Probabilitas Diskrit [PDF]

Citation preview

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 11/10/2011



Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi sebagai berikut :



4 syarat



}Jumlah



percobaan harus tetap, n kali percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial. }Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang sama untuk sukses. }Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu sama lain. }Setiap



50



a. Distribusi BINOMIAL



53



Latihan Soal 1.



Ciri-ciri Percobaan Bernouli:



Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa: a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar



• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.



Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½ b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ )5 . ( ½ )6-5 = 6! (½)5 . (½)1 = 3/32 5!.1! b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2 b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ )6 . ( ½ )6-6 = 6 ! ( ½ )6 . ( ½ )0 = 1/64 6!0! Probabilitas memperoleh ≥ 5 sisi gambar adalah : b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64



• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1. • Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas. • Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.



51



54



Distribusi bernoulli yang diulang n kali merupakan distribusi BINOMIAL



Rumus Distribusi Binomial : b (x / n , p) = P (X = x)=



nC x



px . qn-x ;



x = 0,1,…n, q = 1 – p Dimana : - b ( x / n , p ) ≥ 0 - Σ b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1



Rata – rata ( Mean ) = µx = n . p Varians ( x ) = σx2 = n . p . q Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal. 52



2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa : a. Rata – rata dari x b. Varians (x) Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3 b. Var ( x ) = σ x2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36 = 5/9 3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E ( x ) nya ? Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4



55



1



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 11/10/2011



B. Distribusi Poisson Ciri-ciri Distribusi Poisson Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial. Rumus Distribusi Poisson f ( x ) = µx . e-µ = p ( x/n , p ) x! Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828… Rata – rata = µx = n . p Varians (x) = σx2 = n . p Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah sama



2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan berapa : a. Rata – rata x b. Varians (x) jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4 b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4



p = 1/4



3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar, berapa E (x) ? Jawab : n = 6 ; p = ½ E (x) = n.p = 6.1/2 = 3



56



59



Latihan soal:



Latihan soal ! 1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?



Jawab: probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah : p = 1.( ½ ) 5 = 1/32 Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi : f( x ) = 64 1/32 x 31 / 32 64-x x



X



8



12



P(X)



¼



1/12



16



20



24



1/6



1/8



3/8



1. Dari tabel diatas tentukan: a. mean X; b. standar deviasi X; c. E(2X – 3 )2 2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan simpangan baku X.



57



Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka diambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh : f ( x ) = µx . e-µ x!



x f(x)



= 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 x! e-2 = 0 ,1353



0 1 2 3 4 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090



5 0,036



58



60



3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh: a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka 4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah: a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3; b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3! 5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)! 6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali, hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!



61



2



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 11/10/2011



C. Distribusi Hipergeometrik



Teorema(5.3) Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: 2 N−n (n)( k )(1 − k ) µ = nk dan σ =



Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini



diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu, sejumlah



hasil



produksi)



sampling



harus



dikerjakan



N−1



N



hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial



n



n



Contoh (5.9)



dengan



Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang µ ± 2σ



pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada



Jawab:



sampling tanpa pengembalian.



Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4



Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:



(



) ( 40 )(1 − 403 ) = 0,3113



Diperoleh µ = ( 5)(3) = 3 = 0, 375 dan σ 2 = 40 −5 (5) 3 40



1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N



8



Menggunakan teorema Chebyshev



benda.



39



µ ± 2σ adalah



µ + 2σ = 1, 491 dan µ − 2σ = −0, 741



2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k



Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491



diberi nama gagal. 62



65



62



65



Contoh_ hipergeometrik:



Distribusi Hipergeometrik



Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak



Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan



5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada



ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k



seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa



gagal dinyatakan sebagai:



probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.



 k  N−k   x  n− x   ; x = 0,1, 2,......,n h(x;N,n,k) =   N  n  



Jawab: Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:



Contoh (5.8)



h( 3; 5000,10,1000) = b( 3;10, 0.2)



Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5



=



fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia.



3



2



x=0



x =0



∑ b(x;10, 0.2 ) − ∑ b(x;10, 0.2)



= 0,8791 − 0, 6778



Jawab:



= 0, 2013 63



66



63



66



Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. X={0,1,2,3} Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus



h(x;8, 5, 3) =



( 3x)( 5−5x) (85)



; x = 0,1, 2, 3



(30 )( 55) = 1 ( 85) 56 3 5 (1)( 4 ) = 15 x = 1 → h(1;8, 5, 3) = ( 85) 56



x = 0 → h( 0; 8, 5, 3) =



( 32 )( 53) = 30 (85 ) 56 3 5 ( 3)( 2 ) = 10 x = 3 → h( 3;8, 5, 3) = ( 85) 56 x = 2 → h(2;8, 5, 3) =



;



;



}



}



Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik x h(x;8,5,3)



0



1



2



3



1 56



15 56



30 56



10 56 64



64



Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial : Binomial → untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian) Hipergeometrik → untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)



67



3



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 11/10/2011



Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan? b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?



Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial : p = 2/5 = 0.40 n= 4 x=2 b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial) Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik N= 5 n= 4 k=2 x=2 N-k = 3 n-x=2 h(2; 5, 4,2) = C 22 × C23 1 × 3 3 = = = 0.60 C45 5 5



68



4