![Slide - Kalkulus Vektor [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/slide-kalkulus-vektor.jpg)
14 0 201 KB
PENDAHULUAN Skalar : Adalah suatu besaran yang dapat dinyatakan dengan bilangan tunggal. Contoh : Tinggi = 1.75 m, Temperatur = 400 C, Tegangan = 110 volt. Vektor : Adalah suatu besaran yang dinyatakan dengan dua bilangan tunggal. Dimana bilangan yang pertama menyatakan panjang (magnitude) dan bilangan kedua menyatakan arah. Vektor dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak tebal. Contoh : a, b, c dan seterusnya. Vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah.
Titik Ujung a |a|
(Norm Euclidean)
Titik Pangkal Unit Vektor (Vektor satuan), adalah Vektor yang panjangnya satu satuan. Dua vektor dikatakan sama jika panjang & arahnya sama. Contoh-contoh :
a
a=b
b
a
a
b
ab |a| = |b|
b ab |a| |b|
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 1 dari 24
ab
Vektor dalam sistem koordinant cartesian dinyatakan sebagai berikut : a = ( a1, a2 )
Koordinat cartesian dua dimensi.
b = ( b1, b2, b3 )
Koordinat cartesian tiga dimensi.
z
y
a3
a
a2
a2
a1 a1
x
a y
x
a1, a2, a3 disebut sebagai komponen-komponen vektor a. Panjang vektor didefinisikan sebagai : | a | a12 a22 a32
Disebut sebagai vektor nol, jika |a| = 0 yang berarti a1 = a2 = a3 = 0. Untuk vektor yang melalui dua titik P dan Q, maka panjang vektor dinyatakan sebagai berikut :
z Dimana : a1 = x2 – x1; a2 = y2 – y1;
Q a3
a3 = z2 – z1
a
sehingga :
P a1
a = [ x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z3 ]
a2 |a|=
( x 2 x1)2 ( y 2 y1)2 ( z 2 z1)2
y x Jadi dua vektor dikatakan sama jika komponennya-komponennya sama. Jika a = [a1 , a2 , a3 ] dan b = [ b1 , b2 , b3 ]. Maka a = b apabila :
a1 = b1 , a2 = b2 , a3 = b3.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 2 dari 24
PENJUMLAHAN VEKTOR Jumlahan dua vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b setelah ujung vektor ditempelkan dengan pangkal
vektor b.
b
a a
b c
y
a = ( a 1 , a2 ) b = ( b1 , b2 )
b1 a1
b c1
Maka : c=a+b
a
c = ( a1 + b1 , a2 + b2 )
c2 a2
x
b2
Jumlahan dua vektor
adalah suatu vektor baru yang komponen-
komponennya berasal dari jumlahan komponen vektor asal secara bersesuaian“ Jika
: a = [ a1 , a2 , a3 ] dan b = [ b1 , b2 , b3 ]
maka
: c = a + b = [ c1 , c2 , c3 ].
dimana
: c1 = a1 + b1 ; c2 = a2 + b2 ; c3 = a3 + b3.
Sifat Penjumlahan Vektor : a). a + b = b + a
Komutatif
b). ( u + v ) + w = u + ( v + w )
Asosiatif
c). a + 0 = 0 + a = a
Elemen netral
d). a + (-a) = 0
Elemen invers
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 3 dari 24
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR
Perkalian vektor dengan skalar didefinisikan sebagai berikut : Untuk sembarang vektor a dengan skalar , maka : -
Panjang a = | || a |.
-
Jika a 0 dan > 0, a searah dengan a.
-
Jika a 0 dan < 0, a berlawanan arah dengan a.
-
Jika a = 0 dan = 0 atau keduanya, maka a = 0.
Untuk vektor a dalam koordinat cartesian Jika a = [ a1 , a2 , a3 ] maka a = [a1 , a2 , a2 ] Sifat-sifat Perkalian Skalar dengan Vektor : a) a = a
Komutatif
b) ( ka ) = (k ) a
Asosiatif
c) ( a + b ) = a + b
Distributif
d) ( + k ) a = a + ka
Distributif
e) 1 . a = a
Elemen netral
f) 0 . a = 0
Elemen central
g) ( -1 ) a = -a
Elemen invers
Group Skalar dan Group Vektor : Group didefinisikan sebagai ‘Suatu himpunan dari elemen-elemen skalar atau vektor yang terdefinisi atas sekurang-kurangnya satu operasi antar elemen tersebut,’ dan dipenuhi sifat sebagai berikut : Tertutup. Asosiatif. Komutatif. Ada elemen netral. Tiap elemen mempunyai invers.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 4 dari 24
RUANG VEKTOR
Adalah himpunan elemen-elemen vektor yang terdefinisikan sekurangkurangnya dua operasi yang membentuk groupdan berlaku sifat distributif dan asosiatif gabungan. Distributif operasi 1 terhadap operasi 2. Distributif operasi 2 terhadap operasi 1. Asosiatif. Contoh : Tunjukkan bahwa operasi perkalian skalar vektor dan operasi penjumlahan vektor pada koordinant katersian Ruang vektor.
Kombinasi Linier : Untuk sembarang vektor a1 , …, am didalam ruang vektor v, maka ungkapan : 1a1 + 2a2 + … + mam. 1, …, m skalar sembarang. Disebut sebagai “ Kombinasi Linier.“
Ketergantungan Linier : Jika kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk i = 0 ( i = 1, … , i = m ), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘Vektor-vektor bebas linier.’ Jika sekurang-kurangnya terdapat satu 1 = 0, dimana kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘Vektor-vektor bergantungan linier.’ 1a1 + 2a2 + … + mam = 0 Berlaku untuk 1 = 2 = … = m = 0
vektor-vektor bebas linier.
Terdapat minimal satu 1 0
vektor-vektor tidak bebas linier.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 5 dari 24
Contoh : Tunjukkan bahwa 2 vektor sembarang dalam bidang datar adalah bebas linier.
Basis dan Dimensi Ruang Vektor : Suatu vektor riil R memiliki dimensi n ditulis sebagai Rn jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam R yang saling bebas linier. n buah vektor bebas linier dalam R disebut sebagai ‘vektor basis’. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam R selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis. Vektor basis mempunyai panjang 1 unit.
Contoh : Dalam ruang vektor berdimensi 2 terdapat 2 buah vektor basis. Dalam koordinat cartesian vektor-vektor basis ini dinyatakan sebagao i, j. Untuk vektor-vektor dalam koordinat cartesian 3 dimensi, vektor basis masing-masing i, j, k.
Menyatakan Vektor melalui Vektor Basis : Tiap vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis. Contoh : Dalam ruang tiga dimensi R3 : A = [ a1 , a2 , a3 ] = a1i + a2j + a3k.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 6 dari 24
DOT PRODUCT
Hasil kali titik ( dot product ) atau hasil kali skalar atau hasil kali dalam (inner product) dari dua buah vektor adalah skalar yang nilainya :
a b a . b = | a || b | cos ; a 0 ; b 0 ; 900 a . b = 0 ; jika a = 0 atau b = 0 a . b = 0 ; bila a 0 , b 0 , maka = 900 Orthogonalitas dari Dua Vektor : Dua vektor tidak nol dikatakan Orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol. Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut : a .a = | a || a | cos 00 = | a |2 | a | = cos =
a.a
a.b a.b | a || b | a.a b.b
Sifat Perkalian Titik terhadap Perkalian Skalar dengan Vektor : Untuk setiap vektor sembarang a, b, c dan skalar 1 , 2 berlaku : (1 a + 2 b ) . c = 1 . a . c + 2 . b . c Distributif linier. a. b = b . a
Komutatif (simetri).
a. a > 0
Definit Positif
a . a = 0 jika dan hanya jika a = 0
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 7 dari 24
Beberapa Formulasi Khusus akibat Pendefinisian tersebut : | a . b | < | a || b |
Pertidaksamaan Schwarz
|a+b| axb=-(bxa)
Tidak komutatif
> ( a x b ) x c a x ( b x c )
Tidak asosiatif
> ax(b+c)=axb+axc (a+b)xc=axc+bxc
Distributif terhadap penjumlahan
> ( a ) x b = ( a x b ) = a x ( b ) Translasi Perkalian Silang Dinyatakan Dalam Komponennya : Jika diketahui dua buah vektor a = [ a1 , a2 , a3 ] dan b = [ b1 , b2 , b3 ], maka perkalian silang antar keduanya v = a x b, menghasilkan v = [ v1 , v2 , v3 ] dimana v1 = a2 b3 – a3 b2 ;
v2 = a3 b1 – a1 b3
;
v3 = a1 b2 – a2 b1
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 10 dari 24
Dalam formulasi yang lain, hasil kali silang dapat diformulasikan dengan formulasi berikut : i
j
k
a x b = a1 a 2 a3 b1 b 2 b3 Contoh : Diketahui a = [ 4 , 0 , -1 ] dan b = [ -2 , 1 , 3 ], dengan menggunakan koordinat tangan kanan, hitunglah v = a x b. i
j
k
a x b = 4 0 1 i 10 j 4k [ 1, 10 , 4 ] 2 1 3 Hasil Kali Triple Skalar : Adalah hasil kali tiga buah vektor yang menghasilkan skalar. Hasil kali ini dinotasikan sebagai : a1 a 2 (a b c) = a . (b x c) = b1 b 2 c1 c 2
a3 b3 c3
Sifat-sifat hasil kali Triple Skalar : > (a b c) = - (b a c ) = (b c a) = - (c b a) = ( c a b) = - (a c b) Penukaran Tempat > a . (b x c) = ( a x b ) . c
Komutatif
> (a b c) = (a b c) = (a b c) = (a b c) Tidak distributif terhadap perkalian skalar. > a . ( b x c ) = | a | | b x c | cos . isi dari paralelepidium Hasil Kali lainnya : > b x (c x d) = (b . d)c – (b . c)d > (a x b) . (c x d) = (a . c)(b . d) – (a . d)(b . c) > (a x b) x (c x d) = (a b d)c – (a b c)d BAB V Kalkulus Vektor, halaman 11 dari 24
KALKULUS DIFFERENSIAL VEKTOR
Fungsi Skalar dan Medan Skalar : Fungsi skalar adalah suatu relasi yang menghubungkan tiap titik berharga riil pada daerah asal (range) kepada titik-titik berharga riil di daerah hasil (domain) D. Medan skalar adalah suatu daerah hasil ( Domain ) akibat dari pemetaan suatu sungsi skalar. Contoh : Fungsi yang menyatakan jarak dari suatu titik (x , y , z ) sembarang dalam koordinat cartesian ke titik ( x0 , y0 , z0 ). > f( x , y , z ) =
( x x 0 )2 ( y y 0 )2 (z z 0 )2
> Medan skalarnya adalah semua titik dalam ruang tiga dimensi tersebut. > Jika sistem koordinatnya diganti, maka bentuk fungsinyapun berubah, sedangkan medan skalarnya tetap. Catatan : Medan skalar selalu tetap bentuknya. Fungsi skalar umumnya berubah jika sistem koordinatnya berubah, karena itu dalam formulasi yang umum ( tidak tergantung sistem koordinat ) fungsi skalar ditulis sebagai f(P).
Fungsi Vektor dan Medan Vektor : Jika setiap titik R dalam daerah asal (range) direlasikan dengan titik P pada daerah hasil ( domain ) oleh vektor v, maka himpunan vektorvektor yang merelasikan tersebut disebut sebagai fungsi vektor, dituliskan sebagai v(P). Titik P dapat berupa titik-titik pada lengkungan, pada suatu permukaan atau pada ruang tiga dimensi. Tempat kedudukan titik-titik tersebut disebut sebagai medan vektor. BAB V Kalkulus Vektor, halaman 12 dari 24
Contoh : MEDAN VEKTOR dan FUNGSI VEKTOR
Medan Garis Singgung
Medan Vektor Normal Suatu Permukaan
P P0
Medan Vektor Perambatan Benda Berputar
Medan Gravitasi
Fungsi Pada Medan Gravitasi : Vektor gaya P adalah vektor dengan arah P P0 yang berupa gaya gravitasi. Vektor jarak r = ( x – x0 ) i + ( y – y0 ) j + ( z – z0 ) k unit vektor ke arah : P P0 =
1 r sehingga, |r |
p = | p | (-
1 c r) = | (x – x0) i + (y - y0) j + (z – z0) k | 3 |r | |r |
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 13 dari 24
Kalkulus Vektor : Konvergensi : Suatu barisan tak hingga dari vektor-vektor an , n = 1, 2, 3, …; Dikatakan konvergen jika terdapat suatu vektor a sedemikian hingga : _
_
Lim | an a | 0
n
Vektor a disebut vektor limit, dan ditulis sebagai : _
_
Lim an a
n
Demikian pula untuk suatu fungsi vektor v(t) dari perubah riil t dikatakan mempunyai limit l dan t mendekati t0, jika v(t) didefinisikan dalam selang waktu yang mengandung t0 atau tepat di sisi t0 (dalam lingkup t0). _
Lim | v( t ) l | 0
t t 0
_
Lim v( t ) l
t t 0
Kontinyuitas : Suatu fungsi vektor v(t) dikatakan kontinue pada t=t0 jika fungsi tersebut terdefinisi di sekitar t0 dan berlaku : _
_
Lim v( t ) v( t 0 )
t t 0
Mempunyai limit pada t t0.
Jika digunakan koordinat cartesian, v(t) = v1(t)i + v2(t)j + v3(t)k v(t) akan kontinyu pada t = t0 jika dan hanya jika tiap-tiap komponennya kontinyu pada t = t0.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 14 dari 24
Turunan Fungsi Vektor : Suatu fungsi vektor v(t) dikatakan dapat diturunkan pada titik t jika harga limit berikut ada ( berwujud ).
v(t) v(t+t) v(t)
v(t+t)-v(t)
dv v( t t ) v( t ) v ' ( t ) Lim dt t t 0
Dalam koordinat cartesian, turunan ini dapat ditulis sebagai turunan tiaptiap komponennya v(t) = [ v1(t) , v2(t) , v3(t) ] Beberapa aturan penurunan fungsi vektor :
( v ) = v
( u + v ) = u + v
( u . v ) = u.v + u.v
( u x v ) = u x v + u x v
( u v w ) = ( u v w ) + ( u v w ) + ( u v w )
( = konstan)
Turunan Parsial dari Fungsi Vektor : Jika tiap-tiap komponen vektor dari fungsi vektor merupakan fungsi-fungsi dengan n perubah ( variabel bebas ) yaitu t1 , t2 , … , tn dan dapat dideferensialkan maka turunan parsial dari v terhadap dinyatakan sebagai berikut : v v v1 v 2 i j 3 k t1 t1 t1 t1 BAB V Kalkulus Vektor, halaman 15 dari 24
Jika selanjutnya akan diturunkan terhadap tm, maka : 2v 3 2 v1 2v 2 2v i j k t1t m t1t m t1t m t1t m
Contoh turunan biasa : a) v(t) = a + t2b
( a dan b vektor konstan ).
v(t) = 2tb. b) v(t) = ( cos t + 2 )i + sin2 t j v(t) = -sin t i + 2 ( sin t cos t ) j Contoh turunan Parsial : v( t1 , t2 ) = a cos t1 i + a sin t1 j + t22k ; a = skalar v a sin t1i a cos t1j t1 v 2t 2k t 2
Menyatakan Kurva dengan Fungsi Vektor : Dengan menggunakan koordinat cartesian, suatu kurva dapat dinyatakan dengan fungsi vektor berikut : R(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] = x(t)i + y(t)j + z(t)k
z
z
b
r(t)
A
a
y
y x
x Kurva secara umum
Kurva Garis Lurus r(t) = a + bt (a dan b vektor konstan)
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 16 dari 24
Contoh : Tentukan fungsi vektor dari kurva garis lurus di bidang x – y yang melalui titik A ( 3 , 2 , 0 ) dengan koefisien arah 0,5. Diketahui, Vektor a = ( 3 , 2 , 0 ) vektor b = ( 1 , 2 , 0 ) atau ( 2 , 4 , 0 ) dan lainnya. ( b vektor arah ). Sehingga : r(t) = a + tb = [ 3 , 2 , 0 ] + [ 1 , 2 , 0 ] v(t) = [ 3 + t , 2 + 2t , 0 ] atau
r(t) = ( 3 + t ) i + ( 2 + 2t ) j
Contoh : Kurva ellips, lingkaran dinyatakan sebagai : r(t) = (a cos t) i + (b sin t) j
(Ellips).
R(t) = (a cos t) i + (a sin t) j
(Lingkaran)
(a dan b adalah skalar konstan). Kurva Datar dan Kurva Simpul : Disebut kurva datar bila seluruh bagian kurva dapat diletakkan pada sebuah bidang datar, disebut pula sebagai kurva dalam bidang. Sebuah kurva selain kurva datar disebut kurva simpul. Contoh : Kurva simpul berupa heliks Lingkaran dinyatakan oleh fungsi vektor berikut : R(t) = ( a cos t ) i + ( a sin t ) j + c t k ( a, b, c adalah skalar konstan )
z
x
y
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 17 dari 24
Garis Singgung, Panjang Busur SebuahKurva : Vektor singgung sebuah kurva adalah turunan pertama dari fungsi vektor yang membentuk kurva. r ' ( t ) Lim [r( t t ) r( t ) t 0
2
P 1
x
Untuk suatu titik tertentu P, vektor singgung ditulis sebagai : r ' = r ' (p) Dengan unit vektornya u =
1 | r' |
r'
Vektor posisi pada titik P ditulis sebagai r(p), sehingga persamaan garis
singgung pada titik P yang searah dengan vektor singgung adalah : q( ) r(p)
r ' (p) | r' |
r(p) dan r(p) masing-masing vektor posisi dan vektor singgung di titik P. w = Perubah bebas. Panjang Busur S sebuah kurva : t
s( t ) 0
r '.r 'dt
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 18 dari 24
Contoh : Dapatkan turunan dan panjang busur dari kurva heliks-lingkaran mulai
t = 0 s/d t=t.
Kurva heliks-lingkaran r(t) = a cos t i + a sin t j + ct k Turunannya r(t) = -a sin t i + a cos t j + ct k. Didapatkan r . r = a2 + c2 t
Panjang busur s 0 a 2 c 2 dt a 2 c 2 t Fungsi dengan Beberapa Perubah :
Untuk setiap = f( x, y) dan x(t), y(t) adalah fungsi kontinyu yang
mempunyai turunan dalam domain D dan T, maka : d dx dy dt xdt ydt
Demikian pula untuk = f( x, y, z ) dan x(t), y(t), z(t) masing-masing
adalah fungsi t, maka turunan w terhadap t : d dx dy dz dt xdt ydt zdt
Jika = f( x, y, z ) sedangkan x = fx(u , v) ; y = fy(u , v) ;z = fz(u , v) atau
dapat pula ditulis sebagai berikut : = f[ x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ] Maka turunan parsial terhadap u dan v adalah : x y z v xv yv zv x y z u xu yu zu
Untuk u(t) dan v(t), maka : d du dv dt udt vdt
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 19 dari 24
Contoh : a) Carilah b) Carilah
dari = x2 + y2 + z2 ; x = sin t ; y = t2 ; z = 5; dt dari = x2 + y2 , dan u v t
Dimana x = u + v dan y = u - v, v(t) = e3t dan u(t) = e-2t Gradien dan Turunan Berarah dari Medan Skalar :
Operator nabla (del), didefinisikan sebagai :
i j z x y z
Gradien sustu fungsi vektor, jika suatu fungsi vektor ditulis sebagai
r=
f(x , y , z) maka gradien dari f didefinisikan : Grad f = f
f f f i j k x y z
Turunan Berarah : fungsi vektor r(t) dapat pula dinyatakan sebagai fungsi dari panjang busurnya (s) yaitu dengan mensubstitusikan harga t dengan s melalui hubungan : t
s 0
r ' . r ' dt f ( t )
t g(s)
Sehingga r(t) x(s) i + y(s) j + z(s) k = f [ x, y, z ] Turunan berarah didefinisikan sebagai turunan fungsi vektor terhadap busurnya (arah busur), dinotasikan sebagai : Db f
Jika
didefinisikan
bahwa,
df fdx fdy fdz ds xds yds zds dr dx dy dz i j k b, ds ds ds ds
maka
berarahnya dapat dinyatakan sebagai berikut (a vektor arah) : Db f
df (grad f ).b ds
atau
1 Da f (grad f ).( a) |a|
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 20 dari 24
turunan
Contoh : Carilah turunan berarah dari suatu fungsi vektor : F(x, y, z) = 2x2 +3y2 + z2 di titik P(2, 1, 3) searah dengan vektor a = i – 2k. Sifat Khusus dari Gradien : Suatu kurva dalam ruang dapat dinyatakan sebagai : Fungsi vektor r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] Fungsi skalar f( x, y, z ) = c Jika didefensialkan terhadap t, maka : f ' f ' f ' x y z 0 x y z (grad f ).r ' 0
r ' grad f
( tampak bahwa gradien menyatakan normal dari suatu kurva dalam ruang) Contoh 1 : Carilah fungsi vektor yang merupakan normal dari kurva : F( x , y ) = ln ( x2 + y2 ) Contoh 2 : Carilah vektor normal (unit vektor) dari kerucut putas pada : z2 = 4( x2 + y2 ) titik P ( 1, 0, 2 ) Operator Laplace dan Persamaan Laplace : Operator Laplace dinotasikan sebagai 2 atau (nabla kuadrat), yang didefinisikan : 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
Operasi operator Laplace terhadap suatu fungsi skalar f( x, y, z ) disebut persamaan Laplace, yaitu : 2
f ( x, y, z) 0
atau
2f x 2
2f y 2
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 21 dari 24
2f z 2
0
Divergensi Medan Vektor : Jika v(x, y, z) adalah fungsi vektor dengan komponen v1, v2, v3 dan x, y, z adalah koordinat cartesian, maka fungsi : div v
v1 v 2 v 3 x y z
Disebut sebagai divergensi dari fungsi vektor v(x, y, z) Dapat ditunjukkan bahwa : div v = . v dan div (grad f) = 2 . f ( buktikan !) Contoh : Dapatkan div v dari v = 3xzi + 2xyj + yz2k. Curl Sebuah Medan Vektor : Jika x, y, z adalah koordinat cartesian sistem tangan kanan, dan v( x, y, z ) adalah fungsi vektor dengan komponen-komponen v1, v2, v3 curl dari v didefinisikan sebagai :
curl v = xv =
_
_
_
i x v1
j y v2
k z v3
v v v v v v curl v = 3 2 i 1 3 j 2 1 k z z x x y y
Contoh : Dapatkan curl dari v = yzi + 3xzj + zk Contoh 2 : Pada perputaran benda tegar dalam ruang mempunyai medan vektor v = w x r jika w = k dan r = xi + yj, dapatkanlah curl dari v, dan tunjukkan bahwa searah dengan w. ( Hal ini memberikan pengertian bahwa curl menyatakan rotasi perambatan )
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 22 dari 24
Sifat Kekekalan Curl : Panjang dan arah curl bebas terhadap pilihan tertentu dalam koordinat cartesian ruang.
Transformasi bentuk Grad, Div dan Curl :
Koordinat Kurva Linier :
Dalam koordinat cartesian sumbu x, y, z dapat ditulis sebagai berikut : x = x1 ; y = y2 ; z = z3
Hubungan x1, y2, z3 dalam koordinat silinder r, , z adalah : x1 = r cos ; y2 = r sin ; z3 = z
Hubungan x1, y2, z3 dalam koordinat bola r, , adalah : x1= r cos sin ; y2 = r sin sin ; z3 = r cos
Transformasi Linier dari Gradien : a) Dalam koordinat silinder, gradien dinyatakan sebagai : grad f = f = b)
f 1 f 1 f u v w r r r z
Dalam koordinat bola, gradien dinyatakan sebagai : grad f f
f 1 f 1 f u v w r r sin r
Transformasi Linier dari Divergensi : a) Dalam Koordinat silinder : div F .F
1 1 F2 F3 (rF1) r r r z
b) Dalam koordinat bola : div F .F
1 2 1 F2 1 sin (r F1) (sin F3 ) 2 r r sin r sin sin r
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 23 dari 24
Transformasi Linier dari Persamaan Laplace : a) Dalam bentuk koordinat silinder : 1 f 1 2f 2f f (r ) r r r r 2 2 z 2 2
b) Dalam entuk koordinan bola : 2 f 1 2f 1 2 f cos f f r 2 r r r 2 sin 2 2 r 2 2 r 2 2
2f
Transformasi Linier dari Curl : h1 u h2 v h3 w 1 Curl F h1 h2 h3 q1 q2 q3 h1 F1 h2 F2 h3 F3
a) Didalam koordinat silinder : h1 = 1 ; h2 = r ; h3 = 1 dan q1 = r ; q2 = 0 ; q3 = z. b) Didalam koordinat bola : h1 = 1 ; h2 = r sin ; h3 = r dan q1 = r ; q2 = ; q3 = Contoh : Carilah gradien, div, persamaan Laplace dan Curl dari fungsi skalar : F = 2x + 3xy + z dalam formulasi koordinat silinder dan bola.
BAB V Kalkulus Vektor, halaman 24 dari 24
