RPP Induksi Matematika [PDF]

Citation preview

RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok Waktu



: SMA : Matematika Wajib : XI/1 : Prinsip Induksi Matematika : 20 menit



A. Kompetensi Inti 1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. 3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. 4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori. B.



Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi



KOMPETENSI DASAR 4.1 Menjelaskan dan menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan.



Indikator Pencapaian Kompetensi 4.1.1



4.1.2



Menjelaskan prinsip pembuktian suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan dengan induksi matematika Membuktian suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan dengan induksi matematika



C. Tujuan Pembelajaran







Siswa dapat mengetahui prinsip pembuktian suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan dengan induksi matematika.







Siswa dapat membuktikan suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan dengan induksi matematika



1|RPP Induksi Matematika



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



D. Materi Pembelajaran Prinsip Induksi Matematika Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika 1. P(1) benar, dan 2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah: Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar) Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi) Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi. Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k). Contoh :



Selesaikanlah dengan indusi matematika bahwa 1+ 2+ 3+ ⋯+ 𝑛 = Untuk n bilangan bulat non negatif



Pembahasannya : 



P(1) adalah pernyataan



1=



1(1+1) 2



1=



1(2) 2 2



1=2 1=1 Jadi P(1) bernilai benar 



P(2) adalah pernyataan



1+2= 3=



2(2+1) 2



2(3) 2 6



3=2 2|RPP Induksi Matematika



𝑛(𝑛 + 1) 2



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



3=3 Jadi P(2) bernilai benar. 1. Asumsikan bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah 1+ 2+ 3+ ⋯+ 𝑘 = 2.



𝑘(𝑘+1) 2



Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =



(𝑘+1)((𝑘+1)+1) 2



Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri persamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut sama dengan bentuk yang berada di ruas kanan. Sehingga menjadi 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = 𝑘(𝑘+1) + 2



(𝑘 + 1) =



(𝑘+1)((𝑘+1)+1) 2



(𝑘+1)((𝑘+1)+1) 2



𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 𝑘 2 + 𝑘 + 2𝑘 + 2 = 𝑘 2 + 2𝑘 + 𝑘 + 2



E.



Model, Metode Pembelajaran, dan Pendekatan  



Pendekatan Model Pembelajaran



: Scientific Learning : Discovery Learning (Pembelajaran Penemuan) dan Problem Based Learning ( Pembelajaran Berbasis Masalah) : Ceramah, Tanya Jawab, dan Penguasaan



 Metode F. Media dan Alat 1. Media : Laptop, Proyektor, Papan Tulis, Bahan Ajar, Lembar Penilaian 2. Alat : Spidol, penggaris



G. Sumber : BTP Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Kemendikbud RI 2017, Sudianto Manullang dkk. Buku Matematika 2A, Sukino, Penerbit Erlangga Internet Tayangan menggunakan aplikasi power point



H. Kegiatan Pembelajaran 4.1.1 Menjelaskan prinsip pembuktian suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan dengan induksi matematika 4.1.2 Membuktian suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan dengan induksi matematika 3|RPP Induksi Matematika



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



No



Tahap



Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Guru



1



Pendahuluan  Menjelaskan tujuan pembelajaran  Menggali pengetahuan materi prasyarat Melalui tanya jawab :



2



Inti



3



Penutup



  Memberikan latian soal



 Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan



4|RPP Induksi Matematika



Kegiatan Siswa  Memahami tujuan pembelajaran  Mengungkapkan pengetahuan yang berkaitan dengan



Alokasi Waktu 3 menit



 Mendengarkan materi 15 menit yang disampaikan oleh guru dan Menyelesaikan contoh soal



 Menyimpulkan materi yang sudah



2 menit



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



 Memberikan latihan soal untuk tugas dirumah



dijelaskan mengenai



Instrumen Penilaian Hasil Belajar: 1. Penilaian Pengetahuan dan Ketrampilan a. Kisi-kisi No



KD



Materi Pokok



Indikator Soal



1



3.1 4.1



Notasi Sigma



2



3.1 4.1



Notasi SIgma



3



3.1 4.1



Prinsip Induksi



4



3.1 4.1



Prinsip Induksi



4



3.1 4.1



Prinsip Induksi



Siswa dapat menuliskan bentuk penjumlahannya jika diketahui notasi sigmanya Siswa dapat menuliskan notasi sigma yang diketahui bentuk penjumlahannya Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan dalam bentuk penjumlahan bilanganbilangan asli Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan bentuk notasi sigma Siswa dapat membuktikan suatu bentuk ketidaksamaan



5



3.1 4.1



Prinsip Induksi



6



3.1 4.1



Prinsip Induksi



Siswa dapat membuktikan suatu bentuk aljabar habis dibagi oleh sebuah bilangan Siswa dapat membuktikan suatu bilangan merupakan faktor dari suatu bentuk aljabar



Level Kog 2



No. Soal 1



2



2



3



3



3



4



3



5



3



6



3



7



b. IPK, Teknik Penilaian, dan Instrumen Penilaian Indikator Pencapaian Kompetensi 3.1.1 Menjelaskan notasi sigma dari suatu bentuk



Teknik Penilaian Tertulis



5|RPP Induksi Matematika



Instrumen



1. Tuliskan dalam bentuk penjumlahan



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Indikator Pencapaian Kompetensi



Teknik Penilaian



Instrumen 8



penjumlahan



∑(𝑘 2 − 𝑘) 𝑘=1



4.1.1 Menentukan notasi sigma yang sesuai dengan bentuk penjumlahan



3.1.2



Menjelaskan bentuk Tertulis penjumlahan dari suatu notasi sigma



2. Tuliskan dalam bentuk notasi sigma dengan batas bawah 1 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42



4.1.2 Menentukan bentuk pen jumlahan dari suatu notasi sigma



3.1.3 Menjelaskan prinsip pem Tertulis buktian suatu persa maan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan dengan induksi matematika 4.1.3 Membuktikan kebenaran suatu persamaan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan meng gunakan induksi mate matika



Pedoman Penskoran No. Soal 1 2



3. Buktikan bahwa 2 + 5 + 8 + 11 + ... + (3n – 1) =



n(3n  1) 2



Kunci Jawaban Soal Tertulis



0 + 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56



Skor Max 1



6



∑(𝑘 2 + 𝑘) 𝑘=1



6|RPP Induksi Matematika



1



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



No. Soal



Kunci Jawaban Soal Tertulis



3 1.



Pembahasan : Akan ditunjukkan bahwa untuk n = 1 2=



2.



1(3+1) 2



Skor Max 4



=2



Asumsikan untuk n = k berlaku 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) =



𝑘(3𝑘+1) 2



Akan ditunjukkan n = k + 1 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) + (3(k+1) – 1) = 𝑘(3𝑘+1) + 2



(𝑘+1)(3𝑘+4) 2



(3k + 2)



𝑘(3𝑘 + 1) 2(3k + 2) + 2 2 3𝑘 2 + 𝑘 + 6𝑘 + 4 = 2 3𝑘 2 + 7𝑘 + 4 = 2 =



=



4



(3𝑘 + 4)(𝑘 + 1) 2



Pembahasan : 1.



2.



Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan



yang bernilai benar. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.



Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan



Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas 7|RPP Induksi Matematika



4



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



No. Soal



Kunci Jawaban Soal Tertulis



Skor Max



kanan.



5



Pembahasan . 1. 2.



P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 25, atau 20 < 32, yang bernilai benar. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



4



Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan 4(k + 1) = 4k + 4 4(k + 1) < 2k + 4 < 2k + 4k < 2k + 2k < 2 . 2k < 2k + 1 Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi. Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.



6



Pembahasan : 1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena



yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 32k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita 8|RPP Induksi Matematika



4



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



No. Soal



Kunci Jawaban Soal Tertulis



Skor Max



akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.



Karena 8 ∙ 32k dan 32k – 1 habis dibagi 8 maka 32(k + 1) – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n.



7



Pembahasan 1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi



Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut. 2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari (k3 + 3k² +2k). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1) seperti berikut.



Karena 3 merupakan faktor dari k3 + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari (n + 1)3 + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat positif n.



4.



Penilaian Sikap



9|RPP Induksi Matematika



4



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Penilaian sikap diperoleh dengan cara observasi (pengamatan) selama proses pembelajaran, dengan cara menuliskan sikap positif atau negatif siswa. Pada waktu penilaian akhir semester Jurnal Harian penilaian sikap ini diserahkan keada wali kelasnya masing-masing untuk bahan pertimbangan penilaian sikap oleh wali kelas.



PENILAIAN JURNAL HARIAN



NO



WAKTU



NAMA SISWA



BUTIR SIKAP



POSITIF/ NEGATIF



TINDAK LANJUT



Program Remidial : 1. Apabila yang tuntas kurang dari atau sama dengan 50%, maka dilaksanakan pembelajaran ulang secara klasikal. 2. Apabila yang tuntas lebih besar dari 50% dan kurang dari atau sama dengan 75%, maka kepada siswa yang belum tuntas diberikan pembelajaran individu. 3. Apabila yang tintas lebih besar dari 75%, maka kepada siswa yang belum tuntas disarankan dibimbing oleh temannya yang sudah tuntas (tutor sebaya)



Program Pengayaan Untuk siswa yang mendapat nilai 90 s.d. 100 aspek pengetahuan dan ketrampilan, diberikan pengayaan materi tentang Pembuktian pada Matematika Kuat



Mengetahui 10 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



Magelang, Juli 2018 Guru Mapel,



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



a.n. Kepala SMA Taruna Nusantara Wakasek Pendidikan



Drs. Henang Widayanto, M.Sc.



11 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



Drs. Eddy Kusnadi, M.Pd. NIP. 19601002 198603 1 021



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Lampiran 1



MATERI PELAJARAN



1.



Pertemuan Pertama Notasi Sigma Sigma dalam bahasa sederhananya dapat dikatakan sebagai jumlah. Simbol “ Σ “ dibaca Sigma, notasi sigma adalah simbol untuk menjumlahkan sejumlah bilangan terurut yang mengikuti suatu pola dan aturan tertentu. Materi notasi sigma masih mempunyai hubungan dengan materi barisan dan deret, baik aritmetika atau geometri, dan induksi matematika, karena untuk menyatakan penjumlahan sederetan bilangan bisa disingkat menggunakan notasi sigma. Jadi, sebaiknya para siswa sebelum mempelajari induksi matematika, barisan dan deret, sudah menguasai materi notasi sigma karena akan membantu dalam mempelajari materi tentang induksi matematika. Pengertian, rumus, dan sifat-sifat notasi sigma. Secara umum, notasi sigma diberikan pada persamaan di bawah. 𝑛



∑ 𝑈𝑖 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 𝑖=1



Contoh 1 : 10



∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 𝑘=1



Contoh 2 : 10



∑ 2𝑘 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 𝑘=1



Contoh 3 : 10



∑(2𝑘 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 𝑘=1



Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma



12 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



https://idschool.net/sma/pengertian-rumus-dan-sifat-sifat-notasi-sigma/ Pertemuan Kedua Prinsip Induksi Prinsip Induksi Matematika (versi pertama). Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. 1. Tunjukkan bahwa P(1) benar. 2. Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka buktikan bahwa P(k + 1) benar. Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N. Hubungan Prinsip Induksi Matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N. Pertemuan kedua Contoh Soal 1 : (persamaan pada deret bilangan) Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus



untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.



13 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Pembahasan : 1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena



2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus



bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk



+ 1



= (k + 1)² benar.



Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Pertemuan Ketiga Buktikan bahwa : 𝑛



∑(2𝑖 − 1) = 𝑛2 𝑖=1



Pembahasan : 𝑛



∑(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + ⋯ (2𝑛 − 1) = 𝑛2 𝑖=1



14 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



1. Tunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena



2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah asumsikan bahwa : 𝑘



∑(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘 2 𝑖=1



Menunjukkan bahwa 𝑘+1



∑(2𝑖 − 1) = (𝑘 + 1)2 𝑖=1 𝑘+1



𝑘



∑(2𝑖 − 1) = ∑(2𝑖 − 1) + (2(𝑘 + 1) − 1) 𝑖=1



𝑖=1



= 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2



menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus ∑𝑛𝑖=1(2𝑖 − 1) = 𝑛2 benar. Pertemuan Keempat Contoh Soal 5 (pertidaksamaan) Buktikan bahwa 4n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5. Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2n. 2. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 25, atau 20 < 32, yang bernilai benar. 3. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan 15 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi. Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5. Pertemuan Kelima Contoh : Buktikan bahwa 32n – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 32n – 1 habis dibagi 8.” 3. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena



yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar. 4. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 32k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.



Karena 8 ∙ 32k dan 32k – 1 habis dibagi 8 maka 32(k + 1) – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n. Pertemuan Keenam Contoh Soal 9 (Faktor dari bentuk tertentu) Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n 16 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a



RPP Matematika Wajib Kls. XI T.P. 2018/2019



Pembahasan 1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena



Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas. 2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari xk – yk untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Perhatikan bahwa 𝑥 𝑘+1 − 𝑦 𝑘+1 = 𝑥. 𝑥 𝑘 − 𝑦. 𝑦 𝑘 = 𝑥. 𝑥 𝑘 − 𝑦. 𝑥 𝑘 + 𝑦. 𝑥 𝑘 − 𝑦. 𝑦 𝑘 = (𝑥 − 𝑦)𝑥 𝑘 − (𝑥 𝑘 − 𝑦 𝑘 )𝑦 Karena x – y faktor dari x – y dan xk – yk (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n.



17 | R P P I n d u k s i M a t e m a t i k a