Soal Dan Pembahasan Perbandingan Trigonometri Pada Siku-Siku [PDF]

Citation preview

Soal Nomor 1 Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut



60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah 18 meter, maka



tinggi elang dari atas tanah adalah



√3 B. 3√3 A.



C.



⋯ ⋅ meter.



9 √3 E. 12√3 D.



6 √3



Pembahasan Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut 60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni



sin 60∘



x



1 x =1 2 √3 = 8 18 1 x = 18 × 2 √3 = 9√3



Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah



9√3 meter.



(Jawaban D)



[collapse]



Soal Nomor 2 Perhatikan gambar di bawah ini.



Diketahui seseorang yang berada di atas mercusuar dengan tinggi



45√3 meter sedang mengamati



sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan mercusuar sejauh depresi yang terbentuk adalah



30∘ ∘ B. 45 A.



135 meter. Sudut



⋯⋅



60∘ ∘ D. 90 C.



E.



180∘



Pembahasan Perhatikan gambar berikut.



Besar ∠ABC sama dengan sudut α∘ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh



tan α∘ = 45√3 = 1 √3 ⇒ 1353 30∘



α∘ =



Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah



30∘



(Jawaban A) [collapse]



Soal Nomor 3 Seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak



4√3 m dari dirinya. Antara mata dengan



puncak pohon tersebut terbentuk sudut elevasi adalah



30∘. Jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata



1, 6 m, berapakah tinggi pohon?



Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut.



Misalkan



x



adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu.



Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh x



tan 30∘ = 4 √3 ∘ x = 4√3 × tan 30 1 = 4√3 × √3 3 4 = ×3=4m 3 Tinggi pohon (t) didapat dari jumlah t



x



dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu



= 4 + 1, 6 = 5, 6 m



Jadi, tinggi pohon tersebut adalah



5, 6 meter [collapse]



Soal Nomor 4 Seorang anak yang memiliki tinggi badan



155 cm (terukur sampai ke mata) berdiri pada jarak 12 m



dari tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi adalah



⋯⋅



12, 00 m B. 12, 55 m A.



C.



13, 55 m



Pembahasan



21, 50 m E. 27, 50 m D.



45∘. Tinggi tiang bendera itu



Perhatikan sketsa gambar berikut.



Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh BC



tan 45∘ =



AC



BC = AC × tan 45∘ BC = 12 × 1 = 12



Tinggi tiang bendera (t) adalah jumlah dari panjang BC dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu t = 12 + 1, 55 = 13, 55 m. Catatan: 155 cm = 1, 55 m. Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah (Jawaban C)



13, 55 meter



[collapse]



Soal Nomor 5 Suatu pesawat terbang dalam keadaan mendatar dengan ketinggian 4.000 meter dari menara pengawas. Dalam 50 detik, sudut elevasi pesawat berubah dari 20∘ menjadi 52∘ dilihat dari puncak menara pengawas. Tentukan kecepatan pesawat itu dalam satuan m/detik (Petunjuk: tan 20∘ ≈ 0, 364,



tan 52∘ ≈ 1, 23).



Pembahasan



Perhatikan sketsa gambar berikut.



Pada △ACE, panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu CE



tan 20∘ = =



AC AC



AC CE



tan 20∘



≈ 4.000 ≈ 10.989 meter 0, 364



Pada △ABD, panjang AB juga dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu



tan 52∘



BD



=



AB BD AB



= AB



≈



tan 52∘ 4.000 ≈ 3.252 meter 1, 23



Dengan demikian, BC



= AC − AB = 10.989 − 3.252 = 7.737 meter



Kecepatan pesawat itu adalah v



=



BC t



=



7.737 = 154, 74 m/detik 50 [collapse]



Soal Nomor 6 Dari suatu titik pada bukit, tampak ujung-ujung suatu landasan pacu Bandara Kuala Namu yang sedang dibangun horizontal dengan sudut depresi lereng bukit adalah tersebut adalah A.



3.550



B. 3.750 C. 3.770



53∘ dan 14∘. Jarak ujung landasan yang lebih dekat sepanjang



870 meter. Jika sin 53∘ = 0, 8 dan tan 14∘ = 0, 25, maka panjang landasan pacu



⋯ meter. D.



3.800



E. 3.950



Pembahasan



Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut.



Karena



sin 53∘ = 0, 8 =



53∘ =



4



, maka



tan



4



√5 − 4 2



5



2



=



4 3



.



Pada △ABD, panjang AD dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu AD



tan 53∘ =



AB



× tan 53∘ 4 AD = 870 × = 1.160 meter 3 AD



=



AB



Pada △ACD, panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu



tan 14∘ =



AD AC AD



AC AC



14∘ = tan 1.160 = meter = 0,4.640 25



Dengan demikjan, BC



= AC − AB = 4.640 − 870 = 3.770 meter



Jadi, panjang landasan pacu tersebut adalah



3.770 meter



(Jawaban C) [collapse]



Soal Nomor 7 Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah



100√2 B. 100√3 A.



C.



100√7



100√13 E. 100√19 D.



200 mil dengan arah 35∘. Dari



300 mil menuju Pelabuhan C dengan arah 155∘. Jarak antara



⋯ mil.



Pembahasan



Perhatikan sketsa gambar berikut.



(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu- X positif) Panjang AC selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus. AC + 2BC − 2 ⋅2 AB ⋅ cos AC 22 = = AB2 (200) +2(300) − 2⋅ ⋅BC200 ⋅



2 300 ⋅ 1 = 40.000 + 90.000 − 60.000



60∘



AC 2 AC 2 AC



= 70.000



= √70.000 = 100√7



Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah (Jawaban C)



100√7 mil



[collapse]



Soal Nomor 8 Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh



30



∘



sejauh



100



25√50 B. 20√91 C.



24√66 Pembahasan



km, kemudian memutar kemudi pada jurusan



km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat



pemberhentian adalah A.



120



⋯



meter. D. E.



27√66



24√70



Perhatikan gambar berikut.



Misalkan titik A adalah titik mula-mula dan titik C merupakan titik pemberhentian kapal. Perhatikan bahwa



∠ABC = 90∘ + 30∘ = 120∘



Karena diketahui sisi-sudut-sisi, maka untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang AC, dapat menggunakan Aturan Cosinus. AC 2 = AB2 + BC 2 −



= 24.400 + 12.000



AB



⋅



BC



⋅ cos ∠ABC



= 1202 + 1002 − 2 ⋅ 120 ⋅ 100 ⋅ cos 120∘ 1 = 14.400 + 10.000 − 2 ⋅ 120 ⋅ 100 2



= 36.400 = 100 × 4 × 91 AC



2⋅



⋅



(− )



= √100 × 4 × 91



= 10 × 2 × √91 = 20√91 20√91



meter.



Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah (Jawaban B) [collapse]



Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri Soal Nomor 9 Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh



16 km dengan arah 40∘, kemudian berbelok sejauh 24 km



ke tempat B dengan arah



160∘. Jarak A dan B adalah ⋯ km.



21 B. 8√7



32 E. 8√19



A. C.



8√10 Pembahasan



D.



Perhatikan sketsa gambar berikut.



Pada segitiga ABC di atas, diketahui AC



= 16 km, CB = 24 km, dan ∠ACB = 60∘. Dengan



menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh



= AC 2 + CB2 − 2 ⋅ AC ⋅ CB ⋅ cos 60∘ AB2 = (16)2 + (24)2 − 2 ⋅ 16 ⋅ 2 24 ⋅ 1 AB2 = 256 + 576 − AB2



384 AB2 AB



= 448



= √448 = 8√7



Jadi, jarak A ke B adalah



8√7 km



(Jawaban B)



[collapse]



Soal Nomor 10 Perhatikan gambar berikut!



Gambar di atas menunjukkan seorang anak yang berada pada jarak



32



meter dari kaki sebuah gedung.



Ia mengamati puncak gedung dan helikopter di atasnya dengan sudut elevasi masing-masing



30∘ dan



45∘. Hitunglah tinggi helikopter tersebut dari atas gedung. Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut.



Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang CD. Tinjau segitiga ABC. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh BC



tan 30∘ =



AB



= tan 30∘ × AB 1 32 BC = √3 × 32 = √3 m 3 3 BC



Berikutnya, tinjau segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh BD



tan 45∘ =



AB



= tan 45∘ × AB BD = 1 × 32 = 32 m BD



Dengan demikian, diperoleh CD



=



− BC 32 = 32 − 3 √3 1 √3 m = 32 1 3 − BD



(



)



Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah



32



(



1 1 −√3 3



) meter



[collapse]



Soal Nomor 11 Sebuah jalan menghubungkan selatan dan utara. Dari suatu titik pertama pada jalan, suatu bangunan memiliki arah timur



36∘ utara dan titik kedua yang berjarak 1 km dari titik pertama ke arah utara



bangunan mempunyai arah selatan Asumsikan



41∘ timur. Hitung jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut.



tan 41∘ = 0, 87 dan tan 36∘ = 0, 73.



Pembahasan Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut ini.



Jarak terpendek dari bangunan ke jalan adalah panjang garis tinggi CD. Diketahui: AB



= 1 km



Dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga BCD, diperoleh



tan 41∘ =



BD



CD



(1)



Selanjutnya, dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga ACD, diperoleh



tan 36∘ =



AD



CD



(2)



Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh



tan 41∘ + tan 36∘



BD



= 0, 87 + 0,



AB



73 =



+



AD



CD CD



1



CD



1, 6 = 1 CD = = 0, 625 1, 6



Jadi, jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut adalah



0, 625 km



[collapse]



Soal Nomor 12 Sukardi dengan tinggi berjalan sejauh



180 cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 45∘. Ia kemudian



12 meter mendekati gedung. Di posisi tersebut, Sukardi mengamati puncak gedung



kembali dengan sudut elevasi



60∘. Tentukan tinggi gedung tersebut.



Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri



Pembahasan Sketsa gambar berikut merepresentasikan permasalahan di atas.



Misalkan x adalah jarak dari posisi baru Sukardi setelah bergerak sejauh



12 meter ke



gedung itu. Dengan menggunakan konsep tangen pad segitiga AOB, diperoleh OB



tan 45∘ =



AO



= AO × tan 45∘ OB = (12 + x) × 1 = 12 + x x = OB − 12 OB



Selanjutnya, gunakan konsep tangen pada segitiga COB.



tan 60∘ = OB OB = CO



CO



× tan 60∘ OB = x × √3 = √3x



Dengan demikian, kita tuliskan



OB OB



= √3(OB − 12)



= √3OB − 12√3



(√3 − 1)BO = 12√3 12√3√3 + 1 BO = × √36 − 1√3 + 1 12 √3(√3 + 1) BO =



3−1 BO = 6√3(√3 + 1) = 18 + 6√3 Tinggi gedung adalah jumlah dari tinggi Sukardi (180 cm =



1, 8



m) ditambah panjang BO, yaitu



= 1, 8 + (18 + 6√3) = 19, 8 + 6√3 Jadi, tinggi gedung itu adalah (19, 8 + 6√3) t



meter



[collapse]



Soal Nomor 13 Seorang pria berdiri di atas menara pada ketinggian tertentu. Pria tersebut mengamati sebuah truk dengan sudut depresi α. Ketika nilai



tan α = 1, terlihat bahwa truk bergerak maju menuju dasar



menara. Sepuluh menit kemudian, sudut depresi dari truk berubah menjadi β, dengan nilai



tan β =



5. Jika truk bergerak dengan kecepatan tetap, maka waktu yang dibutuhkan truk untuk mencapai dasar menara adalah A.



100



B. 150



Pembahasan



⋯



detik.



C. 200 D. 250



E.



300



Perhatikan sketsa gambar berikut yang merepresentasikan permasalahan di atas.



Misalkan tinggi menara adalah x. Jarak truk terhadap menara saat sudut depresinya α adalah AC Karena tan α = 1, maka berlaku



x



AC



= 1 ⇔ x = AC



Jarak truk terhadap menara saat sudut depresinya β adalah BC Karena tan β = 5, maka berlaku



x



BC



= 5 ⇔ BC =



1 5



x



Dengan demikian, setelah 10 menit, truk telah bergerak sepanjang AB, yaitu



AB = AC − BC 1 4 =x− x= x 5 5



Kecepatan truk saat berjalan 10 menit itu adalah



v=



jarak waktu



=



4 5



x



10



=



2 25



x



Untuk itu, waktu yang diperlukan oleh truk untuk menempuh sisa jarak terhadap menara, yaitu



1



BC = v= t= =



5 BC



x adalah



t 1 5



x



2 25



x



5 2



⇔t=



BC v



5 = 2 menit



× 60



30



detik = 150 detik



Jadi, waktu yang dibutuhkan truk untuk mencapai dasar menara adalah 150 detik (Jawaban B)



[collapse]



Soal Nomor 14 Dari atap sebuah gedung, Thanos melihat sebuah mobil sedan diparkir di sebelah barat dengan sudut depresi



60∘. Tidak lama kemudian, dia melihat sebuah mobil minibus diparkir di sebelah selatan gedung



dengan sudut depresi



45∘. Jika jarak kedua mobil tersebut adalah



terhadap gedung adalah A.



50



D.



B.



25



E.



C.



5 5 3



100 m, maka jarak mobil minibus



⋯ m.



√3



5 √3 Pembahasan Misalkan x, y berturut-turut menyatakan jarak sedan dan minibus ke gedung, sedangkan z menyatakan tinggi gedung. Perhatikan gambar (sketsa) berikut.



2



Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku: x



+



y



2



= 1002 = 10.000



Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri, masing-masing didapat



tan 60∘ =



x



z x



√3 = z



x2



Kuadratkan kedua 3 2 ruas z = dan tan 45∘ = y z y



Kuadratkan kedua 1= ruas z 1 z2



y2



=persamaan di atas untuk memperoleh Jumlahkan kedua x2y2



3 + 1 =2 +



2



zz



z=



4= 10.000 z2 10.000 2 z = 4= 2.500 50 m



Jadi, tinggi gedung itu adalah (Jawaban A)



50 meter [collapse]



Soal Nomor 15 Adi dan Budi merupakan sahabat karib. Suatu malam, mereka berada di rumah masing-masing. Jarak kedua rumah adalah



2



km. Adi mengirim pesan singkat kepada Budi bahwa dia sedang berdiri



menghadap rumah Budi dan bermain pistol laser hijau yang kuat dan ditembakkan dengan sudut elevasi



75∘



ke awan yang berada di langit antara kedua rumahnya sehingga mengenai awan. Budi beranjak



berdiri di depan rumah sambil mengamati titik hijau di awan menggunakan klinometer dan terbaca sudut yang terbentuk A. B. C. D. E.



1 3 (√3 − 1) 1 3 (√3 + 1) 1 √3) 3 (3 − 1 3 (√3 + 3)



45



(√3 + 1)



Pembahasan



∘



. Tinggi awan yang ditembak Adi adalah



⋯



km.



Perhatikan sketsa gambar berikut.



Tinjau segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh



tan 45∘ =



t x



⇔1 =



t x



⇔



x



=



t



Sekarang, tinjau segitiga BCD. Dengan prinsip yang sama, diperoleh



tan 75∘ =



t



− 2 t tan(45 + 30) = t− 2 ∘ t tan 45 + tan ∘ ∘ = 30 1 − tan 45 t− 2 ∘ tan 30 t 1 1 + √3 x



∘



3



1 − 1 ⋅ 31 √3= 3 + √3 = 3 − √3



t



− 2t



−2 (3 + √3)(2 − t) = t(3 − √3) 6 + 2√3 − 3t − √3t = 3t − √3t 6t = 6 + 2√3 1 t



Jadi, tinggi awan yang ditembak Ali adalah



1 3



t



= 1(6 + 2√3) 6 (√3 + 3) t= km 3



(√3 + 3) km



(Jawaban D) [collapse]



Soal Nomor 16 Seorang anak diminta untuk mengukur tinggi tiang listrik yang ada di depan sekolahnya dengan menggunakan klinometer. Pada posisi berdiri pertama dengan melihat ujung atas tiang listrik, terlihat klinometer menunjuk sudut



30



∘



. Kemudian dia bergerak mendekati tiang listrik sejauh



terlihat klinometer menunjuk sudut



45



18√3 B. (18√3 − 18) C. (9√3 + 18) A.



(9√3 + 27) E. (18√3 + 27) D.



Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut.



Misalkan panjang AC



= x dan AD = y.



Pada segitiga ADC, berlaku



∘



. Tinggi tiang listrik tersebut adalah



⋯⋅



m.



18



m dan



tan 45∘ = AC



1



x= y =



AD x y



Pada segitiga ABC, berlaku



tan 30∘ = AC 1 √3 3 = 1 √3 3 = 1 √3(x + 18) 3 =x 1 1 −√3 x= 3



(



)



6√3 x= x=



AB x y+



18 x



x+



18 6√ 13 −1 3



√3 18√



= ×



18√3 3−



3 √3 +



3 − √33 + √3 3 √3 18√3(3 + √3) x =9 − 3 x = 3√3(3 + √3) x = (9√3 + 9) m Jadi, tinggi tiang listrik tersebut adalah (9√3 + 9)



meter.



[collapse]



Soal Nomor 17 Perhatikan gambar berikut.



Gambar (a) menunjukkan gerak semu matahari yang menyatakan kedudukan matahari sepanjang tahun dilihat dari bumi. Pada tanggal Pada tanggal



21 Maret dan 23 September, matahari akan berada di atas Khatulistiwa.



21 Juni, matahari akan berada di daerah belahan bumi utara dengan garis lintang 23, 5∘



LU, sedangkan pada tanggal 22 Desember, matahari akan berada di daerah belahan bumi selatan dengan garis lintang



23, 5∘ LS. Jika gerak semu matahari merupakan grafik sinusoidal seperti gambar di atas



dan



11, 75∘ LS, maka diperkirakan matahari akan tepat berada di atas kota Lima pada pukul 12 siang pada pukul ⋯ gambar (b) menunjukkan kota Lima, ibu kota negara Peru yang terletak di koordinat



⋅ A.



8 Oktober



B.



13 Oktober



C.



23 Oktober



D.



7 November



E.



22 November



Pembahasan Grafik sinus di atas memiliki amplitudo 23,



5 tanpa pergeseran, sehingga rumus fungsinya dapat



dinyatakan oleh y



= a sin x = 23, 5 sin x



Kota Lima berada di titik (x,



11, 75 = 23, 5 sin x sin x = 11, 75 = 2 23, 1 ∘ Dari sini, diperoleh 5 x = 30 .



11, 75), sehingga substitusi menghasilkan



Waktu yang dibutuhkan untuk matahari melakukan pergerakan adalah



30∘ t=



× [23 Sept − 21 180 Maret] 1 ∘ = × [7 + 31 + 30 + 31 + 31 + 6 29 + 21] = 1 × 180 =



6 30bahwa jumlah hari dari tanggal 23 September sampai Perhatikan



21 Maret terhitung pada bagian yang



diberi warna merah di atas.



30 hari dari tanggal 23 September adalah 23 Oktober. Jadi, matahari akan tepat berada di atas kota Lima pada pukul



12 siang pada tanggal 23 Oktober.



(Jawaban C) [collapse]