Tabel Perbandingan Antara Geometri Euclide Dan Non [PDF]

Citation preview

PERBANDINGAN GEOMETRI EUCLIDE DAN NON-EUCLIDE 



GEOMETRI EUCLIDE Geometri Euclide sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid. Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut : 1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik. 2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus. 3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya. 4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen. 5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.







GEOMETRI NON-EUCLIDE Ada dua macam geometri non-euclide yaitu gometri hiperbolik dan geometri eliptik. 1) Geometri Hiperbolik Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri nonEuclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima tersebut dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid. Hal inilah yang menjadi titik tolak munculnya geometri



non-euclid.



Geometri



hiperbolik



adalah



geometri



yang



menggunakan empat postulat geometri Euclid dan mengganti postulat kesejajaran hiperbolik. 2) Geometri Eliptik



Geometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya. Postulat kesejajaran dari Riemann adalah tidak ada garis-garis sejajar dengan garis lain. Berdasarkan pada Postulat tersebut dapat disimpulkan bahwa, pada geometri eliptik dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Berdasarkan penjelasan di atas, perbandingan antara geometri euclide dan non-euclide dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut. Tabel Perbandingan Antara Geometri Euclide Dan Non-Euclide EUCLIDE (GEOMETRI EUCLIDEAN)



LOBACHEVSKIA N (GEOMETRI HIPERBOLIK)



REIMANN (GEOMETRI ELIPTIK)



Dua garis yang berbeda akan berpotongan pada



Paling banyak satu titik



Paling banyak satu titik



Satu titik (Eliptik tunggal), dua titik (Eliptik ganda)



Diberikan garis L dan titik P di luar L, maka ada



Satu dan hanya satu garis melalui P sejajar dengan L



Sekurang-kurangnya dua garis melalui P sejajar dengan L



Tidak ada garis melalui P sejajar dengan L



Sebuah garis



Dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik



Dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik



Tidak dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah titik



Garis sejajar



Jaraknya sama dimana-mana



Jaraknya tidak pernah sama dimana-mana



Tidak ada



Harus memotong yang lain



Boleh ya, boleh tidak memotong yang lain



-



Sudut siku-siku



Sudut lancip



Sudut tumpul



Sejajar



Sejajar



Berpotongan



=1800



1800



Jika sebuah garis memotong satu dari dua garis sejajar, maka Hipotesis Sacherri yang valid adalah Dua garis yang berbeda dan tegak lurus pada garis yang sama Jumlah sudut suatu segitiga



adalah Luas suatu segitiga adalah



Tidak bergantung pada jumlah sudut



Proposional terhadap defect



Proporsional terhadap excess



Dua segitiga dengan sudutsudut yang bersesuaian sama adalah



Sebangun



Kongruen



Kongruen



DEFINISI OPERASI Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Dalam logika matematika terdapat dua jenis operasi, yaitu operasi uner dan biner. 1. Operasi Uner Operasi uner berarti hanya melibatkan satu unsur, yang dalam hal ini unsur tersebut berupa pernyataan. Yang termasuk operasi uner ini adalah operasi negasi, atau penyangkalan. Negasi biasanya dilambangkan dengan “ ~ ”. Nilai kebenaran negasi dari sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan itu. Jadi, jika nilai kebenaran suatu pernyataan adalah B, maka nilai kebenaran negasinya adalah S, begitu pun sebaliknya. Contoh: p : 23 + 51 = 100 maka ~ p : 23 + 51 ≠ 100, atau ~ p : Tidak benar bahwa 23 + 51 = 100 τ (p) = S dan τ (~ p) = B. 2. Operasi Biner



Operasi biner adalah operasi yang melibatkan dua unsur. Contoh operasi biner yang sering dijumpai dalam matematika adalah: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan sebagainya. DEFINISI FUNGSI Misal A dan B sembarang himpunan., f dikatakan fungsi dari A ke B, jika f ⊆ A ×



B dan untuk setiap



α ∈ A , ada tepat satu elemen sehingga (α,b)



∈ f (dengan kata lain, (α,b) (α,b’) ∈ f ⇒ b = b’ )



Jika (a,b) ∈ f , maka dapat ditulis b = f (a) atau f : a ↦ b. Sehingga pernyataan (α,b) (α,b’) ∈ f ⇒ b = b’ dapat ditulis: a = b ⇒ f(a) = f(b). . Contoh 1. Misal A= { 1 ,2 , 3 } dan B = {4 , 5 } . Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang merupakan fungsi dan bukan fungsi. a. f =



{ ( 1,4 ) , ( 2,4 ) , ( 1,5 ) ,(3,4)}



b. g =



{ ( 1,4 ) ,(2,5)}



c. h =



{ ( 1,4 ) , ( 2,4 ) , ( 3,5 ) }



Jawab (a) f bukan fungsi karena ada (1,4), (1,5) ∈ f , tetapi 4 ≠ 5. Dengan cara lain, 1 = 1, tetapi f(1) = 4 ≠ 5 = f (1).



(b) g bukan fungsi karena ada 3 ∈ A yang tidak memiliki pasangan di B.



(c) Hasil kali Cartesian himpunan A dan B, A × B=



{ ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 3,4 ) ,(3,5)}



Maka h ⊆ A × B. Karena tidak ada anggota h dengan (a,b), (a,b’) ∈ h, maka pernyataan (a,b), (a,b’) ∈ h



⇒ b = b’ selalu bernilai benar.



Terbukti, h adalah fungsi.