TOPIK 1 Matematik Dalam Kehidupan Seharian [PDF]

Citation preview

MTE 3143 Aplikasi Matematik TOPIK 1: MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN Dr HU LAEY NEE Jabatan PIPK



Kandungan: Matematik dalam Kehidupan Seharian 1.1 Peranan matematik teknologi moden 1.2 Matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan 1.3 Asas bagi matematik kontemporari Kuliah : 4 Jam Tutorial : 2 jam



Makna Matematik 1. Matematik adalah satu kajian tentang pola 



Banyak teori atau konsep dalam matematik adalah berasaskan pola • Contoh: Nombor segitiga (triangular numbers)



Nombor kuasa dua (square numbers)



2. Matematik adalah satu kajian hubungan 



Matematik juga mengkaji perhubungan antara pembolehubah-pembolehubah tertentu. 2 y  a  bx  cx Contoh :



3. Matematik adalah satu cara berfikir 



Matematik juga mengetengahkan cara berfikir untuk mendapatkan sesuatu keputusan atau menyelesaikan masalah. • Contoh: Penaakulan dalam matematik: A adalah C B adalah C Maka A adalah B 4 langkah penyelesaian masalah menggunakan Model Polya



4. Matematik adalah satu alat kehidupan seharian Matematik telah menjadi suatu alat yang sangat penting dalam kehidupan seharian.  Kita mengunakan matematik dalam • Perniagaan • Perjalanan / Perantauan • Makanan • Pendidikan • Merancang • Bekerja dan sebagainya • Contoh: • Penggunaan alat pengukuran • Penggunaan jam dalam menentukan masa dan tempoh • Penggunaan kalkulator dalam membuat pengiraan 



5. Matematik sebagai seni Matematik juga boleh dikatakan sebagai suatu seni. • Terdapat banyak rekabentuk seni yang unik berasaskan pengetahuan dan kemahiran matematik yang tertentu. Contoh : Tesselasi, Friese dan mozek 



6. Matematik sebagai bahasa Bahasa dalam matematik adalah hukum, teori Matematik dan formula yang dihubungkan dengan simbol-simbol.  Matematik mempunyai bahasa dan operasi yang unik.  Ahli matematik telah merekabentuk bahasa matematik dari semasa ke semasa sehinggalah menjadi suatu simbol dan hukum matematik yang universal.  Contoh: • Hukum kalis tukar tertib (Cummutative) •a+b=b+a 







Contoh: • Teori sudut pada suatu garis lurus



• Formula isipadu prisma



7. Matematik sebagai instrumen rekreasi  Matematik



juga boleh dikatakan sebagai sebuah insrumen rekreasi.  Aktiviti rekreasi yang melibatkan penciptaan bentuk dan corak yang menarik, kajian pola nombor, magic square dan permainan seperti permainan catur adalah sangat berkait rapat dengan Matematik.



Contoh: • Susunan blok / bongkah 



Tangram magic square







Permainan komputer •Angry bird - mengaplikasikan pemilihan sudut yang bersesuaian untuk menuju sasaran



Bidang-bidang Matematik



1. Kuantiti 



Kajian kuantiti adalah kajian berkaitan dengan nombor dan aritmetik (pengiraan yang melibatkan nombor dan operasi).



2. Ruang 



Kajian tentang ruang adalah bertitik tolak daripada geometri (geometri Euclid) yang berkembang kepada beberapa pecahan bidang kajian ruang.



3. Perubahan 



Kajian tentang perubahan adalah bertitik tolak daripada kalkulus yang mengkaji perubahan antara pembolehubah / faktor-faktor yang berkaitan.



4. Struktur 



Banyak objek matematik seperti set nombor dan fungsi, menunjukkan struktur dalaman. Sifat struktur objek-objek ini diselidiki dalam kajian kumpulan, gelanggang, medan dan sistem abstrak yang lain.







Teori nombor boleh dibahagikan kepada beberapa subbidang, berdasarkan kaedah yang digunakan dan jenis persoalan yang dikaji:  Teori nombor asas  Teori nombor analisis  Teori nombor algebra  Geometri nombor  Teori nombor kombinatorik  Teori nombor pengiraan  geometri algebra aritmetik  Topologi aritmetik  Dinamik aritmetik  Bentuk modular



5. Dasar dan falsafah 



Untuk menjelaskan dasar matematik, bidang logik matematik dan teori set telah dibangunkan.







Teori kategori memberi penyelesaian secara abstrak dengan struktur matematik dan hubungan misalnya konsep fungsi (fungsi gubahan, fungsi songsangan dan sebagainya)



6. Matematik diskret Matematik diskret adalah satu bidang yang mengkaji struktur matematik yang bersifat diskret, iaitu yang saling tidak berhubungan (tidak selanjar).  Topik-topik dalam matematik diskret:  Sains komputer (teori)  Teori maklumat  Logik  Teori set  Kombinatorik  Teori graf  Kebarangkalian  Teori nombor  Algebra  Kalkulus pembezaan terhingga, kalkulus diskret atau analisis diskret 



     



Geometri diskret dan geometri pengiraan Penyelidikan operasi Teori permainan, teori keputusan, teori utiliti, teori pilihan sosial Pendiskretan Analog diskret matematik selanjar Diskret hibrib dan matematik selanjar



7. Matematik gunaan 



Matematik gunaan adalah satu cabang matematik yang berkaitan dengan teknik matematik yang digunakan dalam aplikasi ilmu matematik untuk domain yang lain.



1.1 Peranan Matematik dalam Teknologi Moden Kamus Dewan (2005) mentakrifkan:  Teknologi sebagai aktiviti atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam industri, pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya.  Teknologi moden adalah kajian atau aktiviti terbaru yang berkaitan tentang masa kini yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis.  Matematik yang kita peroleh ini sebenarnya mempengaruhi teknologi moden



1. Matematik Sebagai Satu Bahasa Matematik ialah bahasa dan seperti bahasa-bahasa lain yang mempunyai tatabahasa sendiri, sintaks, perbendaharaan kata, susunan kata, sinonim, konvensyen, dan lain-lain [Esty, 1997].  Bahasa matematik ini adalah kedua-dua alat komunikasi dan alat pemikiran 







Contoh kuasa bahasa matematik moden:



BAHASA MATEMATIK PURBA



If a straight line be cut at random, the square on the whole is equal to the squares on the segments and twice the rectangle contained by the segments. (Euclid, Elements, II.4, 300B.C.) The area of any circle is equal to a rightangled triangle in which one of the sides about the right angle is equal to the radius, and the other to the circumference of the circle. (Archimedes, On the Sphere and the Cylinder, 220B.C.)



BAHASA MATEMATIK MODEN



(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 2. 𝑎. 𝑏



2𝜋𝑟 𝐴 = 𝑟. = 𝑟2𝜋 2







Jika kita mengekalkan peranan utama matematik sebagai penyelesaian masalah, yang terdiri daripada masalah aktiviti model-operasi-mentafsir, maka matlamat utama pembelajaran matematik ialah memproses terjemahan daripada suatu masalah yang dirumuskan dalam bahasa ibunda kepada model matematik yang ditulis dalam bahasa matematik.



2. Matematik sebagai Teknologi Berfikir 















Teknologi pemikiran secara matematik adalah inti pati sains dan inti pati masyarakat yang berasaskan teknologi " (Buchberger) Teknologi pemikiran juga ada dalam m/p lain tetapi matematik memerlukan cara khas dalam berfikir. Boleh menggunakan "lingkaran kreativiti" Buchbergers sebagai model cara pelajar memahami matematik [Buchberger, 1992]. Lingkaran ini: pemerhatian, bahan atau masalah data. Penyelesaian yang boleh didapati dalam pembangunan algoritma atau dalam penciptaan konsep baru.







Model Kreativiti Lingkaran Buchbergers merangkumi:



FASA 1: HEURISTIK (FASA EKSPERIMENTAL) Membangunkan andaian, membentuk hipotesis, merangka membuktikan idea-idea dan strategi penyelesaian, konsep asas masalah. Ciri-ciri bagi aktiviti ini ialah: munasabah, kesimpulan induktif



FASA 2: FASA MEMPERSOAL DAN MEMPERJELAS Membuat andaian, membuktikan hipotesis, pengaturcaraan



FASA 3: FASA APLIKASI Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep dan algoritma dibangunkan di fasa 1 dan 2: model, operasi dan mentafsir.



3. Matematik Sebagai Faktor Keselamatan Dalam Teknologi Moden



 Semakin



maju sesebuah negara, maka semakin maju teknologinya dan semakin besar juga gangguan ke atas keselamatan individu, komuniti, syarikat dan negara.  Bagaimana pula matematik dapat membantu dalam aspek keselamatan?



Contoh 1:  Kriptografi adalah teknik menyembunyikan maklumat rahsia, biasanya dalam bentuk teknik-teknik pengekodan, matematik, atau cara lain dengan tujuan supaya mesej yang disimpan atau dihantar hanya diketahui oleh manamana pihak yang tertentu sahaja. 



Kriptografi moden menyatukan disiplin matematik, sains komputer dan kejuruteraan.



Contoh 2: Mesin ATM (Mesin juruwang automatik (Automatic Teller Machine)) juga menggunakan matematik dalam sistem sekuritinya. 



ATM merupakan sejenis peranti telekomunikasi berkomputer yang menyediakan capaian transaksi kewangan kepada pelanggan institusi kewangan di kawasan tumpuan awam tanpa memerlukan juruwang manusia atau kerani bank. Para pengguna akan memasukkan nombor pin untuk mengakses mesin tersebut.



Aplikasi Bidang-bidang Matematik dalam Teknologi Moden Aplikasi dalam Teknologi Moden  Perniagaan – pengiraan yang berkaitan perniagaan menggunaan kemahiran aritmetik.  100%  100%



mark down



 100%



Contoh: Kos sebuah kilang menghasilkan sesuatu barang adalah RM60.00. Seorang pemborong menaikkan harga barang tersebut 10% lebih tinggi untuk dijual kepada pengedar. Cikgu Ali telah membeli barang tersebut dari pengedar dengan harga RM100.00. (a) Berapakah harga yang dijual oleh pemborong. (b) Berapakah kenaikan harga yang dijual oleh pengedar dan berapakah peratus kenaikan harga tersebut. (RM66.00, RM34.00, 51.5%)







Perbankan dan pelaburan – pengiraan kadar % faedah dan keuntungan.







Pendidikan – penggunaan aplikasi komputer bagi pengiraan markah dan kedudukan murid dalam bilik darjah seperti Microsoft Office Excel.







Rekabentuk hiasan dalam menggunakan teori asas geometri seperti susunan mozek di lantai, susun atur perabut untuk memperlihatkan ruang yang luas dan sebagainya.







Rekabentuk pembinaan jambatan yang bersesuaian yang mengambil kira panjang jambatan, muatan atau berat yang ditanggungnya, keadaan cuaca dan lokasi.







Kajian topologi peta yang melibatkan struktur geografi tanah dalam peta – kawasan tanah tinggi, tanah pamah, kawasan tadahan hujan dan sebagainya.







Astronomi – teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk hitung jarak ke bintangbintang terdekat dalam geografi untuk hitung antara titik tertentu dan dalam sistem navigasi satelit







Penentuan waktu solat fardu melalui sudut kedudukan matahari







Pembinaan – penetapan kadar air keluar dari tangki (pembezaan kalkulus), isipadu tangki air yang boleh dibina (pengamiran tentu)







Pembinaan roller coster – kalkulus sebenarnya diaplikasikan bagi menentukan persamaan yang tepat bagi mewakili setiap segmen roller coaster. Kecerunan dan sambungan yang tepat harus ditentukan supaya pengguna selamat menggunakannya. (Pembezaan peringkat kedua – titik pusingan (turning point), titik pegun (stationery point)







Sistem rangkaian – rangkaian dalam sesebuah organisasi yang berstruktur melibatkan sambungan peranti seperti komputer, pencetak, pengimbas, sambungan internet, router dan pelayan (server)







Biologi – Pengkajian struktur kromosom x dan y yang diwakilkan strukturnya dengan nombor jujukan tertentu. Di dalam setiap kromosom pula terdapat struktur-struktur tret (trait) yang diwakilkan dengan nombor.



Penciptaan bahan elektronik – penggunaan get logik dalam bahan elektronik mengaplikasikan logikal matematik. Keputusan (output) yang dikeluarkan oleh sesuatu peranti elektronik bergantung kepada jenis get logik yang digunakan.  3 get logik asas: 







Penggunaan get logik yang digabungkan adalah melibatkan litar elektronik dalam peranti seperti: - Penggera kebakaran - Kipas / lampu automatik



 Sains



sosial – mengumpul data dan membuat pengelasan data mengikut ciri-ciri tertentu dengan mengaplikasikan teori set.  Ciri-ciri yang boleh dikelaskan antaranya adalah: o Bangsa / keturunan o Agama o Jenis-jenis darah dan sebagainya.



5 aplikasi matematik dalam teknologi kehidupan moden: . i. Komputer ii. Telefon bimbit / tablet iii. Internet iv. kad kredit v. kod bar



1.2 MATEMATIK SEBAGAI KEGIATAN BUDAYA YANG BERTERUSAN



Orang-orang Mesir menggunakan geometri untuk membina piramid dalam tujuan pengebumian (Burton, 1999)  Etnomatematik ditakrifkan sebagai bagaimana manusia pelbagai budaya menggunakan matematik dalam kehidupan seharian mereka. 



 



Persoalan asas epistemologi matematik (Dr Matthews). Pembangunan pedagogi yang berpusat pada kitaran ini akan membawa kepada celik matematik tulen, membolehkan pelajar untuk mencapai pada standard yang tinggi.



Friezes (Dekorasi Dinding) Friezes – satu konsep matematik untuk mengklasifikasikan corak pada permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah, berdasarkan simetri dalam corak.  Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan (transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran / enlargement).  John Conway mencipta nama-nama yang berkaitan dengan jejak langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1 hingga F7) 



Mozek (Mosaic) 











Mozek adalah seni mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan, aspek hiasan dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa tempat terkenal tamadun dunia. Mozek Roman







Mozek Etruscan







Girih – mozek di kompleks Islam







Dome of the Rock, Palestin







Teselasi peranakan pada dinding kedia rumah, Singapura







Teselasi hiasan mozek, Morocco



Simetri  Konsep



simetri banyak digunakan dalam pelbagai aspek budaya manusia.  Contoh: pakaian tradisional yang menggunakan sulaman manik di Malaysia dan corak hiasan seperti kolam



Simetri  Konsep



simetri banyak digunakan dalam pelbagai aspek budaya manusia.  Contoh: pakaian tradisional yang menggunakan sulaman manik di Malaysia



Pakaian tradisional Bajau







Contoh : Kolam



1.3 Asas Matematik Kontemporari Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan matematik. Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk menjadikannya lebih berkembang dan moden.  Matematik kontemporari mementingkan aplikasi matematik dalam konteks sebenar dan dalam menyelesaikan masalah yang dihadapi oleh manusia.  Contoh matematik kontemporari: - teori set, logik, kebarangkalian, rangkaian, teori graf - Gabungan algebra dan kalkulus untuk ruang vektor - Gabungan teori nombor asas dan nombor asas dua untuk sistem Binari. 



Sistem Binari  Satu sistem yang mempersembahkan nombor menggunakan asas 2.  Nombor-nombor (1, 2, 3, 4, 5, ...) diwakili dengan menggunakan digit 0 dan 1.  Ahli matematik melihat sistem binari ini sebagai suatu alat berkembangnya ilmu sains komputer dan kecanggihan peranti elektronik.



Contoh:







Nilai tempat bagi sistem binari adalah:



Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan litar elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan outputnya diwakili oleh digit 0 dan 1)  Contoh peranti yang menggunakan sistem binari: o Kalkulator o Komputer o Mesin taip elektronik 



get logik



Penggunaan sistem binari dalam kod ASCII:  ASCII - American Standard Code for Information Interchange  Digunakan secara meluas dalam bidang mikrokomputer  Kod ASCII mewakili simbol pada papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol kesemuanya.  Contoh kod ASCII:



Enjin Carian Google



Google mempunyai visi untuk mengatur maklumat dunia dan membuatkannya boleh diakses secara universal. Proses enjin carian Google ini menggunakan prinsip matriks dan algoritma (rujuk modul PPG untuk contoh)



Global Positioning System (GPS) 



GPS adalah sistem navigasi radio berasaskan satelit yang membolehkan sesiapa sahaja di mana-mana di dunia ini untuk menentukan kedudukan mereka dengan ketepatan yang besar dan tepat.



Komponen GPS: a. Angkasa - Satelit b. Kawalan - Stesen-stesen pemantauan di bumi c. Pengguna - unit GPS seperti yang anda akan gunakan hari ini 



Berapa banyak satelit yang membentuk GPS? 24 satelit GPS yang ada di orbit sekitar 12,000 batu di atas kita. Ia bergerak berterusan bergerak mengelilingi bumi 12 jam dengan kelajuan 7,000 batu sejam. GPS juga memerlukan sekurang-kurangnya 3-4 satelit.  Bagaimana satelit bekerja? – rujuk modul PPG 



Kekunci Awam Kriptografi (Public Key Cryptography) Perkataan “kriptografi‟ berasal daripada perkataan Greek „kryptos‟ yang bermaksud tersembunyi dan „graphien‟ untuk menulis. Kriptografi didefinisikan sebagai ilmu dan seni untukmenjaga kerahsiaan berita (Schneier, 1996).  Bagaimana Kriptografi berfungsi? - Berfungsi dalam sistem keselamatan rangkaian dan menjamin penyimpanan data. [akan dipelajari dalam Topik 2] 



Pemampatan Imej Fraktal  10 hingga 15 tahun yang lalu, teknik fractal ini diperkenalkan dalam grafik komputer.  Teknik ini menggunakan teori matematik Iterated Function System (IFS) yang berasaskan Sistem Fungsi Pengulangan (dibangunkan oleh John Hutchinson).



Apa yang dimaksudkan dengan pemampatan Imej Fraktal?  Bayangkan sejenis mesin fotokopi yang mengurangkan imej yang disalin kepada separuh dan dalam masa yang sama, dihasilkan dalam tiga salinan imej.



Apabila mesin fotokopi menyusutkan input imej, maka sebarang imej permulaanyang diletakkan pada mesin fotokopi akan menyusut kepada satu titik. Hakikatnya, kedudukan dan orientasi salinan sahaja yang akan menentukan imej yang terakhir.  Pemampatan Fractal termasuk dalam kaedah mampatan tidak berkurang (lossy compression).  Contoh ain – rujuk modul PPG 



Simpanan Dan Pinjaman Simpanan  Dana yang dipercayakan oleh seseorang kepada bank berdasarkan perjanjian penyimpanan dana dalam bentukgiro, deposit, tabungan atau bentuk lain yang sama erti dengan itu.  Jenis-Jenis Simpanan Simpanan Biasa



Simpanan Tetap



Simpanan KWSP



Simpanan Tabung Haji



Simpanan ASB



dividen tahunan 1% setahun. Contoh: Simpan RM100 bank akan bagi dividen RM1 sahaja



Dividen tahunan 2 -3% setahun. Mempunyai had tempoh deposit yang ditetapkan oleh setiap bank.



Dividen 4-5% setahun. Diwajibkan kepada setiap orang yang bekerja makan gaji di Malaysia.



Dividen 5 - 6% setahun



Dividen 8 - 9% setahun



Perbandingan Faedah Simpanan Tetap



Konsep Simpanan Tetap







Aplikasi Matematik: Algebra dan Kalkulus



Pinjaman Meminjam sejumlah wang yang dipersetujui oleh kedua-dua pihak dalam satu tempoh masa bayaran balik dengan kadar faedah yang telah ditetapkan (Hutang).  Jenis-Jenis Pinjaman  Kereta (sewa beli)  Pelajaran – PTPTN, Mara  Perumahan  Peribadi  Kad Kredit



Jumlah Pinjaman







Yuran dan Caj



Kadar Faedah (Fee Interest)  Sebelum 2016, bank menawarkan pakej BLR (Based Lending Rate) / Kadar Pinjaman Asas (KPA) iaitu kadar faedah yang dikenakan setiap bank. Sekarang BLR = 6.95%. Contoh pakej BLR – 2.40%p.a.  Tawaran bank sekarang menggunakan pakej Base Rate (BR). Sekarang BR = 3.65%. Contoh pakej BR + 1%p.a.  BR ditetapkan oleh Bank Negara



Contoh:  Jika Bank A menawarkan pakej BLR - 1.7%, Bank B menawarkan pakej BLR - 2.2%. Bayaran ansuran masing-masing RM923 dan RM870 bagi rumah yang bernilai RM200,000 dengan bayaran pendahuluan RM20,000. Hal ini menunjukkan keuntungan sebanyak RM53 sebulan jika kita memilih pakej Bank B. Formula bayar balik



Formula bayar balik bulanan



Contoh En. Sii ingin membeli sebuah rumah yang dijual di Lahad Datu pada harga RM130,000. Pak Yop membayar pendahuluan sebanyak RM13,000 dan tempoh perjanjian bayaran balik ialah 30 tahun. Berapakah kadar bayaran balik yang dikenakan ke atas En. Sii?



Matematik banyak digunakan dalam pelbagai bidang di dunia. Rumusan bidang-bidang yang menggunakan matematik:  Aritmetik : kewangan, perakaunan, perbankan, insurans  Statistik : insurans, penyelidikan, pemasaran, hubungan awam  Geometri : arkitektur, reka bentuk, seni bina, GPS  Kalkulus : arkitektur, reka bentuk, seni bina  Algebra : penyelesaian masalah, kriptografi, enjin pencarian



Tutorial Mencatat isi-isi penting bagi a. matematik dalam kehidupan harian b. peranan matematik dalam teknologi moden. c. matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan d. asas bagi matematik kontemporari



Rujukan: 1. web site  http://www.learner.org/interactives/dailymath/index.html  http://msad54.org/sahs/MathDept/CPMP/cpmpindex.html 2. Buku : “An Introduction to Contemporary Mathematics” 3. Slide Power Point: Contemporary Mathematics for Business and Consumers Tambahan  Access and download the CD-ROM, “The Code Book” from its author‟s Simon Singh‟s website http://simonsingh.net/cryptography/crypto-cd-rom/  Reading the materials from the CD-ROM and other related internet resources