Sub Grup Normal [PDF]

Citation preview

Contoh soal!! 1. Misalkan G adalah grup dari S3 yakni { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }. Misalkan H ={(1), (1 2 3), (1 3 2) } adalah subgrup dari G.Akan ditunjukkan bahwa H adalah subgroup normal dari G. Penyelesaian : Dengan menggunakan definisi “Jika N subgrup dari G maka N disebut subgrup normal dari G jika g G,n N berlaku gng-1 N” Dengan mengambil g G, h H diperoleh Untuk g=(12) dan h=(123) (1 2).(1 2 3).(1 2)–1 = (1 3 ).(1 2) = (1 3 2) H Untuk g=(13) dan h=(123) (1 3).(1 2 3).(1 3)–1 = (2 3 ).(1 3) = (1 3 2) H Untuk g=(23) dan h=(123) (2 3).(1 2 3).(2 3)–1 = (1 2 ).(2 3) = (1 3 2) H Untuk g=(12) dan h=(132) (1 2).(1 3 2).(1 2)–1 = (2 3 ).(1 2) = (1 2 3) H Untuk g=(13) dan h=(132) (1 3).(1 3 2).(1 3)–1 = (1 2 ).(1 3) = (1 2 3) H Untuk g=(23) dan h=(132) (2 3).(1 3 2).(2 3)–1 = (1 3 ).(2 3) = (1 2 3) H Karena (1) adalah identitas maka perkalian dengan identitas tetap. Sehingga kita dapat tidak menuliskannya. Dapat disimpulkan bahwa H adalah subgroup normal dari G karena memenuhi definisi subgrup normal. g G, n N berlaku gng-1 N.



Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4} adalah Subgrup dari G. Tunjukan bahwa H merupakan subgroup normal dari G Penyelesaian : Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Koset Kiri dan Kanan dari H sama.



(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 Koset kiri : 0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4} 1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5} 2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0} 3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1} 4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2} 5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3} Koset kanan: H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4} H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5} H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0} H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1} H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2} H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3} Sehingga : 0 + H = H + 0= {0, 2, 4} 1 + H = H + 1= {1, 3, 5} 2 + H = H + 2 = {2, 4, 0} 3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}



H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2} H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3} Maka : koset kiri = koset kanan sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal