Soal Dan Pembahasan (Persamaan Schrödinger) [PDF]

Citation preview

Soal dan Pembahasan (Persamaan Schrödinger)



Tunjukkan fungsi gelombang berikut 𝟐 𝒏𝝅𝒙 −𝐢𝑬 𝒕 ℏ 𝐬𝐢𝐧 𝐞 𝒏 𝒂 𝒂



1. 𝜳 𝒙, 𝒕 = 0



;𝒙 ≤𝒂 𝟐 ;𝒙 ≥𝒂 𝟐



dengan n = 1, 2, 3, ..., merupakan penyelesaian Persamaan ScrhÖdinger bagi partikel bermassa m yang hanya bebas bergerak dalam interval 𝒂 𝟐 ≤ x ≤ 𝒂 𝟐. Tentukan pula batasan nilai 𝑬𝒏 yang diijinkan !



Analisis Pernyataan bahwa “partikel hanya dapat bergerak bebas dalam interval -𝑎 2 ≤ x ≤ 𝑎 2” memiliki arti bahwa partikel tidak mungkin berada di luar interval itu. Dengan kata lain, peluang mendapatkan partikel di luar interval itu sebesar nol. Hal ini hanya dipenuhi jika fungsi gelombang di luar interval - 𝑎 2 ≤ x ≤ 𝑎 2 bernilai nol. Partikel bebas bergerak dalam interval - 𝑎 2 ≤ x ≤ 𝑎 2 menunjukkan bahwa partikel tidak mengalami gaya apapun dalam interval itu.



Jadi, energi potensialnya konstan. Kita lambangi potensial konstan ini dengan 𝑉0. Dengan demikian, persamaan ScrhÖdinger dalam interval -𝑎 ∕ 2 ≤ x ≤ 𝑎 2 berbentuk ℏ2 𝜕2 Ψ 𝑥,𝑡 − 2𝑚 𝜕𝑥 2



+ 𝑉0 Ψ 𝑥, 𝑡 = i



𝜕Ψ 𝑥,𝑡 ℏ 𝜕𝑡



Untuk menguji apakah benar fungsi gelombang yang diketahui tadi merupakan penyelesaian persamaan ScrhÖdinger, kita substitusikan fungsi gelombang itu ke dalam persamaan terakhir di atas.



Substitusi ke ruas kiri menghasilkan ℏ2 𝜕2 𝛹 𝑥,𝑡 − 2𝑚 𝜕𝑥 2



+ 𝑉0 𝛹 𝑥, 𝑡 = =



𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 + 𝑉0 2𝑚𝑎2 𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 + 𝑉0 2𝑚𝑎2



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝑠𝑖𝑛 𝑒 𝑎 𝑎



𝛹 𝑥, 𝑡



Substitusi ke ruas kiri menghasilkan 𝑖ℏ



𝜕𝛹 𝑥,𝑡 𝜕𝑡



= 𝑖 ℏ −𝑖𝐸𝑛 ∕ ℏ



= 𝐸𝑛



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝑠𝑖𝑛 𝑒 𝑎 𝑎



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝑠𝑖𝑛 𝑒 𝑎 𝑎



= 𝐸𝑛 𝛹 𝑥, 𝑡



Dengan demikian kita dat hubungan 𝑛2 𝜋2 ℏ2 2𝑚𝑎2



+ 𝑉0 Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑛 Ψ 𝑥, 𝑡 . Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang tadi dijamin sebagai penyelesaian persamaan ScrhÖdinger bagi partikel yang bebas bergerak dalam interval -𝑎 2 ≤ x ≤ 𝑎 2 asalkan tetapan 𝐸𝑛 dalam fungsi gelombang itu memenuhi hubungan 𝑛2 𝜋2 ℏ2 2𝑚𝑎2



𝐸𝑛 = + 𝑉0 Ungkapan ini sekaligus memberikan batasan nilai yang harus dipenuhi oleh 𝐸𝑛 .



Penyelesaian:



ℏ2 𝜕2 Ψ 𝑥,𝑡 − 2𝑚 𝜕𝑥 2



+ 𝑉0 Ψ 𝑥, 𝑡 = i ℏ



=



𝜕 𝜕𝑥



𝜕 𝜕𝑥



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 sin 𝑒 ℏ 𝑎 𝑎



𝑛𝜋𝑥 𝑎



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 cos 𝑒 ℏ 𝑎 𝑎



=



𝜕 𝜕𝑥



=



𝑛𝜋 𝑛𝜋 − 𝑎 𝑎



=− =−



𝑛2 𝜋2 𝑎2 𝑛2 𝜋2 𝑎2



... persamaan (i)



𝛛𝟐 𝚿 𝐱,𝐭 𝛛𝐱 𝟐



Menentukan nilai 𝜕2 Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑥 2



𝜕Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑡



2 𝑎 2 𝑎



sin



𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 𝑒 ℏ 𝑎



sin



𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 𝑒 ℏ 𝑎



Ψ 𝑥, 𝑡



...persamaan (ii)



Menentukan nilai 𝜕Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑡



𝝏𝜳 𝒙,𝒕 𝝏𝒕



2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 sin 𝑒 ℏ 𝑎 𝑎



=



𝜕 𝜕𝑡



=



𝐸𝑛 2 𝑛𝜋𝑥 −𝑖𝐸𝑛 𝑡 −𝑖 sin 𝑒 ℏ ℏ 𝑎 𝑎 𝐸 −𝑖 𝑛 Ψ 𝑥, 𝑡 ℏ



=



... persamaan (iii)



Mensubstitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke dalam persamaan (i) ℏ2 𝜕2 Ψ 𝑥,𝑡 − 2𝑚 𝜕𝑥 2 ℏ2 𝑛 2 𝜋 2 Ψ 2𝑚 𝑎2



+ 𝑉0 Ψ 𝑥, 𝑡 = i ℏ 𝑥, 𝑡



𝜕Ψ 𝑥,𝑡 𝜕𝑡



+ 𝑉0 Ψ 𝑥, 𝑡 = i ℏ



𝐸𝑛 −𝑖 Ψ ℏ



𝑥, 𝑡



𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 𝛹 2𝑚𝑎2



𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 2𝑚𝑎2



𝐸𝑛 =



𝑥, 𝑡 + 𝑉0 𝛹 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑛 𝛹 𝑥, 𝑡



+ 𝑉0 𝛹 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑛 𝛹 𝑥, 𝑡



𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 2𝑚𝑎2



+ 𝑉0



Karena partikel berada pada daerah bebas potensial, maka nilai 𝑉0 = 0,sehingga diperoleh persamaan:



𝐸𝑛 =



𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 2𝑚𝑎2



𝑬𝒏 =



+ 𝑉0



𝒏𝟐 𝝅 𝟐 ℏ 𝟐 𝟐𝒎𝒂𝟐



2. Fungsi gelombang yang menyatakan keadaan dasar suatu partikel yang terkungkung di dalam potensial “kotak” 1 dimensi adalah: 2 𝜋𝑥 sin 𝑎 𝑎



Ψ(𝑥, 𝑡) = 0



𝑒



𝜋2 ℏ −𝑖 2𝑚𝑎2



;0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎



; 𝑥 ≤ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎



Dengan 𝑚 dan 𝑎 suatu tetapan. Selidikilah apakah fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner atau tidak! Hitung nilai harap energi total partikel beserta ketakpastiannya!



Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah ℘ (x,t) =



2 𝑎



0



𝑠𝑖𝑛2



𝜋𝑥 𝑎



; 0≤𝑥≤𝑎



; 𝑥 ≤ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎



Ternyata fungsi rapat peluang posisi tersebut tidak bergantung pada waktu. Dengan demikian disimpulkan bahwa fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner.



Penyelesaian Nilai Harap Energi Total Karena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka nilaiharap energi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: E



=



∞ ∗E Ψ −∞



=



∞ −∞



Ψ dx 𝜋2 ℏ



2 𝜋𝑥 𝑖 𝑡 sin 𝑒 2𝑚𝑎2 𝑎 𝑎



2 𝜋2 ℏ = 𝑖ℏ −𝑖 2𝑡 2𝑚𝑎 𝑎 2 =



=



2 𝜋 ℏ² 𝑎 𝑎 2𝑚𝑎2 2 𝜋2 ℏ²



2𝑚𝑎2



𝜕 𝑖ℏ 𝜕𝑡



𝜋2 ℏ



2 𝜋𝑥 −𝑖 𝑡 sin 𝑒 2𝑚𝑎2 𝑎 𝑎



∞ 𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛² −∞ 𝑎



𝑑𝑥



dx



Ketakpastian Energi Total Terlebih dahulu menentukan hasil kuadrat dari nilai harap energi total ∞ E ² = −∞ Ψ∗ E² Ψ dx 2



2 𝜋𝑥 𝑖 𝜋 ℏ2 𝑡 𝜕 2𝑚𝑎 = sin 𝑒 𝑖ℏ 𝑎 𝑎 𝜕𝑡 ∞ 2 𝜋2 ℏ 2 = (−ℏ ) − 2𝑚𝑎2 ² −∞ 𝑠𝑖𝑛² 𝜋𝑥 𝑎 𝑎 ∞ −∞



𝜋2 ℏ² 2𝑚𝑎2



=



2 𝑎



=



𝜋2 ℏ² 2𝑚𝑎2



2



2



𝑎 2



2



²



𝑑𝑥



2 𝜋𝑥 −𝑖 𝜋 ℏ2 𝑡 sin 𝑒 2𝑚𝑎 𝑎 𝑎



dx



Dari nilai harap energi total dan nilai harap kuadrat energi total tersebut didapatkan nilai ketakpastian energi total sebagai berikut ∆𝐸 =



𝐸2



− 𝐸



2



= 0 Jadi,nilai harap energi total pada keadaan itu 𝜋 2 ℏ2 2𝑚𝑎2



adalah dengan ketakpastian sebesar nol. Karena ketakpastiannya nol berarti nilai energi total partikel bersifat pasti. Hal ini dapat memperjelas pernyataan sebelumnya bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana enrgi partikel bernilai pasti.



3.



Tunjukkan bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi



Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (energi kinetik ditambah energi potensial) sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tidak berubah terhadap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, kita selidiki bagaimana nilai harap hamiltonian sistem berubah terhadap waktu.



Berdasarkan persamaan 𝑑 𝑑𝑡



𝐴



1 = Ψ 𝑖ℏ



Â, Ĥ



Ψ



+



𝜕𝐴 𝜕𝑡 Ψ



Perubahan nilai harap terhadap waktu dapat dituliskan 𝑑 𝑑𝑡



𝐻



1 = Ψ 𝑖ℏ



𝐻, Ĥ



Ψ



+



𝜕𝐻 𝜕𝑡 Ψ



𝐻, 𝐻 =0



𝜕𝐻 𝜕𝑡



𝑑 𝑑𝑡



=0



𝐻



Ψ



=0



𝐻 = konstanta



Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonian sistem konservatif bersifat kekal. Ini berarti bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi (secara rata-rata).