RPP-Baris Dan Deret [PDF]

Citation preview

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN A. Identitas Mata Pelajaran Satuan Pendidikan :SMA Muhammadiyah 6 Palembang Kelas/ Semester : X / Gazal Mata Pelajaran : Matematika (Wajib) Materi Pokok : barisan Aritmetika dan Geometri Alokasi Waktu : 4 x 45 Menit ( 2 x Pertemuan ) (Pertemuan ke-) :1&2 B. Kompetensi Inti 1. KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. KI 2



: Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli(gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.



3. KI 3



: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.



4.



: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan



KI 4



C. Kompetensi Dasardan Indikator Pencapaian Kompetensi KD 3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri



IPK 3.6.1 Menuliskan bentuk-bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.2.2 Menuliskan langkah-langkah penyelesaian dari suatu permasalahan terkait pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.3 Mengilustrasikan suatu permasalahan



4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas).



nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri ke dalam bentuk matematika. 3.6.4 Menjelaskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.5. Mengaitkan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dari sebuah permasalahan nyata dan menuliskannya dalam bentuk matematika. 3.6.6 Menggunakan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam menyelesaiakan permasalahan kontekstual / nyata dalam kehidupan. 4.6.1 Menuliskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri berdasarkan masalah dalam kehidupan nyata. 4.6.2 Menghitung permasalahan kontekstual terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.



D. Tujuan Pembelajaran Pertemuan 1 3.6.1.1 Melalui kajian pustaka siswa dapat menuliskan bentuk-bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.2.1 Melalui Kegiatan diskusi siswa dapat menuliskan langkah-langkah penyelesaian dari suatu permasalahan terkait pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.3.1 Melalui kegiatan diskusi siswa dapat mengilustrasikan suatu permasalahan nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri ke dalam bentuk matematika. 3.6.4.1 Melalui kegiatan diskusi siswa dapat menjelaskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 4.6.1.1 Melalui diskusi siswa dapat menuliskan contoh bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.



4.6.1.2 Melalui diskusi siswa dapat menuliskan dan menjelaskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri serta membuat model matematika dari suatu permasalahan nyata. Pertemuan 2 3.6.5.1 Melalui diskusi siswa dapat megaitkan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dengan permasalahan nyata, serta menuliskannya dalam bentuk matematika. 3.6.6.1 Melalui kajian pustaka dan diskusi siswa dapat menggunakan konsep-konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam menyelesaikan permasalahan kontekstual / nyata dalam kehidupan. 4.6.2.1 Dengan latihan, siswa dapat menyelesaikan dan menghitung hasil akhir dari suatu permasalahan nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri E.



Materi Pembelajaran



Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma 1. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan disebut pola bilangan pada deretan itu. 2. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (N) dan kodomain himpunan semua bilangan real (R). Jika U merupakan fungsi dari N ke R, maka barisannya sering ditulis dengan U1, U2, U3,..., Un,.... Pada barisan U1, U2, U 3,..., Un,..., U n disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu. 3. Jika U 1, U 2, U 3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U 1 + U2 + U3,... + Un +...disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu. 4. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan dapat dituliskan dengan notasi







bilangan yang mempunyai pola



(dibaca: sigma).



Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4, …,



selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,



ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.



Definisi Barisan U1, U 2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1 sering dinotasikan dengan a. Contoh 2.1 1.



1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.



2.



1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.



3.



1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab U2 – U1 = -1 – 1 = -2



2 = 1 – (-1) = U3 – U2



Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika Jika U 1 = a, U 2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut. U1 = a U2 = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . . . Un = a + (n -1)b Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah: Un = a + (n -1)b Contoh 2.2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda Tentukan unsur ke 7 barisan itu. Penyelesaian:



= 2.



Diketahui U 2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n -1)b, diperoleh U2 = a + (2-1)b



U2 = a + b a = U2 - b = 10 - 2 = 8 U7 = a + (7-1) b =a+6b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20. Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20. Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? Penyelesaian: Misalkan: a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000. b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun. P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari. Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000. P2005 = U6 = a + 5b = 6.000.000 + 5(500.000) = 6.000.000 + 2.500.000 = 8.500.000. Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,-



Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika. Definisi Jika U 1, U2, U3, ..., U n, ....



merupakan barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....



disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu. Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3 + ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Sn = Un + (U n - b) + (Un - 2b) + ... + a Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un + 2Sn = (a + Un) + (a + U n) + (a + U n) +... + (a + Un), sebanyak n suku. 2 Sn = n. (a + Un) 1 Sn = n(a  U n ) 2 1 1 Jadi Sn = n(a  U n ) atau Sn = n(2a  (n  1)b) 2 2



Barisan Geometri dan Deret Geometri Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1 = a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut. U1 = a U2 = a r U3 = U2 r = (a r)r = ar 2



2



U4 = U3 r = (a r )r = ar



3



. . . Un = Un-1 r = ar



n-1



Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1 = a dan rasio r adalah:



Un = ar



Definisi Jika U1, U2, U3, ..., Un,....



n-1



merupakan barisan geometri dengan unsur



pertama adalah a = U 1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U 3 + ... + Un + .... disebut deret n-1



geometri dengan Un = ar Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 + U 3 + ... + Un, maka 2



3



Sn = a + ar + ar + ..... + ar 3



4



n-1



r Sn = ar + ar + ar + ..... + ar Sn - r Sn = a - ar



n-1



+ ar



n



n



n



(1 - r) Sn = (1 -r )a Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a(1  r n ) a(r n  1) untuk r < 1 atau S n  untuk r > 1 1 r r 1 Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1 Jumlah deret geomatri tak hingga adalah : a S   lim S n  n  1 r Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus : a(1  0) a  1. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya S   1 r 1 r Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat) 2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n   nilai rn makin besar akibatnya a (1  ) S    1 r Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar) Sn 



Contoh 3.1 Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah : a. Rumus suku ke-n b. Suku ke-8 Jawab : a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r = barisan geometri.



1 sehingga barisan tersebut adalah 3



Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah 1 U n  27.( ) n 1 3 = 33.(3-1)n-1 = 33.3-n + 1 = 34 – n b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 – 8 = 3-4 1 = 81 F. Pendekatan, Model dan Metode Pendekatan : Saintifik Model : Discovery Learning Metode : Diskusi kelompok G.



Media Pembelajaran Alat : Buku Paket Matematika Kelas XI Berbasis Kurikulum 2013 Bahan : LKS



H. Kegiatan Pembelajaran No Keg. Pemb. Sintak Model Discovery Learning I Pendahuluan



Uraian Kegiatan Pembelajaran 1) Guru menyapa dan memberikan salam kepada siswa. 2) Guru mengecek daftar hadir siswa. 3) Guru menjelaskan sistem pembelajaran yang akan diadakan (sistem kerja kelompok dengan menggunakan LKS yang telah disediakan). 4) Guru memberitahukan materi yang akan dipelajari (pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri). 5) Guru memberikan memberitahukan manfaat mempelajari pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam kehidupan nyata.



Waktu



II



Inti



1. Persiapan



2.Menciptakan stimulus



3.Identifikasi Masalah



6) Guru menginformasikan aspek yang akan dinilai pada saat proses pembelajaran berlangsung, meliputi penilaian pengetahuan pada saat mengisi LKS yang telah disediakan, penilaian sikap pada saat proses pembelajaraan berlangsung, serta keterampilan siswa pada saat memaparkan hasil kerja mereka. 7) Apersepsi : Guru mengingatkan kembali materi pra syarat. 1) Siswa mengatur tempat duduk berdasarkan kelompok yang telah ditentukan. Pada kelas XI, siswa dibagi menjadi 7 kelompok dengan masing-masing kelompok beranggotakan 4orang. 2) Masing-masing kelompok mendapatkan LKS berisikan beberapa soal diantaranya siswa diminta menuliskan contoh bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dan beberapa masalah nyata terkait pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.  Soal 1: Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu. Penyelesaian: Diketahui U 2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n -1)b, diperoleh U2 = a + (2-1)b U2 = a + b a = U2 - b = 10 - 2



4. Mengumpulkan Data



= 8 Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu.



5. Mengolah Data



3)



4) 6. Pembuktian



5) 7.Menarik Kesimpulan 6)



III



Penutup



1)



2) 3)



Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? Siswa mencoba menyelesaikan permasalahan nyata yang didapat tadi dengan menuliskannya ke dalam bentuk matematika hingga didapat hasil akhir. Beberapa kelompok belajar siswa secara bergantian mempresentasikan hasil diskusi ke depan kelas dan disimak oleh kelompok lainnya. Siswa lain mengemukakan pendapat kelompok mereka. Kegiatan diskusi terus berlangsung hingga didapat kesepakatan bersama perihal hasil Siswa bersama guru menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah terpecahkan. Guru bersama siswa menarik kesipulan akhir dari materi yang telah dipelajari. (Bagaimana bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri), bagaimana cara memodelkan suatu permasalahan nyata dalam bentuk matematika, menghitung hasil akhir dari masalah tersebut dengan menggunakan model matematika). Guru memberikan tugas untuk siswa di rumah. Guru memberitahukan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya.



4) Guru memberikan salam kepada siswa. I.



Penilaian 1. Penilaian Pengetahuan Teknik : Penugasan ( Kelompok ). Bentuk : LKS KD : 3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) Indikator : Disajikan beberapa masalah nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri, dengan konsep penyelesaian yang sama tetapi konteks yang berbeda-beda. Soal



:



1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut. 2. Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah : a. Rumus suku ke-n b. Suku ke-8 Kunci Jawaban dan Skor 1. U2 = 8, berarti ar = 8 U3 = 64, berarti ar4 = 64 ar.r3 = 64 8r3 = 64 r3 = 8 didapat r = 2 dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4.



4(1  2 n ) Jumlah n suku pertama deret ini adalah S n  1 2



4  4 .2 n 1 n = 4.2 – 4 =



= 22.2n – 4 = 22 + n – 4 Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10 – 4 = 212 – 4 = 4096 – 4 = 4092 1 2. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r = sehingga barisan tersebut 3 adalah barisan geometri. a. Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah 1 U n  27.( ) n 1 3 = 33.(3-1)n-1 = 33.3-n + 1



No



= 34 – n b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 – 8 = 3-4 1 = 81 2. Penilaian Sikap Aspek yang dinilai : Sikap sosial. Waktu Penilaian : Pada saat proses pembelajaran berlangsung. a) Tanggung jawab. b) Jujur. c) Aktif. d) Tertib Tangga Butir Nama Siswa Catatan Perilaku l Sikap



P/ N



1 2 3 ⋮ 3. Penilaian Keterampilan Aspek yang dinilai : Unjuk Kerja / Praktik. No 1



Aspek yang dinilai Persiapan  Latar Belakang (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)



Skor maks 6



2



3



 Rumusan masalah (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1) Pelaksanaan  Keakuratan data / Informasi (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)  Kelengkapan data (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)  Analisis Data (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)  Kesimpulan (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1) Pelaporan hasil  Sistematika laporan (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)  Penggunaan bahasa (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1) Skor maksimal Nilai Unjuk Kerja / Praktik = (skor perolehan : skor maksimal) x 100



12



6



24



J. Sumber Belajar 1. Sembiring, Suwah dan Marsito. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMKMAK Kelas X. Bandung: Yrama Widya. 2. KEMENDIKBUD. 2014. Matematika SMA/MA, SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi 2014). 3. Kanginan, Maerthen. 2014. Matematika untuk Kelas X Sekolah Menengah Atas Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.



Mengetahui Palembang, Kepala Sekolah,



Guru Mata Pelajaran,



NBM.



Amalia Ansari NIP. -