RPP KD. 3.1. Induksi Matematika [PDF]

Citation preview

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas / Semester Pokok Bahasan Alokasi Waktu



: : : : :



SMA N 10 LUWU Matematika (Wajib) XI / Ganjil Induksi Matematika 10 JP (5 Pertemuan)



A. Kompetensi Inti (KI)  KI-1 dan KI-2:Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Menghayati dan Mengamalkan perilaku jujur,disiplin,tanggung jawab,peduli(gotong royong,kerjasama,toleran),santun, responsif,danpro-aktif sebagaibagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.  KI-3 :Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.  KI-4 :Mengolah, menalar, dan mengkaaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Dasar 3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika. 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian. C. Indikator Pencapaian Kompotensi 3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan. 3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika. 3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi matematika. 3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika. 3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip induksi matematika 4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu formula barisan bilangan. 4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki kebenaran suatu formula 4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan keterbagian bilangan. 4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan bilangan. D. Tujuan Pembelajaran Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan dan analisis, peserta didik dapat 1. Melatih peserta didik menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, ramai), santun, responsive dan pro-aktif, berani bertanya, berpendapat dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas seharihari. 2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah. 3. Menjelaskan prinsip induksi matematika. 4. Menjelaskan langkah-langkah pembuktian suatu formula dengan prinsip induksi matematika. 5. Merancang formula dari suatu pola barisan bilangan. 6. Membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi matematika. 7. Membuktikan kebenaran keterbagian pola bilangan.



8. Membuktikan kebenaran ketidaksamaan pola bilangan. 9. Menyelidiki kebenaran formula suatu pola bilangan. Sehingga peserta didik dapat menerapkan konsep pembuktian induksi matematika untuk menyelesaikan beberapa kasus dalam permasalahan sehari-hari sebagi realisasi dari keterampilan berfikir tingkat tinggi/HOTS, kecapakan hidup abad 21khusus dalam penguatan karakter jujur, mandiri, disiplin dan literasi. E. Materi Pembelajaran 1. Fakta Notasi sigma, notasi barisan 2. Konsep Pengertian induksi matematika 3. Prinsip Prinsip induksi matematika 4. Prosedur Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli n. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut: a. b.



Misalkan P(n) benar untuk n = 1 (sebagai nilai awal) Jika diasumsikan P(n) benar, untuk n = k dan dapat ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 maka P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.



F. Pendekatan/Model/Metode Pembelajaran Pendekatan : ScientificApproach Model : Discovery Learning (5 Pertemuan) Metode : Guide Discovery, Tanya jawab, Penugasan dan Presentasi/unjuk kerja



G. Langkah-langkah Pembelajaran Pertemuan 1 Indikator : 3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan 4.1.1 Menerapkan pinsip induksi matematika untuk membuktikan suatu formula barisan bilangan Deskripsi Kegitan No. 1.



Kegiatan Pendahuluan : (10 Menit) 1. Mengondisikan suasana belajar yang kondusif (berdoa, mengabsen kehadiran dan mengecek kesipan belajar peserta didik) 2. Apersepsi: pendidik menanyakan kembali tentang pola bilangan yang telah dipelajari di SMP 3. Menyampaikan tujuan pembelajaranyang akan dicapai kepada peserta didik. 4. Menyampaikan cakupan materi yang akan dipelajari yakni tentang formula suatu pola bilangan 5. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok.



2.



Kegiatan Inti : (65 Menit) Fase Stimulation (Memberi Stimulus) 6. Setiap kelompok diberi UKB 1 dan memperhatikan Kegiatan Belajar 1. 7. Peserta didik diminta mengamati secara seksama dan teliti ilustrasi dan penyelesaian dari pembuktian induksi matematika. 8. Diharapkan peserta didik dapat merancang formula suatu pola bilangan. Fase Statement (Mengidentifikasi Masalah) 9. Dari hasil pengamatan pada Kegiatan belajar 1, diharapkan perhatian peserta didik fokus pada soal dan penyelesaian yang terdapat pada UKB. Sehingga memunculkan pertanyaan “Bagaimana merancang formula suatu pola



bilangan?” Fase Data Collecting (Menggunakan Data) 10. Peserta didik mengumpulkan informasi dari berbagai refensi untuk menjawab pertanyaan tersebut (buku teks pelajaran, internet) 11. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh Fase Data Prosessing (Mengolah Data) 12. Peserta didik mengolah informasi yang telah dikumpulkan untuk diaplikasikan ke soal-soal yang telah disiapkan pendidik pada Kegiatan Belajar 1. 13. Pendidik mengarahkan peserta didik dalam mengolah informasi pendukung jika diperlukan. Fase Verification (Memverifikasi) 14. Pendidik meminta peserta didik mengecek kebenaran dari hasil kerja kelompok mereka dengan memaparkan hasil diskusinya 15. Pendidik mengoreksi hasil diskusi yang telah dipaparkan Fase Generalization (Menyimpulkan) 16. Peserta didik dan pendidik menyimpulkan tentang merancang formula suatu pola barisan bilangan 17. Peserta didik merancang formula suatu pola barisan bilangan dalam menyelesaikan latihan pada UKB 3.



Kegiatan Penutup: (15 Menit) 18. Peserta didik diberi tes tulis evaluasi yang terdapat pada Kegiatan Belajar 1 19. Peserta didik mengumpulkan hasil tes evaluasi dan apabila evaluasi pembelajaran belu selesai dikerjakan, peserta didik dapat melanjutkan di rumah 20. Pendidik melakukan refleksi sebgai umpan balik terhadap proses pembelajaran 21. Pendidik menyampaikan materi pembelajaran untuk pertemuan selanjutnya. 22. Pendidik mengakhiri kegiatan belajar dengan mengucapkan salam penutup. 23. Setelah selesai mengerjakan evaluasi tersebut, peserta didik dapat melanjutkan Kegiatan Belajar 2 pada UKB 1



Pertemuan 2 Indikator : 3.1.2. Menjelaskan prinsip induksi matematika 4.1.2. Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki kebenaran suatu formula Deskripsi Kegitan No. 1.



Kegiatan Pendahuluan : (10 Menit) 1. Mengondisikan suasana belajar yang kondusif (berdoa, mengabsen kehadiran dan mengecek kesipan belajar peserta didik) 2. Apersepsi: pendidik menanyakan kembali tentang pola bilangan yang telah dipelajari di SMP 3. Menyampaikan tujuan pembelajaranyang akan dicapai kepada peserta didik. 4. Menyampaikan cakupan materi yang akan dipelajari yakni tentang prinsip induksi matematika dan pembuktian penyataan matematika berupa barisan atau deret bilangan 5. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok.



2.



Kegiatan Inti : (65 Menit) Fase Stimulation (Memberi Stimulus) 6. Setiap kelompok diberi UKB 1 dan memperhatikan Kegiatan Belajar 2. 7. Peserta didik diminta mengamati secara seksama dan teliti contoh dan penyelesaian dari pembuktian induksi matematika. 8. Diharapkan peserta didik dapat menjelaskan prinsip dasar induksi matematika. Fase Statement (Mengidentifikasi Masalah) 9. Dari hasil pengamatan pada Kegiatan belajar 2, diharapkan perhatian peserta didik focus pada soal dan penyelesaian yang terdapat pada UKB. Sehingga



memunculkan pertanyaan “Bagiamana membuktikan suatu formula barisan bilangan dengan prinsip induksi matematika?” Fase Data Collecting (Menggunakan Data) 10. Peserta didik mengumpulkan informasi dari berbagai refensi untuk menjawab pertanyaan tersebut (buku teks pelajaran, internet) 11. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh Fase Data Prosessing (Mengolah Data) 12. Peserta didik mengolah informasi yang telah dikumpulkan untuk diaplikasikan ke soal-soal yang telah disiapkan pendidik pada Kegiatan Belajar 2. 13. Pendidik mengarahkan peserta didik dalam mengolah informasi pendukung jika diperlukan. Fase Verification (Memverifikasi) 14. Pendidik memita peserta didik mengecek kebenaran dari hasil kerja kelompok mereka dengan memaparkan hasil diskusinya 15. Pendidik mengoreksi hasil diskusi yang telah dipaparkan Fase Generalization (Menyimpulkan) 16. Peserta didik dan pendidik menyimpulkan tentang prinsip induksi 17. Peserta didik menerapkan prinsip induksi dalam menyelesaikan latihan pada UKB 3.



Kegiatan Penutup: (15 Menit) 18. Peserta didik diberi tes tulis evaluasiyang terdapat pada Kegiatan Belajar 2 19. Peserta didik mengumpulkan hasil tes evaluasi dan apabila evaluasi pembelajaran belu selesai dikerjakan, peserta didik dapat melanjutkan di rumah 20. Pendidik melakukan refleksi sebgai umpan balik terhadap proses pembelajaran 21. Pendidik menyampaikan materi pembelajaran untuk pertemuan selanjutnya. 22. Pendidik mengakhiri kegiatan belajar dengan mengucapkan salam penutup. 23. Setelah selesai mengerjakan evaluasi tersebut, peserta didik dapat melanjutkan Kegiatan Belajar 3 pada UKB 1



Pertemuan 3 Indikator : 3.1.3. Membuktikan formula suatu barisan dengan induksi matematika 4.1.2. Menerapakan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki kebenaran suatu formula Deskripsi Kegitan No. 1.



Kegiatan Pendahuluan : 1. Mengondisikan suasana belajar yang kondusif (berdoa, mengabsen kehadiran dan mengecek kesipan belajar peserta didik) 2. Apersepsi: pendidik menanyakan kembali tentang prinsip dasar induksi matematika dalam membuktikan pernyataan matematis pada barisan atau deret bilangan 3. Menyampaikan tujuan pembelajaranyang akan dicapai kepada peserta didik. 4. Menyampaikan cakupan materi yang akan dipelajari yakni tentang pembuktian penyataan matematika pada ekspresi deret bilangan pecahan dan ekspresi deret naik-turun bilangan bulat positif 5. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok.



2.



Kegiatan Inti : Fase Stimulation (Memberi Stimulus) 6. Setiap kelompok diberi UKB 1 dan memperhatikan Kegiatan Belajar 3. 7. Peserta didik diminta mengamati secara seksama dan teliti contoh dan penyelesaian dari pembuktian induksi matematika. 8. Diharapkan peserta didik dapat meggunakan prinsip dasar induksi matematika dalam membuktikan formula suatu barisan bilangan



Fase Statement (Mengidentifikasi Masalah) 9. Dari hasil pengamatan pada Kegiatan belajar 3, diharapkan perhatian peserta didik fokus pada soal dan penyelesaian yang terdapat pada UKB. Sehingga memunculkan pertanyaan “Bagiamana membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi matematika pada ekspresi deret bilangan pecahan dan deret naik-turun bilangan bulat positif?” Fase Data Collecting (Menggunakan Data) 10. Peserta didik mengumpulkan informasi dari berbagai refensi untuk menjawab pertanyaan tersebut (buku teks pelajaran, internet) 11. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh Fase Data Prosessing (Mengolah Data) 12. Peserta didik mengolah informasi yang telah dikumpulkan untuk diaplikasikan ke soal-soal yang telah disiapkan pendidik pada Kegiatan Belajar 3. 13. Pendidik mengarahkan peserta didik dalam mengolah informasi pendukung jika diperlukan. Fase Verification (Memverifikasi) 14. Pendidik memita peserta didik mengecek kebenaran dari hasil kerja kelompok mereka dengan memaparkan hasil diskusinya 15. Pendidik mengoreksi hasil diskusi yang telah dipaparkan Fase Generalization (Menyimpulkan) 16. Peserta didik dan pendidik menyimpulkan tentang prinsip induksi 17. Peserta didik menerapkan prinsip induksi dalam menyelesaikan latihan pada UKB 3.



Kegiatan Penutup: 18. Peserta didik diberi tes tulis evaluasiyang terdapat pada Kegiatan Belajar 3 19. Peserta didik mengumpulkan hasil tes evaluasi dan apabila evaluasi pembelajaran belum selesai dikerjakan, peserta didik dapat melanjutkan di rumah 20. Pendidik melakukan refleksi sebgai umpan balik terhadap proses pembelajaran 21. Pendidik menyampaikan materi pembelajaran untuk pertemuan selanjutnya. 22. Pendidik mengakhiri kegiatan belajar dengan mengucapkan salam penutup. 23. Setelah selesai mengerjakan evaluasi tersebut, peserta didik dapat melanjutkan Kegiatan Belajar 4 pada UKB 1



Pertemuan 4 Indikator : 3.1.4. Membuktikan formulaketerbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika 4.1.3. Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki keterbagian bilangan. Deskripsi Kegitan No. 1.



Pendahuluan (10 Menit) 1. Mengondisikan suasana belajar yang kondusif (berdoa, mengabsen kehadiran dan mengecek kesipan belajar peserta didik) 2. Apersepsi: pendidik menanyakan kembali tentang materi sebelumnya yaitu pembuktian pernyataan matematis berupa barisan/deret dan ketidaksamaan dengan induksi matematika serta materi yang telah dipelajarinya di SMP tentang KPK/FPB 3. Menyampaikan tujuan pembelajaranyang akan dicapai kepada peserta didik. 4. Menyampaikan cakupan materi yang akan dipelajari yakni tentang prinsip induksi matematika dan pembuktian penyataan matematika berupa keterbagian 5. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok.



2.



Kegiatan Inti (65 Menit) Fase Stimulation (Memberi Stimulus)



6. Setiap kelompok diberi UKB 1 dan memperhatikan Kegiatan Belajar 4. 7. Peserta didik diminta mengamati secara seksama dan teliti contoh dan penyelesaian dari pembuktian induksi matematika. 8. Diharapkan peserta didik dapat menjelaskan prinsip dasar induksi matematika. Fase Statement (Mengidentifikasi Masalah) 9. Dari hasil pengamatan pada Kegiatan belajar 4, diharapkan perhatian peserta didik focus pada soal dan penyelesaian yang terdapat pada UKB. Sehingga memunculkan pertanyaan “Bagiamana membuktikan suatu formula berupa keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika?” Fase Data Collecting (Menggunakan Data) 10. Peserta didik mengumpulkan informasi dari berbagai refensi untuk menjawab pertanyaan tersebut (buku teks pelajaran, internet) 11. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh Fase Data Prosessing (Mengolah Data) 12. Peserta didik mengolah informasi yang telah dikumpulkan untuk diaplikasikan ke soal-soal yang telah disiapkan pendidik pada Kegiatan Belajar 4. 13. Pendidik mengarahkan peserta didik dalam mengolah informasi pendukung jika diperlukan. Fase Verification (Memverifikasi) 14. Pendidik memita peserta didik mengecek kebenaran dari hasil kerja kelompok mereka dengan memaparkan hasil diskusinya 15. Pendidik mengoreksi hasil diskusi yang telah dipaparkan Fase Generalization (Menyimpulkan) 16. Peserta didik dan pendidik menyimpulkan tentang prinsip induksi 17. Peserta didik menerapkan prinsip induksi dalam menyelesaikan latihan pada UKB 3.



Penutup (15 Menit) 18. Peserta didik diberi tes tulis evaluasiyang terdapat pada Kegiatan Belajar 5 19. Peserta didik mengumpulkan hasil tes evaluasi dan apabila evaluasi pembelajaran belum selesai dikerjakan, peserta didik dapat melanjutkan di rumah 20. Pendidik melakukan refleksi sebgai umpan balik terhadap proses pembelajaran 21. Pendidik menyampaikan materi pembelajaran untuk pertemuan selanjutnya. 22. Pendidik mengakhiri kegiatan belajar dengan mengucapkan salam penutup. 23. Setelah selesai mengerjakan evaluasi tersebut, peserta didik dapat menjawab rubrik evaluasi diri pada UKB 1



Pertemuan 5 Indikator : 3.1.5. Membuktikan formula bentuk ketidaksamaanbilangan dengan prinsip induksi matematika 4.1.4. Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan bilangan Deskripsi Kegitan No. 1.



Pendahuluan (10 Menit) 1. Mengondisikan suasana belajar yang kondusif (berdoa, mengabsen kehadiran dan mengecek kesipan belajar peserta didik) 2. Apersepsi: pendidik menanyakan kembali tentangpembuktian induksi matematika pada pernyataan matematis berupa barisan atau deret dan materi yang telah dipelajari di SMP tentang ketidaksamaan 3. Menyampaikan tujuan pembelajaranyang akan dicapai kepada peserta didik. 4. Menyampaikan cakupan materi yang akan dipelajari yakni tentang pembuktian penyataan matematika berupa ketidaksamaan bilangan



5. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok. 2.



Kegiatan Inti (65 Menit) Fase Stimulation (Memberi Stimulus) 6. Setiap kelompok diberi UKB 1 dan memperhatikan Kegiatan Belajar 5. 7. Peserta didik diminta mengamati secara seksama dan teliti contoh dan penyelesaian dari pembuktian induksi matematika. 8. Diharapkan peserta didik dapat menjelaskan prinsip dasar induksi matematika. Fase Statement (Mengidentifikasi Masalah) 9. Dari hasil pengamatan pada Kegiatan 5, diharapkan perhatian peserta didik focus pada soal dan penyelesaian yang terdapat pada UKB. Sehingga memunculkan pertanyaan “Bagaimana membuktikan suatu formula berupa ketidaksamaan bilangan dengan prinsip induksi matematika ?” Fase Data Collecting (Menggunakan Data) 10. Peserta didik mengumpulkan informasi dari berbagai refensi untuk menjawab pertanyaan tersebut (buku teks pelajaran, internet) 11. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh Fase Data Prosessing (Mengolah Data) 12. Peserta didik mengolah informasi yang telah dikumpulkan untuk diaplikasikan ke soal-soal yang telah disiapkan pendidik pada Kegiatan Belajar 5. 13. Pendidik mengarahkan peserta didik dalam mengolah informasi pendukung jika diperlukan. Fase Verification (Memverifikasi) 14. Pendidik memita peserta didik mengecek kebenaran dari hasil kerja kelompok mereka dengan memaparkan hasil diskusinya 15. Pendidik mengoreksi hasil diskusi yang telah dipaparkan Fase Generalization (Menyimpulkan) 16. Peserta didik dan pendidik menyimpulkan tentang prinsip induksi 17. Peserta didik menerapkan prinsip induksi dalam menyelesaikan latihan pada UKB



3.



Penutup (15 Menit) 18. Peserta didik diberi tes tulis evaluasiyang terdapat pada Kegiatan Belajar 5 19. Peserta didik mengumpulkan hasil tes evaluasi dan apabila evaluasi pembelajaran belum selesai dikerjakan, peserta didik dapat melanjutkan di rumah 20. Pendidik melakukan refleksi sebgai umpan balik terhadap proses pembelajaran 21. Pendidik menyampaikan materi pembelajaran untuk pertemuan selanjutnya. 22. Pendidik mengakhiri kegiatan belajar dengan mengucapkan salam penutup. 23. Setelah selesai mengerjakan evaluasi tersebut, peserta didik dapat menjawab rubrik evaluasi diri pada UKB 1



H. Penilaian a. TeknikPenilaian: 1. Pengetahuan : Tes Tertulis (Uraian) 2. Keterampilan : tes tertulis penyelesaian masalah 3. Sikap : Observasidanjurnal I.



Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran 1. Media : Buku Tes Pelajaran (BTP), UKBM 2. Alat : Spidol, laptop dan white board 3. Sumber Pembelajaran:  Kemendikbud RI. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kemendikbud



J. Pengayaan Bagi peserta didik yang telah mencapai target pembelajaran sebelum waktu yang telah dialokasikan berakhir, perlu diberikan kegiatan pengayaan. K. Remedial Bagi peserta didik yang belum mencapai target pembelajaran pada waktu yang telah dialokasikan, perlu diberikan kegiatan remedial. Bua, Mengetahui: Kepala Sekolah,



Drs.H.ANDI BURHAN,M.M NIP.19661231 199203 1 076



Juli 2019



Guru Mata Pelajaran,



ASDAYANTI MAKKARAKA, S.Pd NIP.



Lampiran Materi Pembelajaran Lampiran Pertemuan 1 1. Materi Pembelajaran PENGANTAR INDUKSI MATEMATIKA Perhatikan ilustrasi berikut



𝑆1



𝑆2



𝑆3



𝑆4



𝑆5



………



𝑆𝑘



𝑆𝑘+1 𝑆𝑘+2



𝑆𝑘+3



𝑆𝑘+4



𝑆1



𝑆2



𝑆3



𝑆4



𝑆5



………



𝑆𝑘



𝑆𝑘+1 𝑆𝑘+2



𝑆𝑘+3



𝑆𝑘+4



Jika domino 𝑆1 dijatuhkan kearah domino 𝑆2 , maka domino yang paling ujung 𝑆𝑛 pun akan jatuh. Inilah yang biasnya disebut dengan efek domino.



2. Instrument Penilaian A. Penilaian Pengetahuan Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan permasalahan di atas, maka cobalah selesaikan soal – soal berikut ini : Tentukanlah formula yang sesuai untuk penjumlahan berikut: 1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … … . . + 2𝑛 2. 12 + 32 + 52 + 72 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 3. 13 + 23 + 33 + 43 + ⋯ + 𝑛3 Pedoman Penskoran No. Alternatif Penyelesaian 1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … … . . + 2𝑛 Selisih bilangan berurutan selalu sama 2 (2 + 2𝑛) = (4 + 2𝑛 − 2) = (6 + 2𝑛 − 4) = . . … .. 𝑛 Artinya terdapat 2 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan



Skor



10



2𝑛 + 2. Jadi formula dari pola tersebut adalah 𝑛 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … … . . + 2𝑛 = 2. 2𝑛 + 2 = 𝑛(𝑛 + 1) 2.



12 + 32 + 52 + 72 + ⋯ + (2𝑛 − 3)2 + (2𝑛 − 1)2 1 + 9 + 25 + 49+ . . . . +(4𝑛2 − 12𝑛 + 9) + (4𝑛2 − 4𝑛 + 1) 1(4.1 − 1) 12 = =1 3 2(4.4 − 1) 12 + 32 = = 10 3 3(4.9 − 1) 12 + 32 + 52 = = 45 3 4(4.16 − 1) 12 + 32 + 52 + 72 = = 92 3 ………



20



𝑛(4𝑛2 − 1) 3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛3



12 + 32 + 52 + 72 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 = 3. 13 =



1(4) =1 4



30



4(9) =9 4 9(16) 13 + 23 + 33 = = 36 4 16(25) 13 + 23 + 33 + 43 = = 100 4 ……… 𝑛2 (𝑛 + 1)2 13 + 23 + 33 + 43 + ⋯ + 𝑛3 = 4 13 + 23 =



TOTAL



𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒂𝒌𝒉𝒊𝒓 =



60



𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟎



Ket. Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM) : 78 Tuntas jika Nilai ≥ KKM Tidak Tuntas jika < KKM



Lampiran Pertemuan 2 1. Materi Pembelajaran PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Anggap untuk setiap bilangan asli n, kita mempunyai pernyataan 𝑃𝑛 yang memenuhi dua kondisi berikut : 1. 𝑃1 adalah benar (dibuktikan) 2. Jika 𝑃𝑘 dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka 𝑃𝑘+1 harus dibuktikan juga benar Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan 𝑃𝑛 benar untuk setiap bilangan asli n. Pembuktiaan P1 merupakan keadaan dasar. Mekanisme Pk+1 dan Pk+1 yang merupakan pembuktian benar dikenal sebagai tahapan induksi (step induksi) Contoh Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2 untuk setiap bilangan asli n Penyelesaian : Misalkan 𝑃𝑛 ≡ 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 , maka kita harus menunjukan bahwa 𝑃𝑛 benar untuk setiap bilanga asli n Langkah Awal Ambil 𝑛 = 1, maka diperoleh 𝑃1 ≡ (2(1) − 1) = (1)2 → 1 = 1 …….… (Benar) Langkah Induksi Anggap 𝑃𝑘 benar, yaitu 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘 2 , maka akan dibuktikan : 𝑃𝑘+1 ≡ 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + [2(𝑘 + 1) − 1] = (𝑘 + 1)2 𝑃𝑘+1 ≡ 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 𝑘2 Jadi, 𝑃𝑘+1 benar Kesimpulan :𝑃𝑛 ≡ 𝑛2 benar (terbukti)



2. Instrument Penilaian Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal – soal berikut ini : Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah : 1. 2 + 4 + 6 + ⋯ + (2𝑛) = ∑𝑛𝑖=1(2𝑖) = 𝑛(𝑛 + 1) 2. 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 = ∑𝑛𝑖=1(2𝑖 − 1)2 = 3. 𝑃𝑛 ≡



∑𝑛𝑖=1(2𝑖



− 1)(2𝑖) =



𝑛(4𝑛2 −1) 3



𝑛(𝑛+1)(4𝑛−1) 3



Pedoman Penskoran No. Alternatif Penyelesaian 𝑛 1. 𝑃𝑛 ≡ 2 + 4 + 6 + ⋯ + (2𝑛) = ∑ (2𝑖) = 𝑛(𝑛 + 1)



Skor



𝑖=1



2.



Untuk 𝑃1 → 2(1) = 1(1 + 1) → 2 = 2(Benar) Untuk𝑃𝑘 → 2 + 4 + 6 + ⋯ + (2𝑘) = ∑𝑘𝑖=1(2𝑖) = 𝑘(𝑘 + 1) dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 2 + 4 + 6 + ⋯ + (2𝑘) + (2𝑘 + 2) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2 + 4 + 6 + ⋯ + (2𝑘) + (2𝑘 + 2) = 𝑘(𝑘 + 1) + (2𝑘 + 2) = (𝑘 2 + 𝑘) + (2𝑘 + 2) = 𝑘 2 + 3𝑘 + 2 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(Benar) Jadi, 𝑷𝒏 terbukti 𝑛(4𝑛2 − 1) 𝑃𝑛 ≡ 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 = 3 Untuk 𝑃1 → (2(1) − 1)2 =



1(4(1)2 −1) 3



10



→ 1 = 1(Benar)



Untuk 𝑃𝑘 → 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑘 − 1)2 =



𝑘(4𝑘 2 −1) 3



dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑘 − 1)2 + (2𝑘 + 1)2 (𝑘 + 1)(4(𝑘 + 1)2 − 1) = 3 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑘 − 1)2 + (2𝑘 + 1)2 𝑘(4𝑘 2 − 1) = + (2𝑘 + 1)2 3 =



4𝑘 3 − 𝑘 3(4𝑘 2 + 4𝑘 + 1) + 3 3



=



4𝑘 3 + 12𝑘 2 + 11𝑘 + 3 3



=



(𝑘 + 1)(4𝑘 2 + 8𝑘 + 3) 3



(𝑘 + 1)(4(𝑘 2 + 2𝑘 + 1) − 1) = 3 (𝑘 + 1)(4(𝑘 + 1)2 − 1) = 3 Jadi, 𝑷𝒏 terbukti



20



𝑛



3.



𝑃𝑛 ≡ ∑



(2𝑖 − 1)(2𝑖) = 𝑖=1



Untuk 𝑃1 → (2 − 1)(2) =



1(2)(3) 3



Untuk 𝑃𝑘 → ∑𝑘𝑖=1(2𝑖 − 1)(2𝑖) =



𝑛(𝑛 + 1)(4𝑛 − 1) 3



→ 2 = 2(Benar) 𝑘(𝑘+1)(4𝑘−1) 3



dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 𝑘+1 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(4𝑘 + 3) ∑ (2𝑖 − 1)(2𝑖) = 3 𝑖=1 𝑘



∑



𝑘



(2𝑖 − 1)(2𝑖) = ∑ 𝑖=1



𝑘+1



(2𝑖 − 1)(2𝑖) + ∑ 𝑖=1



(2𝑖 − 1)(2𝑖) 𝑖=𝑘+1



=



𝑘(𝑘 + 1)(4𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1)2(𝑘 + 1) 3



=



(𝑘 + 1)(4𝑘 2 − 𝑘) 6(2𝑘 + 1)(𝑘 + 1) + 3 3



=



𝑘+1 {(4𝑘 2 − 𝑘) + (12𝑘 + 6)} 3



=



𝑘+1 (4𝑘 2 + 11𝑘 + 6) 3



=



(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(4𝑘 + 3) 3



20



Jadi, 𝑷𝒏 terbukti TOTAL



𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒂𝒌𝒉𝒊𝒓 =



50



𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎



Ket. Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM) : 78 Tuntas jika Nilai ≥ KKM Tidak Tuntas jika < KKM



Lampiran Pertemuan 3 1. Materi Pembelajaran Pembuktian induksi matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis. Pernyataan tersebut merupakan sebuah pernyataan dalam variable yang mewakili bilangan bulat positif. Berikut ini contoh pernyataan matematis yang dibuktikan dengan induksi matematika. Contoh Buktikan bahwa : 1 1 1 𝑛 𝑃𝑛 ≡ + + ⋯+ = 1𝑥2 2𝑥3 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 Pembahasan : Kita tulis pernyataan 𝑃𝑛 dalam notasi sigma, yaitu 1 1 𝑛 𝑃𝑛 ≡ ∑ = 𝑛+1 𝑖=1 𝑖(𝑖 + 1)



Langkah Awal Ambil 𝑛 = 1, maka diperoleh 𝑃1 ≡ ∑1𝑖=1



1 1(1+1)



=



(1) (1)+1



…………….. (Benar)



Langkah Induksi 1 𝑘 Anggap 𝑃𝑘 benar, yaitu 𝑃𝑘 ≡ ∑𝑘𝑖=1 𝑖(𝑖+1) = 𝑘+1, maka akan dibuktikan : 𝑘+1



1 𝑘+1 = 𝑘+2 𝑖=1 𝑖(𝑖 + 1) 𝑘+1 𝑘 𝑘+1 1 1 1 ∑ =∑ +∑ 𝑖=1 𝑖(𝑖 + 1) 𝑖=1 𝑖(𝑖 + 1) 𝑖=𝑘+1 𝑖(𝑖 + 1) 𝑘 1 = 𝑘+1 + (𝑘+1)(𝑘+2) 𝑃𝑘+1 ≡ ∑



𝑘(𝑘+2)+1



= (𝑘+1)(𝑘+2) 𝑘 2 +2𝑘+1



= (𝑘+1)(𝑘+2) (𝑘+1)2



𝑘+1



= (𝑘+1)(𝑘+2) = 𝑘+2 1



𝑘+1



𝑘+1



Karena ∑𝑘+1 𝑖=1 𝑖(𝑖+1) = 𝑘+2, maka 𝑃𝑘+1 ≡ 𝑘+2 adalah benar 1



𝑛



Kesimpulan :𝑃𝑛 ≡ ∑𝑛𝑖=1 𝑖(𝑖+1) = 𝑛+1



(terbukti)



2. Instrument Penilaian Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal-soal di bawah ini: Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan setiap pernyataan berikut. 1



1



1



𝑛



1. 𝑃𝑛 ≡ 2𝑥4 + 4𝑥6 + ⋯ + 2𝑛(2𝑛+2) = 4(𝑛+1) 2𝑖−1



2. 𝑃𝑛 ≡ ∑𝑛𝑖=1 2𝑖−1 = 6 −



2𝑛+3 2𝑛−1



3. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 + (2𝑛 − 2) + ⋯ + 4 + 2 = 2𝑛2 Pedoman Penskoran No. Alternatif Penyelesaian 1 1 1 𝑛 1. 𝑃𝑛 ≡ + + ⋯+ = 2𝑥4 4𝑥6 2𝑛(2𝑛 + 2) 4(𝑛 + 1) 1



1



1



Skor



1



Untuk 𝑃1 → 2(4) = 4(2) → 8 = 8(Benar) 1



1



1



𝑘



Untuk 𝑃𝑘 →2𝑥4 + 4𝑥6 + ⋯ + 2𝑘(2𝑘+2) = 4(𝑘+1)



2.



dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 1 1 1 1 𝑘+1 + + ⋯+ + = 2𝑥4 4𝑥6 2𝑘(2𝑘 + 2) (2𝑘 + 2)(2𝑘 + 4) 4(𝑘 + 2) 1 1 1 1 + +⋯+ + 2𝑥4 4𝑥6 2𝑘(2𝑘 + 2) (2𝑘 + 2)(2𝑘 + 4) 𝑘 1 = + 4(𝑘 + 1) (2𝑘 + 2)(2𝑘 + 4) 𝑘(2𝑘 + 4) 2 = + 4(𝑘 + 1)(2𝑘 + 4) 2(2𝑘 + 2)(2𝑘 + 4) 2𝑘 2 + 4𝑘 + 2 = 4(𝑘 + 1)(2𝑘 + 4) 2(𝑘 + 1)(𝑘 + 1) 𝑘+1 = = 4(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2) 4(𝑘 + 2) Jadi, 𝑷𝒏 terbukti 𝑛 2𝑖 − 1 2𝑛 + 3 𝑃𝑛 ≡ ∑ = 6 − 𝑖−1 2𝑛−1 𝑖=1 2 1



5



Untuk 𝑃1 → 1 = 6 − 1 → 1 = 1(Benar) 2𝑖−1



Untuk 𝑃𝑘 →∑𝑘𝑖=1 2𝑖−1 = 6 −



2𝑘+3 2𝑘−1



20



20



dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → ∑



𝑘+1 2𝑖 𝑖=1



∑



𝑘+1 2𝑖 𝑖=1



=6 −



−1



2𝑖−1



−1



2𝑖−1



=6−



2𝑘 + 5 2𝑘



𝑘



=∑



𝑘+1 2𝑖 − 1 2𝑖 − 1 + ∑ 𝑖−1 𝑖−1 𝑖=1 2 𝑖=𝑘+1 2



2𝑘 + 3 2𝑘 + 1 + 2𝑘−1 2𝑘



=6−



4𝑘 + 6 2𝑘 + 1 + 2(2𝑘−1 ) 2𝑘



=6−



2𝑘 + 5 2𝑘



Jadi, 𝑷𝒏 terbukti 𝑃𝑛 ≡ 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 + (2𝑛 − 2) + ⋯ + 4 + 2 = 2𝑛2 Untuk 𝑃1 → 2(1) = 2(1)2 → 2 = 2(Benar) Untuk 𝑃𝑘 → 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + (2𝑘 − 2) + ⋯ + 4 + 2 = 2𝑘 2



3.



dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + (2𝑘 + 2) + 2𝑘 + ⋯ + 4 + 2 = 2(𝑘 + 1)2 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + (2𝑘 + 2) + 2𝑘 + ⋯ + 4 + 2



20



= 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + (2𝑘 − 2) + ⋯ + 4 + 2 + {(2𝑘 + 2) + 2𝑘} = 2𝑘 2 + {(2𝑘 + 2) + 2𝑘} = 2𝑘 2 + 4𝑘 + 2 = 2(𝑘 + 1)2 Jadi, 𝑷𝒏 terbukti TOTAL



𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒂𝒌𝒉𝒊𝒓 =



𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟎



Ket. Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM) : 78 Tuntas jika Nilai ≥ KKM Tidak Tuntas jika < KKM



60



Lampiran Pertemuan 4 1. Materi Pembelajaran Prinsip induksi matematika dapat juga digunakan untuk pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematis berupa keterbagiaan, seperti yang disajikan pada contoh di bawah ini Contoh Buktikan bahwa nilai 𝑃𝑛 ≡ 52𝑛 − 1 habis dibagi 3, untuk ∀ 𝑛 ∈ ℕ Pembahasan : Langkah Awal Ambil 𝑛 = 1, maka diperoleh 𝑃1 ≡ 52(1) − 1 = 24 habis dibagi 3 Jadi, 𝑃1 habis dibagi 3 (Benar) Langkah Induksi Anggap 𝑃𝑘 ≡ 52𝑘 − 1 benar dan akan dibuktikan 𝑃𝑘+1 ≡ 52(𝑘+1) − 1 habis dibagi 3 52(𝑘+1) − 1 = (5(𝑘+1) )2 − 1 = (5(𝑘+1) + 1)(5(𝑘+1) − 1) = (5.5𝑘 + 5 − 4)(5.5𝑘 − 5 + 4) = (5(5𝑘 + 1) − 4)(5(5𝑘 − 1) + 4) = 25(52𝑘 − 1) − 20(5𝑘 − 1) + 20(5𝑘 + 1) − 16 = 25(52𝑘 − 1) − 20. 5𝑘 + 20 + 205𝑘 + 20 − 16 = 25(52𝑘 − 1) + 24 Karena 25(52𝑘 − 1) habis dibagi 3 dan 24 habis dibagi 3, maka 𝑃𝑘+1 ≡ 52(𝑘+1) − 1 habis dibagi 3 Kesimpulan 𝑃𝑛 ≡ 52𝑛 − 1 habis dibagi 3(terbukti) 2. Instrument Penilaian Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal-soal di bawah ini: Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku: 1. 5𝑛 + 3 habis dibagi 4 2. 6 adalah faktor dari 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 3. 6𝑛 + 4 habis dibagi 10



Pedoman Penskoran No. Alternatif Penyelesaian 5𝑛 + 3 habis dibagi 4 1. Untuk 𝑛 = 1 → 51 + 3 = 8 habis dibagi 4(Benar) Untuk 𝑛 = 𝑘 → 5𝑘 + 3 habis dibagi 4 dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 → 5𝑘+1 + 3 juga habis dibagi 4 5𝑘+1 + 3 = 5. 5𝑘 + 3 = 5. 5𝑘 + 15 − 12 = 5(5𝑘 + 3) − 12 Karena5(5𝑘 + 3) habis dibagi 4 dan (−12) juga habis dibagi 4, maka 5(5𝑘 + 3) − 12 habis dibagi 4.



Skor



15



2.



Jadi, terbukti5𝑛 + 3 habis dibagi 4 6 adalah faktor dari 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 Untuk 𝑛 = 1 → 1 + 3 + 2 = 6 habis dibagi 6(Benar) Untuk 𝑛 = 𝑘 → 𝑘 3 + 3𝑘 2 + 2𝑘 habis dibagi 6 dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 → (𝑘 + 1)3 + 3(𝑘 + 1)2 + 2(𝑘 + 1) juga habis dibagi 6 (𝑘 + 1)3 + 3(𝑘 + 1)2 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 3 + 3𝑘 2 + 3𝑘 + 1) + (3𝑘 2 + 6𝑘 + 3) + (2𝑘 + 2)



20



= 𝑘 3 + 3𝑘 2 + 2𝑘 + (3𝑘 2 + 3𝑘 + 1) + (6𝑘 + 3) + (2) = 𝑘 3 + 3𝑘 2 + 2𝑘 + {3𝑘 2 + 9𝑘 + 6} = 𝑘 3 + 3𝑘 2 + 2𝑘 + 3(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Karena 2 dan 3 adalah factor dari 3(𝑛 + 1)(𝑛 + 2), maka 3(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) pasti habis dibagi 6 Jadi, terbukti6 adalah faktor dari 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 6𝑛 + 4 habis dibagi 10 3. Untuk 𝑛 = 1 → 61 + 4 = 10 habis dibagi 10(Benar) Untuk 𝑛 = 𝑘 → 6𝑘 + 4 habis dibagi 10 dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 → 6𝑘+1 + 4 juga habis dibagi 10 6𝑘+1 + 4 = 6. 6𝑘 + 4 15 𝑘 = 6. 6 + 24 − 20 = 6(6𝑘 + 4) − 20 Karena6(6𝑘 + 4) habis dibagi 10 dan (−20) juga habis dibagi 10, maka 6(6𝑘 + 4) − 20habis dibagi 10. Jadi, terbukti6𝑛 + 4 habis dibagi 10 TOTAL 50 Lampiran Pertemuan 5 1. Materi Pembelajaran Prinsip induksi matematika dapat juga digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa keterbagiaan, seperti yang disajikan pada contoh di bawah ini Contoh : Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 𝑃𝑛 ≡ 2𝑛 > 𝑛 Pembahasan : Langkah Awal Ambil 𝑛 = 1, maka diperoleh 𝑃1 ≡ 21 > 1 Langkah Induksi Anggap 𝑃𝑘 ≡ 2𝑘 > 𝑘 benar dan akan dibuktikan 𝑃𝑘+1 ≡ 2𝑘+1 > (𝑘 + 1) 2𝑘+1 = 2. 2𝑘 2. 2𝑘 > 2. 𝑘 2. 2𝑘 > 𝑘 + 𝑘 Karena 𝑘 + 𝑘 > 𝑘 + 1, maka 2𝑘+1 > 𝑘 + 1 Kesimpulan 𝑃𝑛 ≡ 2𝑛 > 𝑛(terbukti) 2. Instrument Penilaian Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal – soal berikut ini : 1. Buktikanlah bahwa 𝑃𝑛 ≡ 𝑛 ≤ 2𝑛−1 untuk 𝑛 ≥ 1 2. Buktikanlah bahwa 𝑃𝑛 ≡ (𝑛 + 1)2 > 𝑛2 + 4 untuk 𝑛 ≥ 2 1 𝑛



1 𝑛



3. Buktikanlah bahwa 𝑃𝑛 ≡ (4) < (3) untuk setiap bilangan asli n Pedoman Penskoran



No. 1.



2.



Alternatif Penyelesaian 𝑃𝑛 ≡ 𝑛 ≤ 2𝑛−1 untuk 𝑛 ≥ 1 Untuk 𝑃1 → 1 ≤ 1(Benar) Untuk 𝑃𝑘 → 𝑘 ≤ 2𝑘−1dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → 𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 𝑘 ≤ 2𝑘−1 → 𝑘 + 1 ≤ 2𝑘−1 + 1 𝑘 + 1 ≤ 2𝑘−1 + 20 → (2𝑘−1 ≥ 20 ) 𝑘 + 1 ≤ 2𝑘−1 + 2𝑘−1 𝑘 + 1 ≤ 2.2𝑘−1 𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 Jadi, 𝑷𝒏 terbukti 𝑃𝑛 ≡ (𝑛 + 1)2 > 𝑛2 + 4 untuk 𝑛 ≥ 2 Untuk 𝑃2 → 32 > 4 + 4 → 9 > 8(Benar) Untuk 𝑃𝑘 → (𝑘 + 1)2 > 𝑘 2 + 4 dianggap benar dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → (𝑘 + 2)2 > (𝑘 + 1)2 + 4



Skor



20



(𝑘 + 1)2 > 𝑘 2 + 4 → (𝑘 + 1)2 + 2𝑘 + 1 > 𝑘 2 + 4 + 2𝑘 + 1 (𝑘 + 1)2 + 2𝑘 + 1 > 𝑘 2 + 4 + 2𝑘 + 1 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 + 2𝑘 + 1 > 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 + 4



20



𝑘 2 + 4𝑘 + 2 > (𝑘 + 1)2 + 4 𝑘 2 + 4𝑘 + 4 > (𝑘 + 1)2 + 4 → 4 > 2 (𝑘 + 2)2 > (𝑘 + 1)2 + 4 Jadi, 𝑷𝒏 terbukti 1 𝑛



3.



1 𝑛



𝑃𝑛 ≡ (4) < (3) untuk setiap bilangan asli n 1 1



1 1



1 𝑘



1 𝑘



1



1



Untuk 𝑃1 → (4) < (3) → 4 < 3(Benar) Untuk 𝑃𝑘 → (4) < (3) dianggap benar



1 𝑘+1



dan akan dibuktikan untuk 𝑃𝑘+1 → (4)



1 𝑘+1



< (3)



1 𝑘 1 𝑘 1 1 𝑘 1 1 𝑘 ( ) < ( ) → .( ) < .( ) 4 3 4 4 4 3 1 𝑘+1 3 1 1 𝑘 ( ) < . .( ) 4 4 3 3



20



1 𝑘+1 3 1 𝑘+1 ( ) < .( ) 4 4 3 1 𝑘+1 4 1 𝑘+1 3 4 ( ) < .( ) → < 4 4 3 4 4 1 𝑘+1 1 𝑘+1 ( )