Tugas Berjamaah 1 [PDF]

Citation preview

Mata Kuliah : Statistika Matematika Dosen Pengampu : Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa M.S. Prodi : Pascasarjana - Pendidikan Matematika TUGAS 1 1. Banyaknya susunan tempat duduk terurut yang mungkin dibuat untuk delapan orang dalam lima kursi. Penyelesaian : Banyak orang = 8 Dengan menggunakan permutasi,



Jadi, banyaknya susunan tempat duduk yang mungkin dibuat untuk delapan orang dalam lima kursi adalah 6720 cara. 2. Departemen transportasi berencana untuk membangun jalan lintas propinsi baru dan menerima 16 penawaran dari perusahaan kontraktor berbeda. Departemen



tersebut



berencana untuk merekrut 4 dari perusahaan kontraktor yang mengajukan penawaran. Berapa banyak kombinasi berbeda dari 4 perusahaan kontraktor yang dapat dipilih dari 16 perusahaan kontraktor tersebut? Penyelesaian :



3. Suatu kotak berisi 10 kelereng berwarna putih, 5 kuning, dan 10 hitam. Satu kelereng diambil secara acak dari kotak dan diinginkan bahwa kelereng yang terambil bukan hitam. Berapa peluang kuning terambil? Penyelesaian : Jumlah kelereng = 10 + 5 + 10 = 25



Karena satu kelereng diambil secara acak, banyak anggota ruang sampel : n(S) =



=



=



= 25



Karena yang diinginkan bahwa kelereng yang terambil bukan hitam, maka kemungkinan kelereng yang terambil adalah putih dan kuning. Banyak cara mengambil kelereng kuning : n(A) =



=



=



=5



Peluang terambil kelereng kuning : P(A) =



=



=



Jadi, peluang terambilnya kelereng berwarna kuning adalah



.



4. Perusahaan asuransi percaya bahwa orang dapat dibagi menjadi dua kelas: rawan kecelakaan dan tidak rawan kecelakaan. Catatan mereka menunjukkan bahwa seseorang yang rawan kecelakaan akan mengalami kecelakaan dalam periode satu tahun dengan peluang 0,4, sedangkan peluang 0,2 bagi seseorang yang tidak rawan kecelakaan. Jika diasumsikan bahwa 30% populasi adalah rawan kecelakaan, berapa peluang bahwa: a. Suatu pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dengan masa pembelian polis satu tahun? b. Seorang pemegang polis baru memiliki kecelakaan dalam tahun pembelian polis. Berapa peluang bahwa orang tersebut adalah rawan kecelakaan? Penyelesaian : Kecelakaan = 0,4 Rawan Kecelakaan =30% Asuransi Polis



Kecelakaan = 0,2 Tidak Rawan kecelakaan = 70%



P(B1) = 30% P(B2) = 70% P(A|B1) = 0,4 P(A|B2) = 0,2



TIdak Kecelakaan = 0,6



TIdak Kecelakaan = 0,8



Sehingga: a. Berapa peluang bahwa suatu pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dengan masa pembelian polis satu tahun? P(A1) = P(B1) x P(A|B1) = 30% x 0,4 = 0,12 P(A2) = P(B2) x P(A|B2) = 70% x 0,2 = 0,14 Ptotal



= P(A1) x P(A2) = 0,12 x 0,14 = 0,26



b. Misal seorang pemegang polis baru memiliki kecelakaan dalam tahun pembelian polis. Berapa peluang bahwa orang tersebut adalah rawan kecelakaan? P(B1) = 30 % P(A|B1) = 0,4 P(A)



= P(B1) x P(A|B1) = 30% x 0,4 = 0,12



Jadi, peluang bahwa memiliki kecelakaan dari rawan kecelakaan



= = = = 0,46



5. Pada awal suatu studi sekelompok orang, 15% diklasifikan sebagai perokok berat, 30% perokok ringan, dan 55% bukan perokok. Dalam studi selama lima tahun, diperoleh bahwa rata-rata kematian dari perokok berat dan ringan adalah lima dan tiga kali dari bukan perokok. Secara acak dipilih peserta yang meninggal dalam periode lima tahun. Berapa peluang bahwa peserta tersebut bukan perokok? Penyelesaian : P(M) = peluang meninggal. P(M│A) = peluang meninggal perokok berat. P(M│B) = peluang meninggal perokok ringan.



P(M│C) = peluang meninggal bukan perokok. P(A) = peluang kelompok perokok berat. P(B) = peluang kelompok perokok ringan. P(C) = peluang kelompok bukan perokok. Maka :



Kita misalkan peluang meninggal bukan perokok = n, maka : P(M│A) = P(M│B) = P(M│C) = Dengan demikian, P(M) = [P(A) P(M│A)] + [P(B) P(M│B)] + [P(C) P(M│C)] = [15/100.5n] + [30/100.3n] + [55/100.n] = 220/100.n = 11n/5 Sehingga, peluang peserta meninggal yang bukan perokok adalah : P(C│M) =



|



= = 25/100 = 0,25 6. Misal peluang diagnosis benar (positif atau negatif) dari kanker serviks dalam tes Pap adalah 0,95 dan bahwa proposi bahwa wanita dalam suatu populasi menderita penyakit ini adalah 0,01%. Seorang wanita dipilih secara acak dari populasi dan dites. Berapa peluang bahwa tes adalah positif ? Penyelesaian : Diketahui:



Dengan, Peluang diagnosis benar Peluang diagnosis salah Populasi wanita yang menderita Populasi wanita yang tidak menderita Ditanyakan: Berapa peluang bahwa tes adalah positif



?



o Terdapat 2 kemungkinan seorang tes seorang wanita positif yaitu wanita menderita dan diagnosis benar atau wanita tidak menderita dan diagnosis salah



Jadi, peluang bahwa tes wanita dipopulasi tersebut positif adalah 5%. 7. Di klinik psikiatrik, rata-rata pekerja sosial sangat sibuk, hanya 60% pasien baru potensial yang teleponnya dapat ditanggapi secara langsung oleh seorang pekerja. Sedang 40% lainnya diminta meninggalkan nomor telepon mereka. Sekitar 75% seorang pekerja sosial dapat melakukan panggilan kembali dalam hari yang sama dan lainnya 25% penelepon akan dihubungi pada hari berikutnya. Pengalaman dari klinik mengindikasikan bahwa peluang bahwa seorang penelepon akan datang ke klinik untuk konsultasi adalah 0,8 jika penelepon secara langsung dapat berbicara dengan seorang pekerja sosial, sedangkan 0,6 dan 0,4 berturut-turut adalah jika panggilan dari pasien akan dihubungi pada hari yang sama dan hari berikutnya. a. Berapa persen orang yang telepon datang ke klinik untuk konsultasi? b. Berapa persen pasien yang datang ke klinik untuk konsultasi tidak perlu memperoleh panggilan ulang?



Penyelesaian : Bagan pembagian penelpon Ditanggapi langsung 60%



Penelpon



Datang ke klinik 80% Tidak datang ke klinik 20%



Dihubungi dihari yang sama 75% Meninggalkan nomor telpon 40% Dihubungi dihari berikutnya 25%



Datang ke klinik 60% Tidak datang ke klinik 40% Datang ke klinik 40% Tidak datang ke klinik 60%



a. Persentase penelpon yang datang ke klinik



b. Persentase pasien yang datang ke klinik tidak perlu memperoleh panggilan ulang



8. Seekor tikus yang tertangkap dalam suatu labirin harus bermanuver melalui tiga pintu berturut-turut untuk melepaskan diri. Jika pintu beroperasi secara independen dan peluang sukses bermanuver bagi tikus tersebut adalah berturut-turut 0,6; 0,4; dan 0,2. Tentukan peluang bahwa tikus tersebut (i) akan dapat kabur, (ii) tidak dapat kabur. Penyelesaian : Terdapat 3 pintu, maka peluang lolos pintu 1 = 0,6; pintu 2 = 0,4; dan pintu 3 = 0,2. Misalkan, Pintu 1 = P(A) = 0,6 Pintu 2 = P(B) = 0,4 Pintu 3 = P(C) = 0,2



(i) Peluang tikus akan dapat kabur = P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C) = 0,6 x 0,4 x 0,2 = 0,048 (ii) Peluang tikus tidak dapat kabur = P(Ac ∩ Bc ∩ Cc) = P(Ac) x P(Bc) x P(Cc) = 0,4 x 0,6 x 0,8 = 0,0192 Jadi, peluang tikus akan dapat kabur dan tidak dapat kabur masing-masing adalah 0,048 dan 0,0192. 9. Jim mengambil ujian surat ijin mengemudi tertulis dan praktek berulang kali sampai dia berhasil keduanya. Diketahui bahwa peluang sukses ujian tulis adalah 0,9, dan peluang sukses ujian praktek adalah 0,6, dan kedua ujian itu independen. Selanjutnya, diasumsikan bahwa ujian praktek tidak dapat dilakukan kecuali jika lulus pada ujian tulis, dan setelah lulus ujian tulis maka tidak perlu mengulang ujian tulis lagi. Selain itu, diasumsikan bahwa ujian tertulis dan ujian praktek adalah usaha yang berbeda. Berapakah peluang bahwa Jim akan lulus ujian praktek pada usaha ke-5? Penyelesaian : Diketahui: o Peluang lulus ujian praktek [P(X)] = 0,6 o Peluang tidak lulus ujian praktek [P(X)] = 0,4 o Peluang lulus ujian tulis [P(X)] = 0,9 o Peluang tidak lulus ujian tulis [P(X)] = 0,1 Syarat : o Ujian praktek bisa dilakukan jika sudah lulus ujian tulis. o Ujian tulis lulus maka tidak perlu mengulang lagi, jika tidak lulus maka harus mengulangnya. Ditanya: Berapakah peluang bahwa Jim akan lulus ujian praktek pada usaha ke-5?



Peluang Ke-



Peluang Ujian



Nilai Peluang



Peluang pertama



P1



Tidak lulus ujian tulis



0,1



Peluang kedua



P2



Tidak lulus ujian tulis



0,1



Peluang ketiga



P3



Tidak lulus ujian tulis



0,1



Peluang keempat



P4



Tidak lulus ujian tulis



0,1



Peluang kelima



P5



Lulus ujian tulis dan lulus ujian praktek



0,9 x 0,6 = 0,54



Berdasarkan tabel di atas, maka disimpulkan bahwa peluang Jim akan lulus ujian praktek pada usaha ke-5 sebagai berikut.



Jadi, peluang Jim akan lulus ujian praktek pada usaha ke-5 adalah



.



10. Suatu kotak berisi 4 keping. Dua keping diberi label angka 2, satu keeping diberi label angka 4 dan lainnya dengan 8. Suatu percobaan dilakukan untuk memilih satu keping secara acak, dan skor adalah angka yang teramati pada keping. Misal peubah acak X adalah label angka pada keping. 𝑥



2



𝑓(𝑥)



2/4



4 1/4



Berapa peluang bahwa skor adalah 2? 𝑋= 2



=…



Berapa peluang bahwa skor lebih besar dari 3? 𝑋>3 =⋯ Penyelesaian : Peluang skor adalah 2 𝑋 Peluang skor lebih besar dari 3 adalah 𝑋



8 1/4