13 0 758 KB
STRUKTUR ALJABAR II βRINGβ
DisusunOleh: KELOMPOK III SRI WAHYUNI SAM
(101104001)
APRISAL
(101104004)
AZLAN ANDARU
(101104006)
PRIMA MITRA
(101104020)
MUH.ICHSAN NAWAWI
(101104024)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMTIKA DAN ILMU PEMNGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2012
PETA KONSEP
2
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
RING
Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifatsifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan o dinamakan Ring. 1.
RING Definisi: Suatu ring (R,+,o) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (o) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut : 1.
Tertutup, Misalkan a dan b adalah anggota R maka a dan b tertutup bila π + π = β
2.
Assosiatif terhadap penjumlahan (+), Misalkan π, π, π β βmaka (a + b) + c = a + (b + c)
3.
Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+), Misalkan π β β maka a + e = e + a = a
4.
Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+), Misalkan π β β maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5.
Komutatif terhadap penjumlahan (+), Misalkan π, π β β maka a + b = b + a
6.
Tertutup terhadap penjumlahan (+), Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila π . π β β
7.
Assosiatif terhadap perkalian (o), Misalkan π, π, π β β maka (a . b) . c = a . (b . c)
8.
Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o), Misalkan π β β maka a . e = e . a = a
9.
Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+), 3
Misalkan π, π, π β β maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila : Suatu ring (R,+,o) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan o. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifatsifat berikut berlaku. 1.
(R,+) merupakan grup komutatif
2.
(R,o) merupakan semigrup
3.
β π₯, π¦, π§ β π
berlaku: a.
π₯. π¦ + π§ = π₯. π¦ + π₯. π§
b.
(x+y) . z = x.z+y.z
Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ringdengan operasi yang diberikan 1.
(Z, + , o)
2.
(Q, + , o)
3.
(R, + , o)
4.
(C, + , o)
5.
(Zn, + , o)
6.
(M(2,Z), + , o)
7.
(Z[β2], + , o)
8.
(fR, + , 0)
9.
( RxS, + , o), dengan R dan S masing-masing merupakan ring
4
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh 1: Z4 merupakan suatu Ring.
Akan ditunjukkan bah wa Z4 = {0,1,2,3} merupakan suatu Ring bila memenuhi: 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +) ο·
Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z4 Misalkan 0, 1, 2, 3 β π4 1+0=1 1+1=2 1+2=3 1+3=0 Karena hasilnya 0, 1, 2, 3 β π4 , maka tertutup terhadap π4 ,
ο·
Assosiatif Ambil sebarang nilai dari π4 , Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 β π4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
5
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2 sehingga:
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
(a + b) + c = a + (b + c) Maka π4 assosiatif ο·
Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari π4 o
misalkan 0 β π4 0+e=e+0=0
o
misalkan 1 β π4 1+e=e+1=1
o
misalkan 2 β π4 2+e=e+2=2
o
misalkan 3 β π4 3+e=e+3=3
maka π4 ada unsur satuan atau identitas ο·
Adanya unsur balikan atau invers o
Ambil sebarang nilai dari π4 , misalkan 0 π π4 , pilih 0 π π4 , sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
o
Ambil sebarang nilai dari π4 , misalkan 1π π4 , pilih 3 π π4 , sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3
o
Ambil sebarang nilai dari π4 , misalkan 2 π π4 , pilih 2 π π4 , sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1= 2
o
Ambil sebarang nilai dari π4 , misalkan 3 π π4 , pilih 1 π π4 , sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers ο·
Komutatif Ambil sebarang nilai dari π4 misalkan a = 2, b = 3 π π4 (a + b) = (2 + 3) = 1 6
(b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga :
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
(a + b) = (b + a) = 1 maka Z4 komutatif Jadi Z4 = {0,1,2,3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +) 2. Semigrup terhadap perkalian (Z4, o) ο·
Tertutup Ambil sebarang nilai dari π4 Misalkan 0, 1, 2, 3 π π4 1.0=0 1.1=1 1.2=2 1.3=3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 π π4 , maka tertutup terhadap π4
ο·
Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 π π4 (a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2 a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2 Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (π4 , o). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari π4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 π π4 a.(b + c) = 2.(1 + 3)
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2.(0)
=2+6
=0
=0 maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
7
(a + b).c = (2 + 1).3
(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= (3).3
=2+3
=1
=1 maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, π4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadappenjumlahan. Karena π4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka π4 adalah suatu Ring (π4 ,+,o). Contoh 2: Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,o) Akan dibuktikan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring. +
-1
1
Γ
-1
1
-1
0
0
-1
1
-1
1
0
0
1
-1
1
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa R = {-1, 1} hanya tertutup terhadap operasi perkalian dan tidak tertutup terhadap penjumlahan karena terdapat unsur 0 yang bukan elemen dari R = {-1, 1}. Jadi dapat disimpulkan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z2 = {0, 1}, (Z2,+,o)merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan danmemenuhi sifat-sifat dari Ring. 2.
RING KOMUTATIF Definisi: Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,o) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
8
Jika pada ring R, berlaku sifat a.b = b.a, βa,b βR, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring). Contoh 3: Dari contoh 1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,o) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian: Dari contoh 1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring. Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a . b = b . a, β π, π π π4 Ambil sebarang nilai dari π4 , misalkan 2 dan 3 π π4 (pada tabel sebelumnya) 2 o4 3 = 2 3 o4 2 = 2 sehingga 2 o4 3 = 3 o4 2 = 2 Karena Ring (π4 ,+,o) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (π4 ,+,o) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. Contoh 4: Misalkan P = {genap, ganjil} dan P β Z. Tunjukan bahwa elemen-elemenbilangan βgenapβ dan βganjilβ adalah suatu Ring Komutatif.
Dari tabel 6.2.akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakansuatu Ring Komutatif bila memenuhi : οΌ Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) οΌ Tertutup
9
Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap, ganjil β P
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap karena hasilnya genap dan ganjil β P, maka tertutup terhadap P οΌ Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap β P (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil maka P assosiatif οΌ Adanya unsur satuan atau identitas ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap β P, pilih genapβP, sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil β P, pilih genapβ P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas οΌ Adanya unsur balikan atau invers ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap βP, pilih genapβ P, sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap
ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil βP, pilih ganjil β P, sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil maka P ada unsur balikan atau invers
οΌ Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkana = genap, b = ganjil βP 10
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} m merupakan Grup Komutatif terhadappenjumlahan (P,+). 2. Monoid terhadap perkalian (P,o) οΌ Tertutup Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap dan ganjil β P genap .ganjil = genap genap .genap = genap ganjil .ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil βP, maka tertutup terhadap P οΌ Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap β P (a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap .genap = genap Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = genap maka P assosiatif οΌ Adanya unsur satuan atau identitas ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genapβP, pilih ganjilβ P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
ο·
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil β P, pilih ganjilβ P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas οΌ Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjilβ P 11
(a . b) = (genap . ganjil) = genap (b . a) = (ganjil . genap) = genap Sehingga : KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
(a . b) = (b . a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatifterhadap perkalian (P, o). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap βP a.(b + c) = genap . (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). genap = (ganjil). genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap) = genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,o).
12
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
3.
RING DENGAN UNSUR KESATUAN Definisi: Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a o1 = 1 oa = a, βa βR, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan. οΆ Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. οΆ Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π
dengan ab=0 maka a=0 atau b=0 οΆ Suatu ring R disebut trivial jika untuk setiap π, π β π
, ab=0 (0 unsur nol di R) dan disebut ringnol jika anggota di R hanya satu (tunggal) 13
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh 5: Tunjukan bahwa Ring (π4 ,+,o) merupakan suatu Ring (π4 ,+,o) merupakan suatu Ring merupakan suatu Ring dengan unsur kesatuan. Penyelesaian : Telah ditunjukkan pada pembahasan sebelumnya jika (π4 ,+,o) merupakan suatu Ring, sekarang kita tunjukkan (π4 ,+,o) memiliki unsur kesatuan. β π β π4 , 1 π π = π π 1 = π Misal π = 2, ππππ 1 Γ 2 = 2 Γ 1 = 2 Jadi 1 merupakan unsur kesatuan dari(π4 ,+,o). Maka terbukti bahwa (π4 ,+,o) merupakan ring dengan unsur kesatuan Contoh 6: Apakah π =
π 0
π π, π, 0 β π§ dengan sifat penjumlahan dan perkalian matriks 0
merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan ? Penyelesaian: οΆ M untuk operasi + dan obukan merupakan ring komutatif, karena (M,o) π 0
β π 0
π π . 0 0
π ππ = 0 0
π π π , β π: π, π, π, π, 0 β π 0 0 0 ππ π π π π β . 0 0 0 0 0
οΆ M untuk operasi + dan . tidak memiliki unsur kesatuan, karena (M,.) β
π 0
1 π βπβ 0 0
0 1 β π, β. . 1 0
0 1 = 1 0
0 π . 1 0
π π = 0 0
π 0
Maka (M,+,o) merupakan non komutatif dan tanpa elemen kesatuan 4.
DAERAH INTEGRAL Definisi Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (IntegralDomain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol. 1.
Tertutup terhadap penjumlahan (+) 14
Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila π + π β π
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
2.
Assosiatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b, c β π
maka (a + b) + c = a + (b + c)
3.
Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) Misalkan π β π
maka a + e = e + a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) Misalkan π β π
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan π, π β π
maka a + b = b + a 6. Tertutup terhadap perkalian (.) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila π. π β π
7. Assosiatif terhadap perkalian (o) Misalkan a,b,c β π
maka (a.b).c = a.(b.c) 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o) Misalkan π β π
maka a.e = e.a = a 9. Komutatif terhadap perkalian (o) Misalkan π, π β π
maka a . b = b . a 10. Tidak ada pembagi nol Misalkan π, π β π
Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0 11. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+) Misalkan π, π, π β π
maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c) KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
15
Contoh 7: Z4 bukan merupakan Integral Domain. x 0 0 0 1 0 2 0 3 0 Dari tabel tersebut, dapat
1 2 3 0 0 0 1 2 3 2 0 2 3 2 1 kita lihat bahwa [2] merupakan pembagi nol,dimana
diperolah [2].[2] = 0, sedangkan pada syarat daerah Integral tidak memiliki pembagi nol serta, diperoleh [2].[2] = 0 Jadi
dapat
disimpulkan
bahwa
Z4
bukan
merupakan
suatu
IntegralDomain karena memiliki pembagi nol yaitu [2]. Contoh 8: Dari contoh 4, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. Penyelesaian: Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {β¦,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {β¦, -4, -2, 0, 2, 4,β¦} adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak adaunsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, β a, b β P
16
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh 9: Tunjukkan π3 merupakandaerah integral Penyelesaian: Akan ditunjukkan bahwa Z3 = {0,1,2,} merupakan suatu Ring bila memenuhi: +3
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
2
2
2
π3
0
1
2
0
0
0
0
2
1
0
1
2
1
2
0
2
1
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +) ο·
Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z3 Misalkan 0, 1, 2, β π3 1+0=1 1+1=2 1+2=3 Karena hasilnya 0, 1, 2β π3 , maka tertutup terhadap π3 ,
ο·
Assosiatif Ambil sebarang nilai dari π3 , Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0β π3 (a + b) + c = (2 + 1) + 0 = 3 + 0 = 0 a + (b + c) = 2 + (1 + 0) = 2 + 1 = 0 sehingga: (a + b) + c = a + (b + c) Maka π3 assosiatif
ο·
Adanya unsur satuan atau identitas 17
Ambil sebarang nilai dari π3 o
misalkan 0 β π3
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
0+e=e+0=0 o
misalkan 1 β π3 1+e=e+1=1
o
misalkan 2 β π3 2+e=e+2=2
maka π3 ada unsur satuan atau identitas ο·
Adanya unsur balikan atau invers o
Ambil sebarang nilai dari π3 , misalkan 0 π π3 , pilih 0 π π3 , sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
o
Ambil sebarang nilai dari π3 , misalkan 1π π3 , pilih 3 π π3 , sehingga 1 + 3 = 1 = e, maka (1)-1 = 2
o
Ambil sebarang nilai dari π3 , misalkan 2 π π4 , pilih 2 π π4 , sehingga 2 + 2 = 1 0 = e, maka (2)-1= 1
Maka π3 ada unsur balikan atau invers ο·
Komutatif Ambil sebarang nilai dari π3 misalkan a = 2, b = 1π π3 (a + b) = (2 + 1) = 0 (b + a) = (1 + 2) = 0 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 0 maka π3 komutatif
Jadi Z4 = {0,1,2} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +) 2. Semigrup terhadap perkalian (Z3, o) ο·
Tertutup Ambil sebarang nilai dari π3 Misalkan 0, 1, 2π π4 18
1.0=0 1.1=1 1.2=2 KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
karena hasilnya 0, 1, 2π π3 , maka tertutup terhadap π3 ο·
Assosiatif Ambil sebarang nilai dari π3 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0π π3 (a . b) . 0 = (2 . 1) . 0 = 2 . 0 = 0 a . (b . 0) = 2 . (1 . 0) = 2 . 0 = 0 Sehingga : (a . b) . c = a . (b . c) = 0 maka π3 assosiatif Jadi, π3 = {0, 1, 2} merupakan Semigrup terhadap perkalian (π3 , o).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari π3 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0π π4 a.(b + c) = 2.(1 + 0)
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.0)
= 2.(1)
=2+0
=2
=2 maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 2
(a + b).c = (2 + 1).0
(a.c) + (b.c) = (2.0) + (1.0)
= (3)0
=0+0
=0
=0 maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 0
Jadi, π3 = {0, 1, 2} distributif perkalian terhadappenjumlahan. Karena π3 = {0, 1, 2} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka π4 adalah suatu Ring (π3 ,+,o). 4. Memiliki unsur kesatuan β π β π3 , β π π π = π π π = π, βπ β π3 19
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh : Unsur kesatuan dari π3 adalah 1, karena 1π2= 2π1 =2 1π0= 0π1 =0 1π1= 1π1 =1 Jadi Ring (π3 ,o) memiliki unsur kesatuan. 5. Tanpa pembagi nol Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π
dengan ab=0 maka a=0 atau b=0 Contoh : Untuk a = 1,2 b = 1,2 , maka 1 π3 1 β 0 1 π3 2 β 0 2 π3 1 β 0 2 π3 2 β 0 Karena tidak terdapat anggota dari π3 dimana π β 0 πππ π β 0 yang memenuhi ab=0 maka π3 merupakan ring tanpa pembagi nol Karena memenuhi semua syarat, maka (ππ,+,π ) merupakan daerah integral
5. RING PEMBAGIAN Definisi: Suatu ring R dinamakanring pembagian (Division Ring) jika memenuhi: 1.
π
β₯ 2 π
= ππππ¦ππππ¦π ππππππ‘π ππ π
2. R memiliki unsur kesatuan
20
3. β π₯ β π
ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π
π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Teorema: Ring pembagian merupakan ring tanpa pembagi nol. Contoh 10: A={0,1,2,3,4}
terhadappenjumlahandanpergandaan
modulo
5
merupakan
Ringpembagian yang komutatif Contoh 11: Tunjukkan bahwa π5 merupakan ring pembagian. Penyelesaian : +5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
π5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Berdasarkan tabel di atas dapat dilihat bahwa perkalian modulo 5 dan dua unsur di dalam π5 tetap merupakan unsur dalam π5 lagi. Ini berarti π5 tertutup terhadap operasi perkalian modulo 5.Sifat assosiatif terhadap perkalian modulo 5 dapat diselidiki satu per satu, demikian juga sifat distributif kiri dan distributif kanannya.Hal ini mungkin dilakukan karena banyaknya elemen dari π5 berhingga.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (π5 , +5, o5) merupakan ring dengan banyaknya elemen berhingga.
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
21
1. Banyak anggota dari π5 β₯ 2 2. βπ, π β π5 ππππ π. π = π. π = π
Misal a=1,b=3 ππππ 1 .5 3 = 3 .5 1 = 3 3. β π₯ β π5 ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π
π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1
Misal x = 2, y = 3 ππππ 2 .5 3 = 3 .5 2 = 1 Misal x = 4, y = 4 ππππ 4 .5 4 = 4 .5 4 = 1, dst. Karena (π5 , +5, o5) merupakan ring dengan banyaknya elemen berhingga dan memenuhi ketiga syarat diatas maka (π5 , +5, o5) merupakan ring pembagian Contoh 12: π4 bukan merupakan ring pembagian. x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota π4 kecuali nol (0) yang mempunyai pasangan sehingga memenuhi β π₯ β π4 ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π
π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1 Contoh : Untuk x = 2, y = 1, maka 2 π 1 = 1 π 2 β 1 6. FIELD Definisi: Field
adalah
suatu
Ring
yang
unsur-unsur
bukan
nolnya
membentuk
GrupKomutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian. Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu strukturaljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,o) merupakan suatu Grup Komutatif KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
22
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kitabuktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan. Definisi: Ring pembagian yang komutatif disebut lapangan (field)
Contoh 13: (1) Jika a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol. (2) Jika A field maka A daerah integral. Bukti : (1) Misalkan ab = 0 Karena a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a1diperoleh a-1 (ab) = a-1 0 (a-1 a)b = 0 1.b=0 b=0 Dengan cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0.Oleh karena itu, a bukan pembagi nol. (2) Karena setiap field merupakan ring komutatif dengan angngota satuan makatinggal dibuktikan bahwa dalam field tidak terdapat pembagi nol. Karena setiap anggota field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan mengingat sifat (1) sebarang field tidak mengandung pembagi nol. Berarti setiap field merupakan suatu daerah integral.
23
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh 14: Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akanditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. Penyelesaian: Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikanatau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: β π β π, β πβ1 β πsedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil οΌ
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap β P, pilih ganjil β P,sehingga genap.ganjil = genap β e
οΌ
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap βP, pilih genap β P,sehingga genap.genap = genap β e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukanmerupakan Field. Contoh 15: Tunjukkan bahwa π5 merupakan field? Penyelesaian: Telah dibuktikan bahwa π5 merupakan ring pembagian,dan syarat field adalah ring pembagian yang komutatif, maka kita hanya membuktikan bahwa π5 memenuhi syarat komutatif. βπ, π β π5 ππππ π. π = π. π Misal a = 0,1,2,3,4 dan b = 0,1,2,3,4, maka 1π5 2 = 2π5 1 = 2 2π5 4 = 4π5 2 = 3 24
2π5 3 = 3π5 2 = 1, dst.
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Contoh 16: π4 bukan merupakan ring pembagian. x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota π4 kecuali nol (0) yang mempunyai pasangan sehingga memenuhi β π₯ β π4 ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π
π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1. Karena π4 bukan merupakan ring pembagian maka π4 juga bukan merupakan field.
Contoh: 1.
Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemensatuan, dan tidak memuat pembagi nol sehingga merupakan daerahintegral. Q dan R merupakan lapangan sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 β π§ dan 2β1 = Β½ bukan elemen Z
2.
π3, π4 , π5 , π9 , masing-masing merupakan ring komutatif, ring denganelemen satuan. Z3, Z5 merupakan daerah integral dan merupakan fieldsedangkan π4 , π9 bukan merupakan daerah integral dan bukanlapangan
25
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
Rangkuman 1.
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing (Gelanggang) bila : οΆ (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif οΆ (R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid οΆ Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2.
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing (Gelanggang) Komutatif bila : οΆ (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif οΆ (R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif οΆ Distributif perkalian terhadap penjumlahan
3.
Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π
dengan ab=0 maka a=0 atau b=0
4.
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuIntegral Domain (Daerah Integral) bila : οΆ (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif οΆ (R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif οΆ Tidak ada pembagi nol οΆ Distributif perkalian terhadap penjumlahan
5.
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuField (Lapangan) bila : οΆ (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
26
οΆ (R-0,o) merupakan suatu Grup Komutatif οΆ Distributif perkalian terhadap penjumlahan
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II