Soal Latihan 2 Rev [PDF]

Citation preview

Soal latihan : 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan : a. = u12+u2 v22 di R2 b. = u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 di R3 c. = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 d. = 2u1v1 +u2v2 +3u3v3 Jawab : a) Dilakukan pembuktian memenuhi 4 syarat aksioma:



1. Simetris



: = = u12+u2 v22 ≠ v12+v2 u22 ≠



Jadi : = u12+u2 v22 di R2 bukan RHD b)



Dilakukan pembuktian memenuhi 4 syarat aksioma:



1. Simetris



: = = u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 = v1 u1 + 2 v2u2 – v3u3 =



2. Aditivitas



: = + =((u1+v1, u2 + v2, u3 + v3) . (w1, w2, w3)) = (u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2 - (u3 + v3)w3 = u1w1 + v1w1 + 2u2w2 + 2v2w2 - u3w3 - v3w3 = (u1w1+2u2w2- u3w3) + (v1w1+ 2v2w2- v3w3) = +



3. Homogenitas : = k , k : scalar



= ku1 v1 + 2k u2v2 – ku3v3 = k(u1v1 + 2u2v2 - u3v3) = k< u,v >



4. Positivitas



: ≥ 0 dan ( = 0



u = 0)



= u1u1 + 2 u2u2 – u3u3 = u12 + 2u22 – u32 ≠≥0 Jadi : = u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 di R3 bukan RHD



c) Dilakukan pembuktian memenuhi 4 syarat aksioma: 1. Simetris



: = = u1v3 + u2v2 + u3v1 = v3 u1+ v2u2 + v1u3 =



2. Aditivitas



: = + =((u1+v1, u2 + v2, u3 + v3) . (w1, w2, w3)) = (u1+v1)w1 + (u2+v2)w2 + (u3 + v1)w3 = u1w1 + v1w1 + u2w2 + v2w2 + u3w3 + v1w3 = (u1w1+ u2w2+ u3w3) + (v1w1+ v2w2+ v1w3) = +



3. Homogenitas : = k , k : scalar = ku1 v3 + k u2v2 + ku3v1 = k(u1v3 + u2v2 + u3v1) = k



4. Positivitas



: ≥ 0 dan ( = 0 = u1u3 + u2u2 + u3u1



u = 0)



= 2u1u3 + u22 ≠≥0 Jadi : u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 bukan RHD



d) Dilakukan pembuktian memenuhi 4 syarat aksioma: 1. Simetris



: = = 2u1v1 +u2v2 +3u3v3 = 2v1u1 +v2u2 +3v3u3 =



2. Aditivitas



: = + =((u1+v1, u2 + v2, u3 + v3) . (w1, w2, w3)) = 2(u1+v1)w1 + (u2+v2)w2 +3(u3 + v3)w3 = 2u1w1 + 2v1w1 + u2w2 + v2w2 +3u3w3 +3v3w3 = (2u1w1+ u2w2+3u3w3) + (2v1w1+ v2w2+3v3w3) = +



3. Homogenitas : = k , k : scalar = k2u1 v1 + k u2v2 + k3u3v3 = k(2u1v1 + u2v2 + 3u3v3) = k< u,v >



4. Positivitas



: ≥ 0 dan ( = 0



u = 0)



= 2 u12 + u22 + 3u32 =≥0 = 0



u = 0)



Jadi : = 2u1v1 +u2v2 +3u3v3 di R3 merupakan RHD



2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah ortogonal dalam ruang Euclides Jawab : q1.q2 = 0 k2 + 5 k + 6 = 0 (k + 3)(k + 2) = 0 k1 = - 3 dan k2 = -2 3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor (1,1,0) dan (1,0,-1) Tentukan proyeksi ortogonal vektor (-1,1,2) pada W Jawab : Langkah pertama dilakukan pengecekan apakah vektor basis W ortogonal dengan perkalian skalar (dot product) : u1 . u2 ternyata ≠ 0, sehingga dilakukan pencarian vektor basis lain yang ortogonal. Persamaan bidang W :



1 y 1



1 z 0



0



-1



y z y -z



x Dimisalkan basis yang ortogonal adalah : w



y z



Sehingga u1.w = 0 x+y=0 Sedangkan persamaan bidang W adalah : x = y +z 1 2



Dengan menyelesaikan 2 SPL homogen diperoleh : w



- 12 z -z



Dengan menggunakan Metode Gramm – Schmidt : Dicari komponen W :



w1



w2



u1 u1



u2 u2



1 1 2



2 1 0



u2 , w1 u2 , w1



1 2



2



1 2



2



0



w1 w1



1 2 1 3



1 6



6



6 - 12



- 16 6



-1



- 13 6



1 2



z u2



- 12 -1



Proyeksi orthogonal vektor (-1,1,2) pada W adalah : Cara 1. Proyw (v) = z1 = w1 + w2



0



6 -



1 6



6



1 6



6



-1 1 2



- 13 6 Cara 2.



u1.v u2 .v u1 u2 u1.u1 u2 .u2



proyw (v)



( (



1 2 1 4



1 2 1 4



1 2



2) 1 -2 1) -1



-1 0



1 2



4. Diketahui B={u1, u2} dan C ={v1, v2} adalah basis ruang vektor V dengan u1 =(2, 2), u2= (4, -1), v1=(1, 3) dan v2= (-1, -1). Tentukan matrik transisi P dari basis B ke basis C . Jawab :



C



B



I



P



1 -1 2 4 b21(-3) 1 -1 2 4 b2(1/2) 3 -1 2 -1 0 2 -4 -13



1 -1 2 4 0 1 -2 -



5 2 13 -2 2 0 -



P



13 2



5 2 13 0 1 -2 2



b12(1) 1 0



0 -