Sistim Bilangan Matematika [PDF]

Citation preview

TKS 4002 Matematika I



Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya



Materi 1. 2. 3. 4. 5. 6.



Bilangan Riil Notasi Selang Pertidaksamaan Nilai Mutlak Sistim Koordinat Cartesius (Siku-Empat) Grafik Persamaan



1. Bilangan Riil 1.1. Himpunan Bilangan Riil  Bilangan Asli, biasa ditulis dengan lambang N {1, 2, 3, …}, terdiri dari Bilangan Genap {2, 4, 6, …}, Ganjil, {1, 3, 5, …}, Bilangan Komposit {4, 6, 8, 9, …}, dan Bilangan Prima {2, 3, 5, …}.  Bilangan Cacah, biasa ditulis dengan lambang C {0, 1, 2, 3, …}.  Bilangan Bulat, biasa ditulis dengan lambang Z {… , 2, -1, 0, 1, 2, …}.



1. Bilangan Riil (lanjutan) 



 



Bilangan Rasional, biasa ditulis dengan lambang Q adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0, sering juga disebut dengan Bilangan Pecahan. Bilangan Irrasional, biasa ditulis dengan lambang R\Q adalah bilangan riill yang bukan rasional. Bilangan Riil, biasa ditulis dengan lambang R.



1. Bilangan Riil (lanjutan) 1.2. Hubungan antar Bilangan Riil  Dalam notasi himpunan : NCZQR  Dalam diagram Venn :



N C Z Q R



N=asli C=cacah Z=bulat Q=rasional R=riil



1. Bilangan Riil (lanjutan) 1.3. Sifat Aljabar Bilangan Riil  Tertutup a+bR axbR  Komutatif a+b=b+a axb=bxa



(tertutup pada penjumlahan) (tertutup pada perkalian)



(komutatif pada penjumlahan)



(komutatif pada perkalian)



1. Bilangan Riil (lanjutan) 







Asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c Distributif a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a x (b - c) = (a x b) - (a x c)



(asosiatif pada penjumlahan)



(asosiatif pada penjumlahan)



(asosiatif pada penjumlahan) (asosiatif pada pengurangan)



1. Bilangan Riil (lanjutan) 







Elemen identitas penjumlahan dan perkalian a + 0 = a, 0 = elemen identitas penjumlahan a x 1 = a, 1 = elemen identitas pekalian Invers penjumlahan dan perkalian a + (-a) = 0, -a = invers penjumlahan/unsur negatif a x (1/a) = 1, a ≠ 0, 1/a = invers perkalian/ kebalikan



1. Bilangan Riil (lanjutan) 1.4. Sifat Urutan Bilangan Riil  Sifat Trikotomi Jika x dan y bilangan riil, maka satu dari hal berikut berlaku : xy  Sifat Transitif Jika x < y dan y < z maka x < z



1. Bilangan Riil (lanjutan) 







Sifat Penambahan x < y jika dan hanya jika x + z < y + z Sifat Perkalian x < y dan z > 0 jika dan hanya jika xz < yz x < y dan z < 0 jika dan hanya jika xz > yz



2. Notasi Selang 







Bilangan riil memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang ), dan sifat kelengkapan. Sifat kelengkapan memungkinkan untuk menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan riil.



2. Notasi Selang (lanjutan)







Pada garis bilangan riil, setiap titik menyatakan sebuah bilangan riil. Sebaliknya, setiap bilangan riil dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan riil. Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta



2. Notasi Selang (lanjutan) 



Notasi selang berikut yang sering digunakan : (a,b) = {x  R  a < x < b} [a,b] = {x  R  a  x  b} [a,b) = {x  R  a  x < b} (a,b] = {x  R  a < x  b} (-,b) = {x  R  x < b} (-,b] = {x  R  x  b} (a,) = {x  R  x > a} [a,) = {x  R  x  a}



3. Pertidaksamaan  







Dalam kalkulus, sering kali ditemui suatu pertidaksamaan (dalam x), seperti x2 < x. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang ”memenuhi’ pertidaksamaan tersebut. Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu pertidaksamaan disebut sebagai himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.



3. Pertidaksamaan (lanjutan) Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan x2 < x. Jawab : Pertidaksamaan di atas akan diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar dan urutan bilangan riil. Perhatikan bahwa : x2 < x ↔ x2 – x < 0 ↔ x(x – 1) < 0 Pembuat nol dari x(x – 1) adalah 0 dan 1. Tanda dari x(x – 1) pada garis bilangan riil adalah :



3. Pertidaksamaan (lanjutan) Nilai yang dicari adalah nilai x yang membuat x(x – 1) < 0 (yaitu, yang membuat x(x – 1) bernilai negatif), karena itu himpunan penyelesaiannya adalah {x  R 0 < x < 1} atau selang (0,1). Catatan : Lambang ↔ berarti ‘setara dengan’. Dua pernyataan setara apabila kebenaran pernyataan yang satu mengakibatkan kebenaran pernyataan lainnya.



4. Nilai Mutlak Lambang |x| menyatakan nilai mutlak bilangan x, yang didefinisikan sebagai : |x| = x, jika x > 0 |x| = 0, jika x = 0 |x| = –x, jika x < 0 Jelas bahwa |x| ≥ 0 untuk sembarang x  R. Selain itu, |xy| = |x|.|y|, |x/y| = |x|/|y|, dan |x+y| ≤ |x|+|y| untuk setiap x, y  R. Juga, |x|2 = x2 (jadi, |x| = √x2); |x| < a ↔ –a < x < a; dan |x| < |y| ↔ x2 < y2.



4. Nilai Mutlak (lanjutan) Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan |1/x – 3| > 6. Jawab: |1/x – 3| > 6 ↔ |(1 – 3x)/x| > 6 ↔ |1 – 3x |/|x| > 6 ↔ |1 – 3x| > 6.|x| (x ≠ 0) ↔ (1 – 3x)2 > 36x2 ↔ 27x2 + 6x – 1 < 0 ↔ (9x – 1)(3x + 1) < 0 ↔ -1/3 < x < 1/9 Mengingat x ≠ 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah : (-1/3,0) U (0,1/9)



5. Sistim Koordinat Cartesius 







Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y) yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0). Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiap titik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang.



5. Sistim Koordinat Cartesius (lanjutan) 



r (a,b)



6. Grafik Persamaan Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah : Ax + By + C = 0 dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai : y = mx + c dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah : y – y0 = m(x – x0)



6. Grafik Persamaan (lanjutan) Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y = x2, grafik persamaan dapat digambar pada sistim koordinat Cartesius. Terlihat bahwa grafik y = x2 simetris terhadap sumbu-y.



y y = x2



x



Latihan 



Latihan (lanjutan) 3. 4.



5.



6.



Buktikanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (5,3), (-2,4), dan (10,8) adalah segitiga sama kaki. Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah ruas-ruas AB dan CD, dengan A = (1,3), B = (2,6), C = (4,7), dan D = (3,4). Carilah sebuah persamaan untuk tiap garis berikut dan tulislah dalam bentuk Ax + By + C = 0 : a. Melalui (2,3) dengan kemiringan 4. b. Melalui (4,1) dan (8,2). Tuliskan persamaan garis yang melalui (3,-3) yang : a. Sejajar garis y = 2x + 5 b. Tegak lurus garis y = 2x + 5



Contoh 4 Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan C(-8,-2) adalah titik-titik sudut dari segitiga sama kaki ABC. Jawab Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh IABI=√221 Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, maka dapat dikatakan segitiga tersebut di atas adalah segitiga sama kaki.



Contoh 5 Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4) terletak pada satu garis lurus Jawab Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC Dengan rumus jarak dua titik diperoleh AB =4√5 , BC = 2√5 dan AC = 6√5 , sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B, dan C terletak pada satu garis lurus



Garis l1 dan l2 //  m1=m2 Garis l1 dan l2   m1m2=-1



Latihan 











Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketahui berikut ini: – P(4,5) dan Q(-1,3) – P(8,-2) dan Q(3,-1) – P(-1,-2) dan Q(-3,-8) – P(5,3) dan Q(2,-5) Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik sudutnya adalah – (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2) – (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6) Tunjukkan apakah segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini adalah sama sisi. – A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6) – K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2) – P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7) – U(2,4), V(5,1) dan W(6,5) – U(1,1), V(5,1) dan W(5,5)











Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus dengan menggunakan metode jarak. – (0,4), (3,-2), dan (-2,8) – (-2,3), (-6,1), (-10,-1) – (1,2), (-3,10), (4,-4) – (1,3), (-2,-3), (3,7) Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y) dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.







Tentukan x







Tentukan apakah titik2 berikut membentuk segitiga siku-siku atau tidak?



Terima kasih dan



Semoga Lancar Studinya!