Sistem Koordinat Di R 3 [PDF]

Citation preview

Sistem Koordinat di 𝑅



Dalam dimensi 3 titik dinyatakan dengan 3 komponen, yaitu: absis, ordinat dan aplikat.



3



Bidang Oktan



Titik dan Vektor di Letak titik A(2,1,2)



3 𝑅



Grafik dalam ruang dimensi tiga Langkah menggambar grafik:



Latihan. 1. Gambarkan grafik 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2. Gambarkan grafik 𝑥 + 2𝑧 = 6 3. Gambarkan grafik 𝑥 + 3𝑦 = 9



𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4



𝑥 + 2𝑧 = 6



𝑥 + 3𝑦 = 9



Vektor dalam ruang dimensi tiga



Persamaan Garis Lurus di dimensi tiga



Suatu garis lurus merupakan perpotongan antara 2 bidang Sebagai contoh:



Contoh: Jawab:



Suatu garis lurus merupakan perpotongan antara 2 bidang Sebagai contoh: Sumbu X merupakan garis potong bidang XOY dan XOZ Persamaan sumbu X adalah: y=0, z=0 Persamaan sumbu Y adalah : x=0, y=0 Ada 3 Persamaan Garis di ruang: 1. Persamaan Vektor 2. Persamaan parametrik 3. Persamaan Cartesius/simetrik



Contoh: Persamaan garis lurus di bidang • Persamaan Cartesius garis di bidang yang memotong sumbu-x di titik P(0,c) dan mempunyai gradient m: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 • Persamaan parametrik: misal : 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑚𝑡 + 𝑐 • Persamaan vektor: 𝑟(𝑡) = 𝑡, 𝑚𝑡 + 𝑐 = 0, 𝑐 + 𝑡(1, 𝑚)



Contoh: Diberikan vektor arah 𝑣 = 1,2,0 dan garis melalui titik P( 2,3,5). Maka: Persamaan vektornya: 𝑟(𝑡) = 2,3,5 + 𝑡(1,2,0) 𝑥 =2+𝑡 Persamaan parametriknya: 𝑦 = 3 + 2𝑡 𝑧=5



Persamaan simetrik :



𝑥−2 1



=



𝑦−3 ;𝑧 2



=5



Latihan 1.



Letak garis lurus terhadap bidang



Letak garis lurus terhadap garis lurus lainnya Diberikan 2 garis dengan bilangan arah 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 dan 𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 mengapit sudut 𝛼 yang memenuhi 𝑎1 𝑎2 +𝑏1 𝑏2 +𝑐1 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎12 +𝑏12 +𝑐12 𝑎22 +𝑏22 +𝑐22



maka: 1. Kedua garis akan tegak lurus jika: 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 +𝑐1 𝑐2 =0 2. Kedua garis sejajar, jika 𝑎1 𝑏1 𝑐1 = = 𝑎2 𝑏2 𝑐2



Latihan:



1. Carilah bilangan-bilangan arah garis 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 5 = 0 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 2. Carilah persamaan bidang yang melalui T(1,2,-3) dan sejajar garis𝑥−1 𝑦+1 𝑧−7 𝑥+5 𝑦−2 𝑧+3 garis = = dan = = . 2



−3



3



3



−2



−1



3. Carilah persamaan garis melalui titik(2,-3,-5) dan tegak lurus bidang 6𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 + 2 = 0. 𝑥 −2 −2 4. Tunjukkan bahwa garis 𝑙: 𝑦 = −1 + 𝑡 1 terletak dalam 𝑧 7 1 𝑥 0 −1 bidang k: 𝑦 = 𝑡 −1 + 𝑠 0 . 𝑧 3 2



5. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus bidang 3𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧 − 25 = 0 dan memotong sumbu-x dan garis 𝑥 − 𝑦 − 1 = 2𝑥 + 𝑧 − 7 = 0. 6. Carilah persamaan garis yang memotong tegak lurus garis-garis 𝑔1 : 7𝑥 + 4𝑧 = 38, 7𝑦 − 5𝑧 + 37 = 0 dan 𝑔2 : 7𝑥 + 8𝑧 = 16,7𝑦 − 3𝑧 = 15. 7. Carilah jarak garis-garis 𝑔1 : 7𝑥 + 4𝑧 = 38, 7𝑦 − 5𝑧 + 37 = 0 dan 𝑔2 : 7𝑥 + 8𝑧 = 16,7𝑦 − 3𝑧 = 15.