Rangkuman Aljabar Linier [PDF]

Citation preview

5.4 BASIS DAN DIMENSI SISTEM KOORDINAT TAKSEGIEMPAT DEFINISI Jika V adalah setiap ruang vektor dan S = { v1, v2, …, vn} adalah satu set vektor dalam V, maka S disebut basis untuk V jika dua berikut kondisi terus: (a) S bebas linear. (b) (b) S merentang V. Dasar A adalah vektor ruang generalisasi dari sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3-ruang. teorema berikut ini akan membantu kita untuk melihat mengapa demikian.



TEOREMA 5.4.1 Keunikan Representasi Dasar Jika S = { v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor v di V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + … + cnvn persis satu cara.



TEOREMA 5.4.2 Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi terbatas, dan biarkan { v1,v2,…vn} menjadi basis apapun. (a) Jika himpunan memiliki lebih dari n vektor, maka itu adalah tidak bebas linear. (b) Jika suatu himpunan memiliki kurang dari n vektor, maka tidak merentang V.



TEOREMA 5.4.3 Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama.



TEOREMA 5.4.4 TEOREMA Plus / Minus Misalkan S adalah himpunan tidak kosong dari vektor-vektor pada ruang vektor V. (a) Jika S adalah himpunan bebas linear, dan jika v adalah vektor di V yang berada di luar rentang (S), maka himpunan memasukkan v ke S masih bebas linear.



dihasilkan



dengan v



(b) Jika v adalah vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor lainnya di S, dan jika dengan menghapus v dari S, maka S dan



menunjukkan set diperoleh span ruang yang sama, yaitu,



TEOREMA 5.4.5 Jika V adalah ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah satu set di V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu S merentang V atau S bebas linear.



TEOREMA 5.4.6 Misalkan S adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor pada ruang vektor berdimensi berhingga V. (a) Jika S merentang V tetapi bukan merupakan suatu basis untuk V, maka S dapat dikurangi menjadi basis untuk V dengan menghapus vektor yang sesuai dari S. (b) Jika S adalah himpunan bebas linear yang belum menjadi basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyisipkan vektor yang sesuai ke S.



TEOREMA 5.4.7 Jika W adalah subruang dari vektor berdimensi terhingga ruang V, maka , Apalagi, jika



, Kemudian



.



5.5 RUANG BARIS, RUANG KOLOM DAN RUANG KOSONG DEFINISI Untuk suatu matriks m x n



 a11 a  21 . A   .   . a m1



a12 a 22 . . . am 2



Vektor-vektor



... a1n  ... a 2 n  . .  . .   . .  ... a mn 



r1



 [a11



a12



... a13 ]



r2 . .



 [a 21



a 22 . .



... a 23 ]



. rm



 [a m1



. am 2



... a mn ]



Dalam R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut vektor-vektor baris A, dan vektorvektor



 a1n   a11   a12  a  a  a   2n   21   22  .  .  .   c1    , c 2    , ..., c n    . . .        .   .   .  a mn  a m1  a m 2  Dalam R m yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut vektor-vektor kolom dari A



Definisi Jika A adalah matriks m x n, maka subruang dari R n direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A , dan subruang dari R m direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A . Ruang solusi dari sistem homogeny dari persamaan Ax = 0, yang merupakan ruang bagian dari R n , Disebut dengan ruang kosong dari A .



TEOREMA 5.5.1 Sebuah sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom dari A.



TEOREMA 5.5.2 Jika x 0 menunjukkan solusi tunggal dari sistem linear konsisten Ax = b , Dan jika



v1 , v 2 ,..., v k membentuk dasar untuk ruang nuspacel dari A-yaitu, ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0 -Maka setiap solusi dari Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk



x  x0  c1v1  c2v2  ...  ck vk



(3)



dan, sebaliknya, untuk semua pilihan scalar c1 , c 2 ,..., c k vektor x dalam formula ini adalah solusi dari Ax = b



BASIS UNTUK RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG KOSONG Kami pertama kali dikembangkan dasar operasi baris untuk tujuan memecahkan sistem linear, dan kita tahu dari pekerjaan yang yang melakukan operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar tidak mengubah himpunan solusi dari linear sesuai sistem. Oleh karena itu menerapkan operasi baris elementer untuk matriks A tidak mengubah himpunan solusi dari yang sesuai sistem linear Ax = 0 , Atau, menyatakan cara lain, itu tidak mengubah ruang nul dari A . Dengan demikian kita memiliki Teorema berikut.



TEOREMA 5.5.3 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nuldari matriks.



TEOREMA 5.5.4 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dari matriks



TEOREMA 5.5.5 Jika A dan B adalah matriks-matriks ekuivalen baris, maka a. Sebuah himpunan vektor-vektor kolom dari A bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang sesuai B bebas linear.



b. Sebuah himpunan vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang sesuai B membentuk basis untuk ruang kolom B.



TEOREMA 5.5.6 Jika matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 terkemuka 's (vektor-vektor baris nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan 1 terkemuka murah dari baris vektor membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.



5.6 PERINGKAT DAN KEKOSONGAN EMPAT RUANG MATRIKS DASAR Jika kita mempertimbangkan matriks A dan transposnya AT bersama-sama, maka ada enam ruang vektor yang menarik: ruang baris dari A



ruang baris dari AT



ruang kolom dari A



ruang kolom dari AT



nul dari A



nul dari AT



Namun, transposing matriks mengkonversi vektor baris ke vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris, sehingga kecuali untuk perbedaan notasi, ruang baris dari



AT adalah sama dengan ruang kolom dari A , dan ruang kolom dari AT adalah sama dengan ruang baris dari A . Hal ini membuat empat ruang vektor yang menarik:



ruang baris dari A



ruang kolom dari A



nul dari A



nul dari AT



Ini dikenal sebagai ruang matriks dasar yang terkait dengan A . Jika A adalah matriks m x n, maka ruang baris dari A dan nul dari A adalah subruang dari R n , Dan ruang kolom dari A dan ruang nul dari AT adalah subruang dari R n . Tujuan utama kami dalam bagian ini adalah untuk membangun hubungan antara dimensi empat ruang vektor tersebut.



RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM MEMPUNYAI DIMENSI YANG SAMA TEOREMA 5.6.1 Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.



TEOREMA 5.6.2. Jika A adalah sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT).



TEOREMA 5.6.3 (Teorema Dimensi untuk Matriks). Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank(A) + kekosongan(A) = n



(4)



TEOREMA 5.6.4. Jika A adalah suatu matriks m n , maka: (a) rank(A)= jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0. (b) kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian dari Ax = 0.



TEOREMA 5.6.5 (Teorema Konsistensi). Jika Ax = b adalah suatu sistem linier dengan m persamaan san n peubah, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. (a) Ax = b Konsisten (b) b berada dalam ruang kolom dari A (c) Matriks koefisien A dan matriks yang diperbanyak [A | b] mempunyai peringkat yang sama



TEOREMA 5.6.6. Jika Ax = b adalah suatu sistem linier dengan m persamaan dalam n peubah, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. (a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x l (b) Vektor-vektor kolom A merentang R m . (c) Rank(A) = m



TEOREMA 5.6.7 Jika Ax = b adalah suatu sisten linier yang konsisten dengan m persamaan dalam n peubah, dan jika A mempunyai peringkat r, maka penyelesaian umum dari sistem tersebut mengandung n-r paremeter.



TEOREMA 5.6.8 Jika A adalah suatu materiks m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen. (a) Ax = 0 hanya mempunyain penyelesaian trivial (b) Vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier (c) Ax = b paling banyak mempunyai suatu penyelesaian (tidak ada atau satu) untuk setiap matriks b, m x l



TEOREMA 5.6.9 Jika A adalah suatu matriks n x n, dan jika TA : R n  R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. (a) A dapat dibalik (b) Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial (c) Bentuk baris-eselon tereduksi dari A adalah In (d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar (e) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1 (f) Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks b, n x 1 (g) det A ≠ 0 (h) Daerah hasil T A adalah R n (i) T A adakah satu-satu (j) Vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier (k) Vektor-vektor baris dari A bebas secara linier (l) Vektor-vektor kolom dari A merentang R n (m) Vektor-vektor baris dari A merentang R n (n) Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk R n (o) Bektor-vektor baris dari A membeentuk suatu basis untuk R n (p) A berperingkat n (q) A mempunyai kekosongan 0