Transformasi Bivariat [PDF]

Citation preview

Teorema. Untuk X1, X2 dengan fungsi peluang bersama fx1,x2(x1, x2) yang memiliki transformasi Y1 = U1(x1, x2) dan Y2 = U2(x1, x2) yang masing-masing merupakan transformasi satu-satu dengan invers w1 (y1, y2) dan w2 (y1, y2), maka fungsi bersama g(y1, y2) adalah: g(y1, y2) = fx1,x2(w1(y, y), w2(y1, y2)) untuk X1 dan X2 diskrit dan g(y1, y2) = fx1,x2(w1(y, y), w2(y1, y2)) . |J| untuk X1 dan X2 kontinu dengan J =



𝛿𝑥1



𝛿𝑥1



𝑦 |𝛿𝑥1 2



𝑦2 | 𝛿𝑥2



𝑦1



𝑦2



CONTOH: Misalkan X1 dan X2 dua peubah acak bebas dengan distribusi Poisson, masing-masing dengan parameter 1dan 2 . Carilah distribusi peluang gabungan y1 = x1 + x2 dan y2 = x2 Jawab: x1 – POI  1  y1 = x1 + x2 x2 – POI (  2 ) y2 = x2 f(x1,x2) = f(x1) . f(x2) =



e 1 . 1x1 e  2 . 2x2 . x1! x2 !



=



e  1  2  . 1x1 . 2x2 x1! x 2 !



; x1 = 0,1,2,… x2 = 0,1,2,…



y1 = x1 + x2 x1 = y1 - x2 dan y2 = x2 = y1 - y2 x1 = w1 (y1,y2)



x2 = w2 (y1,y2)



y1 - y2 = w1 (y1,y2)



y2 = w2 (y1,y2)



g(y1,y2) = f (w1 (y1,y2), w2 (y1,y2) = f(y1,y2 , y2) e  1  2  . 1y1  y2 . 2y2 == y1 y 2 ! y 2 !



, y1 = 0,1,2,… dan y2 = 0,1,2,…