Rangkuman Geometri Analitik SMP SMA [PDF]

Citation preview

SISTEM KOORDINAT A. Pengertian Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu sistem untuk menentukan posisi suatu titik atau unsur geometri ke dalam bidang menggunakan dua bilangan yaitu koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.



B. Posisi Titik Koordinat x



: Jarak suatu titik ke sumbu y



Koordinat y



: Jarak suatu titik ke sumbu x



Sumbu x



Sumbu y



Kuadran I



positif



positif



Kuadran II



negatif



positif



Kuadran III



negatif



negatif



Kuadran IV



positif



negatif



Contoh :



Titik E berada pada koordinat E(2,2) Titik F berada pada koordinat F(-2,1) Titik G berada pada koordinat G(-3,-3)



TEOREMA PYTHAGORAS Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi tegaknya.



𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2



VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor merupakan besaran panjang yang memiliki nilai dan arah. Vektor memiliki dua macam penulisan nama yaitu: (a) menggunakan dua huruf kapital, contohnya seperti AB, dan (b) satau huruf kecil seperti ᾱ.



B. Vektor di R2



Panjang vektor v dinotasikan sebagai |v| sehingga |v| = √(𝑣12 ) + (𝑣22 )



𝑣1



cosθ = |𝑣| maka v1 = |v| cosθ 𝑣2



sinθ = |𝑣| maka v2 = |v| sin θ 𝑣2



𝑣2



tanθ = 𝑣1 maka θ = tan-1(𝑣1)



C. Vektor di R3 Koordinat pada vektor di R3 merupakan (x,y,z). Jarak antar dua titik vektor dalam R3 dapat ditentukan menggunakan rumus phytagoras.



Contoh A(x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) Maka untuk mengtahui panjang AB : AB = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2



D. Perbandingan Vektor pada Ruas Garis Suatu titik P membagi garis AB pada titik koordinat tertentu dengan perbandingan m:n



AP:PB = m:n Untuk menentukan titik koordinat P tersebut dapat dilihat dalam P(xp,yp) sebagai berikut



xp =



𝑚.𝑥𝑏+𝑛.𝑥𝑎 𝑚+𝑛



, yp =



𝑚.𝑦𝑏+𝑛.𝑦𝑎 𝑚+𝑛



PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus merupakan suatu persamaan bilangan matematika pada bidang koordinat kartesius yang memiliki dua variabel



ax+by = c



x dan y



= variabel/peubah



a dan b



= koefisien



c



= konstanta



B. Gradien Gradien merupakan nilai yang menyatakan sebuah kemiringan pada garis lurus ∆y



yang biasanya dinotasikan sebagai ∆x. Garis condong ke kanan bernilai positif 6



∆y



m = ∆x = 6 = 1 Garis condong ke kiri bernilai negatif ∆y



m = − ∆x



Sedangkan garis yang sejajar dengan sumbu x bergradien 0



C. Membentuk Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus dapat ditentukan dengan 1. Mengetahui gradien suatu garis lurus (m) dan salah satu titik yang dilewati A(x1,y1) 𝑚(𝑥 − 𝑥1) = 𝑦 − 𝑦1 2. Dua titik yang dilewati A(x1,y1), B(x2,y2) dan gadrien tidak diketahui 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1



LINGKARAN A. Pengertian Lingkaran Lingkaran merupakan letak titik-titik memiliki jarak yang sama terhadap titik tertentu(titik pusat). Jarak yang sama dari titik pusat tersebut dinamakan dengan jarijari lingkaran. 1. Persamaan lingkaran pusat di O(0,0) dan memiliki r (jari-jari)



x2+y2=r2



2. Persamaan lingkaran pusat di P(a,b) dan memiliki r (jari-jari)



(x-a)2+(y-b)2=r2



3. Bentuk umum persamaan lingkaran x2+y2+Ax+By+C=r2 1



1



Lingkaran dengan persamaan tersebut memiliki titik pusat di (− 2 𝐴, − 2 𝐵) dan 1



2



1



2



berjari-jari r=√(− 2 𝐴) + (− 2 𝐵) − 𝐶



B. Kedudukan Titik, garis, dan Lingkaran 1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran a) Titik (x1, y1) di dalam lingkaran 



x12+ y12 < r







(x1-a)2+(y1-b)2 < r2







x12+ y12+Ax12+By12+C < 0



b) Titik (x1, y1) pada lingkaran 



x12+ y12 = r







(x1-a)2+(y1-b)2 = r2







x12+ y12+Ax12+By12+C = 0



c) Titik (x1, y1) diluar lingkaran 



x12+ y12 > r







(x1-a)2+(y1-b)2 > r2







x12+ y12+Ax12+By12+C > 0



2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran a) Subtitusi persamaan garis l terhadap persamaan lingkaran ax2+bx+c=0, lalu menghitung nilai diskriminan (D=b2-4ac) 



D0, garis l memotong lingkaran L di dua titik



b) Membandingkan jarak antara titik pusat lingkaran L terhadap garis l dengan jari-jari lingkaran 𝑎𝑝+𝑏𝑞+𝑟



d=|



√𝑝2 +𝑞2



|







dr, garis l tidak memotong lingkaran L



3. Kedudukan Dua Lingkaran



d=0



d < R-r



d = r+R



d = R-r



R < d < R+r



d > r+R



C. Garis Singgung Lingkaran 1. Diketahui Gradien Berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r 𝑦 = 𝑚𝑥±𝑟√1 + 𝑚2 Berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± r√1 + 𝑚2 2. Di suatu titik pada lingkaran 



Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 di titik T 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟 2







Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 di titik T



(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2







Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 di titik T 𝐴 𝐵 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + (𝑥 + 𝑥1 ) + (𝑦 + 𝑦1 ) + 𝐶 = 0 2 2



BANGUN RUANG SISI LENGKUNG (BOLA) A. Pengertian Bola Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang terbentuk dari lingkaran berjumlah tak hingga yang memiliki jari-jari yang sama panjang dan memiliki satu titik pusat yang sama.



B. Luas Permukaan Bola Luas permukaan bola = 4 kali luas lingkaran dengan jari-jari sama



L = 4πr2



C. Volume Bola 4 Volume bola = hasil kali 3π dengan pangkat tiga jari-jari bola tersebut



4



V = 3π𝑟 3



(TABUNG) A. Pengertian Tabung Tabung merupakan bangun ruang tiga dimensi yang terbentuk oleh dua buah lingkaran yang sejajar dan terdapat persegi yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. B. Luas Tabung L = Luas jaring-jaring tabung = 2 × Luas Lingkaran + Luas ABCD = 2πr2 + AB×BC = 2πr2 + 2πr × t = 2πr(r + t) C. Volume Tabung V = La × t = πr2 × t



(KERUCUT) A. Pengertian Kerucut Kerucut merupakan salah satu bangun ruang sisi lengkung dari turunan tabung dengan cara mengubah tutup tabung menjadi sebuah titik. Titik tersebut adalah titik puncak.



B. Luas Permukaan Kerucut L = Luas Lingkaran + Luas Juring ABC = π𝑟 2 + πrs = πr(r + s) = πr(r +√𝑟 2 + 𝑡 2 ) dengan s = √𝑟 2 + 𝑡 2 C. Volume Kerucut 1 V = 3 𝐿𝑎 . 𝑡 1



= = 3 𝜋𝑟 2 𝑡



IRISAN KERUCUT Seperti yang kita ketahui bahwa irisan kerucut terdiri dari tiga jenis yaitu Elips, Parabola, dan Hiperbola. A. Elips Elips merupakan kedudukan titik-titik yang jumlah jarak dari dua titik fokus adalah konstan. 



Persamaan elips pada pusat O(0,0)



(Vertikal) 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏2 (Horizontal) 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑏2 𝑎2







Persamaan elips pada pusat P(a,b)



(Vertikal) (𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 ) 2 + =1 𝑎2 𝑏2



(Horizontal) (𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 𝑏2 𝑎2



1. Kedudukan Titik di Dalam Elips Kriteria



Keterangan



Pusat O(0,0) 𝑥2 𝑦2 Titik terletak di dalam + 1 𝑎2 𝑏2



(𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 𝑎2 𝑏2



2. Kedudukan garis terhadap elips Kriteria Garis tidak memotong elips Garis memotong elips di satu titik (menyinggung) Garis memotong elips di dua titik



Syarat D0



3. Persamaan garis singgung elips Persamaan Elips 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏2 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑏2 𝑎2



Persamaan garis singgung dengan gradien m 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑏2 𝑚2 + 𝑎2



(𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 𝑎2 𝑏2 (𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 𝑏2 𝑎2



𝑦 − 𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝) ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2 𝑦 − 𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝) ± √𝑏2 𝑚2 + 𝑎2



4. Persamaan Garis Singgung Elips melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) Persamaan Elips Persamaan garis singgung melalui titik (x1,y1) 𝑥. 𝑥1 𝑦. 𝑦1 𝑥2 𝑦2 + 2 =1 + = 1 𝑎2 𝑏 𝑎2 𝑏2 2 2 𝑥. 𝑥 𝑦. 𝑦1 𝑥 𝑦 1 + =1 + = 1 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎2 (𝑥 − 𝑝)(𝑥1 − 𝑝) (𝑦 − 𝑞 )(𝑦1 − 𝑞) ( 𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 + =1 2 2 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 (𝑥 − 𝑝)(𝑥1 − 𝑝) (𝑦 − 𝑞 )(𝑦1 − 𝑞) ( 𝑥 − 𝑝 )2 (𝑦 − 𝑞 )2 + =1 + = 1 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 + 𝐸 = 0



𝐴𝑥1 𝑥 + 𝐵𝑦1 𝑦 + 1⁄2 𝐶(𝑥 + 𝑥1 ) + 1⁄2 𝐷(𝑦 + 𝑦1 ) + 𝐸 = 0



B. Parabola Bentuk umum persamaan parabola yaitu seperti berikut 1. Parabola Horizontal 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 = −4𝑝𝑥



Persamaan parabola horizontal dengan puncak P(a, b)  (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎)  (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑎)



2. Parabola Vertikal 𝑥 2 = 4𝑝𝑦



𝑥 2 = −4𝑝𝑦



Persamaan parabola vertical dengan puncak P(a, b)  (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)  (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏) 1) Kedudukan Titik Terhadap Parabola Keterangan Titik di dalam parabola Titik pada parabola Titik di luar parabola



Parabola Horizontal Puncak Puncak(a,b) O(0,0) (𝑦 − 𝑏)2 < 4𝑝(𝑥 − 𝑎) 𝑦 2 < 4𝑝𝑥 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 > 4𝑝𝑥



Parabola Vertikal Puncak O(0,0) 𝑥 2 < 4𝑝𝑦



𝑥 2 = 4𝑝𝑦



(𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)



(𝑦 − 𝑏)2 > 4𝑝(𝑥 − 𝑎)



𝑥 2 > 4𝑝𝑦



(𝑥 − 𝑎)2 > 4𝑝(𝑦 − 𝑏)



Syarat D0



3) Garis Singgung Parabola Gradien m



𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 𝑥 2 = −4𝑝𝑦 (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏)



(𝑥 − 𝑎)2 < 4𝑝(𝑦 − 𝑏)



(𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎)



2) Kedudukan Garis Terhadap Parabola Kriteria Garis tidak memotong parabola Garis menyinggung parabola Garis memotong parabola di dua titik



Persamaan Parabola



Puncak(a,b)



Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Gradien m 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚 2 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 2 𝑝 𝑝 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑚 𝑝 ( ) 𝑦−𝑏 = 𝑚 𝑥−𝑎 − 𝑚 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑚 2 𝑝 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑚 2 𝑝



Melalui Suatu Titik Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Suatu Titik 𝑦. 𝑦1 = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑦. 𝑦1 = −2𝑝(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑥. 𝑥1 = 2𝑝(𝑦 + 𝑦1 ) 𝑥. 𝑥1 = −2𝑝(𝑦 + 𝑦1 ) (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = −2𝑝(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) (𝑥 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑏) = 2𝑝(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑎) (𝑥 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑏) = −2𝑝(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑎)



Persamaan Parabola 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 𝑥 2 = −4𝑝𝑦 (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏)



C. Hiperbola 1. Bentuk umum persamaan hiperbola pada pusat O(0,0) 𝑥2 𝑎2



𝑦2



𝑥2



− 𝑏2 = 1



𝑏2



𝑦2



− 𝑎2 = 1



2. Bentuk umum persamaan hiperbola pada pusat P(p,q) (𝑥−𝑝) 2 𝑎2



−



(𝑦−𝑞)2 𝑏2



=1



(𝑥−𝑝) 2 𝑏2



−



(𝑦−𝑞)2 𝑎2



=1



3. Kedudukan titik terhadap hiperbola Keterangan



Hiperbola Horizontal Pusat O(0,0) Pusat P(p,q)



Titik di dalam hiperbola Titik pada hiperbola



𝑥2 𝑦2 − >1 𝑎 2 𝑏2



(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2 − >1 𝑎2 𝑏2



𝑥2 𝑦2 − =1 𝑎 2 𝑏2



(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2 − =1 𝑎2 𝑏2



Hiperbola Vertikal Pusat O(0,0) Pusat P(p,q) (𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2 𝑥2 𝑦2 − >1 − >1 𝑏2 𝑎 2 𝑏2 𝑎2 𝑥2 𝑦2 − =1 𝑏2 𝑎 2



(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2 − =1 𝑏2 𝑎2



Titik di luar hiperbola



𝑥2 𝑦2 −