Sistem Persamaan Non Linier [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Adapun yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Ada beberapa alasan menggunakan metode numerik, yaitu (Susy, 2006) : 1. Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. 2. Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalanpersoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.



1



3. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini. 4. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Prinsip-prinsip metode numerik adalah sebagai berikut : 1. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. 2. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. 3. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. 4. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995).



2



Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006). Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya



timbul kesalahan (error). Pada



penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. 1.2



Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut diatas, maka permasalahan dalam



makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan berbagai metode dengan program komputer. 1.3



Tujuan Penulisan Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah ini



adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang digunakan. 1.4



Manfaat Penulisan Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya



adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif dan efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.



3



BAB II TINJUAN PUSTAKA 2.1



Persamaan Non-Linear Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan



model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik. Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.



Dengan pembatasan



interval ini,



secara



cermat dapat



dicari x =



Gambar 2.1 Grafik non linier



yang



memberikan nilai f ( ) = 0 sebagai berikut : 1.



Bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.



2.



Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda :



4



a.



Jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti



di [a,m]



b.



Jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti



di [n,b] proses



pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai



yang



memberikan f( ) = 0. Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode Regula Falsi beserta cara menangani berbagai kasus yang disertakan. 2.2



Successive Substitution Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik



tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yang diharapkan akan konvergen. Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk f(x) = 0 dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara sebagai berikut: 1. Mengubah persamaan menjadi bentuk X = g(x) 2. Dimulai dengan menebak nilai x0 awal untuk mengevaluasi nilai g(x0) dan menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi. X(i+1) = g(xi)



dimana i =1,2,3,…



Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana



|x i+1−x i|≤ ϵ



5



Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin konvergen, adalah: nilai dari



dg ( x ) 1 dx , pada nilai tebakan awal xo.



Gambar 2.2 Grafik Direct Substitution (Convergence) Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang ditunjukkan pada gambar.



Gambar 2.3 Direct Substitution (Divergence) Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2. Contoh: 1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:



6



x 3+2 x +2=10 e−2 x



2



Jawab: Ubah persamaan menjadi bentuk X = g(x)



X = g(x) =



x 3 +2 x+2 10 −1 ln( ¿) 2 √¿



Misalkan x0 = -0.5 Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel. X



g(x) 1.10365



-0.5 1.10365



7 0.54244



7 0.54244



5 0.75020



5 0.75020



8 0.68403



8 0.68403



9 0.70620



9 0.70620



8 0.69890



8 0.69890



5 0.70132



5 0.70132



5 0.70052



5 0.70052



5 0.70078



5 0.70078



9 0.70070



9 0.70070



2 0.70073



2 0.70073



1 0.70072



1



1 7



0.70072



0.70072



1 0.70072



4 0.70072



4 0.70072



3 0.70072



3



4



2. Temukan penyelesaian dari: f(x)= x (tan x) - 1, Untuk 0 < x < π/2 Jawab: Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8 Cari g(x) X=g(x) X=1/tan x



Cek konvergensi, ternyata



dg ( x ) dx >1 maka tidak dijamin



konvergen. Di coba subtitusi



x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan



awal Maka menghasilkan x1=2,4142 atau 0,7 π, sehingga berada di luar range 0 < x < π/2 atau divergen untuk g(x) yg lain: x=tan-1(1/x) Cek konvergensi, ternyata Di coba subtitusi



dg ( x ) dx