Soal Soal Pisa [PDF]

Citation preview

Nama : Saiful Anam NIM



: 150210101118 Soal soal PISA



1. Pada jaman dahulu ada seorang yang beruntung mendapat tawaran sebidang tanah dari dermawan. Jumlah tanah yang akan diberikan adalah seluas daerah tertutup yang dibatasi oleh jejak jalan sejak matahari terbit sampai terbenam. Tentukan luas tanah yang diberikan. 2. Seorang tukang listrik harus mengambil sekering listrik yang terdiri dari sekering 15 A dan 20 A tanpa dapat memilih. Dalam satu kali ambil, ia menginginkan ada dua sekering yang mempunyai ukuran yang sama besar. Tentukan jumlah yang harus diambil yang harus diambil. 3. Dalam suatu pesta, tidak ada pemuda yang berdansa dengan setiap pemudi, tetapi setiap pemudi berdansa sedikitnya dengan satu pemuda. Buktikan bahwa tidak ada pasangan pw dan p’w’ yang berdansa dengan p tidak berdansa dengan w’ atau w tidak berdansa dengan p’. 4. Suatu bilangan jika salah satu angkanya dihapus dan kemudian dikalikan 9, maka akan kembali ke bilangan semula. Perlihatkan bahwa bilangan yang dihapus adalah angka pertama atau kedua. 5. Ada dua cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk kapal terbang ada 4 penerbangan, dan kapal laut ada 3 kapal. Berapa banyak cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak. 6. Penjaga perpustakaan bermaksud untuk menyimpan buku sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika ia mempunyai 12 tempat untuk 5 buku berbeda dalam bahasa Inggris, 4 buku dalam bahasa Perancis, dan 3 buku berbeda dalam bahasa Jerman, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut. 7. Ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk berjajar. Berapa cara kemungkinan mereka duduk jika 1. 3 pemudi duduk dalam satu blok (yaitu tiga berjajar). 2. Pada ujung-ujung duduk pemuda dan tidak ada pemudi yang duduk berjajar. y x 8. Kita akan berjalan dari titik X ke titik Y melalui jalan yang tersedia (lihat gambar diatas). Berapa banyak cara jalan terpendek yang dapat ditempuh. 9. Dari bilangan bulat 1,2,...,200, kita piilih 101 bilangan. Perlihatkan bahwa dari yang kita pilih ada 2 bilangan yang satu habis dibagi dengan yang lain. 10. Seorang pemain catur handal mempunyai waktu 11 minggu untuk mengikuti suatu turnamen. Sebagai persiapan, ia ingin berlatih setiap hari dengan memainklan sedikitnya 1 permainan catur (gem), tetapi ia tidak ingin lebih dari 12 gem dalam satu minggu. Buktikan bahwa ia pernah melakukan permainan sebanyak tepat 21 gem dalam beberapa hari yang berurutan.



Jawaban soal pisa 1. Jawaban soal no 1. 1.1. Hal-hal yang perlu diperhatikan adalah a. Berapa cepat orang tersebut berjalan? b. Kecepatan berjalan bergantung pada situasi tanah. c. Pada beberapa daerah, waktu matahari terbit sampai dengan tenggelam bergantung pada hari. d. Bagaimana dengan bentuk lintasan orang berjalan? e. Jika diketahui panjang lintasan, bagaimana dengan menghitung luas daerah. 1.2. Misalkan orang tersebut berjalan 3 km/jam, jalan terletak pada daerah berkotak dengan bentuk persegi dengan ukuran 1/16 km dan anggap bahwa waktu dari matahari terbenam terbit sampai dengan matahari terbenam adalah 12 jam, dan orang tersebut berjalan mengelilingi persegi. 1.3. Jika seorang dapat berjalan 3 km/jam selama 12 jam, maka ia menempuh sepanjang 36 km. Dalam ukuran kotak yang tersedia, maka ia menempuh 38*16 kotak, tetapi ini merupakan keliling dari persegi. Jadi ukuran persegi afalah (36*16)/4 = 144 kotak. Jadi, kotak yang merupakan bagian dari tanah yang diberikan sebanyak 144*144 = 20736 kotak atau 20736*(1/16)*(1/16) = 81 km2. 1.4. Perhitungan serupa juga dapat dilakukan jika diketahui daerah berbentuk persegi dengan perbandingan antara panjang dan lebar diketahui. 2. Kalau ia mengambil hanya dua biji, maka kemungkinannya adalah 2.1. Dua biji berukuran 15 A dan tak ada yang berukuran 20 A. 2.2. Satu biji berukuran 15 A dan satu biji berukuran 20 A. 2.3. Tidak ada ukuran 15 A dan dua biji berukuran 20 A. Oleh karena itu ia harus mengambil tiga biji. 3. Agar lebih memahami persoalan tersebut maka akan dimisalkan kedalam bentuk matrik. Misalkan matrik pemuda berkaitan dengan satu baris dan setiap pemudi berkaitan dengan kolom. Kita akan menuliskan 0 atau 1 pada baris ke i dan kolom ke j jika pemuda ke i tidak berdansa dengan pemudi ke j, atau mereka berdansa. Kondisi bahwa tidak ada pemuda yang berdansa dengan setiap pemudidapat disajikan bahwa setiap baris sedikitnya satu elemen bernilai 0. Serupa dengan hal tersebut, setiap kolom mempunyai sedikitnya satu elemem bernilai 1. Kita akan membuktikan bahwa ada dua baris p dan p’ dan dua kolom w dan w’ sehingga mempunyai bentuk 1 0 0 1 0 1 1 0 Misalkan h sebarang baris. Berdasarkan syarat pertama, maka baris tersebut mempunyai kolom k dengan elemen di baris ke h dan kolom ke k berisi 0. Selanjutnya dengan ketentuan kedua, kolom tersebut mempunyai elemen bernilai 1, misalkan elemen tersebut terletak di baris ke m. Persoalan selesai jika ada kolom dengan elemennya bernilai 1 di baris ke h dan bernilai o di baris ke m ? 𝑘 ℎ 1 0 𝑚 0 1 Sekarang kita selesaikan kasus ini. Misalkan p adalah pemuda yang berdansa dengan paling banyak pemudi dan w’ pemudi yang tidak berdansa dengan p dan p’ pemuda yang berdansa



4.



5. 6.



7.



8.



dengan w’. Diantara kawan dansa dari p pasti ada satu pemudi w yang tidak berdansa dengan p’ sebab dalam hal lain, maka p’ akan berdansa dengan pasangan lebih banyak dari p. Jadi pasangan pw dan p’w’ menyelesaikan masalah. Andaikan penghapusan terjadi pada angka ketiga atau lebih. Jika bilangan semula N = a0*10n + a1*10n-1 +...+an Akan menjadi bilangan baru a0 *10n-1 + a1*10n-2 + b1*10n-3 + ...+ bn-2 dengan b1,...,bn-2 urutan baru dari angka ketiga dan seterusnya. Jika dikalikan 9, akan diperoleh bilangan semula. Sepuluh kalinya bilangan baru adalah (10N/9)-N = a0*10n + a1*10n-1 + b1*10n-2 +... dan selisihnya adalah (10N/9)-N = (a1-b1)*10n-2 + ...≤ 10n-1 atau (1/9)N≤10n-1 Hal ini tidak mungkin, sebab N/10 = a0*10n-1+...≥10n-1≥(1/9)N dengan pembagian lebih besar (10>9), memberikan asil lebih besar. Jadi penghapusan dilakukan tidak pada angka ketiga atau lebih, melainkan pertama dan kedua. Karena cara berpergian dari jakarta ke pontianak dengan udara dan laut merupakan dua hal terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan, yaitu 4 + 3 = 7cara. Pertama, terdapat 3 unsur yaitu bahasa inggris, perancis dan jerman. Kemudian, jika susunan baasa tela ditentukan, masing-masing buku dengan bahasa sama akan berpermutasi antara mereka sendiri. Karena permutasi antar bahasa dan permutasi antar buku saling bebas, maka jumla permutasi diperoleh dengan mengalikan semuanya. Permutasi tiga bahasa ada 3!, permutasi bahasa inggris 5!, bahasa perancis 4! Dan bahasa jerman 3!, sehingga jumlanya adala 3!5!4!3! = 103.680 susunan Walaupun tela diberikan rumus, tetapi seringkali soal lebi muda diselesaikan dengan cara di bagian pertama. Karena 3 pemudi harus duduk berjajar, maka mereka dapat dianggap sebagai orang sehingga masala diatas dapat dipandang sebagai permutasi 6 orang (sebagai ganti dari 8 orang). Dalam hal ini ada 6!. Tetapi didalam susunan duduk pemudi, ada 3!. Karena mereka merupakan dua proses yang saling bebas, maka secara keseluruan ada 6!3! Pertama, kita mulai 5 pemuda untuk duduk. Dalam hal ini ada 5! Kemungkinan. Misalkan posisi duduk 5 pemuda adalah sebagai berikut P1 * P2 * P3 * P4 * P5 P = posisi duduk pria, * = posisi duduk pemudi Pemudi pertama mempunyai 4 pilihan duduk, pemudi kedua mempunyai 3 pilihan duduk dan pemudi ketiga mempunyai 2 pilian duduk. Seingga secara keseleruhan ada 5!*4*3*2*1 Tulis A adalah himpunan semua jalan terpendek dari X ke Y. Jalan terpendek ini adalah jalan yang ke arah kanan atau ke atas (tidak ada jalan ke arah kiri atau ke bawah). Dengan demikian pada setiap titik sudut, kita mempunyai pilihan ke atas atau ke kanan. Jika jalan ke kanan kita tulis sebagai angka “1” dan jalan ke atas dengan angka “2”, maka kita harus menetukan bilangan yang terdiri dari 7 angka terdiri 4 angka “1” dan 3 angka “2”, karena 4 kali ke kanan dan 3 kali ke atas. Pada gambar, susunan angka yang sesuai adalah 1121212. Jika B adalah himpunan semua



bilangan dengan 7 angka dengan 4 angka “1” dan 3 angka “2”, maka n(A) = n(B). Dalam hal ini kita cukup menghitung n(B), yaitu mengganti 3 angka satu (dengan angka 2) dari 7 kemungkinan. Jadi n(B) = C73 = 7!/3!(7-3)! 9. Tuliskan bilangan bulat 1,2,...,200 dalam bentuk 2k *a, dengan a bilangan bulat ganjil dan k≥0 terbesar dari yang mungkin. Sebagai contoh 50 = 2*25, 36 =22 * 9, 199 = 199 Perhatikan bawa dari 1,2,...,200, maka nilai a yang mungkin adalah bilangan 1,3,5,...,199 yaitu sebanyak 100 bilangan. Sekarang, kita telah memilih 101 bilangan, maka ada dua bilangan yang mempunyai a yang sama, misalkan bilangan tersebut 2p *a, dan 2q *a, dengan p