Teorema Kelompok 6 [PDF]

Citation preview

Teorema Proyeksi dan Teorema Stewart Dosen Pengampu: Dewi Ambarsari, S.Pd., M.Pd. Mata Kuliah: Geometri Dasar



Disusun Oleh: 1. Agil Yunika Sari (23070210002) 2. Alvina Qhurotul A’in (23070210015) 3. Sa’idatul Daroini (23070210012)



Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan Institut Agama Islam Negeri Salatiga 2021/2022



1



KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah Swt. Yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul “Teorema Proyeksi dan Teorema Stewart” dengan tepat waktu. Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas kelompok pada mata kuliah Geometri Dasar. Selain itu, makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang Teorema Proyeksi dan Teorema Stewart bagi para pembaca dan juga bagi penulis. Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dewi Ambarsari, SPd., M.Pd. selaku dosen mata kuliah Geometri Dasar yang telah memberikan tugas ini. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini sehingga dapat terselesaikan. Kami menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan dan disusun dalam berbagai keterbatasan. Maka dari itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun. Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi penulis dan umumnya bagi siapa saja yang membacanya.



Salatiga, 31 Oktober 2021



Kelompok 6 2



DAFTAR IS



KATA PENGANTAR ............................................................................................................................. 2 DAFTAR ISI........................................................................................................................................... 2 BAB I ..................................................................................................................................................... 5 PENDAHULUAN ................................................................................................................................... 5 A.



Latar Belakang............................................................................................................................. 5



B.



Rumusan Masalah........................................................................................................................ 6



C.



Tujuan ......................................................................................................................................... 6



BAB II .................................................................................................................................................... 7 PEMBAHASAN ..................................................................................................................................... 7 PROYEKSI ................................................................................................................................. 7



A. 1.



Definisi Proyeksi ...................................................................................................................... 7 TEOREMA.................................................................................................................................. 8



B. 1.



Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-Siku............................................................................... 8



2.



Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip ................................................................................. 10



3.



Teorema Proyeksi pada Segitiga Tumpul……………………………………………………………………………… 12



4.



Teorema Stewart .................................................................................................................... 15



Latihan Soal .......................................................................................................................................... 17



BAB III ................................................................................................................................................. 18 3



PENUTUP ............................................................................................................................................ 18 A.



Kesimpulan................................................................................................................................ 18



B.



Saran ......................................................................................................................................... 18



DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................ 19



4



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Geometri Merupakan cabang matematika yang mengkaji ukuran, bentuk permukaan (shape), bentuk bangun, dan posisinya dalam ruang observasi. Ini sesuai dengan penggunaan awal geometri, yaitu penyelidikan bumi dan ukurannya. Bidang ini merupakan sains tertua, pada awalnya mengkaji ukuran panjang, luas, dan volume dari bangun-bangun tertentu termasuk di dalamnya bidang astronomi yang mengkaji letak dan peredaran planetplanet dalam jagad raya. Oleh karena itu, memahami teorema dalam geometri menjadi keharusan, khususnya bagi mahasiswa Program Studi pendidikan matematika. Hal ini dikarenakan mereka nantinya menjadi guru matematika yang akan membelajarkan siswa menggunakan konsep Geometri untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan.



Dalam geometri terdapat banyak teorema yang dapat dipelajari, salah satunnya teorema proyeksi dan teorema stewart. Teorema proyeksi adalah pemetaan suatu ddaerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Teorema Stewart digunakan untuk menentukan ukuran panjang suatu garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi di hadapan sudut tersebut. Selain itu, teorema Stewart ini juga yang menjadi dasar dalam menentukan panjang suatu garis berat dari segitiga. Pada sebarang segitiga, panjang garis yang dibuat dari salah satu titik sudut suatu segitiga ke sisi dihadapannya dapat dihitung. Namun, untuk menghitung garis tersebut, panjang setiap sisi segitiga dan bagian-bagian sisi yang terpotong oleh garis tersebut harus diketahui. Untuk lebih memperjelas, di bawah ini digambarkan sebarang segitiga ABC.



5



B. Rumusan Masalah 1. Apa proyeksi itu? 2. Apakah teorema proyeksi segitiga siku-siku? 3. Apakah teorema proyeksi segitiga lancip? 4. Apakah teorema proyeksi segitiga tumpul? 5. Apa pengertian teorema stewart? 6. Bagaimana cara menghitung pada teorema stewart?



C. Tujuan 1. Untuk mengetahui proyeksi 2. Untuk mengetahui teorema proyeksi segitiga siku-siku, segita lancip, dan segitiga tumpul. 3. Untuk mengetahui bagaimana cara menghitung teorema proyeksi segitiga lancip, segitiga tumpul, dan segitiga siku-siku 4. Untuk mengetahui teorema stewart 5. Untuk mengetahui bagaimana cara menghitung teorema stewart



6



BAB II PEMBAHASAN



A. PROYEKSI 1. Definisi Proyeksi Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya atau dalam arti sederhana adalah menarik garis yang tegak lurus terhadap bidang. Jika pada garis AB, titik A dihubungkan dengan garis l dan berpotongan di A ’ dan titik B juga dihubungkan dengan garis yang tegak lurus dengan garis l dan berpotongan di B’ , maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.



Garis yang berwarna merah yakni garis A ’ B’ adalah proyeksi garis AB terhadap garis l. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini



Jika pada tiap ujung garis l kita tarik garis yang tegak lurus dengan ruas garis AB maka akan tampak seperti gambar di bawah ini 7



Pada gambar di atas, ruas garis yang berwarna merah adalah proyeksi ruas garis l terhadap AB.



B. TEOREMA 1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-Siku Perhatikan ∆ ABC berikut



BD merupakan proyeksi BC pada AB dan AD merupakan proyeksi AC pada AB.



Contoh Soal 1. Diketahui △ABC dengan sisi AB = 12 cm, AC = 16 cm. Tentukan panjang: a) BC b) BD c) AD 8



Jawab: a) Untuk menemukan panjang sisi BC menggunakan rumus: BC² = AC² + AB² BC² = 16² + 12² BC² = 256 + 144 BC² = 400 BC = √400 BC = 20 cm



b) Untuk menemukan panjang sisi BD menggunakan rumus: AB² = BC × BD 12² = 20 × BD 144 = 20 × BD BD = 7,2 cm



c) Untuk menentukan panjang sisi AD terlebih dulu mencari panjang CD CD = BC – BD CD = 20 – 7,2 Sehingga: AD² = BD × CD AD² = 7,2 × 12,8 AD² = 92,16 AD = 9,6 cm



9



2.



Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip Perhatikan segitiga ABC berikut!



Jika garis BC di proyeksikan terhadap garis AB maka garis BD merupakan hasil proyeksinya, sedangkan AD merupakan sisa dari panjang sisi yang terkena proyeksi, seperti gambar di bawah ini:



Perhatikan △ACD yang siku – sikunya di D. dengan menggunakan teorema Pythagoras maka CD dapat ditentukan dengan rumus:



CD² = AC² - AD² t² = b² - x² …. (persamaan 1)



Perhatikan △ABCD yang siku-sikunya ada di D juga. Dengan menggunakan teorema phytagoras maka CD dapat ditentukan dengan rumus:



CD² = BC² - BD² CD² = BC² - (AB – AD)² 10



t² = a² - (c – x)² t² = a² - (c² - 2cx + x²) t² = a² - c² + 2cx - x² ….. (persamaan 2) Dari persamaan 1 dan 2 akan di peroleh persamaan yang baru yakni: a² - c² + 2cx - x² = b² - x² a² = b² + c² - 2cx



Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar dibawah ini:



△ABC merupakan segitiga lancip, diketahui panjang AB = 20 cm, BC = 10√3 cm, dan AC = 10 cm. Tentukan panjang BD!



Jawab: Proyeksikan ruas garis BC ke ruas garis AB Berdasarkan teorema proyeksi pada segitiga lancip, maka: BC² = AC² + AB² - 2 · AB · AD (10√3)² = 10² + 20² - 2 . 20 . AD 300 = 100 + 400 – 40 AD 40 AD = 200 AD = 5 cm



Panjang sisi BD: BD = AB – AD BD = 20 – 5 BD = 15 cm 11



Jadi panjang sisi BD adalah 15 cm 3. Teorema Proyeksi pada Segitiga Tumpul Perhatikan pada gambar segitiga tumpul ABC berikut!



Jika garis BC di proyeksikan terhadap garis AC maka garis CD merupakan hasil proyeksinya, seperti pada gambar di bawah ini!



Perhatikan △ABD pada gambar diatas yang siku-sikunyadi D. dengan menggunakan teorema phytagoras maka BD dapat ditentukan dengan rumus: BD² = AB² - AD² y² = c² - x² …… (persamaan 1)



Sekarang perhatikan △BCD yang siku-sikunya ada di D juga. Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka BD dapat ditentukan dengan rumus: BD² =BC² - CD² BD² = BC² - (AC + AD)²



y² = a² - (b + x)² 12



y² = a² - (b² + 2bx + x²) y² = a² - b² - 2bx - x² ….. (persamaan 2) Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh persamaan baru yakni: a² - b² - 2bx - x² = c² - x² a² = b² + c² + 2bx



Perhatikan lagi segitiga tumpul ABC berikut!



Jika garis BC di proyeksikan terhadap garis AB maka garis BD merupakan hasil proyeksinnya, seperti padagambar di bawah ini!



Panjang BC dapat dicari dengan mengkombinasikan teorema phytagoras dengan menambah dua kalli pertambahan panjang proyeksi dengan panjang sisi yang dikenai proyeksi, maka: BC² = AC² + AB² - 2AD . AC Atau a² = b² + c² + 2cx



13



Contoh Soal: 1. Perhatikan gambar dibawah ini:



Panjang sisi CD = 9 cm, BD = 6 cm, dan BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AD!



Jawab: △BDC merupakan segitiga tumpul, sehingga untuk mencari panjang AD digunakan teorema proyeksi pada segitiga tumpul.



BC² = CD² + BD² + 2.BD . AD 12² = 9² + 6² + 2.6 . AD 144 = 81+ 36 + 12 AD 144 = 117 + 12 AD 27 = 12 AD AD = 2,25 cm



Jadi, panjang AD adalah 2,25 cm.



14



4. Teorema Stewart Teorema stewart, dapat digunakan untuk menentukan panjang suatu garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segititiga ke sisi dihaapan sudut tersebut. Selain itu, teorema Stewart ini juga yang menjadi dasar dalam menentukan panjang suatu garis berat dari segitiga. Pada sebarang segitiga, panjang garis yang dibuat dari salah satu titik sudut suatu segitiga ke sisi dihadapannya dapat dihitung. Namun, untuk menghitung garis tersebut, panjang setiap sisi segitiga dan bagian-bagian sisi yang terpotong oleh garis tersebut harus diketahui. Misalnya diberikan segitiga sembarang ABC. Titik D terletak di sisi BC jadi BD = m dan DC = n, seperti pada gambar dibawah ini:



Teorema Stewart menyatakan bahwa panjang cevian AD = d, dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut. AD² . BC = AC² . BD + AB².DC – BD . DC . BC



Atau d² . a = b² . m + c² . n – mna



Contoh Soal: 1. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 5 cm dan AC = 12 cm. jika titik D terletak pada BC sehingga AD merupakan garis berat, maka panjang AD adalah… 15



Jawab: Perhatikan gambar dibawah ini:



Teorema Pythagoras berlakku untuk segitiga siku-siku ABC. BC = √AB² + AC² = √5² + 12² = √169 = 13 cm Karena AD merupakan garis berat, maka D tepat di tengah BC jadi BD = DC = 6,5 cm. dengan menggunakan Teorema Stewart pada △ABC dan cevian AD, di peroleh



BD . DC . BC + AD² . BC = AB² . DC + AC² . BD 6,5 . 6,5 . 13 + AD² . 13 = 5² . 6,5 + 12² . 6,5 549, 25 + 13 AD² = 162,5 + 936 13 AD² = 549,25 AD² = 42,25 AD = √42,25 AD = 6,5 cm Jadi, panjang AD adalah 6,5 cm



16



Latihan Soal 1. Diketauhi segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 15 cm, BC = 13 cm, dan AC = 8 cm. Tentukan luas segitiga ABC! 2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C. AC = 12cm dan BC = 16 cm. Titik E berada di ruas garis AB dimana AD = DE = EB. Hitunglah panjang CD! 3. Perhatikan gambar dibawah ini.



Panjang sisi CD = 7 cm, BD = 4 cm, dan BC = 10. Tentukan panjang sisi AD! 4. Pada sebuah segitiga ABC, diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada perpanjangan AB sehingga BD =½ AD. Panjang CD adalah? 5. Diketahui △ABC dengan panjang sisi AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. titik D terletak pada sisi BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada sisi AC dengan panjang AE = 4 cm. panjang DE adalah?



17



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan 1. Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. 2. Pada suatu segitiga lancip, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip sama dengan jumlah kuadrat panjang dari kedua sisi yang lain dikurangi dua kali panjang sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama. 3. Pada segitiga tumpul, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain ditambah dua kali panjang sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama. 4. Teorema stewart dapat digunakan untuk menentukan panjang suatu garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segititiga ke sisi dihaapan sudut tersebut.



B. Saran Untuk memahami materi mengenai “Teorema Proyeksi dan Teorema Stewart” perlu mengetahui definisi, rumus-rumusnya, jenis-jenis Teorema Proyeksi, serta memperbanyak latihan soal.



18



DAFTAR PUSTAKA



Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Stewart – Mathcyber1997 https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-teorema-stewart/ analisis tahap pembuktian teorema stewart pada mahasiswa program studi pendidikan matematika universitas katolik widya mandala madiun. https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.journal.unrika.ac.id/in dex.php/jurnalphythagoras/article/download/1316/1056&ved=2ahUKEwirlPu25vbzAhXLdn0 KHUodBFkQFnoECCMQAQ&usg=AOvVaw09Pu9SX564kevkTPYgA4lk Teorema Proyeksi FIX PDF – Scribd https://id.scribd.com/doc/305190135/Teorema-Proyeksi-FIX



19