Sats4331 Edisi 1-1 [PDF]

Citation preview

Hak Cipta  dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang ada pada Universitas Terbuka - Kementerian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi Jalan Cabe Raya, Pondok Cabe, Pamulang, Tangerang Selatan - 15418 Banten – Indonesia Telp.: (021) 7490941 (hunting); Fax.: (021) 7490147; Laman: www.ut.ac.id Dilarang mengutip sebagian ataupun seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit



Edisi Kesatu Cetakan pertama, Juli 1986 Cetakan kedua, September 2014 Cetakan ketiga, November 2016



Aktuaris: Indra Catarya, M.Sc.



368 SEM m



SEMBIRING, RK Materi pokok asuransi I; 1 – 9; STAT4331/ 3 sks/ RK Sembiring., -- Cet.3; Ed.1 --.Tangerang Selatan: Universitas Terbuka, 2016. 352 hal; ill.; 30 cm



I.



Judul



iii



Daftar Isi



MODUL 1: PENDAHULUAN TEORI PELUANG Kegiatan Belajar 1: Pengertian Peluang .............................................................................. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



1.1 1.4 1.8 1.9 1.9



Kegiatan Belajar 2: Nilai Harapan ....................................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



1.12 1.14 1.15 1.15



Kegiatan Belajar 3: Peluang Lanjutan ................................................................................ Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 3 ……………………………..……................................



1.18 1.22 1.24 1.24



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ...............................................



1.27



MODUL 2: TABEL MORTALITAS Kegiatan Belajar 1: Beberapa Simbol dan Struktural table Mortalitas ................................ Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



2.1 2.2 2.12 2.13 2.14



Kegiatan Belajar 2: Harapan Hidup dan Macam Tabel Mortalitas ...................................... Latihan ………………………………………….................................



2.16 2.24



Organ



iv



Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



2.25 2.26



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



2.28 2.29



MODUL 3: ANUITAS Kegiatan Belajar 1: Anuitas ................................................................................................. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



3.1 3.3 3.11 3.12 3.13



Kegiatan Belajar 2: Anuitas Hidup ...................................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



3.15 3.30 3.32 3.32



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



3.35 3.36



MOD U L 4 : AS U R ANSI J I W A Kegiatan Belajar 1: B er b a gai B e nt u k As ur a n si J i wa … … …… … ….. … …… … Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



4.1 4.3 4.12 4.13 4.13



Kegiatan Belajar 2: Premi Tahunan ..................................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



4.16 4.24 4.25 4.26



v



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



4.29 4.30



MOD U L 5 : P E MB AY AR AN B EB E R AP A K ALI SET AH UN D AN AS U R AN SI M EMB E S AR Kegiatan Belajar 1: Anuitas Tentu Dibayar Beberapa kali Setahun ................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



5.1



5.2 5.14 5.15 5.15



Kegiatan Belajar 2: Anuitas Hidup Membesar .................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



5.18 5.32 5.33 5.34



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



5.37 5.38



MOD U L 6 : C AD AN G AN P R EMI Kegiatan Belajar 1: Cad a n ga n Re tr o sp e kt i f d an P r o sp e k ti f … … …… …… ….. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



6.1



Kegiatan Belajar 2: Meto d e Fa c kle r Ser ta cad a n ga n A wa l d a n ca d an g a n Ra taa n … …... ...... ...... ... ........ ...... ...... ...... ...... ... .. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



6.2 6.17 6.18 6.19



6.21 6.32 6.33 6.33



vi



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



6.36 6.37



MODUL 7: CADANGAN DISESUAIKAN Kegiatan Belajar 1: Mengapa Cadangan Perlu Disesuaikan... ……..................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



7.1 7.2 7.14 7.15 7.15



Kegiatan Belajar 2: Metode kanada, Illinois, dan new Jersey.............................................. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



7.19 7.35 7.36 7.37



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



7.37 7.41



MOD U L 8 : NI LAI T EB US D AN P R EM I K OT O R Kegiatan Belajar 1: Nil ai T eb u s …… … …… …… … …… … …… … …… …… ….. Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



8.1 8.2 8.12 8.12 8.13



Kegiatan Belajar 2: Premi Kotor…………………………………………………………... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



8.15 8.22 8.23 8.24



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ...............................................



8.27



vii



DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



8.28



MODUL 9: BAHAN LANJUTAN Kegiatan Belajar 1: Tingkat Kematian Sesaat ...................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……................................



9.1 9.2 9.18 9.19 9.20



Kegiatan Belajar 2: Anuitas Kontinu................................................................................... Latihan …………………………………………................................. Rangkuman …………………………………...................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……................................



9.22 9.43 9.45 9.45



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................... DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................



9.48 9.49



Modul 1



Pendahuluan Teori Peluang R.K. Sembiring, Ph.D.



PEN D A HU L UA N



A



suransi berasal dari kata assurance atau insurance, yang berarti jaminan atau pertanggungan. Hidup penuh dengan ketidakpastian dan manusia selalu berusaha memperkecil atau meminimalkan ketidakpastian tersebut. Pendidikan yang Anda tempuh sekarang ini juga merupakan salah satu usaha Anda untuk memperkecil ketidakpastian dalam usaha Anda mendapatkan jaminan pekerjaan sesuai dengan keinginan Anda. Pendidikan yang makin tinggi merupakan jaminan atas lapangan pekerjaan yang makin luas. Seorang kepala keluarga tentunya ingin berusaha menjamin kesejahteraan keluarganya. Kesejahteraan tersebut akan terganggu bila dia jatuh sakit, cacat ataupun dia meninggal. Sebagian dari jaminan kesejahteraan dapat diperoleh bila si kepala keluarga mengasuransikan dirinya; asuransi dapat berupa asuransi kesehatan, asuransi untuk biaya sekolah anak, ataupun santunan asuransi bila dia pensiun ataupun meninggal. Begitupun seorang pengusaha tentunya ingin memperkecil risiko kerugian dalam usahanya. Risiko seperti itu dapat diperkecil dengan mengasuransikan, misalnya gedung tempatnya berusaha, kendaraan yang dia pakai dalam usahanya, malahan bahan dagangannyapun dapat diasuransikan. Jadi banyak hal yang dapat diasuransikan. Dalam dunia yang makin maju, bidang asuransipun terlihat telah terlibat dalam banyak segi kehidupan . manusia. Perusahaan asuransipun telah tumbuh menjadi perusahaan besar di dunia dan bersamaan dengan itu permintaan akan tenaga ahli asuransi seperti aktuaris semakin meningkat pula. Di Indonesia sudah ada suatu ketentuan dari pemerintah dalam hal ini Departemen Keuangan, bahwa setiap perusahaan asuransi harus memiliki aktuaris sendiri. Peraturan ini masih lama, baru akan dapat dilaksanakan di Indonesia mengingat masih langkanya tenaga aktuaris. Usaha asuransi, pada dasarnya, adalah usaha bersama, mirip koperasi. Dalam usaha ini, setiap anggota, disebut pemegang polis asuransi, menyetor



1.2



Asuransi 1 



sejumlah uang pada suatu dana yang akan digunakan untuk menolong anggotanya yang kena musibah yang diperkirakan akan terlalu berat dipikul oleh anggota yang kena musibah tersebut. Musibah tersebut dapat berupa penyakit, kecelakaan yang mengakibatkan cacat dan ataupun kematian terutama kepala keluarga sebagai pencari nafkah yang tentunya akan mengakibatkan penurunan penghasilan keluarga yang ditinggalkan. Asuransi menjadi penting karena musibah yang dicakupnya tak dapat ditentukan dengan tepat kapan munculnya. Kita tahu, bahwa semua orang akan meninggal pada suatu ketika. Masalahnya ialah kapan seseorang itu akan meninggal. Orang akan sakit atau mendapat kecelakaan pada suatu ketika, tetapi kapan musibah itu muncul tak dapat ditentukan. Karena tak dapat ditentukan maka tentunya sulit mempersiapkan diri terhadap musibah yang akan mucul. Karena itu, sebaiknya siap-siap jauh sebelumnya, ibarat pepatah sedia payung sebelum hujan. Salah satu bentuk payung itu adalah asuransi. Kendati kematian seseorang tak dapat diramalkan dengan tepat terjadinya, secara statistika peluang meninggalnya seseorang dapat dihitung dengan cukup tepat. Pengamatan menunjukkan bahwa. Pada umumnya, peluang meninggalnya seseorang naik bersama dengan makin tuanya orang tersebut. Dari sekelompok besar orang, secara statistika dapat ditentukan dengan cukup teliti, peluang seseorang berumur tertentu, yang dipilih secara acak, akan meninggal dalam waktu setahun, misalnya. Memang tidak dapat ditentukan siapa dari kelompok itu yang akan meninggal, tetapi jumlahnya yang akan meninggal dapat ditaksir dengan cukup tepat. Anda mungkin mengatakan, soal hidup matinya seseorang di tangan Tuhan. Baik, Tapi rupanya Tuhan juga menciptakan dunia ini dengan aturan tertentu, dan bila kita mampu membaca aturan tersebut maka kita dapat membuat perkiraan atau ramalan. Itulah tugas para ilmuwan, dalam hal ini statistikawan. Perkiraan atau ramalan tadi sayangnya (atau, barangkali, syukuri) jarang sekali tepat, tapi cukup mendekati keadaan sesungguhnya. Ini karena alam (Penciptanya) tidak membukakan semua rahasianya pada manusia ataupun manusia belum mampu membaca seluruh rahasia alam. Pada pelajaran ini hanya akan dibicarakan asuransi jiwa; asuransi kerugian seperti kebakaran, kecelakaan lalu lintas dan sebagainya tidak dibahas di sini. Pada dasarnya, asuransi jiwa dipengaruhi oleh tiga faktor yaitu:



 STAT4331/MODUL 1



1. 2. 3.



1.3



peluang seseorang umur tertentu akan meninggal dalam jangka waktu tertentu; bunga uang, yaitu tingkat bunga yang diperoleh oleh dana yang diinvestasikan; yaitu biaya memasarkan polis dan biaya administrasi lainnya di kantor untuk mengurus polis tersebut.



Ketiga faktor tersebut di atas akan melibatkan perhitungan matematika yang cukup banyak dan karenanya hanya dapat dipahami oleh orang yang memiliki latar belakang matematika yang lumayan. Setelah memelajari modul. ini para mahasiswa dapat memahami tujuan dan dasar asuransi serta dasar-dasar teori peluang yang diperlukan. Setelah memelajari modul ini para mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dengan kata-kata sendiri tujuan dan faktor-faktor yang mendasari perhitungan asuransi jiwa. Begitupun, para mahasiswa diharapkan dapat menggunakan pengertian peluang, nilai harapan, dan teorema peluang yang dibahas dalam modul ini.



1.4



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 1



Pengertian Peluang



T



eori peluang (probabilitas) sesungguhnya lahir dari meja judi, karena itu tidaklah heran bila contoh yang sering dipakai juga berasal dari meja judi, seperti dadu, kartu bridge, atau malahan rolet. Contoh 1 Ambil satu mata uang logam yang setangkup, salah satu sisinya sebut muka (M), dan sisi yang lain sebut belakang (B). Bila uang logam tersebut dilantunkan maka hampir pasti salah satu dari kedua sisi M atau B akan terletak sebelah atas (muncul). (Pada pelajaran ini kita akan menganggap hanya M atau B yang dapat muncul). Kita katakan bahwa peluang muncul M atau B adalah setengah, dalam lambang matematika, P(M)=P(B) = 1 .Dalam penulisan ini P menyatakan peluang. 2 Contoh 2 Misalkan suatu dadu yang berisi enam, masing-masing sisinya diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Bila dadu itu setangkup maka peluang 1 muncul, salah satu bilangan di atas adalah 1 ditulis P(1) = … = P(6) 6 6 Contoh 3 Sekarang masalahnya dibuat sedikit lebih rumit. Misalkan satu uang logam dilantunkan dua kali, berapakah peluangnya ke dua lantunan menghasilkan M? Masalahnya akan lebih mudah dipahami bila hasil ke dua lantunan dituliskan: MM, MB, BM, BB; huruf pertama menyatakan hasil lantunan pertama sedangkan yang ke dua menyatakan hasil lanturan ke dua. Bila uang tersebut setangkup maka keempat hal di atas mempunyai 1 1 1 peluang muncul yang sama, yaitu (atau, . ). Jadi peluang ke dua 4 2 2 1 lantunan muncul M, P(MM) = 4



1.5



 STAT4331/MODUL 1



Contoh4 Dengan jalan yang mirip sama dapat dihitung peluang hasil satu dadu di Lantun dua kali sebagai berikut. Pasangan hasil ke dua lanturan adalah: (1,1), (1,2),…, (1,6), (2,1), (2,2),…(2,6),…(6,1), (6,2),(6,3)…(6,6). Jumlah tiap pasangan: 2, 3,4, 5, 6, 7, 3,4, 5, 6, 7, 8,4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9 10, 6, 7, 8, 9 , 10 , 11 , 7, 8, 9, 10, 11, 12. Cara lebih sederhana menyajikan hasil ini ialah dalam bentuk apa yang disebut distribusi frekuensi, sebagai berikut: Jumlah Frekuensi muncul



2 1



3 2



4 3



5 4



6 5



7 6



8 5



9 4



10 11 12 3 2 1



36



Jumlah seluruh frekuensi 36 ( = 6 x 6 ), yaitu ada 36 cara (pasangan) yang dapat muncul bila satu dadu di lantun dua kali berturutan. Tiap pasangan muncul. dengan peluang yang sama. Jumlah pasangan sebesar 5, misalnya, dihasilkan oleh pasangan (1,4), (2,3), (3,2), dan (4,1), jadi oleh empat pasangan. Karena itu, peluang mendapat jumlah 5 bila satu dadu 1 4 dilantunkan dua kali adalah = . Dengan jalan yang sama, peluang 9 36 1 3 mendapat jumlah 10 adalah = , dan seterusnya. 12 36 Uraian di atas mengantar kita pada perumusan pengertian peluang yang 1 3 lebih umum. Jadi peluang jumlah 10 muncul adalah = . 12 36 Pengertian peluang di atas didefinisikan sebagai nisbah (hasil bagi) banyaknya cara suatu kejadian dapat muncul dengan banyaknya cara seluruh kejadian (dari suatu percobaan, misalnya, lantunan dua dadu sekaligus ) yang dapat muncul. Sayangnya, pengertian peluang seperti ini sulit sekali diterapkan pada banyaknya masalah yang lebih rumit, khususnya dalam menghitung peluang meninggal seseorang. Untuk itu dibutuhkan definisi yang lebih luas cakupannya. Definisi ini bersifat empiris sedangkan yang sebelumnya bersifat a priori. Misalkan, suatu uang logam di lantunkan 100 kali (ini sama saja dengan 100 uang yang persis sama dilantunkan sekali). Sebutlah pelantunan mata uang ini sebagai suatu percobaan. Jadi percobaan ini terdiri atas lantunan suatu uang logam 100 kali, ataupun seratus uang logam dilantunkan sekali.



1.6



Asuransi 1 



Kendatipun uang logam tersebut bila munculnya M atau B dalam lantunan suatu uang logam, atau munculnya jumlah 11 sebagai hasil lantunan dua dadu sekaligus kita namakan sebagai suatu kejadian, maka pada setiap kejadian dapat dikaitkan suatu bilangan yang disebut peluang sebagai berikut. Misalkan suatu kejadian dapat muncul dalam m cara dan gagal muncul dalam n cara maka peluang munculnya kejadian tersebut adalah: m p m  n dan peluang gagalnya muncul kejadian tersebut adalah: m q mn Perhatikan bahwa p + q = 1. Contoh 5. Kejadian munculnya jumlah 10 bila dua dadu dilantunkan sekali bersama-sama, dapat muncul dalam 3 cara; jadi m untuk kejadian tersebut 3, sedangkan n, banyaknya cara 10 gagal muncul., adalah 33 ( = 36 - 3 ) betulbetul setangkup, sukar diharapkan dalam 100 lanturan menghasilkan 50 M (atau 50 B). Hasilnya akan berkisar atau bervariasi sekitar 50 M. Artinya kalau percobaan itu kita ulangi berkali-kali, dan tiap percobaan terdiri atas 100 lantunan, maka sebagian dari hasilnya akan memberikan lebih sedikit dari 50 M dan sebagian lagi lebih banyak dari 50 M. Bila dalam suatu percobaan dengan 100 lanturan uang tadi 45 kali muncul muka, maka 45 taksiran peluang muncul muka pada satu lanturan uang tadi adalah atau 100 dengan lambang, taksiran P(M) = 0,45. Bila pada percobaan berikutnya ternyata muncul muka sebanyak 52 kali, maka taksiran P(M) dari percobaan kedua ini adalah 0,52. Setiap percobaan akan memberikan taksiran P(M) yang agak berlainan, tapi tiap taksiran akan berkisar pada bilangan 0,5. Bila percobaan tersebut dilakukan tak terhingga kali banyaknya, maka dalam keadaan P(M) = 0,5. Secara umum bila dalam percobaan ke i, di lakukan ni kali usaha (suatu usaha, misalnya, melantun satu uang logam sekali) dan kejadian A muncul m i kali (jadi, gagal sebanyak ni – mi kali) maka taksiran terjadinya A pada percobaan ke i , nyatakan dengan pi, adalah:



1.7



 STAT4331/MODUL 1



pi 



m n



Menurut definisi empiris, P (A) = lim pi. = lim mi /ni i i Dalam praktik, tentunya, p(A) tak dapat dihitung, karena tak mungkin melakukan percobaan tak terhingga kali banyaknya. Karena itu, kita harus merasa puas dengan taksirannya saja. Taksirannya akan makin lebih baik bila banyaknya usaha n makin besar. Contoh 6 Misalkan, dari satu juta penduduk yang tepat berumur 20 tahun, sebanyak 996.500 yang mencapai 21 tahun setahun kemudian. Suatu taksiran peluang seseorang dari kelompok tersebut akan mencapai usia 21 tahun adalah: 996.500  0,9665 1.000.000 Taksiran ini tentunya cukup baik karena didasarkan atas n = 1.000.000, suatu bilangan yang besar. Peluang ini berlaku untuk sembarang anggota ke lompok tadi, tanpa memperhatikan siapa orangnya dan keadaan kesehatannya. Contoh 7 Misalkan, pada contoh 6 di atas terdapat keterangan lebih lanjut bahwa 100 dari ke 3500 yang meninggal sebelum mencapai usia 21 tahun adalah karena kecelakaan lalu lintas, 50 orang karena sakit paru-paru, 20 karena narkotik. Sekarang kita dapat menyatakan bahwa peluang seseorang yang berusia 20 tahun akan meninggal sebelum usia 21 tahun adalah:



100 50  0, 0001 karena kecelakaan lalu lintas,  0, 00005 1.000.000 1.000.000



1.8



Asuransi 1 



20  0, 00002 karena narkotik. 1.000.000 Bila p menyatakan peluang terjadinya suatu kejadian dan q menyatakan peluangnya kejadian tersebut tidak terjadi, maka selalu berlaku p + q = 1, dan 0  p  1. Bila p = 0 (q = 1) maka dikatakan bahwa kejadian tersebut tidak mungkin terjadi sedangkan bila p = 1 (q = 0) dikatakan bahwa kejadian itu pasti terjadi. karena sakit paru-paru, dan



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Satu uang logam dilantunkan empat kali, tuliskan semua cara dan peluangnya yang mungkin muncul! 2) Satu kantong berisi 5 kelereng putih, 6 kelereng merah, dan 4 kelereng hitam. Bila satu kelereng diambil secara acak, berapakah peluangnya kelereng itu berwarna putih? berwarna putih atau merah? 3) Apakah bedanya kedua pengertian peluang cara apriori dan empiris? 4) Dari 100.000 yang baru lahir pada waktu yang bersamaan, 85.000 mencapai usia 20 tahun dan 40.000 mencapai usia 60 tahun. Hitunglah peluang seorang bayi .yang baru lahir akan meninggal, sebelum usia 20 tahun, Berapakah peluang seseorang berusia 20 tahun akan meninggal sebelum usia 60tahun. 5) Di suatu kota terdapat 10 dari 3000 rumah musnah karena api tiap tahun. Berapakah peluang suatu rumah di kota itu tidak musnah karena api selama setahun? 6) Tiga dadu dilatun sekaligus. Berapakah peluangnya jumlah bilangan yang muncul 9? Petunjuk Jawaban Latihan 1) Nyatakan, misalnya, muka dan belakang dengan M dan B. Tuliskan semua kombinasi M dan B yang mungkin muncul dan anggap tiap Lantunan bebas satu sama lain.



 STAT4331/MODUL 1



1.9



2) Tiap kelereng berpeluang sama untuk terambil dan peluang tiap warna. sebanding dengan banyaknya kelereng warna tersebut. 3) Gunakan cara pada contoh 6 dan 7 4) Tuliskan semua kejadian yang memberikan jumlah 9 dan kemudian hitung jumlah semua kejadian yang dapat muncul R A NG KU M AN Telah dijelaskan dua pendekatan mendefinisikan pengertian peluang: cara a priori dan empiris. Dalam pelajaran ini cara empiris akan digunakan untuk seterusnya. Dalam lantunan sebuah uang logam, P(M) 1 = P(B) = ditentukan berdasarkan anggapan bahwa uang logam 2 tersebut betul-betul setangkup sehingga wajarlah bila peluang mendapat muka dan belakang sama. Dalam praktiknya tentunya sulit sekali memperoleh uang logam, seperti itu sehingga anggapan bahwa P(M) = P(B) = 1, mungkin tidak lagi cocok, Lantas bagaimana harus menentukan P(M) dan P(B)? Kita hanya dapat menaksirkannya dengan menggunakan pendekatan empiris Namanya juga taksiran, jadi tentunya tak dapat diharapkan tepat sekali sama dengan nilai sesungguhnya, Nilai sesungguhnya jarang akan kita tahu persis, hal itu merupakan rahasia alam. Apa dapat kita kerjakan ialah menghampiri nilai tersebut (aproksimasi). Hal ini mungkin mengecewakan banyak pembaca yang selalu menuntut jawaban yang tepat untuk semua pertanyaan. Jawaban yang tepat jarang ada di alam (paling-paling di kepala orang) dan karena itu belajarlah puas dengan aproksimasi. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Tiga uang logam dilantunkan bersama-sama. Berapakah peluang mendapat paling sedikit 2 M…. 1 A. 8 1 B. 4



1.10



Asuransi 1 



C. D.



3 8 1 2



2) Tiga dadu dilantunkan bersama-sama. Berapakah peluang mendapat jumlah muka 5? A. B. C. D.



1 6   3



3



63 1 36 13 16



3) Lima uang logam dilantunkan bersama-sama. Berapakah peluang mendapat tak lebih dari 3M? 3 A. 16 5 B. 16 1 C. 2 13 D. 16 4) Dari 80.000 orang yang berusia 25 tahun, 300 meninggal karena sakit dan 10 diantaranya karena kecelakaan dalam setahun. Berapakah peluang seorang anggota kelompok tersebut meninggal dalam kecelakaan setahun…. A. 0,000125 B. 0,00375 C. 0,03333 D. 0,999875



1.11



 STAT4331/MODUL 1



5) Dua dadu dilantunkan dua kali. Berapakah peluang muncul 4 pada lantunan pertama dan 3 pada lantunan ke dua…. 1 A. 36 1 B. 18 1 C. 9 1 D. 6 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.12



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 2



Nilai Harapan



M



isalkanlah si Ali dan si Badu bertaruh dengan melantunkan sebuah uang logam. (Di Indonesia berjudi dilarang pemerintah. Judi dalam contoh ini hanyalah khayalan, jadi penulis yakin tidak melanggar peraturan). Bila M muncul Badu membayar Ali Rp10, sedangkan bila B muncul, Badu menerima Rp 5 dari Ali. Misalkan, uang logam itu tidak setangkup dan P(A) = 0,4, sedangkan P(B) = 0,6. Dalam sekali lantunan si Ali dapat mengharapkan menang Rp10 dengan peluang 0,4 dan sekali Rp5 dengan peluang 0,6. Jadi, dalam sekali lantunan si Ali dapat mengharapkan menang rata-rata sebanyak (10)(0,4) + (-5)(0,6) = 4 - 3 = 1 rupiah. Dalam contoh ini menang diberi tanda +, sedangkan kalah -. Begitu pula, si Badu rata-rata menang sebesar (-10)(0,4) + (5)(0,6) = - 4 + 3 = - 1 rupiah. Kita katakan bahwa si Ali mempunyai harapan menang sebesar + 1rupiah, sedangkan si Badu mempunyai harapan menang sebesar - 1 rupiah (kalah 1 rupiah), Kita dapat memandang judi di atas secara sepihak saja, misalnya dari pihak si Ali saja. Jadi bila M muncul maka si Ali mendapat 10 rupiah, sedangkan bila B muncul dia mendapat -5 rupiah. Secara lebih umum, bila M muncul dengan peluang p maka si Ali mendapat m rupiah sedangkan bila sebaliknya dia mendapat n rupiah, jadi si Ali mempunyai harapan menang sebesar pm + (1 - p)n Bilangan ini sering pula disebut sebagai nilai harapan. Selanjutnya, misalkan dari suatu peristiwa peluang mendapatkan nilainilai n1, n2, n3, … masing-masing adalah P1' P2' P2' P3 … maka nilai harapan peristiwa tersebut adalah n1 p1 n1 + p2n2 +p3n3 …



 STAT4331/MODUL 1







1.13



pn



i i



i 1 Contoh 1 Misalkan, dalam lantunan sebuah dadu si Ali mendapat 10 rupiah bila bilangan 1 muncul, sebelah atas dan mendapat - 3 rupiah (membayar 3 rupiah) bila bilangan lainnya sebelah atas, berapakah nilai harapannya bila dadu dimisalkan setangkup? Peluang si Ali mendapat 10 rupiah i, sedangkan peluang kalah 3 - rupiah sebesar %', jadi nilai harapannya adalah (10)(* + (-3)(6) = - %. Contoh 2 Ambil sekotak kartu bridge yang berisi 52 kartu yang terkocok secara sempurna. Si Ali menarik sebuah kartu dan mendapat: 100 rupiah bila dia mendapat Ace, 10 rupiah bila dia mendapat King, dan -10 rupiah bila dia mendapat kartu lainnya. Berapakah nilai harapannya? Dalam sekotak kartu bridge terdapat 4 Ace (spade, heart, diamond, dan club) dan juga 4 King dengan warna yang sama. Jadi, peluang menarik Ace 4 4 dan peluang menarik King juga peluang menarik kartu lainnya 52 52 44 (52 - 8)/52 = 52 Jadi, nilai harapan si Ali 4 4 44 (100)( ) + (10)( ) + ( - 10)( ) = 0. 52 52 52 Suatu judi dengan nilai harapan nol dianggap judi yang jujur, umumnya judi tidak jujur, artinya nilai harapan bandar selalu lebih besar dari nol, karena itu bandar jarang sekali kalah.



1.14



Asuransi 1 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Si Ali dan Badu melantun dua uang logam sekaligus. Bila yang muncul keduanya muka atau keduanya belakang maka Ali menerima Rp 100 dari si Badu, sebaliknya maka si Ali membayar Rp100 pada si Badu. Hitunglah nilai harapan keduanya! 2) Sebuah dadu 9 di lantun 100 kali, berapakah nilai harapan mendapat bilangan 57? 3) Bila si Ali hidup sampai akhir tahun maka dia membayar Rp110 pada p suatu perusahaan asuransi, sedangkan bila dia meninggal perusahaan akan membayar pewarisnya Rp95 pada akhir tahun tersebut. Bila peluang si Ali meninggal sebelum akhir tahun 0,1, berapakah nilai harapan si Ali dan perusahaan asuransi? 4) Suatu dadu dilantunkan, berapakah nilai harapan dari bilangan yang muncul. 5) Sepuluh potong kertas diberi nomor dari 1 sampai 10 kemudian digulung dan dimasukkan dalam satu kantong. Tiga orang bernama A, B, dan C secara bergantian menarik satu gulungan kertas secara acak dan orang yang mendapat bilangan terbesar menerima Rp10,80. Si A mengambil gulungan terlebih dahulu dan ternyata mendapat bilangan 6. Berapa nilai harapan tiap orang? Petunjuk Jawaban Latihan 1) Tuliskan ke dua kejadian yang membuat si Ali menang dan hitung peluangnya, kemudian gunakan pengertian nilai harapan. 2) Pertanyaan ini sama saja dengan berapa kalikah Anda mengharapkan bilangan 5 muncul, dalam 100 kali lantunan? 3) Bila pembayaran Rp.110,- dianggap bernilai negatif maka yang Rp. 95,menjadi positif dan sebaliknya. 4) Bilangan (nilai) pada sisi dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, masing-masing bilangan mempunyai peluang untuk muncul.



 STAT4331/MODUL 1



1.15



5) A mendapat Rp10,80 bila B dan C keduanya mendapat gulungan bertuliskan bilangan antara 1 dan 5. Cari peluang B dan C mendapat bilangan lebih kecil dari 6. Begitu pula, agar si B dia harus R A NG KU M AN Nilai harapan menyangkut apa yang disebut distribusi peluang, yang tentunya sudah Anda pelajari dalam pelajaran Statistika. Jumlah seluruh peluang dalam suatu distribusi adalah 1. Sesungguhnya, nilai harapan adalah jumlah seluruh hasil kali peluang dengan nilai yang diperolehnya. Bila suatu peristiwa memberikan nilai: n1 Dengan peluang p1 n2 Dengan peluang p2       Pk n K dengan peluang 1 maka nilai harapan peristiwa tersebut adalah n1p1+n2p2+nkpk k



=



n p 1



j



i 1



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Si Ali melantunkan sebuah uang logam dua kali. Bila dalam ke dua lantunan muncul M dia mendapat 10 rupiah, bila dalam lantunan pertama muncul M dan lantunan kedua B dia mendapat 5 rupiah dalam hal lainnya dia tidak mendapat apa-apa. Berapakah nilai harapannya? A. 0 B. 1,25 C. 2,5 D. 3,75



1.16



Asuransi 1 



2) Sepuluh orang ibu melakukan arisan bersama. Tiap ibu menyetor 10 rupiah dan seluruh uang yang terkumpul kemudian diundi sehingga setiap orang mempunyai peluang yang sama untuk menang. Ibu yang menang mendapat seluruh uang. Berapakah nilai harapan tiap orang? A. -10 + (0,1)(100) = 0 B. (- 10)(0,9) + (90)(0,1) = 0 C. 10 - (0,1)(100) = 0 D. (10)(0,9) - (90)(0,1) = 0 3) Si Ali membuat perjanjian dengan suatu perusahaan asuransi sebagai berikut: Bila dia tidak sakit sampai akhir tahun maka dia membayar Rp10 pada perusahaan sedangkan bila dia sakit perusahaan akan membayarnya Rp1000 sebagai biaya pengobatan. Peluangnya sakit, sampai akhir tahun di perkirakan 0,01. Berapakah nilai harapannya? A. -10 + (0,01)(1000) = 0 B. (- 10)(0,99) + (0,01)(1000) = 0,1 C. 10 - (0,01) (1000) = 0 D. 10(0,99) - (0,0l) (1000) = 9,8 4) Sebuah dadu dilantun. Bila bilangan genap yang muncul si Ali mendapat Rpl0.,bila bilangan 6 yang muncul dia mendapat tambahan Rp60. Berapakah dia harus membayar bila bilangan ganjil yang muncul agar judi tersebut adil (nilai harapan 0)? A. Rp15 B. Rp30 C. Rp45 D. Rp90 5) Dari pengalaman yang lalu, dari 10 perlombaan kuda A menang 2 kali. Si Ali membeli lotere Rp10 dan memegang kuda A. Berapakah hadiahnya paling sedikit, agar nilai harapan si A positif? A. Rp 8 B. Rp 16 C. Rp 40 D. Rp 80



1.17



 STAT4331/MODUL 1



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.18



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 3



Peluang Lanjutan



B



erikut ini akan dibicarakan tiga teorema mengenai peluang tanpa bukti. Teorema ini akan di pakai dalam modul selanjutnya dan buktinya dapat Anda peroleh dalam pelajaran statistika. Dua kejadian atau lebih dikatakan saling meniadakan bila tidak lebih dari satu daripadanya yang dapat terjadi dalam satu peristiwa. Sebagai contoh. terjadinya muka dan belakang dalam satu lantunan uang logam adalah saling meniadakan. karena hanya salah satu dari keduanya yang dapat muncul dalam suatu lantunan, Begitupun kejadian munculnya salah satu sisi dalam suatu lantunan dadu saling meniadakan. Dua kejadian dikatakan saling bebas bila terjadinya salah satu tidak memengaruhi terjadi tidaknya kejadian yang lainnya. Sebagai contoh, satu uang logam dilantunkan dua berturutan. Bila tiap lantunan dipandang sebagai suatu kejadian maka kedua kejadian tersebut saling bebas , karena apa yang muncul pada lantunan pertama sama sekali tidak memengaruhi apa yang muncul pada lantunan yang ke dua. Kejadian yang saling meniadakan tentunya tidak bebas satu sama lain karena bila salah satu terjadi maka yang lainnya pasti tidak terjadi Teorema 1 Bila P1, P2, P3, …., Pn merupakan peluang terjadinya n kejadian yang saling meniadakan. Maka peluang salah satu dari padanya akan terjadi adalah: p1+p2+p3 … +pn Contoh 1 Pandanglah percobaan melantun sebuah dadu sekali. Kejadian munculnya sisi bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 saling meniadakan. Peluang terjadinya salah satu adalah: 1 1 1 1 1 1 + + + + + =1 6 6 6 6 6 6 Jadi, salah satu daripadanya pasti terjadi.



1.19



 STAT4331/MODUL 1



Kita tentunya juga dapat hanya memandang kejadian munculnya bilangan 2, 4,dan 6 dalam contoh ini tadi. Ketiga kejadian terakhir inipun saling meniadakan, jadi peluang terjadinya salah satu diantaranya adalah: 1 1 1 1 + + = 6 6 6 2 Sesungguhnya ini sama saja dengan peluang munculnya bilangan genap dalam lantunan sebuah dadu. Teorema 2 Bila P1, P2, P3, … , Pn merupakan peluang terjadinya n kejadian yang saling bebas, maka peluang terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah: P1 . P2 . P3 . … . Pn Contoh 2 Misalkan dua dadu dilantunkan, Misalkan A kejadian muncul, bilangan genap pada dadu pertama dan B kejadian muncul, bilangan yang lebih dari 5. 3 Maka P(A) = dan P(B) = 4/6. Kedua kejadian saling bebas, sehingga 6 3 4 12 1 P(A.B)= P(A) . P(B)= ( ) ( ) =  6 6 36 3 Contoh3 Misalkan peluang si Ali dan si Badu hidup paling sedikit setahun lagi, masing-masing, 0,8 dan 0,9. Berapakah peluangnya a) keduanya hidup paling sedikit setahun lagi? b) paling sedikit seorang akan meninggal? Jawab a) Misalkan kejadian meninggalnya si Ali dan si Badu merupakan dua kejadian yang saling bebas, Jadi peluang keduanya akan hidup paling sedikit setahun lagi adalah (0,8)(0,9) = 0,72. b) Paling sedikit seorang meninggal berarti salah seorang atau keduanya mereka meninggal dan keduanya merupakan kejadian yang saling meniadakan. Sekarang pandanglah kejadian berikut: si Ali hidup 0,8, si Ali meninggal 0,2, si Badu hidup 0,9, si Badu meninggal 0,1, P (Ali hidup dan Badu meninggal)



= (0,8)(0,1) = 0,08



1.20



Asuransi 1 



P (Ali meninggal dan Badu hidup) P (keduanya meninggal) P (keduanya hidup)



= (0,2)(0,9) = 0,18 = (0,2)(0,1) = 0,02 = (0,8)(0,9) = 0,72 1,00



Sekarang terlihat bahwa jawaban untuk soal b) dapat diperoleh dengan dua cara. Cara pertama dengan menjumlahkan ketiga peluang pertama di atas (ke tiga kejadian tersebut saling meniadakan): 0,08 + 0,18 + 0,02 = 0,28. Cara ke dua, dengan memandang kejadian di a) dan di b) saling meniadakan dan jumlahnya terlihat sama dengan 1. Jadi, jawab untuk b) adalah : 1 - 0,72 = 0,28 Teorema 3 Bila peluang terjadinya kejadian pertama p1 dan peluang terjadinya kejadian ke dua setelah kejadian pertama terjadi adalah p2 maka peluang terjadinya kejadian pertama dan ke dua dalam urutan seperti itu adalah. p 1. p2. Contoh 4 Si Ali dan si Badu melantun suatu uang logam secara bergantian dan yang mendapat muka terlebih dahulu dinyatakan menang. Bila Ali mendapat giliran pertama, berapakah peluang Badu menang? Jawab Ada bermacam-macam cara bagi si Badu untuk menang. Dia menang bila pada giliran pertama si Ali mendapat B dan Badu mendapat M, atau pada giliran pertama keduanya mendapat dan pada giliran ke dua si Ali masih mendapat B tapi Badu mendapat M, dan seterusnya. Kalau digambarkan maka kejadian yang memberikan Badu menang adalah:



1.21



 STAT4331/MODUL 1



Urutan



Peluang



1 2  



2



1) BM



1 2  



4



1) BB.BM



1 2  



6



1) BB.BB.BM 1) BB.BB.BB.BM



1 2  



8



Semua kejadian ini saling meniadakan, jadi peluangnya dijumlahkan sehingga diperoleh 2



4



6



 1  1  1 1  2    2    2    8   ...         2



1 1 2 1   4 = 2 3 3 1 1   4 2



1 2  . Hasil ini dapat pula Anda 3 3 periksa sendiri dengan bekerja seperti di atas Peluang si Ali menang, tentunya, 1 -



Contoh 5 Peluang seseorang berusia 20 tahun dan seorang lainnya berusia 40 tahun keduanya akan hidup 20 tahun lagi adalah 0,6. Dari 50.000 orang yang hidup pada usia 20 tahun, 3000 diantaranya akan meninggal sebelum berusia 25 tahun. Hitunglah peluang seseorang yang sekarang berusia 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60 tahun. Jawab Untuk menyingkat penulisan, misalkan 1x = jumlah orang yang tepat berusia x. Jadi diketahui 120 = 50.000 orang dan 125= 50.000 - 3000 = 47.000



1.22



Asuransi 1 



orang. Untuk menghitung peluang seseorang yang (tepat) berusia 25 tahun akan meninggal sebelum usia 60 tahun, kita memerlukan data mengenai jumlah orang yang berusia 25 tahun (125) dan jumlah orang yang meninggal dari 125 sebelum berusia 60 tahun, yaitu 125 – 160. Peluang yang ingin dicari adalah: (125-160)/125 yaitu banyaknya yang meninggal dari orang yang berusia 25 tahun sebelum mencapai 60 tahun dibagi dengan banyaknya orang yang berusia 25 tahun. Kita masih perlu menghitung 160. Misalkan lagi nPx = peluang seseorang (tepat) berusia x akan hidup mencapai usia x + n, maka diketahui 20P20



. 20P40 = 0,6.



Perhatikan, kedua peluang ini dikalikan karena kejadian seseorang berusia 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi dan seseorang lainnya berusia 40 tahun akan hidup 20 tahun lagi dianggap merupakan kejadian yang saling bebas. Tapi kita juga dapat memandangnya sebagai: peluang seseorang berusia 20 tahun akan hidup dua puluh tahun lagi (jadi mencapai usia 40 tahun) adalah 20P20 dan peluang orang tersebut akan mencapai usia 60 tahun bila dia mencapai usia 40 tahun adalah 20P40, jadi menurut teorema 3, peluang seseorang berusia 20 tahun akan mencapai usia 60 tahun adalah: 40P20 = 20P20 . 20P40 = 0,6. Jadi, 160 = 120 . 40p20 = (50.000)(0,6) = 30.000. Peluang yang dicari adalah: 47.000  30.000 17  47.000 47 LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tiga dadu dilantunkan sekaligus. Carilah peluangnya jumlah bilangan yang muncul paling banyak 9.



 STAT4331/MODUL 1



1.23



2) Dua kartu diambil dari sekotak kartu bridge. Berapakah peluang paling sedikit satu kartu adalah ace? Paling sedikit satu kartu heart? Paling satu kartu berwarna merah? 3) Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge. Berapakah peluang ketiganya ace? Salah satu ace, salah satu lagi King dan satunya lagi 10? 4) Si Ali dan Badu bermain catur, Dari data mengenai permainan mereka di waktu lalu, 3 dari 5 papan yang tidak remis dimenangkan si Ali Berapakah peluang si Badu menang paling sedikit 2 dari 3 papan berturutan bila remis tidak dihitung? 5) Dari catatan administrasi suatu universitas, 5% mahasiswa tidak lulus suatu pelajaran tertentu. Bila 6 mahasiswa pengikut kuliah tadi diambil secara acak, berapakah peluangnya tepat dua orang tidak lulus? 6) Peluang tepat satu dari tiga orang yang masing-masing berusia 20, 35, dan 50 tahun akan hidup 15 tahun lagi ialah 0,092, peluang ketiganya akan meninggal dalam waktu 15 tahun adalah 0,006. Bila peluang seseorang berusia 20 tahun akan meninggal sebelum usia 35 tahun adalah 0,1, hitunglah peluang bahwa orang itu akan hidup mencapai usia 65 tahun. Petunjuk Jawaban Latihan 1) Hitung peluang jumlah bilangan yang muncul tepat 3, tepat 4,dan seterusnya. Semua kejadian ini saling meniadakan. 2) Tiap kotak kartu bridge berisi 4 ace, 13 heart dan setengahnya berwarna merah, sedangkan setengahnya lagi berwarna hitam. 3) Ambillah kartu secara berurutan, kemudian gunakan teorema 3. 4) Tuliskan semua kejadian yang memberikan semua si Badu menang tepat 2 kali dan 3 kali, kemudian peluang seluruh kejadian jumlahkan. 5) Tuliskan semua kombinasi dari 6 mahasiswa dengan dua diantaranya tidak lulus dan cari peluang tiap kombinasi. 6) Gunakan lambang seperti pada contoh 14, kemudian gunakan ke tiga teorema yang telah dibahas (Jawab: 0,504).



1.24



Asuransi 1 



R A NG KU M AN Inti dari Kegiatan Belajar 3 ini adalah ketiga teorema dalam bagian ini, Teorema 1 menjelaskan sifat kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusive), teorema 2 mengenai kejadian yang saling bebas dan teorema 3 mengenai kejadian yang bersyarat. Teorema 3 sering ditulis sebagai:



P  A. B   p( A) . P( B A), A.B menyatakan kejadian A dan B terjadi bersama-sama, sedangkan B A berarti -terjadinya kejadian B bila diketahui A telah terjadi. Dalam teorema 3, P1 = P(A) dan p2 = P  B A  . Perhatikan bahwa bila A dan B



saling bebas maka P  B A  = P(B) sehingga P(A.B) =P(A).P(B), jadi sesuai dengan teorema 2. TES F OR M AT IF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Lima kartu diambil dari sekotak kartu bridge. Berapakah peluang kelimanya heart? 13 12 11 10 9 A. . . . . 52 51 50 49 48 B.



 13   52   



 1  13    5 D. 13 C.



5



5



 STAT4331/MODUL 1



1.25



2) Peluang seseorang berusia 18 tahun akan hidup 10 tahun 0,95 dan peluangnya akan hidup 30 tahun 0,75. Carilah peluang seseorang berusia 28 tahun akan meninggal sebelum berusia 48 tahun…. 4 A. 19 4 B. 25 57 C. 80 15 D. 19 3) Peluang seseorang berusia 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi 0,9 dan peluang seseorang berusia 40 tahun akan hidup 10 tahun lagi 0,8. Berapakah peluang seseorang berusia 20 tahun akan hidup 30 tahun lagi? A. 0,09 B. 0,18 C. 0, 72 D. 0,8 4) Pada soal nomor 3, berapakah peluang seseorang berusia 20 tahun akan meninggal antara usia 40 dan 50 tahun? A. 0,08 B. 0, 18 C. 0,72 D. 0,8 5) Enam orang melantun suatu uang logam. secara berturutan. Yang pertama mendapat muka memperoleh suatu hadiah. Berapakah peluang orang keempat menang? 1 A. 16 4 B. 63 16 C. 63 32 D. 63



1.26



Asuransi 1 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.27



 STAT4331/MODUL 1



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D (Tuliskan semua cara yang mungkin yang dihasilkan 2 M dan 3 M) 2) C (Tuliskan semua kombinasi ketiga dadu yang menghasilkan jumlah 5) 3) D 4) A 5) A Tes Formatif 2 1) D (Cari peluang mendapat 10 rupiah, peluang mendapat 5 rupiah dan peluang mendapat 0 rupiah), 2) B (Cari peluang membayar 10 rupiah dan ingat bahwa pemenang sesungguhnya tidak mendapat 100 rupiah, tapi 100 - 10 = 90 rupiah) 3) B (Sama dengan 2) 4) B (Misalkan, x yang di bayarkan si Ali bila bilangan ganjil yang muncul, hitunglah peluangnya membayar x). 5) C (Sama dengan 4) Tes Formatif 3 1) A (Gunakan teorema 3). 2) A (Gunakan teorema 3). 3) C (Idem soal 2). 4) B 5) B (Perhatikan contoh 13).



Modul 2



Tabel Mortalitas R. K. Sembiring, Ph.D.



PE N DA H UL U AN



P



erusahaan asuransi jiwa. mendasarkan sanua perhitungan preminya, jumlah asuransinya, dan sebagainya atas tabel kanatian (mortality table). Tabel itu berisi peluang seseorang meninggal menurut umurnya dari kalrmpok orang yang diasuransikan (pemegang polis asuransi). Tabel tersebut, idealnya, sedekat mungkin menggambark.an peluang meninggal sesungguhnya dari kelompok orang yang diasuransikan , Membuat tabel seperti itu tentunya amat sulit karena datanya tidak mudah memperolehnya. Pada pelajaran ini kita hanya akan membicarakan penggunaan tabel tersebut, sedangkan cara pembuatannya di luar bahasan pelajaran itu. Dalam modul ini ki.ta akan manbahas isi tabel kematian (mortalitas) dan hubungan antara lajur-lajurnya, sedangkan penggunaannya akan dipelajari pada modul-modul berikutnya. Pengertian peluang yang telah Anda pelajari pada modul pertama akan digunakan di sini. 



Tujuan Instruicsional Umum Setelah manpelajari modul ini para mahasiswa d iharapkan memahami tabel kanatian (tabel mortalitas) serta hubuogan antara lajur-lajunya beserta semua simbol yang digunakan







Tujuan Instruksional Khusus Setelah manpelajari modul ini para mahasiswa dapat menjelaskan arti semua simbol yang dtgunakan, Para mahasiswa. dapat menjelaskan hubungan antara lajur-lajur tabel mortalitas, macam tabel mortalitas. Jika diberikan dara mengenai q, para mahasiswa dapat mengisi lajur-lajur lainnya dari tabel mortalitas.



2.2



Asuransi 1 



Kegiatan belajar 1



Beberapa Simbol dan Struktural Tabel Mortalitas PE N DA H UL U AN



P



ada pelajaran ini Anda akan berkenalan dengan banyak sekal.i, simbol matematika dan usahakan menghafalkannya sambi lalu, karena hal itu akan banyak sekal i memudahkan Anda dalam pelajaran berikutnya. Pada modul 1 telah kita gunakan simbol lx yang menyatakan jurnlah orang yang tepatberusia x. Mereka tentunya lahir pada saat yang bersamaan (sebanyak 10 orang) dan tinggal hanya sebanyak lx orang yaqg mencapai usia x tahun , Kelompok orang seperti ini yang mempunyai ciri yang sama (di sini, sama saat lahirnya) disebut kohort. Salah satu cara pembuatan tabel mortalitas, kendati, tidak praktis dan karena itu jarang sekali. dikerjakan orang, ialah mengamati sejurnlah banyak orang yang lahir pada saat yang bersamaan, kemudian mencatat berapa banyak orang tersebut yang meninggal setiap tahun sampai anggota tersebut meninggal seluruhnya. Kesulitan cara seperti ini ialah si pencatat (si peneliti) mungkin meninggal semuanya dan begitu selesai pekerjaan tersebut mungkiri hasilnya tidak lagi berguna karena kemajuan jaman yang pesat yang mengakibatkan peluang meninggal juga ikut berubah dengan membaiknya tingkat kesehatan masyarakat , Keuntungan cara ini tadi mudah dibayangkan. Selanjutnya, misalkanlah dx jurnlah orang yang meninggal dari dx orang sebelurn mencapai usia x + 1 tahun . Jadi,



1x



1



1x



dx



Misalkan w usia tertinggi sehingga 1w > 0 dan 1w



1



Ini berarti



bahwa w adalah usia tertinggi yang dapat dicapai oleh suatu kohort. Tabel 1 adalah contoh tabel mortalitas (CSO 1941) yang berasal dari Arnerika Serikat. Lajur (kolom) pertama menyatakan usia yang dicapai 1x menyatakan jurnlah orang yang tepat berusia x; d x jumlah orang yang meninggal setahun antara usia x dan x + 1, 1000 q menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal sebelurn usia x + 1 dikalikan 1000



2.3



 STAT4331/MODUL 2



(dikalikan 1000 agar bilangan dalam lajur tidak terlalu banyak di belakang koma); dan terakhir e x adalah harapan hidup pada usia x. Contoh: 1. Dari tabel 1 dapat dilihat bahwa: 10 1.023.102 orang; 19 973.869 orang, w 99 tahun; d23 2.531orang ;



q13



1,98 /1000



0,001198; e



34, 29 tahun



34



Bagian terpenting suatu tabel mortalitas ialah lajur q x. bilangan pada lajur ini ditaksir dari data yang dikumpulkan oleh perusahaan asuransi jiwa. Cara penghitungannya diluar rencana pelajaran ini. Jadi disini kita anggap lajur 1000 qx telah diketahui. Kemudian 10dipilih agak sembarang dan disebut radix. Biasanya 10 dipilih sebesar 100.000 orang. Pada tabel CSO 1941 yang disajikan disini 11 dipilih sebesar 1.000.000 kemudian. Perhitungan mudah dikerjakan dengan menggunakan hubungan.



qx



1x



1x



1



/1x



d x /1x



Hubungan ini menyatakan bahwa peluang seseorang yang berusia x akan meninggal sebelum hari ulang tahunnya yang ke x+1 sama dengan banyaknya orang dalam kohort yang meninggal antara usia x dan x+1 (d x) dibagi dengan jumlah orang yang berusia x (1x)



2.4



Asuransi 1 



 STAT4331/MODUL 2



2.5



2.6



Asuransi 1 



2.7



 STAT4331/MODUL 2



2.



Hitunglah 10 dalam tabel CSO 1941 bila diketahui 1000q0=22,58 dan 11= 1.000.000 orang



Jawab: d0 10 11



10.q0



Jadi diperoleh 10 0,02258



10 1 0, 02258 Atau,



10 100.000



100.000



1.000.000 1.023.102 orang 1 0, 02258 Dari sini dapat dihitung d0 10 11 1.023.102 1.000.000 23102 orang sehingga 10



lajur terakhir e



x



yaitu harapan hidup pada usia x menyatakan rata- rata



usia yang akan ditempuh oleh anggota kohort yang berusia x. e 0 tahun berarti bahwa menurut tabel CSO 1941, seseorang yang baru lahir, pada rataratanya dapat mengharapkan akan mencapai usia 62,33 tahun. Ini tidak berarti bahwa anggota kohort hanya akan mencapai usia tertinggi 62,33 tahun. Sebagian dari anggotanya akan meninggal sebelun usia tersebut dan sebagian lagi sesudah itu. Dari tabel kita lihat bahwa anggota yang tertua mencapai usia 99 tahun. Ini pun tidak berarti bahwa di sekitar tahtm 1941 tidak ada orang Amerika yang berusia di atas 99 tahun, Mungkin saja ada tapi jumlahnya amat sedikit sehingga secara statistika dapat diabaikan. cara menghitung e x akan diberikan pada bagian akhir modul ini. Sebelun kita meneruskan pembahasan mengenai penggunaan tabel mortalitas kita memerlukan beberapa simbol baru. (Pada pelajaran ini Anda akan banyak sekali menemukan simbol matematika yang sebaiknya anda usahakan mengingatnya. Matematika asuransi merupakan cabang matematika yang banyak sekali menggunakan simbol dan yang disajikan di sini bersifat internasional. Dengan latihan sedikit Anda lama-lama akan mudah mengingatnya asalkan hati Anda tidak dingin menghadapinya. Sedikit gairah amat membantu. nP x menyatakan peluang seseorang berusia x akan hidup (paling sedikit) n tahun.



2.8



Asuransi 1 



nP x



1x



n



/1x



Dengan perkataan lain, nP x adalah jumlah orang (dari sebanyak 1x pada usia x) yang mencapai usia x+n 1x n dibagi jumlah orang pada usia x. Bila 1px



n =1, imbuhan n sebelah kiri tidak perlu ditulis, jadi px jadi px 1x 1 /1x . nq x menyatakan peluang seseorang berusia x



akan meninggal dalam n tahun, atau sebelum mencapai usia n + x.



nq x



1 npx 1 1x n /1x 1x



Bila 1 x qx



1x



/1x



n



n=1, imbuhan n sebelah kiri tidak perlu ditulis, 1 px . nd x jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x



q



+ n.



Seperti sebelumnya 1d x



dx



nd x



1x



nq x



n d x / 1x



1x



1x



1x



n



/1x



1



q



m / n x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup m tahun, tetapi meninggal dalam n tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x+m dan x + m + n tahun. m / nq x



1x nd x



m



1x



m n



m /1x



/1x



2.9



 STAT4331/MODUL 2



Jika n



1 ditulis m /1q x



m / qx



dx



m



/1x



Dari penulisan di atas terlihat bahwa imbuhan sebelah kanan selalu menyatakan usia orang yang sedang dibicarakan, sedangkan sebelah kiri menyatakan jangka waktu peristiwa (hidup atau meniggal) terjadi. Bilangan sebelah kiri garis tegak menyatakan lamanya penundaan terjadinya peristiwa. Jadi 10 / 5q 20 menyatakan peluang meninggal seseorang yang sekarang berusia 20 tahun akan meninggal dalam jangka waktu 5 tahun bila meniggalnya ditunda 10 tahun, jadi meninggal antara usia 30 dan 35 tahun. Jadi orang tersebut (berusia 20 tahun) hidup mencapai usia 30 tahun dan meninggal sebelum mencapai usia 35 tahun. 3.



Dengan menggunakan tabel CSO 1941 berapakah peluang seseorang berusia 40 tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun?



Jawab: 15 / 5q 40



155 160 140



754191 677771 883342



0, 08651



Cara lain mengerjakan soal ini ialah dengan menghitung peluang seseorang yang berusia 40 tahun akan menacapai usia 55 tahun, kemudian mengalikannya dengan peluang orang berusia 55 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60 tahun. Jadi,



15 / 5q 40



15 p 40.5q 55 155 155 160 . 140 155 155 160 seperti diatas 140



4.



Suatu keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 1 dan 11 tahun . carilah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 50 tahun.



2.10



Asuransi 1 



Jawab Dalam mengerjakan soal seperti ini selalu kita misalkan bahwa walaupun orang tersebut bersaudara dianggap bahwa peluang meninggalanya salah seorang diantaranya tidak mempengaruhi/ dipengaruhi oleh peluang meninggalnya yang lainnya. Tepat seorang meninggal berarti salah seorang di antara keduanya, tetapi tidak keduanya, meninggal. Peluang yang tertua meninggal. Sebelum usia 50 tahun, jadi meninggal dalam waktu 50 - 11 = 39 tahun, sedangkan yang muda mencapai usia 50 tahun adalah 39q11.49 p1 .Peluang yang muda meninggal sebelum usia 50 tahun sedangkan yang tua mencapai usia 50 tahun adalah 49 p1.39 p11 Jawaban soal diperoleh bila kedua perkalian di atas dijumlahkan, dan diperoleh



39q11 . 49 p1 . 49q1 . 39 p11 111 1l 50 150 11 150 150 . . 111 11 11 111



150 11



111



21l 50 /11.111



810900 1.000.000



969890 2 810900 / 1.000.000 969890



0, 29103 5.



Suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia antara 43 tahun sampai 47 tahun sebagai berikut: Usia



Banyaknya yang Banyaknya yang diamati meninggal 43 3602 27 44 4233 34 45 5817 50 46 1849 17 47 4651 46 Buatlah tabel mortalitas untuk jangka waktu pengamatan tersebut



2.11



 STAT4331/MODUL 2



Jawab: Pertama –tama kita hitung peluang meninggal selama setahun, sebagai berikut Usia Peluang meninggal setahun 43 0,00750 44 0,00803 45 0,00860 46 0,00919 47 0,00989 Peluang meninggal dihitung dengan membagi banyaknya yang meninggal oleh banyaknya orang yang diamati menurut umur. Sekarang pilih radix tabel tersebut. Misalnya kita ambil 143 100.000 (pemilihan ini sembarang sifatnya). Dengan demikian maka tabel mortalitas dapat dibuat.



1x



X 43 44 45 46 47 48 Mula-mula



100.000 99.250 98.453 97.606 96.709 95.753 kita hitung d43



dx



1000 qx



750 797 847 897 956



7,50 8,03 8,60 9,19 9,89



100.000 0,00750



750 . Dengan



demikian diperoleh



144 d 44 145 d 45 146



100.000 750



99.250



99.250 0, 00803 99250 797



797



846, 69



847



98453



98453 0, 00860 98453 847



796,98



97606



Dan seterusnya. Data pada contoh 5 dibuat untuk tujuan ilustrasi. Dalam keadaan sesungguhnya data yang tersedia jauh lebih jelek kualitasnya dari yang dilukiskan disini sehingga teknik pembuatan tabel seperti pada contoh tidak dapat diikuti. Perhitungannya menggunakan matematika yang cukup rumit.



2.12



Asuransi 1 



Contoh ini hanyalah berusaha memberi gambaran tentang bagaimana suatu tabel dapat dibuat asal datanya amat baik, suatu hal yang hamper tidak pernah muncul dalam praktek. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Gunakan tabel CSO 1941 dalam mengerjakan latihan berikut: 1) Dua orang masing-masing berusia 18 dan 23 tahun. Berapakah peluangnya a. paling sedikit seorang mencapai usia 60 tahun? b. keduanya meninggal sebelum mencapai usia 40 tahun? Petunjuk: Mirip contoh 4 2) Berapakah peluangnya seseorang yang sekarang berusia 27 tahun akan meninggal antara usia 62 dan 68 tahun? 3) Buktikanlah bahwa a. m / nq x mP x . nq x



m



b. m n p x m p x m / nq x petunjuk: a) perluasan dari contoh 3 b) sederhanakan ruas kanan 4) Seorang pria dan wanita menikah waktu mereka masing-masing berusia 30 tahun. Pada waktu mereka berusia 50 tahun mereka mempunyai anak yang berumur 18 dan 15 tahun. Berapakah peluang keempatnya masih hidup pada pesta emas perkawinan mereka (50 tahun kawin)? Petunjuk: Anggap peluang masing-masing bebas sama satu sama lain. 5) Selesaikanlah tabel berikut: qx x 95 96 97 98



0,3 0,4 0,5 0,6



1x 2.500



dx



2.13



 STAT4331/MODUL 2



x



qx



1x



dx



99 0,8 100 1 101 0 Petunjuk: mengikuti contoh 5 6) Peluang seseorang berusia 18 akan mencapai usia 28 tahun 0,95 dan peluang orang tersebut mencapai usia 48 tahun 0,75.Carilah peluang seseorang yang berusia 28 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 48 tahun. Petunjuk: Uraikan kejadian: Seseorang berusia 18 tahun mencapai usia 48 tahun atas dua kejadian yang (anggap) saling bebas, yaitu: a. Seseorang berusia 18 tahun mencapai usia 28 tahun dan b. Seseorang berusia 28 tahun mencapai usia 48 tahun. R A NG KU M AN Telah dijelaskan struktur suatu tabel mortalitas dan kaitan antara lajur-lajurrnya, kecuali lajur e x Jantung dari suatu tabel mortalitas adalah lajur yang berisi qx lajur ini dihitung dari data yang dihimpun oleh perusahaan asuransi. Setelah lajur yang berisi qx tertentu maka seluruh lajur yang lainnya dapat ditentukan dengan memilih 1 , misalnya 10 100.000 Beberapa simbol dalarn matematika asuransi juga telah diberikan. Tiap simbol merupakan singkatan dari suatu pengertian. Dengan menggunakan simbol itu kita dapat menuliskan pengertian yang rumit dengan singkat tanpa meragukan artinya. Masih akan banyak simbol yang lain yang akan Anda temui dalarn pelajaran ini karena itu sebaiknyalah anda berusaha memahaminya begitu menemuinya. Beberapa pembaca mungkin merasa kurang enak karena semua yang dibicarakan di sini mengenai peluang meninggalnya seseorang. Memang lebih enak membicarakan masalah hidup daripada masalah meninggal, tetapi meninggal adalah masalah orang yang hidup. Perusahaan asuransi tidaklah berhadapan dengan orang-orang yang sudah meninggal tapi dengan , yang masih hidup.



2.14



Asuransi 1 



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Kerjakan semua soal dengna menggunakan CSO 1941 kecuali bila dikatakan lain. 1) Dua orang sama-sama berusia 30 tahun. Carilah peluang paling sedikit seorang di antaranya akan meninggal sebelum berusia 35? A. 0,01915 B. 0,03829 C. 0,03867 D. 0,05744. 2) Berapakah peluang seseorang yang baru lahir akan meninggal antara usia 61 dan 62 tahun? A. 0,01762 B. 0,01856 C. 0,01953 D. 0,018988. 3) Misalkanlah Ix memenuhi bila x menyatakan usia. Hitunglah 15/5Q10 A. 0,01501 B. 1/36 C. 0,03875 D. 3/44.



hubungan



Ix



=



10(10.000



-



x2),



4) Si A berusia 19 tahun sedangkan si B berusia 43 tahun. Berapakah peluang kedua orang tersebut hidup dua puluh tahun lagi dan kemudian keduanya meninggal dalam waktu setahun kemudian? A. 0,00013. B. 0,55620 C. 0,66782 D. 0,69744. 5) Si A berusia 19 tahun sedangkan si B berusia 43 tahun. Berapakah peluang kedua orang tersebut hidup dua puluh tahun lagi dan kemudian keduanya meninggal dalam waktu setahun kemudian? A. px px 1 px 2 ... Px n 1



2.15



 STAT4331/MODUL 2



B.



px



C.



px qx



D.



px . px



px



1



px



1 1



px



px



2



1



qx



... Px 2



...



n 1



Px



n 1 qx n



2 ...p x n 1



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.16



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 2



Harapan Hidup dan Macam Tabel Mortalitas



L



ajur terakhir pada tabel 1 berisi harapan hidup menurut usia, ex o Ada dua



macam harapan hidup dari segi perhitungarnya. Yang pertama, kita namakan saja harapan hidup ringkas , dalam bahasa Inggris disebut 'curtate expectation of life' (curtate = dipendekkan, diringkas) menyatakan rata-rata junlah tahun yang lengkap yang masih akan dialami oleh seseorang yang sekarang berusia x tahun. Tahun yang lengkap maksudnya bahwa dalam penghitungan harapan hidup tersebut hanya diperhitungkan tahun yang penuh dialami, jadi bagian tahun (pecahan) tidak diperhitungkan. Jadi kalau seseorang lahir pada 2 Juli 1951 dan meninggal 18 september 1984 maka dalam perhitungan harapan hidup ringkas, orang tersebut dianggap meninggal tanggal 2 Juli 1984, sehingga umurnya waktu meningggal 31 tahun dan bukan 31,2 tahun , misalnya. Jadi bagian tahun yang tidak lengkap dialami (dalam contoh 0,2) dibuang. Ini berarti setiap orang dianggap meninggal pada hari ulang tahunnya yang terakhir. Harapan hidup ringkas dinyatakan dengan simbol ex, tanpa lingkaran kecil di atasnya. Pandanglah sebanyak 1x orang yang semua tepat berusia x tahun. Sebanyak 1x+1 orang daripadanya masih akan hidup pada hari ulang tahunnya yang ke x + 1, 1 x+2 daripadanya masih akan hidup pada hari ulang tahunnya yang ke x + 2, dan seterusnya, dan tinggal 1w yang masih dapat merayakan hari ulang tahunnya yang terakhir kalinya. Jadi jumlah tahun yang dialaminya oleh 1x orang sampai semua meninggal (hanya dihitung tahun yang lengkap) adalah 1x+1+1x+1+…+1w berarti, setiap orang dari 1x pada rata-ratanya kebagian sebanyak ex 



1x 1  1x  2  ...  1w 1x



2.17



 STAT4331/MODUL 2



tahun. Bagi para pembaca yang masih kesulitan menghayati perhitungan ini diberikan penisalan berikut. Misalkan 1x orang melakukan gerak jalan serentak. Dari sebanyak 1x orang tersebut hanya 1x+ 1 yang menyelesaikan kilo meter pertama secara lengkap, 1x+2 yang menyelesaikan kilo meter kedua secara Lengkap , dan seterusnya, dan yang sampai ke garis 'finish' 27 hanya 1w orang. Jadi rata-rata panjang jalan yang dilalui seseorang (hanya dihitung bagian kilo meter yang penuh di tempuh) adalah (1x+1+1x+2+1x+3+…+1w)/1x km 6) Hitunglah e95 untuk tabe1 CSO 1941 Jawab: Dari tabe1 1 kita dapat baca bahwa 195 = 3011, 196 = 1818, 197 =1005, 198 = 454 dan 199 = 125 jadi, 1818  1005  454  125 e95  3011 3402  3011  1,13 tahun Karena 1x+1/1x=px,1x+2/1x=2px, … 1w/1x=w-xpx, maka kita juga dapat menulis ex=px+2px+3px+…+w-xpx Bila dalam perhitungan ex di atas bagian (pecahan) tahun yang dialami seseorang anggota 1x ikut diperhitungkan maka kita peroleh apa yang disebut harapan hidup lengkap (complete expectation of life) dan ditulis dengan simbol exo , dengan lingkaran kecil sebelah atas huruf e. Secara tepat definisinya adalah: w



exo 







1 1x  t 1x 0



w







 0



t



p x dt



2.18



Asuransi 1 



Bentuk fungsi 1x dalam praktek amat sulit diketahui. Kendati dari dulu sampai sekarang para aktuaris (ahli matematika asuransi) dan ahli demografi telah berusaha keras menemukannya, usaha itu masih belum berhasil dengan memuaskan. Saya sendiri telah mencobanya selama dua tiga bulan dan gagal. Apakah di antara Anda tidak ada yang ingin mencobanya? Siapa tahu Anda lebih mujur dan nama Anda akan abadi di dunia asuransi dan demografi. ltu adalah suatu kenikmatan besar yang tak dapat dibeli dengan uang, Suatu cara menghitung integral di atas ialah dengan menaksirnya secara numerik, Hal itu mudah dikerjakan dengan bantuan kanputer. Cara yang lebih sederhana lagi, tapi hasilnya lebih kasar , ialah dengan memisahkan bahwa kematian terjadi secara merata sepanjang tahun. Dalem pelajaran statistika ini namanya menggunakan distribusi uniform. Dengan demikian maka kematian dalam setahun dapat dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun. Ini berarti, secara aproksimasi, 1 exo  ex  2 Rumus ini, sekali lagi, hanyalah hampiran (aproksimasi) karena kematian tidaklah terjadi secara merata sepanjang tahun. Keadaan sesungguhnya tidak kita ketahui, tapi dapat dihampiri (diaproksimasi) dengan cukup memuaskan. 7) Hitunglah (aproksimasi ) e95 untuk CSO 1941 Jawab Dari contoh 6 telah diperoleh e95 = 1,13, jadi, o e95  1,13  0,5  1,63



Perhatikan bahwa hasil ini sama dengan yang tertera pada tabel 1. Dengan jalan yang sama Anda dapat menghitung exo untuk usia x yang lainnya. Sudah di terangkan, mudah mudahan cukup jelas, semua lajur pada tabel mortalitas dan hubungannya. Karena tabel mortalitas merupakan alat utama seorang aktuaris maka Anda perlu memahami dengan baik isi, simbol yang digunakan tabel tersebut dan hubungan antara simbol simbol itu.



2.19



 STAT4331/MODUL 2



8) Buktikan ex = Px (1 + ex+1) Jawab Cara yang mudah menyelesaikan soal seperti ini menyederhanakannya, jadi sederhanakanlah ruas kanan



ialah



dengan



1x 1  1x  2  1x 3  ...1w    1x  1x 1  1  1  1  ...  1w   x 1  x 1 x  2  1x  1x 1  1  1  ...  1  x 1 x  2 1x =ex (terbukti) p x 1  ex 1  



9) Buktikanlah dan sesudah itu jelaskan kebenarannya dengan perkataan (verbal) qx+px.qx+1+2px.qx+2+…=1 Seperti contoh 8, sederhanakan ruas kiri qx+px.qx+1+2px.qx+2+…. d 1 d 1 d  x  x 1 . x 1  x  2 . x  2  ... 1x 1x 1x 1 1x 1x  2







1  d x  d x 1  d x  2  .... 1x







1 1x  1x 1  1x 1  1x  2  1x  2  1x 3  1x 3... 1x







1x  1 terbukti  1x



Soal ini dapat pula dipahami dari penjelasan berikut. Suku pertama qx menyatakan peluang orang yang berusia x akan meninggal pada selang umur (x, x + 1). Suku kedua, px.qx+ 1 menyatakan peluang orang tersebut mencapai usia x + 1 dan kanudian meninggal pada tahun berikutnya, jadi



2.20



Asuransi 1 



meninggal pada selang umur (x + 1), x + 2). Suku ketiga, 2px .qx +2 menyatakan peluang orang tadi mencapai usia. x + 2 dan meninggal pada selang umur (x + 2, x + 3), dan seterusnya. Jadi kalau kita jumlahkan semua maka sesungguhnya jumlah tersebut, tidak lain dan tidak bukan, adalah peluang orang tadi meninggal pada tahun tahun berikutnya. Karena orang tadi pada akhirnya pasti akan meninggal, jadi jelas bahwa jumlah tersebut harus sama dengan satu. Seperti sudah disebut di depan, tabel mortalitas yang kita pakai dalam modul ini berasal dari Amerika Serikat. Sampai saat ini perusahaan asuransi di Indonesia belum memiliki tabel yang berasal dari pengalaman sendiri , karena itu terpaksa harus meminjam dari luar negeri. Ketidakadaan tabel itu sebagian besar bukan karena kita tidak mampu membuatnya dari segi matematikanya tapi karena datanya tidak cukup tersedia dalam keadaan yang baik. Berapa perusahaan asuransi di Indonesia masih menggunakan tabel CSO, karena itu cukup beralasan memakainya sebagai contoh di sini. Tabel CSO didasarkan pada pengalaman asuransi jiwa di Amerika selama jangka waktu 1930 sampai dengan 1940. Itu tidak berarti bahwa peluang meninggal dalam tabel tersebut betul- betul menggambarkan pengalaman pemegang polis dalam kurun waktu tersebut di Amerika Keadaan sesungguhnya sedikit lebih baik, artinya peluang meninggal yang sebenarnya dialami sedikit lebih rendah daripada yang tertera didalam tabel CSO. Hal ini sengaja dibuat agar perusahaan asuransi dapat berusaha dengan aman. Dengan mengamati nilai-nilai qx pada tabel 1 terlihat dengan jelas bahwa q merupakan fmsi dari x, artinya nilai q x berubah menurut usia. Dari tabel terlihat bahwa qx merupakan fungsi, yang monoton turun dari x = 0 sampai x = 11 dan kemudian naik per lahan-lahan beberapa saat dan naik dengan cepat dari usia 60 an sampai mencapai maksimum 1 pada usia 99 tahun. Sekarang akan kita bicarakan tabel mortalitas yang tidak hanya bergantung pada usia x, Bila sekelompok orang mendatangi perusahaan asuransi untuk diasuransikan jiwanya maka belun tentu semuanya akan diterima. Sebagian dari mereka, karena alasan kesehatan yang bersangkutan, akan ditolak oleh perusahaan, Perusahaan asuransi tidak menawarkan menjual polis asuransi pada orang yang sedang sekarat di rumah sakit tapi bagi orang yang kelihatannya sehat. Jadi orang-orang yang untuk pertama kalinya diterima untuk diasuransikan adalah mereka yang terlihat sehat. Malahan untuk jenis asuransi tertentu, perusahaan asuransi mengharuskan



2.21



 STAT4331/MODUL 2



pemeriksaan kesehatan calon tertanggung (orang yang diasuransikan) terlebih dahulu dan hanya menerimanya kalau orang tersebut tidak mengidap sesuatu penyakit yang dianggap berbahaya. Karena itu, tingkat kesehatan orangorang yang baru diasuransikan rata- rata lebih baik dari orang yang sudah agak lama diasuransikan, ataupun dari rata-rata penduduk umumnya, pada umur yang sama. Karena itu pula peluang meninggal orang yang baru diasuransikan akan lebih rendah pada umur yang sama. Ini disebut pengaruh seleksi permulaanyang bersifat sementara. Pengaruh seleksi permulaan itu akan hilang beberapa tahun kemudian, artinya peluang meninggalnya mereka sama saja sudah dengan orang lainnya pada unur yang sama. Ini berarti peluang meninggal hanya tergantung atas usia x. Tabel mortalitas yang memperhitungkan pengaruh seleksi permulaan disebut 'select' sedangkan yang tidak memperhitungkan pengaruh seleksi atau pengaruhnya telah hilang disebut 'ultimate'. Pengaruh seleksi permulaan biasanya dianggap hilang sesudah 3 - 5 tahun , Tabel 2 adalah contoh dari sebagian tabel ' select' yang dikeluarkan oleh the Actuarial Society of America yang didasarkan atas data antara 1900 - 1915. Pada tabel tersebut, bilangan 3,72 yang berada pada baris usia waktu dikeluarkan (age of issue) 19 dan tahun diasuransikan (year of insurance) 3 menyatakan bahwa peluang seseorang yang sekarang berusia 21 tahun yang diasuransikan pada usia 19 tahun akan meninggal sebelum usia 22 tahun adalah 3,72/1000 = 0,00372. 1 19



2 20



Usia Diasuransikan



3 21



22



meninggal antara 21-22



2.22



Asuransi 1 



Tabel 2 AMERICAN MEN MORTALITY TABLE RATE OF MORTALITY PER 1000



Year of insurance



Age at Issue (x) [15] [16] [17] [18] [19]



1



2



3



4



5



2.47 2.52 2.56 2.61 2.66



3.24 3.31 3.37 3.44 3.52



3.41 3.48 3.55 3.64 3.72



3.55 3.63 3.73 3.81 3.89



3.72 3.82 3.92 4.00 4.07



6 and over 3.92 4.02 4.12 4.18 4.25



[20] [21] [22] [23] [24]



2.73 2.78 2.83 2.86 2.91



3.59 3.66 3.72 3.76 3.80



3.80 3.86 3.91 3.96 3.99



3.96 4.01 4.06 4.08 4.11



4.13 4.18 4.21 4.24 4.26



4.31 4.35 4.39 4.41 4.43



25 26 27 28 29



[25] [26] [27] [28] [29]



2.93 2.95 2.98 2.98 2.99



3.84 3.86 3.88 3.91 3.92



4.02 4.04 4.06 4.06 4.08



4.12 4.13 4.14 4.14 4.17



4.27 4.28 4.29 4.32 4.37



4.46 4.48 4.51 4.59 4.68



30 31 32 33 34



Attained Age 20 21 22 23 24



Perhatikan bahwa usia orang tersebut bukan 19 + 3 = 22 tapi 19 + 2 = 21, penambahnya adalah tahun diasuransikan dikurangi satu (lihat gambar). Lajur terakhir menyatakan usia yang dicapai (attained age). Bilangan 4,43 untuk usia yang dicapai 29 pada lajur 6 dan lebih (6 and over) menyatakan bahwa peluang seseorang yang sekarang berusia 29 tahun dan yang diasuransikan paling sedikit 5 tahun yang lalu akan meninggal sebelum mencapai usia 30 tahun adalah 0,00443. Perhatikan bahwa pada tabel 2, pengaruh seleksi permulaan dianggap telah hilang sesudah lima tahun, jadi lajur peluang yang terakhir (6 and over) tidak lagi dipengaruhi oleh seleksi tapi hanya oleh usia yang dicapai; peluang pada lajur ini disebut 'ultimate'.



 STAT4331/MODUL 2



2.23



10) Gunakanlah tabel 2 untuk menghitung peluang berikut a) Berapakah peluang seorang lelaki yang sekarang berusia 19 tahun yang diasuransikan 2 tahun yang lalu akan meninggal antara usia 20 dan 21 tahun. b) akan hidup mencapai usia 21 tahun? c) akan meninggal antara usia 24 dan 25? Jawab a) Agar orang itu dapat meninggal antara usia 20 tahun dan 21 tahun , dia harus: hidup mencapai usia 20 tahun dan meninggal setahun kemudian. Peluang yang dicari diperoleh dengan memperhatikan peluang kedua kejadian tersebut. Usia orang tersebut waktu diasuransikan adalah 19 - 2 = 17 tahun. Peluangnya hidup mencapai usia 20 tahun adalah 1- 0.00355. (Lihat bilangan 3.55 pada baris ketiga , usia dikeluarkan [17]. di bawah lajur 3.) Peluang yang dicari adalah (1 - 0.00355)(0.00373) = 0.00372. b) Peluangnya mencapai usia 21 tahun adalah (1 - 0.00355)(1 - 0.00373) = 0.99273. c) Dengan menggunakan cara seperti di atas diperoleh (1-0,00355)(1-0,00373)(1-0,00392)(1-0,00412) (1 - 0,00418)(0,00425) = 0,00417 Perhatikan bahwa peluang dibaca menurut baris ke kanan sampai lajur terakhir, kemudian baca ke bawah sampai diperoleh usia yang dicapai (dalam hal ini 24). Simbol yang menggunakan tabel select akan dibicarakan kemudian pada modul yang lain. Masih ada tabel mortalitas jenis lain untuk kegunaan khusus , Tabel anuitas (annuity table) yang khusus dibuat untuk tujuan anuitas (rangkaian pembayaran). Masalah anuitas akan kita pelajari pada modul berikutnya. Tabel mortalitas agregat (aggregate mortality table) didasarkan atas semua data tanpa memandang lamanya telah diasuransikan dan semua pengalaman dikelornpokkan (diagregasikan) bersama. Pada pelajaran ini kita hanya akan menggunakan tabel CSO. Pemakaian tabel jenis lainnya tidak akan menimbulkan kesulitan kalau penggunaan tabel CSO sudah mahir.



2.24



Asuransi 1 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1 ) Buktikanlah qx + 1/qx + 2/qx + 3/qx + … = 1 Petunjuk: Rumus ini adalah bentuk lain dari rumus pada contoh 9. 2) Buktikanlah n p x  n 1 p x n px  qx  n Petunjuk: Nyatakanlah ruas kanan dalam 1x kemudian sederhanakan 3) Selesaikanlah tabel berikut x 85 86 87 88 89 90



1x 10000



dx



qx 3/10 3/7 3/4 9/10 1 0



px



ex



exo



4) Buktikanlah ex.ex 1.ex  2 ...ex  n 1  p 1  ex 1 1  ex  2 1  ex 3  ... 1  ex  n  n x Petunjuk: Gunakan contoh 8 dan Tes Formatif 1 soal 5 5) Gunakan tabel 2 untuk menghitung peluang (cukup perkaliannya dituliskan, perhitungan tak perlu diselesaikan) a) Seseorang yang sekarang berusia 21 tahun yang diasuransikan 3 tahun yang lalu akan meninggal antara usia 22 dan 23. b) akan mencapai usia 24 tahun c) akan meninggal antara usia 25 dan 26. 6) Hitunglah peluang seseorang berusia 17 tahun dan 21 tahun akan a) hidup keduanya 50 tahun lagi b) salah seorang di antaranya akan meninggal dalam waktu 50 tahun



 STAT4331/MODUL 2



2.25



Petunjuk: Anggap peluang kedua orang bebas dan gunakan CSO 1941 R A NG KU M AN Telah kita pelajari struktur tabel mortalitas dan beberapa jenis tabel mortalitas. Inti tabel tersebut adalah lajur q x , yang dihitung berdasarkan pengalaman perusahaan asuransi. Semua lajur lainnya diturunkan dari lajur qx setelah memilih radiks 1 o sembarang, misalnya 105 atau 106 qx mengatakan tingkat kematian atau peluang meninggal seseorang yang tepat berusia x akan .meninggal sebelum mencapai hari ulang tahunnya yang ke x + 1. Px adalah peluang seseorang yang tepat berusia x akan mencapai hari ulang tahunnya yang ke x + 1. Karena setiap orang pasti hidup atau mati (orang yang setengah mati masih hidup) maka je1as bahwa p x + qx=1 nqx adalah peluang seseorang (tepat) berusia x akan meninggal sebelum mencapai usia x + n, sedangkan npx peluangnya mencapai x + n. Tadi juga jelas bahwa npx + nqx = 1 Simbol sebelah kanan bawah, seperti qx,Pz+x,1y+n, dan sebagainya menyatakan usia yang dicapai. Sedangkan simbo1 sebe1ah kiri bawah seperti m dan n pada mqx, npx menyatakan waktu sesudah usia x. m/nqx menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal antara usia x + m dan x + m + n. Bilangan m di sebelah kiri garis tegak menyatakan jangka waktu penundaan. Simbol m/npx tidak punya arti, karena hidup tak dapat ditunda. Jadi 2/7q18 berarti peluang seseorang berusia 18 akan mencapai usia 20 tahun dan meninggal sebelum mencapai usia 27 tahun, yaitu meninggal antara usia 20 dan 27 tahun. 1x adalah jumlah orang pada tabel mortalitas yang tepat berusia x. 1o disebut radiks dan ditentukan agak sembarang. 1x .px = 1x +1,1x .qx = dx banyaknya orang yang meninggal (dalam tabel mortalitas) antara usia x dan x + 1. 1x+1= 1x-dx. 1x.npx=1x+n, 1x.nqx=ndx 1x+n=1x-ndx exo menyatakan harapan hidup lengkap dari orang yang (tepat) berusia x, yaitu usia rata-rata yang dapat diharapkan masih akan dipunyai oleh orang yang berusia x.



2.26



Asuransi 1 



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui 150 = 7425; 154 = 6.680 dan 155 = 6.464 Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma, peluang seseorang berusia 50 akan meninggal antara usia 54 dan 55…. A. 0,02909 B. 0,03234 C. 0,14867 D. 0,96766. 2) Berapakah peluang seorang lelaki yang sekarang berusia 25 tahun yang diasuransikan 3 tahun yang lalu akan meninggal antara usia 30 dan 31? Gunakan tabel 2, perhitungan tak perlu diselesaikan cukup tuliskan perkaliannya…. A. (1-0,00396)(1-0,00408)(1-0,00424)(1-0,00441) (1 - 0,00443)(0,00446) B. (1-0,00376)(1-0,00396)(1-0,00408)(1-0,00424) (1 - 0,00441)(1 - 0,00443)(0,00446) C. (1-0,00406)(1-0,00421)(1-0,00439) (1 - 0,0041)(1 - 0,00443)(0,00446) D. (1-0,00391)(1-0,00406)(1-0,00421)(1-0,00439) (1 - 0,0041)(1 - 0,00443)(0,00446) 3) Misalkan 1x memenuhi hubungan 1x=10(10000-x2) Hitunglah exo dengan mengunakan definisinya…. A. B. C. D.



1 10000  x 2 1



10000  x 2 1 10000  x 2 1 10000  x 2



 2 / 3.10







6



 100 x  x  1



 2 / 3.10



6



 104 x  1/ 3.x3







 2 / 3.10



6



 104.x  1/ 3.x3







 2 / 3.10



6



 100 x  x  1







2.27



 STAT4331/MODUL 2



4) Menurut CSO 1941, berapakah peluang seseorang berusia 5 tahun akan meninggal antara usia 15 dan 20 tahun…. A. 0,01096 B. 0,02190 C. 0,03287 D. 0,98879. 5) Pola mortalitas suatu penduduk berbentuk: Dari tiap 100 yang lahir bersamaan waktunya satu orang meninggal tiap tahun sampai semuanya punah. Carilah peluang seseorang yang berusia 20 tahun akan mencapai usia 60 tahun…. A. 0,28767 B. 0,71233 C. 1/3 D. 1/2. Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.28



Asuransi 1 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) B 3) B 4) A 5) D



Tes Formatif 2 1) A 2) C 3) B 4) A 5) D



 STAT4331/MODUL 2



2.29



Daftar Pustaka Robert E. Larson & Erwin A. Gaurnnitz; Life Insurance Mathematics New York; John Wiley & Sons, Inc Bab 2, 1951



Modul 3



Anuitas R. K. Sembiring, Ph.D.



PENDAHULUAN



D



alam modul ini akan kita pelajari anuitas (annuity), yaitu rangkaian pembayaran. Dalam matematika finansial (keuangan), abuitas memegang peranan penting karena banyak sekali pembayaran yang tidak dikerjakan tunai sekali gus. Pembelian rumah, seperti rumah PERUMNAS misalnya, dicicil selama beberapa tahun, Cara pembayaran seperti itu disebut anuitas. Dalam perhitungan besarnya cicilan, bunga (majemuk) sudah diperhitungkan. Dalam asuransi, anuitas juga digunakan. Pembayaran premi oleh sitertanggung (orang yang diasuransikan) pada perusahaan asuransi umumnya berbentuk anuitas. Pembayaran pensiun pada pegawai ataupun karyawan juga berbentuk anuitas. Pembayaran dapat dilakukan mingguan, bulanan,.tahunan, ataupun jangka waktu lainnya yang berkala, Besarnya pembayaran berkala tidak perlu sama, Kita akan membedakan dua macam anuitas, yaitu: anuitas tentu (annuity certain) dan anuitas hidup (life annuity). Pembayaran pada anuitas tentu dilakukan tanpa syarat, artinya dikerjakan secara tentu. Pada anuitas hidup pembayaran dikaitkan dengan hidup/matinya seseorang. Misalnya, pembayaran pensiun diberhentikan bila bekas karyawan meninggal. Dari setiap anuitas kita ingin mengetahui besarnya nilai tunainya (present value), yaitu nilai seluruh pembayaran jika sekiranya dibayar sekali gus sekarang, Juga kita ingin tahu jumlah akhirnya, yaitu jumlah seluruh pembayaran dengan bunganya jika selurulmya dinilai pada suatu waktu di kemudian hari. Jumlah nilai tunai dan nilai akhir tergantung pada atas tingkat bunga n yang digunakan



3.2



asuransi 1 







Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari modul ini para mahasiswa diharapkan dapat memahami , pengertian anuitas, macam-macam anuitas hubungannya dengan tingkat bunga , nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas.







Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelajari modul ini para mahasiswa diharapkan dapat membedakan macam-macam anuitas dan dapat menghitung nilai tunainya serta nilai akhirnya bila diketahui tingkat bunga yang berlaku. Begitupun para mahasiswa dapat menghitung tingkat bunga yang berlaku bila diketahui nilai tunai, atau nilai akhir suatu anuitas.



3.3



 stat4331/MODUL 3



Kegiatan belajar 1



Anuitas



B



ila seseorang meminjam uang Rp l juta dari suatu bank dengan tingkat bunga l0 persen setahun misalnya , maka orang tersebut harus membayar bunga uang tersebut tiap akhir tahun sebanyak Rp.100.000, dan hutangnya masih tetap Rp 1 juta di bank. Sekarang, misalkan orang tersebut menunggak pembayaran bunganya selama lima tahun, berapakah ia harus membayar ke bank agar seluruh utang dan bunganya lunas? Dalam hal seperti ini, tunggakan bunga dari tahun sebelumnya biasanya juga kena bunga. Perhitungan bunga seperti itu disebut bunga majemuk, sebagai lawan dari bunga tunggal (bunga tidak mendapat bunga). Bunga dapat dipandang sebagai. sewa yang dikenakan dalam peminjaman uang, jadi mirip dengan pengertian sewa pada sewa rumah. Untuk menyederhanakan pembicaraan, misalkanlah P menyatakan pokok, yaitu besarnya pinjaman atau modal pertama. Misalkan lagi tingkat bunga setahun. Ini berarti bahwa pada akhir tahun besarnya bunga adalah iP, sehingga besarnya bunga dan pokok pada akhir tahun menjadi P + iP. Bila bunga tidak menghasilkan bunga (bunga tunggal) maka banyaknya bunga pada akhir tahun ke dua adalah 2 i P, dan pada akhir tahun ke n menjadi niP, sehingga jumlah pokok dengan bunganya menjadi P + niP. Bila jumlah bunganya dengan pokoknya pada akhir tahun k n kita nyatakan dengan Pn maka menurut perhitungan bunga tunggal:



Pn



P



niP



P 1 ni Sekarang misalkan bunga dapat menghasilkan, yaitu bunga majemuk. Pada P1 i akhir tahun pertama jumah bunga dan pokonya adalah dan jumlah ini merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun ke dua, yaitu:



P1



P1 i



3.4



asuransi 1 



P Pada akhir tahun ke dua besarnya bunga adalah 1 akhir tahun ke dua, besar bunga dengan



P1



iP1



P1 1 i



P1 i



iP i



i



, jadi pada pokonya adalah



2



. Jadi pada permulaan tahun ke tiga diperoleh pokok yang baru yaitu:



P2



P1 i



2



Dengan jalan yang sama diperoleh jumlah pokok dengan bunganya pada akhir tahun ke n (atau permulaan tahun ke n +1)



Pn



P1 i



n



……………………………………………………………(1)



Dalam rumus (1) Pn menyatakan jumlah akhir sedang pokok P menyatakan jumlah awal atau nilai tunai ataupun nilai sekarang dan



P



Pn 1 i



n



1



1 i Bentuk akan sering sekali kita gunakan karena itu untuk menghemat penulisan akan disingkat dengan symbol v. V



1/ 1 i



sehingga



P



1 i



1



Pn .V n



Contoh 1 1) Rp. 1000 di bungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7% setahun. Berapakah besarnya seluruh uang pada akhir tahun ke tiga ? Jawab a) Bunga Tunggal P3 1000 1 3i



1000 1 0, 21 1.210



3.5



 stat4331/MODUL 3



b) Bunga Majemuk



P3



1000 1 0, 07



3



1000 1, 22504 1.225, 04 Contoh 2 1) Seorang ayah mempunyai seorang anak berumur 8 tahun. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pada si anak sebagai biayanya di perguruan tinggi waktu si anak tepat berusia 18 tahun. Bila bank memberi bunga majemuk 12% setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp 1 juta pada si anak 10 tahun kemudian, berapakah dia harus mendopositokan uangnya sekarang? Jawab P10 1 juta, n



10, i



0,1



Jadi



P



1.000.000 1 0,12



10



1.000.000 0,32197324 321.973, 24 Inilah berarti bahwa bi1a si ayah mendefositokan uangnya sekarang di bank sebesar Rp 321.973,24 dengan bmga 12% setahm maka pada akhir tahun ke 10 dia akan memperoleh uang l juta rupiah. Saran Sebaiknya, mulai sekarang dalam mempelajari modul ini sediakan selalu sebuah kalkulator di samping anda. Dengan adanya kalkulator anda tidak lagi memerlukan daftar logaritma sehingga semua perhitungan yang diperlukan dalam pelajaran ini dengan cepat anda dapat selesaikan. Jika anda membeli kalkulator, belilah yang dapat mengerjakan logaritma dan eksponen , n



1 i 1 i Untuk rnemudahkan perhitungan, tabel dan untuk nilai i dan n yang bermacam-macam telah banyak dibuat orang anda tidak



3.6



asuransi 1 



memerlukan tabel seperti itu jika anda mempunyai kalkulator, karena perhitungan seperti itu dengan mudah dapat dikerjakan dengan bantuan kalkulator. Dari contoh 2 kita lihat bahwa nilai sekarang dari uang 1 juta rupiah sepuluh tahun yang akan datang dengan i = 12 % setahun adalah Rp 321.973,24. Pengertian seperti ini sering digunakan di bank dan disebut bunga di.depan atau diskonto. Sebagai contoh, bila seseorang meminjam uang dari bank Rp 1000 dengan bunga (di depan) sebesar 10 % maka si peminjam hanya akan menerirna Rp 900 dari bank dan harus mengembalikannya sebesar Rp 1000 pada akhir tahun perninjaman. jadi bank sering rnenuntut pembayaran bunga di depan. A. ANUITAS TENTU Anuitas tentu adalah serangkaian pernbayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu. Pembayaran dilakukan tanpa syarat, jadi harus dilakukan secara berkala selarna jangka waktu yang telah ditetapkan. Besarnya pernbayaran berkala tak perlu sama, tapi dalam pelajaran ini akan kita anggap selalu sama, Pembayaran dapat dikerjakan bulanan, tahunan, atau lainnya. Untuk permulaan kita misalkan pernbayaran dilakukan tahunan dan besarnya pernbayaran tahunan kita misalkan 1 untuk mernudahkan penulisan. Bila pembayaran berkalanya lain dari 1 rnaka seluruh rurnus cukup dikalikan dengan besar pernbayaran tersebut untuk rnendapatkan rumus yang lebih umum.



0



tahun



Rp. 1 1



Rp. 1 2



Rp. 1 n



Pandanglah suatu anuitas tentu dengan n pembayaran sebesar Rp. l tiap akhir tahun, pembayaran pertama sebesar Rp 1 dilakukan pada akhir tahun pertama, pembayaran ke dua Rp l pada akhir tahun ke dua dan seterusnya, dan pembayaran terakhir Rp 1 pada akhir tahun ke n (lihat gambar), Yang menjadi pertanyaan ialah berapakah nilai tunai dan nilai akhir seluruh pembayaran tersebut bila tingkat bunga (rnajemuk) dimisalkan I % setahun?



3.7



 stat4331/MODUL 3



Sebagai contoh ambillah n = 3 tahun, dan pembayaran Rp 1 dilakukan pada tiap akhir tahun. Jadi seluruhnya ada tiga kali, pembayaran sebesar Rp 1, Sesudah tiga tahun, pembayaran pertama dengan bunganya, menurut



1. 1 i



rumus (1) dengan P = 1, adalah



2



. Pembayaran ke dua dengan



1



1. 1 i bunganya adalah . Pembayaran ke tiga yang baru saja di lakukan jadi belum mendapat bunga, adalah 1. Jumlah seluruhnya, atau nilai akhimya adalah J



1 i



2



1 i



1



1



1 i



3



1 /i



Nilai tunainya dapat dihitung sebagai berikut. Nilai tunai dari P Pn v n dengan P1 1 dan n = pembayaran pertama, menggunakan rumus 1, adalah v2 nilai tunai pembayaran kedua adalah, dengan jalan yang sama, adalah V2 dan yang ketiga adalah V3. Jadi nilai tunai seluruhnya adalah (deret geometric).



A



V



V2



V3



1 V3 / i



Bila pembayaran Rp 1 dilakukan selama n tahun, maka nilai akhirnya adalah



J



1 i 1 i V



n



n



1 i



n



n 1



...



1 i



1



1 /i



1 /i



Nilai tunainya menjadi



A



V



V2



... V n



1 Vn /i



……………….……………………..(2)



Karena nilai J dan A dengan n kali pembayaran akan sering sekali digunakan maka diperlukan symbol khusus untuk keduanya. Nyatakanlah J dengan sn dan A dengan an . Jadi huruf S menyatakan nilai akhir sedangkan a menyatakan nilai tunai dari suatu anuitas sebesar 1n yang ditulis sebelah kanan bawahnya diapit siku-siku menyatakan banyaknya kali



3.8



asuransi 1 



pembayaran tahunan. Perhatikan bahwa pembayaran pertama, sebesar 1, dilakukan pada akhir tahun pertama, sebesar 1, dilakukan pada akhir tahun pertama, pembayaran kedua juga sebesar 1, dilakukan pada akhir tahun ke dua. Anuitas seperti ini disebut anuitas akhir. Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa



an 1 i



n



an



v n



sn



Ini berarti bahwa nilai tunai dari sn adalah an , ataupun nilai akhir dari an adalah sn , suatu hal yang dengan mudah dapat dirasakan. Jika pembayaran dilakukan pada permulaan tiap tahun, sebesar 1 tiap kali pembayaran selama n tahun, maka anuitas seperti itu disebut anuitas awal dan ditulis dengan symbol an .



Rp. 1



Rp. 1



Rp. 1



Rp. 1



0



0



0



n-1



an



1 v



v2



... v n



1 vn / 1 v



n-1→ Tahun



1



1 v n / iv



…………………………………….(3)



Jika rumus ini dibandingkan dengan rumus (2) maka dengan mudah an 1 an 1 terlihat bahwa Begitupun mudah dipahami, bahwa an v.an Contoh 3 1) Hitunglah nilai tunai dan akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp. 150 tiap tahun selama 20 tahun bila tingkat bunga (majemuk) 5% setahun.



3.9



 stat4331/MODUL 3



Jawab



n



20, i



0, 05, v



Jadi 150. a20



1, 05



150 1



1



1, 05



20



/ 0, 05



150 1 0,376889 / 0, 05 150 12, 4622 1869,33.



150.s 20



150 a20 v 20 1869,33 2, 6533298 4959,89



Jadi nilai tunai pembayaran tersebut adalah Rp. 1869,33 dan nilai akhirnya Rp. 4959,89. (Penulisan tanda Rupiah, Rp, akan sering dihilangkan untuk memudahkan pembacaan). Contoh 4 1) Suatu polis asuransi, jiwa memerikan pilihan sebagai berikut: Bila si Ali meninggal Ny. Ali dapat memilih menerima uang tunai sebesar Rp 1 juta atau menerima pembayaran tahunan selama 10 tahun, pembayaran dilakukan tiap permulaan tahun, tingkat bunga diperhitungkan 6% setahun, Hitunglah besarnya pembayaran tahunan tersebut. Jawab Nilai tunai ke sepuluh pembayaran tahunan tersebut haruslah sama dengan Rp 1 juta. Misalkanlah x besamya pembayaran tahunan itu, jadi



x a10 a10



a10



1.000.000. 1 a19 1, 06



10



1



1



1



1 0,558395 / 0, 06



1 7,360087 8,360087



/ 0, 06



3.10



asuransi 1 



Jadi besarnya pembayaran tahunan adalah x = 1.000.000/ 8360087 = 119.615,98 Contoh 5 1) Suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 500 tiap tahun,pembayaran pertama dilakukan lima tahun dari sekarang, selama 20 tahun. Hitunglah nilai tunai dari pembayaran tersebut bila I = 4% setahun. Jawab Anuitas seperti ini disebut tertunda disini tertunda selama 5 tahun, lihat



500 500 0



1



2



3



v 4 .500 a20



4



5



500 24



6



25



500 a20



Gambar. Mula-mula kita hitung nilai tunainya pada permulaan tahun ke lima, kemudian diskonto empat tahun (mundur). Jadi diperoleh:



v 4 .500 a20



1,04



4



500 1 1,04



20



/ 0,04



0,854804 500 0,543613 / 0,04 5808,53 Perhatikan nilai ini sama saja dengan Contoh 6 Buktikanlah an m an 1



vn



vn



1



...



vn



v5 .500.a20



m



Bukti



an



m



an an



m



v



v2



1



v



an



1



... v n v2 vn



vn



1



vn



... v n



1



1



... v n



v n 1... v n



m



m



 stat4331/MODUL 3



Contoh 7 Buktikanlah i an 1 i v n



3.11



1



Bukti Dari rumus (3) diperoleh



i 1 v n / iv



i an



1 vn / v v v 1



v



1 i



1



vn vn vn



1



/v



1 1



LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Buktikanlah secara aljabar dan verbal



1) a.



an



an



1



vn



b.



sn



sn



1



v



n 1



2) Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan sebesar Rp.5 juta, permbayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilai akhir seluruh pembayaran bila: a) tingkat bunga S% setahun? b) tingkat bunga 8% setahun? 3) Berapakah nilai soal 2 pada akhir tahun ke 20 4) Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahun sebesar Rp l00 setahun, pembayaran ditunda selama 5 tahun. Tingkat bunga 8& setahun.



3.12



asuransi 1 



5) Seorang ayah menaruh uang di bank untuk membiayai sekolah anaknya selama 12 tahun. Jika si anak menerima Rp 1000 tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akkir tahun ke enam dari sekarang dan seluruh uang dan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaran yang ke 12 dilakukan, berapa banyakkah si ayah menaruh uangnya di bank bila bank memberi bunga 12% setahun? 6) Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp 2 juta dan cicilan tiap akhir tahun sebesar Rp 500.000. selama 10 tahun. Bila bunga uang sebesar 5% setahun, berapakah harga rumah tersebut bila dibeli tunai? Jawaban 1) Sederhanakan ruas kanan 2) 3) Nilai akhir, untuk masing-masing tingkat bunga, pada soal no 2 di bungakan selama 10 tahun, yaitu sampai akhir tahun ke 20. 4) 5) Hitung nilai tunai anuitas akhir yang ditunda selama 6 tahun 6) Harga rumah tunai = Rp 2 juta + nilai tunai anuitas akhir sebesar Rp 500.000 per tahun selama 10 tahun.



RANGKUMAN Telah kita pelajari pada bagian pertama modul ini masalah anuitas tentu. Anuitas tentu dibedakan menurut pembayararnya, apakah di awal atau di akhir tahun, apakah ada penundaan atau tidak. Kita ingin mengetahui nilai tunai (nilai awal) dan nilai akhirnya untuk tingkat bmga (majemuk) tertentu. Begitupun telah dipelajari mengenai faktor diskonto V = (1 + i) -1. Anuitas tentu awal dilakukan dengan faktor diskonto menghasilkan anuitas tentu akhir. Faktor diskonto ini akan sering sekali kita pada pelajaran seterusnya, karena itu anda usahakan memakainya dengan baik.



 stat4331/MODUL 3



3.13



TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Hitung a10 pada tingkat bunga 5% A. 7.1078 B. 7,4632 C. 7,7217 D. 8,1078 2) Seseorang menabung uang Rp.1.000 tiap permulaan tahun selama 10 tahun dengan bunga 5% setahun. Berapakah jumlah seluruh uangnya pada akhir tahun ke 15? A. Rp.12.577,89 B. Rp.16.052,93 C. Rp. 16.855,68 D. Rp.22.657,49 3) Seseorang membeli sebuah rumah seharga Rp.12 juta, sudah termasuk uang muka sebesar Rp.4 juta. Dia berjanji membayar sisanya dengan cicilan yang sama besarnya tiap akhir bulan selama 15 tahun. Berapakah besarnya cicilan bulanan bila tingkat bunga 4% setahun? A. Rp. 59. 17 5, 04 B. Rp.118.350,08 C. Rp.320.275,12 D. Rp.640.550,24 4) Dari pada membayar sewa Rp.125.000 pada permulaan tiap bulan selama 8 tahun, si Ali memutuskan membeli rumah. Bila bunga uang 5% setahun berapakah harga rumah (nilai tunai) yang dapat dia beli dengan uang sewa di atas? Petunjuk: Ada 8 x 12 = 96 periode bunga (bulan) dengan tingkat bunga per periode 5%/12. A. Rp.2.476.891,74 B. Rp.2.600.736,32 C. Rp.9.873.679,95 D. Rp.9.914.820,28



3.14



asuransi 1 



5) Suatu perusahaan membeli sebuah mesin seharga 10 juta rupiah. Mesin itu diharapkan dapat dipakai selama 10 tahun dan akan diganti dengan mesin yang sama 10 tahun kemudian dengan harga yang sama pula. Suatu dana untuk pembelian mesin baru diadakan dengan menyetor uang tiap akhir tahun selma 10 tahun dengan bunga 2,5%. Berapakah besar setoran tahunan? A. Rp. 801.059,56 B. Rp. 892.587,63 C. Rp.1.142.587,63 D. Rp. 1.254.568,90 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



3.15



 stat4331/MODUL 3



Kegiatan belajar 2



Anuitas Hidup A. BERBAGAI MACAM ANUITAS HIDUP Anuitas yang dibicarakan di sepan tidak dikaitkan dengan hidup matinya seseorang. Pembayaran pensiun, pembayaran premi asuransi, menyebutkan dan sebagai contoh, harga berlangsung selama orang yang pensiun ataupun pemegang polis asuransi tersebut masih hidup. Pembayaran akan di hentikan kalau orang yang bersangkutan telah meninggal. Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang tersubut anuitas hidup (life annuity). Jadi anuitas hidup ialah serangkaian pembayaran (besarnya pembayaran berkala boleh berubah) yang di lakukan selama seseorang tertentu masih hidup, pembayaran hanya di lakukan bila pada waktu pembayaran itu jatuh orang tersebut masih hidup. Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. Anuitas akhir seumur hidup ialah suatu rangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan tiap akhir tahun, pembayaran hanya berlangsung selama seseorang masih hidup waktu jatuhnya pembayaran tersebut. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol a , huruf x pada bagian bawah simbol menyatakan usia sekarang orang yang dengannya anuitas tersebut dikaitkan. Anuitas awal seumur hidup ialah serangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan pada awal tiap tahun, pembayaran berlangsung seumur hidup seseorang tertentu. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol ax Jelas bahwa anuitas awal dan anuitas akhir seumur hidup hanya berselisih 1, yaitu pembayaran pertama pada awal tahun pertama. Lihat gambar ber ikut ,



3.16



asuransi 1 



(x) menyatakan orang yang berusia x. pembayaran terakhir terjadi ketika (x) berumur x+n -1. Karena nilai tunai pembayaran pertama pada permulaan tahun pertama adalah juga 1, maka



ax



1 ax ……………………………………………………………….(4)



Bila pembayaran tidak dilakukan sepanjang umur (x), tapi misalnya hanya selama paling lama n tahun asal dia masih hidup, maka anuitas tersebut disebut anuitas sementara. Nilai tunai suatu anuitas akhir selama n a tahun ditulis dengan symbol x:n . jika (x) meninggal sebelum mencapai n kali pembayaran maka pembayaran tidak diteruskan,



Maksimum pembayaran n kali. Dari gambar terlihat dengan jelas bahwa



ax:n



1 ax:n



1



…………………………………………………………..(5)



Anuitas dapat pula ditunda pembayarannya selama beberapa tahun, misalnya m tahun, dan pembayaran dapat berlangsung seumur hidup atau selama jangka waktu tertentu (sementara). Nilai tunai suatu anuitas akhir bagi seseorang berusia x, ditunda selama m tahun, pembayaran paling banyak selama jangka. waktu n tahun, ditulis dengan simbol m nax Bilangan di depan bawah garis tegak menyatakan jangka waktu penundaan sedangkan yang dibelakang bawah garis tegak menyatakan lamanya



 stat4331/MODUL 3



3.17



maksimum pembayaran x, seperti biasa, menyatakan usia waktu anuitas m | ax:n dikeluarkan, Perhatikan, kita tidak menuliskannya dengan simbol . m | a x:n . Bila Untuk anuitas awal, simbolnya menjadi m | n ax dan bukan anuitas tersebut seumur hidup maka simbolnya menjadi max untuk anuitas a akhir dan m / x untuk anuitas awal. sudah terlihat bahwa



m 1 ax



m | ax , dan a



m 1| n x



m / n a x ……………………………………………….……(6)



Contoh 7 1) Tunjukanlah dengan gambar dan secara verbal (dengan kata-kata, jadi bukan secara aljabar) bahwa



ax:n



n / ax



ax



………………..………………………………………..(7)



ax:n Secara verbal: menyatakan nilai tunai suatu anuitas akhir (pembayaran sebesar 1 tiap akhir tahun) selama n tahun, pembayaran pertama pada akhir tahun pertama sedangkan yang terakhir (asal saja (x) masih hidup) pada waktu usia x n. n / ax menyatakan nilai tunia suatu anuitas akhir dikeluarkan bagi orang berusia x tahun, pembayaran pertama sebesar 1 dilakukan pada waktu usia x + n +1 (Akhir tahun ke x + n) dan berlangsung seumur hidup. Keduanya, bila dijumlahkan menghasilkan nilai tunai suatu



3.18



asuransi 1 



anuitas hidup bagi orang berusia x tahun pembayaran 1 dilakukan tiap akhir tahun selama hidup.



Dengan jalan yang sama, buktikanlah bahwa



ax:n



n|ax



ax



B. ANUITAS SEUMUR HIDUP Sekarang akan kita turunkan rumus-rumus perhitungan untuk anuitas seurnur hidup. Pandanglah sekelompok orang yang tepat berusia x (disebut kohort). Sesuai dengan simbol di Buku Materi Pokok II, kita nyatakan orang tersebut dengan 1x. Misalkanlah tiap orang dari sebanyak 1x tersebut menyetor sekarang sejumlah A rupiah ke dalam suatu dana sedemikian rupa besarnya sehingga tiap orang yang mencapai usia x + 1 menerima Rp. l dari dana tersebut, tiap orang yang mencapai usia x + 2 menerima Rp 1 dari dana tersebut, dan seterusnya. Pembayaran dilakukan sampai, semua orang dari sebanyak 1 tadi meninggal semuanya. Masalahnya ialah, berapakah besarnya A?



Tiap orang menyetor A rupiah dan ada banyak 1x orang, jadi besarnya 1 uang dalam dana sekarang adalah A x . Pada permulaan tahun berikutnya ada



1 sebanyak x 1 orang yang masih hidup dari 1x sekarang, dan tiap orang dari mereka mendapat. Jadi besarnya uang yang harus dikeluarkan dari dana 1 sebesar 1x.1 rupiah. Dua tahun berikutnya terdapat x 2 orang yang masih hidup, jadi uang yang harus dibayarkan dari dana adalah seterusnya. Jadi A.1x



v.1x



1



v 21x



2



v31x



3



... v w



1x



x1w



2



rupiah dan



3.19



 stat4331/MODUL 3



Perhatikan bahwa A merupakan nilai tunai (disebut pula, premi tunggal) dari pembayaran setiap orang pada tepat usia x. v.1x



A



1



v 21x



2



... v w



x1w



Didepan, symbol untuk a ialah x, dan disebut premi tunggal bersih atau nilai tunai anuitas akhir (hidup). Cara penurunan rumus ini disebut “cara dana bersama”, mirip gotong royong. Contoh 8 1) Bila tingkat bunga 2,5% setahun, hitunglah a50 dengan menggunakan CSO 1941. Jawab 1x ,1x 1,...,1w



dapat dilihat pada halaman tabel 1 buku materi pokok II. Bila I = 5% maka v = 1/(1,025) = 1,025-1 Jadi a50



1, 025



1



800910



1, 025



2



790282



... 1, 025



49



15,316571 810900 perhitungannya sama sekali tidak sulit tapi amat membosankan. Untuk menyederhanakan perhitungan maka orang telah membuat symbol komutasi atau symbol perantara, sebagai berikut:



Dx



v x 1x



Nx



Dx i 0



i



Dx



Dx



1



...



Dw



3.20



asuransi 1 



Sx



Nx



i



Nx



i 1 Dx



i



Nx



...



1



Nw



i 0



i 0 x 1



Cx



v



Mx



Dx



2 Dx



1



3Dx



2 ...



Dw



dx Cx



i



Cx



Cx



Mx



i



Mx



... Cw



1



i 0



Rx



Nx



...



1



Mx



i 0



i 1 Cx



Cx



i



2C x



1



3C x



2 ...



Cw



i 0



Untuk memudahkan perhitungan orang membuat tabel yang berisi nilai numerik dari symbol- symbol tersebut. Tabel 2 memberikan nilai numerik dari keenam symbol komutasi dengan menggunakan tabel mortalitas CSO 1 2 % 1941 dengan tingkat bunga 2 . Dengan menggunakan symbol komutasi maka rumus ax diatas dapat disederhanakan menjadi (kalikan pembanding dan penyebut dengan vx). v x 1 1x 1 v x 2 1x 2 ... v w1w ax v x 1x



Dx



1



Nx



1



Dx 2 Dx



...



Dw



/ Dx



Contoh 9 Hitunglah



a50



dengan menggunakan symbol komutasi. (untuk 1 2 % seterusnya, akan selalu digunakan tabel CSO dengan tingkat bunga 2 Jawab a50 N51 / D50 Menurut tabel 2, N51 3.613.562,55 dan D50 a50 3.613.562,55 / 235.925,04=15,316571



235.925,04 sehingga



3.21



 stat4331/MODUL 3



Sama dengan yang diperoleh dengan pada contoh 8. Dari rumus (4) diperoleh Nx 1 ax 1 ax 1 Dx



Dx



Nx Dx



1



Nx Dx



……………………….…………………………(9)



Kita tahu dari contoh 9 bahwa a50 Jadi a50 1 a50 16.316571



15.316571



Contoh 10 Buktikanlah bahwa ax



1 i ax 1



Px



Bukti Cara terbaik menyelesaikan persamaan seperti ini ialah dengan menyederhanakan bentuk yang di sebelah kanan. Kita tahu dari pelajaran yang lalu bahwa (1 i) = 1/V dan Px 1x 1 /1x , jadi



1 i ax Px



ax VPx



1x ax 1x 1 v



3.22



asuransi 1 



 stat4331/MODUL 3



3.23



3.24



asuransi 1 



v x 11 ax v x 1x 1 v Dx N x 1 . Dx 1 Dx



Dx ax Dx 1 Nx



1



Dx



1



ax



1



Contoh 11 1) Hitunglah nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu anuitas awal (hidup) dengan pembayaran Rp 1.500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun dan 60 tahun. Jawab: premi tunggal bersih = 1500 a20 1500 N 20 / D20 1500 15.744.046, 23 40.671,35 rupiah



1500a60



1500 1.865.613,58 / 154.046, 23 18.166,11 rupiah



Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang lebih muda lebih tinggi dari pada untuk orang yang lebih tua karena orang yang lebih muda lebih lama. Jadi lebih banyak, menerima anuitas sebab dia masih akan lebih lama hidup. C. ENDOWMEN MURNI, ANUITAS SEMENTARA, DAN ANUITAS DITUNDA Endowmen murni aialah suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang tertentu bila dia hidup mencapai akhir jangka waktu tersebut. Bila orang tersebut meninggal sebelum akhir jangka waktu tersebut maka tidak ada pembayaran sama sekali. Symbol nEx menyatakan tunai suatu endowmen murni yang dikeluarkan bagi seseorang berusia x selama jangka waktu n tahun. Bila (X) meninggal sebelum berusia x + n maka kepadanya akan dibayarkan sebesar 1 pada akhir tahun ke x + n. nilai tunai dari 1 adalah



3.25



 stat4331/MODUL 3



1 x



x



n



dibayarkan 1 bila (x) mencapai usia n+x.



n



v , peluangnya dibayarkan ialah nPx, yaitu peluang (x) mencapai usia x + n, jadi n E x v n .n p x v n 1x v



x n



Dx



n



n



/1x



1x



n



/ vx x



/ Dx



………………………….……………………….(10)



Perhatikan



bahwa menurut symbol yang digunakan didepan n x n | ax , tetapi symbol terakhir ini tidak digunakan orang sesungguhnya dalam praktek. Terlihat bahwa nEx adalah suatu anuitas awal yang ditunda selama n tahun dan pembayarannya Cuma sekali sebesar 1. Sesungguhnya nEx dapat pula dipandang sebagai factor diskonto, yaitu diskonto terhadap bunga (vn) dan kematian (npx), jadi nEx adalah nilai tunai dari 1 yang didiskontokan terhadap bunga dan kematian. Pemahaman gagasan ini sangat penting dalam perumusan rumus-rumus berikut. E



ax:n



dapat dipandang sebagai gabungan dari serangkaian endowmen



murni: ax:n 1E x



2E x



...



nE x



3.26



asuransi 1 



atau



ax:n



Dx 1 Dx Dx



Dx 2 Dx Dx



1



Dx n Dx



... ...



2



Dx



n



Dx Nx



Nx



1



/ Dx



n 1



………………………………………(11)



Dari rumus (5) dan (11) diperoleh: a x:n 1 ax:n 1



Nx



1



Nx



1



n



Dx



Dx



Nx



1



Nx



n



Dx Nx



Nx



n



Dx



…………………….………………………..(12)



Dari rumus (7), (8) dan (11) diperoleh n | ax ax ax:n



Nx 1 Dx Nx n Dx



Nx



1



Nx Dx



n 1



1



…………………...…………………….(13)



Dengan jalan yang sama diperoleh n / ax ax ax:n



Nx Dx Nx n Dx



Nx



Nx Dx



n



……………………………………………..(14)



3.27



 stat4331/MODUL 3



a a Untuk menurunkan rumus m | n x dan m | n x kita akan menggunakan a endowmen murni. Pembayaran untuk m | n x dapat digambarkan sebagai



Masa Penundaan



Masa Pembayaran



Nilai tunai pembayaran tersebut (didiskontokan terhadap bunga dan mortalitas) adalah



m / na x



m 1E x Dx m 1 Dx Nx



m 1



m 2 E x ... m n E x Dx m 2 Dx m n ... Dx Dx Nx Dx



m n 1



…………………………..(15)



Dari rumus (6) dan (15) diperoleh m | n a x m 1| n a x Nx m Nx m n Dx ……………………………………………….(16) Contoh 12 1) Hitunglah nilai tunai suatu endowmen murni sebesar Rp 1.000.000 yang dikeluarkan bagi seseorang berusia 25 tahun selama 40 tahun Jawab D 1.000.000 40 E 25 1.000.000 65 D25



1.000.000 116.088.15 / 506.594, 02 229.154, 22 rupiah Cara lain



3.28



asuransi 1 



1.000.000 40E 25



1.000.000 1 i 1.000 1,025



40



40



165 /125



577.882 / 937.197



229.154, 22 rupiah Contoh 13 1) Pada hari ulang tahunnya yang ke 30 si Ali membeli endowmen murni sebesar Rp 5.000 untuk selama 35 tahun (yaitu sampai usia 65 tahun). Bila dia mencapai usia 65 tahun, berapa besarkah yang akan dia terima? Jawab 35E 30 adalah nilai tunai dari 1, jadi dengan nilai tunai Rp 5.000 dia akan dapat membeli enodwmen murni dengan besar pembayaran. 5000 5000 5.000 D30 / D65 E D 35 30 65 / D30



5.000 440.800,58 /116.088,15 18.985, 60 rupiah Contoh 14 1) Si Ali, yang sekarang berusia 25 tahun, ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia 55 tahun dengan penerimaan 3 juta rupiah setahun, pembayaran pertama pada hari ulang tahunnya yang ke 55. Untuk itu dia akan melakukan pembayraan tahunan, pada permulaan tiap tahun, mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke 54. Berapa besarkah pembayaran tahunan tersebut? Jawab: Nilai tunai dari penerimaan tahunan sebesar 3 juta bagi seseorang berusia 25 tahun ditunda 30 tahun adalah



3.000.000.30 / a25



3.000.000 N55 / D25



Untuk membeli ini si ali harus melakukan pembayraan yang berbentuk anuitas sementara. Misalkan pembayaran tahunnya adalah B, maka nilai tunai anuitas tersebut adalah



3.29



 stat4331/MODUL 3



B a25:30



B



N 25 N55 D25



Dengan menyamakan ke dua nilai tunai anuitas tersebut maka nilai B dapat diperoleh: B



N 25 N55 D25



3.000.000 N55 / D25



Atau B 3.000.000 N55 / N 25



N55



3.000.000 2.754.768,79 / 12.992.619,10 2.754.768,79 807.230,63 rupiah



Contoh 15 1) Pada usia 65 si Ali mempunyai dua pilihan (a) menerima 25 juta rupiah dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya dengan tingkat bunga 2,5% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap permulaan tahun selama 20 tahun (anuitas tentu selama 20 tahun) sejumlah uang yang sama besarnya dan sedudah 20 kali pembayaran dana tadi habis, atau (b) membiarkan uangnya pada perusahaan tadi dan menerima jumlah uang yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 20 tahun bila dia hidup (anuitas hidup). Hitunglah besarnya penerimaan si Ali tiap tahun dalarn ke dua hal. Bila si ali meninggal tepat sebelum mencapai usia 80 tahun, berapa besarkah yang akan diterima oleh ahli warisnya? Jawab Misalkanlah penerimaan tahunan si ali B rupiah. Nilai tunai anuitas awal tentu selama 20 tahun dengan pembayaran B tiap tahun adalah



B a:20



25.000.000



3.30



asuransi 1 



Menurut rumus (3) Ba20 Jadi B



B 1 v 20 / iv



B 1 1, 025



25



25.000.000 0, 025 / 1 1, 025



/ 0, 025 1, 02 20



0, 025



1.564.564,12 rupiah



Bila si ali meninggal tepat sebelum berusia 80 tahun maka masih tersisa 5 kali pembayaran yang harus dilaksanakan yang akan diterima oleh si ali. Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah:



1.564.564,12 a5



7.450.413,96 rupiah



Pembayaran tahunan untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 65 selama 20 tahun adalah N N85 B a65:20 B 65 25.000.000 D65



Jadi B



25.000.000 D65 / N 65



N85



2.557.820,58 rupiah Dalam hal ini bila si ali meninggal maka pewarisnya tidak menerima apapun



LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buktikanlha bahwa ax 1 vpx ax 1 2) Selesaikanlah tabel berikut dengan tingkat bunga perhitungan sampai 4 angka di belakang koma x



1x



90 91



1000



dx



qx 0.2000



240



px



ax



i = 6%, kerjakan



ex



e



x



3.31



 stat4331/MODUL 3



1x



x 92 93 94 95



dx



qx



px



ax



ex



e



x



0.7000 196 0



3) Buktikanlah bahwa a ax:m m E x. ax m:n a) x:n n E E E b) m n x m x.n x m 4) Misalkanlah sebanyak 1x orang sepakat menyumbang sekarsng Rp 1 per orang ke suatu dana setahun dari sekarang tiap orang yang masih 1 hidup, x 1 menyumbang lagi Rp 1 ke dana tersebut, 2 tahun kemudian 1 tiap orang dari sebanyak x 2 yang masih hidup menyambung lagi Rp 1 ke dana tadi, dan seterusnya sampai sumbangan telah terkumpul sebanyak n kali (tahun); n tahun dari sekarang semua dana 1 yang telah terkumpul (dengan bunganya) dibagi sama rata oleh x n orang masih hidup. Misalkanlah U menyatakan bagian tiap orang yang masih hidup, buktikanlah bahwa nU x



Nx



Nx Dx



n



…………….……………………………………………(17) Dana seperti inisering disebut dana tonti, menurut penemuannya seorang italia bernama Tonti (1630-1695). Bila n = 1 pada rumus diatas, biasanya U U tidak ditulis, jadi 1 x x x n



5) Buktikanlah bahwa a x:n n E x. nU x a) mU x m nU x nE x m b) ax 1 U x ax c)



nU n



m



3.32



asuransi 1 



Jawaban 1) Sederhanakan ruas kanan 3) Sederhanakan ruas kanan, kalau perluubah dulu ke symbol komutasi 4) Mislakan tingkat bunga i, hitunglah nilai akhir (tepa pada usia x+n) dari semua pembayaran kemudian bagilah nilai tersebut dengan jumlah orang yang masih hidup, 1x+n 5) Sederhanakan dan gunakan symbol komutasi



RANGKUMAN Pada bagian ke dua modul ini telah kita pelajari berbagai bentuk anuitas hidup, endowmen murni dan dana tonti. Pembayaran premi asuransi akan selalu berbentuk anuitas hidup, begitupun pembayaran pensiun. Besarnya jumlah asuransi yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi tentunya akan tergantung atas besarnya premi yang dibayar oleh pemegang polis 9 (orang yang diasuransikan). Dari anuitas tadi kita akan umumnya akhirnya, jika diketahui besarnya pembayaran berkala, atau sebaliknya, yaitu bila diketahui nilai tunainya ataupun nilai akhirnya kita ingin tahu besarnya pembayaran berkalanya. Besarnya pembayaran akan dipengaruhi oleh tingkat bunga, peluang meninggal dan lamanya pembayaran.



TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Si Ali pensiun pada usia 57 tahun dan menerima sepuluh juta rupiah dari perusahaan tempatnya bekerja, Berapakah besarnya penerimaan tahunan yang dia akan terima bila uang tersebut dia pakai untuk membeli anuitas seumur hidup pembayaran pada akhir tiap tahun mulai usia 57. A. Rp 748.433,48 B. Rp 772.674,87 C. Rp 808.980,27 D. Rp 837.376,88 2) Lanjutan soal 1. Berapa besarnya penerimaan tahunannya bila uang tersebut dia belikan anuitas seumur hidup, pembayaran pertarna pada hari ulang tahurmya yang ke 65?



 stat4331/MODUL 3



A. B. C. D.



3.33



Rp 990.403,57 Rp 1.099.276,26 Rp 1.371.944,98 Rp 1.516.508,08



3) Pada usia 55 tahun si Ali membeli suatu anuitas seumur hidup sebesar 2,5 juta rupiah tiap akhir tahun, Dalarn kontraknya ditentukan bahwa selama 15 tahun pertama pembayaran adalah tentu (anuitas tertentu) dan selama hidupnya sesudah itu. Hitunglah premi tunggal bersih (nilai tunai) anuitas tersebut. A. Rp 38.469.088,98 B. Rp 39.242.923,98 C. Rp 39.509.441,29 D. Rp 40.283.276,29 4) Sejumlah orang yang semuanya berusia 23 tahun sepakat menyumbang B rupiah tiap orang ke suatu disana pada permulaan tiap tahun selama mereka hidup mencapai usia 64 tahun. Sumbangan terakhir dilakukan pada usia 64 tahun. Pada usia 65 tahun semua dana dengan bunganya dibagi rata oleh mereka yang masih hidup, dan bagian tiap orang dipakai untuk membeli anuitas hidup dengan pembayaran 3 juta rupiah pada permulaan tiap tahun. Hitunglah B A. Rp 246.042,26 B. Rp 264.304,22 C. Rp 273.089,11 D. Rp 293.358,55 5) Si Ali yang sekarang berumur 25 tahun membayar tiap permulaan tahun Rp 150.000 ke suatu dana sampai dengan hari ulang tahunnya yang ke 60. Mulai pada hari ulang tahunnya yang ke 65 dia akan menerima pensiun sebesar B tiap tahun selama hidupnya, Hitunglah B. A. Rp 330.820.93 B. Rp 326.303,47 C. Rp 1.423.947, 11 D. Rp 1.443.660,74



3.34



asuransi 1 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 stat4331/MODUL 3



3.35



Kunci Jawaban Tes Formatif 1 1) 2) 3) 4) 5)



A C A D B



Kunci Jawaban Tes Formatif 2 1) 2) 3) 4) 5)



C D A C D



3.36



asuransi 1 



Daftar Pustaka Robert E. Larson & Erwin A. Gaumnit: Life Insurance Mathematics, 1951 New York, John Wiley & Son, Inc



Modul 4



Asuransi Jiwa R.K. Sembiring, Ph.D.



PE N DA H UL U AN



P



ada rnodul ini akan kita pelajari berbagai jenis asuransi, cara menentukan besarnya premi tahunan. Dalam pembahasan dalam modul ini, dianggap biaya tidak ada, dengan perkataan lain, premi yang dibahas adalah premi bersih atau netto. Cara pembayaran premi telah kita bahas pada pokok bahasan III, yaitu anuitas hidup yang beranekaragam. Pada dasarnya asuransi jiwa adalah usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan melalui perusahaan asuransi dengan mananfaatkan apa yang disebut dalam statistika hukum bilangan besar (law of large numbers). Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang meninggal. Dengan administrasi yang efisien dan investasi dana yang aman dengan tingkat bunga yang wajar perusahaan asuransi akan berkembang dengan sehat dan merupakan usaha pengumpulan modal yang amat penting. Setiap orang yang mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap suatu kontrak tertulis antara dia dengan perusahaan. Dalam kontrak di terakan, antara lain, besarnya premi yang harus dia bayar ke perusahaan dan jadwal pembayarannya besarnya santunan asuransi yang akan dibayarkan perusahaan jika suatu peristiwa terjadi. Kontrak tersebut sering disebut polis asuransi. Dalam polis juga diterakan waktu mulai berlakunya polis tersebut dan disebut tanggal polis dikeluarkan dan biasanya diambil sebagai tanggal yang paling dekat ke hari ulang tahunnya yang terdekat. Besarnya santunan asuransi (claim) tergantung atas premi, sedangkan besarnya tergantung atas tiga hal: peluang meninggal, tingkat bunga, dan biaya. Peluang meninggal tergantung atas umur, jenis kelamin, pekerjaan , kebiasaan seseorang, dan berbagai hal lain. Dana yang terkumpul pada perusahaan asuransi akan di investasikan dengan tingkat



4.2



Asuransi 1 



bunga tertentu, dan sebagian dari bunga tersebut seharusnyalah menjadi milik pemegang polis. Perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya, biaya pegawainya untuk mengeluarkan polis , mengadministrasikan polis dan membayarkan santunan pajak, komisi , dan sebagainya. Masalah biaya ini akan dibahas pada rnodul yang lain, pada modul ini kita hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhatikan faktor biaya disebut premi bersih Premi dapat dibayarkan sekaligus, disebut premi tunggal, dapat pula seumur hidup, dan dapat pula selama jangka waktu tertentu, misalnya, selarna 20 tahun, Bila sitertanggung (pemegang polis) meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka pembayaran dianggap telah selesai. Jika karena suatu hal si tertanggung tidak dapat memenuhi kewajibannya , yaitu membayar premi sepenuhnya maka biasanya terdapat beberapa pilihan penyelesaian yang sering ditempuh Masalah ini akan dibahas pada modul yang lain. Seperti pada pelajaran yang lalu, kita akan menggunakan tabel CSO 1941 dengan tingkat bunga 2,5% setahun. 



Tujuan Instruksional Umum Pada mahasiswa sesudah mempelajari modul 1nl diharapkan dapat memahami berbagai macam asuransi jiwa dan preminya serta cara menghitungnya.







Tujuan Instruksional Khusus Para mahasiswa diharapkan dapat mernbedakan dan menjelaskan perbedaan dan persamaan dari berbagai jenis asuransi dan dapat menghitung besarnya asuransi bila diberikan tabel mortalitas dan tingkat bunga , Begitupun para mahasiswa diharapkan dapat membedakan dan menghitung berbagai jenis premi 'bersih untuk berbagai jenis asuransi.



 STAT4331/MODUL 4



4.3



Kegiatan belajar 1



Berbagai Bentuk Asuransi Jiwa A. ASURANSI BERJANGKA Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana, karena itu yang pertama kita pelajari. Di bawah kontrak ini santunan asuransi akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris si tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu, disebut jangka waktu polis. Jangka waktu biasanya 5 tahun, 10 tahun, 15 tahun, atau 20 tahun. Untuk memudahkan perhitungan maka akan kita pandang terlebih dahulu dengan jangka waktu setahun. Misalkan ada 1 orang, sernuanya tepat berusia x, sepakat x menyerahkan sebesar A rupiah ke suatu dana dan pada akhir tahun Rp.1 akan dibayarkan kepada setiap pewaris dari yang meninggal di antara mereka sepanjang tahun tersebut. Dana yang terkunpul berserta bunganya setahun dianggap tepat sarna dengan seluruh pernbayaran santunan Rp1 bagi setiap yang meninggal, jadi tidak kurang maupun bersisa. Banyaknya yang meninggal setahun dari sebanyak 1x adalah d x jadi seluruh pembayaran setahun kemudian adalah d x rupiah. Dana yang A.1x 1 i terkumpul beserta bunganya adalah sehingga d x A.1x 1 i Jadi A d x / 1x 1 i



vd x / 1x vx



1



d x / 1x v x



C x / Dx Para pembaca yang sudah lupa definisi Cx dan Dx agar melihatnya kembali di pokok bahasan III. Nilai A diatas dapat pula diperoleh secara diskonto (bunga dan peluang meninggal). Nilai tunai dari Rp 1 yang akan dibayar setahun lagi adalah V, peluangnya akan dibayarkan adalah qx ( yaitu jika meninggal), jadi



4.4



A



Asuransi 1 



Vqx



Vdx /1x



Cx / Dx ……………………………………………..(1)



Nilai A ini disebut premi tinggal bersih suatu asuransi sebesar Rp 1 selarna setahun. Nilai Rp 1 hanya akan dibayarkan bila si tertanggung rneninggal dalarn jangka waktu setahun, Bila dia hidup rnencapai usia x + 1 rnaka dia tidak rnendapat apapun. A 1 Sekarang rnisalkan x:n rnenyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp 1 pada (x) selarna jangka waktu n tahun. lni berarti bila (x) rneninggal sebelum usia x + n rnaka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun dia rneninggal, tapi bila dia hidup rnencapai usia x + n rnaka tidak akan ada pernbayaran. Cara penurunan runusnya sarna dengan yang di atas, Kalau (x) meninggal pada tahun pertarna rnaka Rp 1 dibayarkan pada akhir tahun kepada pewarisnya, nilai tunainya adalah Vd x /1x Kalau (x) rneninggal pada tahun kedua rnaka Rp 1 dibayarkan pada akhir tahun kedua, nilai tunainya V 2 d x 1 /1x adalah , dan seterusnya.



A1x:n



Vd x / 1x Vx



Jadi



1



V 2d x



dx



V



Cx



Cx



Mx



Mx



x 2



/ 1x



dx



n



...



vn d x



... V x



1



... C x



1



n 1



n



n 1



dx



Cx



/ 1x n 1



/ v x 1x



/ Dx



/ Dx



Mx Perhatikan bahwa



1



…………..(2) i



i 0



dan n 1



Mx



Cx



n i 0



n i , Jadi



Mx



Mx



Cx



n



i



i 0



Contoh 1) Hitunglah premi tunggal bersih suatu asuransi berjangka 10 tahun bagi seseorang berusia 30 tahun bila besarnya santunan Rp 1 juta Rupiah



4.5



 STAT4331/MODUL 4



Jawab Premi tunggal bersih untuk asuransi 1 juta rupiah bagi seseorang berumur 30 tahun selama 10 tahun adalah



106 A130:10



106 M 30



M 40 / D30



6



10 182403, 4951 165359,8889 / 440800,58 38665,12 rupiah



Nilai M30, M40 dan D30 anda lihat di table 2 buku materi pokok III. 2)



Buktikanlah bahwa



A1x:20



A1x:10



10 E x . A1x



10:10



Bukti : kita sederhanakan ruas kanan dengan mengubahnya ke symbol komutasi. A1x:10 10



E



Mx



Mx



1



x . A x 10:10



10



Dx



/ Dx 10



/ Dx . M x



Jadi ruas kanan menjadi M x M x 10 / Dx Mx



Mx



Mx



20



10



Mx



10



20



Mx



20



/ Dx



10



/ Dx



/ Dx



A1x:20 Rumus di atas dapat pula dibuktikan secara verbal sebagai berikut. 1



A



x:10



adalah nilai tunai dari satu asuransi berjangka 10 tahun bagi seseorang berusia (x) dengan besar santunan asuransi Rp 1. B ila (x) mencapai usia A1x 10:10 x+10 maka tidak ada pemabayaran. adalah nilai tunai (pada usia x+10) bagi (x+10) selama 10 tahun dengan besar santunan Rp. 1. Nilai tunai



4.6



Asuransi 1 



A1x 10:10 pada usia x+10 sebesar bila di diskontokan pada usia x menjadi E 1 10 x A x 10:10 . A1x:20 jadi jumlah tepat sama dengan . Perhatikan gambar dibawah.



10 E x . A1x



nE x 10:10



x



A1x



10:10



x 10



x



20



B. ASURANSI SEUMUR HIDUP Asuransi berjangka yang dibicarakan di depan amat sederhana dan murah (dalam arti praninya rendah). Akan tetapi bila jangka waktu sudah habis , si tertanggung tidak memperoleh apapun dari Perusahaan Asuransi kecuali bersyukur kepada Tuhan bahwa dia masih diberi umur panjang. Bila yang bersangkuran ingin diasuransikan terus maka dia harus mernbeli polis baru karena kotrak yang lama sudah habis. Manbeli polis baru akan relatif lebih mahal mengingat usianya sudah sernakin tua sehingga peluangnya meninggal makin tingggi. Asuransi seumur hidup adalah cara yang 1ebih murah dan praktis dibandingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Dengan asuransi seumur hidup maka santunan asuransi akan pasti dibayar tanpa memperdulikan kapan maut datang menjemput. Premi dapat dibayarkan sekaligus (premi tunggal) atau terbatas sampai beberapa tahun, ataupun . seumur hidup. Misalkan A menyatakan nilai tunai atau premi tunggal, bersih dari x asuransi seumur hidup sebesar Rp 1 bagi seseorang yang berusia (x) ini berarti bila (x) meninggal maka kepada pewarisnya akan dibayar Rp.1.pada akhir tahun dia meningggal. Dengan cara diskonto. seperti pada asuransi berjangka, diperoleh Ax Vd x / 1x V 2 d x 1 / 1x ... v w x 1 d x / 1x



Vx Cx Ax



1



Vx



dx Cx



M x / Dx



1



2



dx



1



... v w



1



d w / v x 1x



... Cw / Dx ……………...……….(3)



4.7



 STAT4331/MODUL 4



Contoh 3 Carilah premi tunggal bersih dari suatu polis asuransi jiwa yang besar santunannya selam 10 tahun pertama adalah 1 juta rupiah dan 2 juta rupiah sesudah itu bagi orang yang berumur 20 tahun. Jawab Ada berbagai cara mengerjakan soal ini. Cara 1 1 juta



2 juta 20



30



Premi tunggal bersih



106 A120:10 106



M 20



106 M 20 6



10



M 20



210 E20 . A30 M 30 / D20



M 30



2. D30 / D20 .M 30 / D30



2M 30 / D20



M 30 / D20



Cara 2 1 juta



1 juta 30



20



Anggap bahwa ada asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah sejak usia 20 tahun ditambah asuransi seumur hidup sebesar 1 juta rupiah sejak usia 30 tahun. Premi tunggal bersih adalah 106 A20



10 E 20. A30



106 M 20 / D20 106 M 20



D30 / D20 . M 30 / D30



M 30 / D20



6



10 196657,1668 182403, 4951 / 580662, 42



652807, 29 juta rupiah



4.8



Asuransi 1 



Contoh 4 Ax



Buktikanlah:



n .n



E



Bukti Ruas Kanan: Ax n . n E x M x n / Dx



Mx



Ax



A1x:n



n . Dx n



/ Dx



x



n / Dx



Ruas Kiri: Ax



A1x:n



M x / Dx Mx Mx



Mx



Mx n



Mx



Mx



n



n



/ Dx



/ Dx



/ Dx



Karena ruas kiri = ruas kanan maka soal telah terbukti Contoh 5: Buktikanlah bahwa Ax V qx px . Ax



1



Jawab



v qx



px . Ax



v



1



dx 1 1x



v x .vd x v x .v1x 1 M x . v x .1x v x .1x Dx v



x 1



dx



x



v



x 1



1x



v 1x



v 1x



Cx Dx



Dx 1 M x . Dx Dx



Cx



Mx



M x / Dx Ax



1



x



/ Dx



1 1



1 1



Mx



1



Dx



1



1x 1 Ax 1x



1



4.9



 STAT4331/MODUL 4



C. ENDOWMEN Istilah endowmen di sini berbeda dengan endowmen murni , Asuransi endowmen (di PT Asuransi Jiwasraya dinamakan dwiguna) merupakan penyempurnaan gagasan asuransi berjangka dengan perkataan lain, endownen merupakan perpaduan antara asuranst berjangka dengan endowmen murni. Jadi bila si tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi, misalnya n tahun maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp 1, sedangkan bila dia mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan Rp 1 pada akhir tahun ke x + n, A Simbol yang digunakan untuk jenis asuransi ini adalah x:n tanpa, simbol 1 di atas x. Jadi



A1x:n



Ax:n



nE x



Mx



Mx



n



Mx



Mx



n



/ Dx Dx



Dx



n



/ Dx



/ Dx



……………………….…………..(4) Contoh 6 Hitunglah premi tunggal bersih dari suatu asuransi endowmen sebesar 1 juta rupiah dkeluarkan bagi orang selama 20 tahun bagi orang berusia a. 20 tahun dan b. 30 tahun Jawab a) premi tunggal bersih 106 A20:20 106 M 20 M 40 D40 / D20 n



106 196657,1668 165359,8889



328983, 61 / 580662, 42



620465,31rupiah b) Premi tunggal bersih



106 A30:20



106 M 30



6



M 50



D50 / D30



10 182403, 495 142035, 0956



235925, 04 / 440800,58



626799,17 Perhatikan bahwa premi untuk orang yang lebih tua lebih tinggi dari pada untuk yang lebih muda karena peluangnya meninggal lebih tinggi.



4.10



Asuransi 1 



Contoh 7 Jelaskan dengan perkataan santunan asuransi atau premi tunggal bersih yang dinyatakan oleh 107 A120:40 106 .40 E 20 500.000.40 / a20 Jawab 107 A120:40



106 .40E 20



Premi tunggal bersih dari asuransi berjangka 40 tahun sebesar 10 juta bagi orang berusia 20 tahun endowmen sebesar sejuta bagi orang berusia 20 tahun selama 60 tahun



500.000 40/a20 = Nilai tunai anuitas sebesar setengah juta setahun, dibayar pada akhir tahun untuk orang berusia 20 tahun pembayaran pertama pada usia 60 tahun seurnur hidup. Bila di jumlahkan maka kita peroleh preni tunggal bersih suatu asuransi jiwa bagi seseorang berumur 20 tahun dengan pembayaran santunan sebagai berikut: bila dia meninggal sebelum berusia 60 tahun maka kepada pewarisnya akan dibayarkan 10 juta (rupiah), bila dia rnencapai usia 60 tahun maka pada hari ulang tahunnya yang ke-60 dia rnendapat sejuta, dan-tiap tahun dia hidup sesudah itu dia rnenerirna setengah juta selama dia hidup (pensiun). D.



ASURANSI TERTUNDA



Gagasan asuransi tertunda rnirip dengan anuitas tertunda. Simbol m | A1x:n untuk asuransi berjangka tertunda adalah simbol ini menyatakan premi tunggal bersih untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1 dikeluarkan bagi orang berusia x yang tertunda m tahun. lni berarti pembayaran Rp 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris (x) pada akhir tahun dia rneninggal asal dia rneninggal antara usia x + m dan x + m + n tahun. Pembayaran Rp1bila x meninggal di sini



x



x



m



x



m



n



4.11



 STAT4331/MODUL 4



Dengan menggunakan cara perhitungan seperti waktu menurunkan A1 rumus x:n maka diperoleh



m | A1x:n vm



Vm



1



n



dx m n 1 x m 1 v dx m v



Cx Mx



x m n



m



Cx



dx



dx



vm



/1x



2



dx



m 1



/1x



...



1x vx



m 2



dx



m 1



...



/ V x 1x



m n 1



... Cx



m 1



Mx



m



m n 1



/ Dx



/ Dx



……………………………(5)



Dengan jalan yang sama dibuktikan bahwa m | Ax:n M x m M x m n Dx m n / Dx



……………………………(6)



m



m n



Symbol ini, seperti dapat diduga, menyatakan premi tunggal bersih endowmen sebesar Rp 1 bagi (x), selama n tahun santunan akan dibayarkan bila (x) meninggal antara usia x+m dan x+n atau mencapai usia x+m+n. Bila (x) meninggal antara usia x dan x+m maka tidak ada pembayaran. Demikian pula, m | Ax menyatakan premi tunggal bersih asuransi seumur hidup sebesar Rp 1bagi (x), pembayaran baru akan dilaksanakan bila (x) meninggal sesudah berumur x+m tahun. Dengan mudah dapat ditunjukan bahwa m | Ax M x m / Dx …………………………….…………………………(7) Contoh 8: Buktikanlah bahwa m | Ax:n Ax:m n A1x:m Jawab Ax:m n



Mx



A1x:m m



Mx



Mx m n



Mx Dx



m n



m n



Dx



/ Dx



m n



/ Dx



m | Ax:n



Mx



Mx



m



/ Dx



4.12



Asuransi 1 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buktikanlah bahwa V .q x Ax V . Ax



1



/ 1



Ax



1



Petunjuk: gunakanlah symbol komutasi pada kedua ruas sederhanakan ruas kanan. 2) Nyatakanlah dengan perkataan santunan yang premi tunggal bersihnya dinyatakan oleh



106 M 20



M 60



5 105 D60



D20 Petunjuk: anggap sebagai gabungan dari dua macam santunan 3) Buktikanlah bahwa m | Ax Ax A1x:m Petunjuk: sederhanakan ruas kanan dengan mengubahnya ke bentuk symbol komutasi 4) suatu polis asuransi jiwa dikeluarkan bagi seorang berusia 30 tahun dengan santunan 1 juta rupiah, bila dia meninggal sebelum usia 65 tahun. Bila dia hidup mencapai usia 65 tahun sejumlah setengah juta rupiah premi tunggal bersih. 5) seseorang berusia 30 tahun membeli suatu polis asuransi sebesar Rp. 80.000 yang menjanjikan santunan sebesar sejuta rupiah bila dia meninggal sebelum usia 65 tahun serta pembayaran sebesar B rupiah bila dia hidup mencapai usia 65 tahun. Petunjuk : jumlah premi tunggal bersih kedua asuransi adalah Rp 800.000



 STAT4331/MODUL 4



4.13



R A NG KU M AN Telah kita pelajari berbagai macam asuransi jiwa. Prinsip dasar A1x:n maupun Ax dalam penurunan rumus amat penting dipahami. Dengan memahami dengan baik prinsip tersebut maka seluruh rumus asuransi yang lairmya dan yang kemudian akan kita pelajari dengan mudah dapat diturunkan. Besarnya premi asuransi tergantung atas umur si tertanggung waktu polis mulai berlaku, jenis kelamin, tingkat bunga dan besarnya santunan yang diinginkan. Besarnya santunan asuransi (benefit) tertera pada polis asuransi dan dalam bahasa Inggris sering pula disebut 'face amount', yaitu besaran yang tertera pada (permukaan) polis. Santunan asuransi dibayarkan kepada pewaris bila sitertanggung meninggal. Biasanya santunan asuransi dibayarkan tidak lama sesudah si tertanggung meninggal setelah bukti yang berkenaan dengan meninggalnya dipenuhi. Dalam pelajaran ini santunan dianggap dibayarkan pada akhir tahun meninggalnya di tertanggung. Permisalan ini diambil untuk memudahkan perhitungan. Telah mulai terlihat banyaknya simbol dan rumus yang diperlukan dan masih banyak lagi yang akan menyusul. Keberhasilan Anda dalam pelajaran seperti ini tidak melulu tergantung atas kerajinan Anda menghafal rumus dan simbol yang disajikan tapi lebih banyak atas pemahaman Anda atas permasalahannya dan kemampuan Anda menggunakan prinsip dasar perhitmgan. Simbol dan rurnus yang beraneka ragam dengan sendirinya akan dapat diingat asal sering menggunakannya. Karena itu perlu banyak berlatih macam-macam soal. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Seseorang berusia 39 tahun memiliki 1 juta rupiah tunai. Dengan uang tersebut sebagai premi tunggal, bersih dia mau membeli po lis asuransi dengan santunan 3 juta rupiahbila dia meninggal dalam



4.14



Asuransi 1 



waktu lima tahm dansantunan asuransi sebesar B rupiah bila dia meninggal sesudah itu. Berapakah besar B? A. Rp 1. 679.127,80 B. Rp 1.963.969,65 C. Rp 6.751.853,26 D. Rp 7.897.215,97 2) Hitunglah premi tunggal bersih suatu polis asuransi bagi seseorang yang berusia 25 tahun dengan santunan 1 juta rupiah bila dia meninggal dalam jangka waktu 10 tahun dan setengah juta rupiah bila dia meninggal antara usia 35 tahun dan 45 tahun. A. Rp 49.587,33 B. Rp 84.096,49 C. Rp 146.157,22 D. Rp 426.610,76 3) Hitunglah premi tunggal bersih suatu polis asuransi dengan santunan 1 juta rupiah selama 5 tahun dan 2 juta rupiah sesudah itu bagi seseorang berusia 30 tahun. A. Rp 324.962,30 B. Rp 809.498,35 C. Rp 916. 439,17 D. Rp 1.023.380,00 4) Seseorang berusia 50 tahun membeli asuransi endowmen selama 11 tahun dengan premi tunggal bersih 1 juta rupiah. Berapakah besar santunannya? A. Rp 778.978,95 B. Rp 1.283.731.73 C. Rp 1.612.690,71 D. Rp 6.293.375,05 5) Suatu polis dikeluarkan bagi seseorang yang berusia 40 tahun dengan santunan 1 juta rupiah bila dia meninggal selama 25 tahun. Bila dia mencapai usia 65 tahun maka dia menerima pensiun tahunan sebesar seratus ribu rupiah mulai pada hari ulang tahunnya yang ke-65. Hitunglah premi tunggal bersih polis tersebut. A. Rp 592.957,33 B. Rp 1.246.358,52 C. Rp 1.592.957,30 D. Rp 2. 246. 358 , 52



4.15



 STAT4331/MODUL 4



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.16



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 2



Premi Tahunan PE N DA H UL U AN



P



ada pembahasan di depan, semua asuransi dikeluarkan dengan premi tunggal. Sesungguhnya premi tunggal jarang sekali digunakan dalarn praktek. Biasanya premi dibayar secara berkala, misalnya tiap tahun, enam bulan sekali, ataupun sebulan sekali dan dilakukan pada permulaan tiap selang waktu. Umurnnya premi berkala tersebut sarna besarnya, walaupun kadang-kadang ada juga berubah dari waktu ke waktu. Pembayaran premi asuransi jiwa seumur hidup, misalnya, dapat dilakukan tiap permulaan tahun seurnur hidup. Asuransi seperti ini sering disebut asuransi biasa (ordinary life insurance). Pembayaran premi rnungkin pula terbatas, misalnya, selarna maksimum 20 tahun; asuransi seperti ini disebut asuransi dengan pembayaran terbatas (limited - payment life). Bila si tertanggung meninggal sebelum jangka waktu 20 tahun akan dia dianggap telah menyelesaikan pembayaran preminya. Premi tunggal sesungguhnya adalah hal khusus dari pembayaran terbatas. Makin sering premi dibayar, untuk besar santunan yang sarna, maka makin kecil premi berkalanya. Berikut ini diberikan perubahan besar premi bersih untuk asuransi seumur hidup bagi seseorang berusia 20 1 CSO 2 % 2 tahun dengan santunan Rp 1.000. Rencana Asuransi Premi dibayar seumur hidup Premi lunas pada usia 85 Premi lunas pada usia 65 Premi lunas pada usia 60 Pembayaran premi selama 30 tahun Pembayaran premi selama 25 tahun Pembayaran premi selama 20 tahun Pembayaran premi selama 15 tahun



Premi Bersih Rp 12,49 Rp 12,52 Rp 13,50 Rp 14,17 Rp 16,53 Rp 18,58 Rp 21,76 Rp 27,19



4.17



 STAT4331/MODUL 4



Rencana Asuransi Pembayaran premi selama 10 tahun Premi tunggal



Premi Bersih Rp 38,19 Rp 338,68



Tentunya, nilai tunai premi bersih dari tiap rencana sama, yaitu Rp 338,68. Gambaran yang mirip sama juga berlaku untuk jenis asuransi yang lain. Tingkat bunga jelas juga mempengaruhi besarnya premi. Makin tinggi tingkat bunga makin rendah premi yang harus dibayar untuk besar santunan yang sama, seperti dapat dilihat pada tabel dibawah ini. Usia waktu polis dikeluarkan 20 tahun. Premi bersih untuk asuransi Rp 1000



Rencana Asuransi Asuransi biasa Asuransi seumur hidup dengan 20 kali pembayaran Asuransi hidup dengan 10 kali pembayaran Asuransi seumur hidup dengan premi tunggal Asuransi berjangka 10 tahun



i = 2%



i = 2,25%



i = 2,5%



i = 3%



Rp 13,86



Rp 13,15



Rp 12, 49



Rp 11,29



Rp 25,51



Rp23,54



Rp 21,76



Rp 18,70



Rp 45,72



Rp 41,74



Rp 38,19



Rp 32,15



Rp 414,08



Rp 374,11



Rp 338,68



Rp 279,26



Rp 2,79



Rp 2,78



Rp 2,77



Rp 2,75



4.18



Asuransi 1 



Rencana Asuransi Endowmen sampai usia 65 tahun Endowmen 20 tahun



i = 2%



i = 2,25%



i = 2,5%



i = 3%



Rp 17,05



Rp 16,23



Rp 15,46



Rp 14,02



Rp 41, 99



Rp 40,92



Rp 39,87



Rp 37,85



Asuransi berjangka biasanya pembayaran preminya dilakukan selama jangka waktu asuransi. Sedangkan untuk endowmen pembayaran preminya dapat dilakukan dengan tiga cara: selama jangka waktu, terbatas (lebih pendek dari jangka waktu), atau sekaligus (premi tunggal). Simbol untuk cara pembayaran premi mirip dengan simbol asuransinya. Simbol-simbolnya tersebut adalah sebagai berikut: Px Npx



: Menyatakan premi bersih tahunan untuk Ax, jadi besar santunannya Rp 1, :Menyatakan premi bersih tahunan untuk Ax dengan pembayaran premi maksimum n kali



P1x:n



: Menyatakan premi bersih tahunan untuk



A1x:n



Px:n



: Menyatakan premi bersih tahunan untuk



Ax:n



mp x : n



: Menyatakan premi bersih tahunan untuk m n pembayaran premi maksimum m kali



Ax:n



dengan



Dalam mengerjakan soal, sebaiknya hindari penggunaan symbol diatas demi kesederhanaan, gunakan saja P. Dalam menghitung premi gunakan persamaan dasar. Nilai Tunai premi yang akan datang = nilai tunai santunan (benefit) yang akan datang.



4.19



 STAT4331/MODUL 4



Contoh 9: Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi biasa dengan santunan 2 juta rupiah bagi orang berusia 30 tahun. Jawab Misalkan premi bersih tahunan P. Menurut persamaan dasar diatas diperoleh Pa30 2 106 A30 Perhatikan , ruas kiri menyatakan nilai tunai seluruh premi (premi tunggal bersih). Premi dibayar tiap permulaan tahun sejak usia 30 tahun, merupakan anuitas seluruh hidup. Ruas kanan, seperti biasa nilai tunai santunan (premi tunggal bersih) Jadi P 2 106 A30 / a30



2 106 M 30 / N30



2 106 182403, 4951 /10594280,39 34.434,33 rupiah Contoh 10: Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi endowmen sampai usia 65 tahun bagi orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi 20 kali, besar santunan sejuta rupiah. Jawab: Misalkan premi tahunannya P, Maka 106 A30:35 6



10 M 30 P



Pa 30:20



M 65 D30



106 M 30 31.282, 21



D65 M 65



P



N30 N50 D30



D65 / N30



N50



4.20



Asuransi 1 



Contoh 11: Nyatakanlah dalam symbol komutasi 10p20:40 Jawab: Besarana ini menyatakan premi bersih tahunan untuk endowmen sebesar Rp 1 bagi orang bersuia 20 tahun selama 40 tahun dengan pembayaran premi tahunan selama 10 kali. Jadi



10 P 20 : 40 . a20:10



A20:40



atau 10 P 20:40



A20:40 / a20:10



M 20



M 60 D20



D60 N 20 N30 : D20



M 20



M 60



D60 / ( N 20



N30 )



Contoh 12: Bila qx= 0,01 x dan v = 0,9 hitunglah P98 Jawab: Dari qx = 0,01x kita tahu Bahwa q98 0,98 P98 1 0,98



0, 02



q99



0,99



0, 01



q100



1



P99 P100



1 0,99 1 1



0



Jadi P98 adalah premi bersih tahunan asuransi seumur hidup bagi orang bersuia 98 tahun dengan santunan asuransi Rp 1, asuransi itu sesungguhnya hanya sampai usia 100 tahun, dan premi dibayar paling banyak tiga kali. Nilai tunai seluruh premi adalah P98



P98 . P98 V



P98 . P98 . P99 V 2



P 98 1



P98 V



P98 . q99 V 2



P98 1



0, 02 0,9



0, 02 0, 01 0, 09



1, 01818



4.21



 STAT4331/MODUL 4



Nilai tunai santunan adalah 1.Vq98 1.P98 .199.V 2 1 p98 . p99 .1100.v3



0,9 0,98



0, 02 0,99 0,81



0, 02 0, 01 .1. 0,9



3



0,8981838 Jadi P98 1,01818 / 0,8981838 Catatan Dalam soal ini kita tidak menggunakan CSO Karena peluang meninggal dan tingkat bunga sudah diberikan dlaam soal, jadi untuk menjawabnya harus menggunakan prinsip dasar dan persamaan dasar. Contoh 13: Buktikanlah bahwa a. C x vDx Dx 1



b. M x c. Rx



vN x



Nx



vS x



Sx



1



1



Bukti a) Menurut Definisi



Cx



vx



1



dx



vx



1



1x



1x



x



v.v 1x vd x



v Dx



1



x 1



1x



1



1



b) Dari a) diperoleh bila dijumlahkan



Cx



vDx



1



i 0



Atau M x vN x



i 0



Nx



Dx



i i 0



1



c) Jumlahkan lagi b), diperoleh



1 i



4.22



Mx



Asuransi 1 



i



i 0



v



Nx



Nx



i



i 0



Atau Rx v.Sx Sx



1 i



i 0



1



Contoh 14: Butkikanlah bahwa Ax vax ax M vN x Bukti dari x



Nx



1



diperoleh



Bila kedua ruas dibagi dengan Dx M x / Dx vN x / Dx N x 1 / Dx



atau Ax vax



ax



Sampai sekarang kita selalu menganggap bahwa premi tunggal dibayar pada waktu polis asuransi dikeluarkan. Dari segi praktek memang cara ini yang wajar dikerjakan. Akan tetapi dari segi tekhnik perhitungan sering menguntungkan, dalam arti kata memudahkan perhitungan, bila premi tunggal dapat pula dtpandang dibayar pada akhir jangka waktu k Misalkan n x menyatakan premi tunggal bersih yang dibayarkan pada akhir jangka waktu untuk asuransi berjangka n tahun dengan besar santunan k Rp 1, n x disebut biaya asuransi dalam arti teknis. Sudah kita ketahui bahwa premi tunggal bersih yang dibayarkan pada permulaan jangka waktu untuk k A1x:n asuransi berjangka n tahun adalah . Jadi kalau n x dikenakan factor A1 diskonto terhadap bunga dan peluang meninggal maka diperoleh x:n , atau n k x.n E x A1x:n sehingga nk x A1x:n / n E x



Mx



Mx



n



/ Dx



n



…………………………….…………………(8)



Bila n = 1, symbol n tidak di tulis K M x M x 1 / Dx 1 Cx / Dx Jadi, x



1



4.23



 STAT4331/MODUL 4



Contoh 15 Buktikanlah bahwa Ax .ux K x Ax 1 Bukti Ruas kiri adalah Ax u x M x / Dx .Dx / Dx M x / Dx



1



1



(lihat kembali definisi ux pada modul sebelum ini) Ruas kanan, K x Ax 1 C x / Dx



Cx



Mx



M x / Dx



/ Dx



1



Mx



1



1



/ Dx



1



1



1



Jadi ruas kiri sama dengan ruas kanan. Contoh 16: Buktikanlah Px .ux kx Ax



Px ax



1



1



Bukti Px adalah bersih tahunan asuransi biasa, jadi px ax Ax Px M x / Nx Ruas kanan persamaan diatas dapat ditulis sebagai M x 1 M x Nx 1 Ax 1 Px .ax 1 . Dx 1 N x Dx 1



M x Cx Dx 1



M x N x Dx . Nx Dx 1



Mx Dx 1



Cx Dx 1



Px .u x



kx



Mx Dx 1



M x Dx . N x Dx 1



4.24



Asuransi 1 



Contoh 17 Buktikanlah bahwa Ax ax ax Bukti Sesungguhnya ketidaksamaan ini sudah cukup jelas karena Ax adalah nilai tunai dari 1, Ax 1 , atau



Ax



ax



1 ax



ax



Cara lain Dari contoh 13 b, kita tahu M x vN x N x 1



jadi Ax



Mx Dx



ax Mx



Nx



1



vN x



Nx



1



Nx



1



Dx / Dx Nx



1



/ Dx



vN x / Dx vax Tapi



v



1 1 i



, sebab i



0 jadi terbukti.



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buktikanlah vq Ax vAx 1 / 1 Ax 1 a) x Au Ax 1 qx / px b) x x Petunjuk : Gunakan symbol komutasi kemudian sederhanakan



4.25



 STAT4331/MODUL 4



2) Buktikanlah Px vqx px



1 . ax



/ ax



Petunjuk : Px dan Px+1 adalah premi bersih tahunan asuransi biasa, masing- masing untuk usia x dan x+1. 3) Buktikanlah Ax:n vax:n



ax:n



1



Petunjuk : soal ini mirip contoh 13 4) Buktikanlah Px



Px



1



px



Cx ax



1/ Dx 1 1



Petunjuk: sama dengan soal 2 5) Buktikanlah P1x:n . nu x n k x a) nk x



b)



nu x 1 i



A1x:n 1



ax:n nE x



1



Ax:n nk x c) petunjuk: gunakan symbol komutasi, kemudian sederhanakan. R A NG KU M AN Dalarn Kegiatan Belajar II ini telah kita pelajari premi bersih tahunan. beberapa rumus aljabar untuk memudahkan menyatakan suatu pernyataan dengan pernyataan yang lain dan biaya asuransi secara teknik. Simbol untuk premi bersih tahunan disesuaikan dengan jenis asuransinya (premi tunggal bersihnya, yang dinyatakan dengan A). Dalam suatu perhitungan sebaiknya cukup gunakan simbol P untuk menyatakan premi bersih tahunan agar penulisannya tidak terlalu ramai. Premi p. untuk tiap jenis asuransi, dihitung dengan menggunakan 'persamaan dasar:



4.26



Asuransi 1 



Nilai tunai premi mendatang = Nilai tunai santunan mendatang Persamaan ini berlaku pada saat polis dikeluarkan. Persamaan dasar ini adalah sua tu pedoman yang sehat dan adil, tidak merugikanjmenguntungkan sitertanggung maupun perusahaan asuransi. Perhitungan premi oleh setiap perusahaan asuransi waj ib menggunakan pedoman dasar i.ni, dan pemerintah berkewaj iban mengawasi perusahaan asuransi agar menerapkan gagasan ini. Ini, tidak berarti bahwa perusahaan asuransi akan rugi , Perusahaan asuransi tentu menginginkan keuntungan dan dan keuntungan dapat diperoleh dari investasi dana yang tersedia, administrasi yang efisien, dan dari selisih antara tabe1 mortalitas yang digunakan dengan keadaan yang sesungguhnya. Mengenai na1 yang terakhir ini masih akan dibahas di bagian lain Kemampuan menyatakan suatu bentuk dalam bentuk yang lain serta dapat menafsirkan macam-macarn bentuk tersebut menipakan hal yang penting dalam memahami pelajaran ini. Jadi tidak cukup mahir dalarn perhitungan tapi juga perlu mahir dalam penafsiran. Dengan makin mudahnya tersedia fasilitas komputer dewasa ini maka kemampuan penafsiran makin terasa penting karena bukanlah perhitungan dapat diserahkan pada komputer sehingga tugas manusia bergeser kepenafsiran hasilnya? TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Seorang berusia 27 tahun mempunyai polis endownen selama 20 tahun yang dia beli 3 tahun yang lalu. Bila premi bersih setahun adalah Rp 1000, berapakah besar santunannya? A. Rp 15481,69 B. Rp 24874,28 C. Rp 25769,07 D. Rp 236424,11. 2) Suatu polis asuransi jiwa bagi orang yang berusia 32 tahun menentukan pernbayaran premi tahunan 28 kalL Bila si tertanggung rneninggal sebelurn berusia 65 tahun, santunannya 5 juta rupiah; bila



 STAT4331/MODUL 4



4.27



dia rneninggal setelah berusia 65 t.ahun , santunannya 2 juta rupiah. Hitunglah premi bersih tahunannya. A. Rp 80676,51 B. Rp 138298,58 C. Rp 154530,06 D. Rp 212152,12. 3) Suatu bentuk asuransi jiwa, disebut asuransi jiwa yang disesuaikan, berbentuk sebagai berikut: asuransi seurnur hidup dengan premi bersih tahunan untuk lirna tahun pertama adalah setengah dari prerni tahunan selanjutnya (yaitu setengah dari premi tahun keenam, ketujuh dan seterusnya). Bila besar santunan 1 juta rupiah dan dikeluarkan bagi orang yang berusia 45 tahun, berapakah besar prani bersih tahunannya rnulai tahun keenam dan seterusnya? A. Rp 13297,52 B. Rp 17171,05 C. Rp 26595,04 D. Rp 34342, 1 0 4) Hitunglah premi bersih tahunan untuk suatu asuransi biasa bagi seseorang berusia 33 tahun. bila pernbayaran premi dibatasi selama 20 tahun dan besar santunan dua juta rupiah selama 27 tahun dan sejuta rupiah sesudahnya. A. Rp 40204,09 B. Rp 69970,02 C. Rp101259,52 D. Rp 106113,62. 5) Hitunglah prerni bersih tahunan untuk suatu asuransi bagi seseorang berusia 40 tahun bila prerni dibayar lunas pada usia 65 tahun, besar santunan 2 juta rupiah selama 10 tahun pertama dan sejuta rupiah untuk sepuluh tahun kemudian. (Polis seperti ini tidak baik dari segi praktek, mengapa?) A. Rp 14475,22 B. Rp 16547,99 C. Rp16861,32 D. Rp 18688, 1 8



4.28



Asuransi 1 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 STAT4331/MODUL 4



4.29



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 1 1) 2) 3) 4) 5)



B A B B A



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 2 1) 2) 3) 4) 5)



B A D A A



4.30



Asuransi 1 



DAFTAR PUSTAKA Robert E. Larson & Erwin A. Gaumni t z , Life Insurance Mathematics, New York: John WQley & Sons, Inc Bab 4, 1951



Modul 5



Pembayaran Beberapa Kali Setahun dan Asuransi Membesar R.K. Sembiring,Ph.D.



PEN D A HU L UA N



S



ampai saat ini pembahasan cara pembayaran hanya setahun sekali ataupun sekaligus. Sesungguhnya pembayaran dapat dilakukan tiap enam bulan sekali, kuartalan, ataupun bulanan. Seperti sebelumnya, pembayaran dapat dilakukan pada permulaan atau pada akhir tiap jangka waktu (periode). Seperti biasa, tingkat bunga selalu dihitung per tahun. Pembayaran yang akan dibahas di sini menyangkut anuitas tentu, anuitas hidup, dan pembayaran asuransi. Pada bagian ke dua modul ini akan dibahas anuitas (hidup) yang membesar dan santunan asuransi yang membesar. Hal ini merupakan perluasan dari keadaan sebelumnya yang hanya mencakup besar pembayaran ataupun santunan yang tetap besarnya. Seperti pada Buku Materi pokok III, setelah memelajari modul ini, para mahasiswa diharapkan dapat memahami macam-macam cara pembayaran yang dikaitkan dengan bunga dan peluang meninggal bila pembayarannya lebih dari sekali setahun. Dapat menghitung anuitas tentu, anuitas hidup dan asuransi, bila pembayarannya lebih dari sekali setahun.



5.2



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 1



Anuitas Tentu Dibayar Beberapa Kali Setahun



M



ula-mula akan kita pelajari anuitas tentu dengan pembayaran m kali setahun; bila m = 2 maka berarti pembayarannya tiap semester, bila m = 4 kuartalan, dan bila m = 12 bulanan. Jumlah pembayaran setahun akan kita misalkan 1 (misalnya, Rp 1 ,-), jadi tiap pembayaran besarnya 1/m, dan tingkat bunganya i%. Pembayaran dapat dilakukan pada awal (anuitas awal) dan dapat pula pada akhir jangka waktu (anuitas akhir). m Misalkan, a  menyatakan nilai tunai suatu anuitas tentu dengan n pembayaran m kali setahun selama n tahun, besarnya pembayaran 1/m tiap pembayaran dan pembayaran dilakukan pada tiap akhir jangka waktu, pembayaran pertama sesudah 1/m tahun dari sekarang. Bila m = 12 maka besarnya tiap pembayaran 1/12 (rupiah) pembayaran dilakukan tiap m akhir bulan. Dengan jalan yang sama a  menyatakan anuitas yang n pembayarannya 1/m tiap permulaan jangka waktu selama n tahun, Jadi seluruh pembayaran ada sebanyak mn kali. Dengan jalan yang mirip sama dengan waktu menurunkan rumus an kita peroleh  m



an







 m 1 1 1/ m 2/ m [1  i   1  i   ...  1  i  m  m



1  i 1  1  i 11/ m  1  i 1/ 2m  ...  1  i 1



 m 1 m



 1  i 



2



 ...  1  i 



1  i  n 12/ m  ...  1  i 



 m 1 n m



 n 1 1/ m



1  i n ]







5.3



 STAT4331/MODUL 5



Yang, sesudah disusun kembali, menjadi 1 1/ m 11/ m  n 1 1/ m [ 1  i   1  i   ... 1  i   m



1  i 2/ m  1  i 12/ m  ... 1  i  n12/ m  ....................................................................   m 1



 m 1



1  i  m  1  i  m  m  ...  1  i  n  1  i 1  1  i 2  ...  1  i  n 



 1  i 



 m 1 m







 



m 1 1 1 2 n [1  i  m 1  i   1  i   ...  1  i   m



1  i 



m2 m



1



 1  i 



2



 ...  1  i 



n



...................................................................... 



1  i 1/ m 1  i 1  1  i 2  ...  1  i  n  



1  i 







1



 1  i 



2



 ...  1  i 



n



]



m 1 m2  1 1/ m m m ...  1  i  1  i  1  i  1 x      m 



1  i 1  1  i 2  ...  1  i  n    Untuk menyingkat penulisan, nyatakanlah m 1 m2  1/ m  m 1  s1  1  i  m  1  i  m  ...  1  i   1 m  1 i  . m 1  i 1/ m  1



…(1)



dan v = 1 ( 1 + i ) maka diperoleh  m  m an  v  v 2  ...  v n s1











 m



 an . s1



Rumus an telah kita turunkan pada Buku Materi Pokok III.



…(2)



5.4



Asuransi 1 



m Rumus a  dapat diperoleh dari (2) dengan mengingat bahwa di bawah n



m m rumus a  pembayaran dilakukan 1/m tahun lebih awal dari pada a  ,jadi n n



 m



an



 1  i 



1/ m



 1  i 



 m



an



1/ m



 m



…(3)



an sn



Dari hubungan an  v an di peroleh  m



an



 1  i 



1/ m



 1  i 



 m



v an s1



 m 1 m



 m



…(4)



an s1



1/ m m m Tabel berikut memberikan nilai s  dan s  1  i  untuk m = 2, 3, 4, 1 1



dan 12 untuk i = 2,5% dan i = 6%.



m



i=2,5%  m s1



2 3 4 12



1,0062114 1,0082876 1,0093268 1,0114072



Untuk



n=10



i=6%  m



s1



dan



1,025



1/ m



1,0187114 1,0166209 1,0155768 1,0134905 i=2,5%



 m



s1



1,0147815 1,0197410 1,0222269 1,0272108



 m



s1



1,061/ m



1,0447815 1,0397410 1,0372269 1,0322108



diperoleh a10 =8,752064



sehingga



a10 =7,360087



sehingga



 4  4 a10 =9,077876 dan a10 =9,134088.



Untuk



n=10



dan



i=6%



diperoleh



 4  4 a10 =7,634080 dan a10 =7,746101



Contoh 1 Hitunglah nilai tunai suatu anuitas tentu akhir dengan pembayaran bulanan selama 15 tahun bila besar pembayaran setahun adalah Rp300.000,00 dan tingkat bunga 6%.



5.5



 STAT4331/MODUL 5



Jawab



12 12  Nilai tunainya 300.000 a15 = 300.000 a15 s  1



= ( 300.000 )( 9,712249 )( 1,0272108) = Rp2.992.958,12. Contoh 2 Hitunglah premi tunggal bersih untuk asuransi seumur hidup bagi orang berusia 30 tahun, dengan santunan pada waktu meninggal si tertanggung berupa 240 kali pembayaran bulanan sebesar Rp100.000,00 yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pewarisnya, pembayaran pertama dimulai pada akhir tahun si tertanggung meninggal. Gunakan 1 i= 2 % seperti biasa 2 Jawab Jumlah pembayaran setahun adalah 12 x Rp100.000, 00 = 1,2 juta rupiah. Pembayaran sebanyak 240 kali, atau 20 tahun, merupakan anuitas tentu awal, anuitas awal karena pembayaran harus segera dilakukan pada akhir tahun si tertanggung meninggal, jadi permulaan tahun pertama sesudah meninggal. Misalkan besar premi tunggal bersih tersebut A30 untuk santunan sebesar 1 (rupiah), maka premi tunggal bersih tersebut adalah 12  1.200.000 a20 . A30  12



1.200.000 a20 s1



1, 0251/12



M 30  D30



 1.200.000 15,589162  1, 0134905  182.403, 4951  / 440.800,58  7.845.392,88 rupiah. A. ANUITAS HIDUP DIBAYAR BEBERAPA KALI SETAHUN Anuitas hidup adalah anuitas tentu yang dikaitkan dengan peluang hidup, pembayaran hanya dilaksanakan bila orang yang memiliki anuitas tersebut masih hidup. Seperti pada modul terdahulu, peluang hidup setahun akan dinyatakan dengan Px, sedangkan nPx menyatakan peluang seseorang berusia x akan mencapai usia x + n. Dalam pembicaraan di sini n akan menyatakan bagian tahun, misalnya setengah tahun, triwulan, kuartal, atau bulan.



5.6



Asuransi 1 



m Misalkan, ax  menyatakan nilai tunai anuitas (hidup) awal seumur



hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran m kali setahun dengan jumlah pembayaran setahun 1 (rupiah), Dengan menggunakan prinsip dasar maka kita dapat menghitung nilai tunainya sebagai berikut: nilai tunai pembayaran pertama adalah l/m; nilai tunai pembayaran kedua yang dilakukan l/m tahun kemudian jika orang tersebut masih hidup adalah 1 /m.v1/m. 1/mPx, nilai tunai pembayaran ketiga yang dilakukan 2/m tahun dari sekarang jika orang tersebut masih hidup adalah 1/m . v2/m . 2/mpx; dan seterusnya. Jadi 1 m ax   1  v1/ m .1/ m px  v 2/ m .2/ m px  ... m











Akan tetapi bentuk ini amat sulit ditangani secara numerik kendatipun dengan bantuan computer. Karena cara yang tepat terlalu sulit maka kita terpaksa menggunakan hampiran (aproksimasi ), Cara hampiran yang dipakai di sini adalah interpolasi linear. Ini termasuk interpolasi yang paling sederhana dan untuk tujuan umum dianggap sudah memadai. Sebelum kita m membahas interpolasi tersebut mula-mula kita uraikan ax  atas m anuitas x



awal yang tertunda dengan pembayaran tahunan sebesar 1/m.



m Gambar di bawah ini menyatakan cara pembayaran ax  yang kemudian



dapat kita uraikan atas m anuitas hidup dengan pembayaran 1/m tiap tahun, m 1 tiap anuitas tertunda masing-masing selama 0, l/m, 2/m, …. , tahun m 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m.a x 



x 1/m 1



1



1



x



x+1



x+2



ax



1



1



1



5.7



 STAT4331/MODUL 5



1 / ax m x



x+1



x+2



1



1



1



2 / ax m x



x+1



x+2



1



m 1 / ax m x



1



x+1



x+3



Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa m m.ax   ax  1/ m ax  2/ m ax  ...  m 1 ax



…(5)



m



Untuk menghitung ruas kanan kita akan gunakan interpolasi lineal sebagai berikut. Kita mulai dari kedua persamaan: dan 1 ax  ax  1 0 ax  ax  0 Ruas kiri persamaan pertama menyatakan anuitas (hidup) awal yang ditunda selama 0 tahun, jadi sesungguhnya tidak ada penundaan, sedangkan ruas kiri persamaan kedua dengan penundaan 1 tahun, jadi anuitas akhir. Untuk R = 0, 1, … , m berlaku : 1 ax  1/ k ax  0 ax  ax



5.8



Asuransi 1 



Dengan bantuan gambar dapat dengan mudah diturunkan hubungan berikut. 1/ m a x  a x  1/ m, 2/ m



ax  ax  2 / m



dan umumnya, untuk 1  k  m - 1 k / m ax  ax  k / m Perhatikan bahwa



k /m



ax menyatakan anuitas (hidup) awal yang



,tertunda k/m tahun bagi orang berusia x dengan pembayaran tahunan sebesar 1, pembayaran pertama k/m tahun dari sekarang, yang kedua 1 + k/m tahun dari sekarang, dan seterusnya seumur hidup (x), Rumus (5) di atas dapat ditulis menjadi m 1   m m ax   ax   ax  1/ m    ax  2 / m   ...   ax  m   1  m.ax  1  2  ...  m  1 m 1 m 1  m ax  .m 2 2 m 1  m ax  .m 2 m 1  m ax  2 Jadi, m 1 m …(6) ax   ax  2m



5.9



 STAT4331/MODUL 5



Perhatikan bahwa rumus ini adalah suatu hampiran (aproksimasi). Tapi untuk seterusnya, demi kemudahan penulisan, tanda  akan diganti dengan tanda = , jadi untuk seterusnya kita tulis m 1 m ax   ax  2m asal selalu diingat bahwa rumus ini bukan rumus yang tepat, tetapi hanyalah suatu hampiran. m Bila ax  menyatakan anuitas (hidup) akhir dengan pembayaran m kali



setahun, jumlah pembayaran setahun sebesar 1 maka dengan mudah terlihat bahwa 1 m m …(7) ax   ax   m m m karena perbedaan antara ax  dengan ax  hanyalah pada pembayaran pada



tepat usia x sebesar 1/m. Jadi 1 m m ax   ax   m m 1 1  ax   2m m m 1 1  ax  1   2m m 2m  m  1  2  ax  2m



 ax 



m 1 2m



…(8)



Perhatikan, bahwa rumus inipun suatu hampiran. Untuk anuitas yang tertunda diperoleh n



m m a x   n E x a x  n



m 1   n Ex  ax  n  2m   Begitu pula



…(9)



5.10



n



Asuransi 1 



m m ax   n Ex a  x  n



m 1   n Ex  ax  n  2m  



…(10)



Untuk anuitas (hidup) berjangka diperoleh m



m m ax :n  ax   n ax 



m 1 m 1    n Ex  ax  n  2m 2m   m 1  ax  n Ex ax  n  1 n Ex  2m m 1  ax  n ax  1 n Ex  2m  ax 



 ax:n 



m 1 1 n Ex  2m



Dengan jalan yang sama di peroleh m 1  m ax:n  ax:n  1 n Ex  2m Untuk m = 12, misalnya, diperoleh



12 12 ax   ax  11/ 24; ax   ax  11/ 24;



12 



 n Ex  ax  n  11/ 24  ;



n



ax



n



12 ax   n Ex  ax  n  11/ 24  ;



12 



11 1 n Ex  ; dan 24 11  1  n E x  . 24



ax:n  ax:n  12 



ax:n  ax:n Contoh 3



…(11)



…(12)



5.11



 STAT4331/MODUL 5



Hitunglah nilai tunai suatu anuitas seumur hidup dengan pembayaran Rp100.000,00 tiap akhir bulan bagi seseorang berusia 30 tahun bila 240 pembayaran pertama dilakukan tanpa memperhatikan apakah orang tersebut meninggal, atau masih hidup. Jawab Pembayaran 240 yang pertama merupakan anuitas hidup dan sesudah itu merupakan anuitas hidup seumur hidup. Besarnya pembayaran setahun 12 x Rp100.000,00 = 1,2 juta rupiah. Nilai tunai seluruhnya adalah 12  12  1, 2 x106  a20  20 a30   







12 



 1, 2 x106 a20 s1 a20  12



s1



 20 E30  A50  11/ 24 



1  v n 1  1, 025   i 0, 025







20



 15,589162



 1,0114072 (lihat tabel di depan)



20E30=D50/D30=0,53521944



a50  a50  1  15,316571



(lihat tabel anuitas hidup di Buku Materi Pokok III) Jadi, diperoleh nilai tunainya 1,2x106( 15,76699098 + 8,443035463 ) = 29.052.031,73 rupiah Contoh 4 Hitunglah premi kuartalan untuk suatu asuransi berjangka sampai usia 65 bagi orang berusia 40 tahun bila besar santunannya 1 juta rupiah. Jawab Ada dua cara menghitung premi seperti ini, untuk mudahnya kita sebut premi seperti ini premi pecahan, yaitu premi yang dibayar lebih dari sekali setahun.



5.12



Asuransi 1 



Cara 1: Cara ini premi pecahan cicilan dan dihitung dengan menggunakan rumus m  m m.P  .a1  P bila P menyatakan premi tahunan sedangkan p(m) premi pecahan yang Dibayar m kali setahun , Dalam soal, ini m = 4. dapat dicari dengan rumus 1 P a40:25  106 A40:25 Atau P.



N 40  N 65 M  M 64  106 40 D40 D40



Atau P  4



a1



 4



 a1 s1



M 40  M 65  14, 06322873 N 40  N 65



1,0251/4  4



a1  v  1,0251 , s1



1,0251/4  1,0155768



 4 Sehingga a  0,9908066 1



Jadi diperoleh premi kuartalan P(4) = 14,06322873 / (4)(0,9908066) = 3,55 rupiah Dalam perhitungan p(4) dianggap si tertanggung akan hidup mencapai akhir tahun, sedangkan dia mungkin saja meninggal sebelum akhir tahun sehingga premi tidak terbayar penuh setahun. Karena itu santunan tidak akan dibayarkan penuh, tapi dikurangi dengan bagian cicilan premi, pecahan yang belum dilunasi. Cara 2 dalam cara ini peluang hidup diperhitungkan karena itu tidak ada pengurangan santunan asuransi , karena itu premi yang dihitung dengan cara ini disebut premi pecahan sesungguhnya. Premi pecahan dihitung dari rumus berikut (m = 4):



5.13



 STAT4331/MODUL 5



m  m 1 m.P  a40:25  106 A40:25



 236, 66912  4



a40:25  a40:25  3 / 8 1  25 E40   16,828932  3 / 8



1



 0,35286912







 16,586258 Jadi, p(4) = 236,66912 / ( 4 )( 16,586258 ) = 3,57 rupiah Dalam contoh maupun soal selanjutnya selalu akan digunakan cara 2. Contoh 5 Buktikanlah persamaan berikut  2 ax:n  1/ 4 3ax:n  ax:n











Bukti pandang bagian terakhir ruas kanan ax:n   N x  N x  n  / Dx Tulis Nx=Dx+Nx+1 dan



Nx+n=Dx+n+Nx+n+1 Jadi,



ax:n   N x 1  N x  n 1  Dx  Dx  n  / Dx



 ax:n  1 n Ex, sehingga ruas kanan seluruhnya menjadi 1 / 4 3a x:n  a x:n  1  n E x











 1 / 4 4a x:n  1  n E x











 a x:n  1 / 4 1  n E x 



Tetapi hasil ini, menurut rumus (12) untuk m = 2, sama saja dengan ruas kiri.



5.14



Asuransi 1 



Contoh 6 Buktikanlah bahwa 12



ax:1  11vpx  13 / 24 Bukti Dari rumus (11), untuk m = 12, diperoleh 11 12 ax:1  ax:1  1  Ex  24 Tetapi, ax:1  1 dan Ex  v. px



Jadi, ruas kanan menjadi 11 1  1  vpx   13  vpx  / 24 24 LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! m 1) Bila s   , nilai akhir suatu anuitas tentu awal dengan pembayaran m kali n



setahun sebesar 1/m tiap pembayaran maka buktikanlah bahwa n  m  m sn  an 1  i  Jelaskan bahwa dengan perkataan mengapa rumus tersebut benar.  m Petunjuk: Pandang a sebagai pokok yang dihubungkan selama n n tahun.



  2) Hitunglah qx bila i = 0,04 dan a x:1 = 0,95417 12



Petunjuk: Gunakan contoh 16. 3) Hitunglah nilai tunai suatu anuitas tentu awal dengan pembayaran Rp100.000,00 tiap permulaan bulan selama 20 tahun.



5.15



 STAT4331/MODUL 5



4) Buktikanlah bahwa  4 ax:n  1/ 8 5ax:n  3ax:n











5) Hitunglah premi kuartalan untuk suatu polis dengan santunan 1 juta rupiah bagi orang yang berusia 25 tahun bila selama lima tahun pertama preminya setengah dari premi setelah lima tahun pertama.



R A NG KU M AN Kita telah pelajari penurunan rumus berbagai anuitas tentu dan anuitas tentu dan anuitas hidup dengan premi pecahan dan penggunaan rumus-rumus tersebut. Kendati terlihat banyak simbol yang baru, namun simbol tersebut berkaitan erat dengan simbol sebelumnya sehingga diharap para mahasiswa tidak terlalu sulit memahaminya. Di samping itu, simbol yang digunakan sudah bersifat internasional sehingga memudahkan komunikasi antar bangsa. Dalam penurunan rumus anuitas hidup telah dengan terpaksa digunakan hampiran (aproksimasi), karena nilai sesungguhnya terlalu sulit dihitung. Dalam banyak bidang pengetahuan, jadi bukan hanya dalam asuransi, kita sering terpaksa menghitung nilai hampiran. Masalahnya kemudian ialah berapa teliti nilai hampiran yang kita gunakan, apakah sudah cukup teliti untuk keperluan yang kita inginkan. Sering sekali dalam pemakaian kita tidak memerlukan nilai yang tepat dan sudah cukup senang kalau mendapat nilai hampiran. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!  4 1) Hitunglah: a …. 20



A. B. C. D.



15,59 15,69 15,73 15,83



5.16



Asuransi 1 



2) Hitung nilai tunai suatu anuitas seumur hidup bagi seseorang berusia 20 tahun dengan pembayaran bulanan sebesar Rp.10.000,00 pada permulaan tiap bulan bila pembayaran 5 tahun pertama harus dikerjakan tanpa memandang orang tersebut masih hidup atau sudah meninggal…. A. Rp.3.195.724,95 B. Rp.3.200.936,12 C. Rp.3.204.016,93 D. Rp.3.298.066,13 3) Hitunglah premi bersih bulanan dari suatu asuransi biasa dengan santunan 1 Juta rupiah bagi seseorang berusia 30 tahun bila pembayaran preminya dibatasi sampai 20 kali…. A. Rp.l.447,59 B. Rp.1.462,66 C. Rp.2.222,69 D. Rp.2.285,45



4) Suatu kontrak anuitas seumur hidup menentukan pembayaran Rp.2.400.000,00 tiap tahun, pembayaran pertama pada usia 65 tahun. Pada waktu mencapai usia 65 tahun, pemegang anuitas tersebut menukarnya dengan pembayaran bulanan tiap permulaan bulan, berapakah besar pembayaran bulanan tersebut? A. Rp.209.510,41 B. Rp.211.337,60 C. Rp.2.514.124,92 D. Rp.2.536.051,19 5) Hitunglah nilai tunai suatu anuitas tentu awal selama 10 tahun dan dilanjutkan dengan anuitas seumur hidup bagi seseorang berusia 40 tahun dengan pembayaran bulanan Rp10.000,00 …. A. Rp.2.426.924,12 B. Rp.2.429.112,10 C. Rp.2.965.216,59 D. Rp.2.967.404,57



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



5.17



 STAT4331/MODUL 5



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.18



Asuransi 1 



Kegiatan Belajar 2



Anuitas Hidup Membesar



P



ada bagian modul ini akan dibahas anuitas (hidup) yang membesar. Cara yang sama dapat pula dipakai untuk anuitas yang mengecil. Misalkan,  Ia  x menyatakan nilai tunai pada usia x suatu anuitas hidup



awal yang membesar dengan pembayaran pertama sebesar 1 (rupiah) , pembayaran kedua sebesar 2, ketiga sebesar 3, dan seterusnya naik sebesar 1 tiap tahun seumur hidup, Dengan menggunakan prinsip dasar seperti semula, di peroleh 1 2 3 4 n+1 n+1   x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1



 Ia  x  1  2vpx  3v2 .2 px  4v3 .3 px  ...   n  1 v n .n px  ...  1  2vlx 1 /1x  3v 2 .1x  2 /1x  4v31x 3 /1x    n  1 v n .1x  n /1x  .... kalikan ruas kanan dengan vx/vx diperoleh



 Ia  x 



v x 1x v x 1x



 n  1 







2v x 11x 1 v x 1x



v x  n 1x  n v x 1x







3v x  21x  2 v x 1x







4v x 31x 3 v x 1x







 .......



1  Dx  2Dx1  3Dx 2  4Dx3  ...   n  1 Dx n  ... Dx



5.19



 STAT4331/MODUL 5



Tetapi karena Nx = Dx+Dx+1+Dx+2Dx+3+...Dw Nx+1 = Dx+1+Dx+2Dx+3+...Dw Nx+2 = Dx+2+Dx+3+...Dw Nx+3 = Dx+3+...Dw ................................................................ Nw = Dw + w



N



x i



  Dx  2 Dx 1  3Dx  2  4 Dx 3  ...  ( w  x  1 Dw



i 0



w



Sx 



Dan



N



x i



i 0



Maka



 Ia  x  S x / Dx



...(13)



Misalkan,  Ia  x:n menyatakan nilai tunai pada usia x suatu anuitas hidup awal berjangka dengan pembayaran pertama sebesar 1 (rupiah), yang kedua 2, ketiga 3, dan seterusnya naik sebesar 1 tiap tahun, dan yang terakhir sebesar n pada usia x + n - 1. Dengan jalan yang sama seperti semula, diperoleh  Ia  x:n  1  2vpx  3v22 px  ...nvn1n1 px







1  Dx  2Dx1  3Dx2  ...  n Dxn1  Dx



Tetapi kita tahu bahwa Nx-Nx+n =Dx+Dx+1+Dx+2+...Dx+n-1 Nx+1-Nx+n = Dx+1+Dx+2+...Dx+n-1 Nx+2-Nx+n = Dx+2+...+Dx+n-1 ......................................................... Nx+n-1-Nx+n=



Dx+n-1



+ Nx+Nx+1+Nx+2+...+Nx+n-1-n Nx+n= Dx+2Dx+1+3Dx+2+...+n Dx+n-1



5.20



Asuransi 1 



Begitu pula Sx-Sx+n=Nx+Nx+1+Nx+2+...+Nx+n-1 Jadi,



 Ia  x:n







1  Sx  Sxn  n N xn  Dx



...(14)



Rumus-rumus anuitas hidup membesar lainnya dapat diturunkan dengan hanya menggunakan prinsip dasar seperti digunakan di atas. Bila



n



 Ia  x menyatakan anuitas hidup membesar bagi orang berusia



x



ditunda selama n tahun, jadi pembayaran pertama sebesar 1 pada usia x + n, yang kedua sebesar 2 pada usia x + n + 1, dan seterusnya , maka 1  Dx  n  2Dx  n1  ... n  Ia  x  Dx



 S x  n / Dx Untuk anuitas berjangka yang ditunda 1  Dx  m  2 Dx  m1  ...  n Dx  m n 1  m  Ia  x:n  Dx



  S x  m  S x  m  n  n N x  m  n  / Dx



Contoh 7 Seseorang berusia 30 tahun mempunyai suatu anuitas hidup dengan pembayaran tiap permulaan tahun sebesar (rupiah) 100, 90, 80, 70, 60, 50,50, 50, dan seterusnya 50 tiap tahun selama hidupnya. Hitunglah nilai tunai anuitas tersebut. Jawab Kita dapat memandang anuitas tersebut sebagai terdiri atas tiga bagian, yaitu a) anuitas seumur hidup sebesar 100 tiap tahun mulai usia 30tahun, dikurangi dengan; b) anuitas membesar berjangka sampai usia 34 tahun ditunda setahun dengan pembayaran 10 pada usia 31, 20 pada usia 32, 30 pada usia 33, 40 pada usia 34, dan 50 pada usia 35, dan dikurangi dengan;



 STAT4331/MODUL 5



c)



5.21



anuitas seumur hidup dengan pembayaran 50 tahun dimulai usia 35 tahun.



Jadi, bila nilai tunai seluruhnya kita nyatakan dengan a maka



a  100 a30  101  Ia 30:4  505 a30  100



N30 N 1  10  S31  S35  4 N35   50 35 D30 D30 D30







1 100 N30  10 S31  10 S35  40 N35  50 N35  D30







1 100 N30  10 S31  10 S35  10 N35  D30







1 100 N30  10 S31  10 S36  D30







10 (10 10.594.280,39   176.219.738, 75  129.618.700,18) 440.800,58



=1.346,23 rupiah. Cara lain Kita juga dapat mengerjakan soal di atas dengan langsung menggunakan prinsip dasar. Jadi, 1 a (100 D30  90 D31  80 D32  70 D33  60 D34  50 D35  D30



50 D36  ...  50 Dw ) a.D30 



50  D30  D31  D32  ...  Dw   D30 10  5 D30  4 D31  3 D32  2 D33  D34  D30







1 [50 N30  10{ D30  D31  ...  D34   ( D30  D31  D30



D32  D33 )   D30  D31  D32    D30  D31   D30 }]







1 [50 N30  10{ N30  N 35    N 30  N 34  D30



5.22



Asuransi 1 



  N30  N33    N30  N32    N30  N31 }] 



1  50 N30  10 5 N30   N31  N32  N33  N34  N35  D30 







1  50 N30  10 5 N30   S31  S36  D30 







1 100 N30  10 S31  10 S36  , D30



yaitu sama dengan hasil di atas. Contoh 8 Carilah nilai tunai suatu anuitas hidup awal berjangka pada orang berusia x dengan pembayaran sebesar n pada usia x, n-1 pada usia x+1, n-2 pada usia x+2, demikian seterusnya berkurang satu tiap tahun sampai akhirnya habis sesudah pembayaran ke n , Jawab Kita gunakan lagi prinsip dasar seperti semula maka nilai tunainya adalah 1 n Dx   n  1 Dx1   n  2 Dx 2  ...  Dx n1 Dx







1  Dx  Dx 1  Dx  2  ...  Dx  n 1   Dx Dx  Dx 1  Dx  2  ...  Dx  n  2  ...



....................................................... Dx  Dx 1  Dx  2  Dx  Dx 1  Dx ) 



1 { N x  N x  n    N x  N x  n 1   ...   N x  N x  3   Dx



 N x  N x  2    N x  N x 1 }







1  n N x   N x 1  N x  2  N x 3  ...  N x  n1  N x n   Dx







1  n N x   S x 1  S x  n1   Dx



5.23



 STAT4331/MODUL 5



Sejauh ini kita hanya membahas anuitas hidup awal yang membesar atau mengecil. Sesungguhnya, anuitas hidup akhir dapat diturunkan dengan cara yang sama dengan menggunakan prinsip dasar. Hal ini diserahkan pada Anda sebagai latihan. Contoh 9 Jelaskan anuitas yang nilai tunainya dinyatakan oleh S25  S50  25 N50 D20



Jawab Untuk memahami bentuk seperti ini, paling mudah jadikanlah bentuk ini ke bentuk yang lebih dasar sehingga dapat langsung dibaca. S 25  S50  25 N 50  D20







1  N 25  N 26  ... N 49  25 N50  D20







1 {D25  D26  ...  D49  D50  D51  ... D20  D26  ...  D49  D50  D51  ... .............................................. D49  D50  D51  ...



 25 1 D50  D51  ...







1  D25  2 D26  ...  25 D49  D20



Bagian terakhir ini jelas menyatakan suatu anuitas hidup awal berjangka pada orang berusia 20 tahun yang ditunda 5 tahun dengan pembayaran sebesar 1 pada usia 25, pembayaran sebesar 2 pada usia 26, sebesar 3 pada usia 27, dan seterusnya naik satu tiap tahun dan terakhir sebesar 25 pada usia 49 tahun.



5.24



Asuransi 1 



A. ASURANSI MEMBESAR Seperti anuitas, santunan asuransipun dapat dibuat membesar maupun mengecil. Misalkan, (IA)x menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu asuransi yang membesar bagi orang berusia x dengan santunan sebesar (rupiah) 1 bila (x) meninggal pada tahun pertama, sebesar 2 bila dia meninggal pada tahun kedua, sebesar 3 bila dia meninggal pada tahun ketiga, dan seterusnya. Santunan asuransi dibayarkan pada akhir tahun meninggal. Dengan menggunakan prinsip dasar, kita peroleh



 IA x  v 



dx d d d  2 v 2 x 1  3 v3 x  2  ...  w  x  1 v w x 1 w 1x 1x 1x 1w 1 x



v 1x



(v x 1d x  2 v x  2 d x 1  3v x 3 d x  2  ... 



 w  x  1V w x 1d w ) 



1  Cx  2 Cx 1  3 C X 2  ...   w  x  1 Cw  Dx







1  M x  M x 1  M x  2  ...  M w  Dx



=Rx/Dx



...(15)



Cara lain menurunkan rumus di atas ialah sebagai berikut



 IAx  Ax 1



Ax 2 Ax  ...w x Ax



Kita masih ingat bahwa



 IA x 



n



Ax  M x  n / Dx sehingga rumus di atas menjadi



1  M x  M x 1  ...  M w  Dx



 Rx / Dx Bila



 IA1x:n menyatakan



asuransi berjangka yang membesar bagi



seseorang berusia x dengan santunan 1 pada tahun pertama, naik sebesar 1



5.25



 STAT4331/MODUL 5



tiap tahun selama n tahun, tapi tidak ada pembayaran bila (x) hidup mencapai usia x + n. Maka



 IA1x:n  A1x:n 



1 A1x:n 1  2 A1x:n  2  ...  n 1 A1x:1



1 { M x  M x  n    M x 1  M x  n    M x  2  M x  n   Dx



...   M x  n 1  n M x  n } 



1  Rx  Rx  n  n M x  n  Dx



...(16)



Contoh 10 Seorang pria berusia 20 tahun memiliki suatu polis asuransi berjangka dengan santunan 1 juta rupiah pada tahun pertama, 1,1 juta rupiah pada tahun kedua, 1,2 juta rupiah pada tahun ketiga, dan seterusnya naik 100 ribu rupiah tiap tahun selama jangka waktu 20 tahun. Hitunglah premi tunggal bersih polis tersebut. Jawab Dengan menggunakan prinsip di atas, diperoleh premi tunggal bersih =







1 1 1 1 106 A20:20  0,1 1 A20:19  0,1 2 A20:18  ...  0,1 19 A20:1











106  M 20  M 40   0,1 M 21  M 40  M 22  M 40  ...  M 39  M 40  D20







106 M 20  0,1 R21  R40  D20







106 M 20  0,1 R21  R41   3 M 40  D20



=108.317,39 rupiah



5.26



Asuransi 1 



Contoh 11 Jelaskan suatu jenis asuransi yang premi bersih tahunannya dinyatakan oleh



106  M 20  2 R21  N 20  N50



Jawab Misalkan, premi bersih tahunannya adalah P, jadi P ( N20 – N50 ) = 106 (M20 + 2 R21 ) atau



P



 N20 – D20



N50 







106 (M 20  2 R21 ) D20



Ruas kiri adalah P a20:30 menyatakan cara pembayaran premi, yaitu lunas pada usia 50 tahun dimulai pada usia 20 tahun. Ruas kanan 106  M 20  2  M 21  M 22  ...  M w   D20







106  D20  3 D21  5 D22  7 D23  ... D20



Ruas kanan ini menyatakan besar dan cara pembayaran santunan. Bila si tertanggung meninggal pada tahun pertama maka santunannya 1 juta, bila meninggal tahun kedua 3 juta, tahun ketiga 5 juta, dan seterusnya naik 2 juta tiap tahun. Contoh 12 Suatu polis dikeluarkan buat orang berusia 20 tahun dengan ketentuan sebagai berikut: a) bila orang tersebut meninggal sebelum berusia 30 tahun maka semua premi kotor yang telah dibayar dikembalikan tanpa bunga, b) bila meninggal setelah berusia 30 tahun santunannya 1 juta rupiah, c) premi dibayar tahunan dan lunas dalam sepuluh tahun dan d) premi kotor besarnya 10% lebih besar dari premi bersih. Hitunglah besarnya premi bersih.



 STAT4331/MODUL 5



5.27



Jawab Misalkan, premi bersih tahunan adalah P maka premi kotor tahunan adalah P + 0,1 P = 1,1 P. Bila si tertanggung meninggal pada tahun pertama maka santunannya adalah pengembalian premi kotor, nilai tunai premi tersebut adalah 1,1 P C20/D20. Bila dia meninggal pada tahun ke dua maka telah dua kali terjadi pembayaran premi, besar keduanya adalah 2,2 P, nilai tunainya adalah 2,2 P C21/D20. Bila dia meninggal di tahun ketiga maka nilai tunai santunannya adalah 3,3 P C22 / D20 , dan seterusnya, nilai tunai santunan bila meninggal pada tahun kesepuluh (sebelum berusia 30 tahun) adalah 11 P C29/D20. Bila dia meninggal setelah berusia 30 tahun maka nilai tunai santunannya adalah 10 M30 / D20. Jadi diperoleh C C M C C P a20:10  1,1 P 20  2, 2 P 21  3,3 P 22  ...  11 P 29  106 30 D20 D20 D20 D20 D20 atau P( N20 - N30 ) = 1,1 P( C20 + 2C21 + 3C22 + … + 10C29 ) + 106M30. =1,1 P (M20 + M21 + M22 + … + M29 - 10 M30 ) + 106 M30 =1,1 P (R20 - R30 - 10 M30 ) + 106 M30 atau P(N20-N30-1,1 R20+1,1 R30+M30)=106 M30 atau



P 



N 20  N30



106 M 30  1,1 R20  1,1 R30  11 M 30



106  182.403, 4951 



5.062.456, 546 = 36.030,63 rupiah



Contoh 13 Suatu polis asuransi dikeluarkan bagi orang berusia 45 tahun dengan ketentuan bahwa bila dia meninggal sebelum berusia 65 tahun, pewarisnya akan menerima 100 ribu rupiah pada akhir tiap bulan selama 20 tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun polis meninggal. Bila pembayaran premi terbatas sampai 10 tahun, hitunglah premi bersih tahunan polis tersebut.



5.28



Asuransi 1 



Jawab Santunan sebesar 100 ribu rupiah sebulan (jadi, setahun 1,2 juta Rp) merupakan suatu anuitas tentu awal selama 20 tahun. dan nilai tunainya pada akhir tahun polis meninggal adalah 12



1, 2 x106 a20



Jumlah ini hanya akan dibayarkan jika si tertanggung meninggal sebelum berusia 65 tahun dan dibayarkan mulai pada akhir tahun polis meninggal, jadi merupakan suatu asuransi berjangka selama 20 tahun. Jadi nilai tunainya (pada usia 45 tahun) adalah 12



1 1, 2 x106 a20 A45:20



Premi di bayar selama 10 tahun, jadi nilai tunai premi adalah



P a45:10 Menurut persamaan dasar diperoleh 12



1 1, 2 x106 a20 . A45:20  P a45:10



atau P



N 45  N55 1/12 M 45  M 65 12   1, 2 X 106 a20 s1 1  i  D45 D45



atau 12



P



1, 2 X 106 a20 s1



1  i 1/12  M 45  M 65 



N 45  N55



=529.559,62 rupiah



5.29



 STAT4331/MODUL 5



B. PREMI DIBAYAR BEBERAPA KALI SETAHUN Sering sekali premi tidak dibayar tahunan tapi beberapa kali setahun, misalnya semesteran, kuartalan ataupun bulanan. Masalahnya kemudian ialah menentukan besarnya premi berkala tersebut. Karena tingkat bunga menggunakan patokan tahunan maka premipun perlu disesuaikan dengan patokan tersebut. Misalkan, p(m) menyatakan besarnya premi bersih setahun yang dibayar 1 m kali setahun, jadi tiap kali pembayaran besarnya adalah . P(m).. m Besarnya p(m) harus memenuhi persamaan dasar. P.a  A



Untuk asuransi seumur hidup dengan pembayaran m kali setahun, persamaan dasar berbentuk m m Px   . ax    Ax



…(17)



Untuk jenis asuransi lain bentuk ini perlu mendapat penyesuaian, misalnya untuk asuransi endowment n tahun menjadi  m



 m



Px:n  Ax:n / ax:n dan seterusnya.



Bila tidak ada keraguan maka penulisan lambang premi bersih dengan pembayaran m kali setahun akan kita tuliskan dengan p (m) saja. Seperti dapat diduga, bentuk (17) di atas sulit di hitung dengan tepat sehingga kita terpaksa menggunakan hampiran. Di depan telah kita gunakan m 1 m hampiran ax   ax  2m Bila nilai hampiran ini kita masukkan dalam persamaan (17) maka kita peroleh m m P   Ax / ax 



5.30



Asuransi 1 



m 1    Ax /  a x  2m   m 1    M x /  Nx  Dx  2m  



P



(m)



…(18)



Dengan menggunakan tabel komutasi maka P(m) dapat dihitung dari (18). dapat pula dinyatakan dalam premi bersih tahunan P, sebagai berikut: m 1   m P    Ax /  a x  2m  



Bagi pembilang dan penyebut di ruas kanan dengan ax , maka diperoleh



 m 1 1  m P  P / 1  .  2m a x   Tetapi kita tahu bahwa Ax  M x / Dx   v N x  N x 1  / Dx



 v ax  ax



 v ax   ax  1  1  1  v  ax  1  d ax Bagi yang sudah berkarat ingatannya perlu diulangi bahwa v =1/(1 + i) = (1 + i-i)/ (1 + i) = 1 - i/ (1 + i) = 1 - d , jadi 1 - v = d Dengan demikian



P  Ax / ax  1/ ax  d Atau 1/ ax  P  d sehingga rumus hampiran di atas berubah menjadi



5.31



 STAT4331/MODUL 5



 m 1 m P   P / 1   P  d  2m  



Barangkali tidak berlebihan bila di sini diingatkan bahwa p (m) tidak sama dengan P. Padahal premi tahunan yang dibayarkan tiap permulaan tahun, sedangkan p(m) jumlah premi setahun yang dibayarkan m kali setahun, tiap 1 (m) kali sebesar P . m Dengan jalan yang sama dapat kita turunkan rumus premi untuk jenis asuransi yang lain. Bila menyatakan premi bersih tahunan asuransi berjangka n tahun dan premi berkalanya yang dibayar m kali 1m setahun dinyatakan dengan P   maka x:n











 m 1 1  1 m  Px:n  Px1:n / 1  P d  2m x:n  



Akan tetapi untuk asuransi endowment bentuknya sedikit berbeda







 m 1  m P   x:n  Px:n /  1  Px:n 1  d  2m  



Perhatikan bahwa dalam rumus terakhir ini digunakan Px:n 1 pada penyebut dan bukan Px:n Contoh: Suatu asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah dikeluarkan untuk orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi bulanan. Hitunglah besarnya preminya! Jawab: Premi tahunan adalah P = 106 M30/N30 = 17217.17 rupiah



5.32



Asuransi 1 



Premi setahun untuk besar santunan 1 rupiah dengan pembayaran bulanan adalah  11 12 P   P / 1   P  0, 025 / 1, 025   24   = 0,1755188 rupiah. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskan dengan perkataan (verbal) anuitas yang nilai tunainya dinyatakan oleh S26  S56 a) S25 b)



N 20  S51  10 D70 D20



2) Jelaskan dengan perkataan asuransi yang a) premi tunggal, bersihnya dinyatakan oleh 106  M x  M x 10  2 Dx 10 



Dx b) premi bersih tahunannya dinyatakan oleh



106  M 30  M 50  N30 Jelaskan! Apakah menurut Anda jenis asuransi ini mudah diterapkan dalam praktik? 3) Nyatakanlah dalam simbol komutasi nilai tunai rangkaian pembayaran berikut yang dikeluarkan bagi orang yang berusia 20 tahun a) sejuta pada usia 30, 800 ribu pada usia 31, 600 ribu pada usia 32, 400 ribu pada usia 33, dan 200 ribu sesudah itu tiap tahun, dengan pembayaran terakhir pada usia 60 tahun.



 STAT4331/MODUL 5



5.33



b) 100 ribu pada usia 20 tahun, 101 ribu pada usia 21 tahun, 102 ribu pada usia 22 tahun, naik seribu tiap tahun sampai mencapai 130 ribu dan sesudah itu tetap tiap tahun. 4) Suatu asuransi endowment selama 20 tahun bagi seseorang pria berusia 45 tahun mempunyai ketentuan bahwa bila si tertanggung meninggal dalam waktu 20 tahun maka santunannya sebesar setengah juta rupiah ditambah dengan pengembalian semua premi kotor yang telah dibayarkan dan dilakukan pada akhir tahun polis meninggal, bila si tertanggung mencapai usia 65 tahun maka kepadanya di bayarkan satu juta rupiah. Bila premi kotor adalah 20% dari premi bersih dan premi dibayar bulanan selama jangka waktu asuransi, hitunglah premi bersih tahunannya. 5) Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup mempunyai santunan yang membesar yang besarnya sama dengan ( 1,01)n pada tahun ke n, Bila perusahaan asuransi menghitung premi bersih dengan tingkat bunga 1 2 % maka premi bersih tahunannya adalah Ax ax , dengan ax 2 1 dihitung menggunakan tingkat bunga 2 % sedangkan Ax pada tingkat 2 bunga i%. Hitunglah i %. Petunjuk Jawaban Latihan 1) Nyatakan dulu masing-masing bentuk dalam bentuk dasar (dalam bentuk Dx) sehingga mudah ditafsirkan 2) Sama dengan soal nomor 1. Soal 2b, pembayaran preminya seumur hidup, melampaui jangka waktu asuransi yang hanya 20 tahun , 3) Gunakan prinsip dasar. 4) Soal ini mirip contoh 12.



R A NG KU M AN Telah kita pelajari anuitas hidup dan santunan asuransi yang berubah-ubah besar pembayarannya. Rumus-rumus diturunkan dengan menggunakan prinsip dasar , Karena itu pemahaman prinsip dasar memungkinkan kita menciptakan cara-cara pembayaran yang berlain-



5.34



Asuransi 1 



lainan dan macam-macam bentuk asuransi yang lain. Pemahaman tersebut juga membuat kita tidak terlalu bergantung pada rumus. Kendatipun bentuk umum yang dikembangkan disini untuk anuitas dan asuransi yang membesar, tapi dengan prinsip yang sama kita juga dapat mengerjakannya untuk anuitas dan asuransi yang mengecil ataupun untuk gabungan keduanya. Antara premi di satu pihak dan jumlah asuransi dipihak lain terdapat hubungan yang erat yang dinyatakan oleh persamaan dasar: Pada waktu polis dikeluarkan, nilai tunai seluruh premi sama dengan nilai tunai seluruh santunan. TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 12  1) Hitunglah 105.10 a20 ….



A. B. C. D.



1.789.722,63 1.824.470,44 2.357.584,67 1.789.722.631



2) Suatu bentuk asuransi berjangka selama n tahun bagi seseorang berusia x mempunyai ketentuan sebagai berikut: premi bersih tahunan selama lima tahun pertama adalah setengah dari premi bersih tahunan setelah lima tahun; besar santunan adalah 1 bila (x) meninggal pada tahun pertama, 3 pada tahun kedua, 5 pada tahun ketiga, dan seterusnya, naik 2 tiap tahun, dan tidak menerima apa-apapun bila (x) hidup mencapai usia x + n ( n > 5 ). Nyatakanlah dengan simbol komutasi premi bersih tahunan setelah lima tahun pertama…. M x  2 Rx 1 A. 1 1 N x  N x 5  N x  n 2 2 B.



M x  M x  n  2 Rx 1 1 1 N x  N x 5  N x  n 2 2



 STAT4331/MODUL 5



C. D.



5.35



M x  2 Rx 1   2n  1 M x  n 3 N x  N x 5  2 N x  n



M x  2 Rx 1   2n  1 M x  n 1 1 N x  N x 5  N x  n 2 2



3) Suatu asuransi endowment yang disesuaikan selama jangka waktu 30 tahun dikeluarkan bagi seseorang pria yang berusia 30 tahun dengan ketentuan sebagai berikut: a) pembayaran premi tiap tahun selama10 tahun. b) bila si tertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi santunannya sebesar 1 juta rupiah. c) bila si tertanggung hidup melampaui jangka waktu 30 tahun maka dia mendapat tiap permulaan tahun, pensiun sebesar 5 juta rupiah pada tahun pertama, 4 juta pada tahun kedua, 3 juta pada tahun ketiga 2 juta pada tahun keempat dan 1 juta seterusnya mulai tahun kelima, semua uang pensiun diterima pada permulaan tahun. Berapakah besarnya premi bersih tahunan? A. Rp389.840,78 B. Rp395.597,61 C. Rp875.719,56 D. Rp903.653,59 4) Seorang pria berusia 30 tahun mempunyai suatu anuitas hidup sementara dengan pembayaran pada tiap permulaan tahun sebagai berikut: Rp12, Rp7, Rp2, Rp7, Rp12. Hitunglah nilai tunainya…. A. Rp 0,14 B. Rp 16,27 C. Rp 37,83 D. Rp883,98 5) Hitunglah premi bersih tahunan suatu anuitas hidup tertunda bagi seseorang berusia 30 tahun dengan pembayaran (rupiah) 100 pada usia 60 tahun, 110 pada usia 61, 120 pada usia 62 dan seterusnya seumur hidup, Pembayaran premi harus lunas dalam 20 tahun…. A. Rp38,66 B. Rp40,79 C. Rp50,03 D. Rp52,79



5.36



Asuransi 1 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.37



 STAT4331/MODUL 5



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D 2) C 3) D 4) A 5) B



Tes Formatif 2 1) A 2) D 3) C 4) C 5) C



5.38



Asuransi 1 



Daftar Pustaka Robert E. Larson & Erwin A. Goumnitz: Life Insurance. Mathematics, Bab 6 Jom Wiley & Som, Inc. New York, 1951.



Modul 6



Cadangan Premi R. K. Sembiring, Ph. D.



PE N DA H UL U AN



D



alam dunia perusahaan, istilah cadangan bi asanya digunakan untuk suatu dana yang disisihkan untuk dipakai dalam keadaan darurat.Dalam asuransi jiwa, artinya sama sekali lain, cadangan dalam asuransi jiwa bukanlah suatu aset (bagian kekayaan perusahaan) tapi merupakan leabilitas (kewajiban perusahaan, jadi hutang, dalam hal ini hutang ke pada pemegang polis). Dana yang besar yang terkumpul di perusahaanperusahaan asuransi jiwa, sebagian besar, bukanlah milik perusahaan tapi milik pemegang polis, Dalam modul ini akan kita pelajari: arti cadangan, asal munculnya cadangan, dan cara penghitungannya. Cadangan yang kita pelajari di sini disebut cadangan bersih datar (net level reserve).  Tujuan Instruksional Umum Para mahasiswa setelah mempelajari modul ini dapat memahami arti, tujuan, dan perhitungan cadangan premi untuk macam-macam asuransi.  Tujuan Instruksional Khusus Para mahasi swa diharapkan dapat menghi tung besar cadangan datar dengan menggunakan cara retrospeksi maupun cara prospeksi untuk macam- rnacam jenis asuransi.



6.2



Kegiatan Belajar 1



Cadangan Retrospektif dan Prospektif A. PENGERTIAN CADANGAN Jika seorang pria berusia 20 tahun, misalnya, ingin mengasuransikan dirinya seumur hidup dengan santunan, misalnya, Rp1.000, maka dia dapat membeli polisnya dengan premi tunggal bersih sebesar 1.000 A20 = 338,68 rupiah, atau memilih pembayaran premi tahunan sebesar 1.000 A20 /a20 = 1 2 % 12,49 rupiah (CSO 1941, 2 ). Premi tahunan seperti ini yang besarnya tidak berubah dari tahun ke tahun disebut premi bersih datar (net level premium). Sesungguhnya orang tersebut dapat pula mendapatkan hal yang Sama dengan membeli asuransi berjangka setahun-setahun tiap tahun, seumur hi dup, Dengan eara ini maka besar preminya akan beubah tiap tahun menurut rumus 1.000 Ax:1 1



1.000 Cx | Dx



1.000 Cx



Karena peluang meninggal naik bersama dengan naiknya umur orang yang diasuransikan, maka premi yang terakhir ini tadi juga ikut naik. Besarnya premi tersebut dapat dilihat pada tabel berikut di kolom ke dua di bawah 1.000 ex. x 20 25 30 35 40 45 50 55 60



1.000 cx 2, 37 2,81 3, 47 4, 48 6, 03 8, 40 12, 02 17, 54 25,94



1.000 P20 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49



Selisih -10, 12 9,68 9, 02 8, 01 6, 46 4, 09 0, 47 5, 05 13, 45



6.3



 STAT4331/MODUL 6



x



1.000 cx



65 70 75 80 85 90 95



38, 67 57, 85 86,48 128, 64 189, 39 274, 14 386, 55



1.000 P20 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49 12, 49



Selisih 26, 18 45, 36 73, 99 116, 15 176, 90 261, 65 374, 06



Dari tabel ini terlihat dengan jelas bahwa premi asuransi berjangka setahun, 1000 cx' sampai usia 50 tahun masih lebih rendah dari premi asuransi seumur hidup dengan besar santunan yang sama, Rpl.000. Cx ini sering disebut dengan nama premi yang sesungguhnya (natural premium) dan menggambarkan biaya asuransi tahunan dengan santunan sebesar 1. Membeli asuransi tahunan seperti ini, tentu amat ringan pada waktu sitertanggung masih muda tapi akan sangat memberatkan bila usianya sudah di atas 60 tahun, pada waktu mana orang sudah di atas 60 tahun, pada waktu mana orang sudah umumnya pensi un, j adi penghasi lan sudah banyak berkurang. Karena itu, dalam prakteknya asuransi seperti ini sama sekali tidak populer, Pada tahun-tahun permulaan terlihat bahwa prerni yang dibayarkan di bawah asuransi seumur hidup dengan prerni datar , jauh melarnpaui biaya asuransi yang diperlukan (1000 cx). Dengan lain perkataan, prerni yang terkurnpul dari asuransi seurnur hidup pada t ahun-t.ahun perrnulaan jauh rnelampaui jurnlah sant.unan yang harus dibayarkan oleh perusahaan. Dengan demikian terkurnpul sejurnlah dana di perusahaan asuransi dan dana inilah yang disebut cadangan. Cadangan ini bukan rnilik perusahaan tapi rnerupakan liabilitas. Pada usia tua, premi datar yang diterirna perusahaan akan j auh dari cukup rnenutupi santunan asuransi dan sebagian dari uang tersebut akan diarnbil dari cadangan yang telah terkumpul sebelurnnya. Jadi dapat dianggap bahwa cadangan itu adalah milik pernegang polis yang "dititipkan" di perusahaan asuransi; perusahaan asuransi tentunya berkewajiban rnenginvestasikan modal tersebut secara arnan. Untuk rnernberi garnbaran rnengenai cadangan yang lebih j eLas , pandanganlah sejurnlah 160 orang yang sarna-sarna rnembeli asuransi



6.4



berjangka lirna tahun dengan santunan Rpl00. Kita akan menggunakan CSO 1 2 % 1941 dengan tingkat bunga 2 . Anda lihat kernbali tabel morbalitas CSO 1941 di Buku Materi Pokok 2. Hasil perhitungannya dapat dilihat pada bagian atas tabel berikut. Prerni bersih tahunannya adalah Pa60:5 100 A60:5 1 P = 3, 034509127 Rupiah Pada usia 60 tahun ada sebanyak 677.771 orang jadi, premi yang dibayarkan adalah (677771)( 3,034509127 ) = 2.056.702,29 rupiah. Jumlah ini dengan bunga 2,5% rnenjadi 2.108,119,85 rupiah pada akhir tahun. Selama tahun tersebut sebanyak d60 = 18022 orang yang meninggal, masing-masing dengan santunan



6.5



 STAT4331/MODUL 6



Asuransi berjangka 5 tahun sebesar Rp. 100 untuk orang berusia 60 tahun. Jangka waktu



Jumlah orang permulaan tahun, 1x



Jumlah meninggal setahun, dx



Premi yang dibayarkan



Cadangan pada permulaan tahun



Bunga setahun



Santunan yang dibayarkan



Jumlah cadangan akhir tahun



Cadangan akhir tahun per orang



677.771



18.022



2.056.702,29



2.056.702,29



51.417,56



1.802.200



305.919,84



0,46



0,46



659.749



18.988



2.002.014,36



2.307.934,20



57.698,36



1.898.800



466.832,56



0,73



0,73



640.761



19.979



1.944.395,10



2.411.227,66



60.280,69



1.997.900



473.608,35



0,76



0,76



620.782



20.958



1.883.786,85



2.357.377,00



38.934,43



2.095.800



320.511,42



0,53



0,53



599.824



21.942



1.820.171,40



2.140.682,83



53.517,07



2.194.200



-0,10



0



0



* Secara Teoritis sama dengan nol, perbedaan dengan nol akibat pembulatan dalam perhitungan



6.6



Endowen Sebesar Rp 100 selama 5 tahun untuk orang berusia 60 tahun. Jangka waktu



Jumlah orang permulaan tahun, 1x



Jumlah meninggal setahun, dx



Premi yang dibayarkan



Cadangan pada permulaan tahun



Bunga setahun



Santunan yang dibayarkan



Jumlah cadangan akhir tahun



Cadangan akhir tahun per orang



677.771



18.022



13.402.487,53



13.402.487,53



335.062,19



1.802.200



11.935.349,72



677.771



18,09



659.749



18.988



13.046.114,02



24.981.463,73



624.536,59



1.898.800



23.707.200,33



659.749



37,00



640.761



19.979



12.670.638,48



36.377.838,80



909.445.97



1.977.900



35.289.384,77



640.761



56,85



620.782



20.958



12.275.566,55



47.564.951,32



1.189.123,78



2.095.800



46.658.275,10



620.782



77,79



599.824



21.942



11.861.135,52



58.519.410,62



1.462.985,27



2.194.200



57.788.195,88



599.824



100,00



6.7



 STAT4331/MODUL 6



Rp100, sehingga seluruh santunan yang dibayarkan ada1ah 1.802.200 rupiah. Santunan ini dibayarkan pada akhir tahun, sehingga sisa dana pada akhir tahun menjadi 305.919,84 rupiah. Uang ini ada1ah bagian pemegang polis yang masih hidup sebanyak 161 = 659.749 orang , jadi bagian tiap orang ada1ah 0,46 rupiah. Jum1ah ini disebut cadangan akhir tahun pertama asuransi berjangka 5 tahun sebesar Rp100 bagi orang berusia 60 tahun, Tabe1 tersebut menyajikan se1uruh perhtungannya secara lengkap, Terlihat bahwa cadangan pada akhir tahun ke lima ada1ah no1, sebagaimana mestinya, karena se1uruh po1is te1ah habis masa berlakunya. Pada bagian bawah tabel tadi disajikan perhitungan cadangan asuransi endowmen lima tahun sebesar Rpl00 bagi ke1ompok umur yang sama, 160 Prerni tahunan bersihnya adalah



Pa60:5



100 A60:5



P = 19,77435967 rupiah Semua perhitungan tidak berbeda dengan tabe1 di atasnya, bedanya hanya1ah bahwa tabe1 di atasnya, bedanya hanya1ah bahwa cadangan akhi r tahun kelima menjadi Rp100. Cadangan akhir pada akhir jangka waktu suatu asuransi endowmen se1a1u harus sama dengan besar santunan yang akan diterima sitertanggungyang hidup mencapai akhir jangka waktu tersebut. Jadi cadangan suatu polis asuransi pada suatu waktu ada1ah ratarata bagian pemegang po1is dari dana cadangan pada waktu tersebut. Perusahaan asuransi bersedia menerima premi datar tiap tahun kendati premi tersebut jauh dari mencukupi pada tahun-tahun terakhir karena prerni datar tersebut dihitung dengan rnenggunakan persarnaan dasar, yaitu bahwa ni1ai tunai prerni datar sarna saja dengan ni1ai tunai premi rnernbesar yang tiap tahun di perbaharui (asuransi berjangka setahunsetahun dengan perrni yang mernbesar) dengan j angka waktu yang sama. Se1isih antara besar santunan dengan cadangan pada suatu ketika merupakan jurn1ah yang "diasuransikan" atau dijamin oleh perusahaan dan disebut jum1ah bersih da1am risiko (net amount at risk). Jika seorang tertanggung rneningga1 sebe1um jangka waktu asuransi berakhir rnaka "tabungannya" baru hanya sebesar cadangan pada waktu itu sehinggga perusahaan asuransi harus rnernbayar kekurangarmya, yaitu jum1ah bersih



6.8



da1am resiko. Karena jumlah seluruh santunan rnasih akan 1ebih kecil dari seluruh premi yang terkumpul, makakekurangan di atas dengan mudah dapat di tanggulangi perusahaan. Cara perhitungan cadangan yang di je1askan di atas disebut metode restrospektif, yaitu melihat mundur dalam waktu untuk melihat apa yang telah terjadi. Cadangan dapat pula di.hitung dengan metode prospektif, melihat ke depan dalam waktu. Waktu suatu polis asuransi ataupun anuitas dikeluarkan, maka si tertanggung maupun si penaggung (perusahaan asuransi) sepakat melakukan kewajibarmya sebagai berikut, si tertanggung akan berkewajiban membayar premi yang telah disepakati besarnya, sedangkan perusahaan berkewajiban membayar santunan di masa mendatang. Pada waktu polis dikeluarkan nilai tunai kedua pembayaran ini (premi dan santunan) dibuat sama. Ini yang disebut persamaan dasar. Akan tetapi nilai tunai keduanya umumnya tidak lagi akan sama. Nilai tunai santunan umumnya akan turun buat anuitas karena sebagian telah dilaksanakan sehingga bertambah sedikit di masa mendatang. Tetapi nilai tunai santunan membesar untuk asuransi karena pengaruh bunga dan belum ada santunan yang di bayarkan. Jumlah premi yang masih akan dibayarkan umumnya akan bertambah kecil selama jangka waktu pembayaran premi. Selisih antara kedua nilai tunai ini (premi dan santunan) membentuk apa yang kita sebut di atas cadangan. B. CADANGAN RETROSPEKTIF Cara perhitungan cadangan seperti dikerjakan Pacta fasal sebelum ini terlalu lamban dan melelahkan, tapi baik untuk tujuan pemahaman; kita dapat melihat dan merasakan apa tepatnya yang terjadi dalam perhitungan cadangan. Karena itu cara yang lebih sederhana dan cepat tentu di butuhkan. Dari kacamata retrospektif, cadangan akhir adalah nilai premi yang lalu (telah dibayarkan) yang dibungakan dikurangi dengan nilai santunan yang lalu yang dibungakan. Secara aljabar hubungan ini ditulis:



tV



P . tU x t K x



….……………..……………………………………..(1) Dalam rumus ini: x: menyatakan usia waktu polis dikeluarkan t: tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan



6.9



 STAT4331/MODUL 6



p: premi bersih tahunan untuk santunan Rp 1 bagi (x0 V: cadangan akhir asuransi pada akhir tahun ke t U Untuk menyegarkan ingatan anda, t x adalah dana tonti yang dipelajari di buku materi pokok 3, dan dinyatakan bagian tiap yang masih hidup dari dana yang telah terkumpul dengan bunganya. Perhatikan bahwa dalam hal ini besar preminya sebesar Rp 1 tiap permulaan tahun. Jadi bila preminya P rupiah maka bagian tiap orang yang masih hidup t tahun sejak preminya P rupiah maka bagian tiap orang yang masih hidup t tahun sejak polis dikeluarkan (mencapai usia x + t) adalah p.tU x . ini adalah nilai premi yang



K lalu beserta bunganya. t x adalah premi tunggal bersih untuk asuransi berjangka t tahun sebesar Rp 1, Preminya dibayar pada akhir Jangka Waktu. Besaran ini sering disebut biaya asuransi dalam arti teknis beserta bunganya. Besaran ini menyatakan nilai santunan yang lalu beserta bunganya. Cara lain meyakinkan diri sendiri tentang kebenaran persamaan (1) diatas ialah dengan membuktikannya secara matematika, dalam hal ini induksi lengkap. Untuk itu pandanglah suatu asuransi dengan santunan Rp 1. Dengan premi bersih tahunan sebesar P rupiah. Sesuai dengan cara perhitungan di fasal sebelumnya kita peroleh cadangan akhir tahun pertama adalah 1V 1x . P 1 i d x / 1x 1



Perhatikan bahwa



1x. P 1 i



premi yang dibayarkan pada permulaan tahun pertama yang dibungakan selama setahun. d x menyatakan jumlah santunan dibayarkan pada akhir tahun pertama, yaitu banyaknya yang meninggal kali Rp 1, jadi jumlahnya dx rupiah. Jumlah seluruh dana pada akhir tahun pertama dibagi sama rata oleh tertanggung yang masih hidup, 1x 1 . Bagian tiap orang ini disebut cadangan akhir tahun pertama yang diberi simbol 1v. Dengan jalan yang kita peroleh 2V



1x



v



1.1



1x



1.1V



1x 1. p 1 i



dx



1



/ 1x



2



menyatakan seluruh dana (cadangan) yang berasal dari tahun 1 pertama yang kemudian ditambah dengan premi tahun kedua, x 1. P



6.10



keduanya kemudian dibungkam selama setahun lantas dikurangi dengan d santunan yang dibayarkan pada akhir tahun kedua, x 1 . bila selisih ini dibagi dengan 1x+2 maka kita peroleh bagian tiap orang yang masih hidup pada akhir tahun kedua , 2V. Secara umum kita peroleh cadangan pada akhir tahun t. tV



1x



t 1.1V



1x



1x t 1 t 1V 1x t



V .V V



x t 1 x t



1x



.1x



t 1



1 i



dx 1x



p 1 i



1 t



t 1V



P V



dx



t 1



vx



t



v



x t



t



t



1



dx



t 1



.1x



t



Cx t 1 Dx t



P



t 1V



/1x



t 1



t



Dx t 1 t 1V Dx t



Ux



t 1. p



p



Kx



t 1



……………………………………..…..(2)



Bila t =1 kita peroleh 1V = P . Ux – K Jadi rumus (1) benar untuk t=1. Misalkan bahwa (1) benar untuk t-1, jadi diperoleh. P . t 1ux



t 1V



t 1K x



Sesuai dengan langkah induksi, sekarang harus kita buktikan bahwa (1) tV P. tU x t t x juga benar juga benar untuk t, jadi harus dibuktikan bahwa Bukti Dari (2) kita peroleh tV



t 1V



P



u



x



P . t 1u x t 1K x



t 1



P



k x t 1



u



x



t 1



k



x



t 1



t 1V diganti dengan P. t 1u x t 1k x tV



P . t 1U xu x



t 1 t 1k xu x



t 1 PU . x



k t 1



x



t 1



6.11



 STAT4331/MODUL 6



Nx



P



Dx



Mx



t 1



.



t 1



Nx



P



t 1



Nx Nx



Dx



Dx t 1 Dx t



Dx t 1 Dx t



Mx



t 1



Mx Dx



t



Dx t 1 Dx t



Mx t Dlx



t



Mx



t



P



Cx t 1 Dx t



Dx



t 1



Dx



Nx



.



t 1



Mx Dx



P



Nx



Cx



1



t 1



t



t



t



P . t u x t K x (Terbukti) Contoh 1 Hitunglah dengan metoda retrospektif cadangan akhir tahun ke 10 dan cadangan akhir tahun ke 20 suatu asuransi berjangka 20 sebesar 1 juta rupiah bila pembayaran premi dilakukan tiap permulaan tahun bagi orang yang berusia 30 tahun. Jawab Pa30:20



106 A30:20 1



Atau 106



P



M 50 N50



5.985,120773 rupiah



P .10u 30 106 .10 K 30



10V P.



M 30 N30



N30 N50 D50



106



M 30 M 50 D50



106



M 30 N30



M 50 N30 N50 . N50 D50



106



M 30



M 50 N30



M 30 M 50 Dl 50



N50 D50 N30



N30 N50



Nl 50 M 30



M 50



0



Cadangan asuransi berjangka pada akhir jangka waktu haruslah sama dengan nol



6.12



Contoh 2 Hitunglah dengan metode retrospektif cadangan akhir tahun ke 10 dan cadangan akhir tahun ke 20 suatu asuransi endowmen berjangka 20 tahun sebesar 1 juta rupiah bagi orang berusia 30 tahun. Jawab Pa30:20



P



106 A30:20



106



M 30 M 50 D50 N30 N50



40.963,96212 rupiah



Atau



10V



P.20 30 106.20k 30 432.028, 74 rupiah



20V



P.20  30 106.20k 30 M M 50 D50 N 30 N 50 106 30 . N30 N50 D50



106



M 30 M 50 D50



106 rupiah Cadangan asuransi endowmen pada akhir jangka waktu haruslah selalu sama dengan besar santunan. Sering jangka waktu pembayaran premi lebih pendek dari jangka waktu asuransi. Rumus (1) perlu mendapat penyesuaian bila yang ingin dihitung besar cadangan sesudah premi lunas. Misalnya pembayaran premi sebanyak n kali dan diinginkan cadangan akhir tahun ke t, t > n. Dalam hal seperti ini rumus (1) berubah menjadi tV



P



Nx



Nx Dx



t



n



tk x



…………………………………..……………(3)



Pada mana n adalah banyaknya kali pembayaran premi dan n < t. Bukti Cadangan akhir tahun ke n adalah nV P . nu x nk x



6.13



 STAT4331/MODUL 6



Karena pad tahun ke n + 1 tak ada lagi pembayaran premi, maka n 1V nV .U x n K x n dari persamaan 2 , P 0



t



n 1V  x



2V



n



t 1 . x



V



V



2 . t



tV



kx



t 2



. x



t 2



2V .  x



t 2 . x t 1



t



3 . x



t 3



V



3 . x



. x



Kx



t 2 . x t 1



nV .  x



kx



n



n



. x



nk x .  x



P. nu x



P . nu x.  x Dx t 1 Dx t



P Dx Dx



Cx Dx



Nx



t



n



Dx



Nx Dx



n 1



n 2



.



n



Cx Dx



.



Dx



n 1 t



t 1



t 3. x t 2



t 1



t 1



. x



kx



t 1



kx



n



n 2



...



n 3



n



Dx



.



Dx Dx



Mx Dx



n 1



Cx



n 1...  x t 1



n 1



.



n 2



Dx Dx



n 2



...



n 3



Dx t 1 Cx t 1 .. Dx t Dx t



Mx



n



...



kx



n



kx



n



Dx Dx



t 1



kx



... kx



n k x.  x



n



t 1



n 1...  x t 1



n 1.  x n 2 ...  x t 1...



Kx



2.  x



t



kx



t 1



n 1.  x n 2 ... x t 1



kx



x



t 2 . x t 1



kx



t 1



kx



t 1



t 2 . x t 1



kx



t 3



kx



t 1



t 3. x t 2 . x t 1



V



t



n 1



n 1



t



kx



.



kx



t 1



V



t



kx



n 1



t 1 t



n



n



.



Dx Dx



n n 1



Cx Dx



n n 1



6.14



P p p



Nx



Nx



Dx



Mx



n



n 1



Nx



Nx Dx



Nx



Mx



Mx Dx



t



Nx Dx



n



Mx Dx



n



n 1



Mx



Dx



t



Mx



n 1



t



t



t



t



tk x



t



Contoh 3 Carilah cadangan akhir tahun ke 15 dari suatu asuransi endowmen selama 20 tahun bagi seseorang berusia 30 tahun dengan santunan 1 juta rupiah bila premi tahunan dibayarkan selama paling banyak 10 kali Jawab Pa30:10



106 A30:20



P



71.105, 04741 N N 40 15V P 30 D45



106.15k 30,



Disini n = 10, t = 15 Jadi 15v= 984.515,63-98.585,31 = 885.930, 31 rupiah C. CADANGAN PROSPEKTIF Menurut cara ini, cadangan pada suatu ketika selama jangka waktu suatu polis adalah nilai tunai santunan yang akan dating dikurangi dengan nilai tunai premi yang akan datang . istilah premi yang akan datang mencakup premi yang segera harus dibayarkan. Dalam symbol matematika, pernyataan ini dapat ditulis sebagai tV Ax t P . ax t ……………………………………………………...(4) Untuk asuransi seumur hidup. Ax+t menyatakan santunan yang akan Pax t datang pada usia x+t, sedangkan menyatakan nilai tunai pada usia x+t sisa premi mendatang.



6.15



 STAT4331/MODUL 6



Sesungguhnya, secara matematika, rumus (1) dan rumus (3) untuk setiap jenis asuransi sama saja. Berikut ini diberikan bukti bahwa dari rumus (3) dapat diturunkan rumus (1) untuk asuransi seumur hidup. Untuk jenis asuransi lain buktinya mirip sama. Untuk asuransi seumur hidup dengan santunan sebesar Rp 1 diperoleh



Pax



Ax , Jadi P



M x / Nx



Ubah (3) ke dalam symbol komutasi, maka



tV



Mx Dx



t t



Mx Dx t



M x Nx . N x Dx Mx



t t



Mx Dx



M x Nx Nx . Nx Dx t



t



t



(ditambah , kemudian dikurangi dengan M x Nx Nx t M x M x t . Nx Dx t Dx t



t



M x Nx . N x Dx t



M x Nx Dx t



P . t u x t k x.(terbukti) Contoh 4 Hitunglah dengan cara prospektif soal 1. Jawab 10V 106 A140:10 P a40:10



106



M 40 M 50 D40



P



N 40 N50 D40



70.889,56 52.014, 66 18.884,90 rupiah Sama dengan hasil sebelumnya, kecuali akibat pembulatan. Contoh 6 Hitunglah dengan cara prospektif soal pada contoh 3.



6.16



Jawab Karena pembayaran premi sudah lunas maka P=0 dalam rumus (4) sehingga diperoleh 15V 106 A45:5



106



M 45



M 50 D45



D50



885.930, 29 rupiah. Terlihat bahwa bila premi sudah lunas maka cara prospektif memberi hasil paling cepat. Metode retrospektif akan lebih cepat memberikan hasil dalam perhitungan cadangan untuk jenis asuransi tertunda selama jangka waktu penundaan, jadi selama belum ada santunan yang harus dibayarkan. Jadi bila m | Ax menyatakan asuransi tertunda m tahun, maka bila t < m, V perhitungan t lebih cepat dikerjakan dengan metode retrospektif.



Contoh 7 Suatu asuransi endowmen sebesar 1 juta rupiah dikeluarkan bagi orang yang berusia 30 tahun untuk jangka waktu 10 tahun tapi ditunda 10 tahun, pembayaran premi 20 tahun. Hitunglah cadangan akhir tahun ke 5. Jawab



Pa30:20 P



106 10 | A30:10



38.437, 03434 rupiah



Retrospektif : 5V 1065 | A35:10



P . a35:15



678.672, 25 468.993,09 209.679,16 rupiah Sebelum kita teruskan dengan pembahasan berikutnya, ada baiknya diperkenalkan dulu symbol baru untuk menyatakan cadangan untuk jenisjenis asuransi tV x = cadangan akhir tahun ke t untuk asuransi biaya sebesar Rp 1,untuk(x)



6.17



 STAT4331/MODUL 6



t : nV x = cadangan akhir ke t untuk asuransi Rp 1,- dibayar n kali untuk (x). tV x : n = cadangan akhir ke t untuk endowment selama n tahun untuk (x) sebesar Rp 1,V1



t x : n = cadangan akhir ke t untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1,- untuk (x) Semua symbol ini mengikuti symbol sebelumnya. Akan tetapi, dalam V mengerjakan soal sebaiknya cukup gunakan symbol t demi kesederhanaan penulisan. LAT I H AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buktikanlah bahwa ax t a) tV x 1 ax b) tV x



Ax



t



Ax



1 Ax



2) Buktikanlah bahwa Px tV x Ax t 1 Px t 3) Buktikanlah bahwa ax t:n tV x : n 1 ax:n



t



4) Buktikanlah bahwa



tV x



1



1 1V x 1 1V x 1 1 1V x



2 ... 1 1V x



t 1



6.18



5) Buktikanlah bahwa



tV x : n



Ax Px



t:n t



t:n t



1



Px:n Px



t:n t



Px:n ax



t :n t



Kunci jawaban Latihan 1) Gunakan metode prospektif, soal b) dibuktikan menggunakan soal a) 2) Gunakan metode prospektif 3) Mirip soal 1a) 4) Gunakan soal 1a) 5) Mirip Soal 2. R A NG KU M AN Telah kita pelajari arti dan dua cara perhitungan cadangan. Kedua cara haruslah rnenghasilkan hasil perhitungan yang sarna sehingga cara yang satu dapat dipakai untuk rnerneriksa hasil perhitungan cara yang lainnya. Kedua cara rnernpunyai keuntungan rnasing-rnasing. Cara retrospektif rnernberi pernaharnan yang lebih baiktapi dari segi kumudahan perhitungan akan nanti terlihat bahwa cara prospektif lebih sering dipakai. Perhitungan cadangan rnerupakan bagian yang arnat penting.dari pekerjaan seorang aktuaris dan karena itu anda diharapkan betul-betul rnemahami dan mahir rnengerjakan perhitungan cadangan tersebut. Walaupun disini contoh-contoh dan soal latihan yang diberikan hanya rnengenai cadangan asuransi, sesungguhnya cara yang sarna ber laku juga unt uk perhi tungan cadangan anui tas hi.dup , Pada pelajaran berikut ini kita akan rnernpelajari lebih banyak tentang perhitungan cadangan.



6.19



 STAT4331/MODUL 6



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Hitunglah dengan cara retrospektif dan prospektif cadangan akhir tahun ke 3 suatu asuransi biasa (seumur hidup) sebesar 1 juta rupiah untuk seseorang yang berusia 25 tahun. A. Rp 11.753,94 B. Rp 13.875,81 C. Rp 23.179,33 D. Rp 37.055,05 2) Seseorang berusia 30 tahun diasuransikan selama 20 tahun dengan santunan kematian 1 juta rupiah dan bila hidup mencapai usia 50 tahun dia mendapat 1/2 juta rupiah. Bi la pembayaran premi t ahunan paling banyak hanya 10 kali. Berapakah cadangan akhir tahun ke 8? A. Rp 36.044,04 B. Rp265.443,42 C. Rp315.756,79 D. Rp334.721,66 3) Idem soal 2, hitunglah cadangan akhir tahun ke 15. ' A. Rp 45.259,26 B. Rpl72.848,36 C. Rp465.594,78 D. Rp690. 147,91 4) Nyatakanlah dengan symbol komutasi cadangan akhir retrospektif ke 10 suatu asuransi endowmen sampai usia 85 tahun dengan pembayaran premi tahunan 20 kali bila besar santunan 1 juta rupiah bagi seseorang yang berusia 30 tahun. A.



106



M 30 N30



M 85 N30 N 40 . N50 D40



B.



106



M 30 M 85 D85 N30 N 40 . N30 N50 D40



106



M 30 M 40 D40 106



M 30 M 40 D40



6.20



C.



106



M 30 N30



M 85 N30 N 40 . N50 D30



D.



106



M 30 M 85 D85 N30 N 40 . N30 N50 D30



106



M 30 M 40 D30 106



M 30 M 40 D30



5) Nyatakanlah dengan symbol komutasi cadangan akhir prospektif ke 12 suatu asuransi endowmen selama 20 tahun sebesar 1 juta rupiah bagi seseorang yang berusia 40 tahun. A. 106



M 52



M 60 D52



D60



M 40 N 60 D66 N 40 N 60



B. 106



M 52 M 60 D52



1060



C. 106



M 52



M 60 D52



D60



1060



M 40 M 60 D60 N52 N 60 . N 40 N 60 D52



D. 106



M 52



M 60 D52



D60



1060



M 52 M 60 D60 N52 N 60 . N 40 N 60 D52



M 40 N 40



M 60 N52 N 60 . N 60 D52



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan:



90 - 100% = 80 - 89% = 70 - 79% = < 70% =



×100%



baik sekali baik cukup kurang



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai



6.21



 STAT4331/MODUL 6



Kegiata n belajar 2



Metode Fackler Serta Cadangan Awal dan Cadangan Rataan A. RUMUS CADANGAN FACKLER Rumus (2) yang telah kita turunkan sebelum ini disebut rumus fackler, pertama kali diperkenalkan oleh aktuaris AMERIKA David Parks Fackler. Untuk menyegarkan ingatan anda maka rumus tersebut disajikan lagi dibawah ini.



t 1V



tV



P x



t



kx



t



Fungsi Ux dan Kx dering disebut fungsi penilaian fackler. Proses perhitungan cadangan untuk sekelompok polis asuransi disebut penilaian (valuation). Rumus Fackler diatas amat berguna bila kita ingin menyusun suatu table cadangan yang mengharuskan kita menghitung cadangan untuk beberapa tahunan secara berurutan. Untuk menjelaskan hal ini dibawah ini diberi contoh penggunaannya. Contoh 8 Hitunglah dengan metode fackler cadangan akhir untuk lima tahun terakhir dari suatu asuransi endowmen berjangka 20 tahun sebesar 1 juta rupiah bagi seseorang berusia 30 tahun. Jawab Pada contoh 2 telah kita hitung bahwa P=40.963,96212 rupiah Bila dalam rumus fackler diatas kita masukan nilai t = 0, 1, 2, 3, dan 4 . maka kita peroleh



1V



P 30 106 . k30 42.138, 09 3.573,15 38.564,94



6.22



2V



1V



P 31 106.K31



79.528,90 1, 0288381



3.744,50



81.822,37 3.744,50 78.077,87



3V



2V



P 32 106.k32



119.041,83 1, 02990337



3.935,33



122.498, 05 3.935,33 118.562, 72 4V



3V



P 33 106.k33



159.526, 69 1, 0292407



4.137, 22



164.191,36 4.137, 22 160.054,53 5V



4V



P 34



106. k34



201.018,10 1, 0294785



4.369, 29



206.943,82 4.369, 29 202.574,53 Pemeriksaan hasil dengan cara prosfektif 5V 106 . A35:15 pa35:15



702.400,15 499.825, 63 202.574,52 Perbedaan hasil hanyalah karena pembulatan, jika perhitungan 5V betul tentunya perhitungan 4V, 3V dan sebelumnya juga tentu betul. Contoh 9 Buktikanlah secara aljabar dan secara verbal persamaan berikut



6.23



 STAT4331/MODUL 6



tV x



r



tV x .



1 E



r x



P . rU x



t



t



rK x



t



Bukti Bila kita ubah ruas kanan kedalam lambang komutasi dan kemudian disederhanakan, maka kita peroleh



tV x .



1 E



r r



p



t



u



k



P.r x t r x N Nx P x t Dx t r



Nx Nx Dlx t



Mx



t



Mx Dx



Dx P.



Nx Dx



Mr



t r



t



Mx



Dx



t r



P.r r



t x



Mx



t r



Mx Dx



r



t



Dx t Dx t n



t r



t



Nx



Mx



t r



Dx



t r



t r



U



.



t



Bila disatukan ruas kanan menjadi P Nx Nx t M x M x t P Nx Nx



t



t



Mx



t r



t r



t r



t r



k



t r



V



t x



Secara verbal:



x



x



tV x t



tV x / r E x t x t r



Kita tahu bahwa nE x merupakan factor diskonto terhadap bunga dan mortalitas (kematian), yaitu nE x adalah nilai tunai (pada usia x) dari suatu pembayaran sebesar 1 yang akan dibayarkan n tahun kemudian bila (x) mencapai n tahun kemudian adalah 1/ nE x . Dengan jalan yang sama,



tV x / r E e t menyatakan besar pembayaran yang akan dilakukan r tahun kemudian bila nilai tunainya pada saat x+t adalah tV x , cadangan akhir tahun ke t.



6.24



P. rux+t menyatakan nilai (beserta bunganya) dari seluruh premi yang telah dibayarkan sejak uisa x+t sampai x+t+r, sedangkan r kx+t menyatakan nilai 9beserta bunganya) dari seluruh santunan antara usia x+t dan x+t+r. jadi P. rux+t – rkx+t menyatakan penambahan cadangan sejak x+t sampai x+t+r. tV x yang dinilai r tahun kemudian ( tV x / r E x t ) ditambah pertambahan cadangan selama waktu x+t dan x+t+r memberikan nilai cdangan pada waktu x+t+r yaitu r+tVx. Cadangan, idealnya tentunya, selalu positif, akan tetapi, cadangan dapat pula neagtif. Hal ini dapat terjadi dalam hal asuransi yang mengecil, seperti dalam contoh berikut ini. Contoh 10 Suatu polis dikeluarkan bagi orang berusia 30 tahun dengan ketentuan sebagai berikut. Bila orang tersebut meninggal dalam tahun pertama santunannya 10 juta rupiah, bila dia meninggal antara usia 31 sampai 40 tahun santunannya 1 juta rupiah. Hitunglah cadangan akhir tahun pertama. Jawab Premi bersih tahunan dapat dihitung dari persamaan dasar 10 C30 C31 C32 ... C39 P . a30:10 106 D30



106. P



9 C30



M 30 D30



M 40



7.932, 667547 rupiah



Cara retrospektif



1V



P. u30 107.k30 8.160, 04 35.731,50 27.571, 46



Kebenaran hasil ini dapat diperiksa dengan cara prospektif, sebagai berikut



1V



107. A131:9



P a31:9



27.571, 42 Hasilnya sama, kecuali karena akibat pembulatan Suatu cadangan negatif tentunya harus dihindari oleh perusahaan asuransi, terutarna sekali karena tidak ada jarninan bahwa



 STAT4331/MODUL 6



6.25



si tertanggung akan terus rnembayar prerni asuransinya. Hal seperti itu akan rnerugikan perusahaan. Cadangan negatif dapat dihindari dengan cara rnemperpendek rnasa pembayaran premi. Dalam contoh di atas jangka waktu pernbayaran prerni harus diperpendek rnenjadi paling banyak dua kali. Suatu sifat penting dapat diturunkan dari cara perhitungan cadangan retrospektif. Bila dua polis asuransi yang berbeda dengan besar santunan yang sarna dan keduanya rnenggunakan tabel rnortalitas dan tingkat bunga yang sarna dan rnisalkan cadangannya rnasing-rnasing adalah



tv



P . t u x t k x dan



t v1



P1 . t u x t k x



Maka selisih kedua cadangan adalah



tV



tV 1



p



p1 .t u x



Terlihat bahwa selisih cadangan adalah selisih premi yang ditumpukkan (diakumulasikan ). Pengertian ditumpukkan disini berarti pengaruh bunga telah diperhitungkan. B. CADANGAN AWAL DAN CADANGAN RATAAN Sejauh ini kita selalu rnenghitung cadangan pada akhir tahun (rnaksudnya, tahun polis). Untuk tujuan pembukuan sering diperlukan perhitungan cadangan pada awal ataupun pertengahan tahun, ataupun pada suatu waktu t+h ( t bulat, 0 < h < 1 ). Cadangan yang dihitung pada perrnulaan tahun disebut cadangan awal, sedangkan pada pertengahan tahun disebut cadangan rataan; disebut cadangan rataan karena cadangan pertengahan tahun dapat dianggap sebagai rata-rata dari jurnlah cadangan awal dan cadangan akhi r. Cadangan awal tahun ke t, lambang ti ditentukan sebagai cadangan pada permulaan t ahun polis, tepat sesudah premi tahtm tersebut selesai dibayar. Di sini dimisalkan premi dibayarkan t ahunan, Jadi diperoleh t i t iV p



6.26



Bila pembayaran premi telah selesai (lunas) maka t i t 1V Suatu cadangan pada suatu waktu tertentu untuk asuransi biasa (seumur hidup) dengan santunan sebesar 1 (rupiah) dan dengan pembayaran premi tahunan dapat dinyatakan secara tepat dengan



t



hV



V1



P.1 h | ax



h 1 hpx



h 1 hq x t



t



h.A x t



1



t h



Rumus cara prospektif ini ternyata sulit dihitung dengan tepat. Rumus cara retrospektif untuk hal yang sama juga sulit dihitung dengan tepat. Karena itu biasanya digunakan cara hampiran (aproksimasi), misalnya dengan interpolasi, interpolasi yang paling sederhana ialah linear sebagai berikut. Bila, seperti diatas, t+hv mengatakan cadangan (akhir) pada waktu t+h, t bilangan bulat sedangkan 0