845 2



𝑠2



𝑠2



1



2



𝑠2



𝑠2



1



2



|𝑥̅1 − 𝑥̅1 | − (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . 𝑠𝑔𝑎𝑏 √ 1 + 2 ) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |𝑥̅1 − 𝑥̅1 | + (𝑡( 𝑑𝑏 ; 𝛼 ) . 𝑠𝑔𝑎𝑏 √ 1 + 2 ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2



2



|26 − 22| − (2,845 . 4,4777 . 1,9579) < |𝜇1 − 𝜇2 | < |26 − 22| + (2,845 . 4,4777 . 1,9579) 4 − (24,9418) < |𝜇1 − 𝜇2 | < 4 + (24,9418) −(20,9418) < |𝜇1 − 𝜇2 | < (28,9418)



6. Pendugaan Proporsi dari Sampel Besar. Apabila 𝑝̅ adalah proporsi "sukses" dalam suatu sampel acak n dan 𝑞̅ = 1 − 𝑝̅ , maka :



S-1 MANAJEMEN



[3]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



a. Selang kepercayaan kira-kira (1 -  )100 % bagi parameter 𝜋 adalah: 𝑝̅ 𝑞̅ 𝑝̅ 𝑞̅ 𝑝̅ − (𝑧𝛼 . √ ) < 𝜋 < 𝑝̅ + (𝑧𝛼 . √ ) 𝑛 𝑛 2 2 b. Ukuran Contoh Ukuran Contoh pada Serlang Kepercayaan (1-)100 % dengan galat (selisih atau Error) tidak akan melebihi suatu nilai E adalah : n=[



𝑧𝛼 2 2



. 𝑝̅ 𝑞̅



𝐸2



]



n : ukuran sampel  dibulatkan ke atas. E : error  selisih p dengan  Contoh : Dari suatu contoh acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood. a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood! b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % bahwa beda proporsi contoh dengan proporsi populasi tidak lebih dari 0,02. Penyelesaian: a) Selang kepercayaan 95 %   = 5 %  /2 = 2.5 %  z2,5% = z0,025 =



1,960 160



𝑝̅ = 500 = 0,32



𝑝̅ = 1 - 𝑞̅ = 1 – 0,32 = 0,68



; 𝑝̅ − (𝑧𝛼 . √ 2



𝑝̅ 𝑞̅ 𝑛



(0,32).(068)



0,32 − (1,960 . √



500



) < 𝜋 < 𝑝̅ + (𝑧𝛼 . √ 2



𝑝̅ 𝑞̅ 𝑛



)



) < 𝜋 < 0,32 + (1,960 . √



(0,32).(068) 500



)



0,28 < 𝜋 < 0,36



b) Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % bahwa beda proporsi contoh dengan proporsi populasi tidak lebih dari 0,02. n=[



S-1 MANAJEMEN



𝑧𝛼 2 2



. 𝑝̅ 𝑞̅



𝐸2



]=



(1,96)2 . (0,32).(0,68) (0,02)2



= 2.090 ≈ 3



[4]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



7. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari Sampel-sampel Besar. Selang kepercayaan kira-kira (1 -  )100 % bagi parameter |𝜋̅1 − 𝜋̅2 | adalah: 𝑝̅1 𝑞̅1 𝑝̅2 𝑞̅2 𝑝̅1 𝑞̅1 𝑝̅2 𝑞̅2 |𝑝̅1 − 𝑝̅2 | − (𝑧𝛼 . √ + ) < |𝜋̅1 − 𝜋̅2 | < |𝑝̅1 − 𝑝̅2 | + (𝑧𝛼 . √ + ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2 2



Contoh 8: Hasil survai dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru (𝑝̅1 = 0,70). Sedangkan hasil survai dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru (𝑞̅2 = 0,25). Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru!



Penyelesaian: Kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru 𝑝̅1 = 0,70



𝑞̅1 = 1 - 𝑝̅1 = 1- 0,70 = 0,30



𝑞̅2 = 0,25



𝑝̅2 = 1 - 𝑞̅2 = 1- 0,25 = 0,75



|𝑝̅1 − 𝑝̅2 | = |0,70 − 0,75| = 0,05 Pada selang kepercayaan 90 %   = 10 %  /2 = 5 %  z5% = z0,05 = 1,645 𝑝̅1 𝑞̅1 𝑝̅2 𝑞̅2 𝑝̅1 𝑞̅1 𝑝̅2 𝑞̅2 |𝑝̅1 − 𝑝̅2 | − (𝑧𝛼 . √ + ) < |𝜋̅1 − 𝜋̅2 | < |𝑝̅1 − 𝑝̅2 | + (𝑧𝛼 . √ + ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2 2 (0,7)(0,3) (0,75)(0,25) (0,7)(0,3) (0,75)(0,25) (0,05) − ((1,645)√ + ) < |𝜋̅ 1 − 𝜋̅ 2 | < (0,05) + ((1,645)√ + ) 1000



800



1000



800



(0,05) − ((1,645) . (0,02108)) < |𝜋̅1 − 𝜋̅2 | < (0,05) + ((1,645) . (0,02108)) 0,01532 < |𝜋̅1 − 𝜋̅2 | < 0,08467



C. LATIHAN SOAL/TUGAS 1. Dari 49 mahasiswa tingkat tiga, diketahui bahwa rata-rata IPK-nya 2,72 dengan Dari suatu contoh acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood. a. Tentukan selang kepercayaan 99 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood! b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 90 % bahwa beda proporsi contoh dengan proporsi populasi tidak lebih dari 0,05.



S-1 MANAJEMEN



[5]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012



S-1 MANAJEMEN



[6]



Modul STATISTIK-2



PROGRAM STUDI MANAJEMEN



Lampiran: Tabel Distribusi t-Student



S-1 MANAJEMEN



[7]