Ringkasan Kalkulus Koko Martono (Recovered) [PDF]

Citation preview

NAMA BUKU : KOKO MARTONO BAB I SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI 1. sistem bilangan real Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu. Pada sistemnya diperlakukan tiga aksioma, yang dikenal sebagai aksioma lapangan, urutan, dan kelengkapan.   



Aksioma lapangan. Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat asosiatif, komutatif, dan distributuf. Aksioma urutan. Aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif. Berdasarkan ini setiap bilangan real dapat diurutkan dari kecil sampai besar. Aksioma kelengkapan. Aksioma ini mengatur tentang perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan real.



2. komponen bilangan real 



          



Bilangan asli. 1,2,3,..., digunakan untuk menghitung banyaknya objek suatu himpunan. Pada himpunan hingga, prosesnya dikaitkan dengan { 1,2,...,n } , pada himpunan tak hingga dikaitkan dengan N = { 1,2,3,... }. Bilangan prima. 2,3,5,7,11,... adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Bilangan komposit. 4,6,8,9,10,..., adalah bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor. Bilangan cacah. 0,1,2,3,..., adalah bilangan asli beserta unsur nol. Lawan bilangan asli ( bilangan bulat negatif ). -1,-2,-3,..., Bilangan bulat. -3,-2,-1,0,1,2,3,..., Bilangan genap. -6,-4,-2,0,2,4,6,..., adalah bilangan bulat kelipatan dua. Bilangan genap ditulis dengan lambang 2n , n bilangan bulat. Bilangan ganjil. ...,-5,-3,1,3,5,7..., adalah bilangan bulat bukan kelipatan dua. Bilangan ganjil ditulis dengan lambang 2n + 1 , n bilangan bulat. Bilangan pecahan adalah bilangan berbentuk x = m/n , m bilangan bulat dan n bilangan asli., dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan diantara 0 dan 1 disebut pecahan sejati. Bilangan rasional adalah bilangan berbentuk x=m/n , m bilangan bulat dan n bilangan asli. Disini x bilangan bulat bila m habis dibagi n. Dan x bilangan pecahan bila m tidak habis dibagi n. Bilangan irasional adalah bilangan yang hukan rasional. Bilangan ini bukan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, dan juga tidak mempunyai bentuk desimal berulang. Bilangan real adalah gabungan bilangan rasional dan irasional, yang merupakan susunan sekelompok angka dengan aturan tertentu.



3. pertaksamaan dan nilai mutlak



a. pertaksamaan himpunan semus bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan dinamakan himpunan jawab pertaksamaan. Prosedur baku menyelesaikan pertaksamaan adalah sebagai berikut. 



Dengan rumus aljabar elementer dan urutan, ubahlah bentuknya menjadi



  



dan Q suku banyak. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/ atau kuadrat definit positif. Tentukan tanda pertaksamaan pada garis bilangan. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang.



P( x ) < 0 , dengan P Q(x)



4. nilai mutlak Nilai mutlak dalam bilangan x, ditulis |x| , didefinisikan sebagai : |x| =



x ≥0 {−xx ,bila , bila x< 0



Sifat sifat nilai mutlak. Berbagai sifat nilai mutlak berikut dibuktikan dengan menggunakan definisi dan kaitan antara bentuk akar dan nilai mutlak. 1. untuk setiap bilangan real x berlaku a. |x| = ≥ 0 b. |x| = | -x | c. - |x| ≤ x ≤ |x| d. ¿ x∨¿2 ¿ = | x 2| = x 2 2. untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a. |x| = |y| ↔ x x=± y ↔ x 2 = y 2 b. | x-y | = | y-x | 3. jika a ≥ 0, maka :



a. |x| ≤a ↔ −a ≤ x ≤ a ↔ x 2 ≤ a 2 b. |x| ≥ a ↔ x ≥ a atau x ≤−a↔ x 2 ≥ a 2



4. ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a. |x + y|≤| x|+ ¿ y∨¿ b. |x− y|≤|x|+¿ y∨¿ c. |x|−| y|≤∨x− y ∨¿



d .||x|−| y||≤∨x− y ∨¿



5. untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a. |xy|=|x|∨ y ∨¿ b.



| xy|=¿ x∨ ¿ y∨¿ ¿, y ≠ 0. ¿ ¿



5. Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Proses penyelesaian pertaksamaan yang memuat nilai mutlak adalah mengubah bentuk pertaksamaan yang diketahui sehingga tidak memuat nilai mutlak lagi. Kemudian, selesaikanlah pertaksamaan yang muncul pada setiap kasus. Untuk itu kita dapat menggunakan sifat nilai mutlak berikut.



jika a≥ 0 , maka| x|≤ a ↔−a≤ x ≤ x ↔ x 2 ≤ a2 jika a≥ 0 , maka| x|≥ a ↔ x ≥ a atau x ≤−a ↔ x 2 ≥ a2



|x−a|= x−a ,bila x ≥ a



{a−x , bila x< a



Catatan : Berdasarkan sifat pertama dan kedua, kita dapat mengkuadratkan bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya telah dipenuhi. Untuk pertaksamaan yang memuat lebih dari satu bentuk nilai mutlak, sifat ketiga digunakan pada garis bilangan. Salah satu penggunaan dari pertaksamaan dan nilai mutlak adalah untuk memperkenalkan konsep limit dan kekontinuan fungsi. 6. Fungsi Real a.sistem koordinat dan garis lurus sistem koordinat kartesis terdiridari dua sumbu, garis horizontal ( sumbu x ) dan garis vertikal ( sumbu y ) yang berpotongan tegak lurus di titik O (titik asal). Kedua sumbu ini membagi bidang datar atas empat bagian, yang dinamakan kuadran I, sampai dengan kuadran IV. Seperti halnya dengan himpunan bilangan real dengan garis, disini terdapat korespondensi satu-satu diantara setiap titik dibidang dengan pasangan terurut dua bilangan real. Jika garis vertikal dan horizontal yang melalui titik sebarang P memotong sumbu x di a dan sumbu y di b, maka koordinat titik P adalah ( a,b ), dan sebaliknya. Dalam hal ini a dan b berturut-turut dinamakan absis (koordinatx) dan ordinat ( koordinat y) dari titik P. Sistem koordinat kartesius seringkali ditulis R2, atau R×R, yang menyatakan himpunan semua pasangan terurut (x,y), x dan y ∈ R, jadi kita mempunyai R2 = R x R = {(x,y) : x,y ∈ R }.



Kuadran yang memuat semua garis batasnya ( sebagian dari sumbu x dan sumbu y ) dinamakan kuadran tertutup , dan yang sama sekali tidak memuat garis batasnya dinamakan kuadran terbuka . Pemberian nama ini sejalan dengan konsep selang tertutup dan selang terbuka pada garis bilangan real. Kuadran I mempunyai empat kemungkinan yatu :    



{( x , y ) : x ≥0 dan y ≥ 0} , kuadran tertutup {( x , y ) : x >0 dan y >0 } , kuadran terbuka {( x , y ) : x ≥0 dan y >0 } {( x , y ) : x >0 dan y ≥0 }



Kedua himpunan terakhir tidak terbuka dan tidak tertutup. Selanjutnya, bila hanya disebutkan kuadran I saja, kemungkinan yang terjadi bergantung pada konteks pembicaraannya. Dalam hal ini boleh memuat atau tidak memuat garis pembatasnya, yang bergantung pada permasalahan yang muncul dan akan dibahas. Tinjau ulang tentang garis lurus pada bidang datar 



Panjang ruas garis lurus. Dengan teorema phytagoras, panjang ruas garis dari titik P ( x 1, y1 ) ke titik Q(x 2 y 2 ) adalah



PQ=¿ √ ( x 1−x 2 ) ²+( y 1− y 2) ² 



Persamaan garis lurus. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah ax +by +c=0 , a dan btidak semuanya nol Beberapa hal khusus : persamaan garis yang a. sejajar dengan sumbu x adalah y = p b. sejajar dengan sumbu y adalah x = q c. tidak sejajar dengan sumbu y adalah y = mx + n (fungsi linear) d. melalui titik asal (0,0) adalah ax +by=0



x y + =1 p q f. melalui titik ( x 1 , y 1) dan mempunyai gradien m adalah y− y1 =m ( x−x 1 , ) y− y1 x−x 1 = g. melalui titik ( x 1 , y 1) dan ( x 2 y 2 ) adalah y 2− y 1 x 2−x 1 Kaitan antar dua garis. Garis g :ax +by +c=0 danh : px +qy +r=0 dikatakan a b c a. sejajar (ditulis g // h ), jika = ≠ p q r a b c b. berimpit ( ditulis g ≡h ),jika = = p q r a b c. berpotongan, jika ≠ ; dan berpotongan tegak lurus , jika ap+ bq=0 , b , q ≠0. p q Gradien suatu garis. Pada persamaan garis g : y=mx +n , besaran m dinamakan gradien garis g. e. melalui titik (p,0) dan (0,q), p dan q tidak nol adalah











Arti geometri dari gradien suatu garis adalah nilai tangen sudut antara garis tersebut dengan sumbu x positif.











Gradien dua garis yang saling tegak lurus. Garis g : y=mx +n dan h : y= px+ q saling tegak lurus mp=−1. Jadi dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika perkalian gradiennya sama dengan -1. Jarak titik ke garis. Jarak dari titik P(x 0 , y 0 ) ke garis g :ax +by +c=0 adalah



d ( P , g ) =¿ a x 0+ b y 0+ c∨



¿ ¿ √ a + b2 2



Terdapat banyak cara untuk membuktikan jarak titik ke garis, yang paling sederhana dengan cara geometri. Buatlah garis sejajar sumbu y dan melalui P sehingga memotong garis g di R. Buatlah garis sejajar sumbu x dan melalui P sehingga memotong garis g di S. Tentukan koordinat R dan S serta panjang ruas garis PR,PS, dan RS. Dengan rumus geometri, d(P,g) = PQ =



PR . PS . Cara lain adalah menentukan RS



koordinat Q dan rumus jarak dua titik, menggunakan hasil kali titik dua vektor, atau persamaan normal Hesse. Pembaca harap meneliti kembali berbagai cara pembuktian rumus jarak titik ke garis, sesuai dengan petunjuk di atas. Garis Lurus dan Nilai Mutlak Grafik dari ax + by + c = 0 berbentuk garis lurus. Kita akan melihat grafik dari G 1 : ax + h |y| + c = 0, G2 : a |x| + by + c = 0, atau G3 : a |x| + b |y| + c = 0 Terdapat dua cara untuk menggambarkan grafit ini Cara 1 Gunakan defenisi nilai mutlak untuk mengubah persamaannya ke dalam bentuk tanpa nilai mutlak. Grafitnya berbentuk gabungan dari beberapa garis. Cara 2 gunakan sifat simetri dari bentuk |x| dan |y| 











Persamaan G1 tidak berubah bila y diganti – y, artinya grafik G 1 sekaligus memuat titik (x,y) dan (x,-y), yaitu G1 simetri terhadap sumbu x. Untuk menggambarkannya cukup bagian sebelah atas atas sumbu x, kemudian cerminakan hasilnya terhadap sumbu x. Persamaan G2 tidak berubah bila x diganti, - x artinya grafik G 2 sekaligus memuat titik (x,y), (x,y), yaitu G1 simetri terhadap sumbu y . untuk menggambarkannya cukup bagian sebelah kanan sumbu x, kemudian cerminkan hasilnya terhadap sumbu y. Grafik G3 simetri terhadap sumbu x dan sumbu y. Untuk menggambarkannya cukup disalah satu kuadran saja, kemudian cerminkan hasilnya terhadap sumbu x, sumbu y, dan titik asal (0,0)



Daerah yang di Batasi Garis Lurus Sumbu x adalah garis y = 0, didaerah di atasnya mempunyai aturan y > 0, dan daerah dibawahnya y < 0. Fenomena ini dapat diperluas untuk garis g : y = mx + n. Untuk x tetap, misalkan (x,y) terletak pada garis g. Koordinat titik di atas garis ini adalah (x,y) dengan y > mx + n, dan di bawahnya adalah (x,y) dengan y < mx + n.



1.3.3 Fungsi Real Misalkan A, B,  R fungsi f : A,  B adalah suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur x  A dengan tepat satu unsur y  B. Unsur y yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y = f (x), yang dinamakan aturan fungsi. Lambang y = f(x) yang dinamakan aturan fungsi. Lambang y = f (x), x A menyatakan sebuah fungsi dengan aturan y = f (x) yang terdefenisi pada himpunan A. Disini x dinamakan peubah bebas , dan y yang nilainya bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas. Jika kita mempunyai y = f (x), x  A, maka daerah asal fungsi f adalah himpunan A, ditulis A=D f , dan daerah nilai fungsi f adalah himpunan Rf = {f(x) : x ∈ A= Df }. Unsur f (x) ∈ B dinamakan nilai fungsi f di x. Jika yang diketahui hanya y=f ( x ) , maka daerah asal dan daerah nilai fungsi f adalah :



Df ={ x ∈ R : f ( x ) ∈ R } dan R f ={f (x) ∈ R : x ∈ Df } Disini Df merupakan daerah asal alamiah (natural domain) dari fungsi f, yang merupakan himpunan bagian terbesar dari fungsi f dimana aturan fungsinya berlaku. Daerah asal dan daerah nilai fungsi diatas semuanya himpunan bagian dari R. Fungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah real dan bernilai real, disingkat fungsi real. Fungsi real y=f (x ) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah. Selanjutnya, himpunan titik dibidang {( x , y ) ∈ R 2 : y =f ( x ) , x ∈ D f dan y ∈ R f dinamakan grafik fungsi f. Berbagai topik yang berkaitan dengan fungsi Fungsi aljabar dan transenden Fungsi aljabar adalah suatu fungsi yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. Operasi aljabar yang dilakukan terhadap kedua fungsi ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar ke-n, n = 2,3, ....fungsi elementer yang bukan fungsi aljabar dinamakan fungsi transenden. Sebagai ilustrasi, fungsi



f ( x )=



x 3 3 x+ 2 , g ( x )=√ 1−3 x+ x 2 dan h ( x ) = 4 −x x −1 √2 x+1 2



Semuanya adalah fungsi aljabar karena aturan fungsinya diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan dan fungsi kesatuan. Tetapi fungsi f ( x )=cos x+ sin x , g ( x )=2x −3 x , dan



h ( x )=log ⁡(1−x 2). Semuanya dalah fungsi transenden, karena tidak mungkin diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar dari fungsi konstan dan fungsi kesatuan. Fungsi elementer yang sederhana seperti fungsi linear, kuadrat, pecahan linear atau kuadrat, dan fungsi trigonometri semuanya merupakan topik penting yang pernah dipelajari di SMU.



Salah satu fungsi aljabar yang sering digunakan dalam kalkulus diferensial adalah suku banyak berderajat tiga, yang mempunyai bentuk umum



f ( x )=a x 3 +b x 2 +cx +d , a ≠0 Daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f adalah Df = R dan Rf = R. Fungsi ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik. Untuk kasus a> 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak. Sedangkan untuk a< 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak. Kesamaan dua fungsi real Fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f ≡ g , jika Df = Dg = D dan f ( x )=g ( x) untuk setiap x ∈ D. Operasi aljabar pada dua fungsi Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefenisikan operasi aljabar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan pembagian atas dua fungsi tersebut. Misalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D. Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari f dan g, ditulis f +g , f −g , fg , dan f /g didefenisikan sebagai fungsi yang aturannya disetiap x ∈ D ditentukan oleh



( f + g )( x )=f ( x )+ g ( x ) ( fg )( x )=f ( x ) . g (x) ( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x )



( gf ) ( x )= fg(( xx)) , g (x) ≠ 0



Perhatikan bahwa disini lambang operasi aljabar di ruas kiri dan ruas kanan mempunyai arti yang berbeda. Di ruas kiri, operasi aljabarnya dilakukan atas dua fungsi, sedangkan di ruas kanan dilakukan atas dua nilai fungsi (bilangan real). Jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya, maka fungsi f +g , f −g , fg , dan



f berturut-turut mempunyai g



daerah asal D f + g=D f −g=D fg =D=D f ∩ D g , dan D f =¿ D−{ x∈ R : g ( x )=0 }¿. g



Sifat simetri grafik fungsi Seringkali dengan melihat kesimetrian dari aturan atau grafiknya, sifat sebuah fungsi lebih mudah dikenali. Sifat simetri yang langsung dapat dikenali adalah simetri terhadap kedua sumbu dan titik asal koordinat. 



Grafik fungsi y = f(x) dikatakan simetri terhadap sumbu y jika untuk setiap x ∈ D f berlaku : (x,y) ∈ grafik f ↔ (-x,y)∈grafik f. Ini berarti grafik fungsi f sekaligus memuat titik (x,y) dan (-x,y).



  







Grafik fungsi implisit F(x,y) = 0 simetri terhadap sumbu y jika grafik F(x,y) = 0 sekaligus memuat titik (x,y) dan (-x,y). Grafik fungsi implisit F(x,y) = 0 simetri terhadap sumbu x jika grafik F(x,y) = 0 sekaligus memuat titik (x,y) dan (-x,y). Grafik fungsi y = f(x) dikatakan simetri terhadap titik (0,0) jika untuk setiap x ∈ D f berlaku : (x,y) ∈ grafik f ↔ (-x,-y)∈grafik f. Ini berarti grafik fungsi f sekaligus memuat titik (x,y) dan (-x,-y). Grafik fungsi implisit F(x,y) = 0 simetri terhadap titik (0,0) jika grafik F(x,y) = 0 sekaligus memuat titik (x,y) dan (-x,-y).



Fungsi genap dan fungsi ganjil Fungsi f dikatakan fungsi genap jika f(-x) = f(x) untuk setiap x ∈ D f , dan dikatakan fungsi ganjil jika f(x) = -f(x) untuk setiap x ∈ D f . Berdasarkan pengertian ini, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y dan grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0,0). Dari pernyataan ini, sebuah fungsi bukan merupakan fungsi genap jika terdapat suatu x di daerah asalnya sehingga f(-x) ≠ f(x), dan bukan merupakan fungsi ganjil jika terhadap suatu x d daerah asalnya sehingga f(-x) ≠ -f(x). Fungsi terbatas. Fungsi f dikatakan fungsi terbatas jika terdapat M >0 sehingga ¿ f ( x )∨≤ M untuk setiap



x ∈ Df . Fungsi periodik. Fungsi f dikatakan fungsi periodik jika terdapat suatu p ≠ 0 sehingga x + p ∈ D f dan



f ( x + p )=f (x ) untuk setiap x ∈ D f . Selanjutnya , bilangan p > 0 terkecil yang memenuhi f ( x + p )=f (x ) untuk setiap x ∈ D f dinamakan periode fungsi f. Untuk melihat bahwa 2 adalah bilangan positif terkecil yang memenuhi ini, perhatikan bahwa yang memenuhi f(x + p) = f (x) tidak hanya p = 2, tetapi secara umum p = 2 n  dengan n bilang bulat. Di antara semua jajaran bilangan ini, terlihat bahwa 2 adalah bilangan positif yang terkecil. Ilustrasi terakhir membahas tentang periode fungsi sinus yang periodenya 2. Secara umum, fungsi trogonometri dan berbagai variasinya juga juga merupakan fungsi periodik. Pergeseran Grafik Fungsi Aturan pergeseran grafik suatu fungsi adalah sebagai berikut. Teorema Grafik fungsi y = (x – a) + b, a, b > 0 diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = (x) sejauh α satuan ke kanan (arah sumbu x positif) dan b satuan ke atas (arah sumbu y positif) Arah pergeseran grafik fungsi y = (x) untuk a dan b sebarang ditentukan oleh   



a > 0 dan b > 0, grafik y = (x) di geser a satuan ke kanan dan b satuan ke atas; a < 0 dan b > 0, grafik y = (x) di geser a satuan ke kiri dan b satuan ke atas a > 0 dan b < 0, grafik y = (x) di geser a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah







a < 0 dan b < 0, grafik y = (x) di geser a satuan ke kiri dan b satuan ke bawah



Fungsi dengan banyak aturan Kita mempunya fungsi  dengan daerah asalnya D = D 1 ∪ D2 jika aturan fungsi  pada daerah D1 tidak sama dengan pada daerah D 2, maka fungsi  mempunyai lebih dari satu aturan. Fungsi seperti ini dinamakan fungsi dengan banyak aturan. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Jika x bilangan real, maka terdapat tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x. Bilangan bulat n yang memenuhi n ≤ x semuanya terletak di sebelah kiri x pada garis bilangan. Di antara semua jajaran bilangan bulat terbesar dari x, dan dapat ditulis dengan lambang. Perumusan Masalah Nyata Dalam Bentuk Fungsi Real Banyak masalah nyata berbentuk fungsi satu peubah. Misalnya tarif pos bergantung pada beratnya, prestasi orang berganung pada motivasinya. Atau pada potensinya, dan sebagainya. Masalah nyata dengan dua peubah yang saling berkaitan, dapat dirumuskan dalam bentuk fungsi satu peubah. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Fungi  dan g memenuhi R1 ∩ D8  . Fungsi komposisi dari g dan f (dilanjutkan g), ditulis g o f , adalah suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bagian dari D f dan aturannya ditentukan oleh ( gof ) (x) = g ((x)). Daerah asal dan daerah nilai gungsi gof adalag Dg o f = {x D : (x)  Dg dan Rg of =



{ y ∈ R g : y=g ( t ) , t ∈ R f } . BAB II LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Kalkulus diferensial dan integral dibangun berdasarkan konsep limit fungsi. Konsep ini dikenal sebagai suatu proses tak hingga, yang merupakan suatu ciri khas dari kalkulus. Kita mempunyai sebuah fungsi yang peubah bebasnya menjuju suatu titik tertentu, dalam arti bhwa jarak dari peubah bebasnya ke titik tersebut semakin lama semakin kecil. Pada situasi ini muncul berbagai permasalahan. Bagaimana kondisi untuk daerah asal fungsinya agar peubah bebasnya dapat menuju suatu titik tertentu. Jika hal ini terjadi, bagaimana dengan peubah tak bebasnya apakah juga menuju ke suatu titik di sumbu y, ataukah akan mengecil/ membesar tanpa batas, yaitu menuju ke positif/ negatif tak hingga. Sifat Limit Fungsi di Satu Titik



Dengan menggunakan defenisi limit fungsi di satu titik, kita dapat membuktikan berbagai sifat limit fungsi dalam teorema berikut. Sifat limit fungsi



f ( x )=L dan lim f ( x )=M , maka L=M 1. ketunggalan limit: jika lim x →c x→c f ( x )=L lim g ( x )=M , maka 2. operasi aljabar pada limit. Jika lim x →c x→c a. lim ( f ( x )+ g ( x ) ) =L+ M =¿ lim F ( x )+ lim g ( x)¿ x →c



X →C



X →C



b. lim ( f ( x )−g ( x ) )=L−M =¿ lim F ( x ) − lim g( x)¿ x →c



X →C



X→C



c. lim ( f ( x ) g ( x ) )=LM = lim F ( x ) lim g ( x)



(



x →c



d. lim



x →c



X →C



)(



X →C



)



f (x) L = =¿ lim f ( x)/ lim g ( x ) ¿ g(x) M X→ C X→C



3. limit fungsi yang sederhana a.



b. c.



lim k =k ,k konstanta



X→ C



2



d. lim x =c



lim x=c



e. lim



X→ C



lim ( px+ q )= pc +q ; p , q konstanta



X→ C



2



X→ C



X→ C



f. lim



X→ C



1 1 = x c



√ x=√ c



4. limit suku banyak berderajat n,



Pn ( x ) =Pn ( c ) , c ∈ Df =R Jika Pn ( x ) =a0 x n+ a1 x n−1 +…+ an , maka Xlim →C 5. limit fungsi rasional ( hasil bai dua suku banyak ) Jika f ( x )=



Pn ( x ) f ( x )=f ( x ) , c ∈ Df , dimana ; P , P suku banyak , maka Xlim →C Pm ( x ) n m



D f ={x ∈ R : Pm ( x ) ≠ 0 }. Limit kiri dan limit kanan



f ( x )=¿ x∨ ¿ = −1 , x 0



{



Informasi yang dapat kita peroleh dari situasi ini adalah sebagai berikut.







Nilai (x) dapat dibuat sebarang dekat ke 1 bilamana x dibuat cukup dekat 0 dari sebelah kanan. Di sini kita katakan bahwa fungsi  mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai limit 1,



¿+ (x) = 1 ditulis lim X→ 0 



Nilai (x) dapat dibuat sebarang dekat ke – 1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari sebelah kiri. Disini kita katakan bahwa fungsi  mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai limit – 1 ditulis



lim ¿- (x) = 1 X→ 0







Nilai (x) tidak mendekati suatu nilai manapun bilamana x dibuat mendekati 0. Dari arah sebelah kiri 0, (x) mendekati – 1, sedangkan dari arah sebelah kanan 0, (x) mendekati 1. Karena



¿ limitnya dari limitnya dari arah kiri dan dari arah kanan berbeda, maka kita katakan bahwa lim X→ 0 ¿ ¿ x∨ ¿ ¿ tidak ada (x) = lim X→ 0 x Fakta di atas merupakan suatu fenomena yang dijadikan model untuk memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi  di c. Beberapa sifat penting dari limit fungsi Limit Nilai Mutlak Fungsi Jika suatu fungsi mempunyai limit disutu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai limit dititik itu, tetapi kebalikannya tidak benar lagi.



¿ (x) = L, maka lim ¿|(x)| = |L|. (1) jika lim X→ 0 X→ 0 ¿|(x)| = 0, maka lim ¿(x) = 0. (2) jika lim X→ 0 X→ 0 Kekontinuan fungsi Kekontinuan fungsi di satu titik Bila suatu fungais terdefenisi pada selang terbuka yang memuat suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefenisikan dengan limit fungsi. Bila daerah asal fungsinya himpunna sembarang yang memuat suatu titik dimana limit fungsi tidak dapat diperkenalkan, kekontinuan fungsinhya di titik itu langsung didefenisikan dengan ε −δ . Kontinu kiri dan kontinu kanan Sejalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan, kita mendefenisikan fungsi kontinu kiri dan kontinu kanan di satu titiksebagai berikut. 



Misalkan fungsi f terdefenisi pada selang ( a , c ] . Fungsi f dikatakan kontinu kiri di c jika



lim f ( x ) = f (c ) −¿



X →0 ¿







Misalkan fungsi f terdefenisi pada selang ( c , b ] . Fungsi f dikatakan kontinu kanan di c jika



lim f ( x ) = f (c ) +¿



X →0 ¿



Limit dan kekontinuan fungsu komposisi Kita mempunyai sifat bahwa komposisi dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu. Dengan konsep kekontinuan ε −δ , dapat dibuktikan sifat yang menyatakan bahwa jika fungsi f dan g kontinu sehingga fungsi g o f terdefenisi, maka fungsi g o f juga kontinu. Berdasarkan teorema ini, semua fungsi elementer yang pernah kita pelajari akan kontinu pada daerah asalnya karena fungsinya selalu merupakan komposisi dari sejumlah berhingga fungsi kontinu. Sifat ini kita nyatakan secara formal dalam teorema berikut.  



Jika fungsi f dan g memenuhi R f D g ,f kontinu di c ∈ D f , dan g kontinu di f (c )∈ D g , maka fungsi g o f kontinu di c. Jika fungsi f dan g memenuhi R f D g ,f kontinu pada Df dan g kontinu pada D g, maka fungsi g o f kontinu pada D f .



Bentuk tak tentu limit fungsi Pada limit fungsi trigonometri, kita telah mempelajari bahwa



lim sin x



X →0



=1



x



Perhatikan bentuk limit ini untuk x→ 0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu 0/0, /, 0.,  - , 00 , ∞ 0, dan 1∞. Pada bab ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’hospital.permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transendenpada perhitungan limit fungsi. BAB III TURUNAN, DIFERENSIAL, DAN HAMPIRAN TAYLOR Turunan dan Aturan Menentukannya Empat Masalah Bertemakan Turunan Kita mempunyai empat masalah yang sepintas lalu tidak saling berhubungan. Pertama tentang gradien garis singgung pada suatu kurfa, kedua tentang laju sebuah bola yang dijatuhkan tegak lurus dari ketinggian tertentu, ketiga tentang perbesaran oleh lensa, dan keempat tentang rapat massa suatu batang tidak homogen. Meskipun versi i keempat masalah tersebut berbeda, tetapi semuanya mempunyai gagasan matematika yang sama, yaitu tentang kosep turunan fungsi di satu titik.   



Masalah pertama : Gradien Garis Singgung kita akan menentukan besarnya gradien garis singgung pada grafik fungsi y = x2 dititik P(2,4). Masalah kedua : Laju pada suatu medium tertentu sebuah bola dijatuhkan tegak lurus dari suatu ketinggian, dan panjangnya t2 meter setelah t detik. Kita akan menentukan laju bola tersebut setelah 2 detik. Masalah ketiga : Perbesaran Oleh Lensa masalah ini sering terjadi dalam kehidupan seharihari. Seorang pemotret dapat memperbesar atau memperkecil ukuran fotonya dengan suatu



faktor. Perbesaran ini dapat dibuat bervariasi dari titik ke titik dengan sebuah cermin yang berbebtuk kurva. Jika proyeksi dari suatu selang yang panjangnya L adalah selang dengan panjang L*, maka faktor perbesarannya adalah L*/L. Masalah keempat : Rapat massa sebuah batang tak homogen pnjangnya 10 cm. Massa batang adalah 100 gram. Semakin kekanan, rapat massa (massa per satuan panjang) batang semakin besar. Kita akan menentukan rapat massa (gram/cm) dari titik x = 2 pada batang







Hubungan Antara Fungsi Terdiferensialkan Dengan Kekontinuannya Jika fungsi  terdiferensikan di c, maka turunan fungsi  di c ditentukan oleh 1(c) =



lim ( x ) −( x )



X →0







( x−c ) + ( c ) ,



x −c



Perhatikan bentuk limit ini, di sini limit penyebutnya nol. Karena 1(c) yaitu limitbentuk pecahannya ada, maka limit pembilangnya juga haru nol. (andaikan limit ini tidak nol, maka limit



( ( x )−( x ) )=0, bentuk pecahannya pasti  , yang bertentangan dengan 1 (c) ada. Akibatnya , lim X→ 0 yang berarti bahwa fungsi kontinu di 0. Turunan di satu titik Secara umum, laju perubahan nilai fungsi ( x ) terhadap titi x di titik x = c adalah



lim ⁡



x →c



f ( x ) −f (c) . Besaran ini kita defenisikan sebagai turunan pertama dari fungsi f di x = c. x−c



Turunan kiri dan turunan kanan Sejalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan, kontinu kiri dan kontinu kanan, kita mempunyai konsep turunan kiri dan turunan kanan dari suatu fungsi di satu titik. 



Misalkan fungsu f terdefenisi pada selang ¿, turunan kiri dari fungsi f di c, ditulis f '¿ (c) didefenisikan sebagai



f '¿ ( c )=lim 



⁡



−¿ f ( x ) −f (c) x →c ¿ x−c



atau



f '¿ ( c )=lim



⁡



h→ 0



−¿



f ( c+h )− f (c) ¿ h



, bila limit ini ada.



Misalkan fungsu f terdefenisi pada selang ¿, turunan kanan dari fungsi f di c , ditulis f +¿ (c ) ,¿ didefenisikan sebagai '



f +¿ (c )=lim '



⁡ x→c



+¿



f ( x )−f (c) ¿ x−c



¿



atau



f +¿ (c ) =lim '



⁡ h →0



+¿



f ( c+h )−f( c) ¿ h



¿



, bila limit ini ada.



Turunan fungsi pada suatu selang Turunan fungsi pada suatu selang dikenal juga sebagai fungsu turunan pertama , atau disingkat turunan pertama, defenisinya sebagai berikut. Misalkan fungsi y=f (x ) terdefenisi pada selang I. Turunan fungsi f pada selang I , ditulis f ', adalah suatu fungsi yang aturannya di setiap x ∈ I ditentukan oleh



f ( t )−f (x) f ( x+ h )−f ( x) , atau f ' ( x )=lim ⁡ , bila limit ini ada. t−x h t→x h→x



f ' ( x )=lim ⁡



Turunan fungsi implisit Aturan fungsi y=f (x ) dapat ditampilkan dalam bentuk f ( x , y )=0, dengan f ( x , y )= y−f (x ). Disini, y merupakan fungsu eksplisit dari x yang terkandung secara implisit dalam aturan f ( x , y )=0. Sebaliknya aturan f ( x , y )=0 menyatakan bahwa y adalah fungsi dari x, dan juga x fungsi dari y. Disini kita mengatakan bahwa y adalah fungsi implisit dari x, dan juga x adalah fungsi implisit dari y. Dari aturan f ( x , y )=0, mungkin terjadi y dapat dinyatakan secara ekplisit dalam x ( atau sebaliknya) atau mungkin juga tidak Garis singgung dan garis normal Arti geometri dari turunan fungsi di satu titik adalah gradien garis singgung pada grafik fungsinya. Jika suatu fungsi terdiferensialkan di satu titik dan turunan pertamanya kontinu disekitar titik itu, maka persamaan garis singgung di titik itu dapat ditentukan. Turunan pertamanya ditentukan dengan aturan menentukan turunan, defenisi turunan, turunan implisit, atau turunan parameter. Diferensial dan hampiran taylor a. Diferensial Kita ingatkan kembali bahwa lambang turunan pertama dari y terhadap x,



dy , merupakan suatu dx



lambang yang tunggal , dalam arti bukan hasil bagi dari dy dan dx dalam hal ini dy dan dx belum diberi arti secara terpisah. Sebelum kita mendefenisikan dx dan dy, misalkan P(x 0 , y 0 ) adalah suatu titik tetap pada kurva y=f (x ). Dengan P sebagai titik asal, buatlah sumbu koordinat baru dx dan dy yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Dalam sistem koordinat baru ini, persamaan garis singgung pada kurva f di titik P adalah dy =mdx , ' dengan gradien m sama dengan f ( x 0 ) .Akibatnya, persamaan garis singgung pada kurva f di titik P dapat '



ditampilkan dalam bentuk dy =f ( x 0 ) dx . b. rumus taylor dan suku sisanya kita ingat kembali teorema yang menyatakan bahwa nilai hampiran untuk f (x 0+∆ x) adalah



f ( x 0 + ∆ x ) =f ( x 0 ) +dy , dy=f ' ( x0 ) dx , dx=∆ x Misalkan x=x 0 +∆ x , maka ∆ x=x −x0 , sehingga rumus ini dapat ditulis dalam bentuk



f ( x )=f ( x 0 ) +f , ( x ¿¿ 0)( x−x 0) ¿ Khususnya untuk x 0=c , kita mempunyai rumus hampiran nilai fungsi oleh suku banyak linear yaitu



f ( x )=f ( c )+ f , (c )(x−c )



Rumus ini dapat diperoleh dari defenisi turunan fungsi f dititik c. Perhatikan bahwa disini kita melakukan hampiran nilai fungsi f ( x ) oleh suku banyak linear



P1 ( x )=a0 +a1 ( x−c )=f ( c )+ f , ( c )( x−c ) Sehingga memenuhi



P1 ( c )=f ( c ) dan P'1 ( c )=f ' ( c ) . Gagasan ini dapat diperluas, kita dapat melakukan hampiran nilai fungsi f ( x ) oleh suku banyak linear derajat dua, tiga, dan seterusnya dengan kondisi seperti diatas. Pola hampiran nilai fungsi oleh suku banyak linear diatas memberikan gagasan bahwa hampiran nilai fungai f ( x ) disekitar c oleh suku banyak derajat dua



P2 ( x ) =a0 +a 1 ( x−c ) +a 2(x −c) ²



Harus memenuhi syarat



P2 ( c )=f ( c ) , P '2( c )=f ' ( c ) dan P ''2 (c )=2 a2



BAB IV PENGGUNAAN TURUNAN Titik Ektrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi Lokasi Ekstrim Mutlak dan Ekstrim Lokal Kita telah mempelajari konsep fungsi monoton naik dan monoton turun hyang dikaitkan dengan kekontituan dan kemonotonan invers fungsinya. Untuk fungsi  yang kontinu pada selang I. Perubahan kemonotonan di sekitar titik c. Nilai terbesar atau terkecil seperti ini dikenal sebagai nilai ekstrim lokal dari fungsi tersebut. Sedangkan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi pada daerah asalnya dikenal sebagai ektrim mutlak fungsi itu. Selang kemonotonan beserta lokasi titik ekstrim dari suatu fungsi dapat ditentukan dengan menggunakan turunan pertama, yang cara menentukannya dikenal sebagai teorema uji turunan pertama untuk kemonotonan dan ekstrim, tetapi. Ektrim lokal dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan menggunakan turunan kedua, yang cara menentukannya dikenal sebagai teorema uji turunan kedua untuk ekstrim. Turunan Di Titik Ekstrim Lokal Pada suatu fungsi yang terdiferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Fungsi g pada ilustrasi mempunyai turunan g 1(x) = 4x3 – 4x = 4x (x + 1) (x – 1), sehingga g1 (0) = 0. Perhatiak bahwa disini fungsi g mencapai maksimum lokal di (0,0), dengan g 1 (0) = 0 Titik Kritis dan Titi stationer dan Fungsi Kontinu



Kita menduga bahwa lokasi ektrim mutlak dan ektrim lokal dari suatu fungsi kontinu pada selang I akan tercapai di  



Titik ujung selang I, bila I adalah selang tertutu, atau Titik c di dalam selang I yang memenuhi 1(c) = 0 atau 1(c) tidak ada



Titik dimana lokasi ektim akan tercapai dinamakan titik kritis dari fungsi . Dalam kasus 1(c) = 0, titik c dinamakan titik stationer dari fungsi .dalam kasus  tidak terdiferensasikan di c dengan 1-(c) 



∫ 1(c ), titik c dinamakan titik singular dari fungsi .



+¿¿



Cara Mencari Lokasi Ektrim Mutlak pada Selang Tertutup Ternyata bahwa ekstrim mutlak dari suatu fungsi pada selang tertutup tercapai di titik ujung selang atau di titik kritisnya. Salah satu sifat fungsi kontinu mengatakan bahwa jika fungsi  kontinu pada selang tertutup a,b, maka fungsi  terbatas pada a,b. Batas atas terkecilnya adalah



maks maks (x) dan batas bawah terbesarnya (x). a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b



Kedua batas ini menjadi nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi  pada selang tertutup a,b, yang ditentukan dengan cara berikut.  



Tentukan semua titik kritis dari fungsi  pada selang tertutup a,b, beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya Bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlaknya, dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.



Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Lokasi Ekstrim Lokal Dari selang kemonotonan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan disekitar titik kritis dari fungsi



NAMA BUKU : LEITHOLD NOL TOPIK DALAM PRAKALKULUS A. BILANGAN RIIL DAN KETAKSAMAAN



Bilangan riil adalah sistem bilangan yang real yang terdiri dari suatu himpunan unsur. Himpunan bilangan riil dinyatakan dengan R. Operasi yang digunakan dalam bilangan riil yaitu: 1) Operasi Penjumlahan Operasi penjumlahan dinyatakan dengan lambang positif (+). Jika a dan b adalah unsur di himpunan R, a + b menyatakan jumlah dari a dan b. 2) Operasi Perkalian Operasi perkalian dinyatakan dengan lambang titik (.). Jika a dan b adalah unsur di himpunan R,a . b (atau ab) menyatakan hasil kali a dan b. 3) Operasi Pengurangan Operasi pengurangan didefinisikan dengan persamaan:



a−b=a+ (−b ) dimana  b menyatakan negative dari b sehingga b + (b) = 0. 4) Operasi Pembagian Operasi pembagian didefinisikan dengan persamaan:



a ÷ b=a . b−1 dimana b-1menyatakan kebalikan dari b sehingga b . b-1 = 1. Sistem bilangan riil dapat dilengkapi dengan seelompok aksioma tertentu untuk menunjukkan suatu pernyataan formal yang diandaikan benar tanpa pembuktian. Dengan menggunakan aksioma, sifat-sifat bilangan riil dapat diturunkan dan diperoleh operasi aljabar yang biasa seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, dan juga konsep aljabar untuk menyelesaikan persamaan, memfaktorkan dan sebagainya. Sifat-sifat yang dapat ditunjukkan sebagai akibat logis dinamakan teorema. Pernyataan dalam suatu teorema terdiri dari dua bagian, yaitu bagian “jika” yang dinamakan hipotesis dan bagian ‘maka” yang dinamakan kesimpulan. Argumentasi untuk memperoleh suatu teorema adalah suatubukti yang memuat cara memperoleh kesimpulan dari hipotesis yang diandaikan.  ILUSTRASI Andaikan A={2,4,6,8,10,12 }, B={1,4,9,16} , dan C={2,10 }. Maka:



A ∪ B={1,2,4,6,8,9,10,12,16 }



A ∩ B={4 }



B∪ C={1,2,4,9,10,16 }



B∩ C=∅



Terdapat suatu urutan untuk himpunan R, dalam arti terdapat relasi yang dinyatakan dengan lambang < (dibaca “lebih kecil daripada”) dan > (dibaca “lebih besar daripada”), yang dapat didefinisikan sebagai berikut:



Jikaa , b ∈ R maka: i.



a < b jika dan hanya jika b – a positif,



ii.



a>b jika dan hanya jika a – b positif.



 ILUSTRASI 3 < 5 karena 5 – 3 = 2, dan 2 positif -10 < -6 karena -6 – (-10) = 4. Dan 4 positif 7 > 2 karena 7 – 2 = 5, dan 5 positif -2 > -7 karena -2 – (-7) = 5. Dan 5 positif



Jikaa , b ∈ R , i.



a ≤ b jika dan hanya jika a< b atau a=b



ii.



a ≥ b jika dan hanya jika a> b ataua=b



Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b dinamakan keaksaraan. Ada dua jenis ke taksamaan yaitu: i.



Ketaksamaan murni; a < b dan a > b



ii.



Ketaksamaan tak murni; a ≤ b dan a ≥ b



Teorema ini di peroleh dari: i.



a > b jika dan hanya jika a positif.



ii.



a < 0 jika dan hanya jika a negatif.



Suatu bilangan x terletak di antara a dan b jika a < x dan x < b. Hal ini dapat ditulis sebagai ketaksaamaan bersambung berikut:



a< x 0. ii.



Teorema



│ x │> a jika dan hanya jika x >a atau x←a ,dimana a> 0. Akibat



│ x │≥ a jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤−a , dimana a>0. A. BIDANG BILANGAN DAN GRAFIK PERSAMAAN Suatu himpunan dari dua bilangan riil berbentuk pasangan bilamana urutan pasangannya dibuat, dinamakan pasangan terurut bilangan riil. Jika x adalah bilangan riil pertama dan y yang kedua, maka pasangan terurut ini dapat ditulis di dalam kurung biasa dengan satu koma yang memisahkannya, yaitu (x,y). Dari definisi tersebut dapat di ketahui bahwa himpunan semua pasangan bilangan riil dinamakan bidang bilang, dan setiap pasangan terurut (x,y) dinamakan titik di dalam bidang bilangan. Bidang bilangan dinyatakan dengan R2. B. RUMUS JARAK, LINGKARAN DAN RUMUS TITIK TENGAH Jika A adalah titik (x1 , y1) dan B adalah titik (x2 , y2) (yaitu A dan B memiliki ordinat yang sama, tetapi



´ , dan didefinisikan sebagai absisnya berbeda), maka jarak berarah dari A ke Bdinyatakan dengan AB berikut:



´ AB=x 2−x 1 Suatu lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak sama dari satu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran. Untuk mendapatkan satu persamaan lingkaran berikut ini diturunkan dengan menggunakan rumus jarak.



Lingkaran yang berpusat di C(h,k) dan berjari-jari r memiliki persamaan sebagai berikut:



( x−h)2 +( y−k )2=r 2 C. PERSAMAAN GARIS Misalkan l adalah satu garis tak vertikal dan P1 (x1 , y1) dan P2 (x2 , y2) adalah dua titik berlainan pada l. R adalah titik (x2 , y1) dan P1 , P2 dan R merupakan titik sudut satu segitiga siku-siku; P´1 R=x 2−x 1 dan



R´P2= y 2− y 1 Bilangan y 2− y 1 memberikan ukuran perubahan ordinat dari P1ke P2dan perubahan ini mungkin positif, negatif, atau nol. Bilangan x 2−x 1 memberikan ukuran perubahan absis dari P1ke P2 dan perubahan ini mungkin positif atau negatif. Karena garis l tidak vertikal, x 2 ≠ x 1 , sehingga x 2−x 1 tak nol. Misalkan



m=



y 2− y 1 x 2−x 1



(1)



Nilai m yang dihitung dari persamaan ini tidak bergantung dari pemilihan kedua titik P1 dan P2pada l. Untuk menunjukkan hal ini, andaikan kita memilih dua titik yang berbeda P´ 1 ( x´1 , y´ 1) dan P´ 2 ( x´2 , y´ 2 ) hitunglah m ´ dari (1).



´ m=



y´ 2− y´ 1 x´2− x´1



Segitiga P´ 1 R ´P2 dan P1RP2 sebangun, sehingga panjang sisi yang berkaitan sebanding. Oleh karena itu:



y´ 2− y´ 1 y 2− y 1 = ´ atau m=m x´2− x´ 1 x2− x1 D. FUNGSI Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut bilangan ( x , y) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama. Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan arah asal (domain) fungsi, dan himpunan semua nilai y yang dihasilkan dinamakan daerah nilai (range/jelajah/daerah hasil) fungsi. Secara intuitif, y dipandang sebagai fungsi dari x jika terdapat suatu aturan dimana nilai tunggal y megikat nilai x. Misalkan y=2 x 2+ 5 (anggap sebagai fungsi f ) Fungsi f adalah himpunan semua pasangan terurut (x , y) sehingga x dan y memenuhi y=2 x 2+ 5 yaitu :



f ={ ( x , y ) │ y=2 x 2+5 } Bila x=1 , y=7. Karena itu fungsi f memuat pasangan terurut (1,7). Jika f adalah suatu fungsi, maka grafik fungsi f adalah himpunan titik-titik (x , y) di R2sehingga (x, y) merupakan pasangan terurut dari f. E. FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam ilmu ukur suatu sudut didefinisikan sebagai gabungan dua siar yang dinamakan sisi yang memiliki titik ujung yang berimpit yang dinamakan itik sudut. Suatu sudut sama dan sebangun dengan suatu sudut yang titik sudutnya terletak di titik asal dan salah satu sisinya yang dinamakan sisi awal terletak pada sisi positif dari sumbu x. Sudut yang demikian dikatakan berada dalam posisi baku. Dalam menangani masalah yang melibatkan sudut dari suatu segitiga, ukuran sudut tersebut biasanya diberikan dalam derajat. Tetapi dalam kalkulus menggunakan fungsi trigonometri dari bilangan real dan fungsi ini didefinisikan dalam ukuran radian.



F. SUATU PENGGUNAAN FUNGSI TANGENT UNTUK KEMIRINGAN SUATU GARIS Sudut inklinasi suatu garis yang tak sejajar sumbu x adalah sudut terkecil yang diukur berlawanan dengan arah putaran jarum jam dari arah positif sumbu x ke garis tersebut. Sudut inklinasi dari garis yang sejajar sumbu x didefinisikan nol. Jika α sudut inklinasi suatu garis , maka 0° ≤ α < 180°.



Jika dua garis berpotongan, maka dua sudut saling berpelurus terbentuk di titik potongnya. Untuk membedakan kedua sudut ini misalkan L2 adalah suatu garis dengan sudut inklinasi α2 yang lebih besar



dan misalkan L1adalah garis lain yang sudut inklinasinya α 1. Jika θ sudut antara kedua garis tersebut, maka dapat didefinisikan:



0=x 2−x 1 Jika L1 dan L2 sejajar maka α1 = α2 dan sudut antara kedua garis tersebut adalah 0°. Jadi jika L1 dan L2 dua garis tak sejajar, maka 0° ≤ θ < 180°. Bila kemiringan L1 dan L2diketahui. Misalkan L1 dan L2 dua garis tak vertikal yang berpotongan dan tidak saling tegak lurus, dan L2 adalah garis yang memiliki sudut inklinasi lebih besar. Jika m1 adalah kemirngan L1, m2 adalah kemiringan L2 dan θ adalah sudut antara L1 dan L2 maka:



tanθ=



m2−m 1 1+ m1 m2



BAGIAN I FUNGSI PERUBAH TUNGGAL A. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1.1 GRAFIK FUNGSI Suatu fungsi adalah himpunan pasangan terurut bilangan real (x, y) dimana tidak terdapat pasangan berbeda yang mempunyai bilangan pertama yang sama. Himpunan nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal fungsi dan himpunan semua nilai yang dihasilkan y dinamakan daerah nilai fungsi. Dari definisi tersebut dapat diketahui bahwa grafik suatu fungsi f adalah himpunan semua titik (x,y) di bidang R2sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut dalam f.  ILUSTRASI Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh



−3 jika x ≤−1 f ( x )= 1 jika−1< x ≤ 2 4 jika2< x



{



Daerah asal f adalah (−∞ ,+∞ ) sedangkan daerah nilainya terdiri dari tiga bilangan -3, 1 dan 4.



⟦ x ⟧ =n jika n ≤ x< n+1 , dimana n bilangan bulat Fungsi



ini



dinamakan



fungsi



bilangan



bulat



terbesar,



ini



mengakibatkan



⟦ 1 ⟧ =1 , ⟦ 1.3 ⟧ =1 , 1 =0 , ⟦−4.2 ⟧ =−5 , dan seterusnya .



⟦⟧ 2



1.2 LIMIT FUNGSI Misalkan f suatu fungsi yang redefinisi pada setiap bilangan pada suatu selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin di bilangan a sendiri. Limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, ditulis:



lim f ( x )=L x→ a



Jika pernyataan berikut ini benar: Diberikan ϵ > 0 yang bagaimanapun kecilnya, terdapat suatu δ >0 sehingga jika 00 sehingga jika 0< x−a 0 bagaimanapun kecilnya, terdapat suatu δ >0 sehingga jika 0< x−a0 sehingga jika 00 sehingga jika 00 sehingga jika 0