Soal KTOM Desember 2020 [PDF]

Citation preview

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Kontes November 2020 27 – 30 November 2020



Berkas Soal



Definisi dan Notasi Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini. 1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu {1, 2, . . . }. 2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu {. . . , −1, 0, 1, 2, . . . }. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a, b adalah bilangan bulat dan b 6= 0.



a b



dengan



4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional. 5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional. 6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan riil. P Q 7. Notasi ki=1 ai menyatakan nilai dari a1 + a2 + · · · + ak , sedangkan notasi ki=1 ai menyatakan nilai dari a1 · a2 · · · · · ak . 8. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, n! (dibaca n faktorial) bernilai 1 × 2 × · · · × n. Contohnya, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1. 9. Untuk setiap bilangan riil x, notasi bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Sebagai contoh, b2.3c = 2, bπc = 3, b−2.89c = −3, dan b4c = 4. 10. Untuk setiap bilangan riil x, notasi dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Sebagai contoh, d2.3e = 3, dπe = 4, d−2.89e = −2, dan d4e = 4. 11. Untuk setiap bilangan riil x, notasi {x} menyatakan bagian pecahan dari x. Dengan kata lain, {x} = x − bxc. Sebagai contoh, {2.3} = 0.3, {9.99} = 0.99, {−2.89} = 0.11, dan {4} = 4. 12. Notasi min {a1 , a2 , . . . , ak } menyatakan bilangan riil terkecil dari kumpulan bilangan riil a1 , a2 , . . . , ak . Sebagai contoh, min {4, 1.5, 5} = 1.5, min {3.5, π, 3, 4} = 3, min {−5, 3} = −5, dan min {1} = 1. 13. Notasi max {a1 , a2 , . . . , ak } menyatakan bilangan riil terbesar dari kumpulan bilangan riil a1 , a2 , . . . , ak . Sebagai contoh, max {4, 1.5, 5} = 5, max {3.5, π, 3, 4} = 4, max {−5, 3} = 3, dan max {1} = 1. 14. Suatu barisan {an } disebut barisan aritmetika bila ai−1 − ai bernilai konstan (bisa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3, 5, 7, 9, . . . dan 2, 2, 2 merupakan barisan aritmetika. 15. Suatu barisan {an } disebut barisan geometrik bila ai+1 bernilai konstan taknol (bisa ai jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4, 6, 9 dan 5, 5, 5, 5, 5, . . . merupakan barisan geometrik. 16. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan riil a dan b adalah



Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



a+b . 2 Halaman 1



17. Rata-rata geometrik dari dua bilangan riil a dan b adalah 18. Rata-rata harmonik dari dua bilangan riil a dan b adalah



√



1 a



ab.



2 . + 1b



19. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a - b menyatakan a tidak habis membagi b. 20. a ≡ b (mod c) jika dan hanya jika c membagi |a − b|. 21. Notasi fpb(a1 , a2 , . . . , ak ) menyatakan bilangan asli terbesar yang merupakan faktor bagi seluruh bilangan asli a1 , a2 , . . . , ak . Sebagai contoh, fpb(24, 36) = 12, fpb(15, 7, 30) = 1, fpb(18, 13) = 1, dan fpb(15, 3, 27) = 3. 22. Notasi kpk(a1 , a2 , . . . , ak ) menyatakan bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan bagi seluruh bilangan asli a1 , a2 , . . . , ak . Sebagai contoh, kpk(24, 36) = 72, kpk(15, 7, 30) = 210, kpk(18, 13) = 234, dan kpk(15, 3, 27) = 135. 23. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima apabila fpb(a, b) = 1. 24. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagai ϕ(n), menyatakan banyak bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima dengan n.   n! n 25. Notasi menyatakan nilai dari . k k!(n − k)! 26. Pada suatu himpunan S, notasi |S| menyatakan banyak elemen dari S. 27. Pada 4ABC: (a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang. (b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC menjadi dua bagian yang sama besar. (c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis BC. (d) Titik berat 4ABC adalah perpotongan garis berat dari titik A, garis berat dari titik B, dan garis berat dari titik C. (e) Titik tinggi 4ABC adalah perpotongan garis tinggi dari titik A, garis tinggi dari titik B, dan garis tinggi dari titik C. (f) Lingkaran luar 4ABC adalah lingkaran yang melewati titik A, B, dan C. (g) Lingkaran dalam 4ABC adalah lingkaran di dalam 4ABC yang menyinggung segmen BC, CA, dan AB. 28. Pada segmen AB, notasi AB menyatakan panjang segmen AB. 29. Notasi AB k CD menyatakan garis AB sejajar dengan garis CD. 30. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contohnya, [ABC] dan [DEF G] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G.



Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



Halaman 2



Bagian A Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 1 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat nonnegatif. 1. Tentukan bilangan asli a terkecil sehingga 2020! + a habis dibagi oleh 2021. 2. Naruto memiliki enam koleksi anime berbeda untuk ditonton. Dua di antaranya adalah anime X dan anime Y. Naruto sebenarnya ingin menonton semua anime tersebut pada musim ini. Namun, karena kesibukannya, dia hanya bisa menonton tiga anime saja. Tentukan banyak cara Naruto untuk memilih tiga dari enam anime untuk ditonton pada musim ini dengan syarat bahwa apabila anime X dipilih, anime Y juga harus dipilih. Catatan : Naruto tidak memperdulikan urutan anime yang akan ditontonnya. 3. Diberikan lingkaran Γ dengan titik pusat O. Diketahui terdapat dua titik A dan B di dalam Γ dengan AB = 5 dan ∠AOB = 90◦ . Misalkan AB memotong Γ di dua titik M dan N . Apabila AM = 3 dan BN = 4, tentukan kuadrat dari panjang jari-jari Γ. 4. Tentukan median dari 2020 bilangan berikut 2, 4, 6, . . . , 2020, 22 , 42 , 62 , . . . , 20202 . 5. Diberikan tiga bilangan bulat x > y > z yang memenuhi ( x + y + z = 243 dan 5x + 6y + 7z = 1456. Tentukan nilai dari x. 6. Diberikan dua bilangan asli berbeda m dan n yang memenuhi kpk(m, n) m = . fpb(m, n) n Apabila m + n = 2020, tentukan nilai terbesar yang mungkin dari mn. 7. Sebuah bilangan asli n dikatakan yiz yizz apabila banyak cara untuk membentuk bilangan baru (termasuk n itu sendiri) dengan menyusun kembali digit-digit dari n adalah n cara. Tentukan banyak bilangan asli yiz yizz yang kurang dari 1010 . 8. Persegi panjang ABCD yang memiliki luas 20 digambarkan pada koordinat kartesius dengan titik A(0, 0), titik C berada di kuadran satu, serta sisi AB sejajar dengan sumbu-x. Definisikan segiempat baru AB 0 CD0 , dengan titik B 0 merupakan hasil translasi titik B sebesar dua ke kanan dan satu ke bawah, sedangkan titik D0 merupakan hasil translasi titik D sebesar satu ke kiri dan dua ke atas. Apabila luas segiempat AB 0 CD0 adalah 67 , tentukan keliling persegi panjang ABCD. 2 9. Diberikan himpunan S = {1, 2, 3, . . . , 10}. S akan dibagi menjadi dua himpunan A dan B yang masing-masing memiliki setidaknya dua anggota sehingga tidak ada satu anggota di A yang merupakan hasil penjumlahan dari dua anggota di B, dan sebaliknya. Tentukan banyak pembagian yang mungkin. Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



Halaman 3



10. Diberikan segitiga ABC dengan BC = 2AC = 12. Diketahui terdapat titik M yang merupakan titik tengah BC dan titik N pada segmen AC sehingga CN = 2AN √ dan M N = 4. Apabila panjang AB dapat dinyatakan dalam bentuk p q, dimana p adalah bilangan asli dan q adalah bilangan asli non-kuadrat, tentukan nilai dari 1000p + q. 11. Diberikan sebuah tabel berukuran 2020 × 2020 dengan kotak yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j di tabel tersebut berisikan bilangan i · j. Pada tabel tersebut, semua kotak yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j, dengan i dan j sama-sama genap atau sama-sama ganjil, diwarnai hitam, lalu kotak yang tersisa diwarnai putih. Misalkan H menyatakan jumlah seluruh bilangan di kotak hitam dan P menyatakan jumlah seluruh bilangan di kotak putih. Tentukan nilai dari |H − P |. 12. Definisikan bilangan palindrom sebagai bilangan asli yang dapat dibaca dengan dua cara, yaitu dibaca dari kiri ke kanan serta dibaca dari kanan ke kiri. Sebagai contoh, ketiga bilangan 111, 5445, dan 28382 merupakan bilangan palindrom. Tentukan bilangan asli m terbesar sehingga terdapat bilangan palindrom yang habis dibagi oleh m bilangan yang diambil dari himpunan {1, 2, 3, . . . , 10}. 13. Diberikan persegi panjang P QRS dengan P R = 2020 dan QR = 1010. Diketahui terdapat titik U pada segmen RS serta titik V dan W yang terletak di luar persegi panjang P QRS sehingga segiempat SU V W merupakan persegi. Misalkan titik T merupakan titik tengah P Q. Apabila lingkaran luar segitiga ST V memotong P S lagi di titik X, dengan SX = 1000, tentukan luas persegi SU V W . 14. Misalkan R≥0 adalah himpunan seluruh bilangan riil non-negatif. Tentukan banyak fungsi berbeda f : R≥0 → R≥0 sehingga untuk setiap bilangan riil non-negatif x, y, dan z, berlaku f (x + y + z) = f (x)2 f (y)2 f (z)2 . 15. Suatu fungsi f : N → N dikatakan lucu apabila untuk setiap bilangan asli n, berlaku f (f (n)) = 7n. Selanjutnya, suatu bilangan asli x dikatakan mantap apabila terdapat fungsi lucu f yang memenuhi f (1) = x. Tentukan jumlah dari semua bilangan asli mantap yang kurang dari 100. 16. PT. KTOM memiliki sebelas pekerja yang terdiri dari enam orang pria dan lima orang wanita. Perusahaan ini sedang mengerjakan empat buah proyek berbeda. Tentukan banyak cara untuk menugaskan kesebelas pekerja ini ke empat proyak tersebut sehingga setiap proyek dikerjakan oleh setidaknya satu orang pria. Catatan : Tidak ada dua pekerja yang saling kembar identik.



Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



Halaman 4



Bagian B Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah. Pastikan tidak ada identitas yang tercantum pada lembar jawaban Anda. 1. Diberikan papan catur berukuran 8 × 8. Dewangga ingin menghilangkan satu petak dari papan catur tersebut sehingga 63 petak sisanya dapat ditutupi oleh 21 persegi panjang berukuran 3 × 1 atau 1 × 3. (a) Masing-masing petak pada papan catur tersebut akan diberi angka dari 1 sampai 64 dengan penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kiri ke kanan. i. Buktikan bahwa apabila 63 petak di papan catur tersebut dapat ditutupi oleh semua persegi panjang, jumlah semua angka di 63 petak tersebut habis dibagi 3. ii. Tentukan sisa dari jumlah semua angka di papan catur ketika dibagi 3. Lalu, berdasarkan bagian i., tentukan semua kemungkinan petak yang bisa dibuang sehingga Dewangga kemungkinan bisa mendapatkan kondisi i.. (b) Masing-masing petak pada papan catur tersebut akan diberi tiga angka 1, 2, dan 3 secara siklis (1 → 2 → 3 → 1 → 2 → 3 → . . . ) dengan penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kiri ke kanan. i. Buktikan bahwa apabila 63 petak di papan catur tersebut dapat ditutupi oleh semua persegi panjang, banyak petak dengan angka 1, angka 2, dan angka 3 ketiganya adalah sama. ii. Tentukan banyak petak dengan angka 1, angka 2, dan angka 3 pada papan catur tersebut. Lalu, berdasarkan bagian i., tentukan semua kemungkinan petak yang bisa dibuang sehingga Dewangga kemungkinan bisa mendapatkan kondisi i.. (c) Masing-masing petak pada papan catur tersebut akan diberi tiga angka 1, 2, dan 3 secara siklis (1 → 2 → 3 → 1 → 2 → 3 → . . . ) dengan penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kanan ke kiri. i. Buktikan bahwa apabila 63 petak di papan catur tersebut dapat ditutupi oleh semua persegi panjang, banyak petak dengan angka 1, angka 2, dan angka 3 ketiganya adalah sama. ii. Tentukan banyak petak dengan angka 1, angka 2, dan angka 3 pada papan catur tersebut. Lalu, berdasarkan bagian i., tentukan semua kemungkinan petak yang bisa dibuang sehingga Dewangga kemungkinan bisa mendapatkan kondisi i.. (d) Berdasarkan bagian (a), (b), dan (c), tentukan semua kemungkinan petak yang bisa dibuang sehingga Dewangga kemungkinan bisa menutupi 63 petak yang tersisa dengan semua persegi panjang tersebut. Lalu, carilah contoh konfigurasi untuk masing-masing petak yang dibuang untuk mengkonfirmasikan bahwa petak tersebut memang bisa dibuang.



Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



Halaman 5



2. Diberikan segiempat konveks ABCD dengan 2



2



2



2



AB + CD = BC + AD = k, dimana k adalah bilangan riil positif. Tentukan, dengan bukti, luas terbesar yang mungkin dari segiempat ABCD (nyatakan dalam k). 3. Definisikan fungsi f : N → {1, 2} sebagai fungsi indikator modulo 2, dimana f (n) = 1 apabila n ganjil dan f (n) = 2 apabila n genap. Tentukan, dengan bukti, semua bilangan asli n ≥ 3 sehingga   n − f (n) = min ϕ(d). d|n,d≥3 τ (n) − f (n) 4. Kurumi memberikan Yoshino tiga bilangan riil positif a, b, dan c yang memenuhi a + b + c = ab + bc + ca. Definisikan g(a, b, c) = a1 + 1b + 1c dan p p p (abc + ab)(a + b) + (abc + ac)(a + c) + (abc + bc)(b + c) f (a, b, c) = . a+b+c Yoshino menang apabila dia bisa mengambil bilangan riil positif P dan Q sehingga persamaan f (x, y, z) − Q · g(x, y, z) = P memiliki solusi riil positif x, y, dan z serta pertidaksamaan f (a, b, c) − Q · g(a, b, c) ≤ P berlaku untuk bilangan riil positif a, b, dan  1 2c
yang diberikan oleh Kurumi. Buktikan bahwa untuk sembarang Q di interval , , Yoshino menang. 2 3



Kontes Terbuka Olimpiade Matematika



Halaman 6