Rangkum Topologi [PDF]

Citation preview

ATURLAH DUNIAMU Sebelum DUNIA MENGATURMU



Pengantar Topologi BAB I HIMPUNAN



1



Himpunan A disebut himpunan bagian atau subset dari B jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi , sehingga pernyataan “A himpunan bagian dari B” ditulis A  B, dan jika “A bukan himpunan bagian dari C” ditulis A  C. Secara simbolik ditulis



1.1. Himpunan Himpunan atau set adalah kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan disebut sebagai anggota atau elemen atau unsur dari himpunan. Himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, C,….. Sedangkan anggota himpunan dengan huruf kecil a,b,c,….. Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a  A , sedangkan pernyataan “b bukan anggota A” ditulis b  A Ada beberapa cara menuliskan himpunan yaitu : Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar anggota-anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya A = {a,b,c,d}, N = {1,2,3,…..}, Z = {…..,-2,-1,0,1,2,…..} 2. Menyebutkan atau mendefinisikan persyaratan keanggotaan himpunan, misalnya N = {n/n bilangan asli}, I = {x/ 0 x 1, x bilangan riil}, B = {y/y=2n, n N} 3. Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana. Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn.



A  B  x  A  x  B Simbol “  ” menyatakan biimplikasi yang dibaca “Jika dan hanya jika“. Pernyataan A  B dapat ditulis B  A dibaca B memuat A atau dikatakan B superset A. Contoh 1.2. : 1. Diketahui N = {1,2,3,.....}, G = {1,3,5,.....}, dan P = {2,3,5,7,....}, maka G  N , N  P dan G  P 2. Jika N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, R himpunan bilangan riil, dan K himpunan bilangan komplek maka N  Z  Q  R  K



Dalam Diagram Venn A  B digambarkan bahwa A berada dalam B, sebagai berikut



A = {a,b,c,d}



B A A A



A .a



.b .c



Gambar 2 : Diagram Venn A  B Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap anggota B juga merupakan anggota A. Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh bahwa dua himpunan A dan B sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika memenuhi A  B dan B  A. Secara simbolik dapat ditulis



.d



Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang demikian hanya menggambarkan satu anggota saja. Contoh 1.1. : A = {a,b,c,b,d,e} himpunan A tersebut hanya mempunyai lima anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.



A B  A BB  A Dalam hal A  B, tetapi A  B dikatakan A himpunan bagian murni atau proper subset B, yaitu x  B sedemikian hingga x  A



Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol n(A), sehingga pada contoh 1.1 tesebut n(A) = 5.



Contoh 1.3. : Jika A  {x / x 2  3x  4  0, x  R} dimana R himpunan bilangan riil, dan B = {1,4}, maka A = B. Sedangkan B merupakan himpunan bagian sejati atau proper



1.2. Himpunan Bagian



2



subset dari N dimana N himpunan bilangan asli.



Contoh 1.5. : 1. A = {a,b,c,d}, B  {x / x 2  4, x  R} , dan C = {1,2,3,.....100} merupakan himpunan berhingga. 2. N = {1,2,3,.....}, I  {x /  1  x  1, x  R} dan Z = {.....,-2,-1,0,1,2,.....} merupakan himpunan tak berhingga. 3. C = {c/ c adalah bilangan prima genap} merupakan singelton karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 saja.



Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau comparable jika memenuhi salah satu A B atau B  A. Misalnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan. Teorema 1.1. : Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka : (i) A  A (ii) Jika A  B dan B  A maka A  B (iii) Jika A  B dan B  C maka A  C



1.4. Kelas Himpunan dan Himpunan Kuasa Kelas himpunan atau juga disebut keluarga himpunan atau famili himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya himpunan. Kelas himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar latin seperti A,B, .... Sedangkan anggota kelas himpunan menggunakan huruf besar seperti A, B, ..... sebagai notasi himpunan biasa.



1.3. Himpunan Kosong dan Semesta. Himpunan kosong atau disebut void set dinotasikan dengan atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dalam arti jika persyaratan keanggotaan himpunan dikenakan maka tidak ada obyek yang memenuhinya.



Contoh 1.6. : 1. Himpunan garis-garis, dimana garis merupakan himpunan titik-titik 2. A = {{1,2},{2},{3,4,5}}. Di sini {2}  A tetapi 2  A



Contoh 1.4. : Misalnya {x / x 2  0, x  R} adalah himpunan kosong karena tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif.



Jika A sebarang himpunan, himpunan dari semua himpunan bagian dari A ditulis dengan P (A) atau sering ditulis 2A juga merupakan kelas himpunan yang disebut himpunan kuasa atau power set dari A.



Proposisi 1.1. :  merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan termasuk himpunan kosong itu sendiri.



Contoh 1.7. : Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah 2A = { , {a},{b},[c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}



Hal ini bisa kita buktikan secara tidak langsung sebagai berikut : Misalkan A dimana A sebarang himpunan, tentunya harus ada anggota yang bukan anggota A. Padahal tidak memiliki anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa A. Himpunan semesta atau universe ditulis dengan notasi S adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil R. Himpunan berhingga atau finite kita definisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu misalnya ada n anggota dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan himpunan tak berhingga atau infinite. Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut himpunan singelton.



Istilah kelas bagian atau subclass mengandung pengertian yang sama dengan himpunan bagian atau subset pada himpunan. Dari contoh 1.7. di atas B = {{a,b},{a,c},{b,c}} 2A Secara induktif kita bisa menunjukkan jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2n . Untuk memudahkan pemahaman hal tersebut bisa dilihat tabel berikut : Himpunan A



{a} {a,b} 3



Banyak Kelas Himpunan Anggota Bagian 2A n(A) 0 { } 1 { ,{a}} 2 { ,{a},{b},{a,b}}



Banyak Anggota Kelas Himpunan Bagian n(2A) 1 = 20 2 = 21 4 = 22



{a,b,c}



3



{ ,{a},{b},[c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c}}



….. n



8 = 23



A B



….. 2n



Gambar 4 : Diagram Venn AB Pada gambar AB adalah daerah yang kena arsiran dua kali



1.5. Operasi Himpunan Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau beberapa unsur tertentu. Jika operasi berlaku dalam suatu himpunan semesta S yaitu merupakan aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dalam S dari satu atau lebih unsur dalam S. Jika hasil dari suatu operasi termasuk dalam semesta S, maka operasi yang demikian disebut tertutup atau closure. Jika aturan dalam operasi berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi uner, dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi biner, tiga unsur terner, dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner misalnya operasi ingkaran (dalam logika), tambah satu (dalam bilangan), transpose (dalam matriks), maupun komplemen (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut). Sedangkan operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan, perkalian, pembagian (dalam bilangan), dan, atau (dalam logika), tambah, pengurangan, perkalian (dalam matriks), gabungan, irisan (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikut). Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih himpunan untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan. Bebeberapa operasi yang berlaku dalam himpunan didefinisikan sebagai berikut :



3. Selisih atau Komplemen Relatif Selisih dua himpunan A dan B, ditulis A-B , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A tetapi bukan unsur B, yaitu : A-B = {x/x A dan x B}



A



B



Gambar 5 : Diagram Venn A-B Pada gambar A-B adalah daerah yang kena arsiran 4. Komplemen atau Komplemen Mutlak Komplemen dari himpunan A ditulis A atau AC atau A’ adalah himpunan yang anggota-anggotanya tidak termasuk dalam A, tetapi masih termasuk anggota semesta S yaitu :



Gabungan atau Union Gabungan dua himpunan A dan B, ditulis A B , adalah himpunan yang unsurunsurnya merupakan unsur dari A atau B, secara simbolik ditulis : A B = {x/x A atau x B}



Ac = {x/x S dan x A}= S-A S



A B



A



Gambar 3 : Diagram Venn AB Pada gambar AB adalah daerah yang kena arsiran.



Gambar 6 : Diagram Venn A Pada gambar Ac adalah daerah yang kena arsiran diluar A tetapi masih berada di dalam S



2. Irisan atau Interseksi Irisan dua himpunan A dan B, ditulis A B , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A dan B, yaitu : A B = {x/x A dan x B}



Contoh 1.8. : 1. Jika S = {a,b,c,d, ..... ,x,y,z} A = {a,b,c,d} dan B = { c,d,e,f,g}, maka A a,b,c,d,e,f,g} 4



8a. ( Ac ) c  A



A B = {c,d} A – B = {a,b} Ac = {e,f,g,h, ....., x,y,z} 2. Dalam semesta N himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,.....} merupakan himpunan bilangan genap maka Bc = {1,3,5,.....} adalah himpunan bilangan ganjil.



Hukum De Morgan’s 9a. ( A  B) c  Ac  B c



Contoh 1.9. : Buktikan : (A  B)  (A  B c ) = A ! Bukti : 1. (A  B)  (A  B c ) = A  (B  B c ) …………... hukum distributif 2. B  B c =  …………………………………... hukum komplemen 3. Jadi (A  B)  (A  B c ) = A   .…………................... substitusi 4. A   = A ............................................................ hukum identitas 5. Jadi (A  B)  (A  B c ) = A ......................................... substitusi



Beberapa sifat atau teorema berikut merupakan hukum aljabar dalam himpunan. Teorema 1.3. : HUKUM ALJABAR HIMPUNAN Hukum Idempoten 1b. A  A = A Hukum Assosiatif 2a. (A  B)  C = A  (B  C)



Kita tidak perlu membuktikan dualnya, yaitu (A  B)  (A  B c ) = A, dengan menggunakan prisnsip dual kebenarannya terpenuhi. Dalam prinsip dual tidak melibatkan hubungan subset atau himpunan bagian, oleh karena itu jika ada pernyataan dengan hubungan A  B untuk membuktikannya tidak menggunakan definisi himpunan bagian , jika x  A maka x  B, tetapi kita gunakan hubungan lain seperti dinyatakan dalam teorema berikut :



2b. (A  B)  C = A  (B  C)



Hukum Komutatif 3a. A  B = B  A



3b. A  B = B  C Hukum Distributif



4a. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 5a. A   = A 6a. A  S = S



9b. ( A  B) c  Ac  B c



Penomoran dengan menggunakan huruf a dan b dibelakang angka dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam hukum aljabar di atas saling dual, yaitu pernyataan yang diperoleh dengan mempertukarkan  dengan  dan  dengan S. Sebagai contoh bahwa dual dari 5a. A   = A adalah 5b. A  S = A. Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua pernyataan yang saling dual tersebut tidak perlu membuktikan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan menggunakan prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.



Proposisi 1.2. : 1. Himpunan A memuat A-B sebagai himpunan bagian, berarti A-B  A 2. Himpunan A-B, AB, dan B-A saling asing, yaitu irisan setiap dua himpunan tersebut merupakah himpunan kosong. 3. Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B, yaitu A-B = ABc



1a. A  A = A



8b. S c = ,  c = S



4b. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)



Teorema 1.4. : Jika A  B berarti : 1. A  B = A 2. A  B = B 3. A  B’ = 



Hukum Identitas 5b. A  S = A 6b. A   = 



4. A  B’ = S 5. B’A’ 6. A(B-A)=B



Hukum Komplemen 7a. A  Ac = S



1.6. Operasi Himpunan Yang Diperumum



7b. A  Ac =  5



Sebelumnya kita definisikan himpunan berindeks yang digunakan dalam mendefinisikan operasi himpunan yang diperumum. Himpunan yang dituliskan dengan lambang Ai dinamakan himpunan berindeks, dan i disebut sebagai indeks, dengan I = {i/i  N, N himpunan bilangan asli} disebut sebagai himpunan indeks. Kelas dari himpunan berindeks ditulis { Ai / i  I } atau { Ai }iI atau hanya ditulis { Ai }



atau lebih singkat ditulis







iI



Contoh 1.11. : 1. Misalkan A1 = {1,10}, A2 = {2,4,6,10}, A3 = {3,6,9}, A4 = {4,8}. A5 = {5,6,10} Dan jika I = {2,3,5}, maka



Contoh 1.10. : D n = {x/x  N, x kelipantan dari n  N}



D1 = {1,2,3,4,…..} D2 = {2,4,6,8,…..} D3 = {3,6,9,12,….}….. dan seterusnya



Ai  A2  A3  A5  {6}







Bi  {0} dan







iN



Bi  0,1



B  (iI Ai )  iI ( B  Ai )



Teorema 1.6. : Hukum De Morgan’s yang diperumum Untuk kelas himpunan { Ai }iI dari himpunan bagian-himpunan bagian dalam semesta S, maka c i. (iI Ai ) c  iI Ai



n



ii. (iI Ai ) c  iI Ai



n



c



Teorema 1.7. : Misalkan A sebarang himpunan, untuk setiap pA, Gp himpunan bagian A yang memuat p sehingga p  G p  A , maka A  {G p / p  A}



dimana i  I, atau lebih singkat ditulis iI



iI



B  (iI Ai )  iI ( B  Ai )



Ai terdiri dari unsur-unsur yang berada pada paling sedikit satu unsur dalam Ai







Ai  A2  A3  A5  {2,3,4,5,6,9,10}



Teorema 1.5. : Hukum Distributif yang diperumum Untuk sebarang kelas himpunan { Ai }iI dan sebarang himpunan B,



A  i 1 Ai  A1  A2  A2  .....  An iI i



iI



iI



iN



A  i 1 Ai  A1  A2  A3  .....  An iI i







 



2. Misalkan Bn  0, 1n  , n  N himpunan bilangan asli, maka



Pada uraian sebelumnya telah didefinisikan operasi gabungan dan irisan tetapi kedua operasi tersebut hanya diterapkan pada dua himpunan. Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih dengan menggunakan sifat assosiatif. Karena A  ( B  C )  ( A  B)  C maka selanjutnya operasi gabungan tersebut ditulis dengan menghilangkan tanda kurung, yaitu A  ( B  C )  ( A  B)  C  A  B  C . Demikian juga untuk operasi irisan A  ( B  C )  ( A  B)  C  A  B  C . Jika operasi tersebut dilakukan berulang dengan memperluas sifat assosiatif kepada sejumlah himpunan yang banyaknya berhingga yang termuat dalam kelas himpunan { Ai }iI dengan I = {1,2,3,…..,n} maka didefinisikan operasi yang diperumum sebagai berikut :



 



Ai  {x / x  Ai , i  I }



Ai  {x / i  I , x  Ai }



Contoh 1.12. : Jika A = {a,b,c}, maka {Ga }  {{a},{a, b},{a, c},{a, b, c}} dan



Sedangkan untuk irisan iI Ai terdiri dari unsur-unsur yang merupakan unsur dari setiap Ai, dimana i I , 6



{G }  {a, b, c}  A a



{Gb }  {{b},{a, b},{b, c},{a, b, c}} dan {Gc }  {{c},{a, c},{b, c},{a, b, c}} dan



{G }  {a, b, c}  A {G }  {a, b, c}  A b



SOAL : 1. Buktikan teorema-teorema yang belum dibuktikan. 2. Buktikan a. ( B  C )  (C  A)  ( A  B)  ( B  C )  (C  A)  ( A  B) b. ( A  B)  C  ( A  B)  (( B  C )  C   c. ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) 3. Tunjukkan bahwa : a. A  B  A  B c b. ( A  B)  ( A  C )  ( A  ( B  C )  ( A  B)  C 4. Jika diketahui dua kelas himpunan { Ai } dan {Bi } sedemikian hingga { Ai }  {Bi } ,



c



Berdasarkan teorema di atas dalam hal A adalah A atau I himpunan  maka didefinisikan : 1. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dari  adalah



{A / A }  



dan



{A / A }  S



2. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dengan himpunan berindeksnya  adalah



{A



iI



/ I  }   dan



{A



iI



tunjukkan bahwa



i



i



i



i



dan



 A  B i



i



i



i



/ I  }  S BAB II RELASI DAN FUNGSI



1.7. Partisi Partisi suatu himpunan adalah kelas himpunan bagian tak kosong dari suatu himpunan yang memenuhi sifat sebagai berikut : 1. Gabungan seluruh himpunan bagian dalam kelas tersebut merupakan himpunan itu sendiri. 2. Sebarang dua himpunan bagian yang tidak sama dari kelas tersebut saling asing. Atau dengan kata lain jika himpunannya adalah A maka partisi dari A adalah kelas himpunan bagian {Bi }iI dari himpunan A yang memenuhi



2.1. Perkalian Himpunan Sebelum mendefinisikan perkalian himpunan kita definisikan dulu tentang pasangan berturutan sebagi berikut : Definisi 2.1. : Pasangan berturutan (a,b) didefinisikan sebagai (a,b) = {{a},{a,b}} dan a disebut komponen pertama sedangkan b disebut komponen kedua.



Bi  A dan



1.







2.



Untuk sebarang i,j berlaku salah satu Bi  B j atau Bi  B j  



iI



 A  B



B1  B2  B3  B4  {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}  A dan untuk sebarang i,j dimana i,j  I = {1,2,3,4} berlaku Bi  B j atau Bi  B j   ,



Dari definisi tersebut terkandung pengertian bahwa suatu pasangan berturutan harus memperhatikan urutan dari komponen-komponennya. Jika letak dari komponennya ditukar maka akan diperoleh pasangan berturutan yang berbeda. Sehingga (a,b) (b,a) dan jika (a,b) = (c,d) maka a = c dan b = d. Hal ini bisa ditunjukkan berdasarkan definisi pasangan berturutan tersebut di atas, yaitu (a,b) = {{a},{a,b}} dan (c,d) = {{c},{c,d}}. Sehingga berdasarkan kesamaan dua himpunan diperoleh {a} = {c} dan diperoleh a = c. Dari {a,b} = {c,d}, karena a = c maka diperoleh b = d.



maka B = { B1 , B2 , B3 , B4 } disebut partisi dari A 2. Jika N himpunan bilangan asli, B himpunan bilangan genap, dan G himpunan bilangan gasal maka {B,G} merupakan partisi dari N.



Definisi 2.2. : Untuk sebarang himpuanan A dan B, perkalian himpunan A dengan B ditulis AxB didefinisikan sebagai himpunan pasangan berturutan sebagai berikut :



Contoh 1.13. : 1. Misalkan A = {1,2,3,.....,9,10} B1  {1,3} , B2  {7,8,10} , B3  {2,5,6} dan B4  {4,9} Kelas B = { B1 , B2 , B3 , B4 } memenuhi sifat sebagai berikut :



7



disebut sebagai bidang XY. Sedangkan suatu titik P dinyatakan dengan pasangan berturutan (x,y), seperti gambar berikut :



A x B = {(a,b)/a A dan b B} Karena pasangan berturutan (a,b) (b,a) , maka pada umumnya perkalian himpunan tidak bersifat komutatif, yaitu A x B B x A, kecuali A = B 2 Perkalian himpunan dengan dirinya sendiri yaitu AxA biasanya ditulis A



Y (R vertikal)



y



Proposisi 2.1. : 1. Jika himpunan A mempunyai m anggota dan himpunan B mempunyai n anggota maka perkalian himpunan AxB mempunyai mn anggota. 2. Jika A, B salah satunya himpunan kosong maka AxB juga himpunan kosong. 3. Jika A, B salah satunya himpunan tak hingga dan yang lain tidak kosong maka AxB juga tak hingga



P(x,y)



X (R horizontal) -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4



Gambar 2.2 : Bidang koordiant Cartesius



Contoh 2.1. : 1. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,2}, maka AxB = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} 2. Jika P = {p,q} maka P 2 = {(p,p),(p,q),(q,p),(q,q)}



Perkalian himpunan dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih. Misalnya perkalian himpunan tiga himpunan A, B dan C didefinisikan sebagai berikut :



Himpunan pasangan berturutan dari AxB dapat digambarkan dalam diagram koordinat dengan sumbu koordinat horisontal menyatakan himpunan A dan sumbu koordinat vertikal menyatakan himpunan B. Setiap pasangan berturutan digambarkan sebagai titik dalam bidang koordinat yang merupakan pertemuan garis yang melalui komponen masing-masing.



Pasangan berturutan tiga (a,b,c) disebut tripel. Secara umum perkalian n himpunan didefinisikan sebagai berikut :



2



A  B  C  {( a, b, c) / a  A, b  B, c  C}



A1  A2  ....  An  {( a1 , a2 ,..., an ) / a1  A1 , a2  A2 ,..., an  An } Pasangan berturutan (a1 , a2 ,....., an ) disebut pasangan berturutan n-tupel. Contoh 2.2. : 1. Misalkan A = {a,b}, B = (1,2,3}, dan C = {p,q}. Maka AxBxC = {(a,1,p),(a,1,q),(a,2,p),(a,2,q),(a,3,p),(a,3,q), (b,1,p),(b,1,q),(b,2,p),(b,2,q),(b,3,p),(b,3,q)} 2. Dalam geometri Euklides untuk menggambarkan ruang berdimensi 3 digunakan tiga sumbu koordinat yaitu sumbu X, Y, dan Z yang masing-masing merupakan garis bilangan riil. Suatu titik dinyatakan sebagai tripel dari komponen-x, komponen-y, dan komponen-z yaitu (x,y,z), seperti gambar berikut :



(c,2)



1



a b c Gambar 2.1 : Diagram koordinat AxB Jika R merupakan himpunan bilangan riil , maka R 2  {( x, y) / x, y  R} R 2 digambarkan dalam bidang koordinat bilangan riil yang disebut ”Bidang Koordinat Cartesius”. Garis bilangan riil R yang horizontal biasanya dinyatakan sebagai sumbu X sedangkan garis bilangan riil yang vertikal dinyatakan sebagai sumbu Y. Sehingga bidang R 2 juga 8



Selanjutnya jika P(a,b) bernilai benar dikatakan a dihubungkan dengan b karena relasi R  R atau “a berelasi dengan b” dapat ditulis dengan aRb atau a  b atau (a,b)R, sedangkan pernyataan “a tidak berelasi dengan b” ditulis aR  b atau (a,b)R, yaitu jika P(a,b) merupakan pernyataan yang bernilai salah. Relasi juga bisa dipandang sebagai himpunan bagian dari perkalian himpunan. Jika relasi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R , berarti RAxB. Jika A sebarang himpunan, maka Relasi R dari A ke A dinamakan relasi pada A.



Z



P(x,y,z) 0



Macam-macam relasi pada A Diketahui R relasi pada A, yaitu R : AA, maka :



Y X



Relasi Refleksif Relasi R pada A disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis : Rrefleksif (aA) . aRa Relasi Non-refleksif Relasi R pada A disebut non-refleksif jika dan hanya jika tidak setiap anggota A berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis : Rnon-refleksif  a  A.aRa = (a  A).aR a Relasi Ir-refleksif Relasi R pada A disebut ir-refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota A tidak berelasi dengan diri sendiri. Atau lebih singkat ditulis : Rir-refleksif  (a  A).aR a Relasi A simetris Relasi R pada A disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap dua anggota A saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Rsimetris (a,bA) . aRbbRa Relasi Non-simetris Relasi R pada A disebut non-simetris jika dan hanya jika tidak setiap dua anggota A saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Rnon-simetris  (a, b  A).aRb  bRa = (a, b  A).aRb  bR a Relasi a-simetris



Gambar 2.3 : Koordinat XYZ atau R 3 Teorema 2.1. : Misalkan A,B dan C sebarang himpunan , maka 1. A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) 2. A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) 3. Jika A  B dan C  D maka A  C  B  D 2.2. Relasi Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka secara intuitif relasi dari A ke B didefinisikan sebagai hubungan antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota himpunan B atau pernyataan yang menghubungkan antara anggota A dengan anggota B. Secara simbolik jika x, y secara berturutan mewakili sebagai variabel anggota A dan B maka pernyataan hubungan x dan y dituliskan sebagai P(x,y). Jika a  A, dan b  B maka P(a,b) menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar atau salah. Misalkan jika A himpunan pembaca buku dan B himpunan buku maka P(x,y) menyatakan “x membaca y”. Dari pengertian di atas secara ringkas suatu relasi R terdiri dari : 1. sebuah himpunan A 2. sebuah himpunan B 3. suatu kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) adalah benar atau salah untuk sebarang pasangan berturut (a,b)AxB Maka dapat disebutkan suatu relasi R dari A ke B dengan R = (A,B,P(x,y))



9



Relasi R pada A disebut a-simetris jika dan hanya jika setiap dua anggota A tidak saling berelasi. Atau lebih singkat ditulis : Ra-simetris  (a, b  A).aRb  bR a Relasi Anti Simetris Relasi R pada A disebut anti-simetris jika dan hanya jika dua anggota A saling berelasi jika keduanya sama. Atau lebih singkat ditulis : Ranti-simetris  (a, b  A).aRb  bRa  a  b Relasi Transitif Relasi R pada A disebut transitif jika dan hanya jika Rtransitif  (a, b, c  A).aRb  bRc  aRc Relasi non-transitif Relasi R pada A disebut non-transitif jika dan hanya jika Rnon-transitif  (a, b, c  A).aRb  bRc  aRc = (a, b, c  A).aRb  bRc  aR c Relasi in-transitif Relasi R pada A disebut in-transitif jika dan hanya jika Rin-transitif  (a, b, c  A).aRb  bRc  aR c Relasi Ekivalen Relasi R pada A disebut ekuivalen jika dan hanya jika R refleksif, simetris dan transitif.



Himpunan A disebut domain atau daerah asal sedangkan himpunan B disebut codomain atau daerah peta. Jika aA dan bB, dan b merupakan pasangan a karena fungsi f maka b disebut nilai f  fungsi dari a atau b bayangan a dan ditulis b = f(a) atau a  b. Sedangkan himpunan nilai fungsi f dari setiap anggota A disebut Range f atau daerah hasil f ditulis dengan Rf atau f(A) yaitu :



Contoh 2.3. : 1. Relasi “sebangun” , “ sejajar” dalam gemetri Euklides adalah relasi ekivalen, tetapi “tegak lurus” bukan relasi ekivalen karena tidak berisfat refelksif , misalkan garis g tidak tegak lurus garis g. 2. Relasi “=” atau “sama dengan” merupakan relasi ekivalen karena untuk sebarang unsur dalam himpunan memenuhi (1) a = a (refleksif) (2) a = b maka b = a (simetris) (3) a = b dan b = c maka b = c (transitif)



Pada gambar, f merukan suatu fungsi dari A ke B dan Rf = {p,q,r,s} 2. f : R R yang dirumuskan oleh f ( x)  x 2 merupakan fungsi pada bilangan riil, maka domain dari f adalah himpunan bilangan riil R itu sendiri, sedangkan Range f adalah himpunan bilangan riil non negatip atau {x  R / x  0} Dua fungsi f : AB dan g : AB adalah sama, ditulis f = g, jika dan hanya jika f(a) = f(b) untuk setiap a,bA



Jika f : A→B maka Rf = {bB/f(a) = b, aA} Contoh 2.4. : 1. Misalkan A = {a,b,c,d,e} dan B = {p,q,r,s,t}. Fungsi f : AB ditentukan oleh diagram berikut : A B f a p b q c r d s e t Gambar 2.4. : Fungsi f : A  B



Macam-macam Fungsi Fungsi Konstan f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika setiap anggota domain dipetakan ke tepat satu anggota codomain, yaitu (aA)f(a) = c, dimana c  B



2.3. Fungsi Fungsi merupakan relasi yang memetakan setiap anggota suatu himpunan ke satu dan hanya satu anggota himpunan lainnya. Jadi fungsi merupakan relasi khusus sehingga fungsi merupakan himpunan bagian dari relasi. f  Fungsi dari himpunan A ke himpunan B ditulis dengan f : AB atau A  B



Fungsi Into dan fungsi Onto



10



Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi into jika dan hanya jika ada anggota B yang tidak dipasangkan oleh fungsi f atau bukan nilai fungsi anggota A, tetapi jika semua anggota B dihabiskan oleh fungsi f atau f(A) = B maka f disebut fungsi onto atau surjektif. Secara simbolik ditulis :



Invers fungsi f belum tentu merupakan fungsi dari B ke A. Tetapi jika f merupakan fungsi bijeksi maka f 1 merupakan fungsi dari B ke A yang disebut fungsi invers, dan berlaku



f 1  f  I A dan f  f 1  I B Dan jika f fungsi pada A maka f 1  f  f  f 1  I



f : A  B surjektif jika dan hanya jika (b  B)(a  A). f (a)  b



Fungsi satu-satu atau injektif dan korespondensi 1-1 atau bijektif. Suatu fungsi f : A  B disebut 1-1 atau injektif jika dan hanya jika setiap anggota A yang berbeda dipetakankan dengan anggota B yang berbeda. Secara simbolik ditulis :



Untuk sebarang fungsi bijektif f, jika f mempunyai fungsi invers maka inversnya adalah tunggal .



f : A  B injektif jika dan hanya jika



Ekivalensi Dua Himpunan Definisi 2.2. : Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen yang ditulis A B jika dan hanya jika ada fungsi bijektif f : A B Dalam himpunan berhingga (finite) pengertian tersebut mempunyai konsekuensi bahwa A B jika dan hanya jika n(A) = n(B). Tetapi hal ini tidak berlaku jika A dan B himpunan tak berhingga (infinite). Contoh 2.5. : 1. A = {a,b,c} dan B = {1,2,3}, keduanya ekuivalen atau A B karena ada frungsi bijeksi dari A ke B misalnya fungsi {(a,3),(b,1),(c,2)}. Mungkin masih ada bentuk-bentuk lain fungsi bijeksi dari A ke B. 2. A = {1,2,3,.........} dan G = {1,3,5,.......}, maka ada fungsi bijeksi dari A ke G yang dirumuskan dengan f : n 2n - 1 3. I = {x/ -1 x≤1}=[-1,1] dan R = {x/x }. x Jika diketahui f : x  maka bisa dibuktikan bahwa I R 1 x



(a1 , a2  A  a1  a2 )(b1 , b2  B). f (a1 )  b1  f (a2 )  b2  b1  b2 Jika f fungsi injektif dan surjektif maka f disebut fungsi bijektif atau korespondensi 11. Komposisi Fungsi Jika diketahui fungsi f : AB dan fungsi g : BC maka komposisi fungsi f dengan g atau disebut perkalian fungsi f dengan g ditulis g◦f adalah fungsi yang memetakan anggota-anggota himpunan A ke himpunan C , yang didefiniskan oleh g◦f (a) = g(f(a)), aA Fungsi Identitas dan fungsi invers Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan sebarang anggota suatu himpunan ke dirinya sendiri. Jika A tidak kosong, maka fungsi identitas pada A ditulis IA : AA, didefiniskan oleh rumus fungsi IA(a) = a, aA. Dengan menggunakan definisi komposisi fungsi, jika diketahui fungsi f:AB, maka I B  f  f  I A  f dan jika f fungsi pada A dan I fungsi identitasnya maka ditulis I f  f I  f



Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga Pengertian himpunan berhingga atau finite dan tak hingga atau infinite pada uraian sebelumnya ada keterbatasannya. Untuk itu kita perlu mendefinisikan secara luas dengan menggunakan ekuivalensi himpunan. Jika An = {1,2,3,..........n} dengan n bilangan asli, didefinisikan himpunan berhingga sebagai berikut :



Jika f : AB, maka invers fungsi f ditulis f 1 merupakan relasi dari B ke A yang memetakan balik setiap anggota range f ke anggota asal dalam A. f 1 : B  A dengan definisi f 1 ( R f )  f 1 ( f ( A))  A , dimana f 1 (b)  a, b  R f



Definisi 2.3. : Himpunan H disebut himpunan berhingga atau finite jika dan hanya jika H =  atau ada himpunan An sedemikian hingga An dimana An  {1,2,3,...., n} 11



6. Dalam himpunan bilangan riil R, diketahui x~y berarti bahwa x – y merupakan bilangan bulat. Tunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekivalen dan nyatakan himpunan ekivalennya.



untuk suatu n bailangan asli. Berdasarkan definisi tersebut di atas bisa dikatakan suatu himpunan finite jika banyaknya anggota himpunan tersebut merupakan bilangan cacah tertentu. Contoh 2.6. : Himpunan Berhingga 1. B = {p,q,r,s,t} adalah contoh himpunan finite karena n(A) = 4 atau B 2. C = {a/a prima dan 2 a < 30}



BAB III KARDINALITAS



A4



3.1. Kardinalitas Untuk himpunan berhingga cardinalitas atau bilangan cardinal suatu himpunan diartikan sebagai banyaknya anggota suatu himpunan. Sebelumnya juga telah diuraikan, jika diketahui suatu himpunan A maka banyaknya anggota A ditulis dengan n(A) dan jika A finit atau berhingga maka n(A) merupakan bilangan cacah tertentu. Dengan demikian lambang n(A) tersebut juga digunakan untuk menyatakan kardinalitas himpunan A. Selain itu kardinalitas A juga bisa ditulis dengan notasi lain



Himpunan Tak Berhingga 1. G = {1,3,5,7,…….} 2. P = {x/x bilangan Prima} 3. R = Himpunan bilangan riil 4. I = {x/ -1 x ≤1}=[-1,1] SOAL : 1. Tunjukkan bahwa {a}  {a}  {{{ a}}} 2. Tunjukkan bahwa jika f : X  Y sebarang fungsi, maka a. f ( A  B)  f ( A)  f ( B) b. f 1 ( f ( A))  A c. f ( f 1 ( B))  B d. f 1 (C  D)  f 1 (C )  f 1 ( D) untuk setiap himpunan bagian C, D dari Y 3. Tunjukkan bahwa untuk suatu fungsi f : X  Y dan B = {Bi } adalah kelas himpunan bagian dari Y, bahwa a. f 1 (BB B)  BB ( B)



seperti #(A) atau A atau A . Berdasarkan pengertian tersebut dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen, yaitu A jika dan hanya jika banyaknya himpunan atau kardinalitas A sama dengan kardinalitas B, ditulis n(A) = n(B) Untuk himpunan infinit atau takhingga, jika pengertian kardinalitas adalah banyaknya anggota suatu himpunan, pengertian demikian menjadi kabur karena kita tidak bisa mencacah atau menentukan bilangan cacah tertentu yang merupakan banyak anggota himpunan infinit tersebut. Untuk itu diperlukan definisi lain sebagai definisi kerja . Definisi 3.1. : Dua himpunan yang kardinalitasnya sama disebut juga sebagai dua himpunan yang ekuipotent. Sehingga secara simbolik dapat ditulis #(A) = #(B)  A Berdasarkan pengertian ekuivalensi himpunan, berarti harus ada fungsi bijeksi dari A ke B, dengan demikian #(A) = #(B)  ada fungsi bijeksi dari A ke B.



b. f 1 (BB B)  BB ( f 1 ( B) 4. Jika X himpunan yang tidak kosong dan f fungsi bijeksi dari X ke dirinya sendiri, tunjukkan bahwa g◦f juga fungsi bijeksi ke dirinya sendiri dan ( g  f ) 1  f 1  g 1 5. Diketahui B himpunan semua bilangan bulat, dan m merupakan bilangan bulat positip. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo m dengan simbol a  b(mod m) jika a – b habis dibagi oleh m, yaitu jika a – b merupakan kelipatan bulat dari m. Tunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekivalen. Nyatakan himpunan ekivalennya dan berapa banyaknya himpunan ekivalen yang berbeda.



Proposisi 3.1 . : Relasi di dalam kelas himpunan yang didefinisikan oleh AB merupakan relasi ekuivalen. Kebenaran pernyataan tersebut dapat ditunjukkan dengan keberlakuan sifat refleksif, simetris, dan transitif pada ekivalensi himpunan. Contoh 3.1. : 1. Jika N = {1,2,3,.....} merupakan himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,......} maka kedua himpunan tersebut mempunyai kardinalitas sama yaitu #(N) = #(B) 12



karena ada fungsi bijeksi dari N ke B dengan rumus funsi f(n) = 2n, untuk setiap nN. 2. Jika R himpunan bilangan riil yaitu R = {x/x } dan interval J = {x/ 1 x 0, maka didefinisikan tentang neighborhood atau tetangga sebagai berikut :



d ( A)  Sup.{d ( f1 , f 2 ) / f1 , f 2  A}



d ( f1 , f 2 )  Sup.{ f1 ( x)  f 2 ( x) / x  0,1  Sup.{k / 0  k  4}  4 Jadi d ( A)  Sup.{4}  4



Definisi 5.6. : Neighborhood atau tetangga titik p dengan jarak r ditulis dengan N r ( p ) atau N ( p , r ) adalah :



Bagaimana dengan d ( g , A) ? d ( g , A)  inf .{d ( g , f ) / f  A}



N r ( p )  N ( p ,r )  {x / d ( p , x )  r}



d ( g , f )  Sup.{ g ( x)  f ( x) x  0,1}



 Sup.{ 7  2 x  k / x  0,1} g 7 6



Neighborhood disebut juga sebagai open sphere, open disk, spherical neighborhood, open ball atau juga disebut sebagai lingkungan, lingkungan bola buka, cakram buka, sekitar, persekitaran.



20



5.5. Titik Limit Titik p adalah titik limit (limit point) atau titik kumpul (accumulation point) dari himpunan E jika dan hanya jika (N r ( p ) ) memuat titik q  p dan q  E. Atau didefinisikan secara simbolik sebagai berikut :



Andaikan ada N r ( p ) yang memuat berhingga titik E, misal q1 , q 2 , q3, ..........., q n dengan



q1  p . Ambil r1  min .{d ( p ,q ) / i  {1,2,3,......, n}} disini tentu r1  0 i



N r1 ( p ) tentu tidak memuat titik E



Jadi p bukan titik limit E. Berarti terjadi kontradiksi. Akibatnya setiap himpunan berhingga tentu tidak punya titik limit.



Definisi 5.7. : Titik p adalah titik limit atau titik kumpul dari himpunan E jika dan hanya jika (N r ( p ) ) . N r ( p )  E  { p}  



Teorema 5.5. : (i E ) c  i E



Himpunan titik limit dari himpunan E disebut himpunan derived E ditulis dengan E’.



c



Bukti : a. (i E ) c  i E



5.6. Titik Interior Titik interior dari suatu himpunan didefinisikan sebagai berikut : Definisi 5.8. : p adalah titik interior himpunan E jika dan hanya jika (N r ( p ) ) . N r ( p )  E



c



Misalkan x  (i E ) c berarti x  Ei .i  I Jadi x  Ei , ini berarti x  i E c



b. Jika p  E dan p bukan titik limit dari E maka dikatakan p isolated atau terasing dari E. E disebut himpunan buka jika dan hanya jika (x  E ) , x merupakan titik interior dari E, dan E disebut himpunan tutup jika dan hanya jika setiap titik limit E dalam E atau jika dan hanya jika E’ E, diman E’ himpunan titik limit E.



E i



c i



c



 (i Ei ) c



Misalkan x  i E c berarti x  Ei .i  I i c



Jadi x  Ei , ini berarti x  i E atau x  (i E i ) c i Teorema 5.6. : E buka jika dan hanya jika Ec buka. Bukti : a. Jika E buka maka Ec tutup Misalkan x titik limit Ec maka setiap N r ( x ) memuat elemen Ec,



Teorema 5.3. : Setiap neighborhood adalah himpunan buka. Bukti : Misal N r ( p )  A dan q sebarang titik di A Tentu ada h riil sehingga d ( p ,q )  r  h



Akan dibuktikan x  Ec, maka N r ( x ) .  E c  {x}   x bukan titik interior E karena E buka, maka semua elemen E titik interior.Jadi x  E maka x  Ec. Hal ini berarti Ec tutup. b. Ec tutup maka E buka. Ambil x  E akan dibuktikan x titik interior E x  E maka x  Ec, berarti ada N r ( x ) sedemikian hingga N r ( x ) .  E c  {x}   ,



Untuk semua S dengan d ( q , S )  h , maka : d ( p , S )  d ( p ,q )  d ( q , S )  r  h  h  r , sehingga S  A berarti q titik interior A. Oleh



karena itu A buka, sebab ada N h ( q )  {S / d ( p , S )  h}



berarti N r ( x ) saling asing dengan E c . Akibatnya N r ( x )  E . Jadi x titik interior E, sehingga E merupakan himpunan buka.



Teorema 5.4. : Jika p merupakan titik limit E maka (N r ( p ) ) memuat tak terhingga banyaknya titik-titik E.



Contoh 5.5. : 1. Dalam ( R1 , d ) dengan d ( a,b)  a  b



Bukti : 21



1 Jika A  { / n  1,2,3,..........}  {1. 12 , 13 ,..........} , maka n 0 adalah titik limit dari A A’ ={0} sehingga A  A’ =  Tidak ada titik interior Semua titik isolated atau terasing. A tidak tutup, juga A tidak buka d ( A)  1   bounded



4. Dalam ( R 2 , d ) dengan d ( a,b)  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2 Jika E  {( x, y) / x 2  y 2  9} Titik limit E adalah titik-titik yang terletak pada lingkaran x 2  y 2  9 dan titik interior E adalah semua titik di dalam lingkaran itu, dan E merupakan himpunan buka.



Atau (M  4.  .q  0) sedemikian hingga d ( a ,q )  4 Tetapi jika A  {0,1, 12 , 13 ,..........} A’ = {0} dan A’  A. (a  A)



q | 0



| a



| 1



| 2



5. Jika {( x, y) / 4  x 2  y 2  9} Titik limit E E tidak buka E tidak tutup



| 3



4



d ( a ,q )  4



2. Jika B = {x/1 1



seperti ditunjukkan dalam diagram berikut :



40



41