Teorema Fundamental Pada Kalkulus Vektor [PDF]

Citation preview

TEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR Interpretasi Geometri dari Derivatif Vektor Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k



maka: 1. Derivatif dari kurva C di P, atau



r ' (t) 



dr(t) dx(t) dy(t) dz(t)  i j k dt dt dt dt



merupakan vektor singgung (tangent vektor) dari kurva C di P.



ANALISIS VEKTOR



Silahkan KLIK KIRI



Hal 1 dari 16



2. u 



r ' (t) r (t)



merupakan vektor singgung satuan (unit tangent) r’(t) C : r(t)



P



3. i 







b



a



t = t0



r' (t)  r' (t) panjang kurva C, a ≤ t ≤ b (length of a curve)



ANALISIS VEKTOR



Hal 2 dari 16



4.



s(t) 







t



a



r ' (t)  r ' (t )



panjang busur a ≤ t (arc length of acurve)



CONTOH : Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j



a.



vektor singgung dari kurva di t 



0 ≤ t ≤2, maka:



 adalah 2



r' (t)   2 sin t i  2 cos t j



t



 2



 2i



ANALISIS VEKTOR



Hal 3 dari 16



b.



u 



 2i  2i   i  2i 2



c. Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):



s







2



0



r' (t)  r' (t) dt 







2



0



 2t



ANALISIS VEKTOR



sin 2 t  4 cos t dt 2 0



 4



Hal 4 dari 16



Penggunaan Curl Dalam gerak rotasi



Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut – (konstan), mengelilingi sumbu



l. v



Ω



r R



θ



l



O



Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω, sejajar sumbu



l



dengan



arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan terhadap gerakan benda ANALISIS VEKTOR



Hal 5 dari 16



Jika R adalah vektor dari titik 0 di l ke sembarang titik P pada benda, maka : • radius putar titik P :



r  R sin  sehingga



• kecepatan linier titik P



v   R sin    R sin     R



Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R, sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan.



ANALISIS VEKTOR



Hal 6 dari 16



Dengan demikian Ω × R, selain memberikan besar nilai v juga menentukan arah dari vektor v. Jika titik 0 merupakan pusat koordinat, maka: R = xi + yj + zk Ω = Ω1 i + Ω2 j + Ω3 k



Sehingga diperoleh v = Ω × R v    R  1 i + 2 j + 3 k   x i + y j + z k  i 



j



1 2 x



y



k 3 z



 2 z  3 y i  3 x  1 z  j  1 y  2 x k



ANALISIS VEKTOR



Hal 7 dari 16



dan



i  Curl  v    v  x 2 z  3 y 



j  y 3 x  1 z



k  z 1 y  2 x 



= 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3 k = 2 Ω



Jadi, kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform = curl dari kecepatan lintas sembarang titik.



ANALISIS VEKTOR



1 2



Hal 8 dari 16



Penggunaan Difergensi Dalam aliran fluida Perhatikan suatu aliran non-steady state dari fluida termampatkan



(compressible fluid), misalnya gas atau uap dalam suatu ruangan Karena termampatkan, maka besarnya densitas massa (massa



persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z Dan karena alirannya non-steady state maka juga tergantung pada t



(berubah-ubah dari waktu ke waktu). Misalkan v(x,y,z) = v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat



dari partikel fluida di suatu titik (x, y, z)



ANALISIS VEKTOR



Hal 9 dari 16



Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut



ρv3 + Δρv3



ρv1



z



ρv2



0



Δz



Δy



ρv2 + Δρv2



Δx ρv1 + Δρv1 ρ v3 x



y



ANALISIS VEKTOR



Hal 10 dari 16



Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa fluida Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam ruang dengan volume W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya



selisih massa fluida sebelum masuk dan saat meninggalkan ruang W persatuan waktu Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari ruang W selama



Δt ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masing-masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [Δt) = fluks massa fluida pada masing-masing sisi ruang W



ANALISIS VEKTOR



Hal 11 dari 16



Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui ruang W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masingmasing sisi ruang W  Fluks massa yang masuk selama Δt melalui:



– sisi kiri



= ρv2 Δx Δz Δt



– sisi belakang



= ρv1 Δy Δz Δt



– sisi bawah



= ρv3 Δx Δy Δt



 Fluks massa yang keluar selama Δt melalui: – sisi kanan



= (ρv2 + ρv2) Δx Δz Δt



– sisi depan



= (ρv1 + ρv1) Δy Δz Δt



– sisi atas



= (ρv3 + ρv3) Δx Δy Δt



ANALISIS VEKTOR



Hal 12 dari 16



Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan Volume adalah :



 p1 y z t   p2 x z t   p3 x y t  x y z t  p1  p2  p3   x y z Karena volume W diambil sangat kecil, maka :



Δx → 0 Δy → 0



Δz → 0



ANALISIS VEKTOR



Hal 13 dari 16



Berarti, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume dalam ruangan =



  p1    p2  p3     lim    j k    p1 i   p2 j   p3 k     i  x  0  x y z  y z   x y  0 x  0



   p  div p 



ANALISIS VEKTOR



Hal 14 dari 16



Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau Jadi



div p   div p 



 t



 t



  0 t



merupakan persamaan kontinuitas dari aliran non-steady state dari fluida termampatkan.



ANALISIS VEKTOR



Hal 15 dari 16



Jika alirannya steady state, yang berarti bahwa densitas massanya tidak tergantung pada t, maka :



  0 t



div p  0



merupakan kontinuitas untuk aliran teady state dari fluida



termampatkan (compressible).



ANALISIS VEKTOR



Hal 16 dari 16