Teorema 13.2 + Non Contoh [PDF]

Citation preview

Teorema 13.2: “A finite integral domain is a field” Bukti: Misal D adalah integral domain berhingga dengan unity 1. a ∈ D , a ≠ 0. Tunjukkan a adalah unit.  



Jika a=1, maka a invers dengan dirinya sendiri, Jadi a adalah unit Jika a ≠ 1, D=a1 , a2 , a3 , … . Karena D berhingga, pasti ada yang sama. (setelah pangkat tertentu, akan kembali lagi) Sehingga ada 2 bilangan bulat positif i dan j Sehingga i> j dan a i=a j a i=a j a j .a i− j=a j .1 Berdasarkan cancellation, a i− j=1 Jadi, a−1=ai − j−1



Non-contoh: Tentukan pembagi nol dari  R={0,1,2,3,4,5 } dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 6 jika telah diberikan ¿ adalah suatu ring komutatif. Apakah R disebut sebagai daerah integral (integral domain)? Jawab: Buat Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 6 sebagai berikut.



Berdasarkan definisi pembagi nol pada ring, kita hanya perlu meninjau operasi perkalian modulo 6 dari dua elemen R yang bukan 0, tetapi hasil operasinya 0. Perhatikan sel tabel yang diberi shading warna biru. Karena 2 ≠ 0 ,3 ≠ 0 tetapi 2 ×6 3=0, maka 2 dan 3 disebut sebagai pembagi nol. Begitu juga dengan  4. Jadi, pembagi nol dari  ¿ adalah {2,3,4 }. R disebut sebagai daerah integral jika tidak memiliki pembagi nol. Tetapi, kenyataannya R memiliki pembagi nol, yaitu 2,3, dan 4. Jadi, R bukan daerah integral.