Slope Deflection PDF [PDF]

Citation preview

Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



BAB I SLOPE DEFLECTION Derajat Ketidaktentuan Statis dan Derajat Ketidaktentuan Kinematis



1.1.



Derajat ketidaktentuan statis adalah banyaknya kelebihan reaksi yang diperlukan sebagai syarat perlu dan syarat cukup agar suatu sistem struktur stabil dan setimbang. Faktor kelebihan ini disebut sebagai redundant. Struktur yang memiliki kelebihan reaksi perletakan disebut memiliki redundant statis dan kondisi struktur ini dikategorikan sebagai struktur statis tak tertentu luar. Derajat ketidaktentuan statis =



gayayang tidak diketahui dikurangi     reaksi



perletakan



persam aanstatika    



u / 2D : ΣM  0, ΣV  0, ΣH  0 u / 3D : ΣFx  0, ΣFy  0, ΣFz  0, ΣMx  0, ΣMy  0, ΣMz  0



Contoh : lihat gambar 1.1 Derajat



ketidaktentuan



kinematis



adalah



jumlah



perpindahan



bebas



pada



join



(perpindahan berupa defleksi, putaran sudut). Derajat ketidaktentuan kinematis disebut juga DOF (Degree of Freedom = derajat kebebasan). Contoh : lihat gambar 1.2.



M



B



C



H H V



B



V



C



V



 Derajat ketidaktentuan statis



= 6 – 3 = 3.  Maka struktur dikategorikan statis tak tertentu derajat 3 dan memiliki redundant = 3. Gambar 1.1 : Ketidaktentuan statis



1.2.



Δ CH



Δ CV



A



 = defleksi  = rotasi (putaran sudut)



Gambar 1.2 : Ketidaktentuan kinematis



Prinsip dalam Metode Slope Deflection



Metode Slope Deflection dikemukakan oleh G.A. Maney pada tahun 1915. Metode ini memenuhi 2 (dua) syarat sbb. :  Kesetimbangan (equilibrium). Kesetimbangan momen =  Momen pada join pertemuan elemen adalah nol.  Kompatibilitas secara geometri. Kompatibilitas ini dapat digambarkan sebagai berikut : nilai komponen-deformasi pada setiap bagian struktur adalah sama. Pada gambar 1.3.a diperlihatkan model Halaman I-1 dari I-27



Slope Deflection



struktur yang mengalami deformasi, pada gambar



Deformasi struktur



1.3.b diperlihatkan kompatibilitas struktur



Struktur asli



dimana irisan struktur tetap



Rotasi tipikal Translasi tipikal (dua komponen)



setimbang & memiliki kontinuitas perpindahan Perpindahan pada join c di bagian kiri struktur memilki nilai yang sama dan searah



Gambar 1.3.a : Contoh deformasi struktur [9] pp : 59 dengan prinsip kompatibilitas



dengan perpindahan pada join c di bagian kanan struktur.



Gambar 1.3.b : Contoh kompatibilitas struktur



1.3.



[9] pp: 60



Penurunan Persamaan Slope Deflection



FEM (Fixed End Moment) adalah momen yang terbentuk pada ujung balok yang dibebani bila ujung balok tersebut dianggap sebagai jepit (lihat gambar 1.4) Perjanjian tanda untuk FEM



adalah : 



Momen titik







Momen batang







Putaran sudut



jika berarah jika berarah jika berarah



Gambar 1.4 : FEM



Halaman I-2 dari I-27



Gambar 1.5 : Konfigurasi deformasi (berdasarkan gambar pada [9] pp : 449)



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Lihat gambar 1.5.



 Α   ΑΒ B  BA



 



 ΑΒ L



… (1.1.a)



BA L



… (1.1.b)



sedangkan :



 AB =



2 M  AB L  3 EI 



 BA =



M L2 -  AB  6 EI 



   



 M L2   BA  +  6 EI   



2    +  MBA L   3 EI     



 AB  L



… (1.2.a)



 BA  L



... (1.2.b)



Jika join A dan join B perletakan jepit, balok dibebani dan momen internal adalah FEM, dengan mengaplikasikan prinsip kompatibilitas dan kesetimbangan, akan diperoleh  A =



B =



ΑΒ



= nol, sehingga :



M AB =



2 EI L



 2 A



  B  3  AB  + FEM AB



… (1.3.a)



M BA =



2 EI L



 2 B



  A  3 BA  + FEM BA



… (1.3.b)



dituliskan dalam bentuk umum sebagai Persamaan Slope Deflection, sbb. :



M nf = FEMnf  2EK nf 2 n   f  3 nf







… (1.4)



Hal mana (lihat gambar 1.6) :



M nf = momen ujung E



Knf



nf



indeks n  near = ujung dekat indeks f  far = ujung jauh = modulus elastisitas I = , L Hal mana : I = momen inersia penampang L = panjang elemen = R = goyangan horisontal =



H , halmana h  H = defleksi horizontal h



atau nf



analog dengan ij



= tinggi elemen kolom yang bergoyang



= R = goyangan vertikal =



V , halmana L V = defleksi vertikal



Gambar 1.6 : Goyangan horisontal pada portal



L



= panjang elemen balok yang bergoyang    1 Untuk lantai ke-1, R1 = 1 , untuk lantai ke-2, R2 = 2 h2 h1 Halaman I-3 dari I-27



Slope Deflection



1.4.



Portal tidak Bergoyang dan Portal Bergoyang



Suatu portal akan bergoyang jika memenuhi kriteria ke-1 berikut dan salah satu dari 3 (tiga) kriteria berikutnya (lihat contoh pada gambar 1.7) : 1. 2. 3. 4.



Tidak ada penahan arah lateral. Kekakuan struktur tidak simetris. Geometri struktur tidak simetris. Pembebanan struktur tidak simetris.



 Portal tidak memiliki penahan arah lateral  Kekakuan struktur tidak simetris



 Portal tidak memiliki penahan arah lateral  Geometri struktur tidak simetris



 Portal tidak memiliki penahan arah lateral  Pembebanan tidak simetris



Gambar 1.7 : Contoh aplikasi faktor penyebab portal bergoyang



Gambar 1.4



Halaman I-4 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



1.5.



Perjanjian Tanda Menentukan Gaya Geser Kolom dan Syarat Geseran



Halaman I-5 dari I-27



Slope Deflection



1.6.



Resume Contoh DOF dan Syarat Batas Deformasi Contoh soal analog dengan “suggested problems” dari [9] pp :490-494



Halaman I-6 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-7 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-8 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



1.7.



Contoh Soal dan Solusi



CONTOH SOAL KE-1 :



Halaman I-9 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-10 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-11 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-12 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-13 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-14 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-15 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-16 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



CONTOH SOAL KE-2 : Soal diambil dari Soal no. 1 UTS Analisis Struktur II Semester Pendek 2004/2005 Tgl 25 Juli 2005



Halaman I-17 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-18 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-19 dari I-27



Slope Deflection



CONTOH SOAL KE-3 : UTS Mata Ujian Jurusan Kelas Dosen



1.



: : : :



KTS-325 Analisis Struktur II Tanggal : 22 November 2005 Teknik Sipil Waktu : 3 jam (11:00 ~ 14:00) A dan B Sifat : tutup buku Nur Laeli Hajati, ST, MT dan Nana Mulyana, Ir., M.Sc.



SLOPE DEFLECTION



Pertanyaan : 1.a . Dengan metode Slope Deflection, hitunglah momen ujung struktur. 1.b . Hitung dan gambar diagram gaya dalam.



2m



1m



50% Diketahui suatu struktur balok statis tak tertentu seperti dimodelkan pada gambar 1.



4t



A



1m q = 2 t/m



6t



E



F



C



B



D



4m



2m



2m



3EI



2EI



3EI



Gambar 1 : Balok statis tak tertentu



Jawab :



Halaman I-20 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



Halaman I-21 dari I-27



Slope Deflection



Halaman I-22 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



CONTOH SOAL KE-4 :



Jawab :



 DOF dan Syarat Batas DOF



B C



 M B = nol  MC = nol



H



 H = nol



 FEM



i



j











FEM AB



= -



FEMBA



= +



FEMBC



= -



FEMBC



= +



Syarat Batas  M BA + M BC = nol



Pab 2 L2 Pa 2 b L2







Pab 2







L2 Pa2 b L2



Persamaan … (1.a)







MCB = nol



… (1.b)







H AB + 2 ton = nol



… (1.c)



= = + = = +



(2)(1,5)(1,5)2 (3)2 (2)(1,5)2 (1,5) (3)2



(3)(1)(3)2 (4)2 (3)(1)2 (3) (4)2



+



=



- 0,75 tm



=



+ 0,75 tm



(4)(3)(1)2 (4)2 (4)(3)2 (1) (4)2



=



- 2,438 tm



=



+ 2,813 tm



Halaman I-23 dari I-27



Slope Deflection



 Persamaan Slope Deflection Persamaan umum:



M nf = FEMnf  2EK nf 2 n   f  3 nf







… (1.4)



dengan  nf = R untuk bangunan satu lantai dengan goyangan arah horisontal H adalah . tinggi kolom  A = nol (perletakaan A adalah jepit). Dengan demikian persamaan slope deflection adalah :



2EI 2 A   B  3R L  H 2(3EI )  = -0,75 + (2)(0)   B  3 3  3 



M AB = FEM AB +



= -0,75 + EI(2  B -2  H ) 2EI 2 B   A  3R M BA = FEM BA + L  H 2(3EI )  = +0,75 + (2)( B )  0  3 3  3  = +0,75 + EI(4  B -2  H )



   … (2.a)



   … (2.b)



2EI 2 B   C  L 2(2EI ) (2)( B )   C  = -2,438 + 4 = -2,438 + EI(2  B +1  C )



… (2.c)



2EI 2 C   B  L 2(2EI ) (2)( C )   B  = +2,813 + 4 = +2,813 + EI(1  B +2  C )



… (2.d)



M BC = FEMBC +



MCB = FEMCB +



 Substitusi Persamaan Slope Deflection ke Persamaan Syarat Batas



Substitusikan …(2) ke …(1):  … (1.a): M BA + M BC = nol (+0,75) + EI(4  B -2  H ) + (-2,438) + EI(2  B +1  C )  EI(6  B +1  C -2  H ) = +1,688 MCB = nol  +2,813 + EI(1  B +2  C ) = nol  EI(1  B +2  C ) = -2,813 H A + 2 ton = nol







 … (1.b):



 … (1.c):



= nol … (3.a)



… (3.b)



 M BA  M  + 2 ton = nol   AB 3    (0,75)  EI (2 B  2 H )  (0,75)  EI (4 B  2 H )   + 2 ton = nol   3    EI(6  B -4  H ) = -3 … (3.c) Halaman I-24 dari I-27



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



 Nilai DOF Solusi …(3) adalah:



6 1  2   EI 1 2 0  6 0  4



 B    1,688       C  =  2,813 , diperoleh:    3   H  



1,838 EI 2,325 C = EI 3,5067 H = EI



B =



… (4.a) … (4.b) … (4.c)



 Nilai Momen Ujung Substitusikan nilai DOF ke Persamaan Slope Deflection = substitusikan …(4) ke …(2)



M AB = -0,75 + EI(2  B -2  H )    1,838    3,507  = -0,75 + EI 2   2  EI   EI    = -4,088 tm Dengan cara yang sama untuk memperoleh M AB , diperoleh nilai momen ujung yang lain, yaitu:



M BA = +1,088 tm M BC = -1,088 tm MCB = nol. 3 ton



4 ton



MBC = -1,088 tm MCB



E 1m



2m



1m



C



MBA = +1,088 tm HBA 2 ton



1.53 1



D



1,5 m



1,5 m



VCB



VBC



B



= nol tm



F



HAB MAB



= -4,088 tm



A



 Nilai Reaksi Perletakan 



VBC (4) – (3)(3) – (4)(1) + M BC + MCB = nol VBC (4) – 9 – 4 + (-1,088) + (0) = nol Halaman I-25 dari I-27



Slope Deflection







VBC = +3,522 ton 







- VCB (4) – (3)(3) – (4)(1) + M BC + MCB = nol - VCB (4) – 9 – 4 + (-1,088) + (0) = nol







VCB = +3,478 ton 



 



H AB (3) – (2)(1,5) + M AB + M BA = nol H AB (3) – 3 + (-4,088) + (+1,088) = nol VBC = +2 ton 



MD



= M AB + H AB (1,5) = (-4,088) + (2)(1,5) = -1,088 tm



ME



= M BC + VBC (1) = (-1,088) + (+3,522)(1) = +2,434 tm



= M BC + VBC (3) - (3)(2)



MF



= (-1,088) + (+3,522)(3) - 6 = +3,478 tm



 Gambar Diagram Bidang Gaya Dalam -3,522



-1,088 E



-1,088



B



F



E



B



0,478



-1,088



-2,434



-4,088



C -3,478



D



D



A



A E



B



F



C D



-3,522



Lintang



2



-4,088



Momen



Normal



A Halaman I-26 dari I-27



F C



Ver 3.1, thn 2007 Buku Ajar KTS-325 Analisis Struktur II Jurusan Teknik Sipil Itenas



DAFTAR PUSTAKA SLOPE DEFLECTION [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]



Arbabi, F. (1991) . Structural Analysis and Behavior . Singapore : McGraw-Hill, Inc. Hariandja, Binsar. (1997) . Analisis Struktur Berbentuk Rangka dalam Formulasi Matrik . Bandung : Aksara Husada. rd Hibbeler, Russel C. (1997) . Structural Analysis, 3 ed. New Jersey : Prentice-Hall International, Inc. Hsieh, Yuan-Yu. (1985) . Teori Dasar Struktur. Edisi Kedua . Alihbahasa oleh Suryadi, Ir. Jakarta : Erlangga. Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 1 . Jakarta : Delta Teknik Group . Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 2 . Jakarta : Delta Teknik Group . Wang, Chu-Kia . (1990) . Analisis Struktur lanjutan jilid 1 . Alihbahasa oleh Kusuma Wirawan dan Mulyadi Nataprawira . Jakarta : Erlangga. Weaver, William Jr., et al. (1989) . Analisa Matriks untuk Rangka Batang, edisi ke-2 . Jakarta : Erlangga . West, Harry H. (1993) . Fundamentals of Structural Analysis . Toronto : John Wiley & Sons, Inc. Willems, Nicholas, et.al. (1978) . Structural Analysis for Engineers . Tokyo : McGraw-Hill, Inc.



No.



TOPIK untuk SLOPE DEFLECTION



1.



Derajat kebebasan, struktur tidak bergoyang dan struktur bergoyang, persamaan slope deflection, gaya geser kolom



No. Ref. [3] [4] [6] [7] [9]



SUMBER Bab/chapter/pasal/tabel 10 12 Bab VII Bab : 7.1-7.9 Chapter 11



Halaman 517-562 250-287 532-592 177-226 447-497



Halaman I-27 dari I-27